2021届上海市黄浦区高三4月第二次模拟(理)数学试题

上海市黄浦区2021届高三下学期二模数学试题参考答案1．()1,2【思路点拨】解出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B .【解析】{}()()2230,31,A x x x =+->=-∞-⋃+∞，{}{}()111110,2B x x x x =-<=-<-<=，因此，()1,2A B ⋂=.2．4【思路点拨】根据对数的定义可得．【解析】由42log 13x +=得4log 1x =，所以4x =．3．36π【思路点拨】设球半径为R ，由球的表面积求出3R =，然后可得球的体积． 【解析】设球半径为R ， ∵球的表面积为36π， ∴24π36R π=， ∴3R =， ∴该球的体积为3344V ππ33633R π==⨯⨯=． 【名师指导】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果． 4．32-【思路点拨】通过计算(1)(1)g g +-可得． 【解析】因为()g x 是奇函数，所以(1)(1)0g g +-=， 即1(1)2(1)02f f ++-+=，所以53(1)122f -=-=-． 5．5【思路点拨】先求复数z ，再求||z 即可.【解析】由34i z i ⋅=-，得3443iz i i-==--，而||||5z z ===. 6．7arccos25【思路点拨】建立空间直角坐标系，求出异面直线1AB 与1CD 的方向向量，再求出两向量的夹角，进而可得异面直线1AB 与1CD 所成角的大小． 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系：在长方体1111ABCD A BC D -中，3AB BC ==，14CC =，()3,0,0A ∴，()13,3,4B ，()0,3,0C ，()10,0,4D ，()10,3,4AB ∴=，()10,3,4CD =-， 11cos ,AB CD ∴<>1111725||||09160916AB CD AB CD ⋅===⨯++⨯++， ∴异面直线1AB 与1CD 所成角的大小是7arccos25． 7．0.9【思路点拨】求出()P A 的值，再利用独立事件的概率乘法公式可求得()P B 的值. 【解析】由对立事件的概率公式可得()()10.6P A P A =-=， 由独立事件的概率乘法公式可得()()()P AB P A P B =，因此，()()()0.9P AB P B P A ==.8．(0,2)(2,4)【思路点拨】由无穷等比数列的所有项和的公式得出1,a q 的关系，根据q的范围得出结论．【解析】设公比为q ，因为lim 2→∞=n n S ，所以1q <且0q ≠，且1lim 21n n a S q→∞==-， 12(1)(0,4)a q =-∈，且2q．9．5【思路点拨】利用二项式定理求出n 的值，再利用代数余子式的定义可求得结果. 【解析】()12nx +的展开式第三项为22222324n n T C x C x =⋅⋅=，由题意可得()141122n n-⨯=，整理可得2560n n--=，n N*∈，解得8n=，因此，行列式21331121n-中元素1-的代数余子式的值()12311581+-=.【名师指导】解决本题的关键在于以下两点：（1）利用二项展开式求出n的值；（2）利用代数余子式的定义可得结果.10．627【思路点拨】作出不等式组所表示的可行域，平移直线25z x y=+，找出使得直线25z x y=+在x轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.【解析】作出不等式组0,02202360x yx yx y≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立2202360x yx y-+=⎧⎨+-=⎩，解得67107xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点610,77A⎛⎫⎪⎝⎭，平移直线25z x y=+，当该直线经过可行域的顶点A时，直线25z x y=+在x轴上的截距最大，此时z取最大值，即max6106225777z=⨯+⨯=.【名师指导】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 11．127【思路点拨】先求所有的三个数个数，再求符合一等奖的三位数个数，由古典概型概率公式即可求解．【解析】用01239、、、、、这十个数字组成没有重复数字的三位数有998648⨯⨯=个 由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是3的倍数的组成的数字是1、3、5和1、5、9，3、5、7，5、7、9则这样的三位数有33424A =所以则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是24164827= 12．{3-讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,+∞、(),0-∞上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值. 【解析】分以下三种情况讨论：①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,0211,02x a x f x a x x ax a x ⎧⎪+->⎪=+≤≤⎨⎪⎪-++<⎩，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()112f x a >+， 当0x ≥时，()min 1212f x a a =+>+， 此时，函数()f x 无最小值；②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+≤<-⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥+.22a a +>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，20a -≤<，解得3a =-；③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x aa x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪=⎨--+≤<⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥--.因为202a a -->>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，2a <-，解得3a =-3a =-.综上所述，实数a的取值集合为{3-.【名师指导】解本题的关键在于对参数的取值进行分类讨论，化简函数解析式，利用函数的单调性得出函数的最小值，进而求解.13．B 【思路点拨】结合线面位置关系，根据充分必要条件定义判断．【解析】直线l 在平面α外，包括直线l 与平面α平行和相交，不充分，但直线l ∥平面α，一定有直线l 在平面α外，必要的，因此是必要不充分条件． 故选：B ．14．C 【思路点拨】计算均值，再根据数据的集中度判断．【解析】甲的均值为2122232528293030268+++++++=，乙的均值为1416232628303338268+++++++=， 两者均值相同，甲的方差为2222222211[(2126)(2226)(2326)(2526)(2826)(2926)(3026)8s =-+-+-+-+-+-+- 2(3026)]12+-= 乙的方差为2222222221[(1426)(1626)(2326)(2626)(2826)(3026)(3326)8s =-+-+-+-+-+-+- 2(3826)]58.25+-=， 甲的方差小于乙的方差，甲稳定． 故选：C ．15．A 【思路点拨】求出P 点坐标，把圆方程化为普通方程，得圆心坐标，由切线性质求得切线斜率，得切线方程．【解析】由134t +=得1t =，则514y =-+=-，所以(4,4)P -， 圆C 的普通方程为22(1)25-+=x y ，圆心为(1,0)C ，404413CP k --==--，所以切线的斜率为34k =，方程为34(4)4y x +=-，即34280x y --=．故选：A ．16．A 【思路点拨】由,,P A B 三点共线得出,x y 满足的关系，由这个关系求得23x yxy+的最小值即可得结论． 【解析】由题意34||||CA CB x yCP x y CA CB CA CB =⋅+⋅=+， 因为P 在线段AB 上，所以134x y+=且0,0x y >>． 不等式23x y m x y +≥⋅⋅恒成立，即23x ym xy+≥， 22233()(23)2334342x y x y xy xy x y xy xy xy +++++==32≥=，当且仅当222334x y =时等号成立，此时6(41),77x y ==，所以23x y xy +的最32， 所以32m ≤．故选：A ．【名师指导】本题考查向量的线性运算，考查基本不等式求最值，解题关键是由三点共线得出134x y+=，在用分离参数变形不等式后利用基本不等式求最值得范围． 17．【思路点拨】（1）由棱锥体积公式计算；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求直线与平面所成的角． 【解析】解(1)1111ABCD A BC D -是长方体，棱2AB BC ==，13AA =，∴1AA ⊥平面ABCD ，即三棱锥1D EBC -的高等于1AA .∴122EBCSBC AB =⨯⨯=. ∴11123D EBCEBC V S AA -=⋅⋅=.(2)按如图所示建立空间直角坐标系D xyz -，可得，()1,0,0E ，()0,2,0C ，()2,2,0B ，()10,0,3D .()1,2,0EB = ，()11,0,3ED =-，()10,2,3D C =-设平面1EBD 的法向量(),,n x y z = ，则10,0.n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,30.x y x z +=⎧⎨-+=⎩ 取6x =，得3,2.y z =-⎧⎨=⎩ 故平面1EBD 的一个法向量为()6,3,2n =-.设直线1CD 和平面1EBD 所成的角为θ ，则11sin 9113D C n D C nθ⋅===⋅所以直线1CD 和平面1EBD 所成角的大小为arcsin91． 【名师指导】本题考查证明线面垂直，考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法： （1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得； （2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．18．【思路点拨】（1）利用正弦定理边角互化可求得a 的值； （2）化简函数解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期，解不等式()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z 可得出函数()f x 的单调递增区间.【解析】（1）在ABC 中，1b =，sin3sin a A B =，由正弦定理可得233a b ==，0a >，解得a =（2）由（1）知a =()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 所以，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. 由()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈.因此，函数()f x 的递增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【名师指导】三角函数图象与性质问题的求解思路：（1）将函数解析式变形为()()sin +0y A x B ωϕω=+>或()()cos +0y A x B ωϕω=+>的形式；（2）将x ωϕ+看成一个整体；（3）借助正弦函数sin y x =或余弦函数cos y x =的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.19．.【思路点拨】（1）构造一个增函数，50x =时，0y >，1500x =时，20y ≤，即可得．（2）50x =时，2y =满足要求，然后由函数模型是增函数，且满足1500x =时，20y ≤，即可得a 的范围，【解析】 (1) 答案不唯一. 构造出一个函数； 说明是单调增函数； 函数的取值满足要求. 如，11,[50,1500]100y x x =+∈，就是符合企业奖励的一个函数模型. 理由：根据一次函数的性质，易知，y 随x 增大而增大，即为增函数； 当50x =时，1350101002y =⨯+=>， 当1500x =时，1150011620100y =⨯+=<，即奖金金额0y >且不超过20万元. 故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型. (2) 当50500x ≤≤时，易知1150y x =+是增函数，且当50x =时，15012050y =⨯+=>，当500x =时，15001112050y =⨯+=<，即满足奖金0y >且不超过20万的要求； 故当50500x ≤≤时，1150y x =+符合企业奖励要求. 当5001500x <≤时，函数1()19af x x-=+是增函数，即对任意12(500,1500]x x ∈、，且12x x <时，211212()()(1)0x x f x f x a x x --=-<成立.故当且仅当10a -<，即1a >时，此时函数在(500,1500]上是增函数. 由1190500a -+≥，得9501a ≤；进一步可知，10a x -<，故1191920ay x-=+<<成立，即当19501a <≤时，函数符合奖金0y >且金额不超过20万的要求.依据函数模型11,50500,50119,5001500x x y a x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪+<≤⎪⎩是符合企业的奖励要求，即此函数为增函数，于是，有1150011950500a -⨯+≤+，解得4001a ≤. 综上，所求实数a 的取值范围是14001a <≤.【名师指导】本题考查函数模型的应用，解题关键是理解题意确定函数模型需要满足的性质．然后由此性质去求解参数范围．20．【思路点拨】（1）利用平面向量的坐标运算可得出1PF 、2PF 的坐标；（2）求得222212021b PF PF x b c a ⎛⎫⋅=-+- ⎪⎝⎭，利用椭圆的有界性可得出0a x a -≤≤，利用二次函数的基本性质可得出12PF PF ⋅的最大值和最小值，进而可求得a 、b 的值； （3）设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由已知条件得出0AM AN ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算并结合韦达定理可得出k 、m 的等量关系，由此可得出直线l 所过定点的坐标.【解析】（1）根据题意，可知()1,0F c -、()2,0F c ，于是()100,PF c x y =---，()200,PF c x y =-；（2）由（1）可知，2221200PF PF x c y ⋅=-+. ()00,P x y 在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，2200221x y a b ∴+=，则222202b y b x a=-.222212021b PF PF x b c a ⎛⎫∴⋅=-+- ⎪⎝⎭.依据椭圆的性质，可知0a x a -≤≤. 当且仅当0x a =±时，()222222122max1b PF PF a b c a c a ⎛⎫⋅=-+-=- ⎪⎝⎭， 当且仅当00x =时，()22222122min10b PF PF b c b c a ⎛⎫⋅=-⨯+-=- ⎪⎝⎭. 又222a b c =+，且12PF PF ⋅的最大值为3，最小值为2，222232a c b c ⎧-=∴⎨-=⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（3）由（2）知椭圆C 的方程为22143x y +=，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立方程组22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 得()2223484120k x kmx m +++-=. 于是有()1222122228344123448430km x x k m x x k k m ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪⎪∆=+->⎪⎩， 以线段MN 为直径的圆经过点()2,0A ，则AM AN ⊥，即()()()()()()121212122222AM AN x x y y x x kx m kx m ⋅=--+=--+++()()()221212124k x x km x x m =++-+++()()()()()22222412182434043m k km km k m k -+--+++==+，化简得2271640m km k ++=，即()()7220m k m k ++=， 解得27m k =-或2m k =-，都满足0∆>， 当2m k =-时，直线l 的方程为()2y k x =-，直线l 过定点()2,0A ，不满足M 、N 与椭圆的左右顶点不重合要求，故2m k =-舍去.27m k ∴=-，即2:7l y kx k =-，∴直线l 必经过定点，且定点的坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭.【名师指导】求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．【思路点拨】（1）分析数列{}n a 的单调性，可得出i A 、i B ，由此可求得i d ；（2）分析出数列{}n a 为单调递减数列，可得出11i i a a +-=-，进而可知数列{}n a 为等差数列，确定该数列的首项和公差，由此可求得数列{}n a 的通项公式； （3）构造数列{}()01:n nn b aa b =<<，数列{}():0n n c c b n b =⋅<，1n =、2、、K ，设n n n a b c =+，分析数列{}n b 、{}n c 的单调性，利用定义分析数列{}i d 的单调性，由此可得出结论.【解析】（1）数列{}n a 的通项公式为()11,2,3,,2nn a n K ⎛⎫== ⎪⎝⎭，考察指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的性质，知数列{}n a 是单调递减数列， 即()11,2,,1n n a a n K +>=-.{}1211min ,,,,2ii i i i A a a a a a -⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭，{}()112111max ,,,,1,2,,12i i i i K K i B a a a a a i K +++-+⎛⎫====- ⎪⎝⎭.()111111,2,,1222ii i i i i d A B i K ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-==- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）数列{}()1,2,,n n K a =满足13a =，()11,2,,1i d i K ==-，依据题意，由11d =，知12a a >；由210d =>，知23a a >；依此类推，有1K K a a ->， 即121K K a a a a ->>>>，于是，数列{}()1,2,,n n K a =是单调递减数列.{}121min ,,,,i i i i A a a a a a -∴==，{}()1211max ,,,,1,2,,1i i i K K i B a a a a a i K ++-+===-.1i d =，11ii a a +∴-=，即11i i a a +-=-．所以，数列{}n a 是首项13a =，公差为1-的等差数列，()()3141,2,,n a n n n K ∴=--=-=；（3）构造数列{}()01:n nn b aa b =<<，数列{}():0n n c c b n b =⋅<，1n =、2、、K ，设n n n a b c =+，则数列{}n a 满足题设要求. 理由如下：构造数列{}()01:n nn b aa b =<<，数列{}():0n n c c b n b =⋅<，1n =、2、、K ，易知，数列{}n b 是等比数列，数列{}n c 是等差数列. 由指数函数(),01xy ax R a =∈<<的性质，知1nn aa +>，即数列{}n b 是单调递减数列.由函数(),0y bx x R b =∈<的性质，知数列{}n c 是单调递减数列.()11n n a b n a b n +∴+⋅>++，即()11,2,,1n n a a n K +>=-.所以，数列{}n a 是单调递减数列.()()111,2,3,,1i i i i d a a a a b i K +∴=-=--=-，()()()2111110i i ii i d d a a b a a b a a ++⎡⎤∴-=-----=->⎣⎦， 即数列{}()1,2,,1i d i K =-是单调递减数列.∴数列{}n a 是满足条件的数列.【名师指导】本题考查数列的新定义，在求出i d 时，应充分考查数列的单调性，求得i A 、i B ，可求得i d ，同时也应注意利用相应函数的单调性来分析对应数列的单调性，理解函数与数列之间的关系.。

2021-2022年高三四月二模数学理科试卷及答案xx.4.19一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，点F为BC上靠近点B的一个三等分点，则→EF＝（A）12→AB－13→AD（B）23→AB＋12→AD（C）13→AB－12→AD（D）12→AB－23→AD2．“复数a＋i2＋i（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限”是“a＜－1”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件3．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（A）0.35 （B）0.25 （C）0.20 （D）0.154．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为（A）6 3（B）8（C）8 3（D）125．已知(33x2－1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是（A）－24 （B）24 （C）－252 （D）2526．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是（A）(42，56]（B）(56，72]（C）(72，90]（D）(42，90)7．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝1x（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（A）ln2 2（B）1－ln22（C）1＋ln22（D）2－ln228．已知直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0），两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若(Ax1＋By1＋C)( Ax2＋By2＋C)＞0，且|Ax1＋By1＋C|＜|Ax2＋By2＋C|，则直线l（A）与直线P1P2不相交（B）与线段P2P1的延长线相交（C ）与线段P 1P 2的延长线相交 （D ）与线段P 1P 2相交9．抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点A 、B 在此抛物线上，且∠AFB ＝90°，弦AB 的中点M 在其准线上的射影为M ′，则|MM ′||AB |的最大值为（A ）22 （B ）32（C ）1 （D ） 3 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。

2021年上海市杨浦区高三4月质量调研（二模）（理）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数()1f x x =-的定义域是________. 2．已知线性方程组的增广矩阵为11334a --⎛⎫ ⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12-⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a =________ 3．计算2123lim1n nn →∞++++=+______. 4．若向量a 、b 满足a ＝1，b ＝2，且a 与b 的夹角为3π，则a b +＝_________. 5．若复数134z i =+，212z i =-，其中i 是虚数单位，则复数12z z i+的虚部为______.6．61x ⎛ ⎝展开式中的常数项为______． 7．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对应边的长度分别为a 、b 、c ，若a c b a c abb--=，则角C 的大小是______.8．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：174a a =，则数列{}2log n a 的前7项之和为______.9．在极坐标系中曲线C ：2cos ρθ=上的点到()1,π距离的最大值为______. 10．袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是______.11．已知双曲线2214y x -=的右焦点为F ,过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P ,M 在直线PF 上,且满足·0OM PF =,则PM PF= ．12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有______.（用数字作答）13．若关于x 的方程5445x x m x x⎛⎫+--= ⎪⎝⎭在()0,∞+内恰有三个相异实根，则实数m 的取值范围为______.14．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为221254y x += ，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．二、单选题15．下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,∞+上递增的是（ ） A ．2x y = B ．ln y x = C ．13y x =D ．1y x x=+16．已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，则“π3α<”是“k <的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件17．设x,y,z 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A ．2211x x x x++≥B C ．12x y x y-+≥-D ．x y x z y z -≤-+-18．已知命题：“若a ，b 为异面直线，平面α过直线a 且与直线b 平行，则直线b 与平面α的距离等于异面直线a ，b 之间的距离”为真命题.根据上述命题，若a ，b 为异面直线，且它们之间的距离为d ，则空间中与a ，b 均异面且距离也均为d 的直线c 的条数为（ ） A ．0条 B ．1条C ．多于1条，但为有限条D ．无数多条三、解答题19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，1112AC BC AA ===，D 是棱1AA 上的动点.（1）证明：1DC BC ⊥； （2）求三棱锥1C BDC -的体积.20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长）已知10PA PB ==（米），4AOP BOP π∠=∠=，OAP OBP ∠=∠，设OAP θ∠=，四边形OAPB 的面积为S .（1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围； （2）求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值. 21．已知函数()()2log 21xf x ax =++，其中a R ∈.（1）根据a 的不同取值，讨论()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）已知0a >，函数()f x 的反函数为()1fx -，若函数()()1y f x f x -=+在区间[]1,2上的最小值为21log 3+，求函数()f x 在区间[]1,2上的最大值.22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为F 与短轴的两个端点组成一个正三角形.若直线l 与椭圆C 交于()11,A x y 、()22,B x y ，且在椭圆C 上存在点M ，使得：3455OM OA OB =+（其中O 为坐标原点），则称直线l 具有性质H . （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 垂直于x 轴，且具有性质H ，求直线l 的方程；（3）求证：在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H .23．已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=，()()111n n na n a n n +=+++，n *∈N ，且对一切n *∈N ，均有(122na nb b b =.（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若2λ=，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）设n nn n na b c a b -=（n *∈N ），记数列{}n c 的前n 项和为n T ，问：是否存在正整数λ，对一切n *∈N ，均有4n T T ≥恒成立.若存在，求出所有正整数λ的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．{|2x x -且1}x ≠ 【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解. 【详解】由题意，要使函数有意义，则1020x x -≠⎧⎨+≥⎩，解得，1x ≠且2x ≥-；故函数的定义域为：{|2x x -且1}x ≠. 故答案为：{|2x x -且1}x ≠. 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．2 【分析】 由已知得334x y ax y -=-⎧⎨+=⎩，把x ＝﹣1，y ＝2，能求出a 的值．【详解】∵线性方程组的增广矩阵为11334a --⎛⎫ ⎪⎝⎭，该线性方程组的解为12-⎛⎫⎪⎝⎭，∴334x y ax y -=-⎧⎨+=⎩，把x ＝﹣1，y ＝2，代入得﹣a +6＝4，解得a ＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用． 3．12【分析】先对分子进行求和,再根据数列的极限求解即可. 【详解】2221(1)112312lim lim lim 111221n n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++++===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故答案为：12【点睛】本题主要考查了等差数列求和与数列的极限,属于基础题型. 4 【分析】由1,2,,a b a b ==夹角为3π，利用平面向量数量积公式，求得a b +平方的值，从而可得结果. 【详解】1,2,,a b a b ==夹角为3π，所以2222a ba b a b +=++⋅142cos 3a b π=++152125272=+⨯⨯⨯=+= 所以7a b +=，故答案为. . 5．3- 【分析】分别求得1z 与2z 再化简求解确定虚部即可. 【详解】15z ==,212z i =+,故1251213z z i i i i+=++=-,故虚部为3-. 故答案为：3- 【点睛】本题主要考查了复数模长与共轭复数和虚部的定义,属于基础题型.【分析】根据题意，写出61x ⎛- ⎝的展开式的通项，即可分析其常数项. 【详解】解：61x ⎛ ⎝展开式的通项为(()()6366221666111kk kk kkk k k k k C T x C C xx x---+⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭当4k =时()34644256115T Cx⨯-=-=即61x ⎛ ⎝展开式中的常数项为15 故答案为：15 【点睛】本题考查二项式定理的应用，关键分析常数项出现的情况，属于基础题． 7．3π 【分析】根据行列式列出三边满足的关系式,再利用余弦定理求解即可. 【详解】由题有222222a cb abc a b ab -=-+⇒=+-.由余弦定理有222cos 122a b c C ab +-==.又()0,C π∈,故3C π=.故答案为：3π【点睛】本题主要考查了行列式的运算以及余弦定理的运用,属于基础题型. 8．7. 【分析】由等比数列的性质可得 1726354a a a a a a ===，再利用指数与对数的运算性质即可得出.由等比数列的性质可得217263544a a a a a a a ====，且0n a >，42a ∴=，则数列{}2log n a 的前7项和为：212227log log log a a a ++⋯+()2127log a a a =⋯()24log 424⨯⨯⨯=72log 2=7=.故答案为: 7. 【点睛】本题考查的是等比数列的的性质的应用以及指数和对数的运算法则的应用，考查学生的分析问题能力和解决问题的能力，是中档题. 9．3 【分析】将曲线C 与()1,π转换为直角坐标表达,再根据点到圆的距离最值分析即可. 【详解】由()2222cos 2cos 11x y ρθρρθ=⇒=⇒-+=,又点()()1,1,0π⇒-,又()1,0-到圆心()1,0的距离为2,故2cos ρθ=上的点到()1,π距离的最大值为213+=. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化,同时也考查了点到圆上距离的最值问题,属于基础题型. 10．92【分析】分别分析最大号码为3,4,5的情况再根据所对应的概率求解数学期望即可. 【详解】所有可能的情况一共有3510C =种,其中最大号码为3的情况一共有221C =种；其中最大号码为4的情况一共有233C =种；其中最大号码为5的情况一共有246C =种； 故ξ的数学期望是136312309345101010102++⨯+⨯+⨯==. 故答案为：92【点睛】本题主要考查了排列组合解决数学期望的问题,根据题意分析所有可能的情况再利用数学期望公式求解即可.属于中等题型. 11．12【解析】试题分析：双曲线2214y x -=，则，可得(5,0)F ，渐近线方程为2y x =±，设过点F 且平行于双曲线的一条渐近线方程为2(5)y x =-，代入双曲线的方程，可得355x =，即3545(,)55P -，由直线1:2OM y x =-和直线2(5)y x =-，可得4525(,)M -，即有 4512PM PF==. 考点：双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程、渐近线方程和直线、双曲线的位置关系以及共线向量的坐标表示等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把直线的方程代入双曲线的方程，求解点P 的坐标是解得难点和一个易错点.12．54 【分析】因为甲、乙不能单独带队,故分甲乙一起带队与甲、乙分别与另一位老师一起带队两种情况进行分析即可. 【详解】由题,若甲乙一起带队,则共有233318C A ⋅=种情况.若甲、乙分别与另一位老师一起带队则共有233336A A =种情况.故共有183654+=种情况. 故答案为：54 【点睛】本题主要考查了排列组合的运用,属于中等题型.13．6,10⎛ ⎝⎭【分析】题中有绝对值,故考虑分绝对值中的正负情况进行去绝对值讨论即可. 【详解】 设54()45f x x x x x⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭,()0,x ∈+∞. 当450x x -≥时有5x ≥.当450x x -<时有05x <<.故19,0()9,x x x f x x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩. 当19y x x =+时21'9y x =-,令1'03y x =⇒=. 故19y x x =+在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在135⎛ ⎝⎭，上单调递增. 又9y x x =-+在,5⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭为减函数,.因为当0x +→时,()f x →+∞, 11()93633f =⨯+=.(5510f =-=.当x →+∞时()f x →-∞. 故方程5445x x m x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭在()0,∞+内恰有三个相异实根则6,10m ⎛∈ ⎝⎭.故答案为：⎛ ⎝⎭【点睛】本题主要考查了方程的零点个数问题,有绝对值考虑分情况讨论,同时需要数形结合分析函数的单调性与最值再进行分析等.属于中等题型. 14．803π【分析】构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，从中挖去一个圆锥，根据祖暅原理可得出椭球的体积为几何体体积为2倍. 【详解】椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱， 然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积()22180********V V V πππ⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭圆柱圆锥.故答案为803π. 【点睛】本题考查了祖暅原理的应用，解题的关键在于将椭球体体积转化为圆柱体积与同底的圆锥的体积的差，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 15．C 【分析】根据函数图像与性质直接判定即可. 【详解】对A, 2xy =为偶函数.故A 错误.对B, ln y x =为非奇非偶函数函数,故B 错误. 对C, 13y x =为奇函数且在()0,∞+上递增.故C 正确. 对D, 1y x x=+为奇函数但在()0,∞+先减再增,故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题型. 16．A 【分析】根据倾斜角与斜率的关系分析即可. 【详解】因为倾斜角的范围为[)0,απ∈,且斜率tan k α=.由正切函数单调性有,当π03α≤<时, 0k <<成立.又当k <,此时,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭.此时π3α<不成立.故“π3α<”是“k <的充分非必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分非必要条件的判定,同时也考查了直线倾斜角与斜率的关系,属于基础题型. 17．C 【详解】试题分析：x y x z z y x z z y x z y z -=-+-≤-+-=-+-，故D 恒成立； 由于函数()1f x x x=+,在(]0,1单调递减；在[)1,+∞单调递增, 当1x >时, ()()221,x x f x f x >>>即2211x x x x+>+,当01x <<,()()2201,x x f x f x <<即2211x x x x++≥正确，即A 正确；=<=故B 恒成立，若1x y -=-,不等式12x y x y-+≥-不成立, 故C 不恒成立,故选C ． 考点：1、基本不等式证明不等式；2、单调性证明不等式及放缩法证明不等式． 18．D 【分析】如图所示,给出一个平行六面体1111ABCD A B C D -.取AD a =,11A B b =,假设平行平面ABCD 与1111D C B A 间的距离为d .平面11//BCC B a ,平面11//CDD C b ,且满足它们之间的距离等于d ,其交线1CC 满足条件.把满足平面11//BCC B a ,平面11//CDD C b ,且它们之间的距离等于d 的两个平面旋转,则所有的交线1CC 都满足条件,即可判断出结论. 【详解】如图所示,给出一个平行六面体1111ABCD A B C D -.取AD a =,11A B b =,假设平行平面ABCD 与1111D C B A 间的距离为d ,其交线1CC 满足与,a b 均异面且距离也均为d 的直线c .把满足平面11//BCC B a ,平面11//CDD C b ,且它们之间的距离等于d 的两个平面旋转,则所有的交线1CC 都满足与,a b 均异面且距离也均为d 的直线c .因此满足条件的直线有无数条.故选：D . 【点睛】本题主要考查了空间线面的位置关系,考查了空间想象能力,属于中等题型. 19．（1）证明见解析（2）13【分析】(1)先证明BC ⊥平面11ACC A 再证明1DC BC ⊥即可. (2)利用换顶点的方法,求1B CDC V -即可. 【详解】（1）证明：因为直三棱柱111ABC A B C -中,1CC ⊥平面ABC ,所以,1CC BC ⊥,又底面ABC 是直角三角形,且1AC BC ==,所以AC BC ⊥,又1ACCC C =,所以,BC ⊥平面11ACC A ,所以,1BC DC ⊥（2）11111211323C BDC B CDC V V --==⨯⨯⨯⨯= 【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明以及三棱锥的体积计算等.属于中等题型.20．（1）2504S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）当38πθ=时，S 取得最大值)2501米.【分析】（1）在PAO ∆中，利用正弦定理将OA 、OP 用θ表示，然后利用三角形的面积公式可求出S 关于θ的表达式，结合实际问题求出θ的取值范围；（2）利用（1）中的S 关于θ的表达式得出S 的最大值，并求出对应的θ的值. 【详解】（1）在PAO ∆中，由正弦定理得3sin sinsin 44OA OP PAππθθ===⎛⎫- ⎪⎝⎭所以()310cos sin 4OA πθθθθθ⎫⎛⎫=-==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，OP θ=，则PAO ∆的面积为()1sin 10cos sin 244PAO S OA OP πθθθ∆=⋅⋅=⨯+⨯()()211cos 250sin cos sin 50sin 225sin 2cos 2122θθθθθθθ-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭2254πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因此，22504PAO S S πθ∆⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，其中30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）由（1）知，2504S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，52444πππθ∴-<-<， 当242ππθ-=时，即当38πθ=时，四边形OAPB 的面积S 取得最大值)2501米.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的正弦公式、二倍角公式以及三角函数的基本性质，在利用三角函数进行求解时，要利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 21．（1）当12a =-，偶函数；当12a ≠-，非奇非偶函数；（2）22log 5+.【分析】(1)根据函数奇偶性的定义进行证明即可.(2)根据()f x 与反函数的单调性相同，根据最小值建立方程关系求出a 的值进行求解即可. 【详解】 (1)()2()log 21xf x ax =++，定义域为R ，()()222212()log 21log 122log log 2x xx x x x ax a f ax x -+-=-++=-+⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭+()2log 211x ax =-++-，若()()f x f x -=，则1ax ax =--，即12a =-， ∴12a =- 当函数 ()f x 是偶函数，当12a ≠-，非奇非偶函数； (2)函数()f x 与1()f x -的单调性相同，∴当0a >时，函数()f x 为增函数，则1()()y f x fx -=+在区间[1,2]上为增函数，则函数的最小值为当1x =时，12(1)(1)1log 3y f f -=+=+，即122log 3(1)1log 3a f -++=+，则1(1)1f a -=-，即(1)1f a -=， 则()12(1)log 211aa a --++=得1a =，此时()2()log 21xf x x =++在[1,2]是增函数， 则函数的最大值为()222(2)2log 212log 5f =++=+. 【点睛】本题主要考查函数的性质奇偶性、单调性的应用以及函数的最值，和函数与反函数之间的联系，考查学生分析问题解决问题的能力以及计算能力，是中档题.22．（1）2214x y +=（2）x =（3）证明见解析； 【分析】(1)根据正三角形中的长度关系列出,,a b c 的关系求解即可.(2) 设直线():,22l x t t =-<<,再求得,A B 满足的关系式,进而代入3455OM OA OB =+化简求解即可.(3)假设存在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R 满足条件,再将对应的点坐标代入椭圆方程,分情况讨论得出矛盾即可. 【详解】(1)2c =所以c =又右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形,所以,2a b = 因为222a b c =+, 解得：2a =,1b =,所以,椭圆方程为：2214x y +=(2)设直线():,22l x t t =-<<,则()()12,,,A t y B t y ,其中12,y y 满足：2214t y =-,12y y +=, 设(),m m M x y ,∵3455OM OA OB =+（其中O 为坐标原点）, ∴1217341,5555m m x t y y y y ==+=-,∵点M 在椭圆C 上,∴22149111005t y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭, ∴22221494100441090t y t t +=⇒+-=,∴t =,∴直线l的方程为x =或x = (3) 证明：假设在椭圆C 上存在三个不同的点()()()112233,,,,,P x y Q x y R x y , 使得直线,,PQ QR RP 都具有性质H , ∵直线PQ 具有性质H ,∴在椭圆C 上存在点M ,使得：3455OM OA OB =+, 设(),m m M x y ,则123455m x x x =+,123455m y y y =+,∵点M 在椭圆上,∴2212123434551455x x y y ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝⎭, 又∵221114x y +=,222214x y +=,代入化简得121204x x y y +=,① 同理：232304x x y y +=②, 313104x xy y +=,③ 1)若123,,x x x 中至少一个为0,不妨设10x =,则10y ≠,由①③得230y y ==,即,Q R 为长轴的两个端点,则②不成立,矛盾。

黄浦区2016年高考模拟考数学试卷（理科） （2016年4月）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m = ．2．计算：131lim 32n n n n +→∞+=+ ． 3．函数()1f x =的反函数1()f x -= ． 4．函数2()(sin cos )f x x x =-的最小正周期为 ．5．在极坐标系中，直线(cos 2sin )1ρθθ+=与直线sin 1ρθ=的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）．6．已知菱形ABCD ，若||1AB =，3A π=，则向量AC 在AB 上的投影为 ． 7．已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如右图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V = ．8．已知函数3())f x x x =+，若()f x 的定义域中的a 、b 满足f (-a )+f (-b )-3=f (a )+f (b )+3，则()()f a f b += ．9．在代数式5221(425)1x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数等于 ．10．若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则该椭圆的短轴长为 ．11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各3个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2和3，现任取出3个，它们的颜色与号码均不相同的概率是 （结果用最简分数表示）．12．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，()P k ak b ξ==+（1,2,3k =），若ξ的数学期望73E ξ=，则a b += ． 13．正整数a 、b 满足1a b <<，若关于x 、y 的方程组24033,|1|||||y x y x x a x b =-+⎧⎨=-+-+-⎩有且只有一组解，则a 的最大值为 ．14．数列{}n a 中，若10a =，2i a k =（*i ∈N ，122k k i +<≤，1,2,3,k =），则满足2100i i a a +≥的i 的最小值为 ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的[答] ( )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件16．复数i1im z +=-（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上的点不可能位于[答] ( )． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限17．若△ABC 的三条边a ，b ，c 满足()()()7910a b b c c a +++=∶∶∶∶，则△ABC [答] ( )． A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形18．若函数()lg[sin()sin(2)sin(3)sin(4)]f x x x x x =π⋅π⋅π⋅π的定义域与区间[0,1]的交集由n 个开区间组成，则n 的值为[答] ( )．A ．2B ．3C ．4D ．5三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管．考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P 与凳面圆形的圆心O 的连线垂直于凳面和地面，且P 分细钢管上下两段的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60︒．若A 、B 、C 是凳面圆周的三等分点，18AB =厘米，求凳子的高度h 及三根细钢管的总长度（精确到0.01）．20．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分． 已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a 、b 为非零实常数．（1）若4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x，求a 、b 的值．（2）若1a =，6x π=是()f x 图像的一条对称轴，求0x的值，使其满足0()f x =0[0,2]x ∈π．21．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．已知函数2()1x x f x a x -=++，其中1a >． （1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（2）证明：不存在负实数0x 使得0()0f x =．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列{}n a 的通项公式为12()()n a n k n k =--，其中*n ∈N ，1k 、2k ∈Z ． （1）试写出一组1k 、2k 的值，使得数列{}n a 中的各项均为正数． （2）若11k =，*2k ∈N ，数列{}n b 满足nn a b n=，且对任意的*m ∈N （3m ≠），均有3m b b <，写出所有满足条件的2k 的值．（3）若12k k <，数列{}n c 满足||n n n c a a =+，其前n 项和为n S ，且使0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <）的i 和j 有且仅有4组，1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求1k 、2k 的最小值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于双曲线(,)a b C ：22221x y a b -=（,0a b >），若点00(,)P x y 满足2200221x y a b-<，则称P 在(,)a b C 的外部；若点00(,)P x y 满足2200221x y a b->，则称P 在(,)a b C 的内部．（1）若直线1y kx =+上点都在(1,1)C 的外部，求k 的取值范围．（2）若(,)a b C 过点(2,1)，圆222x y r +=（0r >）在(,)a b C 内部及(,)a b C 上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b 、r 满足的关系式及r 的取值范围．（3）若曲线2||1xy mx =+（0m >）上的点都在(,)a b C 的外部，求m 的取值范围．黄浦区2016年高考模拟考数学试卷（文理）参考答案一、填空题(本大题满分56分)1．1 2．13．3(1)x -，x ∈R 4．π 5．6．327 8．3- 9．（理）15（文）123n - 10．（理）（文）1511．（理）114 （文）．（理）16（文）2 13．（理）2016（文）11414．（理）128（文）2016二、选择题(本大题满分20分)15．B 16．D 17．C 18．C 三、解答题(本大题满分74分) 19．(本题满分12分)[解] 联结PO ，AO ，由题意，PO ⊥平面ABC ，因为凳面与地面平行， 所以PAO ∠就是PA 与平面ABC 所成的角，即60PAO ∠=︒．（2分）在等边三角形ABC 中，18AB =，得AO =（4分）在直角三角形PAO 中，18OP ==，（6分）由0.618OPh OP=-，解得47.13h ≈厘米．（9分） 三根细钢管的总长度3163.25sin60h≈︒厘米．（12分） 20．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．[解]（1）因为()sin cos )f x a x b x x θ=++（其中sin θ=，cos θ=），所以()f x（2分）及4f π⎛⎫== ⎪⎝⎭（4分）解得1a =-，3b =或3a =，1b =-．（6分）（2）易知，当x π=于是162f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭b =（8分）于是()sin 2sin()3f x x x x π==+，（10分）当()f x =2x k =π或23x k π=π+（k ∈Z ）．（12分）因为0[0,2]x ∈π，故所求0x 的值为0，3π，2π．（13分） 21．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．[证明]（1）任取121x x -<<，1212121222()()11x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212121212223()()()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ⎛⎫---=-+-=-+⎪++++⎝⎭．（3分） 因为121x x -<<，1a >，所以12x x a a <，110x +>，210x +>，120x x -<，于是120x x a a -<，12123()0(1)(1)x x x x -<++，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <． 因此，函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（6分）（2）（反证法）若存在负实数0x （01x ≠-），使得0()0f x =，即方程201x x a x -+=+有负实数根．（8分）对于21x x a x -=-+，当00x <且01x ≠-时，因为1a >，所以0110,,1x a a a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（10分）而000231(,1)(2,)11x x x --=-+∈-∞-+∞++．（13分） 因此，不存在负实数0x 使得21x x a x -=-+，得证． 22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（理）[解]（1）11k =-、22k =-（答案不唯一）．（4分）（2）由题设，22(1)n n a kb n k n n==+-+．（6分） 当21k =，2时，2()kf n n n =+均单调递增，不合题意，因此，23k ≥．当23k ≥时，对于2()kf n n n=+，当n ()f n 单调递减；当n ()f n 单调递增．由题设，有123b b b >>，34b b <<．（8分）于是由23b b >及43b b >，可解得2612k <<． 因此，2k 的值为7，8，9，10，11．（10分）（3）2,0,||0,0.n n n n n n a a c a a a >⎧=+=⎨⎩≤其中2121212()()()n a n k n k n k k n k k =--=-++，且12k k <．当120k k <≤时，{}n a 各项均为正数，且单调递增，2n n c a =，也单调递增，不合题意；当120k k <≤时，222,,0,.n n a n k c n k >⎧=⎨⎩≤ 不合题意；（12分）于是，有120k k <<，此时12122,,0,.n n a n k or n k c k n k <>⎧=⎨⎩≤≤（14分）因为0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <），所以i 、12(,)j k k ∉． 于是由212121222()()2[()]n n c a n k n k n k k n k k ==--=-++，可得1222k k i j++=，进一步得120i k k j <<<<，此时，i 的四个值为1，2，3，4，因此，1k 的最小值为5．（16分） 又1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等， 不妨设+1+2==m m m S S S =，于是有+1+2==0m m c c =，因为当12k n k ≤≤时，0n c =，所以12512k m m k =+<+<≤≤， 因此，26k ≥，即2k 的最小值为6．（18分） （文）[解]（1）设直线310x y -+=上点的坐标为00(,31)x x +，代入22x y -，得2222200031(31)8()88x y x x x -=-+=--+，（2分） 对于x ∈R ，22118x y -<≤，因此，直线31y x =+上的点都在(1,1)C 的外部．（4分）（2）设点N 的坐标为00(,)x y ，由题设22001x y -≥．（6分） 2||MN x =22001x y+≥，得||1MN =≥，（8分）对于0y∈R ，有6||MN ≥，（10分）因此，||MN （3）因为圆222x y r +=和双曲线(,)a b C 均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及x 、y 轴正半轴的情况．由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为⎝⎭．（12分）将x =，y =代入双曲线(,)a b C 方程，得2222122r r a b -=（*），（13分）又因为(,)a b C 过点(2,1)，所以22411a b-=，（15分）将22241b a b =+代入（*）式，得22283b r b =-．（17分）由222308r b r=>-，解得28r >．因此，r 的取值范围为)+∞．（18分） 23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（理）[解]（1）由题意，直线1y kx =+上点00(,1)x kx +满足221x y -<，即求不等式2200(1)1x kx -+<的解为一切实数时k 的取值范围．（1分） 对于不等式2200(1)220k x kx ---<，当1k =±时，不等式的解集不为一切实数，（2分）于是有22210,48(1)0,k k k ⎧-<⎪⎨∆=+-<⎪⎩解得||k 故k的取值范围为(,(2,)-∞+∞．（4分） （2）因为圆222x y r +=和双曲线(,)a b C 均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及x 、y 轴正半轴的情况．由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为⎝⎭．将2x=，2y =代入双曲线(,)a b C 方程，得2222122r r a b -=（*），（6分）又因为(,)a b C 过点(2,1)，所以22411a b-=，（7分）将22241b a b =+代入（*）式，得22283b r b =-．（9分）由222308r b r =>-，解得28r >．因此，r 的取值范围为)+∞．（10分） （3）由2||1xy mx =+，得1||||||y m x x =+．将1||||||y m x x =+代入22221x y a b -<，由题设，不等式22221||||1m x x x a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-<对任意非零实数x 均成立．（12分）其中22222222222221||||1[()2]m x x x a b a m x a m a b a b x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=---． 令2x t =，设22222()()2a f t b a m t a m t=---，（0t >）． 当2220b a m ->时，函数()f t 在(0,)+∞上单调递增，()1f t <不恒成立；（14分） 当2220b a m -<时，2222()a b a m t t---≤，函数()f t 的最大值为22a m -，因为0m >01<<；（16分） 当2220b a m -=时，22()201a f t a m t =--<<．（17分）综上，2220b a m -≤，解得b m a ≥．因此，m 的取值范围为,b a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（18分）（文） [解]（1）11k =-、22k =-（答案不唯一）．（4分）（2）由题设，22(1)n n a kb n k n n==+-+．（6分） 当21k =，2时，2()kf n n n =+均单调递增，不合题意，因此，23k ≥．当23k ≥时，对于2()kf n n n=+，当n ()f n单调递减；当n ()f n 单调递增．由题设，有123b b b >>，34b b <<．（8分）于是由23b b >及43b b >，可解得2612k <<． 因此，2k 的值为7，8，9，10，11．（10分）（3）因为2121212()()()n a n k n k n k k n k k =--=-++，且120k k <<，所以12122,,||0,.n n n n a n k or n k c a a k n k <>⎧=+=⎨⎩≤≤（12分）因为0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <），所以i 、12(,)j k k ∉．（14分）于是由212122[()]n c n k k n k k =-++，可得1222k k i j++=，进一步得120i k k j <<<<， 此时，i 的四个值为1，2，3，4，因此，1k 的最小值为5．（16分）又1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，不妨设+1+2==m m m S S S =，于是有+1+2==0m m c c =，因为当12k n k ≤≤时，0n c =，所以12512k m m k =+<+<≤≤， 因此，26k ≥，即2k 的最小值为6．（18分）。

1D 1CABCD 1A1B第6题图上海市黄浦区2021届高三下学期4月学业等级考调研测试二模试题数学【含答案】一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1．已知集合{}2|230A x x x =+->，{}||1|1B x x =-<，则A B = ．2．方程42log 13x +=的解x = ．3．已知某球体的表面积为36π，则该球体的体积是 ．4．已知函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 是奇函数，且()()2xg x f x =+，若(1)1f =-，则(1)f -= ．5.已知复数z 的共轭复数为z ，若i 34i z ⋅=-(其中i 为虚数单位)，则||z = .6．已知长方体1111ABCD A B C D -的棱13,4AB BC CC ===，则异面直线1AB 与1CD 所成角的大小是 .（结果用反三角函数值表示）7．已知随机事件A 和B 相互独立，若()0.36P AB =，()0.6P A =(A 表示事件A 的对立事件) ，则()P B = .1a 的取8.无穷等比数列{}*(N ,R)n n a n a ∈∈的前n 项和为n S ，且lim 2n n S →∞=，则首项值范围是 .9．已知(12)nx +的二项展开式中第三项的系数是112，则行列式21331121n-中元素1-的代数余子式的值是 .10．已知实数x y 、满足线性约束条件0,0,220,2360.x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最大值是 .11．某企业开展科技知识抢答抽奖活动，获奖号码从用01239、、、、、这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，并确定一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是3的倍数. 若某位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是 .(结果用数值作答)12．已知R a ∈，函数2|||2| , 0,()11, 02x a x x f x x ax a x ++-≥⎧⎪=⎨-++<⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知空间直线l 和平面α，则“直线l 在平面α外”是“直线l ∥平面α”的 ( ). (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )非充分非必要条件 14．某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下： 甲：21、22、23、25、28、29、30、30； 乙：14、16、23、26、28、30、33、38.则下列描述合理的是 ( ). (A )甲队员每场比赛得分的平均值大 (B )乙队员每场比赛得分的平均值大 (C )甲队员比赛成绩比较稳定 (D )乙队员比赛成绩比较稳定15．已知点(4,)P m 是直线13,:(R )5x t l t t y t =+⎧∈⎨=-+⎩，是参数和圆15cos ,:(R,)5sin x C y θθθθ=+⎧∈⎨=⎩是参数的公共点，过点P 作圆C 的切线1l ，则切线1l 的方程是( ). (A )34280x y --= (B )34280x y +-= (C )3130x y --= (D )3160x y --=16．已知x y 、是正实数，ABC ∆的三边长为3,4,5CA CB AB ===，点P 是边AB (P 与点A B 、不重合)上任一点，且||||CA CB CP x y CA CB =⋅+⋅. 若不等式23x y m x y +≥⋅⋅恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ）.(A)322m ≤(B) 6m ≤322m ≤3m ≤ 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．1D 1CABCD 1A1B17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱2AB BC ==，13AA =，点E 是棱AD 的中点. (1)联结CE ，求三棱锥1D EBC -的体积V ；(2)求直线1CD 和平面1D EB 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，且1b =，sin 3sin a A B =．(1)求正实数a 的值；(2)若函数()sin 2cos2f x a x x =+(R x ∈)，求函数()f x 的最小正周期、单调递增区间．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金y （单位：万元）随经济收益x （单位：万元）的增加而增加，且0y >，奖金金额不超过20万元.（1）请你为该企业构建一个y 关于x 的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；(答案不唯一)E（2）若该企业采用函数11, 50500,50119, 5001500 x x y a x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪+<≤⎪⎩作为奖励函数模型，试确定实数a 的取值范围.20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为(,0)A a ，焦距为2(0)c c >，左、右焦点分别为12F F 、，00(,)P x y 为椭圆C 上的任一点.(1)试写出向量12PF PF 、的坐标(用含00x y c 、、的字母表示)； (2)若12PF PF ⋅的最大值为3，最小值为2，求实数ab 、的值； (3)在满足(2)的条件下，若直线:l y kx m =+与椭圆C 交于M N 、两点(M N 、与椭圆的左右顶点不重合)，且以线段MN 为直径的圆经过点A ，求证：直线l 必经过定点，并求出定点的坐标.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 定义：符号{}123max ,,x x x 表示实数123x x x 、、中最大的一个数；{}123min ,,x x x 表示123x x x 、、中最小的一个数. 如，{}max 2,2,1.22-=，{}min 2,22-=-.设K 是一个给定的正整数(3K ≥)，数列{}n a 共有K 项，记{}121min ,,,,i i i A a a a a -=，{}121max ,,,,i i i K K B a a a a ++-=，i i i d A B =- (1,2,3,4,,1i K =-).由i d 的取值情况，我们可以得出一些有趣的结论.比如，若20d >，则23a a >.理由：20d >，则22A B >.又2223,a A B a ≥≥，于是，有23a a >.试解答下列问题：1D1C1A1B(1)若数列{}n a 的通项公式为1()(1,2,3,,)2n n a n K ==，求数列{}(1,2,3,,1)i d i K =-的通项公式；(2)若数列{}n a (1,2,,)n K =满足13,1i a d ==(1,2,,1)i K =-，求通项公式n a ；(3)试构造项数为K 的数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是等比数列，{}n c 是公差不为零的等差数列，且数列{}(1,2,,1)i d i K =-是单调递减数列，并说明理由.(答案不唯一)参考答案 2021.4说明：1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、填空题.1．(1,2) 2．4x = 3．36π 4．32- 5．5 6．7arccos 25 7．0.98．(0,2)(2,4) 9．5 10．62711．127 12．{}313--．二、选择题．13．()B 14．()C 15．()A 16．()A三、解答题．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解(1)1111ABCD A B C D -是长方体,棱2AB BC ==，13AA =，∴1AA ⊥平面ABCD ，即三棱锥1D EBC -的高等于1AA .z∴122EBC S BC AB ∆=⨯⨯=. ∴11123D EBC EBC V S AA -∆=⋅⋅=. (2)按如图所示建立空间直角坐标系，可得()1,0,0E ，()0,2,0C ,()2,2,0B ，()10,0,3D .()1,2,0EB = ，()11,0,3ED =-，()10,2,3D C =- 设平面1EBD 的法向量(),,n x y z = ，则10,0.n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,30.x y x z +=⎧⎨-+=⎩取6x =，得3,2.y z =-⎧⎨=⎩故平面1EBD 的一个法向量为()6,3,2n =-.设直线1CD 和平面1EBD 所成的角为θ ，则11121213sin 91137D C n D C nθ⋅===⨯⋅. 所以直线1CD 和平面1EBD 所成角的大小为13arcsin91． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解 (1)在ABC ∆中，1b =，sin 3sin a A B =， 根据正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===， 得 2223, 322a b a R R==．(0a > ) ∴ 3a = (2) 由(1)知，3a = ∴ ()sin 2cos2f x a x x =+()O D32cos 2 2sin 2(R).6x xx x π+⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭ ∴函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. 由222262k x k πππππ-≤+≤+(k Z ∈)，得(Z)36k x k k ππππ-≤≤+∈. ∴函数()f x 的递增区间是,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈. 19． （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解 (1) 答案不唯一. 构造出一个函数；说明是单调增函数； 函数的取值满足要求.如，11,[50,1500]100y x x =+∈，就是符合企业奖励的一个函数模型. 理由：根据一次函数的性质，易知，y 随x 增大而增大，即为增函数； 当50x =时，1350101002y =⨯+=>， 当1500x =时，1150011620100y =⨯+=<，即奖金金额0y >且不超过20万元. 故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型. (2) 当50500x ≤≤时，易知1150y x =+是增函数，且当50x =时，15012050y =⨯+=>，当500x =时，15001112050y =⨯+=<，即满足奖金0y >且不超过20万的要求； 故当50500x ≤≤时，1150y x =+符合企业奖励要求. 当5001500x <≤时，函数1()19af x x-=+是增函数，即对任意12(500,1500]x x ∈、，且12x x <时，211212()()(1)0x x f x f x a x x --=-<成立.故当且仅当10a -<，即1a >时，此时函数在(500,1500]上是增函数. 由1190500a-+≥，得9501a ≤；进一步可知，10a x -<，故1191920a y x-=+<<成立，即当19501a <≤时，函数符合奖金0y >且金额不超过20万的要求.依据函数模型11, 50500,50119, 5001500 x x y a x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪+<≤⎪⎩是符合企业的奖励要求，即此函数为增函数，于是，有1150011950500a -⨯+≤+，解得4001a ≤. 综上，所求实数a 的取值范围是14001a <≤.20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 解 (1)根据题意,可知12(,0)(,0)F c F c -、. 于是，100200(,) (,)PF c x y PF c x y =---=--、. (2) 由(1)可知，2221200PF PF x c y ⋅=-+.00(,)P x y 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，2200221x y a b ∴+=，则2222002b y b x a=-. 22221202(1)b PF PF x b c a∴⋅=-+-.依据椭圆的性质，可知0a x a -≤≤. ∴当且仅当0x a =±时，22222212max2()(1)b PF PF a b c a c a⋅=-+-=-，当且仅当00x =时，2222212min2()(1)0b PF PF b c b c a⋅=-⨯+-=-.又222,a b c -= 12PF PF ⋅的最大值为3，最小值为2，22223,2.a c b c ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩ 解得2,3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.证明 (3)由(2)知，椭圆22:143x y C +=. 又:l y kx m =+， 联立方程组221,43.x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=. 设1122(,) (,)M x y N x y 、是直线:l y kx m =+与椭圆C 的两个交点，于是，有122212222228,34412,34644(34)(412)0.km x x k m x x k k m k m ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪⎪∆=-+->⎪⎩以线段MN 为直径的圆经过点(2,0)A ，AM AN ∴⊥，即1122(2,)(2,)0x y x y -⋅-=，进一步得 221212(1)(2)()40k x x km x x m ++-+++=(1212()()y y kx m kx m =++)，化简得 2271640m km k ++=.解得2 27m k m k =-=-或 .(经检验，2,27m k m k =-=-都满足0∆>)当2m k =-时，直线l 过点(2,0)A 不满足M N 、与椭圆的左右顶点不重合要求，故2m k =-舍去.27m k ∴=-，即2:7l y kx k =-.∴直线l 必经过定点，且定点的坐标为2(,0)7.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 解(1)数列{}n a 的通项公式为1()(1,2,3,,)2nn a n K ==，考察指数函数1()(R)2x y x =∈的图像与性质，知数列{}n a 是单调递减数列,即1(1,2,,1)nn aa n K +>=-.{}1211min ,,,,()2i i i i A a a a a -∴==，{}11211max ,,,,()(1,2,,1)2i i i i K K B a a a a i K +++-===-.11111()()()222ii i i i i d A B ++∴=-=-=(1,2,,1)i K =-为所求的通项公式．(2) 数列{}n a (1,2,,)n K =满足13,1i a d ==(1,2,,1)i K =-，依据题意，由110d =>，知12a a >；由210d =>，知23a a >；依此类推，有1K K a a ->，即121K K a a a a ->>>>，于是，数列{}n a (1,2,,)n K =是单调递减数列.{}121min ,,,,i i i i A a a a a a -∴==，{}1211max ,,,,(1,2,,1)ii i K K i B a a a a a i K ++-+===-.1i d =，∴ 111, 1i i i i a a a a ++-=-=-即．∴数列{}n a 是首项13a =，公差为1-的等差数列．1(1)4(1,2,,)n a a n d n n K ∴=+-=-=．(3) 构造数列{}n b ：(01)n nba a =<<，数列{}n c ：(0)ncb n b =⋅<，1,2,,n K =，设n n n a b c =+，则数列{}n a 满足题设要求.理由如下： 构造数列{}n b ：(01)n nba a =<<，数列{}n c ：(0)ncb n b =⋅<，1,2,,n K = ，易知，数列{}n b 是等比数列，数列{}n c 是等差数列.由指数函数(R,01)x y a x a =∈<<的性质，知1n n a a +> ，即数列{}n b 是单调递减数列；由函数(R,0)y kx x k =∈<的性质，知数列{}n c 是单调递减数列.1(1)n n a bn a b n +∴+>++，即1(1,2,3,,1)n n a a n K +>=-. ∴数列{}n a 是单调递减数列.1(1)(1,2,3,,1)i i i i d a a a a b i K +∴=-=--=-.∴121(1)[(1)](1)0i i i i i d d a a b a a b a a ++-=-----=->，即数列{}(1,2,,1)i d i K =-是单调递减数列.∴数列{}n a 是满足条件的数列.。

上海市黄浦区2024届高三二模试题数 学（完成试卷时间：120分钟 总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1. 若集合[]1,4A =，[]2,5B =，则A B ⋃=_________.2. 抛物线24y x =的焦点到准线的距离是_________________. 3. 若(3cos ,sin )a θθ= ，(cos ,3sin )b θθ= ，其中R θ∈，则a b ⋅= _________.4. 若一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则此圆柱的侧面积为_________.5. 若251()ax x +展开式中4x 的系数是80-，则实数=a _________.6. 在ABC 中，3cos 5A =-，1AB =，5AC =，则BC =_________.7. 随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，若()2 2.50.36P X <≤=，则()|2|0.5P X ->=_________. 8. 若实系数一元二次方程20x ax b ++=有一个虚数根的模为4，则a 的取值范围是_________. 9. 某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________. 10. 已知数列{}n a 是给定的等差数列，其前n 项和为n S ，若9100a a <，且当0m m =与0n n =时，m nS S -{}()*,|30,m n x x x ∈≤∈N 取得最大值，则0mn -的值为_________.11. 如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半的圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ∠ODF ∠均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为_________百米.12. 在四面体PABC 中，2PD PA PB =+u u u r u u r u u r ，523PE PB PC =+u u r u u r u u u r ，23PF PC PA =-+ ，设四面体PABC 与四面体PDEF 体积分别为1V 、2V ，则21V V 的值为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（ ）A. 2515500300C C +B. 2515500300C C ⋅ C. 2020500300C C +D. 2020500300C C ⋅14. 函数212cos 4y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭（ ） A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π奇函数D. 最小正周期为2π的偶函数15. 设函数()2220,4023,04x ax x f x ax x x ⎧-++-≤≤=⎨-+<≤⎩，若()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,+∞B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 5,116⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭16. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T数的是的列”.对于命题：①存在“T 数列”{}n a ，使得数列{}n S 为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”.下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①是真命题，②是假命题D. ①是假命题，②是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. 设R a ∈，函数2()21x x af x +=-.（1）求a 的值，使得()y f x =为奇函数；（2）若(2)f a =，求满足()f x a >的实数x 的取值范围.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，点E 是棱PD 上的一点，//PB 平面AEC .（1）求证：点E 是棱PD 的中点；（2）若PA ⊥平面ABCD ，2AP =，AD =PC 与平面ABCD 所成角的正切值为13，求二面角D AE C --的大小.19. 某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格. 组别 [0,20)[20,40) [40,60) [60,80) [80,100]频数 926655347（1）该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放2个随机红包，不合格的发放1个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为20500.80.2⎛⎫⎪⎝⎭.若从这200个成年市民中随机选取1人，记X （单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求X 的分布及数学期望；（2）已知上述抽测中60岁以下人员合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.20. 如图，已知1Γ是中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，2Γ是以1Γ的焦点12,F F 为顶点的等轴双曲线，点54(,)33M 是1Γ与2Γ的一个交点，动点P 在2Γ的右支上且异于顶点.（1）求1Γ与2Γ的方程；（2）若直线2PF 的倾斜角是直线1PF 的倾斜角的2倍，求点P 的坐标；（3）设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，直线1PF 与1Γ相交于点,A B ，直线2PF 与1Γ相交于点,C D ，11||||AF BF ⋅m =，22||||CF DF n ⋅=，求证：121k k =且存在常数s 使得m n +sm n =.21. 若函数 ()y f x =的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数 ()y f x =的图象的“自公切线”，称这两点为函数 ()y f x =的图象的一对“同切点”.（1）分别判断函数1 ()sin f x x =与2 ()ln f x x =的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；（2）若R a ∈，求证：函数ππ()tan ((,))22g x x x a x =-+∈-有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；（3）设*N n ∈，ππ()tan π((,))22h x x x n x =-+∈-的零点为n x ，ππ(,)22t ∈-，求证：“存在(2π,)s ∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“t 是数列{}n x 中的项”.参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满的分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1. 若集合[]1,4A =，[]2,5B =，则A B ⋃=_________.【答案】[]1,5 【解析】【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合[]1,4A =，[]2,5B =，则A B ⋃=[]1,5. 故答案为：[]1,5.2. 抛物线24y x =的焦点到准线的距离是_________________. 【答案】2 【解析】 【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2.3. 若(3cos ,sin )a θθ= ，(cos ,3sin )b θθ= ，其中R θ∈，则a b ⋅=_________.【答案】3 【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】223cos 3sin 3a b θθ⋅=+=， 故答案为：34. 若一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则此圆柱的侧面积为_________. 【答案】12π 【解析】【分析】将圆柱的侧面展开，得到矩形的两边长，求出面积即可.【详解】将圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一边为3，另一边为2π24π⨯=， 故侧面积为34π12π⨯=. 故答案为：12π5. 若251()ax x+的展开式中4x 的系数是80-，则实数=a _________. 【答案】2- 【解析】【分析】根据通项公式得到1034r -=，求出2r =，从而得到方程，求出2a =-. 【详解】通项公式为51025103155C C r r rr r r rr T a xx a x -----+=⋅=，令1034r -=，解得2r =，故235C 80a =-，解得2a =-. 故答案为：2-6. 在ABC 中，3cos 5A =-，1AB =，5AC =，则BC =_________.【答案】 【解析】【分析】根据余弦定理建立方程，可得答案.【详解】在ABC 中，根据余弦定理可得：222cos 2+-=⋅⋅AB AC BC A AB AC ，设()0BC x x =>，则231255215x +--=⨯⨯，整理可得232x =，解得x =故BC =.故答案为：7. 随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，若()2 2.50.36P X <≤=，则()|2|0.5P X ->=_________. 【答案】0.28##725【解析】【分析】根据正态曲线的性质计算可得.【详解】因为2(2,)X N σ 且()2 2.50.36P X <≤=， 所以()()1.522 2.50.36P X P X ≤<=<≤=，则()()1|2|0.512 2.520.36082.2P P X X ≤->=-<=-⨯=. 故答案为：0.288. 若实系数一元二次方程20x ax b ++=有一个虚数根的模为4，则a 的取值范围是_________. 【答案】(8,8)-【解析】【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为i m n +和i m n -，则2216m n +=，又()()22i i 16b m n m n m n =+-=+=，再由Δ0<可求a 的取值范围.【详解】设实系数一元二次方程20x ax b ++=的两个虚数根为i m n +和i m n -， 则2216m n +=.所以()()22i i 16b m n m n m n =+-=+=.由Δ0<⇒24160a -⨯<⇒88a -<<. 故答案为：(8,8)-9. 某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________. 【答案】35##0.6 【解析】【分析】求出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的场数和抽签总共的可能场数，即可得出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率. 【详解】由题意，若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有1333C A 332118=⨯⨯⨯=种， 若甲第二个上场，乙则可以第4,5个上场，有1323C A 232112=⨯⨯⨯=种， 若甲第三个上场，乙则可以第1,5个上场，有1323C A 232112=⨯⨯⨯=种， 若甲第四个上场，乙则可以第1,2个上场，有1323C A 232112=⨯⨯⨯=种， 若甲第五个上场，乙则可以第1,2,3个上场，有1333C A 332118=⨯⨯⨯=种， 共有181212121872++++=种，而所有的上场顺序有5554321120A =⨯⨯⨯⨯=种， ∴甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：7231205P ==, 故答案为：35.10. 已知数列{}n a 是给定的等差数列，其前n 项和为n S ，若9100a a <，且当0m m =与0n n =时，m nS S -{}()*,|30,m n x x x ∈≤∈N 取得最大值，则00mn -的值为_________.【答案】21 【解析】【分析】不妨设数列{}n a 的公差大于零，不妨取m n >，则1mm n ii n S S a=+-=∑，设3030910ii k S S a ==-=∑，再分9,30n m >=和9,30n m <=两种情况讨论，可得出0n 的值，再讨论30m <，即可求出0m ，即可得解.【详解】不妨设数列{}n a 的公差大于零， 由于9100a a <，得9100,0a a <>， 且9n ≤时，0n a <，10n ≥时，0n a >， 不妨取m n >，则1mm n ii n S S a=+-=∑，设3030910ii k S S a ==-=∑，若9,30n m >=，则030301n ii n S S ak =+-≤<∑，此时式子取不了最大值；若9,30n m <=，则09301n ii n S S a k =+-≤+∑，又9i ≤时，0i a <， 因为09301n ii n S S a k k =+-≤+<∑，此时式子取不了最大值；因此这就说明09n n ==必成立. 若30m <，则0910m m ii S S ak =-≤<∑，这也就说明030m <不成立，因此030m =，所以0021m n -=. 故答案为：21.11. 如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ∠ODF ∠均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为_________百米.【解析】【分析】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，借助相似三角形性质用x 表示CE ，结合对称性求出步道长度关于x 的函数关系，利用导数求出最大值即得.【详解】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，显然90AEB ∠= ，由点O 为线段,AB CD 的中点，得两个半圆步道及直道,CE DF 都关于过点O 垂直于AB 的直线对称， 则11,22AC x BC x =-=+，又CE AB ⊥，则Rt ACE ∽Rt ECB V ，有2CE AC BC =⋅，即有DF CE ==，因此步道长()ππf x x x =+=+，102x <<，求导得()πf x '=+，由()0f x '=，得x =当0x <<时，()0f x '>，函数()f x 12x <<时，()0f x '<，函数()f x 递减，因此当x =max ()f x ==，.12. 在四面体PABC 中，2PD PA PB =+u u u r u u r u u r ，523PE PB PC =+u u r u u r u u u r，23PF PC PA =-+，设四面体PABC 与四面体PDEF 的体积分别为1V 、2V ，则21V V 的值为_________. 【答案】720##0.35 【解析】【分析】根据空间向量的加法与数乘运算，可得点的位置并作图，利用三角形的等积变换可得底面的面积比，可得答案.【详解】由2PD PA PB =+u u u r u u r u u r，2PD PA PB PA PA =+-+ ，()2PD PA PB PA -=- ，则2AD AB = ； 由523PE PB PC =+u u r u u r u u u r，52333PE PB PC PB PB =+-+ ，()()53PE PB PC PB -=- ，则53BE BC = ；由23PF PC PA =-+ ，2333PF PC PA PC PC =-+-+，()()23PF PC PA PC -=- ，则23CF CA = ；显然四面体PABC 与四面体PDEF 共顶点且底面共面，则其高相同可设为h ， 结合题意可作图如下：在底面连接FB ，作图如下：由23CF CA = ，即23AC FC =，则23ABC FBC S AC S FC == ，易知13FAB FBCS S = ； 由2AD AB = ，即12BD BA =，则12DBF ABF S BD S BA == ，易知16DBF FBC S S = ； 由53BE BC = ，即25EC BC =，则25ECF BCFS EC S BC == ； 由12BD BA =，35BE BC =，则1332510DEB ABC S S =⨯= ，易知3211035DBE FBC S S =⨯= ； 7130ECF FDE DBF DBE FBC FBC BCF FBC S S S S S S S S =---= ，73730220FDE ABC S S =⨯= ； 211731203DEF ABC hS V V hS == . 故答案为：720. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（ ）A. 2515500300C C +B. 2515500300C C ⋅C. 2020500300C C +D. 2020500300C C ⋅ 【答案】B【解析】 【分析】由分层抽样先求出初中部和高中部应抽取的学生，再由组合数公式和分步计数原理即可得出答案.【详解】该校初中部和高中部分别有500和300名学生， 所以初中部应抽取50054040258008⨯=⨯=名学生， 高中部应抽取30034040158008⨯=⨯=名学生， 所以不同的抽样结果的种数为2515500300C C ⋅.故选：B.14. 函数212cos 4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ） A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数【答案】A【解析】 【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简函数，再利用三角函数的周期公式以及奇偶函数的定义即可求解. 【详解】2212cos 2cos 1cos 2sin 2442y x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为()()()sin 2sin 2f x x x f x -=--==-，所以为奇函数， 周期22T ππ==， 所以此函数最小正周期为π的奇函数，故选：A.15. 设函数()2220,4023,04x ax x f x ax x x ⎧-++-≤≤=⎨-+<≤⎩，若()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,+∞ B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 5,116⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】分40x -≤≤和04x <≤两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.【详解】当40x -≤≤时，2200x ax -++>恒成立，即220ax x >-恒成立，当0x =时，上式成立；当40x -≤<，20a x x <-，明显函数20y x x =-在[)4,0-上单调递增， 所以min 20144y ---==，所以1a <； 当04x <≤时，2230ax x -+>恒成立，即232a x x >-恒成立， 令11,4t x ∞⎡⎫=∈+⎪⎢⎣⎭，则223a t t >-在1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立， 又223y t t =-开口向下，对称轴为11,34t ∞⎡⎫=∈+⎪⎢⎣⎭， 所以223y t t =-的最大值为211123333⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭， 所以13a >， 综上：实数a 的取值范围是1,13⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D.16. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T 数列”.对于命题：①存在“T 数列”{}n a ，使得数列{}n S 为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”.下列判断正确的是（ ）A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①真命题，②是假命题D. ①是假命题，②是真命题【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合“T 数列”的定义，举出实例说明①②，即可得出答案.【详解】对于命题①，对于数列{}n a ， 令21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，则11,12,2n n n S n -=⎧=⎨≥⎩， 是数列{}n S 为公比不为1的等比数列，当1n =时，11S =是数列{}n a 中的项，当2n ≥时，12n n S -=是数列{}n a 中的项，所以对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，故命题①正确；对于命题②，等差数列{}n a ，令1a d =-，则()()112n a a n d n d =+-=-，则()()()123222n n n d n d n a a n n S d ⎡⎤-+-+-⎣⎦===，因21n -≥-且2Z n -∈， ()2313912228n n n -⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭，且()3N*,Z 2n n n -∈∈， 所以对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，所以对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”， 故命题②正确；故选：A .三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. 设R a ∈，函数2()21x x a f x +=-. （1）求a 的值，使得()y f x =为奇函数；（2）若(2)f a =，求满足()f x a >的实数x 的取值范围.【答案】（1）1a =（2）(0,2)【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可得(1)(1)f f -=-，代入解方程即可得出答案； （2）由(2)f a =，可得2a =，则22221x x +>-，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案. 为小问1详解】由()f x 为奇函数，可知(1)(1)f f -=-，即(12)(2)a a -+=-+，解得1a =，当1a =时，212112(),()()212112x x xx x x f x f x f x --+++=-===----对一切非零实数x 恒成立， 故1a =时，()y f x =为奇函数.【小问2详解】由(2)f a =，可得43a a +=，解得2a =， 所以2224()201242121x x x x x f x a +->⇔>⇔<⇔<<-- 解得：02x <<，所以满足()f x a >的实数x 的取值范围是(0,2).18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，点E 是棱PD 上的一点，//PB 平面AEC .（1）求证：点E 是棱PD 的中点；（2）若PA ⊥平面ABCD ，2AP =，AD =PC 与平面ABCD 所成角的正切值为13，求二面角D AE C --的大小.【答案】（1）证明见解析（2）arctan【解析】【分析】（1）作出辅助线，由线面平行得到线线平行，结合点F 是BD 的中点，得到证明； （2）方法一：作出辅助线，得到PCA ∠就是PC 与平面ABCD所成角，从而根据正切值得到AB =，证明出线面垂直，得到CGD ∠是二面角D AE C --的平面角，求出各边长，从而得到arctan CGD ∠=；方法二：作出辅助线，得到PCA ∠就是PC 与平面ABCD 所成角，建立空间直角坐标系，得到平面的法向【量，利用法向量夹角余弦值得到二面角的大小.【小问1详解】连接BD ，它与AC 交于点F ，连接EF ，四边形ABCD 为矩形，F ∴为BD 的中点，//PB 平面AEC ，平面PBD 经过PB 且与平面AEC 交于EF ，//PB EF ∴，又点F 是BD 的中点，∴点E 是棱PD 的中点.【小问2详解】方法一：∵PA ⊥平面ABCD ，,,AC AD CD ⊂平面ABCD ，,,PA AC PA AD PA CD ∴⊥⊥⊥且PCA ∠就是PC 与平面ABCD 所成的角，故1tan 3PA PCA AC ∠===，解得AB =.四边形ABCD 为矩形，AD CD ∴⊥，又PA CD ⊥，PA 与AD 是平面PAD 内的两相交直线，CD \^平面PAD .在平面PAD 内作DG AE ⊥，垂足为G ，连接GF ，则CG AE ⊥，CGD ∴∠是二面角D AE C --的平面角.在直角三角形PAD 中，2,PA AD == ，点E 是PD 的中点，π6EAD ADE ∴∠=∠=，且πsin 6DG AD ==， CD ⊥ 平面,PAD DG ⊂平面PAD ，CD DG ∴⊥，故tan DC CGD DG ∠===，所以arctan CGD ∠=， 故二面角D AE C --的大小为arctan .方法二：∵PA ⊥平面ABCD ，,,AC AD CD ⊂平面ABCD ，,,PA AC PA AD PA CD ∴⊥⊥⊥且PCA ∠就是PC 与平面ABCD 所成的角，又 四边形ABCD 矩形，AB AD ∴⊥，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，设1,(,,1)AB t n x y == 是平面AEC 的一个法向量，二面角D AE C --的大小为θ，由1tan 3PA PCA AC ∠===，可得t =，为则0),AC AE == ，故()()11(,,1)0(,,1)10n AC x y n AE x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩ ，解得x =且y =，所以1n ⎫=⎪⎭， 又2(1,0,0)n = 是平面AED 的一个法向量，且θ为锐角，故1cos 3θ，可得1arccos 3θ=. 所以二面角D AE C --的大小为1arccos 3.19. 某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格. 组别[0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 频数9 26 65 53 47（1）该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放2个随机红包，不合格的发放1个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为20500.80.2⎛⎫ ⎪⎝⎭.若从这200个成年市民中随机选取1人，记X （单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求X 的分布及数学期望；（2）已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.【答案】（1）分布列见解析，39（2）36%，98:27【解析】【分析】（1）依题意，X 的所有可能取值为20,50,40,70,100，利用独立事件的概率乘法公式求解相应的概率，进而得到X 的分布，再结合期望公式求解即可；（2）利用全概率公式和条件概率公式求解.【小问1详解】随机抽取的200个成年市民的成绩合格率为534750%200+=， 21(100)0.20.022P X ==⨯=， 121(70)C 0.20.80.162P X⨯==⨯⨯=， 1(50)0.20.12P X==⨯=， 21(40)0.80.322P X==⨯=， 1(20)0.80.42P X ==⨯=， 所以X 的分布为 X20 40 50 70 100 P 0.4 0.32 0.1 0.16 0.02()1000.02700.16500.1400.32200.439E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即X 的数学期望为39；【小问2详解】设“从该社区成年市区随机抽取1人，此人年龄在60岁以下”为事件A ，“从该社区成年市民随机抽取1人，此人安全知识合格”为事件B ，则()70%,()30%P A P A ==，()56%,()50%P BA PB ≈≈∣， 由()()()(()P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅∣∣，可得50%70%56%30%(P B A ≈⋅+⋅∣，所以()36%P B A ≈∣，所求比值()()()()70%56%98()()()()30%36%27P A B P A P B A P B P A B P B P A P B A ⋅⋅==⋅≈=⋅⋅∣∣∣∣. 估计60岁及以上人员的合格率约为36%，成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比约为98:27.20. 如图，已知1Γ是中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，2Γ是以1Γ的焦点12,F F 为顶点的等轴双曲线，点54(,)33M 是1Γ与2Γ的一个交点，动点P 在2Γ的右支上且异于顶点.（1）求1Γ与2Γ的方程；（2）若直线2PF 的倾斜角是直线1PF 的倾斜角的2倍，求点P 的坐标； （3）设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，直线1PF 与1Γ相交于点,A B ，直线2PF 与1Γ相交于点,C D ，11||||AF BF ⋅m =，22||||CF DF n ⋅=，求证：121k k =且存在常数s 使得m n +sm n =.【答案】（1）22154x y +=与221x y -= （2）（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）设12ΓΓ、的方程分别为22221(0)x y a b a b +=>>与222(0)x y c c -=>，将点M 的坐标代入2Γ的方程可求出c ，利用椭圆的定义可求出a 的值，从而可得b ，进而可得12ΓΓ、的方程； （2）分点P 在第四象限和第一象限时两种情况讨论求出点P 的坐标； （3）利用两点的斜率公式及点P 在2Γ上即可证明211k k =，设1PF 的方程为(1)y k x =+，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示,m n ，化简11m n+为常数，即可得出答案. 【小问1详解】 设12ΓΓ、的方程分别为22221(0)x y a b a b+=>>与222(0)x y c c -=>， 由225433⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2c ，得1c =，故12,F F 坐标分别为(1,0),(1,0)-，的所以122a MF MF =+==故2a b ===， 故1Γ与2Γ的方程分别为22154x y +=与221x y -=.【小问2详解】当点P 在第四象限时，直线12,PF PF 的倾斜角都为钝角，不适合题意； 当P 在第一象限时，由直线2PF 的倾斜角是直线1PF 的倾斜角的2倍， 可知2121F F P F PF ∠=∠，故2122PF F F ==，设P 点坐标为(,)x y ，可知22(1)4x y -+=且221(0,0)x y x y -=>>，解得2,x y ==，故点P的坐标为，【小问3详解】设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，点P ，A ，B 的坐标分别为()()()001122,,,,,x y x y x y ，则22220000001222000011,11111y y y x x y k k x x x x --==⋅===+---， 1PF 的方程为(1)y k x =+，代入22154x y +=可得()222458160k y ky k +--=，故21221645k y y k-=+，所以()21111222111611145k m AF BF y y k k +⎛⎫=⋅=+= ⎪+⎝⎭， 同理可得()222216145k n k+=+，又211kk =，故()212116145k n k +=+， 故()()22112211454511161161k k m n k k +++=+++()()212191916161k k +==+，即916m n mn +=，所以存在s ，使得m n smn +=. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21. 若函数 ()y f x =的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数 ()y f x =的图象的“自公切线”，称这两点为函数 ()y f x =的图象的一对“同切点”.（1）分别判断函数1 ()sin f x x =与2 ()ln f x x =的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；（2）若R a ∈，求证：函数ππ()tan ((,))22g x x x a x =-+∈-有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；（3）设*N n ∈，ππ()tan π((,))22h x x x n x =-+∈-的零点为n x ，ππ(,)22t ∈-，求证：“存在(2π,)s ∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“t 是数列{}n x 中的项”. 【答案】（1）函数1()f x 的图象存在“自公切线”； 函数2()f x 的图象不存在“自公切线”，理由见解析；（2）证明见解析； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由直线1y =切sin y x =的图象于点π5π(,1),(,1)22判断1 ()sin f x x =，由导数确定意见性判断2 ()ln f x x =.（2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几何意义求出切线方程，证明112sin 2x x =在π(0,2上无解即得.（3）求出在点(,sin )s s 与(,sin )t t 处的切线方程，利用（2）的结论，结合诱导公式，及充要条件的证明方法推理即得. 【小问1详解】显然直线1y =切sin y x =的图象于点π5π(,1),(,1)22， 直线1y =是sin y x =的图象的一条“自公切线”，因此函数1()f x 的图象存在“自公切线”； 对于221()ln ,()(0)f x x f x x x'==>是严格减函数，则2()f x 在不同点处的切线斜率不同， 所以函数2()f x 的图象不存在“自公切线”. 【小问2详解】由22221sin ()1tan 0cos cos xg x x x x'=-==≥恒成立，且仅当0x =时()0g x '=， 则()y g x =是ππ(,22-上的严格增函数，可得它至多有一个零点， 令1ππ()sin ()cos ([,])22g x x x a x x =--∈-， 由y =1()g x 的图象是连续曲线，且11ππ((1022g g -=-<，因此1()g x 在ππ(,22-上存在零点，即在ππ(,)22-上1()()cos g x g x x =存在零点，所以()g x 有唯一零点；假设()g x 的图象存在“自公切线”，则存在12ππ,(,)22x x ∈-且12x x ≠， 使得()g x 的图象在1x x =与2x x =处的切线重合，即2212tan tan x x =，有21x x =-，不妨设1π(0,)2x ∈，切线211111:tan tan ()l y x x a x x x -+-=⋅-，222222:tan tan ()l y x x a x x x -+-=⋅-，有相同截距，即2211112222tan tan tan tan x x x x a x x x x a -+-+=-+-+，而21x x =-，则2211111111tan tan tan tan x x x x x x x x -+-=-+，即2111(1tan )tan x x x +=，则有111sin cos x x x =，即112sin 2x x =，令()sin ,0πx x x x ϕ=-<<，()1cos 0x x ϕ'=->， 即函数()ϕx 在(0,π)上单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，因此当π()0,x ∈时，sin x x >， 即112sin 2x x =在π(0,)2上无解， 所以()g x 的图象不存在“自公切线”. 【小问3详解】对给定的*n ∈N ，由（2）知()h x 有唯一零点，即n x 唯一确定，又()h x 在点(,sin )t t 处的切线方程为sin cos ()y t t x t -=-，即cos sin cos y x t t t t =+-，()h x 在点(,sin )s s 处的切线方程为cos sin cos y x s s s s =+-，若存在(2,)s π∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =图象的一对“同切点”，则()cos cos sin cos sin cos s t s t s s s t t t⎧=≠⎨-=-⎩，又ππ(,22t ∈-，则cos 0t >，所以()cos cos tan tan s t s t s s t t⎧=≠⎨-=-⎩，cos cos s t =且tan tan s t =-，从而存在*n ∈N ，使得2πs n t =-，代入tan tan s s t t -=-，可得tan π0t t n -+=，则n x t =，即t 是数列{}n x 中的项； 反之，若t 是数列{}n x 中的项，则存在*n ∈N ，使得n x t =，即tan π0t t n -+=， 由（2）中的()g x 严格增，可知()h x 严格增，又(0)π0h n =>且()0h t =，可知0t <， 令2πs n t =-，则(2π,)s ∈+∞且cos cos ,tan (tan )2(tan π)0s t s s t t t t n =---=--=， 即tan tan s s t t -=-，可得sin cos sin cos s s s t t t -=-，所以存在(2π,)s ∈+∞， 使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =的图象的一对“同切点”.所以存在(2π,)s ∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =图象的一对“同切点”的充要条件是“t 是数列{}n x 中的项”.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

高考预测（二模）数学（理）试卷2014年4月1. 已知全集{}U=1,2,3,4,5，若集合{}A=2,3，则UA =__{}1,4,5___2. 双曲线221916x y -=的渐近线方程为 43y x =± . 3.函数()31cos 4sin x x x f =的最大值为__5_____4.已知直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，若12l l ⊥，则a =13. 5.函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()11y f x -=+的图像一定过点___(2,3)-___.6. 已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项的和n S =__23522n n -___.7.π，则球的体积为 __323π__ ． 8.(理) 一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为_____0.98 9.设a R ∈，8(1)ax -的二项展开式中含3x项的系数为7，则2lim()n n a a a →∞+++=__13-__．10.(理)在平面直角坐标系xoy 中,若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆3cos C :2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点,则常数a =_3__.11.(理)已知随机变量ξ的分布列如右表，若3E ξ=，则D ξ=__1 ．12.在ABC ∆中, 角B 所对的边长6b =,ABC ∆的面积为15,外接圆半径R 5=，则ABC ∆的周长为_____6+13．抛物线24(0)y mx m =>的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点A(,0)m -，则PF PA的最小值为 22 .14.(理)已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3，值域为集合{}1,2,3,4的非空真子集，设点()A 1,(1)f ，()B 2,(2)f ，()C 3,(3)f ，ABC ∆的外接圆圆心为M ，且MA MC MB()R λλ+=∈，则满足条件的函数()f x 有＿12＿个．15. “1x >”是“11x<”的( A ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16. （理）已知z x yi =+，,x y R ∈， i 是虚数单位.若复数+1zi i+是实数，则z 的最小值为( D )（A ）0 （B ）52（C ） 5 （D ）2 17.能够把椭圆2214x y 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是．．椭圆的“可分函数”为（ D ） （A ）3()4f x x x （B ）5()ln5x f x x -=+（C ）()arctan 4x f x =（D ）()x xf x e e 18. （理）方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为（ B ） （A ）2（B ）4（C ）6（D ）819．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分. （理）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，4ABC π∠=，D 、M 、N 分别是1CC 、11A B 、BC 的中点.（1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小； （2）求点M 到平面ADN 之间的距离. 解：（1）设AB 的中点为E ，连接EN ，则//EN AC ，且12EN AC =，所以MNE ∠或其补角即为异面直线MN 与AC 所成的角。

上海市黄浦区2024届高三二模数学试题2024年4月（完成试卷时间：120分钟总分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.若集合[]1,4A =，[]2,5B =，则A B ⋃=_________.【答案】[]1,5【解析】【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合[]1,4A =，[]2,5B =，则A B ⋃=[]1,5.故答案为：[]1,5.2.抛物线24y x =的焦点到准线的距离是_________________.【答案】2【解析】【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2.3.若(3cos ,sin )a θθ= ，(cos ,3sin )b θθ= ，其中R θ∈，则a b ⋅=_________.【答案】3【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】223cos 3sin 3a b θθ⋅=+=，故答案为：34.若一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则此圆柱的侧面积为_________.【答案】12π【解析】【分析】将圆柱的侧面展开，得到矩形的两边长，求出面积即可.【详解】将圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一边为3，另一边为2π24π⨯=，故侧面积为34π12π⨯=.故答案为：12π5.若251()ax x+的展开式中4x 的系数是80-，则实数=a _________.【答案】2-【解析】【分析】根据通项公式得到1034r -=，求出2r =，从而得到方程，求出2a =-.【详解】通项公式为51025103155C C rr rr r r rr T axx a x -----+=⋅=，令1034r -=，解得2r =，故235C 80a =-，解得2a =-.故答案为：2-6.在ABC 中，3cos 5A =-，1AB =，5AC =，则BC =_________.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理建立方程，可得答案.【详解】在ABC 中，根据余弦定理可得：222cos 2+-=⋅⋅AB AC BC A AB AC ，设()0BC x x =>，则231255215x +--=⨯⨯，整理可得232x =，解得x =故BC =.故答案为：7.随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，若()2 2.50.36P X <≤=，则()|2|0.5P X ->=_________.【答案】0.28##725【解析】【分析】根据正态曲线的性质计算可得.【详解】因为2(2,)X N σ 且()2 2.50.36P X <≤=，所以()()1.522 2.50.36P X P X ≤<=<≤=，则()()1|2|0.512 2.520.36082.2P P X X ≤->=-<=-⨯=.故答案为：0.288.若实系数一元二次方程20x ax b ++=有一个虚数根的模为4，则a 的取值范围是_________.【答案】(8,8)-【解析】【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为i m n +和i m n -，则2216m n +=，又()()22i i 16b m n m n m n =+-=+=，再由Δ0<可求a 的取值范围.【详解】设实系数一元二次方程20x ax b ++=的两个虚数根为i m n +和i m n -，则2216m n +=.所以()()22i i 16b m n m n m n =+-=+=.由Δ0<⇒24160a -⨯<⇒88a -<<.故答案为：(8,8)-9.某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________.【答案】35##0.6【解析】【分析】求出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的场数和抽签总共的可能场数，即可得出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率.【详解】由题意，若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有1333C A 332118=⨯⨯⨯=种，若甲第二个上场，乙则可以第4,5个上场，有1323C A 232112=⨯⨯⨯=种，若甲第三个上场，乙则可以第1,5个上场，有1323C A 232112=⨯⨯⨯=种，若甲第四个上场，乙则可以第1,2个上场，有1323C A 232112=⨯⨯⨯=种，若甲第五个上场，乙则可以第1,2,3个上场，有1333C A 332118=⨯⨯⨯=种，共有181212121872++++=种，而所有的上场顺序有5554321120A =⨯⨯⨯⨯=种，∴甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：7231205P ==,故答案为：35.10.已知数列{}n a 是给定的等差数列，其前n 项和为n S ，若9100a a <，且当0m m =与0n n =时，m n S S -{}()*,|30,m n x x x ∈≤∈N 取得最大值，则00mn -的值为_________.【答案】21【解析】【分析】不妨设数列{}n a 的公差大于零，不妨取m n >，则1mm n ii n S S a=+-=∑，设3030910i i k S S a ==-=∑，再分9,30n m >=和9,30n m <=两种情况讨论，可得出0n 的值，再讨论30m <，即可求出0m ，即可得解.【详解】不妨设数列{}n a 的公差大于零，由于9100a a <，得9100,0a a <>，且9n ≤时，0n a <，10n ≥时，0n a >，不妨取m n >，则1mm n ii n S S a=+-=∑，设3030910ii k S S a ==-=∑，若9,30n m >=，则030301n ii n S S ak =+-≤<∑，此时式子取不了最大值；若9,30n m <=，则09301n ii n S S a k =+-≤+∑，又9i ≤时，0i a <，因为09301n ii n S S a k k =+-≤+<∑，此时式子取不了最大值；因此这就说明09n n ==必成立.若30m <，则0910m m ii S S ak =-≤<∑，这也就说明030m <不成立，因此030m =，所以0021m n -=.故答案为：21.11.如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ∠ODF ∠均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为_________百米.【答案】2【解析】【分析】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，借助相似三角形性质用x 表示CE ，结合对称性求出步道长度关于x 的函数关系，利用导数求出最大值即得.【详解】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，显然90AEB ∠= ，由点O 为线段,AB CD 的中点，得两个半圆步道及直道,CE DF 都关于过点O 垂直于AB 的直线对称，则11,22AC x BC x =-=+，又CE AB ⊥，则Rt ACE ∽Rt ECB V ，有2CE AC BC =⋅，即有DF CE ==，因此步道长()ππf x x x ==，102x <<，求导得24()π14x f x x'=-+-，由()0f x '=，得2π2π4x =+，当2π02π4x <<+时，()0f x '>，函数()f x 递增，当2π122π4x <<+时，()0f x '<，函数()f x 递减，因此当2π2π4x =+时，222max 22πππ4()14()22π42π4f x +=-+=++，所以步道的最大长度为2π42+百米.故答案为：2π42+12.在四面体PABC 中，2PD PA PB =+uuu r uu r uur，523PE PB PC =+uur uur uuu r ，23PF PC PA =-+ ，设四面体PABC 与四面体PDEF 的体积分别为1V 、2V ，则21V V 的值为_________.【答案】720##0.35【解析】【分析】根据空间向量的加法与数乘运算，可得点的位置并作图，利用三角形的等积变换可得底面的面积比，可得答案.【详解】由2PD PA PB =+uuu r uu r uur，2PD PA PB PA PA =+-+ ，()2PD PA PB PA -=- ，则2AD AB = ；由523PE PB PC =+uur uur uuu r，52333PE PB PC PB PB =+-+ ，()()53PE PB PC PB -=- ，则53BE BC =；由23PF PC PA =-+ ，2333PF PC PA PC PC =-+-+，()()23PF PC PA PC -=- ，则23CF CA =；显然四面体PABC 与四面体PDEF 共顶点且底面共面，则其高相同可设为h ，结合题意可作图如下：在底面连接FB，作图如下：由23CF CA = ，即23AC FC =，则23ABC FBC S AC S FC == ，易知13FAB FBC S S = ；由2AD AB =，即12BD BA =，则12DBF ABF S BD S BA == ，易知16DBF FBC S S = ；由53BE BC = ，即25EC BC =，则25ECF BCF S EC S BC == ；由12BD BA =，35BE BC =，则1332510DEB ABC S S =⨯= ，易知3211035DBE FBC S S =⨯= ；7130ECF FDE DBF DBE FBC FBC BCF FBC S S S S S S S S =---= ，73730220FDE ABC S S =⨯= ；211731203DEF ABC hS V V hS == .故答案为：720.二、选择题（本大题共有4题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（）A.2515500300C C + B.2515500300C C ⋅C.2020500300C C + D.2020500300C C ⋅【答案】B 【解析】【分析】由分层抽样先求出初中部和高中部应抽取的学生，再由组合数公式和分步计数原理即可得出答案.【详解】该校初中部和高中部分别有500和300名学生，所以初中部应抽取50054040258008⨯=⨯=名学生，高中部应抽取30034040158008⨯=⨯=名学生，所以不同的抽样结果的种数为2515500300C C ⋅.故选：B.14.函数212cos 4y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭是（）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数【答案】A 【解析】【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简函数，再利用三角函数的周期公式以及奇偶函数的定义即可求解.【详解】2212cos 2cos 1cos 2sin 2442y x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()()()sin 2sin 2f x x x f x -=--==-，所以为奇函数，周期22T ππ==，所以此函数最小正周期为π的奇函数，故选：A.15.设函数()2220,4023,04x ax x f x ax x x ⎧-++-≤≤=⎨-+<≤⎩，若()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.()1,+∞ B.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C.5,116⎛⎫⎪⎝⎭ D.1,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】分40x -≤≤和04x <≤两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.【详解】当40x -≤≤时，2200x ax -++>恒成立，即220ax x >-恒成立，当0x =时，上式成立；当40x -≤<，20a x x <-，明显函数20y x x=-在[)4,0-上单调递增，所以min 20144y ---==，所以1a <；当04x <≤时，2230ax x -+>恒成立，即232a x x >-恒成立，令11,4t x ∞⎡⎫=∈+⎪⎢⎣⎭，则223a t t >-在1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，又223y t t =-开口向下，对称轴为11,34t ∞⎡⎫=∈+⎪⎢⎣⎭，所以223y t t =-的最大值为211123333⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以13a >，综上：实数a 的取值范围是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：D.16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T 数列”.对于命题：①存在“T 数列”{}n a ，使得数列{}n S 为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”.下列判断正确的是（）A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①是真命题，②是假命题D.①是假命题，②是真命题【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合“T 数列”的定义，举出实例说明①②，即可得出答案.【详解】对于命题①，对于数列{}n a ，令21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，则11,12,2n n n S n -=⎧=⎨≥⎩，数列{}n S 为公比不为1的等比数列，当1n =时，11S =是数列{}n a 中的项，当2n ≥时，12n n S -=是数列{}n a 中的项，所以对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，故命题①正确；对于命题②，等差数列{}n a ，令1a d =-，则()()112n a a n d n d =+-=-，则()()()123222n n n d n d n a a n n S d ⎡⎤-+-+-⎣⎦===，因为21n -≥-且2Z n -∈，()2313912228n n n -⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭，且()3N*,Z 2n n n -∈∈，所以对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，所以对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”，故命题②正确；故选：A .三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.设R a ∈，函数2()21x x af x +=-.（1）求a 的值，使得()y f x =为奇函数；（2）若(2)f a =，求满足()f x a >的实数x 的取值范围.【答案】（1）1a =（2）(0,2)【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可得(1)(1)f f -=-，代入解方程即可得出答案；（2）由(2)f a =，可得2a =，则22221x x +>-，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.【小问1详解】由()f x 为奇函数，可知(1)(1)f f -=-，即(12)(2)a a -+=-+，解得1a =，当1a =时，212112(),()()212112x x xx x xf x f x f x --+++=-===----对一切非零实数x 恒成立，故1a =时，()y f x =为奇函数.【小问2详解】由(2)f a =，可得43aa +=，解得2a =，所以2224()201242121x x x x x f x a +->⇔>⇔<⇔<<--解得：02x <<，所以满足()f x a >的实数x 的取值范围是(0,2).18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，点E 是棱PD 上的一点，//PB 平面AEC .（1）求证：点E 是棱PD 的中点；（2）若PA ⊥平面ABCD ，2AP =，23AD =PC 与平面ABCD 所成角的正切值为13，求二面角D AE C --的大小.【答案】（1）证明见解析（2）arctan 22【解析】【分析】（1）作出辅助线，由线面平行得到线线平行，结合点F 是BD 的中点，得到证明；（2）方法一：作出辅助线，得到PCA ∠就是PC 与平面ABCD 所成角，从而根据正切值得到26AB =，证明出线面垂直，得到CGD ∠是二面角D AE C --的平面角，求出各边长，从而得到arctan 22CGD ∠=；方法二：作出辅助线，得到PCA ∠就是PC 与平面ABCD 所成角，建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，利用法向量夹角余弦值得到二面角的大小.【小问1详解】连接BD ，它与AC 交于点F ，连接EF ，四边形ABCD 为矩形，F ∴为BD 的中点，//PB 平面AEC ，平面PBD 经过PB 且与平面AEC 交于EF ，//PB EF ∴，又点F 是BD 的中点，∴点E 是棱PD 的中点.【小问2详解】方法一：∵PA ⊥平面ABCD ，,,AC AD CD ⊂平面ABCD ，,,PA AC PA AD PA CD ∴⊥⊥⊥且PCA ∠就是PC 与平面ABCD 所成的角，故1tan 3PAPCA AC∠===，解得AB =.四边形ABCD 为矩形，AD CD ∴⊥，又PA CD ⊥，PA 与AD 是平面PAD 内的两相交直线，CD \^平面PAD .在平面PAD 内作DG AE ⊥，垂足为G ，连接GF ，则CG AE ⊥，CGD ∴∠是二面角D AE C --的平面角.在直角三角形PAD 中，2,PA AD == ，点E 是PD 的中点，π6EAD ADE ∴∠=∠=，且πsin 6DG AD ==，CD ⊥ 平面,PAD DG ⊂平面PAD ，CD DG ∴⊥，故tanDC CGD DG ∠===，所以arctan CGD ∠=，故二面角D AE C --的大小为arctan .方法二：∵PA ⊥平面ABCD ，,,AC AD CD ⊂平面ABCD ，,,PA AC PA AD PA CD ∴⊥⊥⊥且PCA ∠就是PC 与平面ABCD 所成的角，又 四边形ABCD 为矩形，AB AD ∴⊥，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，设1,(,,1)AB t n x y ==是平面AEC 的一个法向量，二面角D AE C --的大小为θ，由1tan 3PA PCA AC ∠===，可得t =，则AC AE ==，故()()11(,,1)0(,,1)10n AC x y n AE x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩，解得66x =且33y =-，所以1,,163n ⎛⎫=-⎪⎝⎭ ，又2(1,0,0)n =是平面AED 的一个法向量，且θ为锐角，故12121cos 3n n n n θ⋅===⋅，可得1arccos 3θ=.所以二面角D AE C --的大小为1arccos 3.19.某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格.组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]频数926655347（1）该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放2个随机红包，不合格的发放1个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为20500.80.2⎛⎫⎪⎝⎭.若从这200个成年市民中随机选取1人，记X （单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求X 的分布及数学期望；（2）已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.【答案】（1）分布列见解析，39（2）36%，98:27【解析】【分析】（1）依题意，X 的所有可能取值为20,50,40,70,100，利用独立事件的概率乘法公式求解相应的概率，进而得到X 的分布，再结合期望公式求解即可；（2）利用全概率公式和条件概率公式求解.【小问1详解】随机抽取的200个成年市民的成绩合格率为534750%200+=，21(100)0.20.022P X ==⨯=，121(70)C 0.20.80.162P X ⨯==⨯⨯=，1(50)0.20.12P X ==⨯=，21(40)0.80.322P X ==⨯=，1(20)0.80.42P X==⨯=，所以X 的分布为X 20405070100P0.40.320.10.160.02()1000.02700.16500.1400.32200.439E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即X 的数学期望为39；【小问2详解】设“从该社区成年市区随机抽取1人，此人年龄在60岁以下”为事件A ，“从该社区成年市民随机抽取1人，此人安全知识合格”为事件B ，则()70%,(30%P A P A ==，()56%,()50%P B A P B ≈≈∣，由()()()(()P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅∣∣，可得50%70%56%30%(P B A ≈⋅+⋅∣，所以()36%P B A ≈∣，所求比值()()()()70%56%98()()()()30%36%27P A B P A P B A P B P A B P B P A P B A ⋅⋅==⋅≈=⋅⋅∣∣∣∣.估计60岁及以上人员的合格率约为36%，成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比约为98:27.20.如图，已知1Γ是中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，2Γ是以1Γ的焦点12,F F 为顶点的等轴双曲线，点54(,)33M 是1Γ与2Γ的一个交点，动点P 在2Γ的右支上且异于顶点.（1）求1Γ与2Γ的方程；（2）若直线2PF 的倾斜角是直线1PF 的倾斜角的2倍，求点P 的坐标；（3）设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，直线1PF 与1Γ相交于点,A B ，直线2PF 与1Γ相交于点,C D ，11||||AF BF ⋅m =，22||||CF DF n ⋅=，求证：121k k =且存在常数s 使得m n +sm n =.【答案】（1）22154x y +=与221x y -=（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设12ΓΓ、的方程分别为22221(0)x y a b a b+=>>与222(0)x y c c -=>，将点M 的坐标代入2Γ的方程可求出c ，利用椭圆的定义可求出a 的值，从而可得b ，进而可得12ΓΓ、的方程；（2）分点P 在第四象限和第一象限时两种情况讨论求出点P 的坐标；（3）利用两点的斜率公式及点P 在2Γ上即可证明211k k =，设1PF 的方程为(1)y k x =+，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示,m n ，化简11m n+为常数，即可得出答案.【小问1详解】设12ΓΓ、的方程分别为22221(0)x y a b a b +=>>与222(0)x y c c -=>，由225433⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2c ，得1c =，故12,F F 的坐标分别为(1,0),(1,0)-，所以122a MF MF =+==故2a b ===，故1Γ与2Γ的方程分别为22154x y +=与221x y -=.【小问2详解】当点P 在第四象限时，直线12,PF PF 的倾斜角都为钝角，不适合题意；当P 在第一象限时，由直线2PF 的倾斜角是直线1PF 的倾斜角的2倍，可知2121F F P F PF ∠=∠，故2122PF F F ==，设P 点坐标为(,)x y ，可知22(1)4x y -+=且221(0,0)x y x y -=>>，解得2,x y ==，故点P的坐标为，【小问3详解】设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，点P ，A ，B 的坐标分别为()()()001122,,,,,x y x y x y ，则22220000001222000011,11111y y y x x y k k x x x x --==⋅===+---，1PF 的方程为(1)y k x =+，代入22154x y +=可得()222458160k y ky k +--=，故21221645k y y k-=+，所以()2111121222111611145k m AF BF y y y y k k +⎛⎫=⋅==+= ⎪+⎝⎭，同理可得()222216145k n k +=+，又211kk =，故()212116145k n k +=+，故()()22112211454511161161k k m n k k +++=+++()()212191916161k k +==+，即916m n mn +=，所以存在s ，使得m n smn +=.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.若函数 ()y f x =的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数()y f x =的图象的“自公切线”，称这两点为函数 ()y f x =的图象的一对“同切点”.（1）分别判断函数1 ()sin f x x =与2 ()ln f x x =的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；（2）若R a ∈，求证：函数ππ()tan ((,))22g x x x a x =-+∈-有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；（3）设*N n ∈，ππ()tan π((,))22h x x x n x =-+∈-的零点为n x ，ππ(,)22t ∈-，求证：“存在(2π,)s ∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“ t 是数列{}n x 中的项”.【答案】（1）函数1()f x 的图象存在“自公切线”；函数2()f x 的图象不存在“自公切线”，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由直线1y =切sin y x =的图象于点π5π(,1),(,1)22判断1 ()sin f x x =，由导数确定意见性判断2 ()ln f x x =.（2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几何意义求出切线方程，证明112sin 2x x =在π(0,)2上无解即得.（3）求出在点(,sin )s s 与(,sin )t t 处的切线方程，利用（2）的结论，结合诱导公式，及充要条件的证明方法推理即得.【小问1详解】显然直线1y =切sin y x =的图象于点π5π(,1),(,1)22，直线1y =是sin y x =的图象的一条“自公切线”，因此函数1()f x 的图象存在“自公切线”；对于221()ln ,()(0)f x x f x x x'==>是严格减函数，则2()f x 在不同点处的切线斜率不同，所以函数2()f x 的图象不存在“自公切线”.【小问2详解】由22221sin ()1tan 0cos cos x g x x x x'=-==≥恒成立，且仅当0x =时()0g x '=，则()y g x =是ππ(,22-上的严格增函数，可得它至多有一个零点，令1ππ()sin ()cos ([,])22g x x x a x x =--∈-，由y =1()g x 的图象是连续曲线，且11ππ()(1022g g -=-<，因此1()g x 在ππ(,22-上存在零点，即在ππ(,22-上1()()cos g x g x x =存在零点，所以()g x 有唯一零点；假设()g x 的图象存在“自公切线”，则存在12ππ,(,)22x x ∈-且12x x ≠，使得()g x 的图象在1x x =与2x x =处的切线重合，即2212tan tan x x =，有21x x =-，不妨设1π(0,)2x ∈，切线211111:tan tan ()l y x x a x x x -+-=⋅-，222222:tan tan ()l y x x a x x x -+-=⋅-，有相同截距，即2211112222tan tan tan tan x x x x a x x x x a -+-+=-+-+，而21x x =-，则2211111111tan tan tan tan x x x x x x x x -+-=-+，即2111(1tan )tan x x x +=，则有111sin cos x x x =，即112sin 2x x =，令()sin ,0πx x x x ϕ=-<<，()1cos 0x x ϕ'=->，即函数()ϕx 在(0,π)上单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，因此当π()0,x ∈时，sin x x >，即112sin 2x x =在π(0,2上无解，所以()g x 的图象不存在“自公切线”.【小问3详解】对给定的*n ∈N ，由（2）知()h x 有唯一零点，即n x 唯一确定，又()h x 在点(,sin )t t 处的切线方程为sin cos ()y t t x t -=-，即cos sin cos y x t t t t =+-，()h x 在点(,sin )s s 处的切线方程为cos sin cos y x s s s s =+-，若存在(2,)s π∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =图象的一对“同切点”，则()cos cos sin cos sin cos s t s t s s s t t t⎧=≠⎨-=-⎩，又ππ(,22t ∈-，则cos 0t >，所以()cos cos tan tan s t s t s s t t⎧=≠⎨-=-⎩，cos cos s t =且tan tan s t =-，从而存在*n ∈N ，使得2πs n t =-，代入tan tan s s t t -=-，可得tan π0t t n -+=，则n x t =，即t 是数列{}n x 中的项；反之，若t 是数列{}n x 中的项，则存在*n ∈N ，使得n x t =，即tan π0t t n -+=，由（2）中的()g x 严格增，可知()h x 严格增，又(0)π0h n =>且()0h t =，可知0t <，令2πs n t =-，则(2π,)s ∈+∞且cos cos ,tan (tan )2(tan π)0s t s s t t t t n =---=--=，即tan tan s s t t -=-，可得sin cos sin cos s s s t t t -=-，所以存在(2π,)s ∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =的图象的一对“同切点”.所以存在(2π,)s ∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =图象的一对“同切点”的充要条件是“t 是数列{}n x 中的项”.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-。

上海市黄浦区2021年高考模拟（二模）数学（理）试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必需在答题卷上进行，写在试卷上的解答一概无效； 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，总分值150分；考试时刻120分钟．一．填空题(本大题总分值56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，不然一概得零分．1．函数x xy -+=11log 2的概念域是 ．2．函数x x y 22sin cos -=的最小正周期=T ． 3．已知全集R U =，集合{}|0,R A x x a x =+≥∈，{}||1|3,R B x x x =-≤∈．假设U()[2,4]C A B =-，那么实数a 的取值范围是 ．4．已知等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，那么n nn S na ∞→lim的数值是 ．5．函数)1,0(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间是 ．6．函数)0()(2≤-=x x x f 的反函数是)(1x f -，那么反函数的解析式是=-)(1x f ． 7．方程1)34(log 2+=-x x 的解=x ． 8．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边的长度别离为c b a 、、，且ab c b a 3222=-+， 则=∠C .9．已知i (i 11-=x 是虚数单位，以下同)是关于x 的实系数一元二次方程02=++b ax x 的一个根，那么实数=a ，=b ．10．假设用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，那么那个球的表面积是 ． 11．(理)已知向量)1,0()4,3(-=-=b a ，，那么向量a 在向量b 的方向上的投影是．12．(理)直线l 的参数方程是12,(R,2x t t y t =-+⎧∈⎨=-⎩t 是参数)，那么直线l 的一个方向向量是 ．(答案不唯一)13．(理)某个不透明的袋中装有除颜色外其它特点完全相同的8个乒乓球(其中3个是白色球，5个是黄色球)，小李同窗从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球．用随机变量ξ表示小李同窗第一摸到黄色乒乓球时的摸球次数，那么随机变量ξ的数学期望值=ξE ．14．已知函数)(x f y =是概念域为R 的偶函数. 当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2log 20,21)(16x x x x f x． 假设关于x 的方程2[()]()0f x a f x b +⋅+=(R)a b ∈、有且只有7个不同实数根，那么(理)实数a 的取值范围是 ．二．选择题(本大题总分值20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，不然一概得零分．15．已知R a b ∈、，且0ab ≠，那么以下结论恒成立的是 [答] ( )．A ． ab b a 2≥+B ．2≥+a b b aC ．2||≥+a b b aD ．222a b ab +>16．已知空间直线l 不在平面α内，那么“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“α||l ”的 [答] ( )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件17．已知22R,0a b a b ∈+≠、，那么直线0=+by ax l ：与圆：022=+++by ax y x 的位置关系是 [答] ( )．A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确信 18．(理)给出以下命题：(1)已知事件B A 、是互斥事件，假设35.0)(,25.0)(==B P A P ，那么60.0)(=B A P ； (2)已知事件B A 、是相互独立事件，假设60.0)(,15.0)(==B P A P ，那么51.0)(=B A P (A 表示事件A 的对立事件)；第21题图ABCO第19题图 ＡＣＤＢ(3)183)1(xx +的二项展开式中，共有4个有理项．那么其中真命题的序号是 [答]( )． A ．(1)、(2)． B ．(1)、(3)． C ．(2)、(3)． D ．(1)、(2)、(3)．三．解答题(本大题总分值74分)本大题共有5题，解答以下各题必需在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(此题总分值12分)此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分． (理)已知直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,4ACB AC BC AA ∠====，D 是棱1AA 的中点．如下图．(1)求证：1DC ⊥平面BCD ；(2)求二面角A BD C --的大小．20．(此题总分值14分)此题共有2个小题，第1小题总分值7分，第2小题总分值7分． 已知复数12cos i,1isin ,Rz x z x x =+=-∈．(1)求||21z z -的最小值；(2)设21z z z ⋅=，记z z x f (Im Im )(=表示复数z 的虚部). 将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原先的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移2π个单位长度，取得函数)(x g 的图像. 试求函数)(x g 的解析式．21．(此题总分值12分)此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分．某通信公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号增强中转站，甲中转站建在区域BOC 内，乙中转站建在区域AOB 内．分界限OB 固定，且OB =(1+百米，边界限AC始终过点B ，边界限OC OA 、知足075,30,45AOC AOB BOC ∠=∠=∠=． 设OA x =(36x ≤≤)百米，OC y =百米.(1)试将y 表示成x 的函数，并求出函数y 的解析式；(2)当x 取何值时？整个中转站的占地面积OAC S∆最小，并求出其面积的最小值．22．(此题总分值18分)此题共有3个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分．已知数列{}n a 知足n n n n n na a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)．(1)求753a a a 、、的值；(2)求12-n a (用含n 的式子表示)；(3) (理)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S (用含n 的式子表示)．23．(此题总分值18分)此题共有3个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分．(理)已知点),(y x M 是平面直角坐标系上的一个动点，点M 到直线4=x 的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍．记动点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)斜率为21的直线l 与曲线C 交于B A 、两个不同点，假设直线l 只是点)23,1(P ，设直线PB PA 、的斜率别离为PB PA k k 、，求PB PA k k +的数值；(3)试问：是不是存在一个定圆N ，与以动点M 为圆心，以MD 为半径的圆相内切？假设存在，求出那个定圆的方程；假设不存在，说明理由． 参考答案和评分标准(2021年4月10日) 一、填空题1．(1,1)； 8．6； 2．； 9．2,2ab；3．4a； 10．100 ；4．2； 11．(理)4； 5．[1,)； 12．(理)111(2,1)(0,R)t t t ；6．1()(0)f x x x； 13．(理) 32；7．2log 3x； 14．(理)524a．第19题图二、选择题： 15．C 16．B 17．B 18．D 三、解答题19．此题总分值12分．(理)证明(1)按如下图成立空间直角坐标系．由题知，可得点C 、(0,2,0)B 、(2,0,2)D 、1(2,0,4)A 、1(0,0,4)C ．于是，1(2,0,2),(2,0,2),(2,2,2)DC DC DB =-=--=--．可算得110,0DC DC DC DB ⋅=⋅=．因此，11,DC DC DC DB⊥⊥． 又DC DB D =，因此，1DC BDC⊥平面．(2)设(,,)n x y z =是平面ABD 的法向量．∴0,0.n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩又(2,2,0),(0,0,2)AB AD =-=，∴220,20.x y z -+=⎧⎨=⎩ 取1y =，可得1,1,0.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩即平面ABD 的一个法向量是(1,1,0)n =．由(1)知，1DC 是平面DBC 的一个法向量，记n 与1DC 的夹角为θ，那么111cos 2||||n DC n DC θ⋅==-，23πθ=． 结合三棱柱可知，二面角A BD C --是锐角，∴所求二面角A BD C --的大小是3π．20．此题总分值14分 解(1)∵12cos i,1isin ,Rz x zx x =+=-∈，∴12||z z -== ∴当sin()14x -=-π，即2(Z)4x k k π=π-∈时，12min ||1)z z -==.(2)∵12z z z =⋅，∴12sin cos (1sin cos )iz z z x x x x =⋅=++-.∴1()1sin cos 1sin 2(R)2f x x x x x =-=-∈.将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原先的2倍(纵坐标不变)后，取得的图像所对应的函数是111sin 2y x=-.把函数11sin 2y x =-的图像向右平移2π个单位长度，取得的图像对应的函数是211sin()22y x π=--． ∴11()1sin()1cos (R)222g x x x x π=--=+∈.21．此题总分值12分． 解(1)结合图形可知，BOC AOB AOCS S S ∆∆∆+=．于是，000111(130(145sin 75222x y xy +=，解得(36)2y x x =≤≤-．(2)由(1)知，(36)2y x x =≤≤-，因此，1sin 752AOCS xy ∆==2≥+(当且仅当422x x -=-，即4x =时，等号成立)．答：当400x =米时，整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，最小面积是4(210+⨯平方米. 12分22．此题总分值18分．解(1) n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)，(2)由题知，有*21213(1)(N )n n n n a a n +--=+-∈．112123222325121121211225311313(1)3(1)(333)[(1)(1)(1)]3(1)3(1)n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----------⎫∴-=+-⎪-=+-⎪⎪⇒-=++++-+-++-⎬⎪-=+-⎪⎪-=+-⎭．∴*213(1)1(N )2n nn a n ---=-∈． (理)(3) ∵*213(1)1(N )2n n n a n ---=-∈， ∴*23(1)1(N )2n nn a n +-=-∈．∴21232n n n a a -+=-．又1231n n nS a a a a a -=+++++，01当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++++233322n n =⋅--． 02当n 为奇数时，123421()()()n n n nS a a a a a a a --=+++++++11223(1)322n n n ++-=---．综上，有2*1122333,22(N )3(1)3.22n n n n n n S n n n ++⎧⋅--⎪⎪=∈⎨⎪----⎪⎩为偶数为奇数23．此题总分值18分．(理)解(1)由题知，有|4|x -=.化简，得曲线C 的方程：22143x y +=．(2)∵直线l 的斜率为12，且只是3(1,)2P 点， ∴可设直线l ：1(1)2y x m m =+≠且．联立方程组221,431.2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x mx m ++-=．又交点为1122(,)(,)A x yB x y 、，∴12212,3,02 2.x x m x x m m +=-⎧⎪=-⎨⎪∆>⇒-<<⎩．∴1212332211PA PBy y k k x x --+=+-- (3)答：必然存在知足题意的定圆N . 理由：∵动圆M 与定圆N 相内切，∴两圆的圆心之间距离||MN 与其中一个圆的半径之和或差必为定值. 又(1,0)D 恰好是曲线(椭圆)C 的右核心，且M 是曲线C 上的动点， 记曲线C 的左核心为(1,0)F -，联想椭圆轨迹概念，有||||4MF MD +=，∴假设定圆的圆心N 与点F 重合，定圆的半径为4时，那么定圆N 知足题意.∴定圆N 的方程为：22(1)16x y ++=.。