七年级数学培优从算术到代数

第一章 整式的乘除知识要点 一、概念1、代数式：由数和表示数的字母经过加、减、乘、除、乘方和开方等运算所得的式子称为代数式。

2、单项式:由数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

单项式不含加减运算，分母中不含字母。

3、多项式:几个单项式的和叫做多项式。

多项式含加减运算。

4、整式:单项式和多项式统称为整式。

（与整式相对应的是分式，分母中含有字母的代数式） 二、公式、法则：（1）同底数幂的乘法：a m ﹒a n =a m+n （同底幂数相乘，底数不变，指数相加。

） 逆用： a m+n =a m ﹒a n （指加，幂乘，同底）（2）同底数幂的除法：a m ÷a n =a m-n （a ≠0）。

（同底数幂相除，底数不变，指数相减）逆用：a m-n = a m ÷a n （a ≠0）（指减，幂除，同底） （3）幂的乘方：（a m ）n =a mn （幂的乘方，底数不变，指数相乘）逆用：a mn =（a m ）n（4）积的乘方：（ab ）n =a n b n （积的乘方等于积中各因式乘方的积）逆用： a n b n =（ab ）n （当ab=1或-1时常逆用）（5）零指数幂：a 0=1（注意考底数范围a ≠0）。

（6）负指数幂：11()(0)pppa aa a-==≠(底倒，指反)（7）单项式与多项式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc 。

（8）多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 。

（9）平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2公式特点：（有一项完全相同，另一项只有符号不同，结果=22()-相同）（不同 推广（项数变化），连用变化。

（10）完全平方公式：222222()2,()2,a b a ab b a b a ab b +=++-=-+ 逆用：2222222(),2().a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-完全平方公式变形（知二求一）：222()2a b a b ab +=-+ 222()2a b a b ab+=+-222212[()()]a b a b a b +=++-22222212()2()2[()()]a b a b ab a b ab a b a b +=+-=-+=++-22()()4a b a b ab +=-+2214[()()]ab a b a b =+-- 例如：229x +mxy+4y 是一个完全平方和公式，则m = ；是一个完全平方差公式，则m = ；（11）多项式除以单项式的法则:().a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷（12）常用变形：221((n n x y x y +--2n 2n+1）=(y-x), ）=-(y-x)巩固提高练习2229.4,10x y x y xy +=+=已求①知：的值222222x x y xy y --+②的值第二章《平行线与相交线》一、知识结构图余角余角补角补角角两线相交对顶角同位角三线八角内错角同旁内角平行线的判定平行线平行线的性质尺规作图二、基本知识提炼整理（一）余角与补角1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。

初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。

也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。

脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。

这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。

例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。

这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。

虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。

例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。

初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。

也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。

脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。

这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。

例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。

这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。

虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。

例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。

七年级(上)培优讲义：第5讲代数式(三)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（七年级(上)培优讲义：第5讲代数式(三)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第5讲：代数式(三）一、建构新知1． “代数式"是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。

它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一. 2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值.注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化.3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础.4。

代数式有意义的条件,当代数式是几种代数式组合而成的时候，要使每一个都得有意义才可以的。

常见的代数式有意义的条件是：如果是二次根式时,则被开数为非负数，如果是分式时，分母不能为0，当出现0次幂时,底数不能为0,等。

二、经典例题例1．若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值。

例2．x =－2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x =2时，代数式635-++cx bx ax 的值.例3．已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.例4．A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元,每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。

03 从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：1.任意性即字母可以表示任意的数.2.限制性即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.3.确定性即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.4.抽象性即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：1×3＋1＝4＝222×4＋1＝9＝323×5＋1＝16＝424×6＋1＝25＝52…请将你找到的规律用代数式表示出来：_______________________________(山东菏泽地区中考试题) 解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）A.1627384950B. 2345678910C. 3579111300D. 4692581470（江苏省竞赛试题）解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.【例3】设A＝221212++´222323++´223434+´＋…＋221003100410031004+´＋221004100510041005+´，求A的整数部分.（北京市竞赛试题）解题思路：从分析A中第n项22(1)(1)n nn n++?的特征入手.【例4】现有a根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m个正方形，按如图②摆放时可摆成2n个正方形.(1)用含n的代数式表示m；(2)当这a根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a的最小值.（浙江省竞赛试题）解题思路：由图①中有m个正方形、图②中有2n个正方形，可设图③中有3p个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m，n，p的等式.【例5】化简321Λ321Λ321Λ个个个nnn 9199999999+⨯.（江苏省竞赛试题）解题思路：先考察n＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.【例6】观察按下列规律排成的一列数：1 1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51，16，…，（*）（1）在（*）中，从左起第m个数记为F(m)＝22001时，求m的值和这m个数的积.（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c，它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd＝2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（11），（12，21），（13，22，31），（14，23，32，41），（15，24，33，42，51），….能力训练A级1.已知等式：2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，，10 ＋ab＝102×ab（a，b均为正整数），则a＋b＝___________________.(湖北省武汉市竞赛试题)2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n（n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是______________.n＝2 n＝3 n＝4s＝4 s＝8 s＝12(山东省青岛市中考试题)3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d），当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p＋q＝________．(浙江省湖州市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（含n代数式表示）．（广东省中考试题）-=5.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（）A.1000a＋1B. 100a＋1C. 10a＋1D. a＋1(重庆市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十个式子是（）A. a10＋b19B. a10-b19C. a10-b17D. a10-b21(四川省眉山市竞赛试题)7.有三组数x 1，x 2，x 3；y 1，y 2，y 3；z 1，z 2，z 3，它们的平均数分别是a ，b ，c ，那么x 1＋y 1－z 1，x 2＋y 2－z 2，x 3＋y 3－z 3的平均数是（ ）A.3a b c ++ B. 3a b c+- C. a ＋b －c D. 3(a ＋b －c ) (希望杯邀请赛试题)8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是（ ）（东方航空杯竞赛试题）A . S 1＞S 2B ．S l ＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法比较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．（1）请通过操作，猜想将第3、第4次，…，第n 次剪裁后扇形面的总个数填入下表；剪裁次数 1 2 3 4 … n所得的总数47…（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？（山东省济南市中考试题）10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a（a＞0）个成品，且每个每天都生产b（b＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a、b的代数式表示）；（2）试求出用b表示a的关系式；4b个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？（3）若1名质检员1天能检验5（广东省广州市中考试题）B级1. 你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10·n＋5）（n为自然数），即求（10·n＋5）2的值（n为自然数），分析n＝1，n＝2，n＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）.（1）通过计算，探索规律.152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25；252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25；352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25； 452＝2025可写成100×4×（4＋1）＋25； ...752＝5625可写成______； 852＝7225可写成______；（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n ＋5）2＝______； （3）根据上面的归纳猜想，请算出19952＝______.（福建省三明市中考试题）2.已知12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，计算： （1）112＋122＋…＋192＝_____________________； (2)22＋42＋…＋502＝__________________. 3.已知n 是正整数，a n ＝1×2×3×4×…×n ，则13a a ＋24a a ＋…＋20102012a a ＋20112013a a ＝_______________.(“希望杯”邀请赛训练题)4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.（重庆市竞赛试题）5.A ，B 两地相距S 千米，甲、乙的速度分别为a 千米/时、b 千米/时（a ＞b ），甲、乙都从A 地到B 地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B 地的小时数是（ ）A ．(1)ss a b -+ B ．(1)s s b a -+ C ．(1)s s a b -- D ．(1)s s b a--6.某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比高a %，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的b %出售，那么调价后的零售价是（ ）A ．m （1＋a %）（1－b %）元B ．m a %（1－b %）元C ．m （1＋a %）b %元D ．m （1＋a %b %）元7.如果用a名同学在b小时内共搬运c块砖，那么个以同样速度所需要的数是（）A．22ca bB．2cabC．2abcD．22a bc(“希望杯”邀请赛试题)8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的13，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的15．问甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几？9.将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33.（重庆市竞赛试题）10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数，再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.专题03 从算术到代数例1 2(2)1(1)n n n ++=+例2 A例3 原式=1111111112(1)2()2()2()2()223341003100410041005+-++-++-+++-++-L =121004(1)1005⨯+- 故其整数部分为2008 例4 设图③中含有3p 个正方形.(1) 由3152m n +=+,得513n m +=(2) 由315273,a m n p =+=+=+得325177m n p --==,因,,m n p 均是正整数, 所以当17,10m n ==时,7,p =此时317152a =⨯+=例5解法1:1n = 时,29919811910010⨯+=+==;2n =时, 49999199(1001)991999900991991000010⨯+=-⨯+=-+==,猜想:2999999199910n n n n ⨯+=L L L 123123123个个个 个, 计算过程类似于2n =29999991999(101)9991999999000999199910n n n n n n n n n n n ⨯+=-⨯+=-+=L L L L L L L L L 123123123123123123123123123个个个个个个个个个 解法2: 1n =时,2991999109(999)1091010101010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=2n =时, 49999199999910099(999999)1009910010010010010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=猜想: 原式210n = 验证如下: 9999991999999999100099999999999910n n n n n n n n n n n ⨯+=⨯++=⨯++L L L L L L L L L L 123123123123123123123123123123个个个个个个个个个个299910101010n n n n n =⨯=⨯=L 123个反思结论必为一个数的平方形式, 不妨设999n a =L 123个,得另一种解法 解法3: 原式22222(1)a 21(1)(10)10n n a a a a a =+++=++=+==例6 (1)(※) 可分组为112123123412345(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),,121321432154321L 可知各组数的个数依次为1,2,3,L .按其规律22001应在第2002组1232002(,,,,)2002200120001L 中, 该组前面共有123420012003001+++++=L 个数. 故当2()2001F m =时,200300122003003m =+=. 又因各组的数积为1, 故这2003003个数的积为121200220012003001⨯=(2) 依题意,c 为每组倒数第2个数,d 为每组最后一个数,设它们在第n 组, 别1,,21n nc d -==(1)20010002n n -∴=.即(1)400200020012000n n -==⨯,2001,n ∴= 得20011200022c -==,20011d =A 级1. 100 提示:21010aab b +=⨯ 中, 根据规律可得210,10199,a b ==-=故1099109a b +=+=2. 4(1)(2)s n n =-≥3.1- 提示: 根据题中定义的运算可列代数式25,20p q q p -=+=,可得1,2,p q ==-故1p q +=-4. 10 31n +5. C6. B7. B8. B9.(1) 10 13 31n + (2) 不能, 33不符合31n +10. (1) 2a b +或2(5)3a b +或32b + (2) 由2(2)2(5)23a b a b ++=,得4a b =(3)2(2)47.5825a b b +÷=≈B 级1. (1) 1007(71)25,1008(81)25⨯⨯++⨯⨯++(2) 100(1)25n n ⨯++(3) 39800252. (1) 2085 (2) 22100 提示: 原式2224(1225)=⨯+++L3.20114026 提示: 由1234n a n =⨯⨯⨯⨯⨯L 可得, 原式111112334452011201220122013=+++++⨯⨯⨯⨯⨯L 111111112011233420122013220134026=-+-++-=-=L 4. 595 提示: 设17个连续整数为,1,,16,m m m ++L 且(1)(16)306m m m +++++=L ,它后面紧接的17个连续自然数应为17,18,19,,33m m m m ++++L ,可得它们之和为5955. D6. C7. D 提示: 每一名同学每小时所搬砖头为c ab块,c 名同学按此速度每小时所搬砖头为2c ab 块. 8．用a ，b 分别表示甲、乙两班参加天文小组的人数，m ，n 分别表示甲、乙两班未参加天文小组的人数，由a ＋m ＝b ＋n 得m －b ＝n －a ，又a ＝13n ，b ＝15m ，故m －15m ＝n －13n ，56m n =． 9．证明：设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组，他们三个数的和分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7（均为自然数），且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝()211212312⨯+=①．假设a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中没一个数都小于33，则有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＜231．与①矛盾，所以a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中至少有一个不小于33，即一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．10．设四个不同整数为a 1，a 2，a 3，a 4（a 1＞a 2＞a 3＞a 4），则（a 1－a 2）＋（a 1－a 3）＋（a 1－a 4）＋（a 2－a 3）＋（a 2－a 4）＋（a 3－a 4）＝18，即3（a 1－a 4）＋（a 2－a 3）＝18．又因3（a 1－a 4），18均为3的倍数，故a 2－a 3也是3的倍数，a 2－a 3＜a 1－a 4，则a 2－a 3＝3，a 1－a 4＝5，a 1－a 2＝1，a 3－a 4＝1，又a 1a 2a 3a 4＝23100＝2×2×3×5×5×7×11．从而可得a 1＝15，a 2＝14，a 3＝11，a 4＝10．。

第九讲求代数式的值（二）趣题引路】己知 a = 2003x + 2004, b = 2003x + 2003，c = 2003x4-2005 ,求代数式maUca 的值.解析已知条件中四个未知数，只有三个等量关系，显然求不出b. c、尤的值，要想办法把已知式或所求的代数式进行变形，观察代数式a2+b2+c2-ab-bc-ca,自然地想到对其进行配方，然后代入① b、c即可求得.a2 +b2 +c2 -ab-be-ca=i(2«:+2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc- 2cci)=扌[(4_砺+("_^+(—°)打= |[l2+(-2)2+l2]=3知识延伸】将代数式通过逆用乘法运算律、乘法公式（分解因式）变形成含有已知条件所有的形式，整体代入求解，是求代数式的值的常用方法和有效途径.一、逆用乘法运算律对代数式进行变形求值例 1 已知X2+4X-1=0,求代数式2X4+8X3-4X2-8X +1的值.解析原式= 2x4 +8x3 -2x2 -2x2 -8x + 2-l=2x2 (x2 + 4 A- 1) - 2(x2 + 4x-1) -1而x2 +4x-l = 0 »则原式=—1点评显然，目前我们无法从X2+4A-1=0求出x的值，求代数式2X4+8X3-4X2-8X+1按照己知条件中从高次到低次项系数变化的规律进行配置，再将X2+4A-1= 0整体代入，求得代数式的值.这种题目通常还可以用竖式除法解答.二、运用乘法公式对代数式进行变形求值乘法公式是我们在研究整式的乘法时总结出来的，具有普遍意义，可以简化运算的一些结论.在求代数式的值时，对已知条件或所求代数式利用乘法公式进行适当变形，可以使一些问题简化，并得以解决.常用的乘法公式有：(a + b)~ =a2 + 2ab + b~；(a-b)~ =a2 - lab + b2；(a+b)(a -b) = cr -b~ • (^a+b)[cr -ab + b2^ = a3 +b3；(«-+ab + b2^ = a3 -b3；(a + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 +b3；(a-bf = a3-3(rb4-3ab2 -b3在解决问题时，有时需要我们将这些公式反过来用，即因式分解公式.例 2 已知d + b + c = 3, (d-l)'+e-l)' + (c-l)' = O且"2,求代数式/+沪 + 云的值.解析把° = 2代入到前两个式子中，可得b+c=l, ①(/?-l)3+(c-l)3=-l, ②运用立方和公式将②式进行变形，得[(Z?-l) + (c-l)][(b-l)2-(b-l)(c-l) + (c-l)2] = -l即[b+c-2^b2 +c2 -2b-2c-bc+b+c+l^=-l将①代入上式得b2+c2-bc = l即(b + c)2一3bc = 1将①代入上式得l-3bc = l..bc = O..a2 +b2 +c2 = 22 + (b + c)2 - 2bc = 4 + l2 - 2x0 = 5点评在求代数式的值时，对代数式的相关知识要非常熟悉，有时代数式不一定是公式所具有的形式, 我们可以采取差什么添什么，添后再减的方法对代数式进行变形.例3若a、b、c都是有理数,且a + b + c = O,a3+b i+c3=O t求代数式a5+b5+c5的值.解析由a + b+c = O，得 c = -(a + b)/. a3 +b3 + C3 =a3+b3 + [-(a + b) 丁=a3 +b3 _(a + b)‘=a3 +b3 -a3 -3(rb-3ab2 -b3=-3crb一3ab2=3ab[-(a + b)]=3abc又a3 +b3+c‘ = 03abc = 0—、b、c中至少有一个数是0,不妨设a=0由a+b+c=0,得b= —c:.a5 +b5 +c5 = Q5 + (-c)5 +c5 = 0点评将a+b+c=0变形成c = -(a + b)是一种常见的方法，本题综合运用了等式的变形及乘法公式，在做题过程中，我们经常会感叹别人是怎么想到的，其实，只要我们对所学知识和方法非常熟悉，看到某11 些熟悉的式子即可联想到用什么方法，比如本题已知条件含有a +b +c = O,a i +b i + c 3=O 这样的条件，还 可以联想到公式a? +戻 +c‘ -3abe = (a + b + c)(a‘ +b 2 +c 2 -ab —bc-ca )将a + b + c = Q^a 3 +b 3 +c 3 = 0带入 上式即有3必=0,后面就容易解决了.本题如果是客观题，还可以寻找一组适合题意的值，代入所求代 数式中求值，如将a = 0,b = 0,c = 0代入a 5+b 5 + c 5即可求出答案为0.三、利用一些特殊的代数式形式求代数式的值某些代数式中隐含着一些特殊的关系，如x+丄=3,其中隐含了条件xx 丄=1,所以只要知道兀+丄的 X X X值，一般通过配成完全平方公式或其他乘法公式所需要的形式，即可求出许多相关代数式的值来.例4已知 —=丄，试求代数式4 的值.a~ +a + l 6 + a~ + 1 解析由已知条件值，。

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）1．任何一个整数N，可以用一个的多项式来表示:N= .例如：325=3×102+2×10+5.一个正两位数的个位数字是x，十位数字y．（1）列式表示这个两位数；（2）把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新的两位数，试说明新数与原数的和能被11整除．（3）已知是一个正三位数.小明猜想：“ 与的差一定是9的倍数。

”请你帮助小明说明理由.（4）在一次游戏中,小明算出、、、与等5个数和是3470,请你求出这个正三位数.【答案】（1）解：10y+x（2）解：根据题意得：10y+x+10x+y=11（x+y），则所得的数与原数的和能被11整除（3）解：∵ - =100a+10b+c-（100b+10c+a）=99a-90b-9c =9(11a-10b-c)，∴与的差一定是9的倍数（4）解：∵ + + + + + =3470+ ∴222（a+b+c）=222×15+140+ ∵100＜＜1000，∴3570＜222（a+b+c）＜4470，∴16＜a+b+c≤20．尝试发现只有a+b+c=19，此时 =748成立，这个三位数为748．【解析】【分析】（1）由已知一个正两位数的个位数字是x，十位数字y ，因此这个两位数是：十位上的数字×10+个位数的数字。

（2）根据题意将新的两位数和原两位数相加，再化简，即可得出结果。

（3）分别表示出两个三位数，再求出它们的差，就可得出它们的差是否为9的倍数。

（4）根据题意求出a+b+c的取值范围，再代入数据进行验证即可。

2．电话费与通话时间的关系如下表：通话时间a(分)电话费b(元)10.2＋0.820.4＋0.830.6＋0.840.8＋0.8……；（2）计算当a＝100时，b的值．【答案】（1）解：依题可得：通话1分钟电话费为：0.2×1+0.8，通话2分钟电话费为：0.2×2+0.8，通话3分钟电话费为：0.2×3+0.8，通话4分钟电话费为：0.2×4+0.8，……∴通话a分钟电话费为：0.2×a+0.8，即b＝0.8＋0.2a.（2）解：∵a＝100，∴b＝0.8＋0.2×100＝20.8.【解析】【分析】（1）观察表格可知通话a分钟电话费为：0.2×a+0.8，即b＝0.8＋0.2a.（2）将a＝100代入（1）中代数式，计算即可得出答案.3．糖业是我省重要的生物资源产业．我省某糖业集团今年4月收购甘蔗后入榨甘蔗250万吨，榨糖率为12%．经市场调查知5月份糖的销售价为2940/吨，若糖业集团在5月销售4月生产的糖，产销率为60%；又知糖业集团若在6月、7月两个月内销售4月生产的糖，销售价将在5月的基础上每月比上月降低6%、糖销量将在5月的基础上每月比上月增加9%．（1）问2005年4月糖业集团生产了多少吨糖？（2）若糖业集团计划只在7月销售4月生产的糖，请求出该糖业集团7月销售4月生产的糖的销售额是多少？（精确到万元）（注：榨糖率=（产糖量/入榨甘蔗量）×100%，产销率=（糖销量/产糖量）×100%，销售额=销售单价×销售数量）．【答案】（1）解：2005年4月糖业集团产糖250×12%=30（万吨）=300000（吨）（2）解：设7月份的糖价为x元/吨，则据已知条件有x=2597.784（元/吨）；设7月份的糖销量为y吨，则据已知条件得：y=30×0.60×（1+9%）2=21.3858（万吨）设7月份销售4月份产糖的销售额为w元，则据题意得：w=2597.784×21.3858≈55556（万元）．答：糖业集团7月份销售4月份产糖的销售额约为55556万元.【解析】【分析】（1）根据产糖量等于入搾甘蔗量乘以搾糖率即可求解；（2）由题意先求出7月份的糖价=2940(1-6%)2=2597.784元/吨，再求出7月份的糖销量=30×0.60×（1+9%）2=21.3858（万吨），最后根据销售额等于销售单价乘以销售量即可解答。

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）1．任何一个整数N，可以用一个的多项式来表示:N= .例如：325=3×102+2×10+5.一个正两位数的个位数字是x，十位数字y．（1）列式表示这个两位数；（2）把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新的两位数，试说明新数与原数的和能被11整除．（3）已知是一个正三位数.小明猜想：“ 与的差一定是9的倍数。

”请你帮助小明说明理由.（4）在一次游戏中,小明算出、、、与等5个数和是3470,请你求出这个正三位数.【答案】（1）解：10y+x（2）解：根据题意得：10y+x+10x+y=11（x+y），则所得的数与原数的和能被11整除（3）解：∵ - =100a+10b+c-（100b+10c+a）=99a-90b-9c =9(11a-10b-c)，∴与的差一定是9的倍数（4）解：∵ + + + + + =3470+ ∴222（a+b+c）=222×15+140+ ∵100＜＜1000，∴3570＜222（a+b+c ）＜4470，∴16＜a+b+c≤20．尝试发现只有a+b+c=19，此时 =748成立，这个三位数为748．【解析】【分析】（1）由已知一个正两位数的个位数字是x，十位数字y ，因此这个两位数是：十位上的数字×10+个位数的数字。

（2）根据题意将新的两位数和原两位数相加，再化简，即可得出结果。

（3）分别表示出两个三位数，再求出它们的差，就可得出它们的差是否为9的倍数。

（4）根据题意求出a+b+c的取值范围，再代入数据进行验证即可。

2．民谚有云：“不到庐山辜负目，不食螃蟹辜负腹．”，又到了食蟹的好季节啦！某经销商去水产批发市场采购太湖蟹，他看中了A、B两家的某种品质相近的太湖蟹．零售价都为60元/千克，批发价各不相同．A家规定：批发数量不超过100千克，按零售价的92%优惠；批发数量超过100千克但不超过200千克，按零售价的90%优惠；超过200千克的按零售价的88%优惠．B家的规定如下表：数量范围（千克）0～50部分（含50）50以上～150部分（含150，不含50）150以上～250部分（含250，不含150）250以上部分（不含250）________元；（2）如果他批发x千克太湖蟹（150＜x＜200），则他在A家批发需要________元，在B 家批发需要________元（用含x的代数式表示）；（3）现在他要批发170千克太湖蟹，你能帮助他选择在哪家批发更优惠吗？请说明理由．【答案】（1）4968；4890（2）54x；45x+1200（3）解：当x=170时，54x=54×170=9180，45x+1200=45×170+1200=8850，因为9180＞8850，所以他选择在B家批发更优惠【解析】【解答】解：（1）A：90×60×92%=4968（元），B：50×60×95%+40×60×85%=4890（元）。

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）1．已知A＝2x2＋3xy－2x－1，B＝x2－xy－1（1）化简：4A－(2B＋3A)，将结果用含有x、y的式子表示（2）若式子4A－(2B＋3A)的值与字母x的取值无关，求的值【答案】（1）解：∵A＝2x2＋3xy－2x－1，B＝x2－xy－1，∴4A－(2B＋3A)=A-2B=2x2＋3xy－2x－1-2（x2－xy－1）=5xy-2x+1（2）解：根据（1）得4A－(2B＋3A)= 5xy-2x+1；∵4A－(2B＋3A)的值与字母x的取值无关，∴4A－(2B＋3A)=5xy-2x+1=（5y-2）x+1，5y-2=0，则y= .则y3+ A- B= y3+ （A-2B）= y3+ ×1= + = = .【解析】【分析】（1）先将4A－(2B＋3A)化简，再将A,B的值分别代入代数式，去括号合并同类项化为最简形式即可；（2）根据（1）化简的结果，由4A－(2B＋3A)的值与字母x的取值无关，得出5y-2=0，求解得出y的值，再将代数式中含A,B的项，逆用乘法分配律最后整体代入即可算出代数式的值。

2．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着-5，-2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.（1）求前4个台阶上数的和是多少？（2）求第5个台阶上的数是多少？（3）应用求从下到上前31个台阶上数的和．发现试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．【答案】（1）解：由题意得前4个台阶上数的和是-5-2+1+9=3（2）解：由题意得-2+1+9+x=3，解得：x=-5，则第5个台阶上的数x是-5（3）解：应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环，∵31÷4=7…3，∴7×3+1-2-5=15，即从下到上前31个台阶上数的和为15；发现：数“1”所在的台阶数为4k-1【解析】【分析】（1）由台阶上的数求出台阶上数的和即可；（2）根据题意和（1）的值，求出第5个台阶上的数x的值；（3）根据题意知台阶上的数字是每4个一循环，得到从下到上前31个台阶上数的和，得到数“1”所在的台阶数为4k-1.3．小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如表，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：（1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？（2）设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和；（3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其他五个数的和能等于2016吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．【答案】（1）解：十字框中的五个数的和为6+14+16+18+26=80=16×5，∴十字框中的五个数的和为中间的数16的5倍（2）解：设中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10，∴十字框中的五个数的和为（x﹣10）+（x+10）+（x﹣2）+（x+2）+x=5x（3）解：假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x，根据题意得：5x=2016，解得：x=403.2．∵403.2不是整数，∴假设不成立，∴不能框住五个数，使它们的和等于2016．【解析】【分析】（1）算出十字框中的五个数的和，即可发现是16的5倍；（2）设中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10 ，利用整式加法法则即可算出十字框中的五个数的和；（3）假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x ，根据（2）计算的结果及这五个数的和是2016,，列出方程，求解如解是整数即可，不是整数即不可。

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