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非线性科学概要为《非线性物理概论》一书写的序言汪秉宏上一世纪初量子力学和相对论的发现，因为提出了突破人们传统思维的新概念，将人类的世界观推进到超越经典的领域，而被公认为是物理学或更确切地说是科学的两次革命。
牛顿创立的经典力学被发现并不始终是正确的。
当深入到微观尺度（<10-8cm），应该取代为量子力学，当物体的速度接近于光速（～10 10cm/s），则相对论是正确的。
非线性科学作为科学的一个新分支，如同量子力学和相对论一样，也将我们引向全新的思想，给予我们惊人的结果。
非线性科学的诞生，进一步宣布了牛顿的经典决定论的局限性。
它指出，即使是通常的宏观尺度和一般物体的运动速度，经典决定论也不适用于非线性系统的混沌轨道的行为分析。
非线性科学涵盖各种各样尺度的系统，涉及以任意速率运动的对象，这一事实丝毫不降低这一新学科的创新性，恰恰相反，刚好说明它具有广泛的应用性。
从这一点来看，其实非线性科学的诞生和发展更有资格被称为科学的一场革命。
非线性科学，目前有六个主要研究领域，即：混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自动机，和复杂系统。
而构筑多种多样学科的共同主题乃是所研究系统的非线性。
一个系统，如果其输出不与其输入成正比，则它是非线性的。
例如一个介电晶体，当其输出光强不再与输入光强成正比，就成为非线性介电晶体。
例如弹簧，当其位移变得很大时，胡克定律就失效，弹簧变为非线性振子。
又例如单摆，仅当其角位移很小时，行为才是线性的。
实际上，自然科学或社会科学中的几乎所有已知系统，当输入足够大时，都是非线性的。
因此，非线性系统远比线性系统多得多，客观世界本来就是非线性的，线性只是一种近似。
任何系统在线性区和非线性区的行为之间存在显着的定性上的差别。
例如单摆的振荡周期在线性区不依赖于振幅，但在非线性区，单摆的振荡周期是随振幅而变的。
从数学上看，非线性系统的特征是迭加原理不再成立。
迭加原理是指描述系统的方程的两个解之和仍为其解。
混沌的“性格”一开始听到“混沌”这个词，还以为是我们生活中吃的那个“混沌”，没想到此混沌非彼混沌。
通过学习了混沌这一节课，我知道了混沌现象普遍存在于自然界中，并与我们日常生活息息相关。
大家都有看到过别人吸烟的经历：一支燃着的香烟，烟雾在平稳的气流中冉冉升起，突然卷曲成一团剧烈扰动的烟雾，四处飘散。
仔细观察烟雾的上升过程可以发现，在烟雾上升的初始，是一种较平稳的层流状态气流；而上升到某些高度后，开始在烟雾边界出现一些极小的振动图案；然后，这些振动图案迅速增大，并开始出现一些卷曲结构；再向上走，这些卷曲就扰乱了整个烟雾。
这个系统很明显对初始的微小扰动非常敏感，卷曲后形成的空间图案依赖于微小的扰动。
像这样典型的混沌现象，还有风中的旗帜、滴水的水龙头、天体运动、气象变化、股票市场的波动、疾病的蔓延等例子。
混沌现象是非线性系统的普遍属性，它包含着极其丰富的信息，其图样华美多彩，巧夺天工，不是艺术胜似艺术。
而这些互不相同的现象却有着相同的“性格”：（1）对初态的敏感依赖性首先，它是混沌系统的一个突出特点，对于开始时的无穷小变化能导致以后大得多的变化的这种行为被称之为混沌的鲜明“性格”。
其次，混沌系统的研究始于庞加莱、伯克霍夫与冯、诺伊曼，而“混沌”变得时髦则归功于李－约克定理。
混沌系统具有对初值的高度敏感性。
换句话说，初值上非常小的变化（如由于测量中的截断误差及噪声等）会导致完全不同的结果。
这与经典物理中的“误差范围内的等同或一致性”相矛盾。
考虑逻辑斯谛映象x n+1=4x n（1-x n）。
取x0=0.2可得x1=0.64，x2=0.9216，x3=0.28901376，x4=0.821939226，x5=0.585420539，x6=0.970813326，x7=0.113339247，x8=0.410973849，x9=0.961563495，x10=0.14783656。
若取x0=0.201则有x1=0.642396，x2=0.918893517，x3=0.298112887，x4=0.836966374，x5=0.545814652，x6=0.991604071，x7=0.0333017509，x8=0.128770977，x9=0.4487556051，x10=0.9989496231。
思考题《⾮线性物理》2010-2011年度第⼆学期复习纲要简答题1、什么是⾮线性科学答：研究那些除符合线性规律以外的所有复杂的数学系统和⾃然现象的学科。
2、什么是“蝴蝶效应”1963年，美国⽓象学家洛仑兹在计算机上⽤他建⽴的微分⽅程模拟⽓象变化的时候，偶然发现输⼊的初始条件的极细微的差别，可以引起模拟结果的巨⼤变化。
洛仑兹打了个⽐喻说，在南半球某地⼀只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微⼩⽓流⼏星期后可能变成席卷北半球某地的⼀场龙卷风，这就是天⽓的“蝴蝶效应”。
它的本质仍然是⾮现性耦合。
洛仑兹的发现意味着混沌理论的诞⽣。
主要⽤来描述⾮线性系统对其初始条件极为敏感，初始条件的细微差别可导致其解值的巨⼤偏差。
蝴蝶效应是指：在⼀个⾮线性动⼒系统中，初始条件下微⼩的变化能带动整个系统的长期的巨⼤的连锁反应。
其主要特征是对初始条件具有极为敏感的依赖性。
该现象最初是由美国⽓象学家洛仑兹发现的，它的发现意味着混沌理论的诞⽣。
（此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极⼩偏差，将会引起结果的极⼤差异。
）2、⾮线性科学⽬前有哪些主要研究领域答：⽬前有六个主要研究领域，即：混沌、分形、模式形成、孤⽴⼦、元胞⾃动机，和复杂系统。
⽽构筑多种多样学科的共同主题乃是所研究系统的⾮线性。
3、简述混沌的两个重要应⽤答：⽬前⼈们对于⾮线性复杂体系动⼒学混沌⾏为的研究，发展了两种重要的应⽤，其⼀是⾮线性体系动⼒学⾏为的短期预测，如⽓象预报和股票市场的⾏为的预测；其⼆是，将混沌的相关规律应⽤到具体的⼯农业等社会实践当中的混沌控制，并提出了许多相关的控制⽅法。
4、简述线性与⾮线性的区别与联系答：“线性”与“⾮线性”是两个数学名词。
所谓“线性”是指两个量之间所存在的正⽐关系。
若在直⾓坐标系上画出来，则是⼀条直线。
由线性函数关系描述的系统叫线性系统。
在线性系统中，部分之和等于整体。
描述线性系统的⽅程遵从叠加原理。
“⾮线性”是指两个量之间的关系不是“直线”关系，在直⾓坐标系中呈⼀条曲线。
混沌效应一、实验名称 非线性电路振荡周期的分岔与混沌二、实验原理⒈分岔与混沌 ⑴ 逻辑斯蒂映射考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x 表示。
逻辑斯蒂映射是)1(x kx x -→其中k 是0和4之间的常数。
迭代这映射，我们得离散动力学系统 )1(1n n n x kx x -=+ ，0=n ，1，2…我们发现：①当k 小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k 大于3时，随着k 的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环；k 继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快k 在58.3左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。
④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。
⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。
以上这些特点可用图示法直观形象地给出。
逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条)1(x kx y -=的抛物线，再画一条x y =的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图1）。
图 1—A 不动点 图1—B 分岔周期2 图1—C 混沌 图1—D 蝴蝶效应图1⑵逻辑斯蒂映射的分岔图 以k 为横坐标，迭代200次以后的x 值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。
X 0X A X B图2逻辑斯蒂映射的分岔图。
k 从2.8增大到4。
⒉ 非线性负阻电路振荡周期的分岔与混沌 ⑴非线性电路与非线性动力学实验电路如图3所示。
它由有源非线性负阻器件R ；LC 振荡器和移相器三部分构成。
图中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件；电感器L 和电容器C2组成一个损耗可以忽略的振荡回路；可变电阻Rv1+Rv2和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。
图4所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示加在此非线性元件上的电压与通过它的电流极性是相反的。
第二章 分岔与奇怪吸引子第一节 第一节 简单数学分岔分岔的本义是一种力学状态在临界点处发生的转变、分开或一分为二。
分岔是一种非常普遍的自然现象。
一根受力作用的弹性压杆可以形象地演示出一类分岔现象。
常识告诉我们，在力P 的作用下，如图2-1a 所示，当压力超过弹性压杆的临界负荷P c 后，杆会出现弯曲，这时扰度s 为压力P 的函数。
在以P —s 为坐标的平面上，如图2-1b 所示，当压力P ＜P c 时，杆的唯一平衡状态是保持直线；当压力P ＞P c 时，杆的平衡状态就转变成三种：保持直线（OC 方向）、偏向+s 或-s 方向，因此P c 是这个力学体系不同平衡状态的分岔点。
然而三种平衡状态有稳定的与不稳定的之分。
其中保持直线状态是不稳定的，稍有扰动，平衡状态便会偏向+s 或-s 状态。
另两种平衡状态是稳定的，在这两种状态中，扰度s 随压力P 的增加而沿曲线OA 或OB 增加。
图2-1 一根弹性压杆的分岔在数学上，分岔就是研究非线性微分方程当某一参数变化时，其解发生突变的临界点附近的行为。
当上述现象用数学方程来描述时，力学现象的分岔就成为数学分岔。
由于许多重要的物理现象在数学上都可以某类微分方程来描述，因此数学分岔在分析复杂的非线性动力学中具有重要意义。
上一章我们在展示单摆运动中看到，当驱动力F 增加到某—临界值后它由规则运动进入到随机运动状态。
它是通过怎样的路迳进入混沌的？显然仅对几个特殊参数采用数值计算还无法讲清这样的问题。
为了更具体地掌握一个非线性系统如何从规则运动进入混沌，必需对临界值附近所发生的现象作更细致更深入的研究。
上一章我们在分析杜芬方程的解时知道，方程的解在参数0=κ处发生了所谓叉式分岔，一个在0<κ时的稳定解在0>κ时分裂为两个稳定解与一个不稳定解。
不同的非线性方程应有不同的突变行为，它们有那些类型呢？本节就是从力学系统的几个简单数学模型讨论几种常见的典型数学分岔。
1 切分岔产生切分岔的微分方程形式：μ+-=2x dt dx (2-1-1)式中μ为控制参数。
由dx dt /=0得式(2-1-1)的平衡点为：μ±=0x (2-1-2)解(2-1-2)说明，当μ＜0时不存在奇点，而当μ＞0时出现两个奇点，如图2-2所示。
然而μ＞0时的两个奇点的稳定性是不同的，其中x 0=+μ是稳定的，而x 0=-μ是不稳定的。
图2-2 切分岔为了讨论切分岔的两个解的稳定性，我们在x 0的附近取一点，它与x 0的距离为0x x -=ξ，由式(2-1-1)得：μξξ++-=20)(x dt d将解式(2-1-2)代入并忽略高阶小量2ξ有： 02x dt d ξξ-=于是得解：ξξ()exp()t x t =-002 (2-1-3)因此，对于解x 0=+μ，当t →∞时有ξ()t →0，说明此解是稳定的，它是稳定的结点。
对于解x 0=-μ，当t →∞时有ξ()t →∞，因此它是不稳定的，它是鞍点。
由此可见切分岔是一个鞍–结分岔。
为了说明分岔点附近的分岔情况，如图2-3给出了μ＜0、μ= 0与μ＞0时与μ轴相垂直的x 平面中相轨线的走动方向，稳定的x 0=+μ解是图中的A 支，不稳定的x 0=-μ是图中的B 支。
A 与B 两支构成了μ＞0时鞍点与结点附近的相轨线。
图2-3 切分岔中的相轨线2 转换键型分岔这种分岔属于稳定性转变的分岔，它是由下式产生的。
dx dt x x =±μ2(2-1-4)由dx dt /=0给出方程(2-1-4)的奇点为：x x 000==±⎧⎨⎩μ (2-1-5)当式(2-1-4)的右边取负号时分岔图形如图2-4所示。
采用与分析切分岔解的稳定性同样的方法，经分析可知，如μ＜0它的平衡点x 00=是稳定的，而它的x 0=-μ平衡点是不稳定的；如μ＞0它的x 00=平衡点是不稳定的，而平衡点x 0=+μ( ? )是稳定的；其分岔点为(x 0,μ)＝(0,0)。
对式(2-1-4)右边取正号的情况只要将上述的讨论推广即可。
图2-5给出了与μ轴相垂直的x 平面中相轨线的流动方向。
由图可见，不管是μ＜0还是μ＞0，都是一对鞍–结点。
但在μ＜0时，x 00=的轴线是结点，不稳定的A 支是x 0=-μ；而在μ> 0( ? )时，x 00=的轴线是不稳定的A 支，结点为μ+=0x ( ? )支。
图2-4 转换键型分岔图2-5 转换键型x 平面中的的相轨线3 叉式分岔有一微分方程：3x x dt dx +-=μ (2-1-6)μ为控制参数。
由dx dt /=0得三个平衡点：⎪⎩⎪⎨⎧±==μ000x x (2-1-7)当μ＜0时，只有平衡点x 0＝0，采用切分岔解稳定性分析方法可知它是稳定的。
当μ＞0时则有三个平衡点，其中x 0＝0是不稳定的，而x 0=±μ的两个解都是稳定的。
因此其分岔图形象一把叉子，如图2-6所示。
在上一章的杜芬方程(1-2-9)（0=F ）求解中，在参数0<κ时，方程只有一个0=x 的平衡点；在参数0>κ时方程有三个的平衡点：0=x 与κ±=x ，其中κ±=x 两个平衡点是稳定的，0=x 是不稳定的平衡点。
可见杜芬方程具有叉式分岔。
图2-7给出了μ＜0、μ=0与μ＞0时与μ轴相垂直的x 平面中相点沿相轨线的走动方向。
图2-6 叉式分岔图2-7 叉式分岔的x 平面中的相轨线4 霍夫型分岔研究微分方程组：dx dt y x x y dydt x y x y =-+-+=+-+⎧⎨⎪⎩⎪[()][()]μμ2222(2-1-8) 引入极坐标，(x-y )相平面上一点到坐标原点的距离为ρ=+x y 22，则：ϕρcos =x ， ϕρs i n =y对它们微分后有：dx dt d dt dy dt d dt =-⋅=+⋅⎧⎨⎪⎩⎪ρϕϕρϕρϕϕρϕcos sin cos cos(2-1-9) 代入式(2-1-8)的第一式，并分别令正弦与余弦分量的系数分别相等，得：ddt ρρμρϕ=-=()21(2-1-10) 对式(2-1-10)积分可得：0)2(1≤+=-μρC t (2-1-11a) ρμμμ=+>--()1021Ce t (2-1-11b)0t t -=ϕ式中，积分常数C 与t 0由初始条件决定。
由式(2-1-11a)可见，对于μ≤0，相平面中的相点到坐标原点距离ρ随时间缩短，当时间t →∞时ρ 趋于零，也就是说μ轴线上(,)(,)x y =00的各点是稳定的焦点，相空间中的各点都会趋近与它。
由式(2-1-11b)可见，当μ＞0时ρ 值随时间增长，不论初始ρ 值的大小如何，当时间t →∞时，最终ρ趋于μ，形成一闭合圈，即极限环。
这种因参数μ从负变化到正，从焦点产生出极限环的分岔称为霍夫分岔，分岔点位于μ=0。
图2-8给出了霍夫分岔中的极限环及轨线图形。
图2-8 霍夫分岔作为例子，我们讨论一下范德玻耳方程的分岔。
在第一章分析范德玻耳方程时知道，该方程有一个极限环，在极限环内是不稳定的不动点，其周围的轨线是向外发散的，说明存在霍夫分岔。
范德玻耳方程可以写成如下：()012222=+-+x dt dx x dt x d ωε (2-1-12) 为了给出范德玻耳方程的相图，引进参数参数：I 与θ，它们分别称为作用量与角度量。
在设ε= 0时，它们与变量x 有如下关系：θωcos 2Ix = (2-1-13)θω= (2-1-14) 由式(2-1-13)得：θωsin 2I dt dx = (2-1-15)由式(2-1-13)与(2-1-15)两式得：222121⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dt dx x I ωω (2-1-16)对方程(2-1-16)求导得： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2221dt x d x dt dx dt dI ωω利用方程(2-1-12)后上式为：()122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x dt dx dt dI ωε将式(2-1-13)与(2-1-15)代入式(2-1-16)得： θωθωωε22sin 21cos 2I I dt dI ⎪⎭⎫ ⎝⎛--= (2-1-17)并对式(2-1-17)的相位求平均，略去平均符号后得：)(C I C I dt dI --=γω (2-1-18)式中：ω2=C ωεγ/=由方程(2-1-8)，使0/=dt dI 可求该方程式的平衡点：0=1I ω22==C I现在分析两个解的稳定性。
将式(2-1-18)改写为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=I C I dt dI 2γω (2-1-19)对于平衡点1I 邻域有I I I I ∆=+∆=1，注意到/C I 2与IC 相比是个高阶小量，可以忽略。
代入方程(2-1-19)得：I dt dI γω≈于是得解：)exp()(0t I t I ⋅=γω (2-1-20)0I 是初始对1I 的偏离小量。
解(2-1-20)说明作用量I 随时间指数增长，1I 是不稳定解，它是不稳定的焦点。
对于2I ，在其邻域有I C I I I ∆±=∆±=2，代入方程(2-1-19)得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆±-∆±-=∆±)()()(2I C C I C dt I C d γω化简得：()I dt I d ∆-≈∆γω于是得解：)exp()(0t I t I ⋅-∆=∆γω (2-1-21)为0I ∆对2I 的初始偏离量。
解(2-1-20)说明作用量I 对2I 的偏离量随时间指数减小，当∞→t ，0→∆I ，即C I →。
这是霍夫分岔。
由此可见，在（x x, ）相平面上，范德玻耳方程的坐标原点是不稳定的焦点，而极限环是稳定的，当∞→t 相空间的相点趋向于极限环，如图2-9所示。
然而，范德玻耳方程的这个性质与方程中参数ε的正负有关。
如果方程中参数ε为负值，则由解(2-1-20)与(2-1-21)将得到完全相反的结论。
这时坐标原点变为稳定的焦点，成为系统的不动点，而极限环则是不稳定的。
当∞→t 时，处于极限环内的相点趋向于不动点，处于极限环外的相点则远离而去。
图2-9 范德玻耳方程霍夫分岔的相图第二节 平方映射与倍周期分岔1．平方映射在物理上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用离散数表示。
例如一个以x 为连续变量的单参数的动力学系统：y f x =(,)μ (2-2-1)这里μ为系统的参数。
如果我们考察在等时间间隔t ，t +1，t +2，t +3，…中系统状态的变化，则式(2-2-1)可以改写为时间演化方程：x t f x t ()(,())+=1μ (2-2-2)如果时间间隔∆t 不是整数，则可把各个时刻写成t 0，t 1，t 2，…，这里：t t t 10=+∆，t t t 202=+∆…，而把相应的状态记为：x 0，x 1，x 2，…其中)(n n t x x ≡ t t n t n =+0∆于是时间演化方程(2-2-2)变成了离散方程：),(1n n x f x μ=+ (2-2-3)这就是数学上称之为映射的方程。
