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第11章达朗贝尔原理及其应用11－1均质圆盘作定轴转动，其中图（a ），图（c ）的转动角速度为常数，而图（b ），图（d ）的角速度不为常量。
试对图示四种情形进行惯性力的简化。
ωα=0α≠0ωα=0ωα≠0ω（a ）（b ）习题11－1图（c ）（d ）F I OOF InF Itωα=0M I OωOωOωα≠0M I Oα≠0α=0（a ）（b ）（c ）（d ）习题11-1解图解：设圆盘的质量为m ，半径为r ，则如习题11-1解图：2（a ）F I=mr ω，MI O=0（b ）F I =mr ω，F I=mr α，MI O=J O α=（c ）F I=0，MI O=0（d ）F I=0，MI O=J O α=11－2矩形均质平板尺寸如图，质量27kg ，由两个销子A 、B 悬挂。
若突然撤去销子B ，求在撤去的瞬时平板的角加速度和销子A 的约束力。
n2t32mr α212mr α2ACB解：如图（a ）：设平板的质量为m ，长和宽分别为a 、b 。
F I=m α⋅AC =3.375α0.20m习题11－2图.15m1M I A =J A α=[m (a 2+b 2)+m ⋅AC 2]α=0.5625α122α=47.04rad/s M -0.1mg =0；；M (F )=0I A∑A F AyF IF Ax AM I A C a CBαm g θ∑F y=0；F I cos θ+F Ay -mg =0；sin θ=4=0.850.20m （a ）.15m∑Fx=0；F I sin θ-F Ax=0；其中：sin θ=3=0.65F Ax=3.375⨯47.04⨯0.6=95.26NF Ay=27⨯9.8-3.375⨯47.04⨯0.8=137.6N11－3在均质直角构件ABC 中，AB 、BC 两部分的质量各为 3.0kg ，用连杆AD 、DE 以及绳子AE 保持在图示位置。
若突然剪断绳子，求此瞬时连杆AD 、BE 所受的力。
第十一章 反常积分习题课一 概念叙述 1．叙述()dx x f a⎰+∞收敛的定义．答：()dx x f a⎰+∞收敛⇔()()lim+∞→+∞=⎰⎰uaau f x dx f x dx 存在．⇔()lim0+∞→+∞=⎰uu f x dx ．2．叙述()b af x dx ⎰（a 是暇点）收敛的定义．答：()ba f x dx ⎰收敛⇔()()lim +→=⎰⎰b buau a f x dx f x dx 存在．⇔0,0,εδ∀>∃>当δ<<+a u a ，有()()ε-<⎰⎰b buaf x dx f x dx ．3． 叙述()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则．答：无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则是：任给0ε>，存在0M >，只要12,u u M >，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰．4． 叙述()b af x dx ⎰（a 是暇点）收敛的柯西准则．答：瑕积分()dx x f ba ⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是：任给0ε>，存在0δ>，只要()12,,u u a a ∈+δ，总有()()()2121b bu u u u f x dx f x dx f x dx -=<ε⎰⎰⎰．二 疑难问题1．试问⎰+∞adx x f )(收敛与0)(lim =+∞→x f x 有无联系？答：首先，0)(lim =+∞→x f x 肯定不是⎰+∞adx x f )(收敛的充分条件，例如01lim=+∞→x x ，但⎰+∞11dx x发散．那么0)(lim =+∞→x f x 是否是⎰+∞adx x f )(收敛的必要条件呢？也不是！例如⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dx x ，⎰+∞14sin dxx x 都收敛，因为前两个无穷积分经换元2t x =得到⎰+∞12sin dx x 1+∞=⎰，21cos x dx +∞=⎰=dt tt ⎰+∞12cos ，则⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dx x 是条件收敛，对于第三个无穷积分，经换元2t x =而得⎰+∞14sin dx x x =⎰+∞12sin 21dt t ，它也是条件收敛的． 从这三个无穷积分的收敛性可以看到，当x →+∞时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．注：若lim ()0x f x A →+∞=≠，则⎰+∞ax x f d )(发散．注：1）若⎰+∞ax x f d )(收敛,且lim ()x f x A →+∞=存在, 则定有0)(lim =+∞→x f x ；2）若⎰+∞a x x f d )(收敛,且f 在[)+∞,a 上为单调，则0)(lim =+∞→x f x ；3）若⎰+∞a x x f d )(收敛，且f 在[)+∞,a 上一致连续，则0)(lim =+∞→x f x ；4）若⎰+∞ax x f d )(收敛，且()d af x x +∞'⎰收敛，则0)(lim =+∞→x f x ．证：1）设A x f x =+∞→)(lim ．若0≠A （不妨设0A >），则由极限保号性，M a ∃>，当x M ≥时满足 于是有()()2MaAf x dx u M ≥+-⎰， 于是 而这与⎰+∞ax x f d )(收敛相矛盾，故0A =．2）不妨f 在[)+∞,a 上单调增，若f 在[)+∞,a 上无上界，则0A ∀>，M a ∃>，当x M ≥时，使A x f ≥)(．类似于1）的证明，推知⎰+∞+∞=a dx x f )(，矛盾．所以f 在[)+∞,a 上单调增而有上界，于是由单调有界定理知A x f x =+∞→)(lim 存在．依据已证得的命题1），0)(l i m =+∞→x f x ．3）由f 在[)+∞,a 上一致连续，则0,0εδ∀>∃>，（设)δε≤[),,x x a '''∀∈+∞ x x δ'''-<只要时，就有()()2f x f x ε'''-<．又因⎰+∞adx x f )(收敛，故对上述,M a δ∃>，当12,x x M >时，有212()2x x f x dx δ<⎰．现对任何x M >，取12,x x M >，且使1221,.x x x x x δ<<-=此时由 便得(),.f x x M ε<>这就证得.0)(lim =+∞→x f x4）因为()d af x x +∞'⎰收敛，则()()()lim()d lim uau u f x x f u f a →+∞→+∞'=-⎰存在，于是()lim u f u →+∞存在，由1)得证．2．()af x dx +∞⎰收敛，与|()|af x dx +∞⎰收敛，2()af x dx +∞⎰收敛的关系？答：1）因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例，则|()|af x dx +∞⎰收敛()af x dx +∞⎰收敛．2）()af x dx +∞⎰2()af x dx +∞⎰收敛，例1+∞⎰条件收敛，但 21111sin 1cos 21cos 2222xx x dx dx dx dx x x x x+∞+∞+∞+∞-==-⎰⎰⎰⎰，112dx x +∞⎰发散，1cos 22x dx x+∞⎰发散，则21sin x dx x +∞⎰发散． 例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散． 3）()af x dx +∞⎰收敛2()af x dx +∞⎰收敛，例 ()2441,10,1n n x n n f x n x n n ⎧≤<+⎪⎪=⎨⎪+≤<+⎪⎩，对ε∀，总存在1M >，使当n M >时，都有41221n n nn dx n ε+=<⎰． 故但对于()2f x ，例302sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即302sin x dx x+∞⎰收敛，因为312sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即312sin x dx x+∞⎰收敛，而1302sin x dx x⎰，0是暇点，取12p =，则3322sin lim lim 1ppx x x x x x xx++→→==，因为112p =<收敛． 因为2133330010sin 1cos 21cos 21cos 2222x x x x dx dx dx dx x x x x+∞+∞+∞---==+⎰⎰⎰⎰， 311cos 22xdx x +∞-⎰收敛．1301cos 22x dx x -⎰，0是暇点，取1p = ，则23300141cos 22lim lim 122p p x x xx x x x x ++→→-==， 因为1p =，则发散．例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散． 3．()baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，与|()|baf x dx ⎰收敛 ，2()baf x dx ⎰收敛的关系？答：1）|()|baf x dx ⎰收敛()baf x dx ⎰收敛．因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例． 2）()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛，()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛．反例1⎰收敛，但101dx x ⎰发散．3）若2()b af x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，则|()|baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛．证 因()()212f x f x +≤，则由比较原则，可得|()|b a f x dx ⎰收敛，从而()b a f x dx ⎰收敛．3．下列说法对吗？1）因为sin xx 在0没有定义，则10sin x dx x⎰是瑕积分；2）因为ln 1xx -在1x =没有定义，则1x =是10ln 1x dx x-⎰的暇点．答：若被积函数f 在点a 的近旁是无界的，这时点a 称为f 的瑕点．1）错误，因为0sin lim 1x x x +→=，则s i n xx在0的近旁有界，因此不是瑕点，10sin x dx x ⎰是定积分．若()x f 在(]b a ,上连续，()A x f ax =+→lim （常数），则()⎰badx x f 可看成正常积分，事实上，定义()()(]⎩⎨⎧∈==.,,,,b a x x f a x A x F 知()x F 在[]b a ,上连续，即()⎰badxx F 存在，而()()()⎰⎰⎰-→-→++==ba ba b adx x F dx x f dx x f εεεε00lim lim ，由于()x F 在[]b a ,上连续，知变下限函数()()⎰-=ba dx x F G εε在[]a b -,0上连续，有()()()⎰==+→ba dx x F G G 0limεε，即()().⎰⎰=b a b a dx x F dx x f 故()⎰ba dx x f 可看成正常积分。
在我们的生活中,不等关系更为普遍．习㊀题㊀课１．解不等式组:(１)２x －１＞x ＋１,x ＋８＜４x －１;{(２)x －３(x －２)ɤ４,①１＋２x ３＞x －１．㊀②{２．求满足不等式组２x ＋５＞１,３x －８ɤ１０{①②的整数解．３．解不等式组３x －２＜x ＋２,８－x ȡ１－３(x －１)．{４．某小区前坪有一块空地,现想建成一块面积大于４８平方米,周长小于３４米的矩形绿化草地,已知一边长为８米,设其邻边长为x 米,求x 的整数解．(第４题)七年级数学(下)５．如图所示的矩形包书纸中,虚线是折痕,阴影是裁剪掉的部分,四个角均为大小相同的正方形,正方形的边长为折叠进去的宽度．(１)设课本的长为a c m,宽为b c m,厚为c c m,如果按如图所示的包书方式,将封面和封底各折进去３c m,用含a,b,c的代数式,分别表示满足要求的矩形包书纸的长与宽; (２)现有一本长为１９c m,宽为１６c m,厚为６c m的字典,你能用一张长为４３c m,宽为２６c m的矩形纸,按如图所示的方法包好这本字典,并使折叠进去的宽度不小于３c m 吗?请说明理由．(第５题)６．筹建中的城南中学需７２０套课桌椅,光明厂承担了这项生产任务,该厂生产桌子的必须５人一组,每组每天可生产１２张;生产椅子的必须４人一组,每组每天可生产２４把．已知学校筹建组要求光明厂６天完成这项生产任务．(１)问光明厂平均每天要生产多少套单人课桌椅?(２)学校筹建组要求至少提前１天完成这项生产任务,光明厂生产课桌椅的员工增加到８４名,试给出一种分配生产桌子㊁椅子的员工数的方案．７．小明利用课余时间回收废品,将卖得的钱去购买５本大小不同的两种笔记本,要求共花钱不超过２８元,且购买的笔记本的总页数不低于３４０页,两种笔记本的价格和页数如下表所示:大笔记本小笔记本价格(元/本)６５页数(页/本)１００６０为了节约资金,小明应选择哪一种购买方案?请说明理由．习㊀题㊀课１．(１)第一个不等式解得x ＞２,第二个不等式解得x ＞３,得到x ＞２,x ＞３．{所以原不等式组的解集为x ＞３．(２)由①,得x －３x ＋６ɤ４,－２x ɤ－２,x ȡ１．由②,得１＋２x ＞３x －３,－x ＞－４,x ＜４．ʑ㊀原不等式组的解集为１ɤx ＜４．２．由①,得x ＞－２．由②,得x ɤ６．ʑ㊀－２＜x ɤ６．ʑ㊀满足不等式组的整数解为－１,０,１,２,３,４,５,６．３．－２ɤx ＜２４．依题意,得８x ＞４８,２(x ＋８)＜３４．{解得６＜x ＜９,当x 为整数时,取值为７,８．５．(１)矩形包书纸的长为(２b ＋c ＋６)c m ,矩形包书纸的宽为(a ＋６)c m ．(２)设折叠进去的宽度为x c m ,分两种情况:①当字典的长与矩形纸的宽方向一致时,根据题意,得１９＋２x ɤ２６,１６ˑ２＋６＋２x ɤ４３．{解得x ɤ２．５．所以不能包好这本字典．②当字典的长与矩形纸的长方向一致时,同理可得x ɤ－６．所以不能包好这本字典．综上,所给矩形纸不能包好这本字典．６．(１)ȵ㊀７２０ː６＝１２０,ʑ㊀光明厂平均每天要生产１２０套单人课桌椅．(２)设x 人生产桌子,则(８４－x )人生产椅子,则x ５ˑ１２ˑ５ȡ７２０,８４－x ４ˑ２４ˑ５ȡ７２０．{解得６０ɤx ɤ６０,ʑ㊀x ＝６０,８０－x ＝２４．ʑ㊀生产桌子６０人,生产椅子２４人．７．设买大笔记x 本,由题意,得６x ＋５(５－x )ɤ２８,１００x ＋６０(５－x )ȡ３４０．{解得１ɤx ɤ３．又㊀x 为正整数,ʑ㊀x ＝１,２,３．所以购买的方案有三种:方案一:购买大笔记本１本,小笔记本４本;方案二:购买大笔记本２本,小笔记本３本;方案三:购买大笔记本３本,小笔记本２本．方案一花费的费用为６ˑ１＋５ˑ４＝２６元;方案二花费的费用为６ˑ２＋５ˑ３＝２７元;方案三花费的费用为６ˑ３＋５ˑ２＝２８元．所以选择方案一省钱．。
