中考数学专题复习题目好

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，对角线AC 平分BAD ∠.（1）如图1，若120DAB ∠=︒，且90B ∠=︒，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“90B ∠=︒”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图3，若90DAB ∠=︒，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.【答案】（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB AC +=.理由见解析.【解析】试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD=12AC ，AB=12AC 即可解决问题； （2）（1）中的结论成立．以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题；（3）结论：AD +AB ＝2AC ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，只要证明△ACE 是等腰直角三角形，△DAC ≌△BEC 即可解决问题；试题解析：解：（1）AC=AD+AB ．理由如下：如图1中，在四边形ABCD 中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC 平分∠DAB ，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴AB＝12AC，同理AD＝12AC．∴AC=AD+AB．（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，∵∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AD+AB．（3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，∴DCB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°．∴AC=CE．又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD=BE，∴AD+AB=AE．在Rt△ACE中，∠CAB=45°，∴AE＝245ACACcos︒＝∴2AD AB AC+＝.2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD 的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形BCFD是菱形；（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】（1）∵AF∥BC，∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，∵点E为CD的中点，∴DE=EC，在△BCE与△FDE中，FBC BFDDCB CDFDE EC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△FDE，∴DF=BC，又∵DF∥BC，∴四边形BCDF为平行四边形，∵BD=BC，∴四边形BCFD是菱形；（2）∵四边形BCFD是菱形，∴BD=DF=BC=2，在Rt△BAD中，AB223BD AD-，∵AF=AD+DF=1+2=3，在Rt△BAF中，BF22AB AF+3．3．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON=90°；（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）．【答案】（1）作图参见解析；（2）作图参见解析.【解析】试题分析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN即可；（2）根据勾股定理画出图形即可．试题解析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN，如图1所示；（2）等腰直角三角形MON面积是5，因此正方形面积是20，如图2所示；于是根据勾股定理画出图3：考点：1.作图﹣应用与设计作图；2.勾股定理.4．（问题情境）在△ABC中，AB＝AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE＝CF．证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．（不要证明）（变式探究）（1）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3），试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）（2）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD ＝16，CF＝6，求PG+PH的值．（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线l1：y＝-43x+8与直线l2：y＝﹣2x+8相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点，若点P到直线l1的距离为2．求点P的坐标．【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】（﹣1，6），（1，10）【解析】【变式探究】连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得；【结论运用】过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，根据勾股定理和矩形的性质解答即可；【迁移拓展】分两种情况，利用结论，求得点P到x轴的距离，再利用待定系数法可求出P的坐标．【详解】变式探究:连接AP，如图3：∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC＝S△ACP﹣S△ABP，∴12AB•CF＝12AC•PE﹣12AB•PD．∵AB＝AC，∴CF＝PD﹣PE；结论运用:过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，∵四边形ABCD是长方形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．∵AD＝16，CF＝6，∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，由折叠可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．∴DF＝5．∵∠C＝90°，∴DC2222106DF CF-=-8．∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC．∴四边形EQCD是长方形．∴EQ＝DC＝4．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB．∵∠BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠EFB．∴BE＝BF，由问题情境中的结论可得：PG+PH＝EQ．∴PG+PH＝8．∴PG+PH的值为8；迁移拓展:如图，由题意得：A（0，8），B（6，0），C（﹣4，0）∴AB2268+10，BC＝10．∴AB＝BC，（1）由结论得：P1D1+P1E1＝OA＝8∵P1D1＝1＝2，∴P1E1＝6 即点P1的纵坐标为6又点P1在直线l2上，∴y＝2x+8＝6，∴x＝﹣1，即点P1的坐标为（﹣1，6）；（2）由结论得：P2E2﹣P2D2＝OA＝8∵P2D2＝2，∴P2E2＝10 即点P1的纵坐标为10又点P1在直线l2上，∴y＝2x+8＝10，∴x＝1，即点P1的坐标为（1，10）【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点，利用面积法列出等式是解决问题的关键．5．（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在∠的度数为______.点C'处，若42ADB=∠，则DBE（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD ，4AB =，9AD =.（画一画）如图2，点E 在这张矩形纸片的边AD 上，将纸片折叠，使AB 落在CE 所在直线上，折痕设为MN （点M ，N 分别在边AD ，BC 上），利用直尺和圆规画出折痕MN （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；（算一算）如图3，点F 在这张矩形纸片的边BC 上，将纸片折叠，使FB 落在射线FD 上，折痕为GF ，点,A B 分别落在点A '，B '处，若73AG =，求B D '的长.【答案】（1）21；（2）画一画；见解析；算一算：3B D '=【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；（2）【画一画】，如图2中，延长BA 交CE 的延长线由G ，作∠BGC 的角平分线交AD 于M ，交BC 于N ，直线MN 即为所求；【算一算】首先求出GD=9-72033=，由矩形的性质得出AD ∥BC ，BC=AD=9，由平行线的性质得出∠DGF=∠BFG ，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG ，证出∠DFG=∠DGF ，由等腰三角形的判定定理证出DF=DG=203，再由勾股定理求出CF ，可得BF ，再利用翻折不变性，可知FB′=FB ，由此即可解决问题．【详解】 （1）如图1所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=42°，由翻折的性质可知，∠DBE=∠EBC=12∠DBC=21°，故答案为21．（2）【画一画】如图所示：【算一算】如3所示：∵AG=73，AD=9，∴GD=9-72033=，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BC=AD=9，∴∠DGF=∠BFG，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，∴∠DFG=∠DGF，∴DF=DG=203，∵CD=AB=4，∠C=90°，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：22222016433 DF CD⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，∴BF=BC-CF=9161133-=，由翻折不变性可知，FB=FB′=11 3，∴B′D=DF-FB′=2011333-=.【点睛】四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．6．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC．（1）求证：△AEF≌△DCE．（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6cm.【解析】分析：（1）根据EF⊥CE，求证∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求证△AEF≌△DCE．（2）利用全等三角形的性质，对应边相等，再根据矩形ABCD的周长为32cm，即可求得AE的长.详解：（1）证明：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．∴△AEF≌△DCE．（2）解：∵△AEF≌△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周长为32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．答：AE的长为6cm．点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．7．如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，AF⊥AE交CB的延长线于F．求证：AE=AF．【答案】见解析【解析】【分析】根据同角的余角相等证得∠BAF=∠DAE，再利用正方形的性质可得AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，根据ASA判定△ABF≌△ADE，根据全等三角形的性质即可证得AF=AE．【详解】∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE=90°，又∵∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAF=∠DAE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，在△ABF和△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（ASA），∴AF=AE．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，证明△ABF≌△ADE是解决本题的关键．8．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到E，使得AE=OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF与BC交于点H，再连接EF．（1）如图1，若△ABC为等边三角形，求证：①EF⊥BC；②EF=BC；（2）如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），猜想（1）中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；（3）如图3，若△ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，请你直接写出EF与BC之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BC仍然成立；（3）EF=BC【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等边三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；（2）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；（3）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰三角形的性质和AB=AC=kBC得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可．试题解析：（1）连接AH，如图1，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2，∴AH==BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF⊥BC，EF=BC；（2）EF⊥BC仍然成立，EF=BC，如图2，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（BH）2﹣BH2=BH2，∴AH=BH=BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF⊥BC，EF=BC；（3）如图3，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC 是等腰三角形， ∴AB=kBC ，AH ⊥BC ，在Rt △ABH 中，AH 2=AB 2﹣BH 2=（kBC ）2﹣（BC ）2=（k 2-）BC 2，∴AH=BH=BC ，∵OA=AE ，OH=HF ， ∴AH 是△OEF 的中位线， ∴AH=EF ，AH ∥EF ， ∴EF ⊥BC ，BC=EF ，∴EF=BC ．考点：四边形综合题．9．已知ABC ，以AC 为边在ABC 外作等腰ACD ，其中AC AD =. （1）如图①，若AB AE =，60DAC EAB ∠=∠=︒，求BFC ∠的度数. （2）如图②，ABC α∠=，ACD β∠=，4BC =，6BD =.①若30α=︒，60β=︒，AB 的长为______.②若改变,αβ的大小，但90αβ+=︒，ABC 的面积是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化的规律.【答案】（1）120°；（2）55【解析】试题分析：（1）根据SAS ，可首先证明△AEC ≌△ABD ，再利用全等三角形的性质，可得对应角相等，根据三角形的外角的定理，可求出∠BFC 的度数；（2）①如图2，在△ABC 外作等边△BAE ，连接CE ，利用旋转法证明△EAC ≌△BAD ，可证∠EBC=90°，EC=BD=6，因为BC=4，在Rt △BCE 中，由勾股定理求BE 即可；②过点B 作BE ∥AH ，并在BE 上取BE=2AH ，连接EA ，EC ．并取BE 的中点K ，连接AK ，仿照（2）利用旋转法证明△EAC ≌△BAD ，求得EC=DB ，利用勾股定理即可得出结论． 试题解析：解：（1）∵AE=AB，AD=AC，∵∠EAB=∠DAC=60°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠DAB=∠DAC+∠BAC，∴∠EAC=∠DAB，在△AEC和△ABD中{AE ABEAC BAD AC AD=∠=∠=∴△AEC≌△ABD（SAS），∴∠AEC=∠ABD，∵∠BFC=∠BEF+∠EBF=∠AEB+∠ABE，∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°，故答案为120°；（2）①如图2，以AB为边在△ABC外作正三角形ABE，连接CE．由（1）可知△EAC≌△BAD．∴EC=BD．∴EC=BD=6，∵∠BAE=60°，∠ABC=30°，∴∠EBC=90°．在RT△EBC中，EC=6，BC=4，∴22EC BC-2264-∴5②若改变α，β的大小，但α+β=90°，△ABC的面积不变化，以下证明：如图2，作AH⊥BC交BC于H，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．∵AH⊥BC于H，∴∠AHC=90°．∵BE∥AH，∴∠EBC=90°．∵∠EBC=90°，BE=2AH，∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．∵K为BE的中点，BE=2AH，∴BK=AH．∵BK∥AH，∴四边形AKBH为平行四边形．又∵∠EBC=90°，∴四边形AKBH为矩形．∠ABE=∠ACD，∴∠AKB=90°．∴AK是BE的垂直平分线．∴AB=AE．∵AB=AE，AC=AD，∠ABE=∠ACD，∴∠EAB=∠DAC，∴∠EAB+∠EAD=∠DAC+∠EAD，即∠EAC=∠BAD，在△EAC与△BAD中{AB AEEAC BAD AC AD=∠=∠=∴△EAC≌△BAD．∴EC=BD=6．在RT△BCE中，BE=22EC BC-=25，∴AH=12BE=5，∴S△ABC=12BC•AH=25考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质10．（本题14分）小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决．问题1：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对角线PQ的最小值及PQ最小时的值．（1）在解决这个问题时，小明构造出了如图2的辅助线，则PQ的最小值为，当PQ最小时= _____ __；（2）小明对问题1做了简单的变式思考．如图3，P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE，PC为边作□PCQE，试求对角线PQ长的最小值，并求PQ最小时的值；问题2：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．（1）如图4，若为上任意一点，以，为边作□．试求对角线长的最小值和PQ最小时的值．（2）若为上任意一点，延长到，使，再以，为边作□．请直接写出对角线长的最小值和PQ最小时的值．【答案】问题1：（1）3，；（2）PQ=，=．问题2：（1）=4，．（2）PQ的最小值为．．【解析】试题分析：问题1：（1）首先根据条件可证四边形PCBQ是矩形，然后根据条件“四边形APBQ是平行四边形可得AP=QB=PC，从而可求的值．（2）由题可知：当QP⊥AC 时，PQ最小．过点C作CD⊥AB于点D．此时四边形CDPQ为矩形，PQ=CD，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，利用面积可求出CD=,然后可求出AD=，由AE=nPA可得PE=，而PE=CQ=PD=AD-AP=，所以AP=．所以=．问题2：（1）设对角线与相交于点．Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由题可知：当QP⊥AB时，PQ最小，此时=CH=4，根据条件可证四边形BPQH为矩形，从而QH=BP=AP．所以．（2）根据题意画出图形，当AB 时，的长最小，PQ的最小值为．．试题解析：问题1：（1）3，；（2）过点C作CD⊥AB于点D．由题意可知当PQ⊥AB时，PQ最短．所以此时四边形CDPQ为矩形．PQ=CD，DP=CQ=PE．因为∠BCA=90°，AC=4，BC=3，所以AB=5．所以CD=．所以PQ=．在Rt△ACD中AC=4，CD=，所以AD=．因为AE=nPA，所以PE==CQ=PD=AD-AP=．所以AP=．所以=．问题2：（1）如图2，设对角线与相交于点．所以G是DC的中点，作QH BC，交BC的延长线于H，因为AD//BC，所以．所以．又，所以Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由图知，当AB时，的长最小，即=CH=4．易得四边形BPQH为矩形，所以QH=BP=AP．所以．（若学生有能力从梯形中位线角度考虑，若正确即可评分．但讲评时不作要求）（2）PQ的最小值为．．考点：1．直角三角形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．平行四边形的性质；4矩形的判定与性质．。

专题八：几何证明题问题解析几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力;几何证明题和计算题在中考中占有重要地位．根据新的课程标准;对几何证明题证明的方法技巧上要降低;繁琐性、难度方面要降低．但是注重考查学生的基础把握推理能力;所以几何证明题是目前常考的题型．热点探究类型一：关于三角形的综合证明题例题12016·四川南充已知△ABN和△ACM位置如图所示;AB=AC;AD=AE;∠1=∠2．1求证：BD=CE；2求证：∠M=∠N．分析1由SAS证明△ABD≌△ACE;得出对应边相等即可2证出∠BAN=∠CAM;由全等三角形的性质得出∠B=∠C;由AAS证明△ACM≌△ABN;得出对应角相等即可．解答1证明：在△ABD和△ACE中;;∴△ABD≌△ACESAS;∴BD=CE；2证明：∵∠1=∠2;∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE;即∠BAN=∠CAM;由1得：△ABD≌△ACE;∴∠B=∠C;在△ACM和△ABN中;;∴△ACM≌△ABNASA;∴∠M=∠N．点评本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．同步练2016·山东省菏泽市·3分如图;△ACB和△DCE均为等腰三角形;点A;D;E在同一直线上;连接BE．1如图1;若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．2如图2;若∠ACB=∠DCE=120°;CM为△DCE中DE边上的高;BN为△ABE中AE边上的高;试证明：AE=2CM+BN．类型二：关于四边形的综合证明题例题22016·山东省滨州市·10分如图;BD是△ABC的角平分线;它的垂直平分线分别交AB;BD;BC 于点E;F;G;连接ED;DG．1请判断四边形EBGD的形状;并说明理由；2若∠ABC=30°;∠C=45°;ED=2;点H是BD上的一个动点;求HG+HC的最小值．考点平行四边形的判定与性质；角平分线的性质．分析1结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．2作EM⊥BC于M;DN⊥BC于N;连接EC交BD于点H;此时HG+HC最小;在RT△EMC中;求出EM、MC即可解决问题．解答解：1四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD;∴EB=ED;GB=GD;∴∠EBD=∠EDB;∵∠EBD=∠DBC;∴∠EDF=∠GBF;在△EFD和△GFB中;;∴△EFD≌△GFB;∴ED=BG;∴BE=ED=DG=GB;∴四边形EBGD是菱形．2作EM⊥BC于M;DN⊥BC于N;连接EC交BD于点H;此时HG+HC最小;在RT△EBM中;∵∠EMB=90°;∠EBM=30°;EB=ED=2;∴EM=BE=;∵DE∥BC;EM⊥BC;DN⊥BC;∴EM∥DN;EM=DN=;MN=DE=2;在RT△DNC中;∵∠DNC=90°;∠DCN=45°;∴∠NDC=∠NCD=45°;∴DN=NC=;∴MC=3;在RT△EMC中;∵∠EMC=90°;EM=．MC=3;∴EC===10．∵HG+HC=EH+HC=EC;∴HG+HC的最小值为10．点评本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识;解题的关键是利用对称找到点H的位置;属于中考常考题型．同步练2016·山东省济宁市·3分如图;正方形ABCD的对角线AC;BD相交于点O;延长CB至点F;使CF=CA;连接AF;∠ACF的平分线分别交AF;AB;BD于点E;N;M;连接EO．1已知BD=;求正方形ABCD的边长；2猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．类型三：关于圆的综合证明题例题32016·山东潍坊正方形ABCD内接于⊙O;如图所示;在劣弧上取一点E;连接DE、BE;过点D作DF∥BE交⊙O于点F;连接BF、AF;且AF与DE相交于点G;求证：1四边形EBFD是矩形；2DG=BE．考点正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理．分析1直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°;∠BFD=∠BCD=90°;∠EDF=90°;进而得出答案；2直接利用正方形的性质的度数是90°;进而得出BE=DF;则BE=DG．解答证明：1∵正方形ABCD内接于⊙O;∴∠BED=∠BAD=90°;∠BFD=∠BCD=90°;又∵DF∥BE;∴∠EDF+∠BED=180°;∴∠EDF=90°;∴四边形EBFD是矩形；2∵正方形ABCD内接于⊙O;∴的度数是90°;∴∠AFD=45°;又∵∠GDF=90°;∴∠DGF=∠DFC=45°;∴DG=DF;又∵在矩形EBFD中;BE=D同步练枣庄市 2015 中考 -24如图;在△ABC中;∠ABC=90°;以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D;E是BC的中点;连接DE;OE．1判断DE与⊙O的位置关系;并说明理由；2求证：BC2=CD 2OE；3若cos∠BAD=35;BE=6;求OE的长．类型四：关于相似三角形的证明问题例题42016·黑龙江齐齐哈尔·8分如图;在△ABC中;AD⊥BC;BE⊥AC;垂足分别为D;E;AD与BE 相交于点F．1求证：△ACD∽△BFD；2当tan∠ABD=1;AC=3时;求BF的长．考点相似三角形的判定与性质．分析1由∠C+∠DBF=90°;∠C+∠DAC=90°;推出∠DBF=∠DAC;由此即可证明．2先证明AD=BD;由△ACD∽△BFD;得==1;即可解决问题．解答1证明：∵AD⊥BC;BE⊥AC;∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°;∴∠C+∠DBF=90°;∠C+∠DAC=90°;∴∠DBF=∠DAC;∴△ACD∽△BFD．2∵tan∠ABD=1;∠ADB=90°∴=1;∴AD=BD;∵△ACD∽△BFD;∴==1;∴BF=AC=3．同步练2016·湖北武汉·10分在△ABC中;P为边AB上一点．1 如图1;若∠ACP＝∠B;求证：AC2＝AP·AB；2 若M为CP的中点;AC＝2;① 如图2;若∠PBM＝∠ACP;AB＝3;求BP的长；② 如图3;若∠ABC＝45°;∠A＝∠BMP＝60°;直接写出BP的长．达标检测1. 2016·黑龙江哈尔滨·8分已知：如图;在正方形ABCD 中;点E 在边CD 上;AQ⊥BE 于点Q;DP⊥AQ 于点P ．1求证：AP=BQ ；2在不添加任何辅助线的情况下;请直接写出图中四对线段;使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长．2. 2016·四川内江9分如图6所示;△ABC 中;D 是BC 边上一点;E 是AD 的中点;过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F;且AF ＝BD;连接BF ．1求证：D 是BC 的中点；2若AB ＝AC;试判断四边形AFBD 的形状;并证明你的结论．3. 烟台市 2015 中考 -23如图;以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其它两边AC;BC 的交点分别为D 、E;且=．1试判断△ABC 的形状;并说明理由．2已知半圆的半径为5;BC=12;求sin∠ABD 的值．4. 2015 内蒙古呼伦贝尔兴安盟;第22题7分如图;在平行四边形ABCD 中;E 、F 分别为边AB 、CD 的中点;BD 是对角线．1求证：△ADE ≌△CBF ；2若∠ADB 是直角;则四边形BEDF 是什么四边形 证明你的结论．5. 烟台市 2014 中考 -24如图;AB 是⊙O 的直径;延长AB 至P;使BP=OB;BD 垂直于弦BC;垂足为点B;点D 在PC 上．设∠PCB=α;∠POC=β．求证：tanα tan=．DCEF B A 图66. 2015 梧州;第25题12分如图;在正方形ABCD中;点P在AD上;且不与A、D重合;BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点;垂足为Q;过E作EH⊥AB于H．1求证：HF=AP；2若正方形ABCD的边长为12;AP=4;求线段EQ的长．7. 2015 北海;第25题12分如图;AB、CD为⊙O的直径;弦AE∥CD;连接BE 交CD于点F;过点E作直线EP与CD的延长线交于点P;使∠PED=∠C．1求证：PE是⊙O的切线；2求证：ED平分∠BEP；3若⊙O的半径为5;CF=2EF;求PD的长．参考答案类型一：关于三角形的综合证明题同步练2016·山东省菏泽市·3分如图;△ACB和△DCE均为等腰三角形;点A;D;E在同一直线上;连接BE．1如图1;若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．2如图2;若∠ACB=∠DCE=120°;CM为△DCE中DE边上的高;BN为△ABE中AE边上的高;试证明：AE=2CM+BN．考点等腰三角形的性质．分析1①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE;再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC;DC=EC”;利用全等三角形的判定SAS即可证出△ACD≌△BCE;由此即可得出结论AD=BE；②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC;再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；2根据等腰三角形的性质结合顶角的度数;即可得出底角的度数;利用1的结论;通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度;二者相加即可证出结论．解答1①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°;∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB;∠DCE=∠DCB+∠BCE;∴∠ACD=∠BCE．∵△AC B和△DCE均为等腰三角形;∴AC=BC;DC=EC．在△ACD和△BCE中;有;∴△ACD≌△BCESAS;∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE;∴∠ADC=∠BEC．∵点A;D;E在同一直线上;且∠CDE=50°;∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°;∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB;且∠CED=50°;∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．2证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形;且∠ACB=∠DCE=120°;∴∠CDM=∠CEM=×180°﹣120°=30°．∵CM⊥DE;∴∠CMD=90°;DM=EM．在Rt△CMD中;∠CMD=90°;∠CDM=30°;∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°;∠BEC=∠CEM+∠AEB;∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°;∴∠BEN=180°﹣120°=60°．在Rt△BNE中;∠BNE=90°;∠BEN=60°;∴BE==BN．∵AD=BE;AE=AD+DE;∴AE=BE+DE=BN+2CM．点评本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算;解题的关键是：1通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE；2找出线段AD、DE的长．本题属于中档题;难度不大;但稍显繁琐;解决该题型题目时;利用角的计算找出相等的角;再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角;最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键．类型二：关于四边形的综合证明题同步练2016·山东省济宁市·3分如图;正方形ABCD的对角线AC;BD相交于点O;延长CB至点F;使CF=CA;连接AF;∠ACF的平分线分别交AF;AB;BD于点E;N;M;连接EO．1已知BD=;求正方形ABCD的边长；2猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．考点正方形的性质．分析1根据正方形的性质以及勾股定理即可求得；2根据等腰三角形三线合一的性质证得CE⊥AF;进一步得出∠BAF=∠BCN;然后通过证得△ABF≌△CBN得出AF=CN;进而证得△ABF∽△COM;根据相似三角形的性质和正方形的性质即可证得CN= CM．解答解：1∵四边形ABCD是正方形;∴△ABD是等腰直角三角形;∴2AB2=BD2;∵BD=;∴AB=1;∴正方形ABCD的边长为1；2CN=CM．证明：∵CF=CA;AF是∠ACF的平分线;∴CE⊥AF;∴∠AEN=∠CBN=90°;∵∠ANE=∠CNB;∴∠BAF=∠BCN;在△ABF和△CBN中;;∴△ABF≌△CBNAAS;∴AF=CN;∵∠BAF=∠BCN;∠ACN=∠BCN;∴∠BAF=∠OCM;∵四边形ABCD是正方形;∴AC⊥BD;∴∠ABF=∠COM=90°;∴△ABF∽△COM;∴=;∴==;即CN=CM．类型三：关于圆的综合证明题同步练枣庄市 2015 中考 -24如图;在△ABC中;∠ABC=90°;以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D;E是BC的中点;连接DE;OE．1判断DE与⊙O的位置关系;并说明理由；2求证：BC2=CD 2OE；3若cos∠BAD=35;BE=6;求OE的长．思路分析：本题考查了切线的判定;垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点．故对于题1可以连接OD;BD;由AB为圆O的直径;得到∠ADB为直角;从而得出三角形BCD为直角三角形;E为斜边BC 的中点;利用斜边上的中线等于斜边的一半;得到CE=DE;利用等边对等角得到一对角相等;再由OA=OD;利用等边对等角得到一对角相等;由直角三角形ABC中两锐角互余;利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余;可得出∠ODE为直角;即DE垂直于半径OD;可得出DE为圆O的切线；对于题2首先可证明OE是△ABC的中位线;则AC=2OE;然后证明△ABC∽△BDC;根据相似三角形的对应边的比相等;即可证得；对于题3在直角△ABC中;利用勾股定理求得AC的长;之后根据三角形中位线定理OE的长即可求得．解题过程：1证明：连接OD;BD;∵AB为圆O的直径;∴∠ADB=90°;在Rt△BDC中;E为斜边BC的中点;∴CE=DE=BE=12 BC;∴∠C=∠CDE;∵OA=OD;∴∠A=∠ADO;∵∠ABC=90°;即∠C+∠A=90°;∴∠ADO+∠CDE=90°;即∠ODE=90°;∴DE⊥OD;又OD为圆的半径;∴DE为⊙O的切线；2证明：∵E是BC的中点;O点是AB的中点; ∴OE是△ABC的中位线;∴AC=2OE;∵∠C=∠C;∠ABC=∠BDC;∴△ABC∽△BDC;∴BC ACCD BC=;即BC2=AC CD．∴BC2=2CD OE；3解：∵cos∠BAD=35;∴sin∠BAC=45 BCAC=;又∵BE=6;E是BC的中点;即BC=12;∴AC=15．又∵AC=2OE;∴OE=12AC=152．规律总结：熟练把握切线的判定;垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点是解决本题的关键．要证某线是圆的切线;已知此线过圆上某点;连接圆心与这点即为半径;再证垂直即可．类型四：关于相似三角形的证明问题同步练2016·湖北武汉·10分在△ABC中;P为边AB上一点．1 如图1;若∠ACP＝∠B;求证：AC2＝AP·AB；2 若M为CP的中点;AC＝2;① 如图2;若∠PBM＝∠ACP;AB＝3;求BP的长；② 如图3;若∠ABC＝45°;∠A＝∠BMP＝60°;直接写出BP的长．考点相似形综合;考查相似三角形的判定和性质;平行线的性质;三角形中位线性质;勾股定理..答案 1证△ACP∽△ABC即可；2①BP＝5；②71解析1证明：∵∠ACP＝∠B;∠BAC＝∠CAP;∴△ACP∽△ABC;∴AC：AB＝AP：AC;∴AC2＝AP·AB；2①如图;作CQ∥BM交AB延长线于Q;设BP＝x;则P Q＝2x∵∠PBM＝∠ACP;∠PAC＝∠CAQ;∴△APC∽△ACQ;由AC2＝AP·AQ得：22＝3－x35即BP②如图：作CQ⊥AB 于点Q;作CP 0＝CP 交AB 于点P 0;∵AC ＝2;∴AQ＝1;CQ ＝BQ; 设P0Q ＝PQ ＝1－x;BP －1＋x;∵∠BPM＝∠CP 0A ;∠BMP＝∠CAP 0;∴△AP 0C∽△MPB;∴00AP P C MP BP =;∴MP P0C ＝2012P C ==AP 0 BP ＝1＋x;解得x ∴BP ＝－11-．达标检测1. 2016·黑龙江哈尔滨·8分已知：如图;在正方形ABCD 中;点E 在边CD 上;AQ⊥BE 于点Q;DP⊥AQ 于点P ．1求证：AP=BQ ；2在不添加任何辅助线的情况下;请直接写出图中四对线段;使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长．考点正方形的性质；全等三角形的判定与性质．分析1根据正方形的性质得出AD=BA;∠BAQ=∠ADP;再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA;判定△AQB≌△DPA 并得出结论；2根据AQ ﹣AP=PQ 和全等三角形的对应边相等进行判断分析．解答解：1∵正方形ABCD∴AD=BA;∠BAD=90°;即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE 于点Q;DP⊥AQ 于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPAAAS∴AP=BQ2①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ2. 2016·四川内江9分如图6所示;△ABC 中;D 是BC 边上一点;E 是AD 的中点;过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F;且AF ＝BD;连接BF ．1求证：D 是BC 的中点；2若AB ＝AC;试判断四边形AFBD 的形状;并证明你的结论．考点三角形例行;特殊四边形的性质与判定..1证明：∵点E 是AD 的中点;∴AE ＝DE ．∵AF ∥BC;∴∠AFE ＝∠DCE;∠FAE ＝∠CDE ．∴△EAF ≌△EDC ．∴AF ＝DC ．∵AF ＝BD;∴BD ＝DC;即D 是BC 的中点．2四边形AFBD 是矩形．证明如下：∵AF ∥BD;AF ＝BD;∴四边形AFBD 是平行四边形．∵AB ＝AC;又由1可知D 是BC 的中点;∴AD ⊥BC ．DC EF B A图6∴□AFBD是矩形．3. 烟台市 2015 中考 -23如图;以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC;BC的交点分别为D、E;且=．1试判断△ABC的形状;并说明理由．2已知半圆的半径为5;BC=12;求sin∠ABD的值．思路分析：1连结AE;如图;根据圆周角定理;由=得∠DAE=∠BAE;由AB为直径得∠AEB=90°;根据等腰三角形的判定方法即可得△ABC为等腰三角形；2由等腰三角形的性质得BE=CE=BC=6;再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE=8;接着由AB为直径得到∠ADB=90°;则可利用面积法计算出BD=;然后在Rt△ABD中利用勾股定理计算出AD=;再根据正弦的定义求解．解题过程：解：1△ABC为等腰三角形．理由如下：连结AE;如图;∵=;∴∠DAE=∠BAE;即AE平分∠BAC;∵AB为直径;∴∠AEB=90°;∴AE⊥BC;∴△ABC为等腰三角形；2∵△ABC为等腰三角形;AE⊥BC;∴BE=CE=BC=×12=6;在Rt△ABE中;∵AB=10;BE=6;∴AE==8;∵AB为直径;∴∠ADB=90°;∴AE BC=BD AC;∴BD==;在Rt△ABD中;∵AB=10;BD=;∴AD==;∴sin∠ABD===．规律总结：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中;同弧或等弧所对的圆周角相等;都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理．4. 2015 内蒙古呼伦贝尔兴安盟;第22题7分如图;在平行四边形ABCD中;E、F分别为边AB、CD的中点;BD是对角线．1求证：△ADE≌△CBF；2若∠ADB是直角;则四边形BEDF是什么四边形证明你的结论．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．分析：1由四边形ABCD是平行四边形;即可得AD=BC;AB=CD;∠A=∠C;又由E、F分别为边AB、CD的中点;可证得AE=CF;然后由SAS;即可判定△ADE≌△CBF；2先证明BE与DF平行且相等;然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;再连接EF;可以证明四边形AEFD是平行四边形;所以AD∥EF;又AD⊥BD;所以BD⊥EF;根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．解答：1证明：∵四边形ABCD是平行四边形;∴AD=BC;AB=CD;∠A=∠C;∵E、F分别为边AB、CD的中点;∴AE=AB;CF=CD;∴AE=CF;在△ADE和△CBF中;∵;∴△ADE≌△CBFSAS；2若∠ADB是直角;则四边形BEDF是菱形;理由如下：解：由1可得BE=DF;又∵AB∥C D;∴BE∥DF;BE=DF;∴四边形BEDF是平行四边形;连接EF;在 ABCD中;E、F分别为边AB、CD的中点;∴DF∥AE;DF=AE;∴四边形AEFD是平行四边形;∴EF∥AD;∵∠ADB是直角;∴AD⊥BD;∴EF⊥BD;又∵四边形BFDE是平行四边形;∴四边形BFDE是菱形．点评：本题主要考查了平行四边形的性质;全等三角形的判定以及菱形的判定;利用好E、F 是中点是解题的关键．5. 烟台市 2014 中考 -24如图;AB是⊙O的直径;延长AB至P;使BP=OB;BD垂直于弦BC;垂足为点B;点D在PC上．设∠PCB=α;∠POC=β．求证：tanα tan=．解析：连接AC先求出△PBD∽△PAC;再求出=;最后得到tanα tan=．解答：证明：连接AC;则∠A=∠POC=;∵AB是⊙O的直径;∴∠ACB=90°;∴tanα=;BD∥AC;∴∠PBD=∠A;∵∠P=∠P;∴△PBD∽△PAC;∴=;∵PB=0B=OA;∴=;∴tana tan===．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识;本题解题的关键是求出△PBD∽△PAC;再求出tanα tan=．6. 2015 梧州;第25题12分如图;在正方形ABCD中;点P在AD上;且不与A、D重合;BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点;垂足为Q;过E作EH⊥AB于H．1求证：HF=AP；2若正方形ABCD的边长为12;AP=4;求线段EQ的长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．所有分析： 1先根据EQ⊥BO;EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH;故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE;故可得出结论；2由勾股定理求出BP的长;根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP;再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长;由1知;△APB≌△HFE;故EF=BP=4;再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论．解答： 1证明：∵EQ⊥BO;EH⊥AB;∴∠EQN=∠BHM=90°．∵∠EMQ=∠BMH;∴△EMQ∽△BMH;∴∠QEM=∠HBM．在Rt△APB与Rt△HFE中;;∴△APB≌△HFE;∴HF=AP；2解：由勾股定理得;BP===4．∵EF是BP的垂直平分线;∴BQ=BP=2;∴QF=BQ tan∠FBQ=BQ tan∠ABP=2×=．由1知;△APB≌△HFE;∴EF=BP=4;∴EQ=EF﹣QF=4﹣=．点评：本题考查的是正方形的性质;熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．7.8. 2015 北海;第25题12分如图;AB、CD为⊙O的直径;弦AE∥CD;连接BE交CD于点F;过点E作直线EP与CD的延长线交于点P;使∠PED=∠C．1求证：PE是⊙O的切线；2求证：ED平分∠BEP；3若⊙O的半径为5;CF=2EF;求PD的长．考点：切线的判定．分析： 1如图;连接OE．欲证明PE是⊙O的切线;只需推知OE⊥PE即可；2由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°;根据“同角的余角相等”推知∠3=∠4;结合已知条件证得结论；3设EF=x;则CF=2x;在RT△OEF中;根据勾股定理得出52=x2+2x﹣52;求得EF=4;进而求得BE=8;CF=8;在RT△AEB中;根据勾股定理求得AE=6;然后根据△AEB∽△EFP;得出=;求得PF=;即可求得PD的长．解答： 1证明：如图;连接OE．∵CD是圆O的直径;∴∠CED=90°．∵OC=OE;∴∠1=∠2．又∵∠PED=∠C;即∠PED=∠1;∴∠PED=∠2;∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°;即∠OEP=90°; ∴OE⊥EP;又∵点E在圆上;∴PE是⊙O的切线；2证明：∵AB、CD为⊙O的直径;∴∠AEB=∠CED=90°;∴∠3=∠4同角的余角相等．又∵∠PED=∠1;∴∠PED=∠4;即ED平分∠BEP；3解：设EF=x;则CF=2x;∵⊙O的半径为5;∴OF=2x﹣5;在RT△OEF中;OE2=OF2+EF2;即52=x2+2x﹣52;解得x=4;∴EF=4;∴BE=2EF=8;CF=2EF=8;∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2;∵AB为⊙O的直径;∴∠AEB=90°;∵AB=10;BE=8;∴AE=6;∵∠BEP=∠A;∠EFP=∠AEB=90°;∴△AEB∽△EFP;∴=;即=;∴PF=;∴PD=PF﹣DF=﹣2=．点评：本题考查了切线的判定和性质;圆周角定理的应用;勾股定理的应用;三角形相似的判定和性质;熟练掌握性质定理是解题的关键．。

中考数学复习专题——规律探索一.选择题1. （2018·湖北随州·3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3， 6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，1，在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m ，最大的 “正方形数”为 n ，则 m +n 的值为（ ）A ．33B ．301C ．386D ．5712.（2018•山东烟台市•3 分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆 下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（ ）3.（2018•山东济宁市•3 分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片， 适合填补图中空白处的是（ ）A ．B ． B.C ．D ．4. （2018 湖南张家界 3.00 分）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…， 则 2+22+23+24+25+…+21018 的末位数字是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．0二、填空题 1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分）如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2， △P3A2A3，…都是等2.（2018•江苏淮安•3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x 的图象，点A1的坐标为（1，，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x 轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x 轴的垂线，垂足为A3，交直线l 于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n C n D n的面积是（92）n﹣1 ．3.（2018•山东东营市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，那么点A2018的纵坐标是20173()2．4.（2018•临安•3 分.）已知：2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，…，若10+ba=102×ba符合前面式子的规律，则a+b= ．5. （2018•广西桂林•3分）将从1开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然记为6. （2018•广西南宁•3 分）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可 得 30+31+32+…+32018 的结果的个位数字是 ．7. （2018·黑龙江龙东地区·3 分）如图，已知等边△A BC 的边长是 2，以 B C 边上的高 AB 1 为边作等边三角 形，得到第一个等边△AB 1C 1；再以等边△AB 1C 1 的 B 1C 1边上的高 AB 2 为边作等边三角形，得到第二个等边△AB 2C 2；再以等边△A B 2C 2 的B 2C 2边上的高 A B 3 为边作等边三角形，得到第三个等边△AB 3C 3；…，记△B 1CB 2 的面积为 S 1，△B 2C 1B 3 的面积为 S 2，△B 3C 2B 4 的面积为 S 3，如此下去，则 S n = ．8.（2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分）在平面直角坐标系中，点 A （3，1）在射线 O M 上，点 B （3，3）在 射线 ON 上，以 AB 为直角边作 Rt △A BA 1，以 BA 1 为直角边作第二个 Rt △BA 1B 1，以A 1B 1 为直角边作第三个 Rt△A 1B 1A 2，…，依次规律，得到 R t △B 2017A 2018B 2018，则点 B 2018 的纵坐标为 ． 9.（2018•广东•3 分）如图，已B 1 作 B 1A 2∥OA 1 交双曲线于点 A 2，过 A 2 作 A 2B 2∥A 1B 1 交 x 轴于点 B 2，得到第二个等边△B 1A 2B 2；过 B 2 作 B 2A 3∥B 1A 2 交双曲线于点 A 3，过 A 3 作 A 3B 3∥A 2B 2 交 x 轴于点 B 3，得到第三个等边△B 2A 3B 3；以此类推，…，则点 B 6 的坐标 为 （ ） ．nn201810. （2018•广西北海•3 分）观察下列等式： 30 = 1， 31 = 3， 32 = 9 ， 33 = 27 ， 34 = 81， 35= 243，…，根据其中规律可得 01220183+3+3+...3+的结果的个位数字是 。

中考数学专题复习分类练习一元二次方程组综合解答题含答案解析一、一元二次方程1．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．【答案】x1=1+3，x2=1﹣3【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，解得：x1=1+3，x2=1﹣3．2．计算题（1）先化简，再求值：21xx-÷（1+211x-），其中x=2017．（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21xx-÷（1+211x-）=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.3． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;或( x≥m) ；4．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．5．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.6．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.【答案】x 1，x 2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x ＋1)(x －1)＝x 2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴∴x1x 2.7．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根.(1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m>2; (2)17【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2； （2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17； 当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为17．点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．8．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2＝0有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）当a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a ≤174；（2）x =1或x =2 【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac≥0，建立关于a 的不等式，即可求出a 的取值范围；（2）根据（1）确定出a 的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a ﹣2）≥0，解得a ≤174； （2）由（1）可知a ≤174， ∴a 的最大整数值为4，此时方程为x 2﹣3x +2=0，解得x =1或x =2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．9．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x 米2， 根据题意得：4600022000x -﹣46000220001.5x-= 4 解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x 米，根据题意得，（20﹣3x ）（8﹣2x ）=56 解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）． 答：人行道的宽为2米．10．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值.【答案】（1）详见解析；（2）p=±1.【解析】【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把2212123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可求解．【详解】证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0，x 2﹣5x+6﹣p 2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2，∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0，∴1+4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，∵2212123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2，∴52=5（6﹣p 2），∴p=±1．考点：根的判别式；根与系数的关系．11．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法． 例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n 中黑点的个数分别是 、 ．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n 个点阵中有 个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【答案】60个，6n 个；（1）61；3n 2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【解析】分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=17个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=60个，…第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，故答案为：60，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1=271，n2﹣n﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．12．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值．【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，150（x﹣20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，m﹣m2=12，60m﹣3m2=192，m2﹣20m+64=0，m1=4，m2=16，∵要使销售量尽可能大，∴m=16．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．13．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k＝32或2．【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．【详解】（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）() 2k12k3 x=2±＋﹣∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a 、b 、c 为等腰三角形的三边，∴2k ﹣1＝2或2k ﹣1＝3，∴k ＝32或2． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a 是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.14．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元； () 2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【答案】（1）2280；（2）15【解析】【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值.【详解】（1）2280()2因为1020020002625⨯=<．因此参加人比10人多，设在10人基础上再增加x 人，由题意得：()()1020052625x x +-=．解得 15x = 225x =，∵2005150x -≥，∴010x <≤，经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．1010515x +=+=答：该单位共有15名员工参加旅游．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.15．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元，在不考虑其他因素的条件下，当a 定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元【解析】【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润⨯销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据题意得：()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩， 解得：{56x y ==．答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件． ()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据题意得：()()250010001500a a -+=，整理得：22310a a -+=，解得：10.5a =，21a =．答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．。

中考专题复习 ----------- 猜想、规律与探索一、设计类【例1】在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。

（1）请你利用这个几何图形求的值为。

（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。

【例2】(2005年河北省中考题)观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式。

二、动态类【例3】右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A 2，A3，…。

若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，……，依此类推。

则第10圈的长为。

【例4】)已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。

在平面直角坐标系内，现有一动点P 第1次从原点O 出发按甲方式运动到点P 1，第2次从点P 1出发按乙方式运动到点P 2，第3次从点P 2出发再按甲方式运动到点P 3，第4次从点P 3出发再按乙方式运动到点P 4,……。

依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P 所在位置P 11的坐标是 。

三、数字类【例5】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，……，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。

请你按这种规律写出第七个数据是 。

【例6】观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，…．根据上述算式中的规【例7】按下列规律排列的一列数对（1，2）（4，5）（7，8），…，第5个数对是 。

【例8】一组按规律排列的数：，，，，，…请你推断第9个数是【例9】把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、…，则第10个数为 。

2022年中考数学一轮复习必刷题---旋转一、选择题1.下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A．B．C．D．2.如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8，BC=6，△ABC绕着点B逆时针旋转90∘到△AʹBCʹ的位置，AAʹ的长为( )A．10√2B．10C．20D．5√23.如图，△ABC与△AʹBʹCʹ关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是( )A．点A与点Aʹ是对称点B．BO=BʹOC．AB∥AʹBʹD．∠ACB=∠CʹAʹBʹ4.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90∘后，得到矩形ABʹCʹDʹ，若CD=8，AD=6，连接CCʹ，那么CCʹ的长是( )A．20B．100C．10√3D．10√25.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点Bʹ处，此时，点A的对应点Aʹ恰好落在BC的延长线上，下列结论错误的是( )A ．∠AʹBʹC =∠AB ．∠AʹBʹC =∠B C ．AC =AʹCD ．∠BCBʹ=∠ACAʹ6. 如图，在△ABC 中，∠C =90∘，AC =4，BC =3，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C 落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，则B ，D 两点间的距离为( )A ．√10B ．2√2C ．3D ．2√57. 如图，将△ABC 就点C 按逆时针方向旋转75∘后得到△AʹBʹC ，若∠ACB ＝25∘，则∠BCAʹ的度数为( )A ．50∘B ．40∘C ．25∘D ．60∘8. 如图，平行四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转30，得到平行四边形'''AB C D （点'B 与点B 是对应点，点'C 与点C 是对应点，点'D 与点D 是对应点），点'B 恰好落在BC 边上，则C ∠的度数等于（）A ．100︒B ．105︒C ．115︒D ．120︒9. 如图，将直角三角形ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90∘，得到△AʹBʹC ，连接AAʹ．若∠1=25∘，则∠BAAʹ的度数是( )A ．55∘B ．60∘C ．65∘D ．70∘10. 如图，在ABC 中，AB AC =，30B ∠=︒，点D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且//DE BC ．将ADE 绕点A 逆时针旋转至点B 、A 、E 在同一条直线上，连接BD 、EC ．下列结论：①ADE 的旋转角为120°；②BD EC =；③BE AD AC =+；④DE AC ⊥．其中正确的有（）A ．②③B ．②③④C ．①②③D ．①②③④11. 如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标为()1,0A -，()10B ,，()1,1C ，过点B 作BP AC ⊥于点P ．将ABC 绕原点O 顺时针旋转，每次旋转90︒，则第2021次旋转结束时，点P 的坐标为（）A ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭12. 如图，把Rt △ABC 绕顶点C 顺时针旋转90∘得到Rt △DFC ，若直线DF 垂直平分AB ，垂足为点E ，连接BF ，CE ，且BC =2，下面四个结论：① BF =2√2；② ∠CBF =45∘；③ △BEC 的面积=△FBC 的面积；④ △ECD 的面积为2√2+3，其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题13.在正方形ABCD中，点E为边BC上任意一点，F在边AB上且∠FDE=45∘，将△CDE绕着点D顺时针旋转90∘后得到△ADG，那么∠GDF=．14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90∘至ABʹ，连接BʹC，则△ABʹC的面积为．15.如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACPʹ重合，如果AP=3，那么线段PPʹ的长等于．16.如图，正方形ABCO的边长为1，CO、AO分别在x 轴、y 轴上，将正方形ABCO绕点O逆时针旋转45°，旋转后点B对应的点的坐标为_____．17.如图，将△ABC先向上平移1个单位长度，再绕点P按逆时针方向旋转90∘，得到△AʹBʹCʹ，则点A的对应点Aʹ的坐标是．18.如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC，EF的中点，直线AG，FC相交于点M，若线段BM的长为a，则当△EFG绕点D旋转时，a的取值范围是．19.△ABC经过旋转到达△ADE的位置，由已知∠B=30∘，∠ACB=110∘，∠DAC=10∘，则∠DFC=度．20.如图，在△ABC中，∠CAB=70∘，把△ABC绕着点A逆时针旋转到△ABʹCʹ，连接CCʹ，并且使CCʹ∥AB，那么旋转角的度数为．21.如图，平面直角坐标系中，A（-3，0），B（0，4），对△AOB按图示的方式连续作旋转变换，这样得到的第2021个三角形中，A点的对应点的坐标为___________.∆的边长为6，l是AC边上的高BF所在的直线，点D为直线l上的一动点，连22.如图，等边三角形ABC接AD并将AD绕点A逆时针旋转60︒至AE，连接EF，则EF的最小值为________．三、解答题23.如图，平面直角坐标系中，已知A(−3,1)，B(0,3)，C(−4,3)．(1) 将△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若点C1的坐标为(0,−1)，在图中画出△A1B1C1．(2) 顶点A1坐标为，B1的坐标为．(3) 将△ABC绕点P沿顺时针方向旋转后得到△A2B2C2，则点P的坐标是，旋转角的度数是．24.如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=∠C=90∘，AB=AD，AE⊥BC于点E，△BEA旋转后能与△DFA重合．(1) 旋转中心是哪一点？(2) 旋转了多少度？(3) 若AE=5cm,求四边形AECF的面积．25.在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α(0∘<α<180∘)，得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．(1) 如图①，当点E落在DC边上时，直接写出线段EC的长度为．(2) 如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC．①求证：△ACD≌△CAE．②直接写出线段DH的长度为．(3) 如图③，设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．26.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(0∘<α<60∘)，将线段BC绕点B逆时针旋转60∘得到线段BD．(1) 如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）为．(2) 如图2，连接BE，若∠BCE=150∘，∠ABE=60∘，判断△ABE的形状并加以证明．(3)在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45∘，求α的值．27.四边形ABCD是正方形（四条边相等，四个角都是直角）．(1) 如图1，将一个直角顶点与A点重合，角的两边分别交BC于E，交CD的延长线于F，试说明BE=DF；(2) 如图2，若将（1）中的直角改为45∘角，即∠EAF=45∘，E，F分别在边BC，CD上，试说明EF=BE+DF；(3) 如图3，改变（2）中的∠EAF的位置（大小不变），使E，F分别在BC，CD的延长线上，若BE=15，DF=2，试求线段EF的长．28.小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60∘得到△AʹBC，连接AʹA，当点A落在AʹC上时，此题可解（如图2）．(1) 请你回答：AP的最大值是．(2) 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路．提示：要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法．把△ABP绕B点逆时针旋转60∘，得到△AʹBPʹ．① 请画出旋转后的图形；② 请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）.2022年中考数学一轮复习必刷题---锐角三角函数一、选择题%蝇已知∠A是锐角，tanA＝1，那么∠A的度数是( )A．15∘B．30∘C．45∘D．60∘2.如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在墙上，已知梯子底端B到墙角C的距离为1.5米，设梯子与地面所夹的锐角为α，则cosα的值为( )A．35B．45C．34D．433.在△ABC中，∠A=105∘，∠B=45∘，则tanC等于( )A．12B．√33C．1D．√34.把Rt△ABC的三边都扩大十倍，关于锐角A的正切值：甲同学说扩大十倍，乙同学说不变，丙同学说缩小十倍，你认为正确的说法应是( )A．甲B．乙C．丙D．都不正确5.如图，某地夏季中午，当太阳移到房顶上方偏南时，光线与地面成80∘角，房屋朝南的窗子高AB=1.8米，要在窗子外侧上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入屋内，则挡光板的宽度AC为( )A．1.8sin80∘米B．1.8cos80∘米C． 1.8sin80∘米D． 1.8tan80∘米6.√(tan30∘−1)2的值为( )A．1−√33B．√3−1C．√33−1D．1−√37.已知在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么下列关系式中成立的是( )A．b⋅sinC=c⋅sinB B．b⋅sinB=c⋅sinCC．b⋅cosC=c⋅cosB D．b⋅cosB=c⋅cosC8.在高度为ℎ米的飞机上观察地面控制点，测得俯角为α，那么飞机与控制点的距离是( )A．ℎsinαB．ℎcosαC．ℎsinαD．ℎcosα9.如图所示，在△ABC中，∠C=90∘，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则( )A．c=bsinB B．b=csinB C．a=btanB D．b=ctanB10.河堤的横断面如图所示，堤高BC=5m，迎水坡AB的坡比为1:√3，则AB的长是( )A．10m B．5m C．10√3m D．5√3m11.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30，已知斜坡的斜面坡度i=A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（）A．()20m B．()10m C．D．40m12.如图1，S是矩形ABCD的AD边上一点，点E以每秒k cm的速度沿折线BS−SD−DC匀速运动，同时点F从点C出发点，以每秒1cm的速度沿边CB匀速运动并且点F运动到点B时点E也运动到点C．动点E，F同时停止运动．设点E，F出发t秒时，△EBF的面积为y cm2．已知y与t的函数图象如图2所示．其中曲线OM，NP为两段抛物线，MN为线段．则下列说法：①点E运动到点S时，用了2.5秒，运动到点D时共用了4秒②矩形ABCD的两邻边长为BC=6cm，CD=4cm；③ sin∠ABS=√3；2④点E的运动速度为每秒2cm．其中正确的是( )A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④二、填空题13.填空：（1）sin30∘=；（2）2cos60∘=；（3）√2sin45∘=；（4）√3tan60∘=；，则cosB=．（5）在△ABC中，∠C=90∘，tanA=√3314.已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=6，sinA=2，那么AB=．315.若斜坡的坡度为1:3，沿坡面前进10米，升高．16.在△ABC中，AB=5，BC=6，∠B为锐角且sinB=3，则∠C的正弦值等于．517.如图，在△ABC中，∠A=30∘，tanB=3，AC=6√3，则AB的长为418.在△ABC中，∠C=90∘，tanA=4，则sinA+cosA=．319.如图，在正方形网格中，∠C的正切值是．20. 如图，已知等边△OAB 的边长为2+√3，顶点B 在y 轴正半轴上，将△OAB 折叠，使点A 落在y 轴上的点Aʹ处，折痕为EF ．当△OAʹE 是直角三角形时，点Aʹ的坐标为．21. 在一次综合社会实践活动中，小东同学从A 处出发，要到A 处北偏东60∘方向的C 处，他先沿正东方向走了4 km 到达B 处，再沿北偏东15∘方向走，恰能到达目的地C ，如图所示，则A ，C 两地相距km ．（结果精确到0.1 km ，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）22. 如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是A 边上一点，且AE =√3，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，则四边形AGCD 的面积的最小值为．三、解答题23. 计算：√83−(12)−1+tan45∘+∣∣1−√2∣∣．24. 在Rt △ABC 中，∠C =90∘，AB =6，sinA =√32，解这个直角三角形．25.小强和小明去测量一座古塔的高度（如图），他们在离古塔60米的A处，用测角仪器测得塔顶的仰角为30∘，已知测角仪器高AD=1.5米，求古塔BE的高．26.人民解放纪念碑（如图①）位于重庆市渝中区解放碑商业步行街，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑，某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，用自己学到的知识测量纪念碑的高度．如图②，FG是高为1.3米的测倾器，在G处测得纪念碑顶端A的仰角为30∘，向纪念碑方向前进14米到达E处，在E处测得纪念碑顶端A的仰角为40∘，求纪念碑AC的高度（精确到0.1米，参考数据：sin40∘≈0.64，cos40∘≈0.77，tan40∘≈0.84，√3≈1.73）．27.如图，一艘货轮位于灯塔P北偏东53∘方向，距离灯塔100海里的A处，另一艘客轮位于货轮正南方向，且在灯塔P南偏东45∘方向的B处，求此时两艘轮船之间的距离AB．（结果精确到1海里）【参考数据：sin53∘=0.799，cos53∘=0.602，tan53∘=1.327】28.某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A，B位置，且离地面高均为1米（即AD=BE=1米），两台测角仪相距50米（即AB=50米）．在某一时刻无人机位于点C （点C 与点A ，B 在同一平面内），A 处测得其仰角为30∘，B 处测得其仰角为45∘．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin40∘≈0.64，cos40∘≈0.77，tan40∘≈0.84）(1) 求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）(2) 无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F （点F 与点A ，B ，C 在同一平面内），此时于A 处测得无人机的仰角为40∘，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）29. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m 的筒车O 按逆时针方向每分钟转56圈，筒车与水面分别交于点A 、B ，筒车的轴心O 距离水面的高度OC 长为2.2m ，简车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间．（1）经过多长时间，盛水筒P 首次到达最高点？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P 距离水面多高？（3）若接水槽MN 所在直线是O 的切线，且与直线AB 交于点M ，8m MO =．求盛水筒P 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN 上．（参考数据：11cos43sin 4715︒︒=≈，11sin16cos7440︒︒=≈，3sin 22cos688︒︒=≈）2022年中考数学一轮复习必刷题---平行四边形一、选择题%梅渧下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是( )A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等C．两组对角分别相等D．一组对边平行且另一组对边相等2.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.4km，则M，C两点间的距离为( )A．0.6km B．1.2km C．1.5km D．2.4km3.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2√3，DE=2，则四边形OCED的面积( )A．2√3B．4C．4√3D．84.如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( )A．AC与BD互相垂直平分B．∠A=∠B且AC=BDC．AB=AD且AC=BD D．AB=AD且AC⊥BD5.如图，把菱形ABCD沿AH折叠，B落在BC边上的点E处．若∠BAE=40∘，则∠EDC的大小为( )A．10∘B．15∘C．18∘D．20∘6.如图所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是( )A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长不能确定7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A ，B ，C 在坐标轴上，若点B 的坐标为(−1,0)，∠BCD =120∘，则点D 的坐标为( )A ．(2,2)B ．(√3,2)C ．(3,√3)D ．(2,√3)8. 如图，小宋作出了边长为2的第一个正方形A 1B 1C 1D 1，算出了它的面积．然后分别取正方形A 1B 1C 1D 1四边的中点A 2、B 2、C 2、D 2作出了第二个正方形A 2B 2C 2D 2，算出了它的面积．用同样的方法，作出了第三个正方形A 3B 3C 3D 3，算出了它的面积…，由此可得，第六个正方形A 6B 6C 6D 6的面积是( )A ．514()2⨯B ．614()2⨯C ．514()4⨯D ．614()4⨯ 9. 如图，E 是边长为4的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE =BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q,PR ⊥BR 于点R ，则PQ +PR 的值是( )A ．2√2B ．2C ．2√3D ．83 10. 如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 上的点，1DE =，将ADE 沿AE 对折至AEF ，延长EF 交BC 于G ．连接AG 、CF ．下列结论：①ABG AFG ≅；②45GAE ∠=︒；③35BG CG =；④14485CFG S =△．其中正确的有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 11. 如图，点A ，B ，C 在同一条直线上，点D ，E ，F ，G 在同一条直线上，且AC ∥DG ，AD ∥BE ∥CF ，AF ∥BG ，则图中的平行四边形有个．12. 在矩形ABCD 中，已知AB =6，BC =8 ,则矩形ABCD 的对角线BD 为．13. 如图，把平行四边形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，这时点D 落在D 1处，折痕为EF ，若∠BAE =55∘，则∠D 1AD =．14.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB=．15.如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN=4，则AC的长为．16.已知，如图，矩形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF=5，则AC=．17.已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA=EC．若AB=6，AC=2√10，则DE的长是．18.菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2021秒时，点P的坐标为___．19.如图，正方形ABCD的边长为8，DM=2，N为AC上一点，则DN+MN的最小值为．三、解答题20. 如图，四边形ABCD 是矩形，对角线AC ，BD 相交于点O ，BE ∥AC 交DC 的延长线于点E ．求证：BD =BE ．21. 如图，在ABC ∆中，70o BAC ∠=，ABC ∠和ACB ∠的角平分线交于D 点，E 、F 、G 、H 分别是线段AB 、AC 、BD 、CD 的中点．（1）求BDC ∠的度数（2）证明：四边形EGHF 为平行四边形22. 如图，DE 为△ABC 的中位线，点F 为DE 上一点，且∠AFB =90∘，若AB =6，BC =8，求EF 的长．23.如图，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，F为BC上一点，线段EF与对角线BD交于点G．有以下三个条件：① AE=CF；② EG=GF；③ G为BD的中点．从中选取一个作为题设，余下的两个作为结论，组成一个正确的命题，并加以证明．24.如图，四边形ABCD是菱形，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是矩形．25.已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．(1) 当DG=2时，求△FCG的面积；(2) 设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；(3) 判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．26. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC =BC ，E 是AB 中点，点G 在AD 延长线上，连接CE ，BG 相交于点F ．(1) 若BC =6，∠ABC =75∘，求平行四边形ABCD 的面积；(2) 若∠GBC =∠ECB ．求证：GF =BF +2EF ．27. 如图，矩形ABCD 中，6AD =，8DC =，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，2AH =．（1）若6DG =，求AE 的长；（2）若2DG =，求证：四边形EFGH 是正方形．28. 已知正方形ABCD ，点E 是CB 延长线上一定点，位置如图所示，连接AE ，过点C 作CF ⊥AE 于点F ，连接BF ．(1) 求证：∠FAB =∠BCF ．(2) 作点B 关于直线AE 的对称点M ，连接BM ，FM ．①依据题意补全图形．②用等式表示线段CF ，AF ，BM 之间的数量关系，并证明．29.如图，正方形ABCD，G为BC延长线上一点，E为射线BC上一点，连接AE．(1) 若E为BC的中点，将线段EA绕着点E顺时针旋转90∘，得到线段EF，连接CF．①请补全图形；②求证：∠DCF=∠FCG；(2) 若点E在BC的延长线上，过点E作AE的垂线交∠DCG的平分线于点M，判断AE与EM的数量关系并证明你的结论．2022年中考数学一轮复习必刷题---勾股定理一、选择题%`以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )A．5，6，7B．10，8，4C．7，24，25D．9，15，172.如图，字母A所代表的正方形的面积为5，字母B所代表的正方形的面积为3，则字母C所表示的正方形的面积是( )A．16B．8C．2D．43.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是( )A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm4.如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是( )A．13m B．17m C．18m D．25m5.由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )A．∠A+∠B=∠C B．∠A:∠B:∠C=1:2:3C．a:b:c=1:2:3D．a2−b2=c26.已知x，y为正数，且∣x2−4∣+(y2−3)2=0，如果以x,y的长为直角边作一直角三角形，那么以此直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( )A．5B．25C．7D．157.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是( )A．B．C．D．8.如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90∘，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是( )A．48B．60C．76D．809.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是( )A．直角三角形两个锐角互余B．三角形内角和等于180∘C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形10.如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( )A．90∘B．60∘C．45∘D．30∘11.如图，长方形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=3，AF=5，则AC的长为( )A．4√5B．4√3C．10D．812.已知a，b，c是△ABC的三边，且满足(a−b)(a2−b2−c2)=0，则△ABC是( )A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形13.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘，点D，E在边BC上，且∠DAE=60∘．将△ADE沿AE翻折，点D的对应点是Dʹ，连接CDʹ，若BD=4，CE=5，则DE的长为( )B．√21C．√13D．2√3A．92二、填空题14.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为．15.已知三角形的三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，那么这个三角形是．16.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45∘．把△ADC沿直线AD折过来，点C落在点Cʹ的位置上，如果BC=4，那么BCʹ=．17.已知：如图，∠AOB=45∘，点P为∠AOB内部的点，点P关于OB，OA的对称点P1，P2的连线交OA，OB于M，N两点，连接PM，PN，若OP=2，则△PMN的周长=．18.公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，构造了“赵爽弦图”．如图．设勾a=6，弦c=10，则小正方形ABCD的面积是．19.把两个同样大小含45∘角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上，若AB=4，则CD=．20.如图，已知点B在点A的北偏东32∘，点C在点B的北偏西58∘，CB=12，AB=9，AC=15，则△ABC的面积为．21.如图，已知直角三角形ABC中，∠ABC为直角，AB=12，BC=16，三角形ACD为等腰三角形，其中AD=DC=50，且AB∥CD，E为AC中点，连接ED，BE，BD，则三角形BDE的面积为．3三、解答题22.在△ABC中，∠B=90∘，AB=c，BC=a，AC=b．(1) 已知a=6，b=10，求c的值．(2) 已知a=9，c=40，求b的值．23.已知等腰直角三角形的底边长为4，求腰上的中线长．24.如图，一艘快艇从港O出发，向东北方向行驶到A处，然后向南行驶到B处，再向西北方向行驶，共经过两小时回到港O，已知快艇的速度是45千米/小时，则AB这段路程是多少千米？25.如图，一工厂的房顶为等腰△ABC，AB=AC，AD=5米，AB=13米，求跨度BC的长．26.如图，笔直的公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？27.如图，长方体的底面积为30cm2，长、宽、高的比为3:2:1，则：(1) 这个长方体的长、宽、高分别是多少？(2) 长方体的表面积和体积分别是多少？(3) 若一只蚂蚁从顶点A沿长方体表面爬行到顶点B，直接写出从点A爬行到点B的最短路程是cm．28.在△ABC中，AB=20，AC=15，CB边上的高AD=12，求BC的长．29.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=6√3，∠BAC的平分线AD=12，求∠B的度数．30.如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向150km的B处有一台风中心正以20km/h的速度向BC方向移动，已知城市A到BC的距离AD=90km，那么：(1) 台风中心经过多长时间从B点移到D点？(2) 如果在距台风中心30km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为6km/h）？最好选择什么方向？31.如图，△ABC中，∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．(1) 当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分．(2) 当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP的长；(3) 当t为何值时，△BCP为等腰三角形？2022年中考数学一轮复习必刷题---反比例函数一、选择题շ鍰喋3︠4￐ږꀄ喋 反比例函数y =kx的图象经过点(−2,3)，则k 的值为( )A ．−3B ．3C ．−6D ．62. 关于反比例函数3y x=-，下列结论中，错误的是（）A ．图象必经过点()1,3--B ．若0x >，则0y <C ．图象在第二、四象限内D ．图象必过点()1,3-3. 已知点P (a,m )，Q (b,n )都在反比例函数y =−2x 的图象上，且a <0<b ，则下列结论一定正确的是( )A ．m <nB ．m >nC ．m +n <0D ．m +n >04. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，反比例函数y =ax 与正比例函数y =cx 在同一坐标系内的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．5. 当x <0时，函数y =(k −1)x 与y =2−k 3x的y 都随x 的增大而增大，则( )A ．k >1B ．1<k <2C ．k >2D ．k <16. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I (A )与电阻R (Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是( )B．蓄电池的电压是18VA．函数表达式为I=13RC．当I≤10时，R≥3.6D．当R=6时，I=47.如图，反比例函数y=k的图象经过点A(4,1)，当y<1时，x的取值范围是( )xA．x<0或x>4B．0<x<4C．x<4D．x>48.如图，函数y1=x+1与函数y2=2的图象相交于点M(1,m)，N(−2,n)．若y1>y2，则x的取值范围是x( )A．x<−2或0<x<1B．x<−2或x>1C．−2<x<0或0<x<1D．−2<x<0或x>19.下列图形中，阴影部分面积最大的是( )A．B．C．D．10.甲、乙两地相距1000千米，一辆汽车从甲地开往乙地，若把汽车到达乙地所用的时间y（小时）表示为汽车的平均速度x（千米/时）的函数，则这个函数的图象大致是( )A．B．C．D．11.定义新运算：a⋇b={a−1,(a≤b)−ab,(a>b且b≠0)则函数y=3⋇x的图象大致是( )A．B．C．D．12.方程2x2+4x−1=0的根可视为函数y=2x+4的图象与函数y=1x的图象交点的横坐标，则方程x3+ 2x−1=0的实根x0所在的范围是( )A．0<x0<14B．14<x0<13C．13<x0<12D．12<x0<113.学习完函数的有关知识之后，强强对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出函数y=1x+2的图象并对该函数的性质进行了探究．下面推断正确的是( )①该函数的定义域为x≠−2；②该函数与x轴没有交点；③该函数与y轴交于点(0,12)；④若(x1,y1)，(x2,y2)是该函数上两点，当x1<x2时，一定有y1>y2．A．①②③④B．①③C．①②③D．②③④二、填空题14.反比例函数y=kx的图象经过点(1,6)，则k等于．15.已知点(m−1,y1)，(m−3,y2)是反比例函数y=mx(m<0)图象上的两点，则y1y2（填“>”或“=”或“<”）．16.将反比例函数y=1x的图象沿直线x=1翻折后的图象不经过第象限．17.点A为双曲线y=kx上一点，过A作AB⊥x轴于点B，且S△AOB=3，则k=．18.如图，正比例函数y=3x的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象交于点A，若k取1，2，3，⋯，20，对应的Rt△AOB的面积分别为S1，S2，S3，⋯，S20，则S1+S2+⋯+S20=．19.如图，直线y=mx与双曲线y=kx交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM=2，则k的值为．20.如图，A，B是y=1x与y=kx图象的交点，且AC∥y轴，BC∥x轴，△ABC的面积是．21.如图，点A是函数y1=7x (x>0)图象上一点，过点A作x轴的平行线，交函数y2=kx(x>0)的图象于点B，连接OA，OB．若△OAB的面积为2，则k的值为．22.一位司机驾驶汽车从A地到B地，两地相距500千米，则汽车速度v（千米/时）与时间t（时）的函数关系式是．23.观察函数y=−2x的图象，当x=2时，y=；当x<2时，y的取值范围是；当y≥−1时，x的取值范围是．24.如图，点A在反比例函数y=kx (x>0)的图象上，连接OA，分别以点O和点A为圆心，大于12OA的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，作直线CD交x轴于点B，连接AB，作AE⊥x轴于点E，若AEBE =43，且△ABE的面积为3，则k的值为．25.如图，点A是双曲线y=8在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等3腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为．三、解答题26.已知反比例函数y=k+1在其图象所在的各象限内，y随x的增大而减小．x(1) 求k的最小整数值．(2) 判断直线y=2x与该反比例函数图象是否有交点，并说明理由．27.A，B两地相距200千米，一辆汽车匀速从A地驶往B地，速度为v（单位：千米/小时），驶完全程的时间为t（单位：小时）．(1) v关于t的函数表达式，并写出自变量t取值范围．(2) 若速度每小时不超过60千米，那么从A地行驶到B地至少要行驶多少小时？28.一定质量的二氧化碳，当它的体积V=6m3时，它的密度ρ=1.65kg/m3．(1) 求ρ与V之间的函数表达式．(2) 当气体的体积是1m3时，它的密度是多少？(3) 当气体的密度为1.98kg/m3时，它的体积是多少？29.如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝mx的图象交于点A（﹣1，﹣3），C（3，n），交y轴于点B，交x轴于点D．（1）求反比例函数y＝mx和一次函数y＝kx+b的表达式；（2）连接OA，OC．求△AOC的面积．30.如图，直线y=3x和双曲线y=3x(x>0)交于点A，点P为双曲线上一点，且∠POA=∠1+∠2，求点P的坐标．31.如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,−4)，B(2,0)，交反比例函数y=mx(x>0)的图象于点C(3,a)，点P在反比例函数的图象上，横坐标为n(0<n<3)，PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD，QD．(1) 求一次函数和反比例函数的解析式；(2) 求△DPQ面积的最大值．(k>0)的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标32.如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y=kx为5，过点A，B分别作y轴的垂线AE，BF，垂足分别为点E，F，且AE=1．(1) 若点E为线段OC的中点，求k的值；(2) 若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90∘，其面积小于3．①求证：△OAE≌△BOF；②把∣x1−x2∣+∣y1−y2∣称为M(x1,y1)，N(x2,y2)两点间的“ZJ距离”，记为d(M,N)，求d(A,C)+d(A,B)的值．33.已知四边形ABCD，顶点A，B的坐标分别为(m,0)，(n,0)，当顶点C落在反比例函数的图象上，我们称这样的四边形为“轴曲四边形ABCD”，顶点C称为“轴曲顶点”. 小明对此问题非常感兴趣，对反比例函数时进行了相关探究．为y=2x(1) 若轴曲四边形ABCD为正方形时，小明发现不论m取何值，符合上述条件的轴曲正方形只有两个，且一个正方形的顶点C在第一象限，另一个正方形的顶点C1在第三象限．。

专题14 圆与正多边形一．选择题1. 如图，在⊙O 中，∠BOC ＝130°，点A 在BAC 上，则∠BAC 的度数为（ ）A. 55°B. 65°C. 75°D. 130°【答案】B【解析】【分析】利用圆周角直接可得答案． 【详解】解： ∠BOC ＝130°，点A 在BAC 上， 165,2BACBOC故选B 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．2. 如图，在O 中，弦,AB CD 相交于点P ，若48,80A APD ∠=︒∠=︒，则B 的大小为（ ）A. 32︒B. 42︒C. 52︒D. 62︒ 【答案】A【解析】【分析】根据三角形的外角的性质可得C A APD ∠+∠=∠，求得32C ∠=︒，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案．【详解】C A APD ∠+∠=∠，48,80A APD ∠=︒∠=︒，32C ∴∠=︒32B C ∴∠=∠=︒故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．3. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）A. 23πB. 23π-C. 43π-D. 43π【答案】B【解析】 【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可．【详解】解：如图，过点OC 作OD ⊥AB 于点D ，∵∠AOB =2×36012︒=60°， ∴△OAB 是等边三角形， ∴∠AOD =∠BOD =30°，OA =OB =AB =2，AD =BD =12AB =1，∴OD =∴阴影部分的面积为260212236023ππ⋅⨯-⨯=- 故选：B ．【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键．4. 如图，在四边形材料ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，9cm AD =，20cm AB =，24cm BC =．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）A. 110cm 13B. 8cmC.D. 10cm【答案】B【解析】【分析】如图所示，延长BA 交CD 延长线于E ，当这个圆为△BCE 的内切圆时，此圆的面积最大，据此求解即可．【详解】解：如图所示，延长BA 交CD 延长线于E ，当这个圆为△BCE 的内切圆时，此圆的面积最大，∵AD BC ∥，∠BAD =90°，∴△EAD △△EBC ，∠B =90°， △EA AD EB BC=，即92024EA EA =+， ∴12cm EA =，∴EB =32cm ，∴40cm EC ==，设这个圆的圆心为O ，与EB ，BC ，EC 分别相切于F ，G ，H ，∴OF =OG =OH ，∵=EBC EOB COB EOC S S S S ++△△△△， ∴11112222EB BC EB OF BC OG EC OH ⋅=⋅+⋅+⋅， ∴()2432=243240OF ⨯++⋅，∴8cm OF =，∴此圆的半径为8cm ，故选B ．【点睛】本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形三边的关系，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．5. 如图，四边形ABCD 内接于O ，连接OB ，OD ，BD ，若110C ∠=︒，则OBD ∠=（ ）A. 15︒B. 20︒C. 25︒D. 30【答案】B【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出A ∠，根据圆周角定理可得BOD ∠，再根据OB OD =计算即可．【详解】∵四边形ABCD 内接于O ，∴18070A BCD ∠︒-∠︒== ，由圆周角定理得，2140BOD A ∠=∠=︒ ，∵OB OD = ∴180202BOD OBD ODB ︒-∠∠=∠==︒ 故选：B ．【点睛】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6. 如图，点E 是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆相交于点D ，与BC 相交于点G ，则下列结论：△BAD CAD ∠=∠；△若60BAC ∠=︒，则120∠=︒BEC ；△若点G 为BC 的中点，则90BGD ∠=︒；△BD DE =．其中一定正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D【解析】【分析】根据点E 是ABC 的内心，可得BAD CAD ∠=∠，故①正确；连接BE ，CE ，可得∠ABC +∠ACB =2（∠CBE +∠BCE ），从而得到∠CBE +∠BCE =60°，进而得到∠BEC =120°，故②正确； BAD CAD ∠=∠，得出BD CD =，再由点G 为BC 的中点，则90BGD ∠=︒成立，故③正确；根据点E 是ABC 的内心和三角形的外角的性质，可得()12BED BAC ABC ∠=∠+∠，再由圆周角定理可得()12DBE BAC ABC ∠=∠+∠，从而得到∠DBE =∠BED ，故④正确；即可求解． 【详解】解：∵点E 是ABC 的内心，∴BAD CAD ∠=∠，故①正确；如图，连接BE ，CE ，∵点E 是ABC 的内心，∴∠ABC =2∠CBE ，∠ACB =2∠BCE ，∴∠ABC +∠ACB =2（∠CBE +∠BCE ），∵∠BAC =60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∴∠CBE +∠BCE =60°，∴∠BEC =120°，故②正确；∵点E 是ABC 的内心，∴BAD CAD ∠=∠，∴BD CD =,∵点G 为BC 的中点，∴线段AD 经过圆心O ，∴90BGD ∠=︒成立，故③正确；∵点E 是ABC 的内心， ∴11,22BAD CAD BAC ABE CBE ABC ∠=∠=∠∠=∠=∠， ∵∠BED =∠BAD +∠ABE ， ∴()12BED BAC ABC ∠=∠+∠， ∵∠CBD =∠CAD ，∴∠DBE =∠CBE +∠CBD =∠CBE +∠CAD ， ∴()12DBE BAC ABC ∠=∠+∠， ∴∠DBE =∠BED ，∴BD DE =，故④正确；∴正确的有4个．故选：D【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．7. 如图所示，等边ABC 的顶点A 在△O 上，边AB 、AC 与△O 分别交于点D 、E ，点F 是劣弧DE 上一点，且与D 、E 不重合，连接DF 、EF ，则DFE ∠的度数为（ ）A. 115︒B. 118︒C. 120︒D. 125︒【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得60A ∠=︒，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案． 【详解】解：ABC 是等边三角形，60A ∴∠=︒，180120DFE A ∴∠=︒-∠=︒，故选C ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．8. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF ，若对角线AD 的长约为8mm ，则正六边形ABCDEF 的边长为（ ）A. 2mmB.C.D. 4mm 【答案】D【解析】【分析】如图，连接CF 与AD 交于点O ，易证△COD 为等边三角形，从而CD =OC =OD =12AD ，即可得到答案．【详解】连接CF 与AD 交于点O ，∵ABCDEF 为正六边形，∴∠COD = 3606︒=60°，CO =DO ，AO =DO =12AD =4mm ，∴△COD 为等边三角形，∴CD =CO =DO =4mm ，即正六边形ABCDEF 的边长为4mm ，故选：D ．【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．9. 如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，若AB =3，则⊙O 的半径是（ ）A. 32 B. 2 D. 52【答案】C【解析】【分析】作直径AD ，连接CD ，如图，利用等边三角形的性质得到∠B =60°，关键圆周角定理得到∠ACD =90°，∠D =∠B =60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．【详解】解：作直径AD ，连接CD ，如图，∵△ABC 为等边三角形，∴∠B =60°，∵AD 为直径，∴∠ACD =90°，∵∠D =∠B =60°，则∠DAC =30°，∴CD =12AD ， ∵AD 2=CD 2+AC 2，即AD 2=(12AD )2+32，∴AD∴OA =OB =12AD 故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．10. 如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA ，PB 分别相切于点A ，B ，不倒翁的鼻尖正好是圆心O ，若28OAB ∠=°，则APB ∠的度数为（ ）A. 28︒B. 50︒C. 56︒D. 62︒【答案】C【解析】【分析】连OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因为P A、PB分别相切于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和即可求出∠APB．【详解】连接OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=28°，∴∠AOB=124°，∵P A、PB切⊙O于A、B，∴OA⊥P A，OP⊥AB，∴∠OAP+∠OBP=180°，∴∠APB+∠AOB=180°；∴∠APB=56°．故选：C【点睛】本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，切线长定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．11. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A. B. 6 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点O为圆心，∠MON=90°的圆，则点P在所作的圆上，观察圆O所经过的格点，找出到点M距离最大的点即可求出．MN，以O为【详解】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=12圆心，OM为半径作圆，如图，MN，所以OQ=MQ=NQ，因为OQ为MN垂直平分线且OQ=12∴∠OMQ=∠ONQ=45°，∴∠MON=90°，所以弦MN所对的圆O的圆周角为45°，所以点P在圆O上，PM为圆O的弦，通过图像可知，当点P在P'位置时，恰好过格点且P M'经过圆心O，所以此时P M'最大，等于圆O的直径，∵BM＝4，BN＝2，∴MN=△MQ=OQ△OM==△2P M OM'==故选C．【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键．12. 如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（）A. 175π3cm2 B.175π2cm2 C. 175πcm2 D. 350πcm2【答案】C【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AC=25cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积．【详解】解：在Rt AOC△中，25AC =cm ， ∴它侧面展开图的面积是127251752ππ⨯⨯⨯=cm 2． 故选：C【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键． 13. 如图，ABC 内接于⊙,46O C ∠=︒，连接OA ，则OAB ∠=（ ）A. 44︒B. 45︒C. 54︒D. 67︒【答案】A【解析】 【分析】连接OB ，由2∠C =△AOB ，求出△AOB ，再根据OA =OB 即可求出△OAB ．【详解】连接OB ，如图，△△C =46°，△△AOB =2△C =92°，△△OAB +△OBA =180°-92°=88°，△OA =OB ，△△OAB =△OBA ，△△OAB =△OBA =12×88°=44°，故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出△AOB =2△C =92°是解答本题的关键．14. 已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A. 236πcmB. 224πcmC. 216πcmD. 212πcm【答案】B【解析】【分析】利用圆锥侧面积计算公式计算即可：S rl π=侧；【详解】4624S rl πππ==⋅⋅=侧2cm ，故选B ．【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可． 15. 如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心，半径90m OA =，圆心角80AOB ∠=︒，则这段弯路（AB ）的长度为（ ）A. 20m πB. 30m πC. 40m πD. 50m π【答案】C【解析】 【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（AB ）的长度．【详解】解：∵半径OA =90m ，圆心角∠AOB =80°，∴这段弯路（AB ）的长度为：809040(m)180ππ⨯=， 故选C 【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式.180n r l π=16. 如图，,AB AC 是O 的两条弦，⊥OD AB 于点D ，OE AC ⊥于点E ，连结OB ，OC ．若130DOE ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A. 95︒B. 100︒C. 105︒D. 130︒【答案】B【解析】 【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC =50°，再根据圆周角定理得到∠BOC =2∠BAC ，进而可以得到答案．【详解】解：∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴∠ADO =90°，∠AEO =90°，∵∠DOE =130°，∴∠BAC =360°-90°-90°-130°=50°，∴∠BOC =2∠BAC =100°，故选：B ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．17. 如图，点I 为的ABC 内心，连接AI 并延长交ABC 的外接圆于点D ，点E 为弦AC 的中点，连接CD ，EI ，IC ，当2AI CD =，6IC =，5ID =时，IE 的长为（ ）A. 5B. 4.5C. 4D. 3.5【答案】C【解析】【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM 的中位线即可解决问题．【详解】解：延长ID到M，使DM=ID，连接CM．∵I是△ABC的内心，∴∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，∵∠DIC=∠IAC+∠ICA，∠DCI=∠BCD+∠ICB，∴∠DIC=∠DCI，∴DI=DC=DM，∴∠ICM=90°，∴CM=，∵AI=2CD=10，∴AI=IM，∵AE=EC，∴IE是△ACM的中位线，CM=4，∴IE=12故选：C．【点睛】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．18. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m ，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）A. 5πm 3B. 8πm 3C. 10πm 3D. 5π+2m 3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC ，再利用矩形的性质证得COD ∆是等边三角形，得到60COD ∠=︒，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为36060300︒-︒=︒，利用弧长公式即可求解．【详解】如图，连接AD ，BC ，交于O 点，∵90BDC ∠=︒ ，∴BC 是直径，∴4BC ===，∵四边形ABDC 是矩形，∴122OC OD BC ===， ∵2CD =，∴OC OD CD ==，∴COD ∆是等边三角形，∴60COD ∠=︒，∴门洞的圆弧所对的圆心角为36060300︒-︒=︒ ， ∴改建后门洞的圆弧长是11300300410221801803BC πππ︒⨯︒⨯⨯==︒︒(m)， 故选：C【点睛】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．19. 如图，正六边形ABCDEF 内接于△O ，若△O 的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）C. 3D. 【答案】C【解析】 【分析】连接OB ，OC ，由△O 的周长等于6π，可得△O 的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．【详解】解：连接OB ，OC ，∵△O 的周长等于6π，∴△O 的半径为：3，∵∠BOC 61=⨯360°＝60°， ∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝3，∴它的内接正六边形ABCDEF 的边长为3，故选：C ．【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．20. 家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC ＝90°，则扇形部件的面积为（ ）A. 12π米2 B. 14π米2 C. 18π米2 D. 116π米2 【答案】C【解析】 【分析】连接BC ，先根据圆周角定理可得BC 是O 的直径，从而可得1BC =米，再解直角三角形可得AB AC = 【详解】解：如图，连接BC ，90BAC ∠=︒，BC ∴是O 的直径，1BC ∴=米，又AB AC =，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，sin AB AC BC ABC ∴==⋅∠=（米），则扇形部件的面积为290123608ππ⨯=（米2）， 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆周角定理和扇形的面积公式是解题关键．二．填空题21. 如图，在正六边形ABCDEF 中，AB =6，点M 在边AF 上，且AM =2．若经过点M 的直线l 将正六边形面积平分，则直线l 被正六边形所截的线段长是_____．【答案】 【解析】【分析】如图，连接AD ，CF ，交于点O ，作直线MO 交CD 于H ，过O 作OP ⊥AF 于P ，由正六边形是轴对称图形可得：,ABCO DEFO S S 四边形四边形 由正六边形是中心对称图形可得：,,AOMDOHMOFCHOSSSS,OM OH = 可得直线MH 平分正六边形的面积，O 为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接AD ，CF ，交于点O ，作直线MO 交CD 于H ，过O 作OP ⊥AF 于P ，由正六边形是轴对称图形可得：,ABCODEFO S S 四边形四边形由正六边形是中心对称图形可得：,,AOMDOHMOFCHOSSSS,OM OH =∴直线MH 平分正六边形的面积，O 为正六边形的中心， 由正六边形的性质可得：AOF 为等边三角形，60,AFO而6,AB =6,3,AB AF OF OA AP FP226333,OP2,AM 则1,MP 2213327,OM247.MHOM故答案为：【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形”是解本题的关键．22. 如图，用一个半径为6 cm 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120︒，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm ．（结果保留π）【答案】4π 【解析】【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中120°所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．【详解】解：根据题意，重物的高度为12064180ππ⨯⨯=（cm ）．故答案为：4π．【点睛】本题考查了弧长公式：180n Rl π⋅⋅=（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）．23. 如图是以点O 为圆心，AB 为直径的圆形纸片，点C 在⊙O 上，将该圆形纸片沿直线CO 对折，点B 落在⊙O 上的点D 处（不与点A 重合），连接CB ，CD ，AD ．设CD 与直径AB 交于点E ．若AD =ED ，则∠B =_________度；BCAD的值等于_________．【答案】 △. 36 △. 32+ 【解析】【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE =∠DEA ，证出∠BEC =∠BCE ，由折叠的性质得出∠ECO =∠BCO ，设∠ECO =∠OCB =∠B =x ，证出∠BCE =∠ECO +∠BCO =2x ，∠CEB =2x ，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO ∽△BEC ，由相似三角形的性质得出CE BEEO CE=，设EO =x ，EC =OC =OB =a ，得出a 2=x （x +a ），求出OE a ，证明△BCE ∽△DAE ，由相似三角形的性质得出BC ECAD AE=，则可得出答案．【详解】解：∵AD =DE ， ∴∠DAE =∠DEA ，∵∠DEA =∠BEC ，∠DAE =∠BCE ， ∴∠BEC =∠BCE ，∵将该圆形纸片沿直线CO 对折， ∴∠ECO =∠BCO ， 又∵OB =OC ， ∴∠OCB =∠B ，设∠ECO =∠OCB =∠B =x ， ∴∠BCE =∠ECO +∠BCO =2x ， ∴∠CEB =2x ，∵∠BEC +∠BCE +∠B =180°， ∴x +2x +2x =180°， ∴x =36°， ∴∠B =36°；∵∠ECO =∠B ，∠CEO =∠CEB ， ∴△CEO ∽△BEC ， ∴CE BEEO CE=， ∴CE 2=EO •BE ，设EO =x ，EC =OC =OB =a ， ∴a 2=x （x +a ），解得，x a （负值舍去），∴OE a ，∴AE =OA -OE =a -12a =32-a ，∵∠AED =∠BEC ，∠DAE =∠BCE ， ∴△BCE ∽△DAE ，∴BC EC AD AE=，∴32BCAD==．故答案为：36，32+．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．24. 如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是AD所对的圆周角，则∠APD的度数是______．【答案】30°##30△【解析】【分析】根据垂径定理得出△AOB=△BOD，进而求出△AOD=60°，再根据圆周角定理可得△APD=12△AOD=30°．【详解】△OC⊥AB，OD为直径，△BD AD=，△△AOB=△BOD，△△AOB=120°，△△AOD=60°，△△APD=12△AOD=30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．25. 某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm ，底面圆的半径为10 cm ，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____． 【答案】120︒ 【解析】【分析】设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n ，30210180n =⨯⨯ππ，进行解答即可得．【详解】解： 设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，30210180n =⨯⨯ππ 120n =︒故答案为：120︒．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．26. 如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，点O 在BC 上，以OB 为半径的圆与AC 相切于点A ，D 是BC 边上的动点，当△ACD 为直角三角形时，AD 的长为___________．【答案】32或65【解析】【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可． 【详解】解：连接OA ，①当D点与O点重合时，∠CAD为90°，设圆的半径=r，∴OA=r，OC=4-r，∵AC=4，在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4=（4-r）2，解得：r=32，即AD=AO=32；②当∠ADC=90°时，过点A作AD⊥BC于点D，∵12AO•AC=12OC•AD，∴AD=AO AC OC，∵AO=32，AC=2，OC=4-r=52，∴AD=65，综上所述，AD的长为32或65，故答案为：32或65．【点睛】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．27. 一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为____________厘米．【答案】26【解析】【分析】令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2，进而求出半径．【详解】解：如图，由题意，得OD垂直平分AB，∴BC=10厘米，令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，在Rt△BOC中OC2+BC2=OB2，∴（r-2）2+102=r2，解得r=26．故答案为：26．【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键．28. 若扇形的圆心角为120 ，半径为32，则它的弧长为___________．【答案】π【解析】【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长．【详解】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为32， ∴它的弧长为：31202,180ππ⨯=故答案为：π【点睛】本题考查弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长的计算公式.180n rl π=29. 如图，⊙O 的半径为2，点A ，B ，C 都在⊙O 上，若30B ∠=︒．则AC 的长为_____（结果用含有π的式子表示）【答案】23π 【解析】【分析】利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到60AOC ∠=︒，再利用弧长公式求解即可．【详解】2AOC B ∠=∠，30B ∠=︒，60AOC ∴∠=︒，⊙O 的半径为2，60221803AC ππ⨯∴==， 故答案为：23π．【点睛】本题考查了圆周角定理和弧长公式，即180n rl π=，熟练掌握知识点是解题的关键．30. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AC =，BC =1的O在Rt ABC △内平移（O 可以与该三角形的边相切），则点A 到O 上的点的距离的最大值为________．【答案】1 【解析】【分析】设直线AO 交O 于M 点（M 在O 点右边），当O 与AB 、BC 相切时，AM 即为点A 到O 上的点的最大距离．【详解】设直线AO 交O 于M 点（M 在O 点右边），则点A 到O 上的点的距离的最大值为AM 的长度当O 与AB 、BC 相切时，AM 最长 设切点分别为D 、F ，连接OB ，如图∵90C ∠=︒，6AC =，BC =∴tan ACB BC==AB = ∴60B ∠=︒∵O 与AB 、BC 相切 △1302OBD B ∠=∠=︒ △O 的半径为1 ∴1OD OM ==∴BD ==∴AD AB DB =-=∴OA===∴1=+=AM OA OM∴点A到O上的点的距离的最大值为1．【点睛】本题考查切线的性质、特殊角度三角函数值、勾股定理，解题的关键是确定点A到O上的点的最大距离的图形．31. 如图，在扇形AOB中，点C，D在AB上，将CD沿弦CD折叠后恰好与OA，OA=，则EF的度数为_______；折痕OB相切于点E，F．已知120AOB∠=︒，6CD的长为_______．【答案】△. 60°##60△ △.【解析】【分析】根据对称性作O关于CD的对称点M，则点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可．【详解】作O关于CD的对称点M，则ON=MN连接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N△将CD沿弦CD折叠∴点D 、E 、F 、B 都在以M 为圆心，半径为6的圆上△将CD 沿弦CD 折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ．∴ME ⊥OA ，MF ⊥OB∴90MEO MFO ∠=∠=︒∵120AOB ∠=︒∴四边形MEOF 中36060EMF AOB MEO MFO ∠=︒-∠-∠-∠=︒即EF 的度数为60°；∵90MEO MFO ∠=∠=︒，ME MF =∴MEO MFO ≅（HL ） ∴1302EMO FMO FME ∠=∠=∠=︒∴6cos cos30ME OM EMO ===∠︒∴MN =∵MO ⊥DC∴12DN CD ====∴CD =故答案为：60°；【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键．三．解答题32. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，以BC 为直径作⊙O ，交AB 边于点D ，在CD 上取一点E ，使BE CD =，连接DE ，作射线CE 交AB 边于点F ．（1）求证：A ACF ∠=∠；（2）若8AC =，4cos 5ACF ∠=，求BF 及DE 的长． 【答案】（1）见解析 （2）BF =5，4225DE = 【解析】【分析】（1）根据Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，得到∠A +∠B =∠ACF +∠BCF =90°，根据BE CD =，得到∠B =∠BCF ，推出∠A =∠ACF ；（2）根据∠B =∠BCF ，∠A =∠ACF ，得到AF =CF ，BF =CF ，推出AF =BF =12 AB ，根据4cos cos 5AC ACF A AB ∠===，AC =8，得到AB =10，得到BF =5，根据6BC ==，得到3sin 5BC A AB ==，连接CD ，根据BC 是⊙O 的直径，得到∠BDC =90°，推出∠B +∠BCD =90°，推出∠A =∠BCD ，得到3sin 5BD BCD BC ∠==，推出185BD =，得到75DF BF BD =-=，根据∠FDE =∠BCE ，∠B =∠BCE ，得到∠FDE =∠B ，推出DE ∥BC ，得到△FDE ∽△FBC ，推出DE DF BC BF =，得到4225DE =． 【小问1详解】解：∵Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，∴∠A +∠B =∠ACF +∠BCF =90°，∵BE CD =，∴∠B =∠BCF ，∴∠A =∠ACF ；【小问2详解】∵∠B =∠BCF ，∠A =∠ACF∴AF =CF ，BF =CF ，∴AF =BF =12 AB ， ∵4cos cos 5AC ACF A AB ∠===，AC =8，∴AB=10，∴BF=5，∵6 BC==，∴3 sin5BCAAB==，连接CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴3 sin5BDBCDBC∠==，∴185 BD=，∴75 DF BF BD=-=，∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，∴∠FDE=∠B，∴DE∥BC，∴△FDE∽△FBC，∴DE DF BC BF=，∴4225 DE=．【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质．33. 如图，已知AC为O的直径，直线P A与O相切于点A，直线PD经过O 上的点B且CBD CAB∠=∠，连接OP交AB于点M．求证：（1）PD 是O 的切线；（2）2AM OM PM =⋅【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）连接OB ，由等边对等角及直径所对的圆周角等于90°即可证明； （2）根据直线P A 与O 相切于点A ，得到90OAP ∠=︒，根据余角的性质得到OAM APM ∠=∠，继而证明OAM APM ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【小问1详解】连接OB ，OA OB OC ==，,OAB OBA OBC OCB ∴∠=∠∠=∠，AC 为O 的直径，ABC OBA OBC ∴∠=∠+∠，CBD CAB∠=∠，OBA CBD∴∠=∠，90CBD OBC OBD∴∠+∠=︒=∠，∴PD是O的切线；【小问2详解】直线P A与O相切于点A，90OAP∴∠=︒，∵PD是O的切线，90AMO AMP OAP∴∠=∠=∠=︒，90OAM PAM PAM APM∴∠+∠=∠+∠=︒，OAM APM∴∠=∠，OAM APM∴，AM OMPM AM∴=，∴2AM OM PM=⋅．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．34. 如图，点C在以AB为直径的O上，CD平分ACB∠交O于点D，交AB于点E，过点D作O的切线交CO的延长线于点F．（1）求证：FD AB∥；（2）若AC=BC=，求FD的长．【答案】（1）见解析（2）15 8【解析】【分析】（1）连接OD，由CD平分△ACB，可知AD BD=，得△AOD=△BOD=90°，由DF是切线可知△ODF=90°=△AOD，可证结论；（2）过C作CM⊥AB于M，已求出CM、BM、OM的值，再证明△DOF∽△MCO，得CM OMOD FD，代入可求．【小问1详解】证明：连接OD，如图，△CD平分△ACB，△AD BD=，△△AOD=△BOD=90°，△DF是△O的切线，△△ODF=90°△△ODF=△BOD，△DF∥AB．【小问2详解】解：过C作CM⊥AB于M，如图，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴AB2222(25)(5)5BC．∴1122AB CM AC BC=，即115255 22CM，∴CM=2，∴2222(5)21BM BC CM，∴OM=OB -BM=135122，∵DF∥AB，∴∠OFD=∠COM，又∵∠ODF=∠CMO=90°，∴△DOF ∽△MCO，∴CM OM OD FD，即32252FD，∴FD=158．【点睛】本题考查了圆的圆心角、弦、弧关系定理、圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握这些定理，灵活运用相似三角形的性质求解．35. 如图，AB 为O的直径，点C是O上一点，点D是O外一点，BCD BAC∠=∠，连接OD交BC于点E．（1）求证：CD是O的切线．（2）若4,sin5CE OA BAC=∠=，求tan CEO∠的值．【答案】（1）见解析；（2）3【解析】【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB =90°，根据OA =OC 推出∠BCD =∠ACO ，即可得到∠BCD +∠OCB =90°，由此得到结论；（2）过点O 作OF ⊥BC 于F ，设BC =4x ，则AB =5x ，OA =CE =2.5x ，BE =1.5x ，勾股定理求出AC ，根据OF ∥AC ，得到1BF OB CF OA==，证得OF 为△ABC 的中位线，求出OF 及EF ，即可求出tan CEO ∠的值．【小问1详解】证明：连接OC ，∵AB 为O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠ACO +∠OCB =90°，∵OA =OC ，△∠A =∠ACO ,∵BCD BAC ∠=∠，∴∠BCD =∠ACO ，∴∠BCD +∠OCB =90°，∴OC ⊥CD ，∴CD 是O 的切线．【小问2详解】解：过点O 作OF ⊥BC 于F ， ∵4,sin 5CE OA BAC =∠=， ∴设BC =4x ，则AB =5x ，OA =CE =2.5x ，∴BE =BC -CE =1.5x ，∵∠C =90°，∴AC 3x =，∵OA =OB ，OF ∥AC ， ∴1BF OB CF OA==， ∴CF =BF =2x ，EF =CE -CF =0.5x ，∴OF 为△ABC 的中位线，∴OF =1 1.52AC x =， ∴tan CEO ∠= 1.530.5OF x EF x ==．【点睛】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键． 36. 如图，AB 为O 的弦，OC OA ⊥交AB 于点P ，交过点B 的直线于点C ，且CB CP =．（1）试判断直线BC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若sin 85A OA ==，求CB 的长． 【答案】（1）相切，证明见详解（2）6【解析】【分析】（1）连接OB ，根据等腰三角形的性质得出A OBA ∠=∠，CPB CBP ∠=∠，从而求出90AOC OBC ∠=∠=︒，再根据切线的判定得出结论； （2）分别作OM AB ⊥交AB 于点M ，CN AB ⊥交AB 于N ，根据sin 8A OA ==求出OP ，AP 的长，利用垂径定理求出AB 的长，进而求出BP 的长，然后在等腰三角形CPB 中求解CB 即可．【小问1详解】证明：连接OB ，如图所示：CP CB OA OB ==，，∴A OBA ∠=∠，CPB CBP ∠=∠，APO CPB ∠=∠，APO CBP ∴∠=∠，OC OA ⊥，即90AOP ︒=∠，90A APO OBA CBP OBC ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠，OB BC ∴⊥， OB 为半径，经过点O ，∴直线BC 与O 的位置关系是相切．【小问2详解】分别作OM AB ⊥交AB 于点M ，CN AB ⊥交AB 于N ，如图所示：AM BM ∴=，CP CB AO CO =⊥，，A APO PCN CPN ∴∠+∠=∠+∠，PN BN =，PCN BCN ∠=∠A PCN BCN ∴∠=∠=∠sin A =，8OA =，sin OM OP A OA AP ∴===4OM AM OP AP ∴====，25AB AM ∴==，111()(22255PN BN PB AB AP ∴===-=⨯-=sin sin BN A BCN CB ∴=∠==，6CB ∴===． 【点睛】本题考查了切线的证明，垂径定理的性质，等腰三角形，勾股定理，三角函数等知识点，熟练掌握相关知识并灵活应用是解决此题的关键，抓住直角三角形边的关系求解线段长度是解题的主线思路．37. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A 、B 、C 、D 、M 均为格点．【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB 、CD ，相交于点P 并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点E ，构建两个直角三角形，分别是△ABC 和△CDE ． 在Rt △ABC 中，1tan 2BAC ∠=在Rt △CDE 中， ，所以tan tan BAC DCE ∠∠=．所以∠BAC =∠DCE ．因为∠ACP + ∠DCE =∠ACB =90°，所以∠ACP+∠BAC=90°，所以∠APC=90°，即AB⊥CD．（1）【拓展应用】如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，写出作法，并给出证明：（2）【拓展应用】如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使2AM=AP·AB，写出作法，不用证明．【答案】（1）1tan2DCE∠=；见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取格点N，作射线AN交BM于点P，则AN MO⊥根据垂径定理可知，点P即为所求作；（2）取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作．利用正切函数证得∠FMI=∠MNA，利用圆周角定理证得∠B=∠MNA，再推出△P AM∽△MAB，即可证明结论．【小问1详解】解：【操作探究】在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，1 tan2BAC∠=在Rt△CDE中，1 tan2DCE∠=，所以tan tan BAC DCE ∠∠=．所以∠BAC =∠DCE ．因为∠ACP + ∠DCE =∠ACB =90°，所以∠ACP +∠BAC =90°，所以∠APC =90°，即AB ⊥CD ． 故答案为：1tan 2DCE ∠=； 取格点N ，作射线AN 交BM 于点P ，点P 即为所求作；11tan ,tan 33MOD NAC ∠=∠= MOD NAC ∴∠=∠90NAC ANC ∠+∠=︒90ANC DOM ∴∠+∠=︒∴AN OM ⊥AM PM ∴=【小问2详解】解：取格点I ，连接MI 交AB 于点P ，点P 即为所求作；证明：作直径AN ，连接BM 、MN ，在Rt △FMI 中，1an 3t FMI ∠=， 在Rt △MNA 中，1an 3t MNA ∠=， 所以tan tan FMI MNA ∠∠=．。

中考数学专题复习全等三角形（X模型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、填空题1．如图，已知AD是ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC BF=，24DAC∠=︒，32EBC∠=︒，则ACB=∠__________．评卷人得分二、解答题2．问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长．3．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．4．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC中，若8AB=，6AC=，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE AD=，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC△EDB△的理由是______．（2）求得AD的取值范围是______．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，在ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM DN⊥，求证：BM CN MN+>．5．如图所示：ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD CE=，连接DE交BC于点M．求让：MD ME=6．阅读下面材料【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图△．在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC△△EDB的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）由三角形三边的关系可求得AD长的取值范围是（）A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【解后感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到一个三角形中．【灵活运用】如图△，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF若EF=4，7．阅读下面的题目及分析过程．已知：如图点E是BC的中点，点A在DE上，且AB DC=说明：BAE D ∠=∠分析：说明两个角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质．观察本题中说明的两个角，它们既不在同一个三角形中，而且们所在两个三角形也不全等．因此，要说明BAE D∠=∠，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现在提供两种添加辅助线的方法如下：如图△过点C作//CF AB，交DE的延长线于点F．如图△延长DE至点M，使ME DE=，连接BM．（1）请从以上两种辅助线中选择一种完成上题的说理过程．（2）在解决上述问题的过程中，你用到了哪种数学思想？请写出一个．_______________．（3）反思应用：如图，点B是AE的中点，BC BD⊥于点B．请类比（1）中解决问题的思想方法，添加适当的辅助线，判断线段AC DE+与CD之间的大小关系，并说明理由．8．如图，在ABC中，45ABC∠=,AD,BE分别为BC,AC边上的高，连接DE,过点D 作DF DE⊥与点F，G为BE中点，连接AF，DG．（1）如图1，若点F与点G重合，求证：AF DF⊥；（2）如图2，请写出AF与DG之间的关系并证明．9．P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）证明：PD＝DQ．（2）如图2，过P作PE△AC于E，若AB＝6，求DE的长．10．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC△△EDB的理由是_____.A．SSS B．SAS C．AAS D．HL(2)求得AD的取值范围是______.A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】(3)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF.求证：AC ＝BF.11．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC△△EDB，依据是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长．【灵活运用】如图3，在△ABC中，△A＝90°，D为BC中点，DE△DF，DE交AB于点E，DF交AC 于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论．12．如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连接BE，AF．点G是线段BE的中点，BN∥AC，BN与AG延长线交于点N．（1）若∠BAN＝15°，求∠N；（2）若AE＝CF，求证：2AG＝AF．13．（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图△，在△ABC中，AD是△ABC的中线，若AB＝10，AC＝8，求AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：△.由已知和作图能得到△ADC△△EDB，依据是________．A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA△.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是________．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．（2）【学会运用】如图△，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB, △BAC=△BCA, 求证：AE=2AD．14．如图，等边三角形ABC 中，E 是线段AC 上一点，F 是BC 延长线上一点.连接BE ，AF .点G 是线段BE 的中点，BNAC ，BN 与AG 延长线交于点N .（1）若15BAN ∠=︒，求N ∠； （2）若AE CF =，求证：2AG AF =.15．P 为等边△ABC 的边AB 上一点，Q 为BC 延长线上一点，且P A ＝CQ ，连PQ 交AC 边于D ．（1）证明：PD ＝DQ ．（2）如图2，过P 作PE △AC 于E ，若AB ＝6，求DE 的长．16．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在ABC 中，AB 8=，AC 6=，D 是BC 的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使DE AD =，请补充完整证明“ADC △EDB ”的推理过程．()1求证：ADC △EDB证明：延长AD 到点E ，使DE AD = 在ADC 和EDB 中AD ED(=已作)，ADC EDB(∠∠=______)，CD BD(=中点定义)，ADC ∴△EDB(______)，()2探究得出AD 的取值范围是______；【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】()3如图2，ABC 中，B 90∠=，AB 2=，AD 是ABC 的中线，CE BC ⊥，CE 4=，且ADE90∠=，求AE 的长．17．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且△BAE=△CDE ． 求证：AB=CD ． 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要要证AB=CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三18．如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，(1)求证：DP=DQ；(2)过P作PE△AC于E，若BC=4，求DE的长．19．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．参考答案：1．100°【解析】【分析】延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，证△BDM△△CDA（SAS），得BM=AC=BF，△M=△DAC=24°，△C=△DBM，再证△BFM是等腰三角形，求出△MBF的度数，即可解决问题．【详解】解：如图，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，如图所示：在△BDM和△CDA中，DM DABDM CDABD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BDM△△CDA（SAS），△BM=AC=BF，△M=△DAC=24°，△C=△DBM，△BF=AC，△BF=BM，△△M=△BFM=24°，△△MBF=180°-△M-△BFM=132°，△△EBC=32°，△△DBM=△MBF-△EBC=100°，△△C=△DBM=100°，故答案为：100°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．问题背景：SAS；问题解决：完整过程见解析；拓展应用：DE＝6．【解析】【分析】问题背景：先判断出BD=CD，由对顶角相等△BDE=△CDA，进而得出△ADC△△EDB （SAS）；问题解决：先证明△ADC△△EDB（SAS），得出BE=AC=3，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN=AM，连接BN，同（1）的方法得出△BMN△△CMA（SAS），则BN=AC，进而判断出△ABN=△EAD，进而判断出△ABN△△EAD，得出AN=ED，即可求解．【详解】问题背景：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，△AD是△ABC的中线，△BD＝CD，在△ADC和△EDB中，AD EDCDA BDECD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADC△△EDB（SAS），故答案为：SAS；问题解决：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，△AD是△ABC的中线，△BD＝CD，AD EDCDA BDECD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADC△△EDB（SAS），△BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，△AB＝4，AC＝3，△4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，△DE＝AD，△AD＝12AE，△12＜AD＜72；拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN＝AM，连接BN，由问题背景知，△BMN△△CMA（SAS），△BN＝AC，△CAM＝△BNM，△AC//BN，△AC＝AD，△BN＝AD，△AC//BN，△△BAC+△ABN＝180°，△△BAE＝△CAD＝90°，△△BAC+△EAD＝180°，在△ABN 和△EAD 中，AB EA ABN EAD BN AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABN △△EAD （SAS ），△AN ＝DE ，△MN ＝AM ，△DE ＝AN ＝2AM ，△AM ＝3，△DE ＝6．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，补角的性质，掌握倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．3．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】 （1）先由AF △BC ，利用平行线的性质可证△AFE =△DCE ，而E 是AD 中点，那么AE =DE ，△AEF =△DEC ，利用AAS 可证△AEF △△DEC ，那么有AF =DC ，又AF =BD ，从而有BD =CD ； （2）四边形AFBD 是矩形．由于AF 平行等于BD ，易得四边形AFBD 是平行四边形，又AB =AC ，BD =CD ，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD △BC ，即△ADB =90°，那么可证四边形AFBD 是矩形．【详解】证明： （1）△AF △BC ，△△AFE =△DCE ，△E 是AD 的中点，△AE =DE ，△△AFE ＝△DCE ， ∠AEF∠∠DEC ，AE ＝DE ，△△AEF △△DEC （AAS ），△AF =DC ，△AF =BD ，△BD =CD ，△D 是BC 的中点；（2）四边形AFBD 是矩形．理由： △AB =AC ，D 是BC 的中点，△AD △BC ，△△ADB =90°，△AF =BD ，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，即AF △BC ，△四边形AFBD 是平行四边形，又△△ADB =90°，△四边形AFBD 是矩形．【点睛】本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、等量代换、平行四边形的判定、等腰三角形三线合一定理、矩形的判定等知识．4．（1）SAS ；（2）17AD <<；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据AD=DE ，△ADC=△BDE ，BD=DC 推出△ADC 和△EDB 全等即可；（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD ，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD ＜8+6，求出即可；（3）延长ND 至点E ，使DE DN =，连接BE 、ME ，证明BED △()SAS CND △，得到BE CN =，根据三角形三边关系解答即可．【详解】（1）解：△在△ADC 和△EDB 中，AD DE ADC BDE BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADC△△EDB （SAS ），故答案为：SAS ；（2）解：△由（1）知：△ADC△△EDB ，△BE=AC=6，AE=2AD ，△在△ABE 中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD ＜8+6，△1＜AD ＜7，故答案为：1＜AD ＜7．（3）证明：延长ND 至点E ，使DE DN =，连接BE 、ME ，如图所示：△点D 是BC 的中点，△BD CD =．在BED 和CND △中，DE DN BDE CDN BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △BED △()SAS CND △，△BE CN =，△DM DN ⊥，DE DN =，△ME MN =， 在BEM △中，由三角形的三边关系得：BM BE ME +>，△BM CN MN +>．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．5．见详解【解析】【分析】过点D作DE△AC，交BC于点E，根据等边三角形和平行线的性质得△MDE=△MEC，DE=CE，从而证明∆EMD≅∆CME，进而即可得到结论．【详解】过点D作DE△AC，交BC于点E，△ABC是等边三角形，△△B=△ACB=60°，△DE△AC，△△DEB=△ACB=60°，△MDE=△MEC，△BDE是等边三角形，△BD=DE，△BD CE=，△DE=CE，又△△EMD=△CME，△∆EMD≅∆CME，△MD ME=．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．6．(1)B；（2）C；应用：7．【解析】【分析】(1)由已知AD是△ABC的中线，和作图延长AD到点E，使DE=AD，CD=BD,△ADC=△EDB, AD=DE得到△ADC△△EDB(SAS) 即可，(2) 由△ADC△△EDB，则BE=AC=6，AE=2AD，AB=8，在ΔABE中，AB-BE<AE<AB+BE，即则2<2AD<14即可，【灵活运用】延长AD到G，使DG=AD，连接BG，由（1）知△ADC△△GDB，BG=AC=AE+EC=7△G=△DAC可以判定BG△AC，由△BFG=△AFE，得ΔGBF△ΔAEF，由性质BG BF AE EF．【详解】(1)由已知AD是△ABC的中线，和作图延长AD到点E，使DE=AD，CD=BD,△ADC=△EDB, AD=DE得到△ADC△△EDB(SAS)故选择：B，(2) 由△ADC△△EDB，则BE=AC=6，AE=2AD，AB=8，在ΔABE中，AB-BE<AE<AB+BE，即AB-BE=8-6=2，AB+BE=14，则2<2AD<14，1<AD<7故选择：C，灵活运用延长AD到G，使DG=AD，连接BG，由（1）知△ADC△△GDB，BG=AC=AE+EC=7，△G=△DAC，BG△AC，△BFG=△AFE，ΔGBF△ΔAEF，BG BF AE EF=， 744BF =， BF=7．【点睛】本题考查中线加倍问题，由中线加倍，利用SAS 推出三角形全等，把问题转化为三角形中的问题，用三角形的三边关系，确定取值范围，由△ADC △△GDB ，△G=△DAC 可以判定BG△AC ，由△BFG=△AFE ，得ΔGBF△ΔAEF ，用相似三角形的性质解决问题． 7．（1）采用第一种方法，证明见解析（2）转化思想（3）AC+DE ＞CD ，证明见解析 【解析】【分析】（1）过点C 作//CF AB ，证明得到△ABE△△FCE ，得到BAE F ∠=∠，再根据AB DC =得到D F =∠∠，故可得到BAE D ∠=∠；（2）此题用到了转化思想；（3）过点E 作//EF AC ，证明得到△ABC△△EBF ，得到AC=EF,连接DF,利用等腰三角形三线合一得到CD=DF ，再根据三角形的三边关系得到EF DE +与DF 之间的大小关系即可求解．【详解】（1）采用第一种方法，过点C 作//CF AB ，交DE 的延长线于点F ．△//CF AB△B ECF ∠=∠,BAE CFE ∠=∠又E 点是BC 中点，△BE=CE△△ABE△△FCE（AAS）△BAE F∠=∠，AB=CF,A,E,F在同一直线上，△AB DC=△D F=∠∠△BAED∠=∠；（2）此题用到了转化思想；故答案为：转化思想；（3）如图，过点E作//EF AC，同（1）理得到△ABC△△EBF，△AC=EF，BC=BF连接DF△BC BD⊥△△CDF是等腰三角形△CD=DF，在△DEF中，EF DE+＞DF故AC+DE＞CD．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质．8．(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF△DG,证明详见解析.【解析】【分析】(1) 利用条件先△DAE△△DBF,从而得出△FDE是等腰直角三角形,再证明△AEF是等腰直角三角形,即可.(2) 延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM,先证明△BGM△△EGD,再证明△BDM△△DAF即可推出.【详解】解:（1）证明:设BE与AD交于点H..如图，△AD,BE分别为BC,AC边上的高,△△BEA=△ADB=90°.△△ABC=45°,△△ABD是等腰直角三角形.△AD=BD.△△AHE=△BHD,△△DAC=△DBH.△△ADB=△FDE=90°,△△ADE=△BDF.△△DAE△△DBF.△BF=AE,DF=DE.△△FDE是等腰直角三角形.△△DFE=45°.△G为BE中点,△AE=EF.△△AEF是等腰直角三角形.△△AFE=45°.△△AFD=90°,即AF△DF.（2）AF=2DG,且AF△DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM,△点G为BE的中点,BG=GE.△△BGM△EGD,△△BGM△△EGD.△△MBE=△FED=45°,BM=DE.△△MBE=△EFD,BM=DF.△△DAC=△DBE,△△MBD=△MBE+△DBE=45°+△DBE.△△EFD=45°=△DBE+△BDF,△△BDF=45°-△DBE.△△ADE=△BDF,△△ADF=90°-△BDF=45°+△DBE=△MBD.△BD=AD,△△BDM△△DAF.△DM=AF=2DG,△FAD=△BDM.△△BDM+△MDA=90°,△△MDA+△FAD=90°.△△AHD=90°.△AF△DG.△AF=2DG,且AF△DG本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质.9．（1）证明见解析；（2）DE＝3．【解析】【分析】（1）过点P作PF△BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF△△QDC，得出对应边相等即可；（2）过P作PF△BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD△△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DE12=AC，即可得出结果．【详解】（1）如图1所示，点P作PF△BC交AC于点F．△△ABC是等边三角形，△△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．△PF△BC，△△PFD=△DCQ．在△PDF和△QDC中，PDF QDCDFP QCDPF QC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△PDF△△QDC（AAS），△PD=DQ；（2）如图2所示，过P作PF△BC交AC于F．△PF△BC，△ABC是等边三角形，△△PFD=△QCD，△APF是等边三角形，△AP=PF=AF．△PE△AC，△AE=EF．△AP=PF，AP=CQ，△PF=CQ．在△PFD和△QCD中，PDF QDCDFP QCDPF QC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△PFD△△QCD（AAS），△FD=CD．△AE =EF ，△EF +FD =AE +CD ，△AE +CD =DE 12=AC ． △AC =6，△DE =3．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS ）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS ）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质．10．(1)B ；(2)C ；(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据AD ＝DE ，△ADC ＝△BDE ，BD ＝DC 推出△ADC 和△EDB 全等即可；(2)根据全等得出BE ＝AC ＝6，AE ＝2AD ，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD ＜8+6，求出即可；(3)延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ，根据SAS 证△ADC△△MDB ，推出BM ＝AC ，△CAD ＝△M ，根据AE ＝EF ，推出△CAD ＝△AFE ＝△BFD ，求出△BFD ＝△M ，根据等腰三角形的性质求出即可.【详解】（1）解：在△ADC 和△EDB 中AD DE ADC BDE BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADC△△EDB(SAS)，故选B ；（2）解：如图：△由(1)知：△ADC△△EDB，△BE＝AC＝6，AE＝2AD，△在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，△1＜AD＜7，故选C.（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，△AD是△ABC中线，△CD＝BD，△在△ADC和△MDB中DC DBADC MDBDA DM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADC△△MDB，△BM＝AC，△CAD＝△M，△AE＝EF，△△CAD＝△AFE，△△AFE ＝△BFD ，△△BFD ＝△CAD ＝△M ，△BF ＝BM ＝AC ，即AC ＝BF.【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．11．（1）B ；（2）2＜AD ＜10；【初步运用】BF ＝5；【灵活运用】BE 2+CF 2＝EF 2，理由见解析【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答；（2）根据三角形的三边关系计算；初步运用 延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ，证明△ADC △△MDB ，根据全等三角形的性质解答；灵活运用 延长ED 到点G ，使DG ＝ED ，连结GF ，GC ，证明△DBE △△DCG ，得到BE ＝CG ，根据勾股定理解答．【详解】解：（1）在△ADC 和△EDB 中，BD=CD BDE=CDA ED=AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， △△ADC△△EDB （SAS ），故选B ；（2）△△ADC△△EDB ，△EB=AC=8，在△ABE 中，AB ﹣BE ＜AE ＜AB+BE ，△2＜AD ＜10，故答案为2＜AD ＜10；【初步运用】延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ，△AE ＝EF ．EF ＝3，△AC ＝5，△AD 是△ABC 中线，△CD ＝BD ，△在△ADC 和△MDB 中，BD=CD BDM=CDA DM=DA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， △△ADC △△MDB ，△BM ＝AC ，△CAD ＝△M ，△AE ＝EF ，△△CAD ＝△AFE ，△△AFE ＝△BFD ，△△BFD ＝△CAD ＝△M ，△BF ＝BM ＝AC ，即BF ＝5；【灵活运用】线段BE 、CF 、EF 之间的等量关系为：BE 2+CF 2＝EF 2．证明：如图3，延长ED 到点G ，使DG ＝ED ，连结GF ，GC ，△ED △DF ，△EF ＝GF ，△D 是BC 的中点，△BD ＝CD ，在△BDE 和△CDG 中， ED=GD BDE=CDG BD=CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，△△BDE△△CDG（SAS），△BE＝CG，△△A＝90°，△△B+△ACB＝90°，△△BDE△△CDG，EF＝GF，△BE＝CG，△B＝△GCD，△△GCD+△ACB＝90°，即△GCF＝90°，△Rt△CFG中，CF2+GC2＝GF2，△BE2+CF2＝EF2．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．12．（1）45°；（2）见解析【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可知∠ABC＝∠ACB＝60°，由平行线的性质可知∠NBC＝60°，进一步求出∠ABN＝120°，再由三角形内角和定理即可求出∠N的度数；（2）先证△NBG≌△AEG，得到AG＝NG，AE＝BN，再证△ABN≌△ACF，即可推出AF ＝2AG．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AC∥BN，∴∠NBC＝∠ACB＝60°，∴∠ABN＝∠ABC+∠NBC＝120°，∴在△ABN中，∠N＝180°﹣∠ABN﹣∠BAN＝180°﹣120°﹣15°＝45°；（2）∵AC∥BN，∴∠N＝∠GAE，∠NBG＝∠AEG，又∵点G是线段BE的中点，∴BG＝EG，∴△NBG≌△AEG（AAS），∴AG＝NG，AE＝BN，∵AE＝CF，∴BN＝CF，∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝120°，∴∠ABN＝∠ACF，又∵AB＝AC，∴△ABN≌△ACF（SAS），∴AF＝AN，AN，∵AG＝NG＝12∴AF＝2AG．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是能够熟练运用全等三角形的判定与性质．13．（1）△.B；△. 1＜AD＜9；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）△.根据全等三角形的判定定理解答；△.根据三角形的三边关系定理可得AB−BE＜AE＜AB＋BE，结合BE=AC可确定AE的取值范围，易得AD的取值范围；（2）首先延长AD至M，使DM＝AD，先证明△ABD△△MCD，进而得出MC＝AB，△B ＝△MCD，即可得出△ACM＝△ACE，再证明△ACM△△ACE，即可证明结论．【详解】解：（1）△.在△ADC和△EDB中，BD CDBDE CDA DE AD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ADC△△EDB（SAS），故选B；△.△△ADC△△EDB，△BE=AC，△AB−BE＜AE＜AB＋BE，△AB− AC＜AE＜AB＋AC，即2＜AE＜18，△1＜AD＜9，故答案为1＜AD＜9；（2）延长AD至M，使DM＝AD，△AD是△ABC的中线，△BD＝CD，在△ABD和△MCD中，BD CDADB MDC AD DM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD△△MCD（SAS），△MC＝AB，△B＝△MCD，△AB＝CE，△CM＝CE，△△BAC＝△BCA，△△B＋△BAC＝△ACB＋△MCD，即△ACE＝△ACM，在△ACE和△ACM中，AC ACACE ACM CM CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ACM△△ACE（SAS），△AE＝AM，△AM＝2AD，△AE＝2AD．【点睛】本题考查的是三角形三边关系以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理利用倍长中线得出辅助线是解题关键．14．（1）45°；（2）见解析【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可知△ABC=△ACB=60°，由平行线的性质可知△NBC=60°，进一步求出△ABN=120°，再由三角形内角和定理即可求出△N的度数；（2）先证△NBG△△AEG，得到AG=NG，AE=BN，再证△ABN△△ACF，即可推出AF=2AG．【详解】（1）△△ABC是等边三角形，△△ABC=△ACB=60°，△AC△BN，△△NBC=△ACB=60°，△△ABN=△ABC+△NBC=120°，△在△ABN中，△N=180°-△ABN-△BAN=180°-120°-15°=45°；（2）△AC△BN，△△N=△GAE，△NBG=△AEG，又△点G是线段BE的中点，△BG=EG，△△NBG△△AEG（AAS），△AG=NG，AE=BN，△AE=CF，△BN=CF，△△ACB=60°，△△ACF=180°-△ACB=120°，△△ABN=△ACF，又△AB=AC，△△ABN△△ACF（SAS），△AF=AN，△AG=NG=12AN，△AF=2AG．【点睛】考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是能够熟练运用全等三角形的判定与性质．15．（1）证明见解析；（2）DE＝3．【解析】【分析】（1）过点P作PF△BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF△△QDC，得出对应边相等即可；（2）过P作PF△BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD△△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DE12=AC，即可得出结果．【详解】（1）如图1所示，点P作PF△BC交AC于点F．△△ABC是等边三角形，△△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．△PF△BC，△△PFD=△DCQ．在△PDF和△QDC中，PDF QDCDFP QCDPF QC∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，△△PDF△△QDC（AAS），△PD=DQ；（2）如图2所示，过P作PF△BC交AC于F．△PF△BC，△ABC是等边三角形，△△PFD=△QCD，△APF是等边三角形，△AP=PF=AF．△PE△AC，△AE=EF．△AP=PF，AP=CQ，△PF=CQ．在△PFD和△QCD中，PDF QDCDFP QCDPF QC∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，△△PFD△△QCD（AAS），△FD=CD．△AE=EF，△EF+FD=AE+CD，△AE+CD=DE 1 2=AC．△AC=6，△DE=3．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．16．()1见解析；()21<AD<7；()3AE=6．【解析】【分析】（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ADC△△EDB；（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；（3）延长AD交EC的延长线于F，证明△ABD△△FCD，根据全等三角形的性质解答．【详解】()1延长AD到点E，使DE AD=，在ADC和EDB中，AD ED(=已作)，ADC EDB(∠∠=对顶角相等)，CD BD(=中点定义)，ADC∴△()EDB SAS，故答案为对顶角相等，SAS ；()2ADC △EDB ，BE AC 6∴==，86AE 86-<<+，1AD 7∴<<，故答案为1AD 7<<；()3延长AD 交EC 的延长线于F ，AB BC ⊥，EF BC ⊥，ABD FCD ∠∠∴=，在ABD 和FCD 中，ABD FCD BD CDADB FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ABD ∴△FCD ， CF AB 2∴==，AD DF =，ADE 90∠=，AE EF ∴=，EF CE CF CE AB 426=+=+=+=，AE 6∴=．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件.17．见解析【解析】【详解】试题分析：方法一：如图1中，作BF△DE于点F，CG△DE于点G，先证明△BFE△△CGE，得BF=CG，再证明△ABF△△DCG即可．方法二如图2中，：作CF△AB，交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明△ABE△△FCE即可．证明：方法一：如图1中，作BF△DE于点F，CG△DE于点G．△△F=△CGE=90°，在△BFE和△CGE中，，△△BFE△△CGE ．△BF=CG．在△ABF和△DCG中，，△△ABF△△DCG．△AB=CD．方法二如图2中，：作CF△AB，交DE的延长线于点F．△△F=△BAE．又△△ABE=△D，△△F=△D．△CF=CD．在△ABE和△FCE中，，△△ABE△△FCE．△AB=CF．△AB=CD．18．(1)详见解析(2)ED＝2【解析】【分析】（1）过P作PF△BQ，可得△APF为等边三角形，所以AP＝PF，再证△DCQ△△DFP，即可得PD＝DQ；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝EF，根据全等三角形对应边相等可得FD ＝CD，然后求出2DE=AC，代入数据进行计算即可得解．(1)证明：如图，过点P作PF△BC，则△DPF=△Q，△△ABC为等边三角形，△△APF是等边三角形，△AP=PF，又△AP=CQ，△PF=CQ，在△DPF和△DQC中，DPF QPDF QDCPF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△DPF△△DQC（AAS），△DP=DQ；(2)△△P AF为等边三角形，PE△AC，可得AE＝EF，由（1）知，△DPF△△DQC△FD＝CD，△AC＝AE＋EF＋FD＋CD，△AC＝2EF＋2FD＝2（EF＋FD）＝2ED，△AC＝BC＝4，△2ED＝4，△ED＝2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．19．【解析】【详解】试题分析：方法一：作BF△DE于点F，CG△DE于点G，△△F=△CGE=90°．又△△BEF=△CEG，BE=CE，△△BFE△△CGE．△BF=CG．在△ABF和△DCG中，△△F=△DGC=90°，△BAE=△CDE，BF=CG，△△ABF△△DCG．△AB=CD．方法二：作CF△AB，交DE的延长线于点F，△△F=△BAE．又△△ABE=△D，△△F=△D．△CF=CD．△△F=△BAE，△AEB=△FEC，BE=CE，△△ABE△△FCE．△AB=CF．△AB=CD．方法三：延长DE至点F，使EF=DE，又△BE=CE，△BEF=△CED，△△BEF△△CED．△BF=CD，△D=△F．又△△BAE=△D，△△BAE=△F．△AB=BF．△AB=CD．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．阅读理解．。

中考数学复习----《正多边形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.正多边形的概念：每一条边都相等且每个角都相等的多边形叫做正多边形。

2.正多边形的内角度数：正多边形的每个内角度数为：()nn︒⨯−1802。

（n表示多边形的边数）3.正多边形的外角度数：正多边形的每个外角度数为：n ︒360。

（n表示多边形的边数）4.正多边形内外角的关系：正多边形的每一个内角与它每一个外角互补。

即()︒=︒+︒⨯−1803601802nnn练习题1、（2022•江西）正五边形的外角和为度．【分析】根据多边形外角和等于360°即可解决问题．【解答】解：正五边形的外角和为360度，故答案为：360．2、（2022•湘西州）一个正六边形的内角和的度数为（）A．1080°B．720°C．540°D．360°【分析】利用多边形的内角和定理解答即可．【解答】解：一个正六边形的内角和的度数为：（6﹣2）×180°＝720°，故选：B．3、（2022•通辽）正多边形的每个内角为108°，则它的边数是（）A．4 B．6 C．7 D．5【分析】方法一：根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解；方法二：设多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程求解即可．【解答】解：方法一：∵正多边形的每个内角等于108°，∴每一个外角的度数为180°﹣108°＝72°，∴边数＝360°÷72°＝5，方法二：设多边形的边数为n，由题意得，（n﹣2）•180°＝108°•n，解得n＝5，所以，这个多边形的边数为5．故选：D．4、（2022•烟台）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（）A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十边形【分析】设这个外角是x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．【解答】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，∴设这个外角是x°，则内角是3x°，根据题意得：x+3x＝180，解得：x＝45，360°÷45°＝8（边），故选：C．5、（2022•南充）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误的是（）A．AE＝AF B．∠EAF＝∠CBF C．∠F＝∠EAF D．∠C＝∠E【分析】根据正多边形定义可知，每一个内角相等，每一条边相等，再根据内角和公式求出每一个内角，根据以AB为边向内作正△ABF，得出∠FAB＝∠ABF＝∠F＝60°，AF＝AB＝FB，从而选择正确选项．【解答】解：在正五边形ABCDE中内角和：180°×3＝540°，∴∠C＝∠D＝∠E＝∠EAB＝∠ABC＝540°÷5＝108°，∴D不符合题意；∵以AB为边向内作正△ABF，∴∠FAB＝∠ABF＝∠F＝60°，AF＝AB＝FB，∵AE＝AB，∴AE＝AF，∠EAF＝∠FBC＝48°，∴A、B不符合题意；∴∠F≠∠EAF，∴C符合题意；故选：C．6、（2022•徐州）正十二边形的一个内角的度数为．【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．【解答】解：正十二边形的每个外角的度数是：＝30°，则每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°．故答案为：150°．7、（2022•菏泽）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则n＝．【分析】设外角为2x，则其内角为3x，根据其内外角互补可以列出方程求得外角的度数，然后利用外角和定理求得边数即可．【解答】解：设外角为2x，则其内角为3x，则2x+3x＝180°，解得：x＝36°，∴外角为2x＝72°，∵正n边形外角和为360°，∴n＝360°÷72°＝5，故答案为：5．8、（2022•泰州）正六边形的一个外角的度数为°．【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360度解答即可．【解答】解：∵正六边形的外角和是360°，∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6＝60°，故答案为：60．9、（2022•株洲）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝度．【分析】根据正五边形的性质求出∠EAB，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝＝108°，∵∠EAB是△AEO的外角，∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，故答案为：48．10、（2022•遂宁）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为．【分析】根据正多边形的性质和直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半可以求得AF的长．【解答】解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝120°，∴∠HAF＝60°，∵∠AHF＝90°，∴∠AFH＝30°，∴AF＝2AH，∴x＝2（6﹣x），解得x＝4，∴AB＝4，即正六边形ABCDEF的边长为4，故答案为：4．11、（2022•舟山）正八边形一个内角的度数为．【分析】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．【解答】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，每一个内角的度数为×1080°＝135°．故答案为：135°．12、（2022•西宁）若正n边形的一个外角是36°，则n＝．【分析】利用多边形的外角和即可解决问题．【解答】解：n＝360°÷36°＝10．故答案为：10．13、（2022•资阳）小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是．（填一种即可）【分析】分别求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．【解答】解：正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，∴正四边形可以，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°+2×120°＝360°，∴正六边形可以，正十二边形的每个内角是150°，∵1×60°+2×150°＝360°，∴正十二边形可以，故答案为：4答案不唯一．14、（2022•甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（）A．2mm B．22mm C．23mm D．4mm【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形ABCDEF的边长．【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如右图所示，∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，∴AF约为4mm，故选：D．。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学冲刺专题训练（附答案）：应用题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是( ) A ．160元 B ．180元 C ．200元 D ．220元【答案】C 【解析】设这种衬衫的原价是x 元， 依题意，得：0.6x+40=0.9x-20， 解得：x=200． 故选：C ．2．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C 【解析】设这种植物每个支干长出x 个小分支， 依题意，得：2143x x ++=， 解得： 17x =-（舍去），26x =． 故选：C ．3．学校计划购买A 和B 两种品牌的足球，已知一个A 品牌足球60元，一个B 品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种【答案】B 【解析】设购买A 品牌足球x 个，购买B 品牌足球y 个， 依题意，得：60751500x y +=，∴4205y x =-．x ，y 均为正整数，∴11516x y =⎧⎨=⎩，221012x y =⎧⎨=⎩，33158x y =⎧⎨=⎩，44204x y =⎧⎨=⎩，∴该学校共有4种购买方案．故选：B ．4．为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批A 型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放B 型单车，B 型单车的投放数量与A 型单车的投放数量相同，投资总费用减少20%，购买B 型单车的单价比购买A 型单车的单价少50元，则A 型单车每辆车的价格是多少元？设A 型单车每辆车的价格为x 元，根据题意，列方程正确的是（ ）A ．200000200000(120%)50x x -=- B ．200000200000(120)50x x x +=- C ．200000200000(120%)50x x -=+ D ．200000200000(120)50x x x +=+ 【答案】A 【解析】设A 型单车每辆车的价格为x 元，则B 型单车每辆车的价格为(50)x -元， 根据题意，得200000200000(120)50x x x -=- 故选A ．5．《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其23的钱给乙．则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，则可建立方程组为（ ）A ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩D ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩【答案】A【解析】设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ； 由甲得乙半而钱五十，可得：1x y 502+= 由甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为50；可得：2503x y += 故答案为:A6．红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有( ) A ．3种 B ．4种C ．5种D ．6种【答案】C 【解析】设该店购进甲种商品x 件，则购进乙种商品()50x -件，根据题意，得：()()60100504200102050750x x x x ⎧+-≤⎪⎨+->⎪⎩，解得：2025x ≤<， ∵x 为整数，∴20x、21、22、23、24，∴该店进货方案有5种， 故选：C ．7．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ） A ．1201508x x =- B ．1201508x x=+ C ．1201508x x=- D ．1201508x x =+ 【答案】D 【解析】∵甲每小时做x 个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件， ∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴1201508x x =+， 故选D.8．为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（ ）只． A ．55 B ．72C ．83D ．89【答案】C 【解析】设该村共有x 户，则母羊共有()517x +只，由题意知，()()517710517713x x x x ⎧+-->⎪⎨+--<⎪⎩解得：21122x <<， ∵x 为整数， ∴11x =，则这批种羊共有115111783+⨯+=（只）， 故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，可列方程组为_____．【答案】 4.5112x yx y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩【解析】设木条长x 尺，绳子长y 尺，依题意，得： 4.5112x yx y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩10．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为________. 【答案】20%.【解析】设这两年中投入资金的平均年增长率是x ，由题意得： 5(1+x )2＝7.2，解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝﹣2.2(不合题意舍去). 答：这两年中投入资金的平均年增长率约是20%. 故答案是：20%.11．一艘轮船在静水中的最大航速为30/km h ，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行60km 所用时间相同，则江水的流速为______/km h ． 【答案】10 【解析】设江水的流速为/x km h ，根据题意可得：120603030x x=+-，解得：10x =，经检验：10x =是原方程的根， 答：江水的流速为10/km h ． 故答案为：10．12．有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度. 图2是支撑杆的平面示意图，AB 和CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD=α. 若AO=85cm ，BO=DO=65cm. 问: 当74α=︒，较长支撑杆的端点A 离地面的高度h 约为_____cm .(参考数据:sin 370.6,≈cos30.8≈，sin530.8,cos530.6≈≈.)【答案】120. 【解析】过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ，∵BO=DO ， ∴OE 平分∠BOD ， ∴∠BOE=12∠BOD=12×74°=37°，∴∠FAB=∠BOE=37°，在Rt △ABF 中，AB=85+65=150cm ， ∴h=AF=AB•cos ∠FAB=150×0.8=120cm ， 故答案为：120三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P 处测得古塔顶端M 的仰角为60︒，沿山坡向上走25m 到达D 处，测得古塔顶端M 的仰角为30︒．已知山坡坡度3:4i =，即3tan 4θ=，请你帮助小明计算古塔的高度ME ．（结果精确到0.1m ，参考数据：3 1.732≈）【答案】古塔的高度ME 约为39.8m ． 【解析】解：作DC EP ⊥交EP 的延长线于点C ，作DF ME ⊥于点F ，作PH DF ⊥于点H ，则DC PH FE ==，DH CP =，HF PE =，设3DC x =，∵3tan 4θ=，∴4CP x =， 由勾股定理得，222PD DC CP =+，即22225(3)(4)x x =+，解得，5x =， 则315DC x ==，420CP x ==， ∴20DH CP ==，15FE DC ==， 设MF y =，则15ME y =+， 在Rt MDF 中，tan MF MDF DF∠=，则3tan 30MFDF y ==， 在Rt MPE 中，tan ME MPE PE ∠=，则3(15)tan 603ME PE y ==+， ∵DH DF HF =-， ∴33(15)203y y -+=，解得，7.5103y =+， ∴7.51031539.8ME MF FE =+=++≈. 答：古塔的高度ME 约为39.8m ．14．某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？【答案】（1）改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元；（2）共有3种改造方案，方案1：改造3个甲种型号大棚，5个乙种型号大棚；方案2：改造4个甲种型号大棚，4个乙种型号大棚；方案3：改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚；方案3投入资金最少，最少资金是114万元．【解析】（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，依题意，得：26248 x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得：1218 xy=⎧⎨=⎩．答：改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元．（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8﹣m）个乙种型号大棚，依题意，得：53(8)35 1218(8)128 m mm m+-⎧⎨+-⎩，解得：83≤m≤112．∵m为整数，∴m＝3，4，5，∴共有3种改造方案，方案1：改造3个甲种型号大棚，5个乙种型号大棚；方案2：改造4个甲种型号大棚，4个乙种型号大棚；方案3：改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚．方案1所需费用12×3+18×5＝126（万元）；方案2所需费用12×4+18×4＝120（万元）；方案3所需费用12×5+18×3＝114（万元）．∵114＜120＜126，∴方案3改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是114万元．15．超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．（1）请写出y与x之间的函数表达式；（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？【答案】（1）1502y x=-+（2）当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当x为20时w 最大，最大值是2400元 【解析】（1）根据题意得，1502y x =-+； （2）根据题意得，()1405022502x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭， 解得：150x =，210x =， ∵每件利润不能超过60元， ∴10x =，答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元； （3）根据题意得，()211405030200022w x x x x ⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭()213024502x =--+，∵102a =-<， ∴当30x <时，w 随x 的增大而增大，∴当20x时，2400w =增大，答：当x 为20时w 最大，最大值是2400元．。