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( 2 ) a τ 的大小: 由于 ∴ vτ = v 2 v1 = v a τ = a τ = lim vτ t
t→ 0
( v 为速率)
v dv = = lim t → 0 t dt
故: τ 称为切向加速度. a
其意义:反映速度大小的改变. 其意义:反映速度大小的改变. 大小的改变
综述: 综述:
3, ,
s = s (t )
物体的位置矢量: 物体的位置矢量: r = r (t ) 在三维直角坐标系中可表示成: 在三维直角坐标系中可表示成
r ( t ) = x ( t )i + y ( t ) j + z ( t ) k
x = x (t) 即: y = y ( t ) z = z(t)
v
的大小: 的大小:
2 2 2
v = v x + v y + vz
同理:可得加速度矢量 同理:可得加速度矢量 a
2 2 2 dv y dv x dvz d x d y d z a= i + j+ k= 2i + 2 j+ 2k dt dt dt dt dt dt
dv x d 2 x = 2 即: a x = dt dt dv y d 2 y ay = = 2 dt dt dv z d 2 z az = = 2 dt dt
y = R sin ωt
消去t 得轨迹方程为: 消去 得轨迹方程为:
x +y R =0
这是一个圆. 这是一个圆.
位移,速度, §1-2 位移,速度,加速度 一,位移
t 时刻,P点,位矢 时刻, 点
r1 r
t+t 时刻,Q 点,位矢 2 时刻, t 时间内,位移 时间内
PQ= r2 r1 = r
一些注意点: 一些注意点:
平均加速度: 2,平均加速度:
v v 2 v1 a= = t t
3,(瞬时)加速度: 瞬时)加速度:
v dv d r a = lim = = t → 0 t dt dt 2
2
位矢: 描述质点在空间位置的物理量, 位置的物理量 位矢 描述质点在空间位置的物理量
r
矢量. 是矢量.
dr 速度:衡量物体位置变化快慢的物理量. 位置变化快慢的物理量 速度:衡量物体位置变化快慢的物理量. v = dt 速度是矢量 方向为曲线的切线方向 矢量. 切线方向. 速度是矢量.方向为曲线的切线方向.
s ds v = v = lim = lim = t → 0 t t → 0 t dt
r
ds 即: v = v τ = τ dt
二. 圆周运动中的加速度
t 时刻,P点,速度 v 1 时刻, 点 t+t 时刻,Q 点,速度 v 2 时刻,
v a = lim ΔБайду номын сангаас→0 t
又
v = v2 v1 = vn + vτ
在这两种表示中, 在这两种表示中,位矢
r 有:
r = xi + y j+zk
其中 i
, j,k
为
x , y , z 轴上的单位矢量 轴上的单位矢量.
r ( t ) 的大小为 的大小为:
r = r =
α,β,γ, 则
x
2
+ y
2
+ z
2
的方向为:设 r ( t ) 的方向为 设 r ( t )与 x, y, z 轴夹角分 别为
位移 路程
r = PQ ,大小为 r = PQ s = PQ
显然: 显然: PQ
≠ PQ
3,r 与 ,
r
(1),矢量与标量 ),
标量) r (标量)
矢量) r (矢量)
2), (2),大小不同
由于 r = r , r = r2 r1 , r = r2 r1 矢径增量(位移)r ,矢径大小增量 r , 显然: r ≠ r dr ≠ dr
二,速度
t 时间内,位移为 r 时间内, 这段时间内物体移动的平均 平均速度为 这段时间内物体移动的平均速度为
r r2 r1 v= = t t
即为t 时刻物体的瞬时速度( 瞬时速度 速度) 当t →0 时,即为 时刻物体的瞬时速度(简称 速度)
r d r v = lim v = lim = t →0 t →0 t dt
( SI )
在第2秒 求:(1)在第 秒内物体的位移及平均速度 在第 (2)求第 秒末的速度和加速度. 求第2秒 的速度和加速度. 求第
[解]:(1) Δ r = r2 r1 解:
= ( 10 i + 15 2 j + 5 2 2 k ) ( 10 i + 15 1 j + 5 12 k ) = 15 j + 15 k (SI)
加速度:衡量物体速度变化 快慢的物理量. 加速度:衡量物体速度变化 快慢的物理量. 加速度也是矢量 方向指向曲线的凹侧 矢量. 凹侧. 加速度也是矢量.方向指向曲线的凹侧.
dv d r a= = 2 dt dt
2
§1-3 直角系中表示
1,位矢: ,位矢:
r = xi + y j+zk
+ ( y2 y1) j + (z2 z1) k
1,位置矢量与位移 , 2,位移与路程 , 3,r 与 ,
(r 与 r )
r
( r ≠ r )
1,位置矢量与位移 ,
位置矢量
位移
表示
与参照系关系
r
有关
r
无关
思考: 思考
dr 与 ds
的区别? 的区别
2,位移与路程 ,
(1),矢量与标量 ),
位移(矢量) 位移(矢量) 路程(标量) 路程(标量)
(2),大小不同 ),
PQ v v 2 ∴ a n = a n = lim = lim = t → 0 t t → 0 t r r
故: n 称为法向加速度. a
其意义:反映速度方向的改变. 其意义:反映速度方向的改变. 方向的改变
2.
vτ aτ = lim t →0 t
(1) aτ 的方向: 当 t → 0时, vτ 的方向平行于 v1 (或 v 2), 即沿着切向.
§1-4 自然系中表示
一. 曲线运动中的速度
t 时刻,P点,自然坐标 s1 =OP 时刻, 点 t+t 时刻,Q 点,坐标 s 2 = OQ 时刻,
r 根据: 根据:v = lim t→ 0 t
的方向:为曲线的切线方向 其大小(速率) 切线方向. v 的方向:为曲线的切线方向.其大小(速率)为:
如:速度矢量
v
dr dx dy dz v = i + j + = k dt dt dt dt = vxi + v y j + vzk
dx dy , vy = 即: v x = dt dt dz , vz = dt
cos α = v x v 方向: 方向: cos β = v y v cos γ = v z v
τ 在自然坐标系中,引入法向和切向的单位矢量 在自然坐标系中,引入法向和切向的单位矢量 n , 2 则: v dv
a = a n + aτ = a n n + aτ τ = r n+ dt
v2 a n ,指向圆心,大小为 a n = r 指向圆心, 法向加速度 dv 沿着切线, 切向加速度 aτ ,沿着切线,大小为 aτ = dt
(矢量式 矢量式) 矢量式
(标量式 标量式) 标量式
从运动方程中消去时间得 t 轨迹方程
f ( x, y, z) = 0
例题1: 一质点的运动学方程为 例题
r = R cos ω t i + R sin ω t j
求轨迹方程? 求轨迹方程?
解: 由运动方程知 由运动方程知:
x = R cosωt
2 2 2
一个物体能否看成质点关键取决于所研究问题的性质. 一个物体能否看成质点关键取决于所研究问题的性质
2.参考系 描述运动时选作标准的物体. 参考系:描述运动时选作标准的物体 参考系 描述运动时选作标准的物体. 坐标原点 坐标系
返回
二,质点 位置的确定 1.位矢法 位矢法
有:位矢法,坐标法,自然法… 位矢法,坐标法,自然法
τ
an 方向: 方向:由 a 与 v 的夹角 tgθ = aτ 来表示. 来表示.
大小: a 大小: a
= a + aτ
2 n
2
矢量数学方法: 矢量数学方法
d v dv dτ a= = τ +v dt dt dt 2 dv v = τ + n dt r
τ
ds dθ
v = vτ
τ
r
n
τ
dθ
dτ
= aτ τ + a n n
三,运动学方程
质点在运动过程中, 质点在运动过程中,一般不同时刻的位置是 不同的.在各种参照系中, 不同的.在各种参照系中,描述位置的物理量随 时间的变化关系式叫运动学方程. 时间的变化关系式叫运动学方程.
1, ,
r = r (t )
(t x = x (t ) 2, y = y ( t ) , z = z (t )
的大小: a 的大小: a =
ax + a y + az
2 2
2
cos α ′ = a x a ay 方向: 方向: cos β ′ = a cos γ ′ = a z a
[例题2] 已知某质点的运动方程为 例题2 已知某质点的运动方程为 例题
r = 10i + 15t j + 5t 2 k
2,位移: r = (x2 x1) i ,位移:
