高中数学必修四课时作业13：1.1.1 任意角

[A.基础达标]1．下列说法正确的是( )A ．终边相同的角都相等B ．钝角比第三象限角小C ．第一象限角不都是锐角D ．锐角不都是第一象限角解析：选C.终边相同的角相差360°的整数倍，并不一定相等，故A 错误；钝角并不一定比第三象限角小，如－135°是第三象限角，显然－135°比钝角小，故B 错；锐角一定是第一象限角，但第一象限角未必都是锐角，故C 正确，D 错误．2．若角α的终边经过点M (0，－3)，则角α( )A ．是第三象限角B ．是第四象限角C ．既是第三象限角，又是第四象限角D ．不是任何象限的角解析：选D.因为点M (0，－3)在y 轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．3．若角α满足α＝45°＋k ·180°，k ∈Z ，则角α的终边落在( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限解析：选A.当k 为奇数时，角α与225°角终边相同，在第三象限；当k 为偶数时，角α与45°角终边相同，在第一象限．4．已知α是第三象限角，则－α是第________象限角．( )A ．四B ．三C ．二D ．一解析：选C.∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°，k ∈Z .则－k ·360°－270°＜－α＜－k ·360°－180°，k ∈Z .∴－α是第二象限角．5．若角α与β的终边相同，则角α－β的终边( )A ．在x 轴的非负半轴上B ．在x 轴的非正半轴上C ．在y 轴的非正半轴上D ．在y 轴的非负半轴上解析：选A.由已知可得α＝β＋k ·360°(k ∈Z )，∴α－β＝k ·360°(k ∈Z )，∴α－β的终边在x 轴的非负半轴上．6．在－360°～720°之间，与－367°角终边相同的角是________．解析：与－367°角终边相同的角可表示为α＝k ·360°－367°，k ∈Z .当k ＝1,2,3时，α＝－7°，353°，713°，这三个角都是符合条件的角．答案：－7°，353°，713°7．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________．解析：2小时40分＝83小时，－360°×83＝－960°，故分针走过的角为－960°. 答案：－960°8．有一个小于360°的正角，这个角的6倍的终边与x 轴的非负半轴重合，则这个角为________．解析：由题意知，6α＝k ·360°，k ∈Z ，所以α＝k ·60°，k ∈Z .又因为α是小于360°的正角，所以满足条件的角α的值为60°，120°，180°，240°，300°.答案：60°，120°，180°，240°，300°9．求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角和最大负角．(1)－210°；(2)－1 484°37′.解：(1)因为－210°＝－360°＋150°，所以与－210°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋150°，k∈Z}．其中最小正角为150°，最大负角为－210°.(2)因为－1 484°37′＝－5×360°＋315°23′，所以与－1 484°37′终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋315°23′，k∈Z}，其中最小正角为315°23′，最大负角为－44°37′.10．如图，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解：题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不是该集合中的角．[B.能力提升]1．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B等于() A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}解析：选C.令k＝－1,0,1,2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.故选C.2．如果角α与角γ＋45°的终边重合，角β与角γ－45°的终边重合，那么角α与角β的关系为()A．α＋β＝0°B．α－β＝90°C．α＋β＝2k·180°(k∈Z)D．α－β＝2k·180°＋90°(k∈Z)解析：选D.由条件知α＝γ＋45°＋k1·360°(k1∈Z)，β＝γ－45°＋k2·360°(k2∈Z)．将两式相减消去γ，得α－β＝(k1－k2)·360°＋90°，即α－β＝2k·180°＋90°(k∈Z)．3．设集合A＝{x|k·360°＋60°＜x＜k·360°＋300°，k∈Z}，B＝{x|k·360°－210°＜x＜k·360°，k∈Z}，则A∩B＝________.解析：因为A＝{x|k·360°＋60°＜x＜k·360°＋300°，k∈Z}，B＝{x|k·360°＋150°＜x＜k·360°＋360°，k∈Z}，所以A∩B＝{x|k·360°＋150°＜x＜k·360°＋300°，k∈Z}．答案：{x|k·360°＋150°＜x＜k·360°＋300°，k∈Z}4．如图所示，终边落在直线y＝3x上的角的集合为________．解析：终边落在射线y＝3x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝3x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．于是终边落在直线y＝3x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．答案：{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}5．已知角α＝2 015°.(1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.解：(1)用2 015°除以360°商为5，余数为215°.∴k ＝5.∴α＝5×360°＋215°(β＝215°)．∴α为第三象限角．(2)与2 015°终边相同的角为k ·360°＋2 015°(k ∈Z )，令－360°≤k ·360°＋2 015°＜720°(k ∈Z )，解得－2 375360≤k ＜－1 295360(k ∈Z )， ∴k ＝－6，－5，－4.将k 的值代入k ·360°＋2 015°中，得角θ的值为－145°，215°，575°.6．(选做题)写出如图所示阴影部分的角α的范围．解：(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k ·360°，k ∈Z 的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k ·360°，k ∈Z 的形式．所以图①阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k ·360°＜α≤45°＋k ·360°，k ∈Z }．(2)同理可表示图②中角α的范围为{α|45°＋k ·360°≤α≤300°＋k ·360°，k ∈Z }．。

1.1 任意角、弧度1.1.1 任意角1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义.(重点)3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法.(难点)[基础·初探]教材整理1任意角的概念阅读教材P5前五个自然段的有关内容，完成下列问题.1.角的概念：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.2.角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转所形成的角负角按顺时针方向旋转所形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角如图1-1-1，则α＝________，β＝________.图1-1-1【解析】α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°.【★答案★】240°－120°教材整理2象限角与轴线角阅读教材P5最后一自然段的有关内容，完成下列问题.1.象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴建立平面直角坐标系.这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.2.轴线角：终边在坐标轴上的角.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)180°是第二象限角.()(2)－45°是第一象限角.()(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角.()【解析】(1)×.180°是轴线角.(2)×.－45°是第四象限角.(3)×.如375°＞120°，而375°和120°分别是第一、二象限内的角.【★答案★】(1)×(2)×(3)×教材整理3终边相同的角阅读教材P6“思考”及“例1”的有关内容，完成下列问题.与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.1.与30°角终边相同的角的集合可表示为________.【解析】由终边相同角的表示可知，满足题意的角的集合为{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}.【★答案★】{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}2.将－885°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________.【解析】设－885°＝k·360°＋α，易得－885°＝(－3)×360°＋195°.【★答案★】(－3)×360°＋195°[小组合作型]角的概念辨析(1)下列结论：①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；③第二象限角大于第一象限角；④钝角是第二象限角；⑤小于90°的角是锐角；⑥第一象限角一定不是负角.其中正确的结论是________(填序号).图1-1-2(2)如图1-1-2所示，射线OA绕端点O逆时针旋转45°到OB的位置，再顺时针旋转90°到OC的位置，则∠AOC＝________.【精彩点拨】(1)根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角.(2)图形→正负角的概念→∠AOC的大小【自主解答】(1)①400°角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；③120°角是第二象限角，400°角是第一象限角，故第二象限角不一定大于第一象限角，③不正确；④钝角是大于90°且小于180°的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；⑤0°角是小于90°的角，但不是锐角，故⑤不正确；⑥－300°角是第一象限角，但－300°角是负角，故⑥不正确.(2)由角的定义可知∠AOC＝45°＋(－90°)＝－45°.【★答案★】(1)②④(2)－45°1.解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别.2.判断结论正确与否时，若结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可.[再练一题]1.时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________.【解析】时针每小时转30°，分针每小时转360°，由于旋转方向均为顺时针方向，故转过的角度均为负值，又3小时20分等于313小时，故时针转过的角度为－313×30°＝－100°；分针转过的角度为－313×360°＝－1 200°.【★答案★】－100°－1 200°终边相同的角与象限角已知α＝2 016°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.【精彩点拨】令2 016°＝k·360°＋β――――――→k∈Z0°≤β＜360°求k，β―→θ＝k·360°＋β求k―→求θ【自主解答】(1)用2 016°除以360°商为5，余数为216°，∴k＝5，∴α＝5×360°＋216°(β＝216°)，∴α为第三象限角.(2)∵θ＝k·360°＋216°，k∈Z，又－360°≤θ＜720°，∴k＝－1，0，1，∴θ＝－144°，216°，576°.1.把任意角化为k·360°＋α(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法.2.要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.3.终边相同的角常用的三个结论：(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍.(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.[再练一题]2.在0°～360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角.(1)－736°；(2)904°18′. 【导学号：48582001】【解】(1)－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角，∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角.(2)904°18′＝2×360°＋184°18′，184°18′是第三象限角，∴184°18′与904°18′是终边相同的角，且904°18′为第三象限角.[探究共研型]区域角的表示【提示】不能，第一象限内的角未必是(0°，90°)的角，其可能是负角，也可能是大于360°的角，其表示为{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}.探究2终边落在x轴上的角如何表示？【提示】{α|α＝k·180°，k∈Z}.探究3若角α，β满足β＝α＋k·180°，k∈Z，则角α，β的终边存在怎样的关系？【提示】角α，β的终边落在同一条直线上.写出终边落在阴影部分的角的集合.图1-1-3【精彩点拨】法一：先写出30°及105°终边相同角的集合，再写出其对称区域内角的集合，最后合并便可.法二：分别写出与30°及105°的终边在同一直线上的角的集合，合并求解便可.【自主解答】法一：设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}.②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}，∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}.法二：与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}.与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}.1.本题的求解注意实线边界与虚线边界的差异.2.解答此类问题应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角(或终边在同一条直线上的角)写出符合条件的所有角的集合，最后借助图形表示出区域角的范围.[再练一题]3.如图1-1-4所示：图1-1-4(1)分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【解】 (1)终边在OA 的最小正角为150°，故终边在OA 的角的集合为{α|α＝k ·360°＋150°，k ∈Z }.同理，终边在OB 上的最大负角为－45°，故终边在OB 的角的集合为{β|β＝k ·360°－45°，k ∈Z }.(2)由题图知，阴影部分区域表示为{x |k ·360°－45°≤x ≤k ·360°＋150°，k ∈Z }.1.－210°为第________象限角.【解析】 －210°＝(－1)×360°＋150°，150°是第二象限角.【★答案★】 二2.钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________.【解析】 分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过13周.【★答案★】 －120° －1 440°3.下列四个角中与30°角终边相同的角是________.①－30°；②210°；③390°；④－360°.【解析】 ∵390°＝360°＋30°，∴390°角与30°角的终边相同.【★答案★】 ③4.在0°≤α＜360°中与－120°角终边相同的角为________.【解析】 ∵－120°＝－360°＋240°，∴在0°～360°内与－120°终边相同的角为240°.【★答案★】 240°5.已知角β的终边在直线3x －y ＝0上.(1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素.【导学号：48582002】【解】 (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝k ·360°＋60°，k ∈Z }，S 2＝{β|β＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·360°＋60°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝2k ·180°＋60°，k ∈Z }∪{β|β＝(2k ＋1)·180°＋60°，k ∈Z }＝{β|β＝n ·180°＋60°，n ∈Z }.(2)由于－360°≤β＜720°，即－360°≤60°＋n ·180°＜720°，n ∈Z ，解得－73≤n＜113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1，0，1，2，3.所以S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素为：－2×180°＋60°＝－300°；－1×180°＋60°＝－120°；0×180°＋60°＝60°；1×180°＋60°＝240°；2×180°＋60°＝420°；3×180°＋60°＝600°.。

【创新设计】（浙江专用）2016-2017高中数学第一章三角函数 1.1.1任意角课时作业新人教版必修41.把－1 485°化成α＋k·360°(k∈Z，0°≤α<360°)的形式是( )A.45°－4×360°B.－45°－4×360°C.－45°－5×360°D.315°－5×360°答案 D2.若α是第四象限角，则180°－α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.答案 C3.若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在( )A.第一或第三象限B.第二或第三象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限答案 A4.已知0°<α<360°，且α的终边与－60°角的终边关于x轴对称，则α＝_____.答案60°5.下列说法中，正确的是______(填序号).①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称.解析终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的.答案②⑤6.在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角.解(1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°.(2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)，∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.(3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与－2 013°终边相同也就是与147°终边相同.由－720°≤k·360°＋147°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1，0，1.代入k·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.7.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合.解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}.(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}.8.如果θ为小于360°的正角，这个角θ的4倍角的终边与这个角的终边重合，求θ的值. 解由题意得4θ＝θ＋k·360°，k∈Z，∴3θ＝k·360°，θ＝k·120°，又0°<θ<360°，∴θ＝120°或240°.能力提升9.集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}则有( )A.M＝NB.M NC.M ND.M∩N＝∅解析∵x＝k·90°＋45°＝2k·45°＋45°＝(2k－1)·45°＋45°，∴x∈M⇒x∈N.又特别地如x＝180°＝3×45°＋45°∈N，但x∈180°∉M，∴M N，故选C.答案 C10.有小于360°的正角，这个角的5倍角的终边与该角的终边重合，这个角的大小是( )A.90°B.180°C.270°D.90°，180°或270°解析 由已知：5α＝α＋k ·360°(k ∈Z )，∴α＝k ·90°.又∵0°<α<360°，∴0<k <4.又∵k ∈Z ，∴k ＝1或2或3，∴α＝90°、180°或270°.答案 D11.角α，β的终边关于y 轴对称，若α＝30°，则β＝_______.解析 ∵30°与150°的终边关于y 轴对称，∴β的终边与150°角的终边相同.∴β＝150°＋k ·360°，k ∈Z .答案 150°＋k ·360°，k ∈Z12.12点过14小时的时候，时钟分针与时针的夹角是_____. 解析 时钟上每个大刻度为30°，12点过14小时，分针转过－90°，时针转过－7.5°，故时针与分针的夹角为82.5°.答案 82.5°13.已知角β的终边在直线3x －y ＝0上.(1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素.解 (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA 、OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }.(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1，0，1，2，3.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.探 究 创 新14.已知α是第二象限角，试确定2α，α2的终边所在的位置. 解 因为α是第二象限角，所以k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z .所以2k ·360°＋180°<2α<2k ·360°＋360°，k ∈Z ，所以2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的负半轴上.因为k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，所以k ·180°＋45°<α2<k ·180°＋90°，k ∈Z ， 所以当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°， 即α2的终边在第一象限； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，即α2的终边在第三象限.所以α2的终边在第一或第三象限.。

1.1.1 任意角课时目标1．了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零角．2．理解象限角与终边相同的角的定义．掌握终边相同的角的表示方法，并会判断角所在的象限．1．角(1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着它的________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型 定义 图示正角 按______________所形成的角负角 按______________所形成的角零角一条射线______________，称它形成了一个零角2.象限角以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴正半轴重合，建立平面直角坐标系，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是________________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．一、填空题1．经过10分钟，分针转了________度．2．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在______． 3．若α是第四象限角，则180°－α是第____象限角． 4．－2011°是第________象限角．5．与－495°终边相同的最大负角是________，最小正角是________．6．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是第________象限．7．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________________．8．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝k·180°2±45°，k ∈Z ， P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P 之间的关系为________． 10．已知α是小于360°的正角，如果7α角的终边与α的终边重合，则角α的集合是________．二、解答题11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．能力提升13．如图所示，写出终边落在直线y＝3x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．14．设α是第二象限角，问α3是第几象限角？1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角．(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．(4)k∈Z这一条件不能少．第1章三角函数§1.1任意角、弧度1．1.1 任意角知识梳理1．(1)一条射线端点旋转(2)逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转2．第几象限角3．α＋k·360°，k∈Z作业设计1．－60 2.x轴的正半轴 3.三4．二解析∵－2011°＝－6×360°＋149°，且149°是第二象限角，∴－2011°是第二象限角．5．－135° 225°解析 －495°＝－360°＋(－135°)，－495°＝－2×360°＋225°. 6．二或四解析 由k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ，得k 2·360°＋90°<α2<k2·360°＋135°，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角．7．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z } 8．－110°或250°解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k ·360°＋250°，k ∈Z .∵－360°<θ<360°， ∴k ＝－1或0.∴θ＝－110°或250°. 9．M P解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)45°，即45°的倍数．10．{60°，120°，180°，240°，300°} 解析 ∵7α角的终边与角α的终边重合， ∴7α＝k ·360°＋α(k ∈Z )，∴α＝k ·60°，又∵0<α<360°，k ∈Z ， ∴α＝60°，120°，180°，240°，300°.∴角α的集合是{60°，120°，180°，240°，300°}．11．解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．12．解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成． ①{α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z }． ②{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z }． ∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z } ∪{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z } ＝{α|2k ·180°＋30°≤α<2k ·180°＋105°，k ∈Z }∪{α|(2k ＋1)180°＋30°≤α<(2k ＋1)180°＋105°，k ∈Z }＝{α|2k ·180°＋30°≤α<2k ·180°＋105°或(2k ＋1)180°＋30°≤α<(2k ＋1)180°＋105°，k ∈Z }＝{α|k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋105°，k ∈Z }．13．解 终边落在y ＝3x (x ≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在y ＝3x (x ≤0) 上的角的集合是S 2＝{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，于是终边在y ＝3x 上角的集合是S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }． 14．解 当α为第二象限角时，90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z ，∴30°＋k 3·360°<α3<60°＋k3·360°，k ∈Z .当k ＝3n 时，30°＋n ·360°<α3<60°＋n ·360°，此时α3为第一象限角；当k ＝3n ＋1时，150°＋n ·360°<α3<180°＋n ·360°，此时α3为第二象限角；当k ＝3n ＋2时，270°＋n ·360°<α3<300°＋n ·360°，此时α3为第四象限角．综上可知α3是第一、二、四象限角．。

1.1.1 任意角班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．下列说法中，正确的是A.第二象限角为钝角B.第三象限角必大于第二象限角C.是第二象限角D.是终边相同的角2．若角2α与240°角的终边相同,则α=()A.120°+k·360°,k∈ZB.120°+k·180°,k∈ZC.240°+k·360°,k∈ZD.240°+k·180°,k∈Z3．如图所示,终边落在阴影部分的角的集合是A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z}4．集合中属于区间(−360°，360°)的角是____. 5．如图所示，终边落在直线上的角的集合为______．6．在角的集合，中：(1)有几种终边不相同的角？(2)在范围内的角有几个？7．(1)已知角 =45°，在区间[―720°，0°]内找出所有与角有相同终边的角.(2)集合，，那么两集合的关系是什么？8．已知求的范围.能力提升1．已知角α是第二象限角,试确定角2α,是第几象限角.2．写出终边在如图所示阴影部分内的角的集合.1.1.1 任意角详细答案【基础过关】1．D；【解析】本题考查象限角的判定.对A ，第二象限也有负角；对B；第三象限角可能为负，第二象限取正；对C，为第三象限，故错误，选D.【备注】无2．B【解析】角2α与240°角的终边相同,则2α=240°+k·360°,k∈Z,则α=120°+k·180°,k∈Z.选B.【备注】无3．C【解析】由图可知,终边落在阴影部分的角的取值范围为k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z,故选C.【备注】该题易出现的问题是忽略角的方向,不能准确表示两个边界角.4．−240°，120°【解析】无【备注】无5．，【解析】本题主要考查角的概念.终边落在射线上的角的集合是，，终边落在射线上的角的集合是，，于是终边落在直线上的角的集合是，，，，，．【备注】无6．解：(1)在给定的角的集合中，终边不相同的角共有四种．(2)由，得．又，故，，，，，，，．∴给定的集合中在范围内的角共有8个．【解析】本题主要考查角的概念。

1.1.1任意角考试标准课标要点学考要求高考要求任意角的概念 a a终边相同的角的表示b b象限角的概念 b b注：“a”表示“了解”，“b”表示“理解”，“c”表示“掌握”．知识导图学法指导1.结合实例明确任意角的概念．2．本节的重点是理解并掌握正角、负角、零角的概念，掌握用集合的形式表示终边相同的角，并会判断角的终边所在的象限.1.角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2．角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．状元随笔(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向．(2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”．3．角的分类类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角4.象限角在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．5．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．状元随笔(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．(2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)．(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)角的始边、终边是确定的，角的大小是确定的．()(2)第一象限的角一定是锐角．()(3)终边相同的角是相等的角．()答案：(1)×(2)×(3)×2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B.答案：B3．与30°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}解析：由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．答案：A4．2019°是第()象限角()A．一B．二C．三D．四解析：2019°＝360°×5＋219°，180°<219°<270°，∴2019°是第三象限角．答案：C类型一任意角的概念及应用例1(1)若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：①0°角是第一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．【解析】(1)①错误，0°角是象限界角；②③④正确．(2)分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为－360°×22 3＝－960°.【答案】(1)C(2)－960°按照象限分类，角可以分为象限角和象限界角；角的正负是由终边的旋转方向决定的．分针1个小时转过的角度的绝对值是360 °.方法归纳与角的概念有关问题的解决方法正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、差90°的整数倍．跟踪训练2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足－360°≤α<720°的元素写出来．(1)α＝60°；(2)α＝－210°；(3)α＝364°13′.解析：(1)S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．当k＝－1时，α＝－300°；当k＝0时，α＝60°；当k＝1时，α＝420°.∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－300°，60°，420°.(2)S＝{α|α＝－210°＋k·360°，k∈Z}．当k＝0时，α＝－210°；当k＝1时，α＝150°；当k＝2时，α＝510°.∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－210°，150°，510°.(3)S＝{α|α＝364°13′＋k·360°，k∈Z}．当k＝－2时，α＝－355°47′；当k＝－1时，α＝4°13′；当k＝0时，α＝364°13′.∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－355°47′，4°13′，364°13′.求与已知角α终边相同的角时，首先将这样的角表示成k·360 °＋α(k∈Z)的形式，然后采用赋值法求解相应不等式，确定k的值，求出满足条件的角．类型三象限角与区间角的表示例3(1)若α是第四象限角，则－α一定在()A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．【解析】(1)因为α是第四象限角，所以k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z.所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，k∈Z，由此可知－α是第一象限角．(2)若角α的终边落在OA上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z.若角α的终边落在OB上，则α＝135°＋360°·k，k∈Z.所以，角α的终边落在图中阴影区域内时，30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z.故角α的取值集合为{α|30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z}．【答案】(1)A(2)见解析依题意写出α的范围，再求－α的范围．由图写出终边OA表示的角，终边OB表示的角，再求阴影的范围.方法归纳象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．跟踪训练3已知α是第二象限角，则180°－α是()A.第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．所以180°－(90°＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)(k∈Z)，即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)，所以180°－α为第一象限角．答案：A定α的范围→定180 °－α的范围→定180 °－α是第几象限角[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是()A．45°B．90°C．180°D．270°解析：根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．答案：B2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是()A．120°B．－120°C．240°D．－240°解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D.答案：D3．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}解析：263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写作α＝k·360°＋263°，k∈Z.答案：C4．若α为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α解析：∵0°<α<90°，∴270°<360°－α<360°，故选C.答案：C5．若角α与角β的终边关于y轴对称，则必有()A．α＋β＝90°B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)C．α＋β＝k·360°(k∈Z)D．α＋β＝(2k＋1)180°(k∈Z)解析：α与β的终边关于y轴对称，则α与180°－β终边相同，故α＝180°－β＋360°·k，即α＋β＝(2k＋1)·180°，k∈Z.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.解析：图(1)中的角是一个正角，α＝390°.图(2)中的角是一个负角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°.答案：390°－150°60°7．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，则角α＝________.解析：由条件知，2α＝α＋k·360°，所以α＝k·360°(k∈Z)，因为α∈[0°，360°)，所以α＝0°.答案：0°8．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________________________．解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．答案：{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}三、解答题(每小题10分，共20分)9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解析：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°.因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM上；(2)终边落在直线OM上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．(2)由(1)得终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，则终边落在直线OM上的角的集合为A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．(3)终边落在直线ON上的角的集合为C＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，则终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S＝{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．|能力提升|(20分钟，40分)11．若角α与65°角的终边相同，角β与－115°角的终边相同，那么α与β之间的关系是()A．α＋β＝－50°B．α－β＝180°C．α＋β＝k·360°＋180°(k∈Z)D．α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)解析：由题意可知，α＝k1·360°＋65°(k1∈Z)，β＝k2·360°－115°(k2∈Z)，所以α－β＝(k1－k2)·360°＋180°，记k＝k1－k2∈Z，故α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)．答案：D12．若角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称，且0°<α<360°，则角α的值为________．解析：如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于直线y＝0对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k ·360°－75°，k ∈Z }．又0°<α<360°，令k ＝1，得α＝285°.答案：285°13．如图，写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合．解析：方法一 终边在y ＝3x (x ≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }；终边在y ＝3x (x ≤0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z }．综上，终边在直线y ＝3x 上的角的集合是S ＝S 1∪S 2＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．方法二 如图，观察图形可知，终边在直线y ＝3x 上的最小正角为60°，其终边每旋转180°便与直线重合，∴终边在y ＝3x 上的角的集合为S ＝{α|α＝60°＋k ·180°，k ∈Z }．14．已知α是第四象限角，则2α，α2各是第几象限角？解析：由题意知k ·360°＋270°<α<k ·360°＋360°(k ∈Z )，因此2k ·360°＋540°<2α<2k ·360°＋720°(k ∈Z )，即(2k ＋1)360°＋180°<2α<(2k ＋1)360°＋360°(k ∈Z )，故2α是第三象限角或第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．又k ·180°＋135°<α2<k ·180°＋180°(k ∈Z )，当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，则n ·360°＋135°<α2<n ·360°＋180°(n ∈Z )，此时，α2是第二象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则n ·360°＋315°<α2<n ·360°＋。

1.1.1任意角的概念一、三维目标：知识与技能：理解任意角的概念、象限角”、“终边相同的角”的含义，体会角的概念推广的必要性和实际意义，会表示终边相同的角，能在0360o o :的角找出与已知角终边相同的角。

过程与方法：通过实例理解用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，同时培养数形结合的思想和用运动变化观点思考问题的意识。

情感态度与价值观：通过学习，体会数学的发展源于实际的需要，从而激发学习热情和求知欲。

二、学习重、难点：重点：理解正角、负角、象限角、终边相同的角的含义，将0360o o :的角推广到任意角。

难点：角的概念的推广；终边角相同的角的表示，象限角的集合。

三、学法指导：认真阅读教材,对教材的相关概念进行标注。

通过具体的实例来领会概括任意角的概念，象限角”、“终边相同的角”的含义 。

四、知识链接：初中角的定义：从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形 。

五、学习过程：阅读教材P2-3,回答下面问题(一～二)：（一）、正角、负角、零角概念：注：如何理解角的概念？高中数学中的角是以动态的观点来刻画的，对其理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待：既有旋转方向，又有旋转大小，同时注意即使不旋转也是一个角，从而得到正角、负角、零角的定义及范围超出0360o o :的角。

A 例1： 你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了 1.50小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？（二）、象限角概念C 思考问题：在直角坐标系内讨论角有什么好处？是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？B 例2：{90}A =o 小于的角，{}B =第一象限的角，{}C =锐角，={090{090}}D θθ≤<o o o o :间（即）的角）.下列选项中正确的有 （填序号）。

①A=C=D ⊆B ； ②C ⊆ D ⊆A ； ③C ⊆ D ⊆B④C ⊆ D ⊆ B ⊆A ； ⑤B ∩D=C ；⑥A ∩B=C 。

1.1.1 任意角选题明细表基础巩固1.喜羊羊步行从家里到草原学校去上学,一般需要10分钟,则10分钟时间,钟表的分针走过的角度是( D )(A)30° (B)-30°(C)60° (D)-60°解析:利用定义,分针是顺时针走的,形成的角度是负角,又周角为360°,所以有×2=60°,即分针走过的角度是-60°.2.已知α为锐角,则2α为( D )(A)第一象限角 (B)第二象限角(C)第一或第二象限角 (D)大于0°小于180°的角解析:因为α为锐角,所以0°<α<90°.所以0°<2α<180°.故选D.3.已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A,B,C的关系是( B )(A)B=A∩C (B)B∪C=C(C)A C (D)A=B=C解析:由任意角的概念知B∪C=C.故选B.4.把-1 485°转化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是( D )(A)45°-4×360°(B)-45°-4×360°(C)-45°-5×360°(D)315°-5×360°解析:B,C选项中α不在0°～360°范围内,A选项的结果不是-1 485°,只有D正确.5.如图所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( C )(A){α|-45°≤α≤120°}(B){α|120°≤α≤315°}(C){α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}(D){α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z}解析:当α∈(-180°,180°)时,-45°≤α≤120°,又α∈R,所以k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z.故选C.6.与-1 050°角终边相同的最小正角是.解析:-1 050°=-3×360°+30°.答案:30°7.在四个角-20°,-400°,-2 000°,600°中,第四象限的角的个数是.解析:-20°是第四象限的角;-400°=-360°-40°,也是第四象限的角;-2 000°=(-6)×360°+160°,是第二象限的角;600°=360°+240°,是第三象限的角.所以第四象限的角的个数是2个.答案:2个8.在与530°终边相同的角中,求满足下列条件的角.(1)最大的负角;(2)最小的正角;(3)-720°到-360°的角.解:与530°终边相同的角为k·360°+530°,k∈Z.(1)由-360°<k·360°+530°<0°,且k∈Z可得k=-2,故所求的最大负角为-190°.(2)由0°<k·360°+530°<360°且k∈Z可得k=-1,故所求的最小正角为170°.(3)由-720°≤k·360°+530°≤-360°且k∈Z得k=-3,故所求的角为-550°.能力提升9.若α是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是( C )(A)90°-α(B)90°+α(C)360°-α (D)180°+α解析:α是第一象限角,则-α是第四象限角.所以360°-α为第四象限角,选C.10.若α和β终边关于y轴对称,则必有( D )(A)α+β=90° (B)α+β=k·360°+90°(C)α+β=k·360°(D)α+β=(2k+1)·180°解析:假设α,β为0°～180°内的角,因为α与β终边关于y轴对称,所以α+β=180°,结合终边相同角的概念.可得α+β=k·360°+180°=(2k+1)·180°.故选D.11.在0°～360°范围内,与角-60°的终边在同一条直线上的角为.解析:根据终边相同角定义知,与-60°终边相同角可表示为β= -60°+k·360°(k∈Z),当k=1时β=300°与-60°终边相同,终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.故填120°,300°.答案:120°,300°12.如图阴影表示角α终边所在的位置,写出角α的集合.解:①{α|-45°+k·360°≤α≤75°+k·360°,k∈Z};②{α|k·360°≤α≤60°+k·360°或130°+k·360°≤α≤220°+k·360°,k∈Z}.探究创新13.已知α是第一象限角,求2α,,所在的象限.解:因为α是第一象限角,所以k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z.①2k·360°<2α<2k·360°+180°,k∈Z,则2α是第一或第二象限角,或是终边在y轴的正半轴上的角.②k·180°<<k·180°+45°,k∈Z.当k为偶数时,为第一象限角,当k为奇数时,为第三象限角,所以为第一或第三象限角.③k·120°<<k·120°+30°,k∈Z.当k=3n(n∈Z)时,n·360°<<n·360°+30°,n∈Z,所以是第一象限角;当k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+120°<<n·360°+150°,n∈Z,所以是第二象限角; 当k=3n+2(n∈Z)时,n·360°+240°<<n·360°+270°,n∈Z,所以是第三象限角; 所以为第一或第二或第三象限角.。

必修四§1.1任意角和弧度制第一课时：§1.1.1任意角1. 下列命题中正确的是( )A ．终边在y 轴非负半轴上的角是直角B ．第二象限角一定是钝角C ．第四象限角一定是负角 D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.将-885化为360k α+⋅ (0360α≤<k ,∈Z )的形式是 ( ) A.-165(2)360+-⨯ B.195(3)360+-⨯ C.195(2)360+-⨯ D.165(3)360+-⨯3．在［360°，1440°］中与－21°16′终边相同的角有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．终边落在X 轴上的角的集合是（ ）A.{ α|α=k ·360°,K ∈Z }B.{ α|α=(2k+1)·180°,K ∈Z }C.{ α|α=k ·180°,K ∈Z }D.{ α|α=k ·180°+90°,K ∈Z }5．角α＝45°＋ｋ·180°，ｋ∈Ｚ的终边落在 ( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限6.设,,,,那么( ) A ．B C A B ．B A C C ．D (A ∩C) D ．C ∩D=B7.下列各组角中终边相同的是( )A. +90与Z B.与ZC. +30与+30Z D.与+60Z 8.若角和的终边关于y 轴对称,则有 ( ) A. B.Z C.Z D.Zo {90A =小于的角｝{B =锐角｝{C ＝第一象限的角｝00{900}D =小于而不小于的角180k ⋅90k ⋅k ,∈(21)180k +⋅(41)180k ±⋅k ,∈180k ⋅360k ⋅k ,∈60k ⋅180k ⋅k ,∈αβ90αβ+=90αβ+=360k +⋅k ,∈360k αβ+=⋅k ,∈180αβ+=360k +⋅k ,∈9.若β是第四象限角,则180β-是第 象限角。

1.1.1 任意角学业水平达标练题组1终边相同的角及区域角的表示1．与－457°角的终边相同的角的集合是()A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}2．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}3．与角－1 560°终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．4．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.5．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来：①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α写出来．题组2象限角的判断6．－1 120°角所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．下列叙述正确的是( )A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．第四象限角一定是负角D ．钝角比第三象限角小8．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角题组3 nα或αn所在象限的判定 9．已知角2α的终边在x 轴上方，那么α是( )A ．第一象限角B ．第一或第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第四象限角能力提升综合练1．已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A ∩B ＝( )A ．{α|α为锐角}B ．{α|α小于90°}C ．{α|α为第一象限角}D ．以上都不对2．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )A ．{α|90°<α<180°}B ．{α|90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z }C ．{α|－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z }D ．{α|－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z }3．若集合M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }，则( )A ．M ＝NB ．MN C ．M N D ．M ∩N ＝∅4．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( )A ．α＋β＝k ·360°，k ∈ZB ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈ZC ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈ZD ．α－β＝k ·360°，k ∈Z5．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．6．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________．7．写出终边在如下列各图所示阴影部分内的角的集合．8．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．参考[答案]学业水平达标练题组1终边相同的角及区域角的表示1．【[答案]】C【[解析]】由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．2．【[答案]】D【[解析]】因为直线过原点，它有两个部分，一部分出现在第二象限，一部分出现在第四象限，所以排除A、B.又C项中的角出现在第一、三象限，故选D.3．【[答案]】240°－120°【[解析]】－1 560°＝(－5)×360°＋240°，而240°＝360°－120°，故最小正角为240°，而最大负角为－120°.4．【[答案]】－960°【[解析]】∵α与120°角终边相同，故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.又－990°<α<－630°，∴－990°<k·360°＋120°<－630°，即－1 110°<k·360°<－750°.当k＝－3时，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.5．解：(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－300°，60°，420°；②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－21°，339°，699°.(2)终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为：－60°，120°.题组2象限角的判断6．【[答案]】D【[解析]】由题意，得－1 120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限．7．【[答案]】B【[解析]】90°的角是三角形的内角，它不是第一、二象限角，故A错；280°的角是第四象限角，它是正角，故C错；－100°的角是第三象限角，它比钝角小，故D错．8．【[答案]】B【[解析]】∵α是第四象限角，∴k ·360°－90°<α<k ·360°.∴k ·360°＋90°<180°＋α<k ·360°＋180°.∴180°＋α在第二象限，故选B.题组3 nα或αn所在象限的判定 9．【[答案]】C【[解析]】由条件知k ·360°<2α<k ·360°＋180°，(k ∈Z )，∴k ·180°<α<k ·180°＋90°(k ∈Z )，当k 为偶数时，α在第一象限，当k 为奇数时，α在第三象限．能力提升综合练1．【[答案]】D【[解析]】小于90°的角包括锐角及所有负角，第一象限角指终边落在第一象限的角，所以A ∩B 是指锐角及第一象限的所有负角的集合，故选D.2．【[答案]】D【[解析]】终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z }，而选项D 是从顺时针方向来看的，故选项D 正确．3．【[答案]】C【[解析]】M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝ 90°＋k ·45°，k ∈Z }＝{x |x ＝(k ＋2)·45°，k ∈Z }．∵k ∈Z ，∴k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，∴MN .4．【[答案]】B【[解析]】法一：特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.法二：直接法：∵角α与角β的终边关于y 轴对称，∴β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z ，即α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .5．【[答案]】－5 －60【[解析]】将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°. 6．【[答案]】270°【[解析]】∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k ·360°＋α，k ∈Z .得 4α＝k ·360°，当 k ＝3时，α＝270°.7．解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．8．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°. 取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.。