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带电粒子在有界磁场中运动的临界问题当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。
粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。
如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。
一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。
2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。
3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。
4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
高中物理求解带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界与极值问题的方法由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件：（1）带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零；（2）射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切。
然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。
1、两种思路一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。
2、两种方法一是物理方法：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值。
二是数学方法：（1）利用三角函数求极值；（2）利用二次方程的判别式求极值；（3）利用不等式的性质求极值；（4）利用图像法等。
3、从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示。
审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律。
例1、如图1所示，一带正电的质子从O点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场，已知两板之间距离为d，板长为d，O 点是板的正中间，为使粒子能射出两板间，试求磁感应强度B的大小（质子的带电量为e，质量为m）。
图1解析：第一种极端情况从M点射出，此时轨道的圆心为O′点，由平面几何知识可得而带电粒子在磁场中的轨道半径，第二种极端情况是粒子从N点射出，此时粒子正好走了半个圆，其轨道半径为。
综合上述两种情况，得。
例2、如图2所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边的中点O处，垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为的带电粒子。
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧仁寿一中北校区高2012级物理组带电粒子（质量m 、电量q 确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有——入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表），磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。
在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按已知参数可将问题分为如下10类，并可归并为6大类型。
所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺．．．．序．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。
类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定） 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。
【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是A ．使粒子的速度v <BqL 4mB ．使粒子的速度v >5BqL4mC ．使粒子的速度v >BqL mD ．使粒子的速度BqL 4m <v <5BqL4m【分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上（如图甲），在该直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。
轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子，均可射出磁场而不打在极板上。
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。
2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。
3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。
4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由求出；（θ、r和R见图标）b、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
二、带电粒子在有界磁场中运动类型的分析1．给定有界磁场（1）确定入射速度的大小和方向，判定带电粒子出射点或其它【例1】（2001年江苏省高考试题）如图5所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面外，磁感应强度为B。
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题“临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中，如“圆周运动中小球能过最高点的速度条件”“动量中的避免碰撞问题”等等，这类题目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态。
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性外，又有它自身的一些特点。
一、解题方法画图T动态分析T找临界轨迹。
（这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大半，余下的就只有计算了——这一般都不难。
）二、常见题型（B为磁场的磁感应强度，V。
为粒子进入磁场的初速度）分述如下：第一类问题：例1如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B,宽度为d,边界为CD和EF。
一电子从CD边界外侧以速率V。
垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界夹角为9。
已知电子的质量为m电荷量为e,为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v o至少多大？分析：如图2，通过作图可以看到：随着V。
的增大，圆半径增大，临界状态就是圆与边界EF 相切，然后就不难解答了。
第二类问题：例2如图3所示，水平线MN下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，在MN线上某点0正下方与之相距L的质子源S,可在纸面内360°范围内发射质量为m电量为e、速度为v o=BeL/ m的质子，不计质子重力，打在MN上的质子在O点右侧最远距离OP，打在O点左侧最远距离OO ___ 。
分析：首先求出半径得r=L,然后作出临界轨迹如图4所示（所有从S发射出去的质子做圆周运动的轨道圆心是在以S为圆心、以r=L为半径的圆上，这类问题可以先作出这一圆——就是圆心的集合，然后以圆上各点为圆心，作出一系列动态圆），【练习】如图5所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。
P为屏上的一小孔，PC与MN垂直。
一群质量为m带电荷量为一q的粒子(不计重力)，以相同的速率v,从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题例析湖北省恩施高中 陈恩谱名师指路例1：如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是A ．使粒子的速度v <BqL 4mB ．使粒子的速度v >5BqL4mC ．使粒子的速度v >BqL mD ．使粒子的速度BqL 4m <v <5BqL4m【思维导引】本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之一，所有这些问题，其答题通用步骤是：①第一步，找出轨迹圆圆心所有可能的位置，②第二步，按一定顺序尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点，④利用临界轨迹圆，结合几何关系，算出对应的轨迹半径，进而计算相应的速度或者磁感应强度、时间等。
【要点提醒】入射点和入射方向已知，入射速度大小不确定——这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。
【手把手】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上，根据左手定则，判断出圆心在直线的哪一侧，然后作出该垂线（如图甲）。
【手把手】在该直线上从下往上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。
轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子，均可射出磁场而不打在极板上。
【要点提醒】作图时注意只画在磁场中的圆弧部分（磁场中的轨迹），磁场外的圆弧部分不能画——因为粒子在磁场外将做直线运动或其他运动，而且作多了还会遮蔽问题，影响对问题的判断。
【手把手】在答题卡上答题时，只需将最终需要两条临界轨迹作在图上，然后利用几何知识计算出临界轨迹圆的半径，结合半径公式即可算出临界速度，最后给出速度允许的范围。
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧仁寿一中北校区高2012级物理组带电粒子（质量m 、电量q 确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有——入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表），磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。
在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按已知参数可将问题分为如下10类，并可归并为6大类型。
所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺．．．．序．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。
类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定） 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。
【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是A ．使粒子的速度v <BqL 4mB ．使粒子的速度v >5BqL4mC ．使粒子的速度v >BqL mD ．使粒子的速度BqL 4m <v <5BqL4m【分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上（如图甲），在该直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。
轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子，均可射出磁场而不打在极板上。
类型 已知参量类型一 ①⑩ 入射点、入射方向；出射点、出射方向 类型二 ②⑧ 入射点、速度大小；出射点、速度大小 类型三 ③ 入射点、出射点 类型四 ⑦ 入射方向、出射方向类型五 ⑤⑨ 入射方向、速度大小；出射方向、速度大小；类型六④⑥入射点、出射方向；出射点，入射方向入射点入射方向入射速度出射点出射方向①②③ ④⑧ ⑨⑤⑥ ⑦⑩图乙图甲① ②【解答】 AB粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点，有r 12＝L 2＋(r 1－L 2)2 ，得r 1＝5L4由r 1＝mv 1Bq ，得 v 1＝5BqL 4m ，所以v >5BqL 4m时粒子能从右边穿出．粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O ′点，有 r 2＝L4由r 2＝mv 2Bq ，得 v 2＝BqL 4m ，所以v <BqL 4m时粒子能从左边穿出．【易错提醒】容易漏选A ，错在没有将r 先取较小值再连续增大，从而未分析出粒子还可以从磁场左边界穿出的情况。
【练习1】两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x 轴和y 轴，交点O 为原点，如图所示。
在y >0，0<x <a 的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在y >0，x >a 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B 。
在O 点处有一小孔，一束质量为m 、带电量为q （q >0）的粒子沿x 轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。
入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值．已知速度最大的粒子在0<x <a 的区域中运动的时间与在x >a 的区域中运动的时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为7T /12，其中T 为该粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中作圆周运动的周期。
试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。
【分析】粒子在0<x <a 的区域中的运动属于初速度方向已知、大小不确定的情况，在垂直初速度的直线（即y 轴）上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图甲），其中轨迹圆①与直线x =a 相切，为能打到y 轴上的粒子中轨道半径最大的；若粒子轨道半径大于轨迹圆①，粒子将进入x >a 的区域，由对称性可知，粒子在x >a 的区域内的轨迹圆圆心均在在x =2a 直线上，在x =2a 直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，可作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①'为半径最小的情况，轨迹圆②为题目所要求的速度最大的粒子的轨迹。
【答案】竖直屏上发亮的范围从0到2a ，水平屏上发亮的范围从2a 到2323x a a =+ 【解答】 粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中运动半径为：mvr qB=① 速度小的粒子将在x <a 的区域走完半圆，射到竖直屏上。
半圆的直径在y 轴上，半径的范围从0到a ，屏上发亮的范围从0到2a 。
轨道半径大于a 的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a 的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与②①'①图乙图甲a 2a 2aax 轴在D 点相切（虚线），OD =2a ，这是水平屏上发亮范围的左边界。
速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C 和'C ，C 在y 轴上，有对称性可知'C 在x =2a 直线上。
设t 1为粒子在0<x <a 的区域中运动的时间，t 2为在x >a 的区域中运动的时间，由题意可知1225t t =，12712T t t += 由此解得：16T t = ② 1512Tt = ③由②③式和对称性可得 60OCM ∠= ④ '60MC N ∠=⑤5'36015012MC P ∠=⨯= ⑥所以'1506090NC P ∠=︒-︒=︒ ⑦即弧长NP 为1/4圆周。
因此，圆心'C 在x 轴上。
设速度为最大值粒子的轨道半径为R ，由直角'COC 可得2sin602R a ︒= 233R a = ⑧ 由图可知OP =2a +R ，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标 2323x a a =+⑨ 【易错提醒】本题容易把握不住隐含条件——所有在x >a 的区域内的轨迹圆圆心均在在x =2a 直线上，从而造成在x >a 的区域内的作图困难；另一方面，在x >a 的区域内作轨迹圆时，半径未从轨迹圆①半径开始取值，致使轨迹圆①'未作出，从而将水平荧光屏发亮范围的左边界坐标确定为x =a 。
类型二：已知入射点和入射速度大小（即轨道半径大小），但入射速度方向不确定这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上——所谓“圆心圆”，是指以入射点为圆心，以mvr qB=为半径的圆。
【例2】如图所示，在0≤x≤a 、0≤y≤2a范围内有垂直手xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。
坐标原点O 处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy 平面内，与y 轴正方向的夹角分布在0～090范围内。
己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a /2到a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。
求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 (1)速度的大小；(2)速度方向与y 轴正方向夹角的正弦。
【分析】本题给定的情形是粒子轨道半径r 大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经过入射点O ，入射点O 到任一圆心的距离均为r ，故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”——以入射点O 为圆心、r 为半径的圆周上（如图甲）。
考虑到粒子是向右偏转，我们从最左边的轨迹圆画起——取“圆心圆”上不同点为圆心、r 为半径作出一系列圆，如图乙所示；其中，轨迹①对应弦长大于轨迹②对应弦长——半径一定、圆心角都较小时（均小于180°），弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长——故轨迹①对应圆心角为90°。
x【答案】66(2)(2)22aqB R a v m α=-=-6-6，，sin =10【解答】设粒子的发射速度为v ，粒子做圆周运动的轨道半径为R根据牛顿第二定律和洛伦兹力得：2v qvB m R =， 解得：mv R qB=当a /2<R <a 时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C 的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示，设该粒子在磁场中运动的时间为t ，依题意，t =T /4时，∠OCA =π/2设最后离开磁场的粒子的发射方向与y 轴正方向的夹角为α，由几何关系得：sin sin cos 2aR R R a R ααα=-=-，， 且22sin cos 1αα+= 解得：66(2)(2)22aqB R a v m α=-=-6-6，，sin =10【易错提醒】由于作图不仔细而把握不住“轨迹①对应弦长大于轨迹②对应弦长——半径一定、圆心角都较小时（均小于180°），弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长”，从而误认为轨迹②对应粒子在磁场中运动时间最长。
这类题作图要讲一个小技巧——按粒子偏转方向移动圆心作图。
【练习2】如图所示，在正方形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B 的匀强磁场。
在t =0时刻，一位于ad 边中点O 的粒子源在abcd 平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与Od 边的夹角分布在0～180°范围内。
已知沿Od 方向发射的粒子在t =t 0时刻刚好从磁场边界cd 上的p 点离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长L ，粒子重力不计，求： （1）粒子的比荷q /m ； （2）假设粒子源发射的粒子在0～180°范围内均匀分布，此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比； （3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。
【分析】图乙图甲①OyxC RDA aP αα αv以L 为半径、O 点为圆心作“圆心圆”（如图甲）；由于粒子逆时针偏转，从最下面的轨迹开始画起（轨迹①），在“圆心圆”取不同点为圆心、以L 为半径作出一系列圆（如图乙）；其中轨迹①与轨迹④对称，在磁场中运动时间相同；轨迹②并不经过c 点，轨迹②对应弦长短于轨迹③对应弦长——即沿轨迹③运动的粒子最后离开磁场。
【解答】（1）初速度沿Od 方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图，其圆心为n由几何关系有：6Onp π∠=, 120Tt =粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供根据牛顿第二定律得R T m Bqv 2)2(π=，T R v π2=得06Bt m q π= (2)依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到O 点距离相等。
