2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第126—130题(含答案解析)

感知高考刺金146平面直角坐标系xOy 中,双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于O 、A 、B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 。

解：设渐近线方程为by xa=±，与()22:20Cx py p =>联立得2222pb x a pb y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2222,pb pb A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭而抛物线2C 的焦点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭恰为OAB ∆的垂心，故1OBAF k k ⋅=-所以222212pb pb a pb aa--⋅=-，化简得2254b a = 所以32e =感知高考刺金147设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过点F 作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线交于点D 。

若D 到直线BC的距离小于a ( ）A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C．()()0,2D ．((),2,-∞+∞解法一：由题意得(),0A a ，直线BC 方程为x c =，则2,b B c a ⎛⎫⎪⎝⎭，2,b C c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭不难看出D 点为ABC ∆的垂心，由于AB AC =，垂心D 在x 轴上 由直线AB 的垂线方程为()2b ay x c a a c -=--+，令0y =,得()22D b x c c a a=++则D 点到直线BC 的距离为()22b c a a a+<+化简得222221b b a b a a a ⎛⎫-+<-⎪⎝⎭，可得22ab >于是渐近线的斜率()()1,00,1b k a =±∈- 解法二:2b BF a=，AF c a =-在Rt ABD ∆中，()242BF b DF a c AF a c a ==<+-化简得22ab >于是渐近线的斜率()()1,00,1b k a=±∈-感知高考刺金148将函数()sin 2f x x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的12,x x ,有12min3x xπ-=，则ϕ=（ ）A ．512πB ．3π C ．4πD ．6π解：()()sin 22g x x ϕ=-,又()(),f x g x 的最大、最小值为1±，故()()122f x g x -=等价于()(),f x g x 一个取得1，一个取得1-。

感知高考刺金1061．在平面直角坐标系中有两点()()1,33,1,3A B -，以原点为圆心，以()0r r >为半径作圆，与射线()30y x x =-<交于点M ，与x 轴正半轴交于点N ，则当r 变化时，AM BN +的最小值为 。

解：设()3,,,02r r M N r ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以()()()22222313313531322r AM BN r r r r ⎛⎫⎛⎫+=-++-+-+=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭问题等价于点()()5,3,1,3E F 与x 轴上的点(),0P r 连线段长的和最短作()'5,3E -，则''27EP FP E P FP E F +=+≥=当且仅当3r =时，取得最小值。

2．一副扑克牌（有四色，同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 （用数值作答）．解：12141339352234425C C C C =感知高考刺金1071．在ABC ∆中，22AC AB ==，3BC =，P 是ABC ∆内部一点，且满足PBC PCA PAB S S S PA PB PB PC PC PA∆∆∆==⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则PA PB PC ++= 。

解：由PBC PCA PAB S S S PA PB PB PC PC PA∆∆∆==⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 得 tan tan tan APC BPC APB ∠=∠=∠又360APC BPC APB ∠+∠+∠=o故120APC BPC APB ∠=∠=∠=o设BCP θ∠=，则60PCB θ∠=-o ，30ABP θ∠=+o ，30PAB θ∠=-o故在PBC ∆中由正弦定理得3sin BP θ=，()60sin120CPθ-=oo在PBA∆中由正弦定理得()sin30sin120BPθ-=oo，()sin30sin120APθ+=oo()sin30sin120θ-=oo，解得tanθ=所以sinθθ==所以PA PB PC++=()()sin3060sin120sin120θθ+-+=o oo o2．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是。

感知高考刺金761．已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，满足：CO mCA nCB =+u u u r u u u r u u u r ，432m n +=，且CA =u u u r 6CB =u u u r ，则CA CB =u u u r u u u r g。

解法一：2CO mCA CO nCB CO =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r gg ，所以()2241864312R m n m n =+=+=，即R = 所以外接圆的圆心就在边CA 的中点，所以2B π= 所以236CA CB CB ==u u u r u u u r u u u r g解法二：2CO CA mCA nCB CA =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，2CO CB mCA CB nCB =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g所以2448m nCA CB =+u u u r u u u r g ，1836n mCA CB =+u u u r u u u r g又432m n +=，所以36CA CB =u u u r u u u r g 解法三：322223CA n CB CO mCA nCB m ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r取CA 的中点D ，取CB 的三等分点E ，则322n CO mCD CE =+u u u r u u u r u u u r 又3212n m +=，所以,,O D E 三点共线 所以2CDE π∠=，所以2323362CA CB CD CE CD ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g 点评：本题是三角形外心与向量融合的典范，常规套路要熟悉。

感知高考刺金361题设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，22t ⎡⎤=⎣⎦，…，n t n⎡⎤=⎣⎦同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是 ． 解：由[]1t =得12t ≤<由22t ⎡⎤=⎣⎦得223t ≤< 由44t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，所以22t ≤<由33t ⎡⎤=⎣⎦得334t ≤<，所以56t ≤<由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<与56t ≤<n 的最大值是4感知高考刺金362题过点()1,1M -的直线l 交圆()22:11C x y -+=于点,A B ，O 为坐标原点，若在线段AB 上的Q 满足112MA MB MQ+=，则min OQ = ． 解：设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q m n ，直线():11l y k x =++则11MA +，21MB =+，1MQ + 由112MA MB MQ +=得12112111x x m +=+++ 由()()221111x y y k x ⎧-+=⎪⎨=++⎪⎩得()()()2222122210k x k k x k +++-++= 所以21222221k k x x k +-+=-+，()212211k x x k +=-+ 所以421k m =-+所以()42111n m m ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭整理得点(),Q m n 满足的轨迹方程为210m n --=所以min OQ ==感知高考刺金363题如图，已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，3BD DC =u u u r u u u r，()*n E n ∈N 为AC 边上一列点，满足()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+u u u u r u u u u r u u u u r，其中数列{}n a 满足0n a >，11a =，则{}n a 的通项公式为 ．解：由3BD DC =u u u r u u u r可得1344n n n E D E B E C =+u u u u r u u u u r u u u u r又()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+u u u u r u u u u r u u u u r，且n n E C E A λ=u u u u r u u u u r故()113132444n n n n n n E D E B a E B a E D λ+⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r即()131********n n n n a E B a E D λλ+⎛⎫⎡⎤+=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭u u u u r u u u u r 因为,n n E B E D u u u u r u u u u r 不共线，故()1310416313204n na a λλ+⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩， 两式相除消去λ得132n n a a +=+，又11a =，所以1231n n a -=⋅-感知高考刺金364题若点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上运动,点B 在y 轴上运动,则对定点(3,2)P 而言,||PA PB +u u u r u u u r的最小值为 ．解法1：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-u u u r u u u r.若设||r PA PB =+u u u r u u u r ,则由题意可得222112(6)(4)x y y r -++-=.即,点A 在以2(6,4)D y -为圆心,以r 为半径的圆D :2222(6)(4)x y y r -++-=上.由圆C与圆D 有公共点A 可得2222||(61)(6)5r CD y +≥=-+-≥,从而3r ≥.解法2：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-u u u r u u u r.从而,22211211||(6)(4)(6)63PA PB x y y x x +=-++-≥-=-≥u u u r u u u r.解法3：由点A 在圆C 上可设(12cos ,22sin )A θθ+-+,(0,)B t ,则(2cos 5,2sin 6)PA PB t θθ+=-+-u u u r u u u r.故222||(2cos 5)(2sin 6)(2cos 5)52cos 3PA PB t θθθθ+=-++-≥-=-≥u u u r u u u r. 解法4：设Q 为AB 的中点,则2PA PB PQ +=u u u r u u u r u u u r,过,,P Q A 作y 轴的垂线,垂足分别为',','P Q A .由于13|'||||'||||'|||22PP PQ QQ PQ AA PQ ≤+=+≤+, 因此33|||'|22PQ PP ≥-=,即||2||3PA PB PQ +=≥u u u r u u u r u u u r .解法5：设'B 为点B 关于点P 的对称点，则|||'||'|PA PB PA PB B A +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r .由于点'B 在直线6x =上,点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上可得|'|523B A ≥-=u u u u r.解法6：同解法5，设'A 为点A 关于点P 的对称点,则|||'||'|PA PB PB PA A B +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r .由于点'A 在圆'C :22(5)(6)4x y -+-=上,点B 在y 轴上可得|'|523A B ≥-=u u u u ryxB'PCOA B感知高考刺金365题设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则112u x y =+的取值范围为 ．解：可行域如图所示，()1,2A ，()4,2B ，()3,1C ， 所以14,12x y ≤≤≤≤设点(),P x y 是可行域内一动点， 目标函数112u x y=+既是关于x 的减函数，又是关于y 的减函数 所以当点P 与点C 重合时，此时x 取得最大值4， 同时y 取得最大值2，此时u 取得最小值为1114222+=⋅ 对于每一个固定的y 的值，要使u 取得最大值，应使x 取得最小值，即点P 应位于线段AB 上，此时()5212x y y =-≤≤()()111152522252u y x y y y y y =+=+=--()12y ≤≤ 所以()max 54u y =，此时()1,2P 与点A 重合 综上所述，1524u ≤≤感知高考刺金366题已知点,A B 是双曲线22122x y -=右支上两个不同的动点，O为坐标原点，则OA OB u u u r u u u rg的最小值为 ．解法一：韦达定理当AB k 存在时，设:AB l y kx b =+()222221122022x y k x kbx b y kx b⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩212122222,11kb b x x x x k k ++==-- ()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b =+=+++=++++u u u r u u u r g()2222222222222241221111b k b k k b k k k k ++=+++==+>----当AB k 不存在是，222x y x m⎧-=⎨=⎩，则22121222OA OB x x y y m m =+=+-=u u u r u u u r g综上，2OA OB ≥u u u r u u u rg解法二：由于,A B 两点运动，故采取“一定一动”的原则，不妨先在B 点确定的情况下，让A 点运动到最小值，然后再让B 点运动，即取最小值的最小值。

感知高考刺金1311．函数()()401x f x x x =>+，()()()1,2g x x a x b a b =---<，若对10x ∀>，21x x ∃≤，()()21g x f x =，则2a b +的最大值为 。

解：()()()1,2,21,2b a x b a b g x x a x b a b x a ⎧->⎪⎪+⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩，()()444011x f x x x x ==->++若使对10x ∀>，21x x ∃≤，()()21g x f x =成立首先需使()142b a -≥且()102a b -< 且线段,2a b y x a x b +=-≤≤与曲线()()401xf x x x =>+无交点 由241a b y x x y x +⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得23022a b a b x x ++⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭无正根 （i ）若3202a b++≥，即6a b +≥-时，要求()23202a b a b +⎛⎫∆=+++≤ ⎪⎝⎭，解得182a b -≤+≤-，即62a b -≤+≤- （ii ）若6a b +<-时，满足02a b+->，恒成立 综上，2a b +≤-故要使对10x ∀>，21x x ∃≤，()()21g x f x =成立只需82b a a b a b -≥⎧⎪<⎨⎪+≤-⎩，画出可行域可得27a b +≤-2．（1）若复数z 与其共轭复数z满足z =2z z +=，则5z z+= 。

（2）若函数()ln x af x x-=的图象总在()F x a 的取值集合。

解：（1）2 （2）ln x ax-0x >且1x ≠恒成立，故()min,1a x xx <>或()min,01a x xx >-<<令()g x x x =，……，得1a =感知高考刺金1321．已知()22245f x x a a =+-+，若()f x 的最大值是()g a ，则关于a 的不等式()12log 30g a +<的解集是 。

感知高考刺金116
1．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边,,a b c 满足()cos c a A C =+，则tan C 的最大值是 ．
解：()222
cos cos 2a c b c a A C a B a ac
+-=+=-=-⋅ 即()
22213c b a =-，且B 为钝角，C 为锐角 由余弦定理得(
)2222222221423cos 226a b b a a b c a b C ab ab ab +--+-+===≥= 锐角C 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上递减，故当(
)min cos C =时，则(
)max tan C = 2．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有______种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．
解：327
35180A A -⋅=
感知高考刺金117
1．已知,αβ为锐角，且()sin cos sin ααββ+=
，则tan α的最大值是 ． 解法一：()()()()sin sin cos sin cos cos sin sin sin αββαββααβαββββ
⎡+-⎤+⎣⎦+===-+ 即()tan 2tan αββ+=
()()(
)2tan tan tan tan tan 1tan tan 12tan αβββααββαβββ+-=⎡+-⎤=
==⎣⎦+++
当且仅当tan β= 解法二：由()sin cos sin ααββ+=得sin cos cos sin sin sin ααβαββ
-= 即1cos cos sin sin sin αβαββ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。

感知高考刺金1311．函数()()401x f x x x =>+，()()()1,2g x x a x b a b =---<，若对10x ∀>，21x x ∃≤，()()21g x f x =，则2a b +的最大值为 。

解：()()()1,2,21,2b a x b a b g x x a x b a b x a ⎧->⎪⎪+⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩，()()444011x f x x x x ==->++若使对10x ∀>，21x x ∃≤，()()21g x f x =成立首先需使()142b a -≥且()102a b -< 且线段,2a b y x a x b +=-≤≤与曲线()()401xf x x x =>+无交点 由241a b y x xy x +⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得23022a b a b x x ++⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭无正根 （i ）若3202a b++≥，即6a b +≥-时，要求()23202a b a b +⎛⎫∆=+++≤ ⎪⎝⎭， 解得182a b -≤+≤-，即62a b -≤+≤- （ii ）若6a b +<-时，满足02a b+->，恒成立 综上，2a b +≤-故要使对10x ∀>，21x x ∃≤，()()21g x f x =成立只需82b a a b a b -≥⎧⎪<⎨⎪+≤-⎩，画出可行域可得27a b +≤-2．（1）若复数z 与其共轭复数z满足z =2z z +=，则5z z+= 。

（2）若函数()ln x af x x-=的图象总在()F x =a 的取值集合。

解：（1）2 （2）ln x ax->0x >且1x ≠恒成立，故()min,1a x xx <>或()min,01a x xx ><<令()g x x x =，……，得1a =感知高考刺金1321．已知()22245f x x a a =+-+，若()f x 的最大值是()g a ，则关于a 的不等式()12log 30g a +<的解集是 。

感知高考刺金961．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,且BC,则c b b c+的最大值为 ,此时内角A 的值为 。

解法一：由21sin 2ABC S bc A ∆==所以2222cos 2cos 4sin 6c b c b a bc A A A A b c bc bc π++⎛⎫+===+=+ ⎪⎝⎭ 所以当3A π=时,max4c b b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 解法二：以BC 为x 轴,BC 中点为原点建系,则,0,,022a a B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,A x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ABAC =所以b c ==当0x =时,1b c= 当0x >时,b c =,当且仅当x =时取等号所以令2b t⎡⎤=∈⎣⎦,1y t=+单调递减,所以当2t =时,即x =时,max 4y = 此时AB =,AC =,则2221cos 22b c a A bc +-==,所以3A π= 由对称性可知,0x <时也一样。

2．某人抛掷一枚硬币,出现正反的概率都是12,构造数列{}n a ,使11n n a n ⎧=⎨-⎩（当第次出现正面时）（当第次出现反面时）,记()12*n n S a a a n =+++∈ N ,则42S =时的概率为 。

解：42S =,需四次中有3次正面,1次反面,故344124C P ==感知高考刺金971．点P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限的弧上的任意一点,过P 引x 轴,y 轴的平行线,分别交直线b y x a=-于,Q R 两点,交y 轴,x 轴于,M N 两点,记OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ,当2ab =时,2212S S +的最小值为 。

解：设()cos ,sin ,0,2P a b πααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 则()()0,sin ,cos ,0M b N a αα,()()sin ,sin ,cos ,cos Q a b R a b αααα-- 所以()()()()1211sin sin ,cos cos 22S a b S a b αααα== ()()22224444122222221sin cos sin cos 411sin cos 2sin cos 1sin 222S S a b ααααααααα+=+=+=+-=-≥ 当且仅当4πα=时取得最小值。

感知高考刺金236题★已知函数()()2,t f x x t t t =--∈R ，设a b <，()()()()()()(),,a a b b a b f x f x f x f x f x f x f x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()y f x x a b =++-有四个零点，则b a -的取值范围是 ． 解：()()2,t f x x t t t =--∈R 是开口形状确定，顶点(),t t -在y x =-上运动的抛物线，于是当,a b 取不同值时所对应的函数()f x 图象如图所示，是“W 型”的图象交点横坐标由()()22x a a x b b --=--解得12a b x +-= 函数()y f x x a b =++-有四个零点，可视为直线y x b a =-+-与函数()y f x =有四个交点，故只需两条抛物线的“交叉点”到直线y x =-的竖直距离大于b a -即可。

故21122b a b a b a ----⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，解得2b a ->感知高考刺金237题在ABC ∆中，若2AB =，2210AC BC +=，则ABC ∆的面积取得最大值时，最长的边长等于 ．解法一：设CH h =，AH x =，由题知2210a b +=，2c =，12ABC S ch h ∆== 因为()()22222222223144h b x a x h x x x =-=--⇒=-++=--+≤故()max 2ABC S ∆=，当且仅当1x =时，取得最大值，此时2a b c ===解法二：由余弦定理知2223cos sin 2AC BC AB C C AC BC AC BC +-==⇒=⋅⋅故1sin 22ABC S AC BC C ∆=⋅⋅=当且仅当AC BC ==感知高考刺金238题如图，,C D 在半径为1的O 上，线段AB 是O 的直径，则AC BD 的取值范围是 ．解法一：极化恒等式角度()AC BD AD DC BD DC DB =+=- 显然当,DC DB 均为O 的直径时，DC DB 最大为4； 取BC 的中点M ，则由极化恒等式知()2222221111222DM OM OD DC DB DM BM DM OM +=-=+-≥-≥-=- 故14,2AC BD ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦解法二：投影角度AC BD AC CE =要求max AC BD ，显然在AC 确定的情况下，CE 最大。

感知高考刺金961．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,且BC，则c b b c+的最大值为 ，此时内角A 的值为 。

解法一:由21sin 2ABCS bc A ∆==所以2222cos 2cos 4sin 6c b c b a bc A A A A b c bc bc π++⎛⎫+===+=+ ⎪⎝⎭ 所以当3A π=时，max4c b b c⎛⎫+= ⎪⎝⎭解法二：以BC 为x 轴，BC 中点为原点建系，则,0,,022a a B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A x ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ABAC =所以b c=当0x =时,1b c=当0x >时,bc=，当且仅当x =时取等号所以令2b t⎡⎤=∈⎣⎦，1y t=+单调递减，所以当2t =时,即x =时,max 4y = 此时AB =，AC =，则2221cos 22b c a A bc +-==，所以3A π= 由对称性可知,0x <时也一样。

2．某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12,构造数列{}na ，使11n n a n ⎧=⎨-⎩（当第次出现正面时）（当第次出现反面时），记()12*n n S a a a n =+++∈N ，则42S =时的概率为 。

解：42S=，需四次中有3次正面，1次反面,故344124C P ==感知高考刺金971．点P 为椭圆()222210x y a b a b +=>>在第一象限的弧上的任意一点,过P 引x 轴，y 轴的平行线，分别交直线by x a =-于,Q R 两点，交y 轴,x 轴于,M N 两点,记OMQ∆与ONR∆的面积为12,S S ，当2ab =时，2212S S +的最小值为 。

解：设()cos ,sin ,0,2P a b πααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()()0,sin ,cos ,0M b N a αα，()()sin ,sin ,cos ,cos Q a b R a b αααα-- 所以()()()()1211sin sin ,cos cos 22Sa b S a b αααα== ()()22224444122222221sin cos sin cos 411sin cos 2sin cos 1sin 222S S a b ααααααααα+=+=+=+-=-≥当且仅当4πα=时取得最小值。