广东开侨中学2015届高三文科数学单元练习 函数的性质

绝密★启用前 试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1- 2、已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．122x x y =+D ．sin 2y x x =+ 4、若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2 5、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos 2A =且b c <，则b =（ ）AB ．2 C． D ．36、若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 7、已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．18、已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 9、在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 10、若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r sE =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11~13题）11、不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示）12、已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为 ．13、若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+，526c =-，则b = ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．15、（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C 23E =，则D A = ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 16、（本小题满分12分）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值． 17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．()1求直方图中x 的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？18、（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =． ()1证明：C//B 平面D P A ；()2证明：C D B ⊥P ；()3求点C 到平面D P A 的距离．19、（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值；()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．20、（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．()1求圆1C 的圆心坐标；()2求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；()3是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．21、（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．()1若()01f ≤，求a 的取值范围； ()2讨论()f x 的单调性； ()3当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数．。

试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2015.4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．台体的体积公式()123hV S S =+，其中1S ，2S 分别是台体的上，下底面积，h 是台体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 240 的值为A．12 C ．12- D．2．已知函数()3x f x =()x ∈R 的反函数为()g x ，则12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．3log 2-B ．3log 2C ．2log 3-D ．2log 33．已知双曲线C ：22214x y b-=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率为A ．12 BD4．执行如图1所示的程序框图，则输出的z 的值是A ．21B ．32C ．34D ．64 5．已知命题p ：x ∀∈R ，20x >，命题q ：,αβ∃∈R ，使()tan tan tan αβαβ+=+，则下列命 题为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝ 6．设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为A ．[]1,3B ．()1,3C ．[]3,1--D ．()3,1-- 7．已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为 A ．2121n -+ B ．2121n -- C ．221n + D ．221n - 8．已知函数()，若在区间[]上任取一个实数，则使()成立的概率为 A ．425B ．12C ．23 D ．19．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ABCD10．设函数()3233f x x ax bx =++有两个极值点12x x 、，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在aOb平面上所构成区域的面积为A ．14B ．12C ．34D ．1 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z = ． 12．已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1=-a +b ，则x y += ．13．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y ()km 与刹车时的速度x ()km/h 的关14．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）图3在在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示．（n a b c （2）从年龄在[]40,60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[]50,60的人中至少有人被授予“环保之星”的概率．18．（本小题满分14分）如图4，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，M ，N分别是棱1AA ，AB 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，C ，1D 四点共面；（2）平面1MNCD 将此正方体分为两部分，求这两部分的体积 之比．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若(),,n n a n f n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，，是否存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．C 1ABA 1B 1D 1C DMN图420．（本小题满分14分）已知函数()2a∈R．=++()lnf x x ax x（1）若函数()f x在1f xx=处的切线平行于x轴，求实数a的值，并求此时函数()的极值；（2）求函数()f x的单调区间．21．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小16．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k=，5b k=，3c k =()0k >， (2)分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分 （2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A是△ABC的内角，所以s ic o s A ==6分 由正弦定理2si na R A =，…………………………………………………………………………………7分得2sin 214a R A ==⨯=由（1）设7a k =，即k =，所以51b k ==，3c k ==10分所以1s i2ABC S bc A ∆=12=⨯……………………………………………………11分=所以△ABC的面积为45312分17．（本小题满分12分）解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以()10040102030n =-++=．………………………………1分 年龄在[)40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=．……………2分年龄在[]50,60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1， 所以2a ÷=，解得2a =．…………………………………………………………………………3分根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c +++⨯=， 解得0.02c =．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为年龄在[)40,50与[]50,60中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[)40,50中答对全卷的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，年龄在[]50,60中答对全卷的2人记为1b ，2b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ， ()12,b b 共15种．…………………………………………………………………………………8分其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共9种.……………………………………11分故所求的概率为53159=. ………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分） （1）证明：连接1A B ，在四边形11A BCD 中，11A D BC 且11A D BC =， 所以四边形11A BCD 是平行四边形．所以11A B D C ．…………………………………………2分 在△1ABA 中，1AM AN ==，13AA AB ==， 所以1AM ANAA AB=， 所以1M N．…………………………………………………………………………………………4分所以1MN DC ． 所以M，N，C，1D 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）解法一：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，连接1D A ，1D N ，DN ，C 1 ABA 1B 1D 1C DMNC 1 A 1B 1D 1DM则几何体1D AMN -，1D ADN -，1D CDN -均为三棱锥， 所以1111D AMN D ADN D CDN V V V V ---=++1111111333AMN ADN CDN S D A S D D S D D ∆∆∆=++ ………9分 111319333323232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯132=．……………………………………………………………………………………………11分从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分解法二：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，因为平面11ABB A 平面11DCC D ，所以平面AMN 平面1DDC ． 延长CN 与DA 相交于点P ， 因为AN DC ， 所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =． 延长1D M 与DA 相交于点Q ，同理可得32QA =．所以点P 与点Q 重合．所以1D M ，DA ，CN 三线相交于一点． 所以几何体1AMND D C -是一个三棱台．……………………………………………………………9分所以1111332AMV V -⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭，………………………………………………11分从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分19．（本小题满分14分）解：（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1， 所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）因为()1,32,n n f n n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，，假设存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立．………………………………………………………7分①当k 为奇数时，3k +为偶数， 则有()()33241k k +-=-， 解得11k =，符合题意．………………………………………………………………………………10分②当k 为偶数时，3k +为奇数， 则有()()31432k k +-=-， 解得1011k =，不合题意．………………………………………………………………………………13分综上可知，存在11k =符合条件．………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分） 解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，……………………………………………………………………1分因为()2ln f x x ax x =++， 所以()121f x ax x'=++，………………………………………………………………………………2分依题意有()10f '=，即12a ++=，解得1a =-．………………………………………………3分此时()()()212121x x x x f x x x--+-++'==，所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，………………………………………5分所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分（2）因为()121f x ax x '=++221ax x x++=，（ⅰ）当a ≥时，………………………………………………………………………………………7分因为()0,x ∈+∞，所以()f x '2210ax x x++=>， 此时函数()f x 在()0,+∞是增函数．……………………………………………………………………9分（ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x ++=． 因为180a ∆=->，此时()f x '()()212221a x x x x ax x x x--++==，其中114x a -=-，214x a=-． 因为0a <，所以20x >，又因为12102x x a=<，所以10x <．……………………………………11分所以当20x x <<时，()0f x '>，当2x x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数．…………………………………13分综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是0,⎛ ⎝⎭，单调递减区间是14a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………14分21．（本小题满分14分） 解：（1）方法一：设圆C的方程为：()222x a y r -+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-， 所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分解得1a =-，1r =． 所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分因为直线l的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分所以圆心C的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，PB 的方程为：()020y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -，点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110xx k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以12A B =-x =9分因为()220044y x =--，所以AB =………10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max2225564f x f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分 方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=，因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=． ① 同理得()2000220x b y b x +--=， ② 由①②知a，b为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===…9分因为()220044y x =--， 所以AB =………10分=．………………………………………………………………11分令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以AB ==， (12)分当532t =时，max AB =， 当14t =时，min AB = 所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分。

2014届华侨中学文科数学综合测试卷（三）第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、=++-i i i 1)21)(1( ( ) A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2D ．i +22、集合M=｛x |4|3|≤-x ｝, N=｛x x y y -+-=22|｝, 则 M N = ( )A ．{0}B ．{2}C ．ΦD ．{}72|≤≤x x3、已知a 、均为单位何量,它们的夹角为60°,那么| a + 3 | = ( )A ．7B ．10C ．13D ．44、函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为 （ ）A ．{}3,0,1-B ．{}3,2,1,0C ．{}31≤≤-y yD ．{}30≤≤y y5、已知下列命题(其中b a ,为直线，α为平面)：① 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直； ② 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面； ③ 若α//a ，α⊥b ，则b a ⊥；④ 若b a ⊥，则过b 有唯一一个平面α与a 垂直. 上述四个命题中，真命题是( ).A ．①，②B ．②，③C ．②，④D ．③，④6、函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )A ．2B ．3C ．4D ．57、已知一个几何体的三视图如图所示, 则这个几 何体的体积为 （ ）A ．38B ．4C ．8D ．16·ABC D TPO 8、采用系统抽样的方法，从个体数为1003的总体中抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率是 ( )A ．10001B.10031 C.100350D.201９、不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则a ＋b 的值是 ( ) A ．10 B ．－10 C ．14 D ．－1410、已知函数f(x)对任意x,y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且f(2)=4,则f(-1)= ( ) A ．-2 B ． 1 C ． 0.5 D ． 2第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，其中11～13题是必做题，14～15题是选做题，每小题5分，满分20分． 11、 等差数列｛a n ｝的前m 项和为30, 前2m 项和为100, 则它的前3m 项和为 。

2015年广东高考文科数学答案解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C考点：集合的交集运算．2.已知是虚数单位，则复数（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：，故选D．考点：复数的乘法运算．3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，因为，，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数；函数的定义域为，关于原考点：函数的奇偶性．4.若变量，满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：作出可行域如图所示：作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时，取得最大值，由得：，所以点的坐标为，所以，故选C．考点：线性规划．5.设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B．考点：余弦定理．6.若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A．至少与，中的一条相交B．与，都相交C．至多与，中的一条相交D．与，都不相交【答案】A【解析】试题分析：若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则至少与，中的一条相交，故选A．考点：空间点、线、面的位置关系．7.已知件产品中有件次品，其余为合格品．现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：件产品中有件次品，记为，，有件合格品，记为，，，从这件产品中任取件，有种，分别是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有种，分别是，，，，，，设事件“恰有一件次品”，则，故选B．考点：古典概型．8.已知椭圆（）的左焦点为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由题意得：，因为，所以，故选C．考点：椭圆的简单几何性质．9.在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（）A．B．C．D．【答案】D考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．10.若集合，，用表示集合中的元素个数，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：当时，，，都是取，，，中的一个，有种，当时，，，都是取，，中的一个，有种，当时，，，都是取，中的一个，有种，当时，，，都取，有种，所以，当时，取，，，中的一个，有种，当时，取，，中的一个，有种，当时，取，中的一个，有种，当时，取，有种，所以、的取值有种，同理，、的取值也有种，所以，所以，故选D．考点：推理与证明．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11.不等式的解集为．（用区间表示）【答案】【解析】试题分析：由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．考点：一元二次不等式．12.已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为．【答案】考点：均值的性质．13.若三个正数，，成等比数列，其中，，则．【答案】【解析】试题分析：因为三个正数，，成等比数列，所以，因为，所以，所以答案应填：．考点：等比中项．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与交点的直角坐标为．【答案】【解析】试题分析：曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为，由得：，所以与交点的直角坐标为，所以答案应填：．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．15.（几何证明选讲选做题）如图，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为，过作直线的垂线，垂足为．若，，则．【答案】【解析】试题分析：连结，则，因为，所以，所以，由切割线定理得：，所以，即，解得：或（舍去），所以，所以答案应填：．考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（本小题满分12分）已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得，再分子、分母都除以可得，代入数值，即可得的值．试题解析：（1）（2）考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.17．（本小题满分12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？【答案】（1）；（2），；（3）．【解析】（2）月平均用电量的众数是因为，所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由得：，所以月平均用电量的中位数是（3）月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，抽取比例，所以月平均用电量在的用户中应抽取户考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.18．（本小题满分14分）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，．（1）证明：平面；（2）证明：；（3）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）由四边形是长方形可证，进而可证平面；（2）先证，再证平面，进而可证；（3）取的中点，连结和，先证平面，再设点到平面的距离为，利用可得的值，进而可得点到平面的距离．试题解析：（1）因为四边形是长方形，所以，因为平面，平面，所以平面（2）因为四边形是长方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以（3）取的中点，连结和，因为，所以，在中，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由（2）知：平面，由（1）知：，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以点到平面的距离是考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.19．（本小题满分14分）设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．（1）求的值；（2）证明：为等比数列；（3）求数列的通项公式．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）令可得的值；（2）先将（）转化为，再利用等比数列的定义可证是等比数列；（3）先由（2）可得数列的通项公式，再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列的通项公式．试题解析：（1）当时，，即，解得：（2）因为（），所以（），即（），因为，所以因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列（3）由（2）知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．【解析】试题分析：（1）将圆的方程化为标准方程可得圆的圆心坐标；（2）先设线段的中点的坐标和直线的方程，再由圆的性质可得点满足的方程，进而利用动直线与圆相交可得的取值范围，即可得线段的中点的轨迹的方程；（3）先说明直线的方程和曲线的方程表示的图形，再利用图形可得当直线与曲线只有一个交点时，的取值范围，进而可得存在实数，使得直线与曲线只有一个交点．所以，所以，解得或，又因为，所以.所以满足即的轨迹的方程为.（3）由题意知直线表示过定点，斜率为的直线.结合图形，表示的是一段关于X轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧.根据对称性，只需讨论在X轴对称下方的圆弧.设，则,而当直线与轨迹相切时，.，解得.在这里暂取，因为，所以结合图形，可得对于X轴对称下方的圆弧，当或时，直线L与X轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知或.综上所述：当或时，直线与曲线只有一交点.考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、圆锥曲线与圆的位置关系. 21．（本小题满分14分）设为实数，函数．（1）若，求的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）当时，讨论在区间内的零点个数．【答案】（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）当时，有一个零点x=2；当，与有两个零点．【解析】试题分析：（1）先由可得，再对的取值范围进行讨论可得的解，进而可得的取值范围；（2）先写函数的解析式，再对的取值范围进行讨论确定函数的单调性；（3）先由（2）得函数的最小值，再对的取值范围进行讨论确定在区间内的零点个数．试题解析：（1），因为，所以当时，，显然成立；当，则有，所以.所以综上所述，的取值范围是.（2）对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递减.综上，在上单调递增，在上单调递减.（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.(i)当时，，令=0，即（x>0）.因为在上单调递减，所以而在上单调递增，，所以与在无交点.当时，，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点x=2.(ii)当时，，当时，，，而在上单调递增，当时，.下面比较与的大小因为所以结合图像不难得当，与有两个交点.综上，当时，有一个零点x=2；当，与有两个零点.考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.。

第三章 导数试题部分1.【2015高考福建，文12】“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）A ．充分必要条件B ．必要充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.【2015高考湖南，文8】设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是( ) A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数3.【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 4.【2015高考新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = .5.【2015高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ． 7.【2015高考安徽，文21】已知函数)0,0()()(2>>+=r a r x axx f （Ⅰ）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若400=ra，求)(x f 在),0(+∞内的极值. 8.【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（I ）求()f x 的单调区间和极值；（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．9.【2015高考福建，文22】已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-．(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()()1f x k x >-．10.【2015高考广东，文21】（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．（1）若()01f ≤，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性；（3）当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 11.【2015高考湖北，文21】设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 12.【2015高考山东，文20】设函数. 已知曲线在点(1,(1))f 处的切线与直线平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）是否存在自然数k ，使得方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数()min{(),()}m x f x g x =（{},min p q 表示，,p q 中的较小值），求()m x 的最大值.13.【2015高考四川，文21】已知函数f (x )＝－2lnx ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0. (Ⅰ)设g (x )为f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(Ⅱ)证明：存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.14.【2015高考天津，文20】（本小题满分14分）已知函数4()4,,f x x x x R =-? （I ）求()f x 的单调区间;（II ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £;（III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x <,求证:1321-43a x x <-+.15.【2015高考新课标1，文21】（本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x =-. （I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（II ）证明：当0a >时()22ln f x a a a≥+.16.【2015高考浙江，文20】（本题满分15分）设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；（2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.17.【2015高考重庆，文19】已知函数32()f x ax x =+（a R ∈）在x=43-处取得极值.(Ⅰ)确定a 的值，(Ⅱ)若()()x g x f x e =，讨论的单调性参考答案1.【2015高考福建，文12】“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件1.【答案】B 当1k <时，sin cos sin 22k k x x x =，构造函数()sin 22kf x x x =-，则'()cos 210f x k x =-<．故()f x 在(0,)2x π∈单调递增，故()()022f x f ππ<=-<，则sin cos k x x x <； 当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1sin 22x x <，构造函数1()sin 22g x x x =-，则'()cos 210g x x =-<，故()g x 在(0,)2x π∈递增，故()()022g x g ππ<=-<，则sin cos x x x <．综上所述，“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ．2.【答案】A 函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，函数的定义域为（-1，1），函数()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-所以函数是奇函数．()2111'111f x x x x=+=+-- ，在（0,1）上()'0f x > ，所以()f x 在(0,1)上单调递增，故选A.3.【答案】B 因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B . 4.【答案】1 ∵2()31f x ax '=+，∴(1)31f a '=+，即切线斜率31k a =+， 又∵(1)2f a =+，∴切点为（1，2a +），∵切线过（2,7），∴273112a a +-=+-，解得a =1.5.【答案】3 因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==.6.【2015高考陕西，文15】函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________.6.【答案】1y e =- ()()(1)x x y f x xe f x x e '==⇒=+，令()01f x x '=⇒=-，此时1(1)f e-=-函数x y xe =在其极值点处的切线方程为1y e=-7.【答案】（Ⅰ）递增区间是（-r ,r ）;递减区间为（-∞，-r ）和（r ，+∞）；（Ⅱ）极大值为100；无极小值.【解析】（Ⅰ）由题意可知r x -≠ 所求的定义域为()()r r -∞--+∞，，. 2222)()(rxr x axr x ax x f ++=+=， 422222)())(()2()22()2()(r x r x x r a r xr x r x ax r xr x a x f ++-=+++-++=' 所以当r x -<或r x >时，0)(<'x f ，当r x r <<-时，0)(>'x f因此，)(x f 单调递减区间为),(),,(+∞--∞r r ；)(x f 的单调递增区间为(),r r -. （Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知0)('=r f )(x f 在()r ,0上单调递增，在()+∞,r 上单调递减.因此r x =是)(x f 的极大值点，所以)(x f 在),0(+∞内的极大值为()100440042)(2====r a r ar r f ，）在（+∞,0)(x f 内无极小值； 综上，）在（+∞,0)(x f 内极大值为100，无极小值.8.【答案】（I ）单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；极小值(1ln )2k k f -=；（II ）证明详见解析.2'()k x kf x x x x-=-=. 由'()0f x =解得x =.()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =(1ln )2k k f -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =是()f x 在区间上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，02e kf -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.9.【答案】(Ⅰ) ⎛ ⎝；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）(),1-∞． 【解析】（I ）()2111x x f x x x x-++'=-+=，()0,x ∈+∞．由()0f x '>得2010x x x >⎧⎨-++>⎩解得0x <<故()f x 的单调递增区间是⎛ ⎝．（II ）令()()()F 1x f x x =--，()0,x ∈+∞．则有()21F x x x -'=．当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<，所以()F x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x >时，()()F F 10x <=，即当1x >时，()1f x x <-． （III ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意．当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意．当1k <时，令()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，则有()()2111G 1x k x x x k x x-+-+'=-+-=．由()G 0x '=得，()2110x k x -+-+=．解得10x =<，21x =>．当()21,x x ∈时，()G 0x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增． 从而当()21,x x ∈时，()()G G 10x >=，即()()1f x k x >-， 综上，k 的取值范围是(),1-∞．【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式'()0f x >或'()0f x <求解，但是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意()()f x g x >与min max ()()f x g x >不等价，min max ()()f x g x >只是()()f x g x >的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国Ⅰ卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续．10【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减；（3）当2=a 时，()4f x x +有一个零点2x =；当2>a 时，()4f x x+有两个零点．【解析】试题分析：（1）先由()01f <可得1≤+a a ，再对a 的取值范围进行讨论可得1≤+a a 的解，进而可得a 的取值范围；（2）先写函数()f x 的解析式，再对a 的取值范围进行讨论确定函数()f x 的单调性；（3）先由（2）得函数()f x 的最小值，再对a 的取值范围进行讨论确定()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 试题解析：（1）22(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1≤+a a ， 当0≤a 时，10≤，显然成立；当0>a ，则有12≤a ，所以21≤a .所以210≤<a . 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=ax a x a x ax x a x x f ,2)12(,12)(22对于()x a x u 1221--=，其对称轴为a a a x <-=-=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增；对于()a x a x u 21221++-=，其对称轴为a a a x >+=+=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(a -∞上单调递减.综上所述，)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减.（3）由（2）得)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),0(a 上单调递减，所以2min )()(a a a f x f -==. (i)当2=a 时，2)2()(min -==f x f ，⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=2,452,3)(22x x x x x x x f令()40f x x +=，即xx f 4)(-=（0x >）. 因为)(x f 在)2,0(上单调递减，所以2)2()(-=>f x f而x y 4-=在)2,0(上单调递增，2)2(-=<f y ，所以)(x f y =与xy 4-=在)2,0(无交点.当2≥x 时，xx x x f 43)(2-=-=，即04323=+-x x ，所以042223=+--x x x ，所以()0)1(22=+-x x ，因为2≥x ，所以2=x ，即当2=a 时，()4f x x+有一个零点2x =.(ii)当2>a 时，2min )()(a a a f x f -==，当),0(a x ∈时，42)0(>=a f ，2)(a a a f -=，而xy 4-=在),0(a x ∈上单调递增，当a x =时，a y 4-=.下面比较2)(a a a f -=与a4-的大小因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---aa a a a a a a a a所以aa a a f 4)(2-<-=结合图象不难得当2>a 时，)(x f y =与xy 4-=有两个交点.综上所述，当2=a 时，()4f x x +有一个零点2x =；当2>a 时，()4f x x+有两个零点.11【答案】（Ⅰ）1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.证明：当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x >又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>=，即() 1.g x > （Ⅱ）由（Ⅰ）得2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+- ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧于是设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立.综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.12【答案】（I ）1a = ；(II) 1k = ；(III) 24e. 【解析】（I ）由题意知，曲线在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，所以'(1)2f =，又'()ln 1,af x x x=++所以1a =. （II ）1k =时，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根.设2()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e =-=+-当(0,1]x ∈时，()0h x <. 又2244(2)3ln 2ln 8110,h e e=-=->-= 所以存在0(1,2)x ∈，使0()0h x =.因为1(2)'()ln 1,x x x h x x x e -=+++所以当(1,2)x ∈时，1'()10h x e>->，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，所以当(1,)x ∈+∞时，()h x 单调递增.所以1k =时，方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根.（III ）由（II ）知，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根0x ，且0(0,)x x ∈时，()()f x g x <，0(,)x x ∈+∞时，()()f x g x >，所以020(1)ln ,(0,](),(,)xx x x x m x x x x e +∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩. 当0(0,)x x ∈时，若(0,1],()0;x m x ∈≤若0(1,),x x ∈由1'()ln 10,m x x x=++>可知00()();m x m x <≤故0()().m x m x ≤ 当0(,)x x ∈+∞时，由(2)'(),xx x m x e -=可得0(,2)x x ∈时，'()0,()m x m x >单调递增；(2,)x ∈+∞时，'()0,()m x m x <单调递减；可知24()(2),m x m e≤=且0()(2)m x m <. 综上可得函数()m x 的最大值为24e.13.【解析】(Ⅰ)由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)g (x )＝f '(x )＝2(x －1－lnx －a ) 所以g '(x )＝2－22(1)x x x-= 当x ∈(0，1)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减 当x ∈(1，＋∞)时，g '(x )＞0，g (x )单调递增(Ⅱ)由f '(x )＝2(x －1－lnx －a )＝0，解得a ＝x －1－lnx令Φ(x )＝－2xlnx ＋x 2－2x (x －1－lnx )＋(x －1－lnx )2＝(1＋lnx )2－2xlnx 则Φ(1)＝1＞0，Φ(e )＝2(2－e )＜0 于是存在x 0∈(1，e )，使得Φ(x 0)＝0令a 0＝x 0－1－lnx 0＝u (x 0)，其中u (x )＝x －1－lnx (x ≥1)由u '(x )＝1－1x≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增 故0＝u (1)＜a 0＝u (x 0)＜u (e )＝e －2＜1 即a 0∈(0，1)当a ＝a 0时，有f '(x 0)＝0，f (x 0)＝Φ(x 0)＝0 再由(Ⅰ)知，f '(x )在区间(1，＋∞)上单调递增 当x ∈(1，x 0)时，f '(x )＜0，从而f (x )＞f (x 0)＝0 当x ∈(x 0，＋∞)时，f '(x )＞0，从而f (x )＞f (x 0)＝0 又当x ∈(0，1]时，f (x )＝(x －a 0)2－2xlnx ＞0 故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0综上所述，存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.14【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞;（II ）见试题解析;（III ）见试题解析. 【解析】（I ）由3()44f x x ¢=-,可得()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞;（II ）()()()00g x f x x x '=-,()()()F x f x g x =- ,证明()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= ,对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £;（III ）设方程()g x a = 的根为2x ' ,可得132412ax '=-+,由()g x 在(),-∞+∞ 单调递减,得()()()222g x f x a g x '≥== ,所以22x x '≤ .设曲线()y f x = 在原点处的切线为(),y h x = 方程()h x a = 的根为1x ' ,可得14ax '=,由()4h x x = 在在(),-∞+∞ 单调递增,且()()()111h x a f x h x '==≤ ,可得11,x x '≤ 所以13212143ax x x x ''-≤-=-+ .试题解析:（I ）由4()4f x x x =-,可得3()44f x x ¢=-,当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x 单调递增;当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减.所以函数()f x的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞.（II ）设()0,0P x ,则1304x = ,()012,f x '=- 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=- ,即()()()00g x f x x x '=-,令()()()F x f x g x =- 即()()()()0F x f x f x x x '=-- 则()()()0F x f x f x '''=-.由于3()44f x x ¢=-在(),-∞+∞ 单调递减,故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=,所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<,所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= ,对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £.（III ）由（II ）知()13124g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ,设方程()g x a = 的根为2x ' ,可得132412ax '=-+,因为()g x 在(),-∞+∞ 单调递减,又由（II ）知()()()222g x f x a g x '≥== ,所以22x x '≤ .类似的,设曲线()y f x = 在原点处的切线为(),y h x = 可得()4h x x = ,对任意的(),x ∈-∞+∞,有()()40f x h x x -=-≤ 即()()f x h x ≤ .设方程()h x a = 的根为1x ' ,可得14ax '= ,因为()4h x x = 在(),-∞+∞ 单调递增,且()()()111h x a f x h x '==≤ ,因此,11,x x '≤所以13212143ax x x x ''-≤-=-+ .15.【答案】（I ）当0a £时，()f x ¢没有零点；当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.（II ）见解析 【解析】（I ）()f x 的定义域为()0+¥，，()2()=20x a f x e x x¢->.当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点； 当0a >时，因为2x e 单调递增，ax-单调递增，所以()f x ¢在()0+¥，单调递增.又()0f a ¢>,当b 满足04a b <<且14b <时，(b)0f ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.（II ）由（I ），可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，当()00x x Î，时，()0f x ¢<;当()0+x x 违，时，()0f x ¢>.故()f x 在()00x ，单调递减，在()0+x ¥，单调递增，所以当0x x=时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x . 由于0202=0x a e x -，所以00022()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a++?. 故当0a >时，2()2ln f x a a a?.16【答案】(1)222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；(2)[3,9--【解析】解：(1)当214a b =+时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2ax =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12ag a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩(2)设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则s t ast b+=-⎧⎨=⎩.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+，所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--. 17【答案】（Ⅰ）12a =，（Ⅱ）g()x 在(,4)(1,0)-?-和 内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数.. 【解析】(1)对()f x 求导得2()32f x ax x ¢=+因为()f x 在43x =-处取得极值，所以4()03f ¢-=， 即16416832()09333a a ??=-=,解得12a =.(2)由(1)得，321g()2xx x x e 骣琪=+琪桫,故232323115g ()222222x x x x x x e x x e x x x e 骣骣骣¢琪琪琪=+++=++琪琪琪桫桫桫1(1)(4)2x x x x e =++ 令g ()0x ¢=，解得0,1=-4x x x ==-或. 当-4x <时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数， 当41x -<<-时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数， 当-10x <<时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数， 当0x >时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数，综上知g()x 在(,4)(1,0)-?-和 内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数.。

试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2015.4参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．台体的体积公式()123hV S S =+，其中1S ，2S 分别是台体的上，下底面积，h 是台体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 240的值为A．2 B ．12 C ．12- D．2-2．已知函数()3x f x =()x ∈R 的反函数为()g x ，则12g ⎛⎫=⎪⎝⎭A ．3log 2-B ．3log 2C ．2log 3-D ．2log 33．已知双曲线C ：22214x y b-=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率为 A ．12 BCD4．执行如图1所示的程序框图，则输出的z 的值是A ．21B ．32C ．34D ．645．已知命题p ：x ∀∈R ，20x >，命题q ：,αβ∃∈R ，使()tan tan tanαβαβ+=+，则下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝6．设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为A ．[]1,3B ．()1,3C ．[]3,1--D ．()3,1--7．已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为A ．2121n -+ B ．2121n -- C ．221n +D ．221n-8．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为 A ．425B ．12C ．23D ．19．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 A BC D 10．设函数()3233f x x ax bx =++有两个极值点12x x 、，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在aOb平面上所构成区域的面积为 A ．14 B ．12 C ．34D ．1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z = ． 12．已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1=-a +b ，则x y += ．AVCB图213．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y ()km 与刹车时的速度x ()km/h 的关系可以用2y ax =来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km /h 时，紧急刹车后滑行的距离为14垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示．年龄 分组 抽取份数 答对全卷 的人数 答对全卷的人数 占本组的概率[20,30)4028 0.7 [30,40)n27 0.9[40,50)10 4b[50,60]20a0.1（1）分别求出n ，a ，b ，c 的值；（2）从年龄在[]40,60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[]50,60的人图3中至少有1人被授予“环保之星”的概率． 18．（本小题满分14分）如图4，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，M ，N 分别是 棱1AA ，AB 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，C ，1D 四点共面；（2）平面1MNCD 将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若(),,n n a n f n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，，是否存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x ax x =++()a ∈R ．（1）若函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，求实数a 的值，并求此时函数()f x 的极值；（2）求函数()f x 的单调区间．21．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．C 1 ABA 1B 1D 1C DM N图42015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．16．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k=，5b k=，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1cos 2A =-， 因为A是△ABC的内角，所以sin 2A ==．…………………………………………6分 由正弦定理2s i na R A=，…………………………………………………………………………………7分得2sin 2142a R A ==⨯⨯=…………………………………………………………8分由（1）设7a k =，即k =所以51b k ==，3c k ==………………………………………………………………10分所以1s i2ABC S bc A ∆=122=⨯……………………………………………11分=所以△ABC 的面积为……………………………………………………………12分17．（本小题满分12分） 解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以()10040102030n =-++=．………………………………1分年龄在[)40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=．……………2分年龄在[]50,60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1，所以200.1a ÷=，解得2a =．………………………………………………………… 3分 根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c +++⨯=，解得0.02c =．………………………………………………………………………………4分 （2）因为年龄在[)40,50与[]50,60中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[)40,50中答对全卷的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，年龄在[]50,60中答对全卷的2人记为1b ，2b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()24,a a ， ()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ， ()12,b b 共15种．………………………………8分其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共9种.……………………11分故所求的概率为53159=. ………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分） （1）证明：连接1A B ，在四边形11A BCD 中，11A D BC 且11A D BC =，所以四边形11A BCD 是平行四边形． 所以11A BD C ．…………………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AA AB ==，所以1AM ANAA AB=， 所以1MN A B ．…………………………………………………………………4分 所以1MNDC ．所以M ，N ，C ，1D 四点共面．……………………………………………………6分 （2）解法一：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，C 1ABA 1B 1D 1C DMN11111111333A M N A D N C D N S D A S D D S D D ∆∆∆=++………9分 111319333323232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯132=．……………………………………………………………………………11分从而11111213412722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，………………………………13分 所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．…………………………14分 解法二：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ， 因为平面11ABB A 平面11DCC D ，所以平面AMN平面1DDC ．延长CN 与DA 相交于点P ， 因为AN DC ，所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =． 延长1D M 与DA 相交于点Q ，同理可得32QA =．所以点P 与点Q 重合．所以1D M ，DA ，CN 三线相交于一点．所以几何体1AMN DD C -是一个三棱台．………………………………………………9分 所以111191333222AMN DD CV V -⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，………………………………11分 从而11111213412722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………13分 所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………14分 19．（本小题满分14分）解：（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，所以10a =，11b =．……………………………………………………………………2分 因为数列{}n a 是公差为1的等差数列，所以1n a n =-．…………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-． 所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）因为()1,32,n n f n n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，，假设存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立．………………………………………………………7分①当k 为奇数时，3k +为偶数，则有()()33241k k +-=-，解得11k =，符合题意．………………………………………………………………………………10分②当k 为偶数时，3k +为奇数，则有()()31432k k +-=-， 解得1011k =，不合题意．………………………………………………………………………………13分综上可知，存在11k =符合条件．………………………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分） 解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，……………………………………………………………………1分因为()2ln f x x ax x =++，所以()121f x ax x'=++， (2)分依题意有()10f '=，即12a ++=，解得1a =-．………………………………………………3分此时()()()212121x x x x f x x x--+-++'==，所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，………………………………………5分所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分（2）因为()121f x ax x '=++221ax x x++=，（ⅰ）当0a ≥时，………………………………………………………………………………………7分因为()0,x ∈+∞，所以()f x '2210ax x x++=>， 此时函数()f x 在()0,+∞是增函数．……………………………………………………………………9分（ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x ++=．因为180a ∆=->，此时()f x '()()212221a x x x x ax x x x--++==，其中1x =，2x =因为a <，所以20x >，又因为12102x x a=<，所以10x <．……………………………………11分所以当20x x <<时，()0f x '>，当2x x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数．…………………………………13分综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是80,⎛ ⎝⎭，单调递减区间是⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………14分21．（本小题满分14分） 解：（1）方法一：设圆C的方程为：()222x a y r -+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩……………………………………………………………3分 解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，………………………………………2分 所以圆心C 的坐标为()1,0-．……………………………………………………………3分所以圆C 的方程为()2211x y ++=．……………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………5分 由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，PB 的方程为：()020y y k x x -=-，则点A 的坐标为()0100,y k x -，点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110xx k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以12A B =-x =分 因为()220044y x =--，所以AB =……………………………………………………………10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB的取值范围为⎦．…………………………………………………………14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．………………………………………………………………………5分 设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=． ①同理得()2000220x b y b x +--=， ②由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，……………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===……………………………………………………………………9分因为()220044y x =--，所以AB =分=………………………………………………11分 令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以2A B =-=………………………………12分 当532t =时，max 4AB =， 当14t=时，min AB = 所以AB的取值范围为⎦．…………………………………………………………………14分。

广东省2015届高三上学期8月第一次六校联考数学（文科）六校分别为：广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一中、深圳实验、惠州一中本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：椎体体积公式：13V S h =⋅底面积高 一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分． 1、集合{}22A x x =-≤≤，{}0,2,4B =，则A B ⋂=（ ）A 、{}0B 、{}02，C 、[]0,2D 、{}012，，2、已知复数z 的实部是1-，虚部是2，则z i ⋅（其中i 为虚数单位）在复平面对应的点在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、函数()()log 21xa f x =-（0a >且1a ≠）的定义域是（ ）A 、()0,+∞B 、(),0-∞C 、(),1-∞D 、()1,+∞4、圆22220x y x y +--=上的点到直线20x y ++=的距离最大为（ ）AB、C、D、2+5、“平面向量,a b 平行”是“平面向量,a b 满足a b a b ⋅=⋅”的（ ）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件6、 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A 、3B 、25 C 、12 D 、23第6题图 7、已知实数,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥++0005y y x y x ，则241z x y =++的最小值是（ ）A 、14-B 、1C 、5-D 、9-8、已知32a =，6b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A 、30B 、90C 、45D 、1359、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若359,25S S ==，则7S =（ ）A 、41B 、48C 、49D 、5610、定义在R 上的奇函数()f x 和定义在{}0x x ≠上的偶函数()g x 分别满足21(01)()1(1)x x f x x x⎧-≤<⎪=⎨≥⎪⎩，()g x =2log (0)x x >，若存在实数a ，使得()()f a g b =成立，则实数b 的取值范围是( )A 、[]2,2-B 、11[2,][,2]22--⋃ C 、11[,0)(0,]22-⋃ D 、(][),22,-∞-⋃+∞二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． (一)必做题（11～13题）11、已知C ∆AB 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a =，135∠B =，C 4S ∆AB =，则b = ．12、阅读右面的程序框图.若使输出的结果不大于31，则输入的 整数i 的最大值为 ．13、若不等式141a x x+≥-对任意的()0,1x ∈恒成立，则a 的最 大值是 ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线sin ρθ=m 与圆4cos ρθ=相切于极轴上方， 则m = ． 15、（几何证明选讲选做题）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于B A ,的点，CD AB ⊥，垂足为D . 若2AD =，BC =O 的面积为 ．第15题图 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、122，且()02f =；求()2f C 的值．17、（本题满分12分）某体育杂志针对2014年巴西世界杯发起了一项调查活动，调查“各球队在世界杯的名次与该队历史上（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取45人，求n 的值，并求从持其他两种态度的人中应抽取的人数；（2）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率.18、（本题满分14分）如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥ CD ,CD AB 21=,BC AB ⊥,平面ABCD ⊥平面BCE ,BCE ∆为等边三角形，F M ,分别是BC BE ,的中点，DC DN 41=；(1)证明：EF ⊥AD ；(2)证明：MN ∥ 平面ADE ；(3)若1,2AB BC ==,求几何体ABCDE 的体积.19、（本题满分14分）已知各项均为正数的等差数列{}n a 满足：2141(*)n n a a n n N +=-∈，各项均为正数的等比数列{}n b 满足：123b b +=，34b =；（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足：nn na cb =，其前n 项和为n S ，证明16n S ≤<.20、（本题满分14分）已知抛物线C:22(0)x py p =>与直线1y x =-相切，且知点(0,1)F 和直线:1l y =-，若动点P 在抛物线C 上（除原点外），点P 处的切线记为m ，过点F 且与直线PF 垂直的直线记为n . (1)求抛物线C 的方程； （2）求证：直线,,l m n 相交于同一点. 21、（本题满分14分）已知函数()(2)x f x x e =-和3()2g x kx x =--（1）若函数()g x 在区间()1,2不单调，求k 的取值范围；（2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求k 的最大值.广东省2015届高三上学期8月第一次六校联考文科数学参考答案一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． (一)必做题（11～13题）11、 12、5 13、9 (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14、2 15、92π分 分分分………10分分17、解：（Ⅰ）由题意，得n30015010020045080045100800+++++=+100=∴n …………………………2分从持“无关系”态度的人中，应抽取100600302000⨯=人…………………………3分 从持“不知道”态度的人中，应抽取100500252000⨯=人…………………………4分（Ⅱ）设所选取的人中，有m 人在40岁以下，则5300200200m=+，解得m=2. ……6分就是40岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作,3,2,1;2,1B B B A A 则从中任取2人的所有基本事件为),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(32312121322212312111B B B B B B A A B A B A B A B A B A B A共10个……………………9分其中至少有1人在40岁以下的基本事件为),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(21322212312111A A B A B A B A B A B A B A 共7个 …………………11分记事件“选取2人中至少一人在40岁以下”为A ,则7()10P A = 所以选取2人中至少一人在40岁以下的概率为710………………………12分 18、(1)证明：BCE ∆为等边三角形，F 是BC 的中点∴EF BC ⊥ ………………Z ………………………………………………1分 又因为平面ABCD ⊥平面BCE ，交线为BC ,EF ⊂平面BCE根据面面垂直的性质定理得 EF ⊥平面ABCD ; ………………………3分又AD ⊂平面ABCD∴ EF ⊥AD ………………………………………………………………4分(2)证明：取AE 中点G ，连接,MG DG,A G G E B M M E==∴GM ∥AB ,且12GM AB = ………………6分AB ∥CD AB CD 21,=,14DN DC = ∴DN ∥AB ,且12DN AB = ………………8分 ∴四边形DGMN 是平行四边形 ∴DG ∥ MN ………………9分 又DG ⊂平面ADE ，MN ⊄平面ADE ∴MN ∥ 平面ADE ………………10分(3)解：依题，直角梯形ABCD 中，AB ∥ 2,2,1,,===⊥BC CD AB BC AB CD 则直角梯形ABCD 的面积为11()(12)2322ABCD S AB CD BC =+⨯=+⨯=梯形 ……12分 由（1）可知EF ⊥平面ABCD ，EF 是四棱锥E ABCD -的高在等边BCE ∆中，由边长2BC =,得02sin60EF =⨯ ………13分 故几何体ABCDE 的体积为11333E ABCD ABCD V S EF -=⋅⋅=⨯梯形 ………14分19、解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有110,0,0,0a b d q >>>>121123111211231()3()(2)1534a a a a d a a a d a d b b b b q b b q =+=⎧⎪=++=⎪⎨+=+=⎪⎪==⎩解得111,1a b ==,2d =，2q =．…………………………4分所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q--==．…………………………6分（2）1212n n n n a n c b --==．…………………………7分 122135232112222n n n n n S ----=+++++，①3252321223222n n n n n S ----=+++++，②②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-，221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-6<…………………………11分又因为112102n n n n n S S c ----==>，所以1n n S S ->，所以11n S S ≥=…………………13分综上 16n S ≤< 得证. …………………14分20、（1）解：联立221x pyy x ⎧=⎨=-⎩消去y 得 2220x p x p -+=因为抛物线C 与直线1y x =-相切，所以2480p p ∆=-= ………3分 解得0p =（舍）或2p = ………4分所以抛物线的方程为24x y = …………………5分（2）证明：由24x y =得214y x =，求导有12y x '= ………………6分 设00(,)P x y ，依题其中00x ≠，则P 处的切线方程为：0001()2y y x x x -=-20014y x = ∴切线方程:m 2001124y x x x =- …………………8分与直线:1l y =-联立得：20042x x x -=，即直线,l m 相交于2004(,1)2x x -- …………9分直线PF 的斜率为20000144y x k x x --==因为n 与直线PF 垂直，所以020414n x k k x =-=-- …………………11分因为n 过点F ，所以n 的方程为020414xy x x =-+- …………………12分与直线:1l y =-联立得：20042x x x -=，即直线,l n 也相交于2004(,1)2x x -- ………13分故直线,,l m n 相交于于同一点. ………………14分21、解：（1）2()31g x kx '=- …………………1分①当0k ≤时，2()310g x kx '=-≤，所以()g x 在()1,2单调递减，不满足题意；………2分②当0k >时，()g x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，因为函数()g x 在区间()1,2不单调，所以12<，解得11123k << ………4分综上k 的取值范围是11123k <<. …………………5分 （2）令3()()()(2)2x h x f x g x x e kx x =-=--++依题可知3()(2)20x h x x e kx x =--++≥在[)0,+∞上恒成立 …………………6分2()(1)31x h x x e kx '=--+，令()x ϕ=2()(1)31x h x x e kx '=--+，有(0)(0)0h ϕ'==且()(6)x x x e k ϕ'=- …………………7分 ①当61,k ≤即16k ≤时， 因为0,1x x e ≥≥，所以()(6)0x x x e k ϕ'=-≥所以函数()x ϕ即()h x '在[)0,+∞上单调递增，又由(0)(0)0h ϕ'== 故当[)0,x ∈+∞时，()(0)0h x h ''≥=，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增又因为(0)0h =，所以()0h x ≥在[)0,+∞上恒成立，满足题意；…………………10分 ②当61,k >即16k >时， 当()0,ln(6)x k ∈，()(6)0x x x e k ϕ'=-<，函数()x ϕ即()h x '单调递减， 又由(0)(0)0h ϕ'==，所以当()0,ln(6)x k ∈，()(0)0h x h ''<=所以()h x 在()0,ln(6)k 上单调递减，又因为(0)0h =，所以()0,ln(6)x k ∈时()0h x <， 这与题意()0h x ≥在[)0,+∞上恒成立相矛盾，故舍. …………………13分 综上16k ≤，即k 的最大值是16. …………………14分。

2015 届高考数学（文科）一轮总复习导数及其应用第三篇导数及其应用第 1 讲导数的观点及运算基础稳固题组( 建议用时： 40 分钟 )一、填空题1．(2014 ?深圳中学模拟 ) 曲线 y ＝x3 在原点处的切线方程为 ________．分析∵ y′＝ 3x2 ，∴＝ y′ |x ＝ 0＝ 0，∴曲线 y＝ x3 在原点处的切线方程为y＝ 0.答案y＝ 02 ．已知 f(x)＝xlnx，若f′ (x0)＝2，则x0＝________.分析f(x)的定义域为(0，＋∞ )，f′ (x)＝lnx＋1，由 f ′ (x0) ＝ 2，即 lnx0 ＋ 1＝ 2，解得 x0＝ e.答案 e3 ．(2014 ?辽宁五校联考 ) 曲线 y＝ 3lnx ＋x＋ 2 在点 P0 处的切线方程为 4x－ y－ 1＝ 0，则点 P0 的坐标是 ________．分析由题意知 y′＝ 3x＋1＝ 4，解得 x＝ 1，此时 4× 1 －y－ 1＝0，解得 y＝ 3，∴点 P0 的坐标是 (1,3) ．答案 (1,3)4 ．(2014 ?烟台期末 ) 设函数 f(x)＝xsinx＋cosx的图象在点 (t ，f(t))处切线的斜率为，则函数＝g(t)的部分图象为 ________．分析函数 f(x)的导函数为 f ′ (x) ＝(xsinx＋cosx)′＝xcosx ，即＝ g(t) ＝ tcost ，则函数 g(t) 为奇函数，图象对于原点对称，清除①，③ . 当 0＜ t ＜π 2 时， g(t) ＞ 0，因此清除④，选② .答案②5．曲线 y＝ sinxsinx ＋ cosx － 12 在点π 4， 0 处的切线的斜率为 ________．分析y′＝ cos2x ＋ sin2x sinx ＋ cosx2＝ 11＋sin2x ，故所求切线斜率＝＝12.答案126．(2013 ?广东卷 ) 若曲线 y＝ ax2 － lnx 在点 (1 ，a) 处的切线平行于 x 轴，则 a＝ ________.分析y′＝ 2ax－ 1x ，∴ y′ |x ＝ 1＝2a－ 1＝ 0，∴a＝12.7 答案12．已知 f(x)＝x2＋3xf′ (2)，则f′ (2)＝________. 分析由题意得 f ′ (x) ＝ 2x＋ 3f ′ (2) ，∴f ′ (2) ＝ 2× 2＋ 3f ′(2) ，∴ f ′ (2) ＝－ 2.答案－ 28 ．(2013 ?江西卷 ) 若曲线 y＝xα＋ 1( α∈ R)在点 (1,2) 处的切线经过坐标原点，则α＝ ________.分析y′＝α xα－ 1，∴斜率＝ y ′ |x ＝ 1＝α＝ 2－ 01－0＝ 2，∴α＝ 2.答案 2二、解答题9．求以下函数的导数：(1)y＝ex?lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝x－sinx2cosx2；(4)y＝(x＋1)1x－1.解(1)y ′＝ (ex ?lnx) ′＝ exlnx ＋ ex ?1x ＝ exlnx ＋1x.(2)∵ y＝ x3 ＋1＋ 1x2，∴ y ′＝ 3x2－ 2x3.(3)先使用三角公式进行化简，得y ＝x－ sinx2cosx2 ＝ x－ 12sinx ，∴ y′＝x－ 12sinx ′＝ x′－12(sinx) ′＝ 1－ 12cosx.(4)先化简， y ＝ x?1x－x＋ 1x － 1＝，∴y′＝ n＝－ 12x1＋ 1x.10 ．(2014 ?南通二模 )f(x)＝ax－1x，g(x)＝lnx，x＞0，a∈ R 是常数．(1)求曲线 y ＝ g(x) 在点 P(1 ， g(1)) 处的切线 l.(2)能否存在常数 a，使 l 也是曲线 y＝ f(x) 的一条切线．若存在，求 a 的值；若不存在，简要说明原因．解 (1) 由题意知， g(1) ＝ 0，又 g′(x) ＝ 1x， g′ (1)＝1，因此直线 l 的方程为 y＝ x－ 1.(2)设 y＝f(x) 在 x＝ x0 处的切线为 l ，则有ax0 － 1x0＝ x0－ 1， a＋1x20 ＝ 1，解得 x0＝ 2，a＝ 34，此时 f(2)＝1，即当 a＝34 时， l 是曲线 y＝ f(x)在点Q(2,1)的切线．能力提高题组( 建议用时： 25 分钟 )一、填空题1．(2014 ?盐城一模 ) 设 P 为曲线 c ：y＝ x2＋ 2x＋ 3 上的点，且曲线 c 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是0，π 4，则点 P 横坐标的取值范围是________．分析设 P(x0 ， y0) ，倾斜角为α，y′＝ 2x＋2，则＝tan α＝ 2x0＋ 2∈ [0,1]，解得x0∈－1，－12.答案－ 1，－ 122 ．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′ (x)，f2(x)＝f1′(x) ，， fn(x)＝f′ n－1(x)，n∈ N*，则f2013(x)＝________.分析f1(x) ＝ f0 ′ (x) ＝ cosx ， f2(x) ＝ f1 ′ (x) ＝－4 / 6sinx ，f3(x) ＝f2 ′(x) ＝－cosx ，f4(x) ＝f3 ′(x) ＝sinx ，，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2013(x)f1(x) ＝ cosx.答案cosx3 ．(2014 ?武汉中学月考) 已知曲线f(x) ＝ xn＋ 1(n ∈ N*)与直线 x＝ 1 交于点轴交点的横坐标为P，设曲线y＝ f(x)xn ，则log2013x1在点 P 处的切线与x＋ log2013x2 ＋＋log2013x2012 的值为________．分析 f ′ (x) ＝ (n ＋ 1)xn ，＝f ′(1) ＝ n＋1，点 P(1,1) 处的切线方程为y－ 1＝ (n ＋ 1)(x － 1) ，令 y＝ 0，得 x ＝ 1－ 1n＋ 1＝ nn＋1，即 xn＝ nn＋ 1，∴ x1 ?x2 ? ? x2012 ＝ 12 × 23 × 34 × × 20112012 ×20122013 ＝ 12013 ，则log2013x1＋log2013x2＋＋log2013x2012＝log2013(x1x2x2012) ＝－ 1.答案－ 1二、解答题4 ．设函数处的切线方程为f(x)＝ax－bx，曲线7x－ 4y－ 12＝ 0.y＝ f(x) 在点(2 ，f(2))(1)求 f(x) 的分析式；(2)证明：曲线 y＝ f(x) 上任一点处的切线与直线x＝ 0和直线 y＝ x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解方程 7x－4y－ 12＝0 可化为 y＝ 74x－3，当 x＝ 2 时， y＝ 12. 又 f ′(x) ＝ a＋ bx2，于是 2a－ b2＝12， a＋b4＝ 74，解得 a＝1， b＝ 3. 故 f(x)＝x－3x.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由 f ′ (x) ＝ 1＋ 3x2 知曲线在点 P(x0 ，y0) 处的切线方程为 y－ y0＝ 1＋ 3x20(x － x0) ，即 y－ (x0 － 3x0) ＝ 1＋3x20(x － x0) ．令 x＝0，得 y＝－ 6x0，进而得切线与直线x＝ 0 交点坐标为0，－ 6x0.令 y＝ x，得 y＝ x＝ 2x0，进而得切线与直线 y＝ x 的交点坐标为 (2x0,2x0) ．因此点 P(x0 ，y0) 处的切线与直线x＝0，y＝x 所围成的三角形面积为12－ 6x0|2x0| ＝ 6.故曲线y＝ f(x) 上任一点处的切线与直线x＝ 0 和直线y ＝ x 所围成的三角形面积为定值，此定值为 6.。

中山市华侨中学高三一模复习备考卷（一）参考公式：①均值定理：若a,b, c R ，则 a b c 33 abc ，当且仅当a b c 取等号。

一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分40 分．）．1．设集合A{ x | x2} ，若m ln e e（ e 为自然对数底），则()A ．A B. m A C. m A D. Ax x m2. 我们把复数a bi 叫做复数 z a bi a, b R的共轭复数，记作z ,若i是虚数单位，z 1 i，z为复数 z 的共轭复数，则z z z 1 ()A ． 2 1B． 2 3C．2 2 1D．2 2 13. 已知等差数列a n的公差为 2 ,若a1,a3, a4成等比数列,则 a2()A ．4B6C8D104．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图X12- 3 所示，则该几何体的侧视图为()A. 答案 AB. 答案 BC.答案 CD. 答案 D5. 给出下列命题，其中错误命题的个数为()（ 1）直线 a 与平面不平行，则 a 与平面内的所有直线都不平行；（ 2）直线 a 与平面不垂直，则 a 与平面内的所有直线都不垂直；（3）异面直线 a、 b 不垂直，则过 a 的任何平面与 b 都不垂直；（4）若直线 a 和 b 共面，直线 b 和 c 共面，则 a 和 c 共面A ． 1B 2C 3D 46．某小卖部销售一品牌饮料的零售价x(元/瓶 )与销量 y(瓶 )的关系统计如下：零售价 x(元 /瓶 ) 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0销量 y(瓶 )504443403528已知 x， y 的关系符合线性回归方程^ ^^^^－^ －．当单价为 4.2 元y＝ bx＋ a，其中 b＝－ 20， a＝ y－ b x时，估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为()A ． 20 B． 22 C． 24 D ．267.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ()A ． 140 种 B. 120 种 C. 35 种 D. 34 种8．已知函数 f(x)＝ ka x－ a－x(a＞0 且 a≠ 1)在 R 上是奇函数，且是增函数，则函数g(x) ＝log a(x －k)的大致图像是 ()A B C D二、填空题：（本大共 6 小题 ,每小题 5 分 ,共 30分 ,把答案填在答题卡的相应位置．）（一）必做题（9-13 题）9. 计算31)dx __________ .(3 x22x110. 不等式x1x 的解集是______________.11．从某小区抽取100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 到 350 度之间 ,频率分布直方图所示 .在这些用户中 ,用电量落在区间100,250内的户数为 _____________.12.若变量 满足约束条件 ，则 的最大值和最小值之和等于13.下列关于向量 a, b, c 的命题中，正确的有。