2013-浙江温州二模-理数

秘密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）模拟卷二 数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率(1)k kn k n n P C P P -=-（k=0，1，2，…，n ）球的表面积公式24R S π=，球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高棱台的体积公式11221()3V h S S S S =++，其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡指定区域内作答1．设集合A={x|1≤|x －1|≤2}，集合B ={x|0322≤-+x x }, 则C R A ∩（C R B ）=（） A ．（2，3）B ．[-3，3]C ．(]3,-∞-∪[)+∞,3D ．（－∞，－3）∪（3，+∞）2．已知i 是虚数单位，ai i-+131的共轭复数是－3i ，则实数a=（） A ．3 B ．－3 C ．31 D ．－313．设a ∈R ，则“a ＝－415”是“直线l ：ax+2y －1=0与圆C ：x 2+（y －a ）2=4相切”的（）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 4．把函数y=cos （2x －1）的图象向左平移21，再横向伸长2倍后可得函数（）A ．y=cos （x+2π）B ．y=sin （x+2π）C ．y=sinx D ．y=cos （x+23π）5．设a ，b 是两个非零向量， ①.若|a +b |=|a |+|b |，则a ∥b ②.若a ∥b ，则|a +b |=|a |+|b |③若|a +b |=|a |+|b |，则存在实数λ，使得b =λa ④若存在实数λ，使得b =λa ，则|a +b |=|a |+|b |则正确命题是（）A ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．②④6．从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其积为偶数，则不同的取法共有（）A ．65B ．66C ．121D ．917．若正数x ，y ，a 满足x+3y=axy ，且3x+4y 的最小值为25，则a 为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．F 1，F 2分别是双曲线C ：22a x －22by =1（a ，b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，若△OBM 的面积为△OBF 1的面积的三倍，则C 的离心率是（） A.23 B ．6C ．2D ．3 9．设实数a>1，b>1，①若lna+2a=lnb+3b ，则a ＞b ②若lna+2a=lnb+3b ，则a ＜b ③若lna －2a=lnb －3b ，则a ＞b ④若lna －2a=lnb －3b 则a ＜b 则下列命题成立的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③10．已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A.存在某个位置，使得直线AC 与平面ABD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与平面ACD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与平面ABC 垂直.D.对任意位置，三对直线与平面“AC 与平面ABD ”，“AB 与平面ACD ”，“AD 与平面ABC ”均不垂直第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题 ：本大题共7小题，每小题4分，共28分，请在答题卡指定区域内作答（第13题图）11．直角三角形△ABC 两直角边为AB=3和AC=2，△ABC 围绕AC 所在直线旋转到某一位置△AB 1C ，构成一个三棱锥C —ABB 1（单位：cm ），则该三棱锥的体积的最大值为________cm 3. 12．设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 若S 2=3a 2+2，S 4=3a 4+2，则d=_______13．如右上图，如果执行它的程序框图，输入正整数48==m n 、，那么输出的p 等于14．若将函数f （x ）=x 5表示为f （x ）=a 0＋a 1（1＋x ）＋a 2（1＋x ）2＋……＋a 5（1＋x ）5，其中a 0，a 1，a 2，…a 5为实数，则a 1+a 5=_________15．实数x ，y 满足平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+≥+-0,00201y x y x y x ，则覆盖此平面区域的最小圆的方程是______16．设函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f （x ）=x ＋1，则 f （0.5）+f （1.5）+f （2.5）+…+f （2013.5）=_____17．如图，AB 为单位圆的直径，E ，F 为半圆上点，弧BE 是弧的三分之一，若AB ·AF=1，则·的值是三、解答题 ：本大题共5小题，共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，请在答题卡指定区域内作答 18．(本小题满分14分)已知函数f （x ）=2asin 2x+2sinxcosx －a （a 为常数）在x=83π处取得最大值 （1）求a 值；（2）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间； （3）若f （θ）=51，0＜θ＜83π，求cos θ 19． (本小题满分14分)单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，CD 中点，平面A 1EF 交BB 1于M ，交DD 1于N（1）画出几何体A 1MEFN —ABEFD 的直观图与三视图； （2）设AC 中点为O ，在CC 上存在一点G ，使CG =λ1CC ，且OG ⊥平面A 1EF ，求λ；（3）求A 1C 与平面A 1EF 所成角的正弦值20． (本小题满分14分) 设单调递增等比数列{a n }满足a 1+a 2+a 3=7，且a 3是a 1，a 2+5的等差中项，（1）求数列{a n }的首项； （2）数列{c n }满足：对任意正整数n ，11a c +22a c +…+n n a c =22+12112--n n 均成立，求数列{c n }的通项FEADBC 1B1D 1A1BOEF21．(本小题满分15分) 已知椭圆C 的方程是12222=+by a x )0(>>b a .（1）如果椭圆C 左焦点为（－2，0），且经过点)2,2(--，求椭圆C 的方程（2）设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、两点，AB 的中点为M. 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上； 22．(本小题满分15分) 已知函数f(x)=21(x －1)2+lnx ，g(x)=kx －k ． （1）若23=k ，求函数F(x)=f(x)－g(x)的极值； （2）若对任意的)3,1(∈x ，都有f(x)＞g(x)成立，求k 的取值范围．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题1．已知i 是虚数单位，则(1i)(2i)-+-= （ ） A ．3i -+ B. 13i -+ C. 33i -+ D.1i -+ 【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】求两个复数相乘的结果 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】(-1+i)(2-i)=- 2+i+2i+1=-1+3i ，故选B.2．设集合2{|2},{|340}S x x T x x x =>-=+-…，则()S T =R ð （ ） A ．(2,1]- B.]4,(--∞ C.]1,(-∞ D.),1[+∞ 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】用描述法给出两个集合求补集的并. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】∵集合S ={x |x ＞-2}，∴S R ð={x |x …-2}，由2x +3x -4…0得：T={x |-4…x …1}，故(S R ð) T ={x |x …1}，故选C.3．已知y x ,为正实数，则 （ ）A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.lg()lg lg 222x y x y += C.lg lg lg lg 222x yx y =+ D.lg()lg lg 222xy x y = 【测量目标】指数幂运算.【考查方式】给出指数型的函数，化简函数. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】因为s ta+=s a ta ，lg(xy )=lg x +lg y (x ，y 为正实数)，所以()lg 2xy =lg +lg 2x y=lg 2xlg 2y ，满足上述两个公式，故选D.4．已知函数()cos()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ，则“)(x f 是奇函数”是π2ϕ=的（ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】三角函数的性质，三角函数的诱导公式.【考查方式】给出含参量的三角函数表达式，由函数是奇函数判断命题条件. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】若φ=π2，则f (x )=A cos(ωx +π2)⇒f (x )=-A sin(ωx )(A ＞0，ω＞0，x ∈R )是奇函数；若f (x )是奇函数⇒f (0)=0，∴f (0)=A cos(ω×0+φ)=A cos φ=0.∴φ=k π+π2，k ∈Z ，不一定有φ=π2，“f (x )是奇函数”是“φ=π2”必要不充分条件.故选B.5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 （ ）A.4=aB.5=aC. 6=aD.7=a第5题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图的输出值求输入的值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由已知可得该程序的功能是：计算并输出S =1+112⨯+…+1(1)a a +=1+1-11a +=2-11a +.若该程序运行后输出的值是95，则2-11a +=95.∴a =4，故选A.6．已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ，则=α2tan （ ） A.34 B. 43 C.43- D.34-【测量目标】二倍角，三角函数的诱导公式.【考查方式】给出正弦和余弦的方程求解二倍角的正切. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】∵sin α+2cos α，又2sin α+2cos α=1，联立解得sin cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故tan α=sin cos αα =13-或tan α=3，代入可得tan2α=22tan 1tan αα-=212()311()3⨯---=34-或tan2α=22tan 1tan αα-=22313⨯-=34-.故选C.7．设0,ABC P △是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC….则 （ ） A. 90ABC ∠= B. 90BAC ∠=C. AC AB =D.BC AC =【测量目标】平面向量的算量积运算，向量的坐标运算.【考查方式】在三角形中给出定点在三角形中的位置，求定点与各顶点所成向量数量积的大小.【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设AB =4，C (a ，b )，P (x ，0),则0BP =1，A (-2，0)，B (2，0)，0P (1，0),∴0P B =(1，0)，PB =(2-x ，0)，PC =(a -x ，b )，0PC =(a -1，b ),∵恒有PB PC ≥00P B PC ,∴(2-x )(a -x )≥a -1恒成立,整理可得2x - (a +2)x +a +1≥0恒成立,∴Δ=()22a +-4(a +1)≤0,即Δ=2a ≤0,∴a =0，即C 在AB 的垂直平分线上,∴AC =BC ,故△ABC 为等腰三角形,故选D.第7题图8．已知e 为自然对数的底数，设函数()(e 1)(1)(1,2)x k f x x k =--=，则 （ ） A ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值 B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】给出含未知量的函数表达式，判断函数何时取得极值. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】当k =2时，函数f (x )=(e x-1)2(1)x -.求导函数可得()f x '=e x 2(1)x -+2(e x -1)(x -1)=(x -1)(x e x +e x -2)，∴当x =1，()f x '=0，且当x ＞1时，()f x '＞0，当12＜x ＜1时，()f x '＜0，故函数f (x )在(1，+∞)上是增函数；在(12，1)上是减函数，从而函数f (x )在x =1取得极小值.对照选项.故选C.第8题图9．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是 （ ）第9题图A.2 B.3 C.23 D.26【测量目标】椭圆和双曲线的简单几何性质.【考查方式】椭圆和双曲线相交焦点和交点构成矩形，求双曲线的离心率. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】|1AF |=x ，|2AF |=y ，x y <∵点A 为椭圆1C ：24x +2y =1上的点，∴2a =4，b =1，c|1AF |+|2AF |=2a =4，即x +y =4①；又四边形12AF BF 为矩形，∴21AF +22AF =212F F ，即2x +2y =()22c=(2=12②，由①②得：22412x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得x =2-y2x y ==-，设双曲线2C 的实轴长为12a ，焦距为12c ，则12a =|2AF |-|1AF |=y -x12c=2C 的离心率e =11c a故选D. 10．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记π()B f A =.设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =，则（ ） A ．平面α与平面β垂直 B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45C. 平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60【测量目标】空间中点、线、面之间的位置关系，二面角. 【考查方式】给出两个平面判断面面之间的位置关系. 【难易程度】较难 【参考答案】A【试题解析】设1P =()f P α，则根据题意，得点1P 是过点P 作平面α垂线的垂足,∵1Q =()[]f f P βα=1()f P β，∴点1Q 是过点1P 作平面β垂线的垂足,同理，若2P =()f P β，得点2P 是过点P 作平面β垂线的垂足,因此2Q =()[]f f P αβ表示点2Q 是过点2P 作平面α垂线的垂足,∵对任意的点P ，恒有1PQ =2PQ ，∴点1Q 与2Q 重合于同一点,由此可得，四边形112PPQ P 为矩形，且∠112PQ P 是二面角α﹣l ﹣β的平面角,∵∠112PQ P 是直角，∴平面α与平面β垂直,故选A.第10 题图二、填空题 11．设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ，则=A ________. 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出含根式的二项式，求解展开式中常数项的系数. 【难易程度】容易 【参考答案】-10【试题解析】二项式5的展开式的通项公式为 1r T +=5325C (1)rr r rx x --- =15565(1)C r rr x-- .令1556r-=0，解得r =3，故展开式的常数项为-35C =-10.故答案为-10.12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________3cm .第12题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积和体积. 【考查方式】给出几何体的三视图，求几何体的体积. 【难易程度】中等 【参考答案】24【试题解析】几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，棱柱的高为5，被截取的棱锥的高为3.如图：V =V 棱柱-V 三棱锥=12×3×4×5-13×12×3×4×3=24(3cm ),故答案为：24.第12题图13．设y kx z +=，其中实数y x ,满足20240240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩………，若z 的最大值为12，则实数=k ________.【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出可行域的不等式和目标函数的最大值，求目标函数中未知数的值. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】可行域如图：由24=024=0x y x y -+⎧⎨--⎩得：A (4，4)，同样地，得B (0，2)，（步骤1）①当k ＞-12时，目标函数z =kx +y 在x =4，y =4时取最大值，即直线z =kx +y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12=4k +4，故k =2. （步骤2） ②当k ≤-12时，目标函数z =kx +y 在x =0，y =2时取最大值，即直线z =kx +y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12=0×k +2，故k 不存在.综上，k =2.故答案为：2. （步骤3）第13题图14．将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答） 【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】给出六个字母和限定条件求排法的种数. 【难易程度】中等 【参考答案】480【试题解析】按C 的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可. （步骤1）当C 在左边第1个位置时，有55A =120种，当C 在左边第2个位置时2343A A =72种，（步骤2）当C 在左边第3个位置时，有2333A A +2323A A =48种，共为240种，乘以2，得480.则不同的排法共有 480种.故答案为：480. （步骤3）15．设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,，点Q为线段AB 的中点，若2||=FQ ，则直线l 的斜率等于________. 【测量目标】直线与抛物线的位置关系.【考查方式】给出抛物线方程和直线过的定点和直线与抛物线交线的长度求直线斜率. 【难易程度】较难 【参考答案】不存在【试题解析】由题意设直线l 的方程为my =x +1，联立214my x y x=+⎧⎨=⎩得到2y -4my +4=0，（步骤1）Δ=162m -16=16(2m -1)＞0.设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，Q (0x ，0y ).∴1y +2y =4m ，∴0y =122y y +=2m ，（步骤2）∴0x =m 0y -1=22m -1.∴Q (22m -1，2m )，（步骤3）由抛物线C ：2y =4x 得焦点F (1，0).∵|QF |=2=2，化为2m =1，解得m =±1，不满足Δ＞0.故满足条件的直线l 不存在. （步骤4）故答案为不存在. 16.ABC △中，90C ∠= ,M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________. 【测量目标】正弦定理和余弦定理解三角形.【考查方式】直角三角形中直角边的中点，求三角形中角的正弦值. 【难易程度】较难【参考答案】3【试题解析】如图,设AC =b ，AB =c ，CM =MB =2a，∠MAC =β，在△ABM 中，由正弦定理可得2sin sin ac BAM AMB=∠∠，代入数据可得21sin 3a c AMB =∠，解得2sin 3c AMB a ∠=，（步骤1）故πcos cos 2AMC β⎛⎫=-∠ ⎪⎝⎭=sin AMC ∠=()2sin πsin 3c AMB AMB a -∠=∠=，而在Rt △ACM 中，cos β=AC AM =23ca =，化简可得a 4-4a 2b 2+4b 4=(a 2-2b 2)=0，解之可得a，（步骤2）再由勾股定理可得a 2+b 2=c 2，联立可得c，故在Rt △ABC 中，sin ∠BAC=BC a AB c ===骤3）第16题图17．设12,e e 为单位向量，非零向量12x y +b =e e ，,x y ∈R ，若12,e e 的夹角为π6，则||||x b 的最大值等于________.【测量目标】向量模的计算，向量的数量积，不等式性质. 【考查方式】给出单位向量和非零向量，求向量模的比值. 【难易程度】较难 【参考答案】2【试题解析】∵12,e e 为单位向量，1e 和2e 的夹角等于30°，（步骤1）∴12 e e =1×1×cos30°=2.∵非零向量12x y +b =e e ，（步骤2）∴===b （步骤3）∴x====b故当x y=x b取得最大值为2，故答案为 2. （步骤4） 三、解答题18．在公差为d 的等差数列}{n a 中，已知101=a ，且3215,22,a a a +成等比数列.（1）求n a d ,； （2）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++【测量目标】等差数列的通项公式和.【考查方式】给出等比数列的首相和三项成等比数列，求通项公式，和前n 项绝对值和. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）由已知得到：22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或；（步骤1）（Ⅱ）由（1）知，当0d <时，11n a n =-， ①当111n剟时，123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--∴++++=++++==…（步骤2）②当12n …时，1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)2ln 2202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n a a a a a a a a ∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=…所以，综上所述：1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧⎪⎪++++=⎨-+⎪⎪⎩ 剟…；（步骤3）19．设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分.（1）当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ，求.::c b a 【测量目标】随机事件与概率，期望和方差.【考查方式】有放回取样的分布列和已知期望和方差求个数比. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时2ξ=，此时331(2)664P ξ⨯===⨯；（步骤1）当两次摸到的球分别是黄黄，红蓝，蓝红时4ξ=，此时2231135(4)66666618P ξ⨯⨯⨯==++=⨯⨯⨯；（步骤2）当两次摸到的球分别是红黄，黄红时(3)P ξ=，此时32231(3)66663P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；（步骤3）当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时(5)P ξ=，此时12211(5)66669P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；（步骤4）当两次摸到的球分别是蓝蓝时P (6ξ=)，此时111(6)P ξ⨯===；（步骤5）所以ξ的分布列是： 9所以：2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b ca b c D a b c a b c a b c ηη⎧==++⎪⎪++++++⎨⎪==-⨯+-⨯+-⨯⎪++++++⎩，所以2,3::3:2:1b c a c a b c ==∴=.（步骤6）20．如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=.（1）证明：//PQ 平面BCD ；（2）若二面角D BM C --的大小为60，求BDC ∠的大小.第20题图【测量目标】空间直线与平面的位置关系，异面直线成角.【考查方式】给出四面体和直线间的位置和长度关系求解二面角大大小. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）方法一：如图，取MD 的中点F ，且M 是AD 中点，所以3AF FD =.因为P 是BM 中点，所以PF BD ；（步骤1）又因为3AQ QC =且3AF FD =，所以QF CD ，所以面PQF 面BDC ，且PQ ⊂面PQF ，所以PQ 面BDC ；（步骤2）第20题图方法二：如图所示，第20题图取BD 中点O ，且P 是BM 中点，所以12PO MD ；取CD 的三等分点H ，使3DH C H =，且3AQ QC =，所以1142QH AD MD，（步骤1）所以PO QH 四边形PQHO 是平行四边形PQ OH ∴ ，且OH BCD ⊂面，所以PQ 面BDC ；（步骤2） （Ⅱ）如图所示，第20题图由已知得到面ADB ⊥面BDC ，过C 作CG BD ⊥于G ，所以CG BMD ⊥面，过G 作GH BM ⊥于H ，连结CH ，所以CHG ∠就是C BM D --的二面角；（步骤3）由已知得到3BM ==，设BDC α∠=，所以cos ,sin ,sin ,,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒===，在Rt BCG △中，2s i ns i n BG BCG BG BCααα∠=∴=∴=，（步骤4）所以在Rt BHG △中，13HG =∴=，所以在Rt CHG △中tan tan 603CG CHG HG ∠==== （步骤5）tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠= ；（步骤6）21．如图，点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点，1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .（1）求椭圆1C 的方程； （2）求ABD △面积取最大值时直线1l 的方程.第21题图【测量目标】直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系.【考查方式】给出定点和圆的方程，由直线与椭圆、圆的位置关系求椭圆方程和直线方程. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得到1b =，且242a a =∴=，所以椭圆的方程是2214x y +=；（步骤1）（Ⅱ）因为直线12l l ⊥，且都过点(0,1)P -，所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=，直线21:10l yx x k y k k=--⇒++=，所以圆心(0,0)到直线1:110l yk x k x y =-⇒--=的距离为d =，（步骤2）所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==；（步骤3）由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，（步骤4） 所以228||44D P k x x DP k k +=-∴==++，（步骤5）所以11||||22444313ABDS AB DP k k k ====++++△23232===…（步骤6）当2522k k =⇒=⇒=±时等号成立，此时直线1:1l y x =-（步骤7） 22．已知a ∈R ，函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f（1）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值. 【测量目标】利用导数求函数的最值问题.【考查方式】给出含有未知量的函数求函数的最大值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得：2()363(1)33f x x x a f a ''=-+∴=-，且(1)13333f a a =-++-=，所以所求切线方程为：1(33)(1)y a x -=--，即为：3(1)430a x y a --+-=；（步骤1）（Ⅱ）由已知得到：2()3633[(2)]f x x x a x x a '=-+=-+，其中44a ∆=-，当[0,2]x ∈时，(2)0x x -…，（步骤2）（1）当0a …时，()0f x '…，所以()f x 在[0,2]x ∈上递减，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤3）因为max (0)3(1),(2)31(2)0(0)|()|(0)33f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；（步骤4） （2）当440a ∆=-…，即1a …时，()0f x '…恒成立，所以()f x 在[0,2]x ∈上递增，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤5）因为max (0)3(1),(2)31(0)0(2)|()|(2)31f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；（步骤6） （3）当440a ∆=->，即01a <<时，212()363011f x x x a x x '=-+=∴==+，且1202x x <<<，即所以12()12(1()12(1f x a f x a =+-=--，且31212()()20,()()14(1)0,f x f x f x f x a ∴+=>=--<12()()4(1f x f x a -=-，所以12()|()|f x f x >，（步骤7）所以max 1|()|max{(0),(2),()}f x f f f x =；（步骤8） 由2(0)(2)3331003f f a a a -=--+>∴<<，所以 （ⅰ）当203a <<时，(0)(2)f f >，所以(,1][,)x a ∈-∞+∞ 时，()y f x =递增，(1,)x a ∈时，()y f x =递减，所以max 1|()|max{(0),()}f x f f x =，（步骤9）因为21()(0)12(1332(1(23f x f a a a a -=+-+=--=，又因为203a <<，所以230,340a a ->->，所以1()(0)0f x f ->，所以m a x 1|()|()12(1f x f x a ==+-10）（ⅱ）当213a <…时，(2)0,(0)0f f ><，所以max 1|()|max{(2),()}f x f f x =，因为21()(2)12(1312(1(32)f x f a a a a -=+-+=--=，此时320a ->，当213a <<时，34a -是大于零还是小于零不确定，所以 ① 当2334a <<时，340a->，所以1()|(2)|f x f >，所以此时max 1|()|()12(1f x f x a ==+-（步骤11） ② 当314a <…时，340a-<，所以1()|(2)|f x f …，所以此时m a x|()|(2)31f x f a ==-（步骤12）综上所述：max 33,(0)3|()|12(1)4331,()4a a f x a a a a ⎧-⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-⎩…….（步骤13）。

BA（第7题）浙江省温州市2012-2013学年第二学期阶段学业测试九年级数学试卷2013.5一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分）1．－2的相反数等于 （ ） A ．－2 B ．2 C ． 21- D ．212．下列图形中，为轴对称图形的是 （ ）3．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是 （ ）Ａ．正方体 B ．圆柱 C ．球 D ．圆锥4．若a ＞－3，下列不等式不一定成立的是（ ）A ．a+3＞0B ．－a ＜3C ．a+b ＞b-3D ．a ＞95．抛物线y = －12（x+1）2+3的顶点坐标（ ） A ．（1，3） B ．（1，-3） C ．（-1，3） D ．（-1，-3）6．如图，A 、B、C 是⊙O 上的三点，∠BAC=45°， （第6题）则∠BOC 的大小是（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．22.5°7.如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ）A ．sin A =B ．1tan 2A =C ．cos B =D ．tan B =8.一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm 2，那么这个扇形的半径是（ ） A ．3cm Ｂ．3cm Ｃ．6cm Ｄ．9cm9．如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的AB CO主视图左视图 俯视图虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”， 则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．2B ．4C ．8D ．10 10．若⊙O 1和⊙O 2相切，且两圆的圆心距为9，则两圆的半径不可能．．．是（ ） A ．4和5 B ．10和1 C ．7和9 D ．9和18二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．因式分解：x －6x+9= ．12．右图是由8块相同的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形地面示意图，一只蚂蚁在上面自由爬动，并随机停留在某块瓷砖 上，则蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是 ． 13．如图，点P 是半径为5的⊙O 内的一点，且OP ＝3，设AB 是过点P 的 ⊙O 内的弦，且AB ⊥OP ，则弦 AB 长是________．14．小明用一个半径为36cm 的扇形纸板，制作一个圆锥的玩具帽，已知帽子的底面径r 为9cm,则这块扇形纸板的面积为 ． （第13题）15．如图，A 、B 是反比例函数y ＝2x 的图象上的两点．AC 、BD都垂直于x 轴，垂足分别为C 、D ，AB 的延长线交x 轴于点 E ．若C 、D 的坐标分别为(1，0)、(4，0)，则ΔBDE 的面积 与ΔACE 的面积的比值是__________．16．如图1，正方形每条边上放置相同数目的小球，设一条边上的小球数为n ，请用含n 的代数式表示正方形边上的所有小球 数 ；将正方形改为立方体，如图2，每条边上同样 放置相同数目的小球， 设一条边上的小球数仍为n ，请用含 n 的代数式表示立方体上的所有小球数 ．三、解答题（本题有8小题，第17、20、21、22题每题10分，第18题6分，第19题8分，第23题12分,第24题14分，共80分）17.（本题10分）（1）计算：30(2)2tan 451)-+-(2))3(331---x x x18．（本题6分）如图，点B 在AE 上，∠CAB=∠DAB ，要使△ABC ≌△ABD ， 可补充的一个条件是： （写一个即可），并说明理由．第15题图19．(本题8分)我市某社区创建学习型社区,要调查社区居民双休日的学习状况，采用下列调查方式：①从一幢高层住宅楼中选取200名居民；②从不同住宅楼中随机选取200名居民；③选取社区内200名在校学生。

BC A（第7题）浙江省温州市2012-2013学年第二学期阶段学业测试九年级数学试卷2013.5一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分）1．－2的相反数等于 （ ） A ．－2 B ．2 C ． 21- D ．212．下列图形中，为轴对称图形的是 （ ）3．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是 （ ）Ａ．正方体 B ．圆柱 C ．球 D ．圆锥4．若a ＞－3，下列不等式不一定成立的是（ ）A ．a+3＞0B ．－a ＜3C ．a+b ＞b-3D ．a ＞9 5．抛物线y = －12（x+1）2+3的顶点坐标（ ） A ．（1，3） B ．（1，-3） C ．（-1，3） D ．（-1，-3）6．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠BAC=45°， （第6题） 则∠BOC 的大小是（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．22.5°7.如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ．3sin 2A =B ．1tan 2A = C ．3cos 2B = D ．tan 3B = 8.一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm 2，那么这个扇形的半径是（ ）ABCO主视图左视图 俯视图A ．3cm Ｂ．3cm Ｃ．6cm Ｄ．9cm9．如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的 虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”， 则图中阴影部分的面积是（ ）． A ．2 B ．4 C ．8 D ．1010．若⊙O 1和⊙O 2相切，且两圆的圆心距为9，则两圆的半径不可能．．．是（ ） A ．4和5 B ．10和1 C ．7和9 D ．9和18 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．因式分解：x －6x+9= ．12．右图是由8块相同的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形地面示意图，一只蚂蚁在上面自由爬动，并随机停留在某块瓷砖 上，则蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是 ． 13．如图，点P 是半径为5的⊙O 内的一点，且OP ＝3，设AB 是过点P 的 ⊙O 内的弦，且AB ⊥OP ，则弦 AB 长是________．14．小明用一个半径为36cm 的扇形纸板，制作一个圆锥的玩具帽，已知帽子的底面径r 为9cm,则这块扇形纸板的面积为 ． （第13题） 15．如图，A 、B 是反比例函数y ＝2x的图象上的两点．AC 、BD都垂直于x 轴，垂足分别为C 、D ，AB 的延长线交x 轴于点 E ．若C 、D 的坐标分别为(1，0)、(4，0)，则ΔBDE 的面积 与ΔACE 的面积的比值是__________．16．如图1，正方形每条边上放置相同数目的小球，设一条边上的小球数为n ，请用含n 的代数式表示正方形边上的所有小球 数 ；将正方形改为立方体，如图2，每条边上同样 放置相同数目的小球， 设一条边上的小球数仍为n ，请用含 n 的代数式表示立方体上的所有小球数 ．第15题图三、解答题（本题有8小题，第17、20、21、22题每题10分，第18题6分，第19题8分，第23题12分,第24题14分，共80分）17.（本题10分）（1）计算：30(2)2tan 45(21)-+--(2) )3(331---x x x18．（本题6分）如图，点B 在AE 上，∠CAB=∠DAB ，要使△ABC ≌△ABD ， 可补充的一个条件是： （写一个即可），并说明理由．19．(本题8分)我市某社区创建学习型社区,要调查社区居民双休日的学习状况，采用下列调查方式： ①从一幢高层住宅楼中选取200名居民；②从不同住宅楼中随机选取200名居民；③选取社区内200名在校学生。

2013年温州市高三第二次适应性测试数学（文科）试题参考答案 2013.4一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．1 12．213．8 14．4915．61.5 16．9 17．4 三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．解：（I）由正弦定理得：sin (cos )sin A C C B += ………………………3分又 sin sin()B A C =+sin cos sin A C A C =…………………………5分sin 0C ≠Q故tan A =，6A π= …………………………7分（II ）根据题意得2221sin 22cos bc A b c bc A a ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩…………………………11分 把,16A a π==代入解得：2b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或2b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ………………………………14分19．（I ）证明：∵31,,4n n a S 成等差数列 ∴312n n a S =+，…………………………………………………………………2分11312n n a S --=+(2)n ≥ ∴13322n n n a a a --= ∴13n n a a -=(2)n ≥又12a = ∴数列{}n a 是一个首项为2公比为3的等比数列…………………6分 ∴1*23()n n a n N -=⋅∈ …………………………………………………………7分 （II ）解：∵1*23()n n na n n N -=⋅∈∴221243632(1)323n n n T n n --=+⋅+⋅++-⋅+⋅L ① 23132343632(1)323n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ② ………10分①-②得：212(13)222323232323312313n n nn n n n T n n n ---=+⋅+⋅++⋅-⋅=-⋅=--⋅-L∴(21)312n n n T -⋅+= …………………………………………………14分20．（I ）证明：∵DF EF == 4ED =∴90EFD ∠=o，即DF EF ⊥…………3分又∵'DF B F ⊥ 'EF B F F =I∴''DF A EFB ⊥ ∴DF ⊆平面CDEF ∴平面''A EFB ⊥平面CDEF ……6分 （II ）解：过'B 作'B H EF ⊥于H由（I ）可知平面''A EFB ⊥平面CDEF 又∵平面''A EFB I 平面CDEF EF = ∴'B H ⊥平面CDEF …………8分∴'B H CF ⊥过H 作HK ⊥CF ，交CF 延长线于点K ，连结'B K ∴CF ⊥平面'B HK ∴'CF B K ⊥∴'B KH ∠为二面角'B FC E --的平面角…………………………………………11分∵'3B F =，'45B FE ∠=o，'90B HF ∠=o∴'B H HF ==又∵45EFK ∠=o ，90HKF ∠=o∴32HK =…………………………………13分∴'tan 'B HB KH HK∠==即二面角'B FC E --．………………………………………………14分 21．解：（I ）由条件得2()0f x ax x '=-≤在0x >上恒成立，即1a x≤在0x >上恒成立， ∴0a ≤ ………………………………………………………………………5分（II ）问题等价于32111ln 0326ax x x ---≥恒成立…….(*)， 设32111()ln 326g x ax x x =---， 则：32211()(0)ax x g x ax x x x x--'=--=> 令32()1(0)h x ax x x =-->则：2()32(32)(0)h x ax x x ax x '=-=->o 1当0a ≤时，则()0h x '<恒成立，从而()0h x x >在上递减又(1)20h a =-<， 则不符合(*).o 2当0a >时，2()03h x x a '>⇔>，2()003h x x a'<⇔<<， ∴min 3222844()()110327927h x h a a a a a==⋅--=--< 又当x →+∞时，()h x →+∞故在0x >上()h x 必有零点，记为m ，即32()10h m am m =--= 此时，()g x 在(0,)m 上递减，在(,)m +∞上递增∴3222min 2111111()()ln (1)ln 3263261(1)ln 6g x g m am m m m m m m m ==---=+---=--由(*)得21(1)ln 06m m --≥ …………………………………10分 而21()(1)ln 6r m m m =--是m 的减函数，且(1)0r = ∴01m <≤∴2331112m a m m m +==+≥∴min 2a =综上所述：min 2a =. ………………………………………………………15分解法二：问题等价于23316ln 2x xa x++≥恒成立 设23316ln ()2x xg x x ++=，则：3222646(6)2(316ln )63(16ln )()42x x x x x x x x g x x x +⋅-++⋅--+'==……10分设2()16ln h x x x =-+，则()h x 是增函数，且(1)0h =∴()0()01g x h x x '<⇔>⇔>，()0()001g x h x x '>⇔<⇔<< ∴max ()(1)2g x g == 故2a ≥，因此min 2a =. (15)分22．解：（I ）设切点200(,)A x x ，切线斜率02k x =，0022,1x x ∴==∴(1,1)A ,切线m 的方程为21y x =- ……..3分（II ）设(,)P s t ，切点211(,)B x x ，212(,)C x x∵2y x '=，∴切线PB ，PC 的方程分别是2112y x x x =-，2222y x x x =-联立方程组21122222y x x x y x x x ⎧=-⎨=-⎩得交点1212(,)2x x P x x +，即12122x x s t x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∵点P 在直线:22l y x =-上，即22t s =-，22s t -= ………………………7分 又∵直线BC 的方程为1212()2y x x x x x sx t =+-=-∴点(1,1)A 到直线BC 的距离d ==又由22y sx t y x=-⎧⎨=⎩得220x sx t -+=∴12|||BC x x =- ∴1211||||22ABC S BC d x x ∆==- ………………………………………11分 又由联立方程组211221y x x x y x ⎧=-⎨=-⎩得交点111(,)2x E x +，同理可得交点221(,)2x F x +∴12|||EF x x =-∴||ABC S EF ∆= ……………………………………………………………………15分。

浙江省温州市第22中学2013届理科一模预测试题二 数 学1．复数z 满足(1)2z i i -=，则复数Z 的实部与虚部之和为（ ）A ．2-B ．2C ．1D ．02.已知集合11{|()}24x A x =>，2{|log (1)2}B x x =-<，则A B ⋂等于A ．（-∞，5）B ．（-∞，2）C ．（1，2）D ． ()2,53. 以M (－4,3)为圆心r 为半径的圆与直线2x +y －5=0相离的充要条件是( )A ．0＜r ＜2B ．0＜r ＜5 C ．0＜r ＜25D ．0＜r ＜104.已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ） A ．2()2ln f x x x =- B ． 2()ln f x x x =-C ． ()||2ln f x x x =-D ．()||ln f x x x =-5.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是（ ）A ．（13，23） B.［13，23） C.（12，23） D.［12，23） 6．一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm ），则此几何体的体积是（ ）A ．32243cm B ．1123cm C ．963cm D ．2243cm 7．若变量x ，y 满足约束条件1,,236,x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则2z x y =+的最小值为（ ）A ．185 B ．103C ．3D ．1 8．已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时,()f x 取得最大值,则( )A.()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B.()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C.()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D.()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数9.如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | :| AF 2|＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为 ( )xy OA BFF 2 (第9题图)ABC ．2 D10、对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设'()f x 是函数()y f x =的导数，()f x ''是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”。

浙江省名校新高考研究联盟2013届第二次联考数学(理科)试题卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-=L ．球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径．柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．台体的体积公式121()3V h S S =，其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高．第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若i 是虚数单位，1ii(,R)1ia b a b -=+∈+，则b a +的值是 （ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2-2．已知}2|{<=x x P ，Q=}|{a x x <,若“x P ∈”是“x Q ∈”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 （ ）A ．(]2,∞-B ．()2,∞-C ．),2[+∞D ． ()+∞,23．函数πsin()(0,0,,R)2y A x A x ωϕωϕ=+>><∈的部分图象如图所示，则函数表达式为A ．ππ2sin()36y x =- B ．ππ2sin()63y x =- （ ） C ．ππ2sin()36y x =+ D ．ππ2sin()63y x =+4．的展开式中含x 的正整数．．．指数幂的项数为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．66．已知命题：“若,x y y ⊥∥z ,则x z ⊥”成立，则下列情况不．恒．成立．．的是 （ ） A ．z y x ,,都是直线 B ．z y x ,,都是平面 C ．,x y 是直线,z 是平面 D ．,x z 是平面,y 是直线7．若实数x ,y 满足不等式组ln ,2360,240y x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则x y 2+的最大值是（ ） A ．32B ．2C ．e 2D ．e 、 8.双曲线)0,0(1:22221>>=-b a b y a x C 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，抛物线:2C )0(22>=p px y 的焦点为2F ，设1C 与2C 的一个交点为P ，c a PF 22||1+=，则双曲线1C 的离心率是（ ） A ．222+ B ．2 C ．21+ D ．29．给四面体ABCD 的六条棱分别涂上红，黄，蓝，绿四种颜色中的一种，使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同，则不同的涂色方法共有 ( )A ．96B ．144 C. 240 D. 360第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分．） 11．一几何体的三视图如右图所示，则它的体积为 ▲ . 12．已知函数,0,1,0,1)(⎩⎨⎧>+≤+-=x x x x x f 则不等式4)()(<-+x f x f的解集是 ▲13．A 盒子里装有3个大小形状完全相同的小球，分别标有数字1，2，3；B 盒子里也有3个大小形状完全相同的小球，分别标有数字2，3，4. 现分别从A,B 两盒子里各任取一个球，记所得的两个数字之差的绝对值为ξ，则ξE = ▲ .(第11题)俯视图侧(左)视图正视图22三、解答题：（本大题共5小题，共72分．写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足：C B C C B B cos cos 4)cos 3)(sin cos 3(sin =--． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若,43,1,sin sin ===∆ABC S a C p B 求p 的值.19．(本题满分14分) 已知等比数列}{n a 的各项均为正数，满足：21=a ，62234a a a =.设n n a a a b 222log log log +++=Λ，*N n ∈.(Ⅰ) n 项和n T ；（Ⅱ）求使n n T n ka )1(+≥对任意正整数n 恒成立的实数k 的取值范围．20．(本题满分15分) 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点，ABCE 为菱形， 0120=∠BAD ，PA AB =，F 是线段BP 的中点，)10(<<=λλ. （Ⅰ）当21=λ时，证明：FG ∥平面PDC ； （Ⅱ）是否存在λ，使得二面角G PB A --的平面角的余弦值为1133？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.22．(本题满分14分) 已知函数x x a b ax x f 3)23(31)(23+--+=，其中0>a ，R b ∈. （Ⅰ）当3-=b 时，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当3=a ,且0<b 时，（i ）若)(x f 有两个极值点1x ，2x （21x x <），求证：1)(1<x f ；（ii ）若对任意的],0[t x ∈，都有16)(1≤≤-x f 成立，求正实数t 的最大值.林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理。

2013年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i 是虚数单位，则1+i i+i 1+i=( )A −12+32i B 12−32i C 32+12i D 32−12i2. 已知集合A ={k ∈Z|sin(kπ−θ)=sinθ,θ∈(0,π2)}，B ={k ∈Z|cos(kπ+θ)=cosθ,θ∈(0, π2)}．则(∁Z A)∩B =( )A {k|k =2n, n ∈Z}B {k|k =2n −1, n ∈Z}C {k|k =4n, n ∈Z}D {k|k =4n −1, n ∈Z}3. 设P 为函数f(x)=sin(πx)的图象上的一个最高点，Q 为函数g(x)=cos(πx)的图象上的一个最低点，则|PQ|最小值是（ ） A √π24+4 B 2 C√172D 2√2 4. 设直线：l:y =kx +m(m ≠0)，双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，则“k =−ba ”是“直线l 与双曲线C 恰有一个公共点“的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分条件D 既不充分也不必要条件 5. 若存在实数x ，y 使不等式组{x −y ≥0x −3y +2≤0x +y −6≤0 与不等式x −2y +m ≤0都成立，则实数m的取值范围是（ ）A m ≥0B m ≤3C m ≥lD m ≥3 6. 设数列{a n }是首项为1的等比数列，若{12a n +a n+1}是等差数列，则(12a 1+1a 2)+(12a 2+1a 3)+⋯+(12a2012+1a2013)的值等于（ ）A 2012B 2013C 3018D 3019 7. 已知双曲线y 2a2−x 2b 2=1(a >0,b >0)，A 、B 是双曲线的两个顶点．P 是双曲线上的一点，且与点B 在双曲线的同一支上．P 关于y 轴的对称点是Q ，若直线AP ，BQ 的斜率分别是k 1，k 2，且k 1⋅k 2=−45，则双曲线的离心率是（ ） A3√55 B 94 C 32 D 958. 若函数f(x)=(x +1)e x ，则下列命题正确的是（ ）A 对任意m <−1e 2，都存在x ∈R ，使得f(x)<m B 对任意m >−1e 2，都存在x ∈R ，使得f(x)<m C 对任意x ∈R ，都存在m <−1e 2，使得f(x)<m D 对任意x ∈R ，都存在m >−1e2，使得f(x)<m9. 如图，平面α与平面β交于直线l ，A ，C 是平面α内不同点，B ，D 是平面β内不同的两点，且A ，B 、C 、D 不在直线l 上，M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，下列判断正确的是（ ）A 若AB 与CD 相交，且直线AC 平行于l 时，则直线BD 与l 可能平行也有可能相交 B 若AB ，CD 是异面直线时，则直线MN 可能与l 平行 C 若存在异于AB ，CD 的直线同时与直线AC ，MN ，BD 都相交，则AB ，CD 不可能是异面直线 D M ，N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 10. 已知cosx =23(x ∈R)，则cos(x −π3)=________．11. (2x √x)6展开式中常数项为________（用数字作答）． 12. 如图是某程序框图，则该程序运行后输出的值是________．13. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．14. 公差不为0的等差数列{a n }的部分项a k 1，a k 2，a k 3…，构成等比数列，且k 1=1，k 2=2，k 3=6，则k 4=________．15. 如图，在△OAB 中，C 为OA 上的一点，且OC →=23OA →，D 是BC 的中点，过点A 的直线l // OD ，P 是直线l 上的任意点，若OP →=λ1OB →+λ2OC →，则λ1−λ2=________．16. 已知a 2sinθ+acosθ−2=0，b 2sinθ+bcosθ−2=0(a ，b ，θ∈R ，且a ≠b)，直线l 过点A(a, a 2)，B(b, b 2)，则直线l 被圆(x −cosθ)2+(y −sinθ)2=4所截得的弦长为________．三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在直角坐标中，A(3, 1)，B(−3, −3)，C(l, 4)，P 是AB ¯和 AC ¯夹角平分线上的一点，且 |AP|¯=2，则 AP ¯的坐标是（ ） A (−5√2613，√2613) B (−√2, √2) C (−4√55，2√55) D (−√3，1) 18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知c =2，acosB −bcosA =72. (1)求bcosA 的值；(2)若a =4，求△ABC 的面积.19. 已知盘中有编号为A ，B ，C ，D 的4个红球，4个黄球，4个白球（共 12个球）现从中摸出4个球（除编号与颜色外球没有区别） （1）求恰好包含字母A ，B ，C ，D 的概率；（2）设摸出的4个球中出现的颜色种数为随机变量X ．求X 的分布列和期望E(X)．20. 如图，已知在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA =√3，AB =1．AD =2．∠BAD =120∘，E ，F ，G ，H 分别是BC ，PB ，PC ，AD 的中点．（1）求证：PH // 平面GED ；（2）过点F 作平面α，使ED // 平面α，当平面α⊥平面EDG 时，设PA 与平面α交于点Q ，求PQ 的长．21.如图，已知直线y =2x −2与抛物线x 2=2py(p >0)交于M 1，M 2两点，直线y =p2与y 轴交于点F ．且直线y =p2恰好平分∠M 1FM 2． （I ）求P 的值；（II ）设A 是直线y =p2上一点，直线AM 2交抛物线于另点M 3，直线M 1M 3交直线y =p2于点B ，求OA →⋅OB →的值．22. 设函数f(x)=ax 3+bx （a ，b 为实数）．（1）设a ≠0，当a +b =0时．求过点P(−1, 0)且与曲线y =f(x)相切的直线方程； （2）设b >0，当a ≤0且x ∈[0, 1]时，有f(x)∈[0, 1)，求b 的最大值．2013年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）答案1. D2. A3. C4. A5. B6. C7. C8. B9. D 10.2±√15611. 60 12. 613. 50+50√3 14. 22 15. −3216. 2√3 17. A18. 解：(1)∵ acosB +bcosA =a ⋅a 2+c 2−b 22ac+b ⋅b 2+c 2−a 22bc=c ，∴ 由c =2得acosB +bcosA =2， 结合acosB −bcosA =72联解， 可得bcosA =−34；(2)由(1)得acosB =2−bcosA =114，∵ a =4， ∴ cosB =1116，可得sinB =√1−cos 2B =3√1516， 根据正弦定理，得△ABC 的面积为 S =12acsinB=12×4×2×3√1516=3√154. 19. 解：（1）记事件“恰好包含字母A ，B ，C ，D”为E ， 则P(E)=C 31⋅C 31⋅C 31⋅C 31C 124=955．（2） 由题意可得随机变量X 的取值可能为：1，2，3，且P(X =1)=C 31C 124=1165，P(X =2)=C 32(C 41C 43+C 42C 42+C 43C 41)C 124=68165，P(X =3)=3C 41C 41C 42C 124=3255．故X 的分布列为：故数学期望为E(X)=1165+2×68165+3×3255=8533．20. （1）证明：连接HC ，交ED 于点N ，连接GN ，∵ DHEC 是平行四边形，∴ N 是线段HC 的中点，又G 是PC 的中点， ∴ GN // PH ，又∵ GN ⊂平面GED ，PH ⊄平面GED ， ∴ PH // 平面GED ．（2） 方法1：连接AE ，∵ ∠BAD =120∘，∴ △ABE 是等边三角形，设BE 的中点为M ，以AM 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则B(√32, −12, 0)，C(√32, 32, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, √3)， 则E(√32, 12, 0)，F(√34, −14, √32)，G(√34, 34, √32)． 设Q(0, 0, t)，ED →=(−√32,32,0)，DG→=(√34,−54,√32)． 设n 1→=(x 1,y 1,z 1)是平面GED 的一个法向量，则{n 1→⋅DG →=√34x 1−54y 1+√32z 1=0˙，得{x 1=√3y 1z 1=√33y 1，令y 1=1∴ n 1→=(√3,1,√33)． 设n 2→=(x 2,y 2,z 2)是平面α的一个法向量， 则{n 2→⋅QF →=√34x 2−14y 2+(√32−t)z 2=0˙，得{x 2=√3y 2z 2=12t−√3y2，令y 2=1，得n 2→=(√3,1,12t−√3)，当平面GED ⊥平面α时，n 1→⋅n 2→=3+1+√33⋅12t−√3=0，得t =118√3=11√324，则PQ 的长为√3−11√324=13√324．方法2：连接BH ，则BH // ED ，又∵ PB // GE ，∴ 平面PBH // 平面GED ， 设BH 与AE 交于点K ，PK 的中点为M ， ∵ F 是PB 的中点，∴ FM // BK ，∵ ABEH 是菱形，∴ AE ⊥BK ，∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥BK ，∴ BK ⊥平面PAK ． ∴ FM ⊥平面PAK ，过M 作MQ ⊥PK ，交PA 于Q ，设MQ 与FM 所确定的平面为α，∵ ED // BH // FM ，∴ ED // 平面α，又平面α⊥平面PBH ，∴ 平面α⊥平面EDG ． 得平面α满足条件．∵ PA =√3，AK =12，∴ PK =√3+14=√132， 由PQ PK=PM PA，得PQ =PK⋅PM PA=√3˙=13√324．21. 解：(I) 由{y =2x −2x 2=2py ，整理得x 2−4px +4p =0，设M 1(x 1, y 1)，M 2(x 2, y 2)， 则{△=16p 2−16p >0x 1+x 2=4px 1⋅x 2=4p， ∵ 直线y =p2平分∠M 1FM 2，∴ k M 1F +k M 2F =0， ∴y 1−p 2x 1+y 2−p 2x 2=0，即2x 1−2−p 2x 1+2x 2−2−p 2x 2=0，整理得：4−(2+p2)⋅x 1+x 2⋅=0，则4−(2+p 2)⋅4p 4p=0，解得p =4，满足△>0，∴ p =4．（II ） 由（1）知抛物线方程为x 2=8y ， 且{x 1+x 2=16x 1x 2=16，M 1(x 1,x 128)，M 2(x 2,x 228)，设M 3(x 3,x 328)，A(t, 2)，B(a, 2)， 由A 、M 2、M 3三点共线得k M 2M 3=k AM 2，∴ x 228−x 328x2−x 3=x 2+x 38=x 228−2x2−t，即：x 22+x 2x 3−t(x 2+x 3)=x 22−16， 整理得：x 2x 3−t(x 2+x 3)=−16 ①由B 、M 3、M 1三点共线得k M 1M 3=k BM 1， ∴ x 128−x 328x1−x 3=x 1+x 38=x 128−2x1−a，即x 12+x 1x 3−a(x 1+x 3)=x 12−16x 1x 3−a(x 1+x 3)=−16 ②②式两边同乘x 2得：x 1x 2x 3−a(x 1x 2+x 2x 3)=−16x 2， 即：16x 3−a(16+x 2x 3)=−16x 2③由①得：x 2x 3=t(x 2+x 3)−16，代入③得：16x 3−16a −ta(x 2+x 3)+16a =−16x 2， 即：16(x 2+x 3)=at(x 2+x 3)，∴ at =16． ∴ OA →⋅OB →=at +4=20．22. 解：（1）∵ a ≠0，a +b =0，∴ b =−a ，则f(x)=ax 3−ax ， ∴ f ′(x)=3ax 2−a ，设切点T(x 0, y 0)，则f ′(x 0)=k PT ，即：切线方程为y −y 0=(3ax 02−a)(x −x 0)，又∵ 切线过点P(−1, 0)，∴ −(ax 03−ax 0)=(3ax 02−a)(−1−x 0)，解得：x 0=−1或x 0=12．当x 0=−1时，f ′(x 0)=2a ，切线方程为y =2ax +2a ， 当x 0=12时，f′(x 0)=−14a ，切线方程为y =−14ax −14a ．（2） ①当a =0，b >0时，f(x)=bx 在[0, 1]上递增，∴ b ≤1． ②当a <0，b >0时，令f ′(x)=3ax 2+b =0，得x =±√−b 3a，f(x)在[0, √−b 3a]上递增，（1） 若√−b3a ≥1时，f(x)在[0, 1]上递增， ∵ f(0)=0，∴ {−b3a ≥1a +b ≤1a <0,b >0，即：{3a +b ≥0a +b ≤1a <0,b >0，由线性规划知：b ≤32．（2） 若√−b 3a <1时，f(x)在[0, √−b 3a]上递增，在[√−b 3a, 1]上递减，又f(0)=0，由题意得：{−b3a <1f(√−b 3a )≤1a +b ≥0，由f(√−b3a )≤1得，a ⋅(−b3a )⋅√−b3a +b ⋅√−b3a ≤1， 即：23b ⋅√−b 3a ≤1，得4b 3≤−27a ． 又a +b ≥0，∴ a ≥−b ， ∴ 4b 3≤27b ，得0<b ≤32√3． 当b =32√3时，a =−b =−3√32，满足−b3a <1．综上所述：b的最大值为3√3．2。

浙江省温州地区2013年中考模拟数学试卷参考公式：抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的顶点坐标是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.卷 Ⅰ一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．下列各数中，最大的数是（ ▲ ） A ．-1B ．0C ．1D ．22．在奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中， 首次使用了我国科研人员自主研制的强度为4600000000帕 的钢材，那么数据4600000000用科学记数法表示为（ ）A ．8106.4⨯B ．9106.4⨯C ．91046.0⨯D ．71046⨯3．右图是某校食堂甲、乙、丙、丁四种午餐受欢迎程度 的扇形统计图，则最受欢迎的午餐是（ ▲ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．二次函数22(1)3y x =-+的图象的顶点坐标是（ ▲ ） A ．(1,3)B ．(-1,3)C ．(1,-3)D ．(-1,-3)5．某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温的平均气温是1℃，整理得出下表（有一个数据被遮盖）．日期 一 二 三 四 五 最低气温1℃－1℃■℃0℃2℃被遮盖的这个数据是（ ▲ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．两圆的半径分别为7cm 和8cm ，圆心距为1cm ，则两圆的位置关系是（ ▲ ） A ．相离 B ．相交 C ．内切 D ．外切 7．如图，在□ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ， 交AC 于点F ， 则AF ：CF=（ ▲ ）A ．1：2B ．1：3C ．2：3D ．2：58．如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知AB=8，BC=10，(第7题)图 2丙25％丁30％乙25％甲20％(第3题)第2题(第13题)则tan∠EFC 的值为（ ▲ ） A ．34 B ．43 C ．35 D ．459．如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，∠ABO=90°，点A 的坐标为(1，2).将△AB O 绕点A 逆时针旋转90°,点O 的对应点C 恰好落在双曲线(0)ky x x=>上,则k 的值为（ ▲ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．610．小明借了同学好多的三角板来玩，他发现用四块含30°角的直角三角板（如图1），可以 拼成一个更大的含30°角的直角三角形，于是他提出一个问题：在图2的基础上至少再 添加（ ▲ ）个如图1的三角板，可以拼成一个比图2更大的含30°角的直角三角形． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7卷 Ⅱ二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 11．分解因式：2a a -= ▲ ． 12．在函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ▲ ． (第8题)(第10题)ODCB AAE BC F DQ PM N BCDA（第15题）D OBAC（第9题）xy图1图2（第10题）13．如图，已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点A （-1，0），B （1，-2），该图象与x 轴的另一个交点为C ，则AC 的长为 ▲ ．14．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°，则∠BCD = ▲ 度． 15．如图，∠C=900，∠A=300，BD 平分∠ABC ，若AD=8，则CD=____▲_____．16．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，正方形EFDQ 、正方形MNPQ 公共顶点记为点Q ，其余的各个顶点都在Rt△ABC 的边上，若AC=5，BC=3，则EP= ▲ ．三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（本题10分）（1）计算：01360sin 4212）（++︒--+（2）在三个整式12-x ，122++x x ，x x +2中，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简．．．．．．．．．．，再求当．．．x ．=2．．时分式的值．．．．．．18．（本题6分）图①、图②均为76⨯的正方形网格，点A,B,C 在格点上．（1）在图①中确定格点D ，并画出以A,B,C,D 为顶点的四边形，使其为 轴对称图形；（画一个即可）（2）在图②中确定格点E ，并画出以A,B,C,E 为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（画一个即可）19．（本题8分）有A,B 两个黑布袋，A 布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2． B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字 -1，-2和2．小明从A 布袋中随机取出一 个小球，记录其标有的数字为x ，再从B 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y ， 这样就确定点Q 的一个坐标为()x y ，．（1）用列表或画树状图的方法写出点Q 的所有可能坐标； （2）求点Q 落在直线3y x =-上的概率．20．（本题10分）全国各地都在推行新型农村医疗合作制度。