【核按钮】2015高考新课标数学(理)课时作业：15.1 几.

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标1）一．选择题（共12小题）1．【2015新课标1】设复数z满足=i，则|z|=（）A．1B．C．D．2考点：复数求模．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：先化简复数，再求模即可．解答：解：∵复数z满足=i，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．点评：本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．2．【2015新课标1】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．解答：解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．点评：本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．3．【2015新课标1】设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．解答：解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．【2015新课标1】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312考点： n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：概率与统计．分析：判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．解答：解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），该同学通过测试的概率为=0.648．故选：A．点评：本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．5．【2015新课标1】已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．解答：解：由题意，=（﹣x0，﹣y0）•（﹣﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．点评：本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．6．【2015新课标1】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．解答：解：设圆锥的底面半径为r，则×2×3r=8，解得r=，故米堆的体积为××3×（）2×5=，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈22，故选：B．点评：本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．7．【2015新课标1】设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．解答：解：由已知得到如图由===；故选：A．点评：本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．8．【2015新课标1】函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z考点：余弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．解答：解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f （x）=cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）．由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，故选：D．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．9．【2015新课标1】执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5B．6C．7D．8考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由题意可得，算法的功能是求S=1﹣﹣≤t 时n的最小值，由此可得结论．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=1﹣﹣≤t 时n的最小值，再根据t=0.01，可得当n=6时，S=1﹣﹣=＞0.01，而当n=7时，S=1﹣﹣=≤0.01，故输出的n值为7，故选：C．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．10．【2015新课标1】（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：利用展开式的通项，即可得出结论．解答：解：（x2+x+y）5的展开式的通项为T r+1=，令r=2，则（x2+x）3的通项为=，令6﹣k=5，则k=1，∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30．故选：C．点评：本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．11．【2015新课标1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1B．2C．4D．8考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．解答：解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．点评：本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12．【2015新课标1】设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．专题：创新题型；导数的综合应用．分析：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．解答：解：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D点评：本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．二．填空题（共4小题）13．【2015新课标1】若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=1．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解解答：解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴，∴lna=0，∴a=1．故答案为：1．点评：本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．14．【2015新课标1】一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．解答：解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x﹣）2+y2=．故答案为：（x﹣）2+y2=．点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．15．【2015新课标1】若x，y满足约束条件．则的最大值为3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16．【2015新课标1】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是（﹣，+）．考点：三角形中的几何计算．专题：综合题；创新题型；解三角形．分析：如图所示，延长BA，CD交于点E，设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，求出x+m=+，即可求出AB的取值范围．解答：解：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，∴设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，∵BC=2，∴（x+m）sin15°=1，∴x+m=+，∴0＜x＜4，而AB=x+m﹣x=+﹣x，∴AB的取值范围是（﹣，+）．故答案为：（﹣，+）．点评：本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．三．解答题（共8小题）17．【2015新课标1】S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n}的通项公式：（Ⅱ）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和．解答：解：（I）由a n2+2a n=4S n+3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3两式相减得a n+12﹣a n2+2（a n+1﹣a n）=4a n+1，即2（a n+1+a n）=a n+12﹣a n2=（a n+1+a n）（a n+1﹣a n），∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=﹣1（舍）或a1=3，则{a n}是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{a n}的通项公式a n=3+2（n﹣1）=2n+1：（Ⅱ）∵a n=2n+1，∴b n===（﹣），∴数列{b n}的前n项和T n=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．18．【2015新课标1】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G ﹣xyz，求得A，E，F，C的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．解答：解：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，在菱形ABCD中，不妨设BG=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=，BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，可知AE=EC，又AE⊥EC，所以EG=，且EG⊥AC，在直角△EBG中，可得BE=，故DF=，在直角三角形FDG中，可得FG=，在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=，可得EF=，从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG，AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣，0），E（1，0，），F（﹣1，0，），C（0，，0），即有=（1，，），=（﹣1，﹣，），故cos＜，＞===﹣．则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为．点评：本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题．19．【2015新课标1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣）46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，（Ⅱ）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．解答：解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，=﹣=563﹣68×6.8=100.6，所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，因此y关于x的回归方程为=100.6+68，（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）﹣x=﹣x+13.6+20.12，当==6.8时，年利润的预报值最大．点评：本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．20．【2015新课标1】在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：创新题型；导数的综合应用．分析：（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y′=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=﹣．k1+k2=0⇔直线PM，PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明．解答：解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y=可得：y′=，∴曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：y﹣a=，化为．同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．联立，化为x2﹣4kx﹣4a=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．∴k1+k2=+==﹣．当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，∴∠OPM=∠OPN．∴点P（0，﹣a）符合条件．点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．【2015新课标1】已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：创新题型；导数的综合应用．分析：（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0解出即可．（ii）对x分类讨论：当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，可得函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数．当x=1时，对a分类讨论：a≥﹣，a＜﹣，即可得出零点的个数；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a分类讨论：①当a≤﹣3或a≥0时，②当﹣3＜a＜0时，利用导数研究其单调性极值即可得出．解答：解：（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0，∴，解得，a=．因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．当x=1时，若a≥﹣，则f（1）=a+≥0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；若a＜﹣，则f（1）=a+＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函数h（x）的零点；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，而f（0）=，f（1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f（x）取得最小值=．若＞0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．若=0，即a=﹣，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，∴当时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f（x）在（0，1）内有一个零点．综上可得：当或a＜时，h（x）有一个零点；当a=或时，h（x）有两个零点；当时，函数h（x）有三个零点．点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．22．【2015新课标1】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．考点：圆的切线的判定定理的证明．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．解答：解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°点评：本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．23．【2015新课标1】在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．解答：解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=ρ1﹣ρ2=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=．点评：本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．24．【2015新课标1】已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标1）一．选择题（共12小题）1．【2015新课标1】设复数z满足=i，则|z|=（）A．1B．C．D．22．【2015新课标1】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．3．【2015新课标1】设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 4．【2015新课标1】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.3125．【2015新课标1】已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．6．【2015新课标1】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．【2015新课标1】设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．8．【2015新课标1】函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z9．【2015新课标1】执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5B．6C．7D．810．【2015新课标1】（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20C．30 D．6011．【2015新课标1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1B．2C．4D．812．【2015新课标1】设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）二．填空题（共4小题）13．【2015新课标1】若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=．14．【2015新课标1】一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．15．【2015新课标1】若x，y满足约束条件．则的最大值为．16．【2015新课标1】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是．三．解答题（共8小题）17．【2015新课标1】S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．18．【2015新课标1】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE 丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．19．【2015新课标1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣）46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．20．【2015新课标1】在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）21．【2015新课标1】已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．选做题22．【2015新课标1】（2015春•从化市校级期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O 于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．23．【2015新课标1】在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．24．【2015新课标1】已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．。

数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）使用地区：河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|= （ ）A ．1BCD ．2 2．sin 20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=（ ）A．BC ．12-D ．123．设命题:p n ∃∈Ν，22n n ＞，则⌝p 为（ ）A ．2nn n ∀∈N 2，＞ B ．2nn n ∃∈N 2，≤ C ．2n n n ∀∈N 2，≤D ．=2n n n ∃∈N 2，4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3125．已知00()M x y ,是双曲线2212 xC y -=：上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若120MF MF <，则0y 的取值范围是（ ）A．( B．( C．( D．( 6． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 7．设D 为ABC △所在平面内一点，=3BC CD ，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+D ．4133AD AB AC =-8．函数=cos(+)x f x ωϕ()的部分图象如图所示，则f x ()的单调递减区间为（ ）A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,B ．132π,2π+44k k k -∈Z （）,C ．13,+44k k k -∈Z （）,D ．132,2+44k k k -∈Z （）,9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出 的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()()21x f x e x ax a ＝－－＋，其中a<1，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3[)21,e -B ．43[,)23e -C ．3[,)234e D ．3[,)21e--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．若函数()=(ln f x x x 为偶函数，则a =________.14．一个圆经过椭圆22=1164x y +的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.15．若x ，y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则y x 的最大值为________.16．在平面四边形ABCD 中，==75=A B C ∠∠∠︒，=2BC ，则AB 的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2n n n +2=4+3a a S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n+11=b a a ，求数列{}n b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i ωω=8i i=1ω∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c =＋y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线24C y x ：=与直线)0(l y kx a a >：=＋交于M ，N 两点.（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线； （Ⅱ）若OA ，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a -＋-（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集；（Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.1sin20cos10cos20sin10sin302+==，故选10<数学试卷第7页（共21页）数学试卷第8页（共21页）数学试卷第9页（共21页）数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）2exy，AB 的取值范围是(62,62)-+．11111111=235572123n b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=AC FG G=，⊥平面AFC⊂平面AEC3数学试卷第13页（共21页）数学试卷第14页（共21页）数学试卷第15页（共21页）数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）60（Ⅰ）连接AE 90， 90，90，∴DE 是圆1AE =，CE BE ，212x -，解得∴60ACB ∠=．90，可得1sin45=2．数学试卷 第19页（共21页） 数学试卷 第20页（共21页） 数学试卷 第21页（共21页）（Ⅱ）化简函数()f x 的解析式，求得它的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积；再根据()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围．【考点】含绝对值不等式解法，分段函数，一元二次不等式解法．。

第三章 导 数§3.1 导数的概念及运算1.导数的概念(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义. 2.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3的导数.(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数.导数的几何意义是高考考查的重点内容之一，常以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题中.导数的运算基本上每年都考，一般不单独设题，大都是在考查导数应用的同时考查.1.导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx 就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即ΔyΔx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆xΔyΔx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. (2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数).y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .(3)求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法①求函数的增量Δy ＝ ；②求平均变化率ΔyΔx ＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆xΔy Δx. 2.导数的意义 (1)几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 .相应的切线方程为 .(2)物理意义函数S ＝s (t )在点t 0处的导数s ′(t 0), 就是当物体的运动方程为S ＝s (t )时，物体运动在t 0时刻的瞬时速度v ，即 .设v ＝v (t )是速度函数，则v ′(t 0)表示物体在t ＝t 0时刻的 .3.基本初等函数的导数公式(1)c ′＝ (c 为常数)， (x α) ′＝ (α∈Q *)； (2)(sin x ) ′＝______________， (cos x ) ′＝ ； (3)(ln x ) ′＝ ， (log a x ) ′＝ ；(4)(e x ) ′＝ ，(a x ) ′＝ . 4.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )] ′＝ . (2)[f (x )g (x )] ′＝ ；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )] ′＝ . (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ） ′＝ (g (x )≠0). 5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.【自查自纠】 1.(1)可导 f ′(x 0)(3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2.(1)f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) (2)v ＝s ′(t 0) 加速度3.(1)0 αx α－1 (2)cos x －sin x (3)1x 1x ln a(4)e x a x ln a4.(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x ) (3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25.y x ′＝y ′u ·u ′x函数f (x )＝1的导函数是( )A ．y ＝0B ．y ＝1C ．不存在D ．不确定 解：常数函数的导函数是y ＝f ′(x )＝0.故选A.函数f (x )＝a 3＋5a 2x 2的导数f ′(x )＝( ) A ．3a 2＋10ax 2 B ．3a 2＋10ax 2＋10a 2x C ．10a 2x D ．以上都不对 解：f ′(x )＝10a 2x .故选C.曲线y ＝e x 在点A (0，1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．e D.1e解：y ′＝e x ，y ′|x ＝0＝1，故选A.(2012·广东)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1，3)处的切线方程为 .解：y ′＝3x 2－1，当x ＝1时，y ′＝2，此时切线斜率k ＝2，故切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.故填2x －y ＋1＝0.物体的运动方程是s ＝－13t 3＋2t 2－5，则物体在t ＝3时的瞬时速度为 .解：v (t )＝s ′(t )＝－t 2＋4t ，t ＝3时，v ＝3， 故填3.类型一 导数的概念设f (x )为可导函数，当x 趋近于0时，f （1）－f （1－2x ）2x趋近于－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解：f （1）－f （1－2x ）2x ＝f （1－2x ）－f （1）－2x ，当x 趋近于0时，－2x 也趋近于0，∴y ′|x ＝1＝－1，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.故选B. 【评析】本题利用导数定义求导数，将“表达式”变形为导数的“定义式”的标准形式是关键，这里要找准增量Δx ＝－2x .“y ′|x ＝1”是指曲线在x ＝1处的切线斜率．已知f ′(0)＝2，则h 趋近于0时，f （3h ）－f （0）h趋近于 .解：f （3h ）－f （0）h ＝3[f （0＋3h ）－f （0）]3h当h 趋近于0时，3h 也趋近于0.∴f （3h ）－f （0）h趋近于3f ′(0)＝6.故填6.类型二 导数的几何意义已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程.解：(1)设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1，1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)∵y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，∴在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，又∵切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20， ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43. ∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为 4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. 【评析】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．。

第八章立体几何§8.1空间几何体的结构，三视图和直观图1．认识柱，锥，台，球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体，球，圆柱，圆锥，棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．高考主要考查空间几何体的结构和视图，柱，锥，台，球的定义与性质是基础，以它们为载体考查线线，线面，面面的关系是重点，三视图一般会在选择题，填空题中考查，以给出空间图形选择其三视图或给出三视图判断其空间图形的形式出现，考查空间想象能力．1．棱柱，棱锥，棱台的概念(1)棱柱：有两个面互相______，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．※注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(2)棱锥：有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．※注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台．※注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．※2.棱柱，棱锥，棱台的性质(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是______________；两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是______________；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面，对角面都是________．(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的__________；棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影构成一个____________；棱锥的高，侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个____________；侧面的斜高，侧棱及底面边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面上的射影，斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________．(3)正棱台的性质侧面是全等的____________；斜高相等；棱台的高，斜高和两底面的边心距组成一个____________；棱台的高，侧棱和两底面外接圆的半径组成一个____________；棱台的斜高，侧棱和两底面边长的一半也组成一个____________．3．圆柱，圆锥，圆台(1)圆柱，圆锥，圆台的概念分别以________的一边，__________的一直角边，________中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱，圆锥，圆台．(2)圆柱，圆锥，圆台的性质圆柱，圆锥，圆台的轴截面分别是________，___________，___________；平行于底面的截面都是__________．4．球(1)球面与球的概念以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的________．(2)球的截面性质球心和截面圆心的连线________截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为______________．5．平行投影在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________．平行投影的投影线互相__________．6．空间几何体的三视图，直观图(1)三视图①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括__________，__________，__________．②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等．” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等．(2)直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴，使∠xOz ＝________且∠yOz ＝________．②画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 画成对应的轴O ′x ′，O ′y ′，O ′z ′，使∠x ′O ′y ′＝____________，∠x ′O ′z ′＝____________．x ′O ′y ′所确定的平面表示水平面．③已知图形中，平行于x 轴，y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成____________x ′轴，y ′轴或z ′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的__________．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．注：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：(1)观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形，直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；(2)投影效果：三视图是在平行投影下画出的平面图形，用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形．【自查自纠】1．(1)平行 四边形 平行 (2)多边形 三角形2．(1)平行四边形 全等 平行四边形 矩形 (2)等腰三角形 直角三角形 直角三角形 直角三角形 直角三角形(3)等腰梯形 直角梯形 直角梯形 直角梯形 3．(1)矩形 直角三角形 直角梯形 (2)矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆4．(1)直径 球心 (2)垂直于 d ＝R 2－r 2 5．平行投影 平行6．(1)①正(主)视图 侧(左)视图 俯视图 (2)①90° 90°②45°(或135°) 90° ③平行于 ④一半下列说法中正确的是( ) A ．棱柱的底面一定是平行四边形B ．棱锥的底面一定是三角形C ．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D ．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱解：根据棱柱，棱锥的性质及截面性质判断，故选D.以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )A ．球的三视图总是三个全等的圆B ．正方体的三视图总是三个全等的正方形C ．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D ．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解：几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．故选A.(2012·陕西)将正方体(如图a 所示)截去两个三棱锥，得到图b 所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )解：还原正方体知该几何体侧视图为正方形，AD 1为实线，B1C 的正投影为A 1D ，且B 1C 被遮挡为虚线．故选B.用一张4cm×8cm 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积为________cm 2(接头忽略不计)．解：以4cm 或8cm为底面周长，所得圆柱的轴截面面积均为32πcm 2，故填32π．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为________．解：如图所示是实际图形和直观图．由图可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图中作C ′D ′⊥A ′B ′，垂足为D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′×C ′D ′＝12×a×68a ＝616a 2.故填616a 2.类型一 空间几何体的结构特征(2012·湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是()解：D 选项的正视图应为如图所示的图形． 故选D.【评析】本题主要考查空间想象能力，是近年高考中的热点题型．本题可用排除法一一验证：A ，B ，C 都有可能，而D 的正视图与侧视图不可能相同．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解：从俯视图看，B ，D 符合，从正视图看，B 不符合，D 符合，而从侧视图看D 也是符合的．故选D.类型二 空间几何体的三视图如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A ．6 3B ．93C ．12 3D ．18 3解：由三视图可知该几何体是一个斜四棱柱，高h＝22－1＝3，底面积为9，所以体积V ＝9×3＝9 3.故选B.【评析】通过三视图考查几何体的体积运算是较为常规的考题，考生对此并不陌生．对于空间几何体的考查，从内容上看，柱，锥的定义和相关性质是基础，以它们为载体考查三视图，体积是重点．本题给出了几何体的三视图，只要掌握三视图的画法“长对正，高平齐，宽相等”，不难将其还原得到斜四棱柱．如图所示的三个直角三角形是 一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则h ＝________cm.解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三角形，直角边长分别为5cm ，6cm ，三棱锥的高为h cm ，则三棱锥的体积为V＝13×12×5×6×h＝20，解得h ＝4cm.故填4.类型三 空间多面体的直观图如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．解：由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥．画法：(1)画轴．如图1，画x 轴，y 轴，z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.图1(2)画底面．利用斜二测画法画出底面ABCD ，在z 轴上截取O ′使OO ′等于三视图中相应高度，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出底面A ′B ′C ′D ′.(3)画正四棱锥顶点．在Oz 上截取点P ，使PO ′等于三视图中相应的高度．(4)成图．连接P A ′，PB ′，PC ′，PD ′，A ′A ，B ′B ，C ′C ，D ′D ，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图2所示．图2【评析】根据三视图可以确定一个几何体的长，宽，高，再按照斜二测画法，建立x 轴，y 轴，z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°，确定几何体在x 轴，y 轴，z 轴方向上的长度，最后连线画出直观图．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为( )A . 2B ．6 2C .13D ．2 2解：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为1的正方形，该正方形的对角线长为2，根据斜二测画法的规则，原图底面的底边长为1，高为直观图中正方形的对角线长的两倍，即22，则原图底面积为S ＝2 2.因此该四棱锥的体积为V ＝13Sh ＝13×22×3＝2 2.故选D.类型四 空间旋转体的直观图用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上，下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm ，求圆台的母线长．解：设圆台的母线长为l ，截得圆台的上，下底面半径分别为r ，4r .根据相似三角形的性质得， 33＋l ＝r4r ，解得 l ＝9. 所以，圆台的母线长为9cm.【评析】用平行于底面的平面去截柱，锥，台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变量列方程求解．圆锥底面半径为1cm ，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.解：过圆锥的顶点S 和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面CDD 1C 1如图所示. 设正方体棱长为x ，则CC 1＝x ，C 1D 1＝2x .作SO ⊥EF 于O ，则SO ＝2，OE ＝1.∵△ECC 1∽△ESO ，∴CC 1SO ＝EC 1EO ，即x2＝1－22x1， 解得x ＝22(cm)．故内接正方体的棱长为22cm.1．在研究圆柱，圆锥，圆台的相关问题时，主要方法就是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系．2．正多面体(1)正四面体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成．(2)如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，连接A 1B ，BC 1，A 1C 1，DC 1，DA 1，DB ，可以得到一个棱长为2a 的正四面体A 1-BDC 1，其体积为正方体体积的13.(3)正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体．它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a ，球的半径为R )．3．长方体的外接球(1)长，宽，高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R .(2)棱长为a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a ＝2R .4．棱长为a 的正四面体(1)斜高为32a ；(2)高为63a ；(3)对棱中点连线长为22a ； (4)外接球的半径为64a ，内切球的半径为612a ；(5)正四面体的表面积为3a 2，体积为212a 3.5．三视图的正(主)视图，侧(左)视图，俯视图分别是从几何体的正前方，正左方，正上方观察几何体画出的轮廓线，对于能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．6．一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比发生了变化，注意原图与直观图中的“三变，三不变”．三变：坐标轴的夹角改变，与y 轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变．三不变：平行性不变，与x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图＝24S 原图形，S 原图形＝22S 直观图．1．由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是( )A ．六棱锥B ．六棱台C ．六棱柱D ．非棱柱，棱锥，棱台的一个几何体解：平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体符合棱柱的定义，故选C .2．下列说法中，正确的是( ) A ．棱柱的侧面可以是三角形B ．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其它侧面也是矩形C ．正方体的所有棱长都相等D ．棱柱的所有棱长都相等解：棱柱的侧面都是平行四边形，选项A 错误；其它侧面可能是平行四边形，选项B 错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D 错误；易知选项C 正确．故选C.3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )A ．一个圆台，两个圆锥B ．两个圆台，一个圆柱C ．两个圆台，一个圆锥D ．一个圆柱，两个圆锥解：把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱，两个圆锥．故选D.4．将正三棱柱截去三个角(如图1所示A ，B ，C 分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )A B C D解：观察图形，易知图2所示几何体的侧视图为直角梯形，且EB 为直角梯形的对角线．故选A.5．(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台 解：由俯视图可知该几何体的上，下两底面为半径不等的圆，又∵正视图和侧视图相同，∴可判断其为旋转体．故选D.6．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为()A ．2 2 B. 2 C ．2 3 D. 3 解：由三视图可知，此多面体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，并且有一条长为2的侧棱垂直于底面，所以最长棱长为22＋22＋22＝2 3.故选C.7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________．解：由正视图知，三棱柱是底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为2×12×2×2×32＝23，侧面积为3×2×1＝6，所以其表面积为6＋2 3.故填6＋23.8．如图是某个圆锥的三视图，根据图中所标尺寸可得俯视图中圆的面积为________，圆锥母线长为________．解：由三视图可知，圆锥顶点在底面的射影是底面圆的中心，根据图中的数据，底面圆的半径为10，则俯视图中圆的面积为100π，母线长为302＋102 ＝1010，故填100π；1010.9．如图a 是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图．解：图a 中几何体三视图如图b 所示：10．如图1是某几何体的三视图，试说明该几何体的结构特征，并用斜二测画法画出它的直观图．解：图1中几何体是由上部为正六棱柱，下部为倒立的正六棱锥堆砌而成的组合体．斜二测画法：(1)画轴．如图2，画x 轴，y 轴，z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝∠yOz ＝90°.(2)画底面，利用斜二测画法画出底面ABCDEF ，在z 轴上截取O ′，使OO ′等于正六棱柱的高，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出底面A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(3)画正六棱锥顶点．在Oz 上截取点P ，使PO ′等于正六棱锥的高．(4)成图．连接P A ′，PB ′，PC ′，PD ′，PE ′，PF ′，AA ′，BB ′，CC ′，DD ′，EE ′，FF ′，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图3所示．注意：图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．11．某长方体的一条对角线长为7，在该长方体的正视图中，这条对角线的投影长为6，在该长方体的侧视图与俯视图中，这条对角线的投影长分别为a 和b ，求ab的最大值．解：如图，则有AC 1＝7，DC 1＝6， BC 1＝a ，AC ＝b ，设AB ＝x ，AD ＝y ，AA 1＝z ，有 x 2＋y 2＋z 2＝7，x 2＋z 2＝6，∴y 2＝1.∵a 2＝y 2＋z 2＝z 2＋1，b 2＝x 2＋y 2＝x 2＋1， ∴a ＝z 2＋1，b ＝x 2＋1. ∴ab ＝（z 2＋1）（x 2＋1）≤z 2＋1＋x 2＋12＝4，当且仅当z 2＋1＝x 2＋1，即x ＝z ＝3时，ab 的最大值为4.水以匀速注入某容器中，容器的三视图如图所示，其中与题中容器对应的水的高度h 与时间t的函数关系图象是( )解：由三视图知其直观图为两个圆台的组合体，水是匀速注入的，所以水面高度随时间变化的变化率先逐渐减小后逐渐增大，又因为容器的对称性，所以函数图象关于一点中心对称．故选C.§8.2空间几何体的表面积与体积1．了解棱柱，棱锥，台，球的表面积和体积的计算公式．2．会利用公式求一些简单几何体的表面积与体积．高考主要考查空间几何体的侧面积，表面积，体积以及相关元素的关系与计算，这些内容常与三视图相结合，以选择题，填空题的形式出现，也可能以空间几何体为载体，考查线面关系，侧面积，表面积以及体积．1．柱体，锥体，台体的表面积(1)直棱柱，正棱锥，正棱台的侧面积S直棱柱侧＝__________，S正棱锥侧＝__________，S正棱台侧＝__________(其中C，C′为底面周长，h为高，h′为斜高)．(2)圆柱，圆锥，圆台的侧面积S圆柱侧＝________，S圆锥侧＝________，S圆台侧＝________(其中r，r′为底面半径，l为母线长)．(3)柱或台的表面积等于________与__________的和，锥体的表面积等于________与__________的和．2．柱体，锥体，台体的体积(1)棱柱，棱锥，棱台的体积V棱柱＝__________，V棱锥＝__________，V棱台＝__________(其中S，S′为底面积，h为高)．(2)圆柱，圆锥，圆台的体积V圆柱＝__________，V圆锥＝__________，V圆台＝__________(其中r，r′为底面半径，h为高)．3．球的表面积与体积(1)半径为R的球的表面积S球＝________．(2)半径为R的球的体积V球＝________.【自查自纠】1．(1)Ch 12Ch′12()C＋C′h′(2)2πrlπrlπ(r＋r′)l(3)侧面积两个底面积侧面积一个底面积2．(1)Sh 13Sh13h()S＋SS′＋S′(2)πr2h13πr2h13πh()r2＋rr′＋r′23．(1)4πR2(2)43πR3圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为()A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)解：分两种情况：①以边长为6π的边为高时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，r＝2，∴S底＝πr2＝4π，S侧＝6π×4π＝24π2，S表＝2S底＋S侧＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)；②以边长为4π的边为高时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，r＝3.∴S底＝πr2＝9π，S表＝2S底＋S侧＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)．故选C.正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为()A.23 2 B. 2 C.23 D.43 2解：∵正三棱锥的侧面均为直角三角形，故侧面为等腰直角三角形，且直角顶点为棱锥的顶点，∴侧棱长为2，V＝13×12×(2)2×2＝23.故选C.已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则圆柱的体积与球体积之比为()A．1∶2 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2解：设球半径为R，圆柱底面半径为R，高为2R.∵V球＝43πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，∴V圆柱∶V球＝3∶2.故选D.长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB＝2，AD＝3，AA1＝1，则球面面积为________．解：∵长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，则外接球的直径是长方体的体对角线，而长方体的体对角线的长为AB2＋AD2＋AA21＝22，∴半径R＝ 2.∴S球＝4πR2＝8π.故填8π.若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为____________．解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，则⎩⎪⎨⎪⎧πr2＝π，πrl＝2π，有⎩⎪⎨⎪⎧r＝1，l＝2，从而可知圆锥的高h＝l2－r2＝4－1＝ 3.∴V＝13×π×3＝33π.故填33π.类型一空间几何体的面积问题如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)若BD＝1，求三棱锥D-ABC的表面积．解：(1)证明：∵折起前AD是BC边上的高，∴沿AD把△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥BD.又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC.又∵AD⊂平面ADB，∴平面ADB⊥平面BDC.(2)由(1)知，DA⊥BD，BD⊥DC，DC⊥DA，DB＝DA＝DC＝1，∴AB＝BC＝CA＝ 2.从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝12×1×1＝12，S△ABC＝12×2×2×sin60°＝32.∴三棱锥D-ABC的表面积S＝12×3＋32＝3＋32.【评析】充分运用图形在翻折前后的不变性，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变等，再由面面垂直的判定定理进行推理证明，然后再计算．(2013·福建)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图，侧视图，俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是____________．解：由三视图可知该组合体为球内接一个棱长为2的正方体，∴正方体的体对角线为球的直径2r＝22＋22＋22＝23，S球＝4πr2＝12π.故填12π.类型二空间旋转体的面积问题如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______．解：如图，设球的一条半径与圆柱相应的母线的夹角为α，圆柱侧面积S＝2π×4sinα×2×4cosα＝32πsin2α，当α＝π4时，S取最大值32π，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π.故填32π.【评析】根据球的性质，内接圆柱上，下底面中心连线的中点为球心，且圆柱的上，下底面圆周均在球面上，球心和圆柱的上，下底面圆上的点的连线与母线的夹角相等，这些为我们建立圆柱的侧面积与上述夹角之间的函数关系提供了依据．(2012·辽宁)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________．解：由三视图知该几何体为长4宽3高1的长方体的中间挖去一个半径为1高为1的圆柱所成几何体，所以表面积为2×(4×3＋4×1＋3×1)－2×π×12＋2π×1×1＝38.故填38.类型三空间多面体的体积问题一个正三棱锥(底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)的底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥的体积．解：如图所示为正三棱锥S-ABC，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.∵△ABC是边长为6的正三角形，∴AE ＝32×6＝33，AH ＝23AE ＝2 3. 在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ×AE ＝12×6×33＝93，在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， ∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3.∴V 正三棱锥＝13×S △ABC ×SH ＝13×93×3＝9.【评析】(1)求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V ＝13Sh进行计算．(2)求空间几何体体积的常用方法为割补法和等积变换法：①割补法：将这个几何体分割成几个柱体，锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积；②等积变换法：特别的，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23 B.33 C.43 D.32 解：如图，过A ，B 两点分别作AM ，BN 垂直于EF ，垂足分别为M ，N ，连接DM ，CN ，可证得DM ⊥EF ，CN ⊥EF ，则多面体ABCDEF 分为三部分，即多面体的体积V ABCDEF ＝V AMD -BNC ＋V E -AMD ＋V F -BNC .依题意知AEFB 为等腰梯形．易知Rt △DME Rt △CNF ，∴EM ＝NF ＝12.又BF ＝1，∴BN ＝32.作NH 垂直于BC ，则H 为BC 的中点，∴NH ＝22. ∴S △BNC ＝12·BC ·NH ＝24.∴V F -BNC ＝13·S △BNC ·NF ＝224， V E -AMD ＝V F -BNC ＝224，V AMD -BNC ＝S △BNC·MN＝24. ∴V ABCDEF ＝23，故选A .类型四 空间旋转体的体积问题某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2πD ．2π3解：由三视图知几何体为一个正方体中间去掉一个圆锥，所以它的体积是V ＝23－13×π×12×2＝8－23π.故选A.【评析】根据已知三视图想象出该几何体的直观图，然后分析该几何体的组成，再用对应的体积公式进行计算．(2012·河南模拟)已知某几何体的三视图如图所示，其中，正(主)视图，侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.2π3＋12 B.4π3＋16 C.2π6＋16 D.2π3＋12解：由三视图可得该几何体的上部是一个三棱锥，下部是半球，根据三视图中的数据可得V ＝12×43π×⎝⎛⎭⎫223＋13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×1＝2π6＋16.故选C.1．几何体的展开与折叠(1)几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的，利用空间问题平面化的思想，把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法．(2)多面体的展开图①直棱柱的侧面展开图是矩形；②正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形；③正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形．(3)旋转体的展开图①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长；②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长；③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上，下弧长分别为圆台的上，下底面周长．注：①圆锥中母线长l 与底面半径r 和展开图扇形中半径和弧长间的关系及符号容易混淆，同学们应多动手推导，加深理解．②圆锥和圆台的侧面积公式S 圆锥侧＝12cl 和S 圆台侧＝12(c ′＋c )l 与三角形和梯形的面积公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆．2．空间几何体的表面积的计算方法有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题常用的基本方法．(1)棱柱，棱锥，棱台等多面体的表面积可以分别求各面面积，再求和，对于直棱柱，正棱锥，正棱台也可直接利用公式；(2)圆柱，圆锥，圆台的侧面是曲面，计算其侧面积时需将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理． 3．空间几何体的体积的计算方法(1)计算柱，锥，台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法，补体法，还台为锥法等，它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法，应熟练掌握．(3)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题．4．由几何体的三视图求几何体的表面积与体积问题，一般按如下三个步骤求解：(1)由三视图想象出原几何体的形状；(2)由三视图给出的数量关系确定原几何体的数量关系；(3)如果是规则几何体，直接代入公式求解，如果不是规则几何体，通过“割补”后，转化为规则几何体求解．1．已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥体积为( )A .2π2B .2πC .3π3D .3π 解：易知圆锥的底面直径为2，母线长为2，则该圆锥的高为22－12＝3，因此其体积是13π·12×3＝3π3.故选C. 2．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体对角线的长是( ) A ．2 3 B ．3 2 C ．6 D . 6 解：设长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c ，则有ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，解得a ＝1，b ＝2，c＝3，则长方体的体对角线的长l ＝a 2＋b 2＋c 2＝ 6.故选D.3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋233解：该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，正四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233.所以该几何体的体积为2π＋233.故选C . 4．将长，宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，得到四面体A -BCD ，则四面体A -BCD 的外接球的表面积为( )A ．25πB ．50πC ．5πD ．10π解：由题设知AC 为外接球的直径，∴2R ＝32＋42＝5，S 表＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫522＝25π.故选A.。

第七章 不 等 式§7.1 不等关系与不等式了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．本节在高考中主要考查运用不等式的性质判断正误、比较大小等，也有与函数单调性综合的题目，小题居多，难度一般不大．1．比较原理两实数a ，b 之间有且只有以下三个大小关系之一：__________、__________、__________．其中a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＜b ⇔______________； a ＝b ⇔__________． 2．不等式的性质现行教材中介绍的不等式的11条性质可以分为两部分．第一部分为以下4条性质定理： (1)对称性：a >b ⇔__________；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒__________；(3)不等式加等量：a >b ⇔a ＋c______b ＋c ； (4)不等式乘正量：a >b ，c >0⇒__________； 不等式乘负量：a >b ，c <0⇒__________．第二部分为两个不等式的运算性质，共有7条： (5)同向不等式相加：a >b ，c >d ⇒__________； (6)异向不等式相减：a >b ，c <d ⇒__________； (7)同向不等式相乘：a >b >0，c >d >0⇒__________；(8)异向不等式相除：a >b >0，0<c <d ⇒a c ______bd ；(9)不等式取倒数：a >b ，ab >0⇒1a ______1b；(10)不等式的乘方：a >b >0⇒______________； (11)不等式的开方：a >b >0⇒______________． 注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．【自查自纠】1．a ＞b a ＜b a ＝b a －b ＜0 a －b ＝0 2．(1)b <a (2)a >c (3)> (4)ac >bc ac <bc(5)a ＋c >b ＋d (6)a －c >b －d (7)ac >bd (8)＞ (9)＜ (10)a n >b n (n ∈N *且n >1) (11)n a >nb (n ∈N *且n >1)(2013·上海)如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A ．1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b解：1a －1b ＝b －a ab >0，故1a >1b ，∴－1a <－1b.故选D.设f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，x ∈R ，则f (x )与g (x )的大小关系是( )A ．f (x )＞g (x )B ．f (x )≥g (x )C ．f (x )＝g (x )D ．f (x )＜g (x )解：f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0恒成立，故选A.已知a ，b ∈R ＋，A ＝a 3＋b 3，B ＝a 2b ＋b 2a ，则A ，B 的大小关系为( )A ．A ≥B B ．A <BC ．A ≤BD ．与a ，b 的大小有关解：A －B ＝(a ＋b )(a 2＋b 2－ab －ab )＝(a ＋b )(a －b )2≥0，A ≥B .故选A.已知a ＝27，b ＝6＋22，则a ，b 的大小关系是a________b .解：由于a ＝27，b ＝6＋22，平方作差得a 2－b 2＝28－14－83＝14－83＝8⎝⎛⎭⎫74－3＞0，从而a ＞b .故填＞.若a ，b ∈R ＋，则1a ＋1b 与1a ＋b的大小关系是__________．解：∵a ，b ∈R ＋，∴⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ÷1a ＋b ＝（a ＋b ）2ab >2ab ab ＝2>1，∴1a ＋1b >1a ＋b .故填1a ＋1b >1a ＋b.燃导火线后要在燃放前转移到域．已知导火线的燃烧速度为4 m/s，导火线的长度解：人到达安全区域的时间小于导火线燃烧的时板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的已知一个铁钉受击>ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？解：(1)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件a范围是________解：由＜－β＜4，所以的取值范围是解：∵－＜－β＜π2的大小．解法一：a ＋m b ＋m － 的是________①log 0.5(②(－a )③(－a )a为正整数，则个结论：§7.2一元二次不等式及其解法1．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．一元二次不等式的解法是高考必考内容之一，常与函数、数列、平面向量、解析几何、导数等综合起来命题．小题易出现考查“三个二次”关系的题目，多与函数图象及性质、数列、导数等综合考查；解答题中易出现需要分类与整合的含参数的一元二次不等式的综合题，着重考查分类与整合思想．1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集．(4)解一元二次不等式见下表：)4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）＞0⇔f(x)g(x)＞0；f（x）g（x）＜0 ⇔f(x)g(x)＜0；f（x）g（x）≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≥0，g（x）≠0；f（x）g（x）≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≤0，g（x）≠0.【自查自纠】1．(1)同解不等式(2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＞b a⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＜b a a＝0，b＜03．(1)一元二次(2)解集(3)两边中间(4)(Ⅰ){}x|x＜x1或x＞x2(Ⅱ)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a(Ⅵ)若0＜a＜1，则不等式(x－a)⎝⎛⎭⎫x－1a＜0的解是()的解集为的解集为－2a＞0解：(1)当①当m＝－时，原不等式的解集为②当m＝.(2)当m2(1)x2－(3)x2－解：(1)而y＝的解集为所以方程＋1，x＜1，x≥0，()A．{x|－|－5≤x≤1}解：∵不等式∴x1＝－∴由韦达定理知＜x＜3}，求不等式解：由题意知因为不等式a＜0，由根与系数的关系得b解：(1)，不等式的解集为(2)当m的系数是参数时，首先对它是否为∈R)．解：不等式整理为当a＝0当a≠0时，解：x2x21≥0.⎭⎬⎫－2x ≤0，则A ．{x |－C ．{x |0≤⎦⎤0，12成立，则A ．0 解法一：－2，2]时，解法一：当－a2＜－5有一解，则A ．a <－C ．－1<解法一：个实根一个小于－值范围是( A ．－C ．－2<速生产某种产品得利润是100(1)要使生产该产品15元的价格销售，每天能卖出1元，日销售量将减少盏售价不低于应怎样制定这批台灯的销售价格？．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )．(－∞，－1)∪(－1，2]B ．[－1，2]．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D ．(－1，2]解：x －2x ＋1≤0⇔()x ＋1()x －2≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1，2]，故选D .．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)＞0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜2，则m 的取值范围是( )．m ＞0 B ．0＜m ＜2 ．m ＞12D ．m <0解：由不等式的解集形式知m ＜0.故选D . ．(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集⎭⎬⎫<－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( ) ．{x |x <－1或x >lg2} ．{x |－1<x <lg2}－1]·(x2－－1中，令y＝0，得⎭⎫1－12－aa－1－1＝§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．本节属于高考常考内容，以考查二元一次不等式(组)的几何意义、目标函数的最值(或范围)为主；关于线性规划的实际应用及逆向问题(知最值求参数)也是热点，也有与其他知识综合考查的题目或含参数的线性规划问题，难度一般不太大，小题居多．1．二元一次不等式表示的区域(1)当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By ＋C＝0的．(2)当B＜0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By ＋C＝0的．2．线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，我们把它称为．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的的问题，统称为线性规划问题．(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做，由所有可行解组成的集合叫做．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的．线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据(即画出不等式组所表示的公共区域)．②设，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的．(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出条件，确定函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即，在可行域内求得使目标函数．【自查自纠】1．(1)上方区域下方区域(2)下方区域上方区域2．(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解下列命题中正确的是()A．点(0，1)在区域x－y＋1＞0内B．点(0，0)在区域x＋y＋1＜0内C．点(1，0)在区域y≥2x内D．点(0，0)在区域x＋y≥0内解：将(0，0)代入x＋y≥0，成立．故选D.不等式x－2y＋6＞0表示的区域在直线x－2y ＋6＝0的()A．左下方B．左上方C．右下方D．右上方解：画出直线及区域范围知C正确．故选C.(2013·天津)设变量x，y满足约束条件画出原不等式组表示的平面区域如图所示，由题意知，当目标函数z ＝y 时，z 取得最小值，所以示的平面区域为的取值范围是作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影y ＝a (x ＋1)恒过定点k BC ＝12，k AC ＝4，∴区域为D ，若指数函数的点，则a 的取值范围是A ．(1，若要指数函数y ＝a x 与可行域有交点，则底利用指数函数的性质，)，9时，底数a 最大，即点此时有a 2＝9⇒ a ＝3，所以－y ≥－1，＋y ≤3，≥0，≥0，依题意，画出可行域，如图所示，可行域为，显然，当直线y ＝12x －取得最小值为－3；过点B (3，0)A．有最小值B．有最小值C．有最大值画出不等式表示的平面区域，如图，由，令z＝0，画出y＝－(2，0)时，z取得最小值为，由于可行域是向右上方无限延伸的非封闭区向右上方移动时，z＝x＋区域被直线()由题目所给的不等式组可知，其表示的平面如图可得阴影部分即为满足x－的可行域，而直线ax－y＋1＝0恒过点，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于则它是三角形，设该三角形为△ABC，因为标函数z＝ax的取值范围是A．(－1＋2y的斜率为－a2，目标函数在点画出可行域三角形ABO ，可知处取最大值为4，即4＝＋y －2≥02y ＋4≥0－y －3≤0.最小值？最大值、最小值各是多少？如图，作出可行域(图中的阴影部分包括边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －23x －，同理可得B (0，2)，C (1，，y )到原点的距离的平方，所以， 个根在(0，1)(1)b －2a －1的值域；(2)(a －1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0，所表示的平面区域为纵坐标均为整数的点的通项公式为2y－5＞＋y－7＞≥0，y≥0，()画出可行域如图，令3x＋4y＝z，，0)，(2，0)，(3，0)，处作格子线，可知当y＝－34x＋z4过(42)，(2，4)，(4，1)逐个试验韭菜，种植面积不超过元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表黄瓜≤54，即⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤50，4x＋3y≤180，x≥0，y≥0.画出可行域如图所示．类产品，甲种设备每天能生产件，乙种设备每天能生产件．已知设备甲每天的租赁费为的租赁费为300对应的直线过两直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＋65y ＝10，x ＋2y ＝14的交点(4，5)时，目标函数z ＝200x ＋300y 取得最小值为2300元．故填2300.1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．2．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处，目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的一个便是．第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断． 特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数i P Z ＝mx ＋ny ，比较各个i P Z ，得最大值或最小值．1．(2012·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，x －1≤0，则目标函数z ＝3x －2y 的最小值为( )A ．－5B ．－4C ．－2D ．3解：不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，作辅助线l 0：3x －2y ＝0，结合图形可知，当直线3x －2y ＝z 平移到过点(0，2)时，z ＝3x －2y 的值最小，最小值为－4，故选B.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－2B ．4C ．6D ．8解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线y ＝－2x ＋z 过点B (3，0)时，z 取得最大值6.故选C .3．(2012·福建)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．12B ．1C ．32D ．2解：可行域如图阴影部分所示，函数y ＝2x 的图象经过可行域上的点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x，x ＋y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2， 即函数y ＝2x 的图象与直线x ＋y －3＝0的交点坐标为(1，2)，当直线x ＝m 经过点(1，2)时，实数m 取到最大值为1.故选B.4．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝a x ()a ＞0，a ≠1的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1，3]B ．[2，10]C ．[2，9]D ．[10，9]解：如图，阴影部分为平面区域M ，显然a ＞1，只需研究过(1，9)，(3，8)两种情形，a 1≤9且a 3≥8即2≤a ≤9，故选C .5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一如图，由条件可知，当直线x右上方时，可行域可以组成一个三角形，即时，可行域可以组成一个△OAB；当＝x＋y，则y＝－ABC，且x＋y的最大值只在点－y－3＝0，－my＝－1先作出可行域，而目标函数就是将直线y＝－kx平行移动发现，直线在y轴上的截距最大，故时，发现z不可能等于12.⎪⎧x－4y＋3≤0，3作出可行域如图中阴影部分，联立易得1)，C(5，2)．⇔y＝43x－z13，易知平移最大，z最大值为4×5－3×2如图，作出可行域，作直线l ：6x ＋12向右上方平移至l 1位置，直线经过可行域上的点且与原点距离最大，此时z ＝6x ＋12y 取最大值．＝300，得M (20，24)．所以生产甲种ax ＋b ＝0的两根分别在区间上的几何意义是：函数y ＝轴的两个交点的横坐标分别在区间不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （f （f （则在坐标平面aOb 的切线，可求得切线方程为在区域内，故⎝⎛⎭⎫y x min ＝e.对应点C 时， ⎩⎪⎨⎪⎧5y ＝20－5x ，4y ＝20－12x ⇒§7.4 基本不等式及其应用1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 纵观近年高考，基本不等式一直都是热点，涉及范围较广，且常考常新，但一般不外乎以下四个层次：①直接考：即对“一正二定三相等”这一基本特征的考查，属基础知识型测试；②变化考：即考查学生能否通过使用加“0”、乘“1”、升(降)幂、取倒数、换元等手段将原问题转化成①，属知识、技能型测试；③灵活考：即从题面上看不一定是考查基本不等式，但若能灵活应用基本不等式，往往能突破题目难点，优化解题思路，避免分类与整合等，多为解答题，属能力型测试；④综合考：如综合各种数学思想，或与其他学科、背景综合等，属较高能力要求．1．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数．2．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥ (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则 ，当且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有 ，即a ＋b ≥ ，a 2＋b 2≥ .6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即，亦即 ；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 .7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b ≤ ≤a ＋b 2≤ ，当且仅当a ＝b 时等号成立．【自查自纠】 1.a ＋b 2 2.ab 3.2ab 4.a ＋b 2≥ab5．最小值 2ab 2ab6．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2ab ≤a 2＋b 227.ab a 2＋b 22设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．42C ．2 2D ．2 6解：因为2a ＞0，2b＞0，由基本不等式得2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取等号，故选B .若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )A ．12 B ．1 C ．2 D ．4解：∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.当且仅当a ＝1，b ＝12时等号成立．故选A.(2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b 2D ．v ＝a ＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s .∵a ＜b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b ＜2ab2ab ＝ab .又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v ＞a .故选A.下列函数中，最小值为4的是________．①y ＝x ＋4x；②y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)；③y ＝4e x ＋e －x ；④y ＝log 3x ＋log x 3(0＜x ＜1)．解：注意基本不等式等号成立的条件是“a ＝b ”，同时考虑函数的定义域，①的定义域为x ∈R ，且x ≠0，函数没有最小值；②若sin x ＝4sin x取到最小值4，则sin 2x ＝4，显然不成立；③符合一正、二定、三相等，且最小值为4；④没有最小值．故填③.点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是 ．解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，的值域．解：∵y＝（最小值为解：∵t当且仅当M，则对任意实常数A．2∈C．2∈解法一：m2＋2m求矩形场地的一面利用旧墙三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用45元/m ，新墙的造价为的函数；，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．如图，设矩形的另一边长为x －2)＋180·2a ，得a ＝360x ，3602制造一个底宽孔流入，经沉淀后从高度为b m ，已知排出的水中该杂质的质量分数与的乘积ab 为排出的水中杂质的质量分数，y ＝kab，是比例系数且k ＞0.最小，只需ab 最大．2ab ＋2a ≤60(a ＞(a ＞0，b ＞0)．，30，得0＜ab 时取“＝”号，ab ＝3 m 时经沉淀后排出的水中杂同解法一得b ≤30－a ，代入1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是(10．已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，求S ＝2ab －4a 2－b 2的最大值．解：∵a ＞0，b ＞0，2a ＋b ＝1，∴4a 2＋b 2＝(2a＋b )2－4ab ＝1－4ab .且1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤24，ab ≤18，∴S ＝2ab －4a 2－b 2＝2ab －(1－4ab )＝2ab＋4ab －1≤2－12.当且仅当a ＝14，b ＝12时，等号成立．11．如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件，知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼的面积为S ，则S ＝xy . 解法一：由于2x ＋3y ≥22x ×3y ＝26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272.当且仅当2x ＝3y 时等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，2x ＋3y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．解法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x ＞0，∴0＜y ＜6.S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎫9－32y y ＝32(6－y )y . ∵0＜y ＜6，∴6－y ＞0.∴S ≤32⎣⎡⎦⎤（6－y ）＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . 解法一：∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小．解法二：由xy ＝24，得x ＝24y .∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6⎝⎛⎭⎫16y ＋y ≥6×216y×y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小．(2013·惠州模拟)如图所示，已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树________米时，看A ，B 的视角最大．解：问题转化为求△ABC 中∠BCA 的取值范围．过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D .设该人距离此树的距离CD ＝x 米，看A ，B 的视角最大，即∠BCA 最大．不妨设∠BCD ＝α，∠ACD ＝β，则∠BCA＝β－α，且tan α＝4x ，tan β＝9x ，所以tan(β－α)＝9x －4x 1＋9x ×4x＝5x x 2＋36＝5x ＋36x ≤52x ×36x ＝512，当且仅当x ＝36x ，即x ＝6时取等号，此时∠BCA 最大．故填6.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |0≤x ＜3}，N ＝{x |x 2－3x －4＜0}，则集合M ∩N ＝( )A ．{x |0≤x ＜3}B ．{x |0≤x ≤3}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0≤x ＜1}解：x 2－3x －4＜0⇔ (x －4)(x ＋1)＜0⇔－1＜x ＜4，∴N ＝{x |－1＜x ＜4}，∴M ∩N ＝{x |0≤x ＜3}．故选A.2．不等式x ＋5()x －12≥2的解集是( )A.⎣⎡⎦⎤－3，12B.⎣⎡⎦⎤－12，3C.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1，3] 解：x ＋5（x －1）2≥2⇔（x ＋5）－2（x －1）2（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3≥0(x ≠1)⇔2x 2－5x －3≤0(x ≠1) ⇔－12≤x ≤3且x ≠1.故选D.3．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＞0，则y x 的取值范围是( )A ．(0，1) B.(]0，1 C ．(1，＋∞)D.[)1，＋∞解：画出不等式组所表示的平面区域，而yx 表示过可行域上任意一点P ()x ，y 和原点连线的斜率，故选C .4．若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．aD ．12a解：如图，设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x 2＋y 2＝a 2，其面积S ＝xy ，由基本不等式得S ≤12(x 2＋y 2)＝12a 2，当且仅当x ＝y 时取等号，此时为正方形．故选B.5．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解：函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)＝log 2(x －1＋1x －1＋6)≥log 2⎝⎛⎭⎪⎫2（x －1）×1x －1＋6＝log 28＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取得等号．故选C.6．下列各式中，最小值等于2的是( )A ．log a b ＋log b aB ．x 2＋5x 2＋4C ．tan θ＋1tan θD ．2x ＋2－x解：对于选项A ，可能有log a b ＜0，不正确；对于选项B ，x 2＋5x 2＋4＝（x 2＋4）＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2，但等号不可能成立，不正确；对于选项C ，可能有tan θ＜0，不正确；对于选项D ，∵2x ＋2－x ＝2x ＋12x≥2，当且仅当x ＝0时等号成立，正确．故选D. 7．(2012·山东)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是()A ．⎣⎡⎦⎤－32，6 B ．⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1，6]D ．⎣⎡⎦⎤－6，32解：作出不等式组所表示的区域如图，由z ＝3x(1＋a)x＋1＋a＋bf(x)＝x2＋(1＋a)x 方程x2＋(1＋a)x＋1图中的阴影部分为满足题意的可行域，(3，－4)，C(－5，0)三点都在圆周上0经过原点，所以直线mx＋P在线段DB上移动，因为直线若不等式的解集为因为不等式的解集为－16由图易知，直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(5，2)使z＝320x＋504y取得最小值，504×2＝2608.每天调出A型车5辆，B型车2辆，公司所花＋4bx＋c，。

第三章 导 数§3.1 导数的概念及运算1.导数的概念(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义. 2.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3的导数.(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数.导数的几何意义是高考考查的重点内容之一，常以选择，填空的形式出现，有时也出现在解答题中.导数的运算基本上每年都考，一般不单独设题，大都是在考查导数应用的同时考查.1.导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx 就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即ΔyΔx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆xΔyΔx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. (2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数).y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .(3)求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法①求函数的增量Δy ＝ ；②求平均变化率ΔyΔx ＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆xΔy Δx. 2.导数的意义 (1)几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 .相应的切线方程为 .(2)物理意义函数S ＝s (t )在点t 0处的导数s ′(t 0), 就是当物体的运动方程为S ＝s (t )时，物体运动在t 0时刻的瞬时速度v ，即 .设v ＝v (t )是速度函数，则v ′(t 0)表示物体在t ＝t 0时刻的 .3.基本初等函数的导数公式(1)c ′＝ (c 为常数)， (x α) ′＝ (α∈Q *)； (2)(sin x ) ′＝______________， (cos x ) ′＝ ； (3)(ln x ) ′＝ ， (log a x ) ′＝ ；(4)(e x ) ′＝ ，(a x ) ′＝ . 4.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )] ′＝ . (2)[f (x )g (x )] ′＝ ；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )] ′＝ . (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ） ′＝ (g (x )≠0). 5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.【自查自纠】 1.(1)可导 f ′(x 0)(3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2.(1)f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) (2)v ＝s ′(t 0) 加速度3.(1)0 αx α－1 (2)cos x －sin x (3)1x 1x ln a(4)e x a x ln a4.(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x ) (3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25.y x ′＝y ′u ·u ′x函数f (x )＝1的导函数是( )A ．y ＝0B ．y ＝1C ．不存在D ．不确定 解：常数函数的导函数是y ＝f ′(x )＝0.故选A.函数f (x )＝a 3＋5a 2x 2的导数f ′(x )＝( ) A ．3a 2＋10ax 2 B ．3a 2＋10ax 2＋10a 2x C ．10a 2x D ．以上都不对解：f ′(x )＝10a 2x .故选C.曲线y ＝e x 在点A (0，1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．e D.1e解：y ′＝e x ，y ′|x ＝0＝1，故选A.(2012·广东)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1，3)处的切线方程为 .解：y ′＝3x 2－1，当x ＝1时，y ′＝2，此时切线斜率k ＝2，故切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.故填2x －y ＋1＝0.物体的运动方程是s ＝－13t 3＋2t 2－5，则物体在t ＝3时的瞬时速度为 .解：v (t )＝s ′(t )＝－t 2＋4t ，t ＝3时，v ＝3， 故填3.类型一 导数的概念设f (x )为可导函数，当x 趋近于0时，f （1）－f （1－2x ）2x趋近于－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解：f （1）－f （1－2x ）2x ＝f （1－2x ）－f （1）－2x ，当x 趋近于0时，－2x 也趋近于0，∴y ′|x ＝1＝－1，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.故选B. 【评析】本题利用导数定义求导数，将“表达式”变形为导数的“定义式”的标准形式是关键，这里要找准增量Δx ＝－2x .“y ′|x ＝1”是指曲线在x ＝1处的切线斜率．已知f ′(0)＝2，则h 趋近于0时，f （3h ）－f （0）h趋近于 .解：f （3h ）－f （0）h ＝3[f （0＋3h ）－f （0）]3h当h 趋近于0时，3h 也趋近于0. ∴f （3h ）－f （0）h趋近于3f ′(0)＝6.故填6.类型二 导数的几何意义已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程. 解：(1)设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1，1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)∵y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，∴在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，又∵切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20， ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43. ∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. 【评析】曲线切线方程的求法： (1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简． (2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上.②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求满足斜率为4的曲线的切线方程； (2)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程； (3)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程.解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)， ∵f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18. ∴切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14. (2)∵f ′(x )＝3x 2＋1，且(2，－6)在曲线f (x )＝x 3＋x －16上， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13x －32. (3)解法一：设切点为(x 0，y 0)， ∵直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过原点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 0＝－2， ∴斜率k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x .解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则斜率k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解得x 0＝－2， ∴k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x .类型三 求导运算求下列函数的导数： (1)y ＝5x 2－4x ＋1； (2)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中φ为常数)；(4)y ＝x ＋3x ＋2(x ≠－2).解：(1)y ′＝10x －4；(2)y ′＝4x ·(3x ＋1)＋(2x 2－1)·3＝18x 2＋4x －3； (3)y ′＝cos(πx ＋φ)·(πx ＋φ) ′＝πcos(πx ＋φ)；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋2 ′＝－1（x ＋2）2.【评析】求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单．求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)；(2)y ＝xe x －1(x ≠0)；(3)y ＝cos2x ；(4)y ＝ln x ＋3x ＋1(x ＞－1).解：(1)y ′＝(x ＋1) ′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2) ′ ＝x ＋2＋x ＋1＝2x ＋3；(2)y ′＝x ′（e x －1）－x （e x －1）′（e x －1）2＝（1－x ）e x －1（e x －1）2；(3)y ′＝－sin2x ·(2x ) ′＝－2sin2x ；(4)y ′＝[ln(x ＋3)－ln(x ＋1)] ′＝1x ＋3－1x ＋1＝－2（x ＋1）（x ＋3）.1.弄清“函数在一点x 0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系(1)函数在一点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量；(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x 而言的.函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，也就是函数f (x )的导函数f ′(x )；(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值.2.求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)通常有以下两种方法(1)利用导数的定义：即求lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 的值；(2)利用导函数的函数值：先求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数f ′(x )，再将x 0(x 0∈(a ，b ))代入导函数f ′(x )，得f ′(x 0).3.求曲线在某一点处的切线方程时，可以先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程.如果切点未知，要先求出切点坐标.4.在导数与切线斜率的对应关系中体会数形结合的思想方法.1.函数f (x )＝x 3＋sin2x 的导数f ′(x )＝( ) A ．x 2＋cos2x B ．3x 2＋cos2x C ．x 2＋2cos2xD ．3x 2＋2cos2x解：f ′(x )＝3x 2＋(2x ) ′cos2x ＝3x 2＋2cos2x .故选D. 2.已知f (x )＝(x －2)(x －3)，则f ′(2)的值为( ) A ．0 B ．－1C ．－2D ．－3解：∵f ′(x )＝(x －3)＋(x －2)＝2x －5，∴f ′(2)＝－1.故选B.3.曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15解：由y ′|x ＝1＝3，得在点P (1，12)处的切线方程为3x －y ＋9＝0，令x ＝0，得y ＝9，故选C.4.若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1，0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解：∵f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x ＞0，x ＞0，∴x －2＞0，解得x ＞2.故选C.5.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解：∵y ′＝2x ＋a ，∴y ′|x ＝0＝a ，∴a ＝1. ∵(0，b )在切线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1， 故选A.6.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，则曲线在点(0，f (0))处的切线的斜率是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解：∵y ′＝4′·（e x＋1）－4·（e x ＋1）′（e x ＋1）2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1，∴y ′|x ＝0＝－41＋2＋1＝－1.故选D.7.曲线y ＝x 3＋x －2的一条切线平行于直线y ＝4x－1，则切点P 0的坐标是________________.解：∵y ′＝3x 2＋1，又∵3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. ∴切点P 0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．故填(1，0)或(－1，－4)．8.(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.解：令e x ＝t ，则x ＝ln t .∵f (e x )＝x ＋e x ，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝1＋1＝2.故填2.9.求函数f (x )＝x 3－4x ＋4图象上斜率为－1的切线的方程.解：设切点坐标为(x 0，y 0)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－4＝－1，∴x 0＝±1. ∴切点为(1，1)或(－1，7)．切线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0. 10.设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数.已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2，0)处有相同的切线l ，求a ，b 的值，并写出切线l 的方程.解：f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3，由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2，0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此解得a ＝－2，b ＝5.从而切线l 的方程为x －y －2＝0.11.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x 2.(1)求x ＜0时， f (x )的表达式；(2)令g (x )＝ln x ，问是否存在x 0，使得f (x )，g (x )在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.解：(1)当x ＜0时，－x ＞0， f (x )＝－f (－x )＝－2(－x )2＝－2x 2； ∴当x ＜0时，f (x )的表达式为f (x )＝－2x 2. (2)若f (x )，g (x )在x 0处的切线互相平行，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，当x 0>0时，f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0，解得x 0＝12.故存在x 0＝12满足条件．(2013·福建改编)已知函数f (x )＝x －1＋ae x(a ∈R ，e 为自然对数的底数). (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，求l 的直线方程.解：(1)f ′(x )＝1－aex ，因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝1－ae ＝0，解得a＝e.(2)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e x ，f ′(x )＝1－1e x .设切点为(x 0，y 0)，∵f (x 0)＝x 0－1＋0e 1x ＝kx 0－1，① f ′(x 0)＝1－e 1x ＝k ，② ①＋②得x 0＝kx 0－1＋k ，即(k －1)(x 0＋1)＝0. 若k ＝1，则②式无解，∴x 0＝－1，k ＝1－e. ∴l 的直线方程为y ＝(1－e)x －1.§3.2 导数的应用(一)1.导数在研究函数中的应用(1)结合实例，借助图形直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).(2)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值，极小值(其中多项式函数不超过三次)，会求闭区间上函数的最大值，最小值(其中多项式函数不超过三次).2.生活中的优化问题举例通过解“利润最大”“用料最省”“效率最高”等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用.高考对导数应用的考查很频繁.内容既可以是对某一类函数性质的研究，也可以联系方程的根，不等式的解等综合考查，选择，填空，解答等题型均有可能出现，分值比较重，是每年高考考查的重点内容之一.1.函数的单调性与导数在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内 .2.函数的极值(1)判断f (x 0)是极大值，还是极小值的方法： 一般地，当f ′(x 0)＝0时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤： ①求f ′(x )；②求方程 的根；③检查f ′(x )在上述方程根的左右对应函数值的符号.如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得 .3.函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值.(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则__________为函数在[a ，b ]上的最小值， 为函数在[a ，b ]上的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则 为函数在[a ，b ]上的最大值，为函数在[a ，b ]上的最小值.(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【自查自纠】 1.单调递减2.(1)②f ′(x )＜0 f ′(x )＞0(2)②f ′(x )＝0 极大值 极小值3.(2)f (a ) f (b ) f (a ) f (b ) (3)②f (a ) f (b )若在区间[1，2]内有f ′(x )＞0，且f (1)＝0，则在[1，2]内有( )A ．f (x )≥0B ．f (x )≤0C ．f (x )＝0D ．不确定解：∵f ′(x )＞0，∴f (x )在[1，2]内单调递增． ∵f (1)＝0，∴在[1，2]内f (x )≥0.故选A.已知函数f (x )＝12x 2－x ，则f (x )的单调增区间是( )A ．(－∞，－1)和(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)和(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解：f ′(x )＝x －1，令f ′(x )＞0，解得x ＞1.故选D.关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A ．导数为0的点一定是函数的极值点 B ．函数的极小值一定小于它的极大值C ．f (x )在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值D ．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数解：导数为0的点不一定是极值点(如y ＝x 3，在x ＝0处)，而极值点的导数一定为0.极值是局部概念，因此极小值可能有多个且有可能大于极大值．极值点是单调性的转折点．故选D.已知函数f (x )＝x 3＋6x 2＋nx ＋4在x ＝－1时有极值，则n ＝ .解：∵f ′(x )＝3x 2＋12x ＋n ，f ′(－1)＝0， ∴3－12＋n ＝0，得n ＝9.故填9.函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝ 处取得极小值.解：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．所以f (x )的递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间是(0，2)，因此f (x )在x ＝2处取得极小值．故填2.类型一 导数法判断函数的单调性设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是()解：当x ＜0时，f (x )为增函数，f ′(x )＞0，排除A ，C ；当x ＞0时，f (x )先增后减，再增，对应f ′(x )先正后负，再正．故选D.【评析】导函数的图象在哪个区间位于x 轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于0(小于0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)．若函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，则下列函数中与f (x )的单调性不可能相同的是()解：当x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，只有C 项的单调性与f (x )不同．故选C.类型二 导数法研究函数的单调性已知函数f (x )＝x 3－ax ，f ′(1)＝0. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解：(1)f ′(x )＝3x 2－a ，由f ′(1)＝3－a ＝0，得 a ＝3.(2)∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3. 令f ′(x )＞0，得x ＜－1或x ＞1. 所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)， 单调递减区间是[－1，1]．【评析】①用导数求函数的单调区间，突破口是讨论导数的符号．②注意：区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响．如，本例中[－1，1]也可以写成(－1，1)．③写单调区间时，一般不要使用符号“∪”，可以用“，”“和”分开各区间，原因是各单调区间用“∪”连接的条件是在合并后的区间内函数单调性依然成立．如，本例中(－∞，－1)，(1，＋∞)不能写成(－∞，－1)∪(1，＋∞)，不妨取x 1＝－32，x 2＝32，x 1＜x 2，而f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝98，f (x 2)＝－98，这时f (x 1)＜f (x 2)不成立．已知函数f (x )＝e x －ax ，f ′(0)＝0.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解：(1)f ′(x )＝e x －a ，由f ′(0)＝1－a ＝0，得 a ＝1.(2)∵f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1. 令f ′(x )＞0，得x ＞0.所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)．类型三 导数法研究函数的极值问题已知函数f (x )＝12x 3＋cx 在x ＝1处取得极值.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的极值.解：(1)f ′(x )＝32x 2＋c ，当x ＝1时，f (x )取得极值，则f ′(1)＝0，即32＋c ＝0，得c ＝－32.故f (x )＝12x 3－32x .(2)f ′(x )＝32x 2－32＝32(x 2－1)＝32(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或1.x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：，其中a 斜率为2.(1)确定(2)求函数＝x3＋bx，c)处具有公共切线(1)求a(2)求函数＝f′(x)的图象关于直线(1)求实数(2)求函数解：(1)f是边长为60 cm的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点棱柱形状的包装盒，解：(1)根据题意有S ＝602－4x 2－(60－2x )2＝240x －8x 2，0＜x ＜30， S ′＝240－16x ，令S ′＝0，得x ＝15. 当0＜x ＜15时，S ′＞0，S 递增； 当15＜x ＜30时，S ′＜0，S 递减．所以x ＝15 cm 时包装盒侧面积S 最大． (2)根据题意有V ＝(2x )2·22(60－2x )＝22x 2(30－x )，0＜x ＜30，V ′＝62x (20－x )，当0＜x ＜20时，V ′＞0，V 递增； 当20＜x ＜30时，V ′＜0，V 递减． 所以x ＝20 cm 时包装盒容积V 最大．【评析】本题主要考查学生的空间想象能力，阅读能力，运用数学知识解决实际问题的能力及建立函数模型的能力，属于中档题．注意用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．用长为15 cm ，宽为8 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别裁去一个边长为x 的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图).问该容器的高为多少时，容器的容积最大？解：依题意，0＜x ＜4， 容积V ＝(15－2x )·(8－2x )·x ＝4x 3－46x 2＋120x ， V ′＝12x 2－92x ＋120＝4(3x －5)(x －6)．令V ′＝0，得x ＝53或6(舍去)．当0＜x ＜53时，V ′＞0，V 递增；当53＜x ＜4时，V ′＜0，V 递减． 所以高x ＝53 cm 时容器的容积最大．1.用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点.2.极值与最值的区别(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性.(2)从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大值并不一定比极小值大.(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值.3.实际问题中的最值在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.1.函数f (x )是定义域为R 的可导函数，若f ′(x )＞0，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f ⎝⎛⎭⎫23，c ＝f (－1)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解：因为f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．∵－1＜12＜23，∴f (－1)＜f ⎝⎛⎭⎫12＜f ⎝⎛⎭⎫23， 即c ＜a ＜b .故选A.2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象有可能是( )解：当x ＜0时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ＞0时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．故选C. 3.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞)解：f ′(x )＝(x －3) ′e x ＋(x －3)(e x ) ′＝(x －2)e x ，令 f ′(x )＞0，解得x ＞2，故选D.4.函数f (x )＝(x －1)(x －2)2的极值点为x ＝( )A ．1，2 B.43，2 C.13，1 D.13，43解：f ′(x )＝(x －2)2＋2(x －1)(x －2)＝(x －2)(3x －4)．令f ′(x )＝0⇒x 1＝43，x 2＝2，结合导数的符号变化．故选B.5.f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1，1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2(舍去)， 当－1≤x ＜0时，f ′(x )＞0； 当0＜x ≤1时，f ′(x )＜0.所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.故选C.6.(2012·陕西)设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( ) A. x ＝12为f (x )的极大值点B. x ＝12为f (x )的极小值点C. x ＝2为 f (x )的极大值点D. x ＝2为 f (x )的极小值点解：f ′(x )＝x －2x2，令f ′(x )＝0，得x ＝2.当x <2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，所以x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.7．若函数f (x )＝ax ＋1＋x 在x ＝1处取极值，则a＝________.解：f ′(x )＝－a （x ＋1）2＋1，f ′(1)＝－a4＋1＝0⇒a ＝4.故填4.8.一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm ，60 cm ，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm 2.解：设长为40 cm 和60 cm 的直角边上对应的矩形边长分别为x cm ，y cm ，则40－x 40＝y60，得y ＝60－32x .矩形的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫60－32x ＝60x －32x 2，令S ′＝60－3x ＝0，得x ＝20.所以当x ＝20时矩形面积最大，最大面积为600 cm 2.故填600.9.(2013·湖北模拟)已知函数f (x )＝2ax 3－3x 2，其中a ＞0.求证：函数f (x )在区间(－∞，0)上是增函数. 证明：f ′(x )＝6ax 2－6x ＝6x (ax －1)．因为a ＞0且x ＜0，所以f ′(x )＞0.所以函数f (x )在区间(－∞，0)上是增函数．10.已知函数f (x )＝x e -x (x ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间； (2)求函数f (x )的极值.解：(1)f ′(x )＝(1－x )e -x .令f ′(x )＝0，得x ＝1. x在区间(1，＋∞)内是减函数．(2)由(1)可知，函数f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝1e. 11.已知函数f (x )＝ax ＋ln(x ＋1)，a ∈R .(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，试讨论f (x )的单 调性.解：f ′(x )＝a ＋1x ＋1.(1)若a ＝2，则f ′(0)＝2＋10＋1＝3，又f (0)＝0，因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －0＝3(x －0)，即3x －y ＝0.(2)∵f ′(1)＝0，∴f ′(1)＝a ＋12＝0，得a ＝－12，∴f (x )＝－12x ＋ln(x ＋1)，x ＞－1，f ′(x )＝－12＋1x ＋1＝－（x －1）2（x ＋1），令f ′(x )＝0，得x ＝1.调递减．(2012·福建)已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0.其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 解：f (3)＝27－54＋27－abc ＝－abc ＝f (0),因为f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，所以f (x )在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减．∵a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0，∴a ＜1＜b ＜3＜c ，∴f (1)＞0，f (3)＝f (0)＜0，∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0.故选C.§3.3 导数的应用(二)利用导数来解决函数的单调性，极值与最值问题已经成为热点问题之一.既有填空题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；也有解答题，侧重于导数的综合应用，即导数与函数，数列，不等式的综合应用.故编写导数的应用(二)，以加大学习力度.1.当f ′(x )在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f (x )在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(－∞，＋∞)上，f (x )＝x 3，当x ＝0时，f ′(x )＝，当x ≠0时，f ′(x )＞0，而f (x )＝x 3显然在(－∞，＋∞)上是单调递增函数.2.可导函数求最值的方法f ′(x )＝0⇒x ＝x 1，x 2，…，x n ，x ∈[a ，b ]. 直接比较f (a )，f (b )，f (x 1)，…，f (x n )，找出 和____________即可.在此基础上还应注意：(1)结合 可减少比较次数.(2)含参数的函数求最值可用：①按 分类；②按 分类.【自查自纠】 1.02.最小值 最大值 (1)单调性 (2)单调性 极值点函数f (x )＝ax 3＋x ＋1在x ＝－1处有极值，则a 的值为( )A ．1B ．0C ．－13D ．－12解：f ′(x )＝3ax 2＋1，∵f ′(－1)＝3a ＋1＝0，∴a ＝－13.故选C.函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 解：y ′＝8x －1x 2，令y ′＞0，解得x ＞12，∴函数y ＝4x 2＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上递增．故选B.已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．0B ．3C ．－1D ．2 解：f ′(x )＝3ax 2＋b ，f ′(－1)＝f ′(1)＝2.故选D.已知f (x )＝sin x ＋2x ，x ∈R ，且f (2a )＜f (a －1)，则a 的取值范围是 .解：∵f ′(x )＝cos x ＋2＞0恒成立，∴f (x )在R 上单调递增．∵f (2a )＜f (a －1)，∴2a ＜a －1，得a ＜－1.故填(－∞，－1)．若函数g (x )＝e x －3x 在(1，＋∞)上的最小值是 .解：g ′(x )＝e x －3，令g ′(x )＝0，得x ＝ln3，g (x )在(－∞，ln3)上单调递减，在(ln3，＋∞)上单调递增，所以g (x )在(1，＋∞)上的最小值g (ln3)＝3－3ln3.故填3－3ln3.类型一 函数单调性的进一步讨论设函数f (x )＝x e kx (k ≠0).(1)若k ＞0，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围.解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx .若k ＞0，令f ′(x )＞0，得x ＞－1k，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－1k ，＋∞， 单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－1k . (2)∵f (x )在区间(－1，1)内单调递增，∴f ′(x )＝(1＋kx )e kx ≥0在(－1，1)内恒成立， ∴1＋kx ≥0在(－1，1)内恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧1＋k ·（－1）≥0，1＋k ·1≥0， 解得－1≤k ≤1. 因为k ≠0，所以k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]． 【评析】①函数单调性的讨论归结为对不等式解的讨论；②函数f (x )在限定区间是单调函数，求参数范围的问题，可以转化为恒成立问题求解．若函数f (x )＝－x ＋b ln(x ＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)解：∵f ′(x )＝－1＋bx ＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤x ＋2在[－1，＋∞)上恒成立．∴b ≤1.故选C .类型二 极值与最值的进一步讨论(2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R ).(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值.解：(1)∵当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x.∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1.∴所求切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0.若a ≤0，则f ′(x )＞0恒成立，f (x )不存在极值．所以f (x )的极小值f (a )＝a －a ln a .【评析】本题要求掌握运用导数研究函数的单调性，极值的一般步骤．第二问对分类讨论要求较高，其分类是以表格为基础进行的．(2013·河南模拟)已知函数f (x )＝x ln x 在区间[t ，＋∞)(t ＞0)上的最小值大于－1e，则t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(1，e) C.⎣⎡⎭⎫1e ，1 D.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ 解：f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.x所以f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e. 显然，若t ＞1e ，则f (x )的最小值大于－1e.故选D.类型三 方程根的讨论已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)求f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f (x )与直线y ＝e x 有唯一公共点. 解：(1)∵f ′(0)＝e 0＝1，f (0)＝1，∴切线方程为y －1＝1·(x －0)，即x －y ＋1＝0. (2)证法一：设g (x )＝e x －e x ，曲线y ＝e x 与y ＝e x 的公共点的个数等于函数g (x )＝e x －e x 零点的个数．∵g ′(x )＝e x －e ，令g ′(x )＝0，得x ＝1， ∴g(x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g (x )的最小值g (1)＝e 1－e ＝0，g (x )＝e x －e x ≥0(仅当x ＝1时，等号成立)． ∴曲线y ＝f (x )与直线y ＝e x 有唯一公共点．证法二：⎝⎛⎭⎫由于方程e x ＝e x 等价于x e x ＝1e . 设h (x )＝xe x ，分析方法类似证法一．【评析】通过作差或作商可得到新的函数，求出新函数的单调区间，极值点，区间端点处的函数值，特殊点(如图象与x 轴，y 轴交点)，来判断交点的个数．若a ＞1e，则方程ln x －ax ＝0的实根的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个解法一：由于方程ln x －ax ＝0等价于ln xx＝a .设f (x )＝ln xx .∵f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝e ，∴f (x )在(0，e)上单调递增；在(e ，＋∞)上单调递减．∴f (x )的最大值f (e)＝1e，f (x )＝ln x x ≤1e (仅当x ＝e 时，等号成立)．∵a ＞1e，∴原方程无实根．解法二：设g (x )＝ln x －ax ，分析单调性，极值可得结论．故选A.类型四 导数法证明不等式已知函数f (x )＝e x ，当x ∈[0，1]时.求证： (1)f (x )≥1＋x ； (2)(1－x )f (x )≤1＋x .证明：(1)设g (x )＝e x－x －1，x ∈[0，1]． ∵g ′(x )＝e x －1≥0，∴g (x )在[0，1]上是增函数， g (x )≥g (0)＝1－0－1＝0. ∴e x ≥1＋x ，即f (x )≥1＋x .(2)设h (x )＝(1－x )e x －x －1，x ∈[0，1]． ∵h ′(x )＝－x e x －1＜0，∴h (x )在[0，1]上是减函数，h (x )≤h (0)＝1－0－1＝0.∴(1－x )e x －x －1≤0， 即(1－x )f (x )≤1＋x .【评析】①用导数证明不等式问题的关键在于构造函数；②由作差或者作商来构造函数是最基本的方法；③本题通过作差构造函数，分析其单调性，最值，得出函数值恒大于或小于0，使问题得证．(2013·江西模拟)设函数f (x )＝x1＋x，g (x )＝ln x ＋12.求证：当0＜x ≤1时，f (x )≥g (x ).证明：设h (x )＝x 1＋x－ln x －12，0＜x ≤1.∵h ′(x )＝1＋x －x （1＋x ）2－1x ＝1（1＋x ）2－1x＝－x 2－x －1（1＋x ）2x ＜0， ∴h (x )在(0，1]上单调递减．∵h (1)＝12－0－12＝0，h (x )≥0(仅当x ＝1时，等号成立)． ∴当0＜x ≤1时，f (x )≥g (x )．1.证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明.2.求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量； (2)运用最值.3.方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论.4.高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.1.函数f (x )的导函数为f ′(x )＝1－xx，则f (x )的单调增区间是( )A ．(－∞，0)B ．[1，＋∞)C ．(0，1]D ．(－∞，0)，[1，＋∞)解：令f ′(x )＞0，解得0＜x ＜1.又f ′(1)＝0，所以f (x )在(0，1]上单调递增． 故选C.2.函数f (x )＝43x 3－x 2的单调减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫0，12 解：f ′(x )＝4x 2－2x ＝2x (2x －1)，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.所以f (x )的单调减区间是⎝⎛⎭⎫0，12.故选D.3.已知函数f (x )＝mx 3＋12m x ，f ′(1)＝－12，则实数m 的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解：f ′(x )＝3mx 2＋12m ，由f ′(1)＝3m ＋12m ＝－12，得m 2＋4m ＋4＝0，即(m ＋2)2＝0，故m ＝－2， 故选B.4.函数f (x )＝x (1－x )n 的部分图象如图所示，f (x )在x ＝13处取极值，则n 的值为()A ．1B ．－1C ．2D ．－2解：f ′(x )＝(1－x )n －nx (1－x )n -1＝(1－x －nx )(1－x )n -1，∵x ＝13为f (x )的极值点，∴f ′⎝⎛⎭⎫13＝0，得⎝⎛⎭⎫1－13－n 3·⎝⎛⎭⎫23n －1＝0，∴n ＝2.故选C.5.已知函数f (x )＝e xx，则x ＞0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极大值也无极小值解：f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝（x －1）e xx 2，x ＞0.令f ′(x )＝0，得x ＝1.又f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以x ＝1为f (x )的极小值点，f (x )无极大值．故选B.6.若对于R 上的可导函数f (x )满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)＜2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)＞2f (1)解：当x ＞1时，f ′(x )≥0，f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当x ＜1时，f ′(x )≤0，f (x )在(－∞，1)上是减函数， 故f (x )的最小值为f (1)，必有f (0)＋f (2)≥2f (1)．故选C .7.(2013·山西模拟)函数f (x )＝x 2＋3xf ′(1)，在点(2，f (2))处的切线方程为 .解：f ′(x )＝2x ＋3f ′(1)，f ′(1)＝2×1＋3f ′(1)，得f ′(1)＝－1，所以f (x )＝x 2－3x ，f ′(x )＝2x －3.代入x ＝2，可知f (2)＝－2，f ′(2)＝1，在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.故填x －y －4＝0.8.(2013·广东改编)函数f (x )＝(x －1)e x －x 2的单调减区间是 .解：f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x －2)， 令f ′(x )＜0，得0＜x ＜ln2.故填(0，ln2)．9.已知函数f (x )＝12ax 2＋(a －1)x ＋1，a ∈R .(1)求f (x )的图象在(0，f (0))处的切线方程； (2)若f (x )在区间(1，4)上为减函数，求实数a 的取值范围.解：(1)f ′(x )＝ax ＋a －1，f ′(0)＝a －1，f (0)＝1. 所以在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝(a －1)(x －0)，即(a －1)x －y ＋1＝0.(2)∵f (x )在区间(1，4)上为减函数， ∴f ′(x )≤0在区间(1，4)上恒成立， ∴ax ＋a －1≤0在区间(1，4)上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a ·1＋a －1≤0，a ·4＋a －1≤0， 得⎩⎨⎧a ≤12，a ≤15.因此a ≤15.10.已知函数f (x )＝e x －2x ＋a ，a ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在R 上有零点，求a 的取值范围. 解：(1)f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.所以f (x )的单调减区间是(－∞，ln2)， 单调增区间是(ln2，＋∞)． (2)若f (x )在R 上有零点，则f (x )的最小值f (ln2)≤0，即e ln2－2ln2＋a ≤0，得a ≤2ln2－2.11.已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ，a ≠0.(1)若x ＝1是函数f (x )的极值点，求实数a 的值； (2)讨论f (x )的单调性.解：(1)f ′(x )＝2x ＋ax，x ＞0.因为f ′(1)＝0，所以2＋a ＝0，得a ＝－2， 经检验，当a ＝－2时，x ＝1是函数f (x )的极值点． (2)①若a ＞0，则f ′(x )＞0恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a ＜0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a2，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．(2014届湖北重点中学高三10月阶段性统一考试)已知函数f (x )＝a x ＋x 2，g (x )＝x ln a ，a ＞1.(1)求证：函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若函数y ＝|F (x )－b 2－3b |－3有四个零点，求b 的取值范围.证明：(1)F (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，F ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝(a x －1)ln a ＋2x .∵a ＞1，当x ∈(0，＋∞)时，a x －1＞0，ln a ＞0，2x ＞0，∴F ′(x )＞0，函数F (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知F (x )在(0，＋∞)上单调递增， 当x ＜0时，a x －1＜0，ln a ＞0，2x ＜0， ∴函数F (x )在(－∞，0)上单调递减．当x 趋近于＋∞或－∞时，F (x )趋近无穷大． ∴F (x )的最小值为F (0)＝1. 由|F (x )－b 2－3b |－3＝0，得F (x )＝b 2＋3b ＋3或F (x )＝b 2＋3b －3.所以要使函数y ＝|F (x )－b 2－3b |－3有四个零点，只需b 2＋3b ＋3＞1且b 2＋3b －3＞1，即b 2＋3b ＞4.解得b ＜－4或b ＞1.§3.4 定积分与微积分基本定理1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.3.初步掌握定积分的主要应用：①利用定积分求曲边梯形的面积；②利用定积分求变速直线运动物体的路程；③利用定积分求变力作的功.近几年高考试卷中对定积分的考查主要内容有：定积分的运算，求曲边梯形的面积(或利用曲边梯形的面积计算概率)，定积分的物理应用等，一般为选择，填空题，难度不大.1.定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )作和式∑=-ni i f n ab 1)(ξ.当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作 ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝∑=∞→-ni i n f n a b 1)(lim ξ.其中f (x )称为________，x 称为__________，f (x )d x 称为__________，[a ，b ]为__________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号.(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为 ，近似代替，求和， .2.定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝ (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝ (其中a ＜c ＜b ). 3.微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x ) ，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝ ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式.常常把F (b )－F (a )记作 ，即 ⎠⎛abf (x )d x ＝ ＝ .4.定积分在几何中的简单应用(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，由直线x＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝.(2)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为负时，由直线 x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝ .(3)当x ∈[a ，b ]有f (x )＞g (x )＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝.一般情况下，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x轴，曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.(4)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝ (其中a >0)；若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝ (其中a >0).5.定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V (t )，速度方向不变)在时间区间[a ，b ]上所经过的路程S ＝____________.(2)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所作的功W ＝ .(3)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所作的功W ＝ .【自查自纠】1.(1)⎠⎛ab f (x )d x 被积函数 积分变量被积式 积分区间 (2)分割 取极限。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3，4)，c ＝(3，2)，则(a ＋2b )·c 等于( )A ．(－15，12)B ．0C ．－3D ．－11解：由已知，得a ＋2b ＝(－5，6)，∴(a ＋2b )·c ＝－5×3＋6×2＝－3.故选C .2．(2013·陕西)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：设a 与b 的夹角为θ，则|a ·b |＝||a |·|b |cos θ|＝|a |·|b ||cos θ|＝|a |·|b |，则向量a ，b 夹角为0或π或者两个向量a ，b ，至少有一个为0，故a ∥b ，充分性成立；反之，若a ∥b ，则|a ·b |＝|a |·|b |，必要性成立．故选C .3．已知A ，B ，C 是圆x 2＋y 2＝1上的三点，OA →＋OB →＝OC →，则AB →·OC →＝( )A ．0B ．1C ．－1D.12解：AB →＝OB →－OA →，则AB →·OC →＝(OB →－OA →)·(OB →＋OA →)＝OB →2－OA →2＝0.故选A .4．(2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则||a ＋b ＝( )A. 5B.10C ．2 5D ．10解：∵a ⊥c ，b ∥c ，∴2x －4＝0，2y ＋4＝0，则x ＝2，y ＝－2.∴a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)．∴||a ＋b ＝32＋（－1）2＝10.故选B . 5．(2012·浙江改编)设a ，b 是两个非零向量，下列说法正确的是( )A ．若||a ＋b ＝||a －||b ，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则||a ＋b ＝||a －||bC ．若||a ＋b ＝||a －||b ，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则||a ＋b ＝||a －||b解：对||a ＋b ＝||a －||b 两边平方得a ·b ＝－||a ||b ，故选项A 、B 错，C 正确；至于选项D ，当a ，b 为方向相同的向量时，显然||a ＋b ＝||a －||b 不成立．故选C .6．已知O 为原点，点A ，B 的坐标分别为(a ，0)，(0，a )，a 是正的常数，点P 在线段AB 上，则OA →·OP →的最大值是( )A ．aB ．2aC ．a 2D ．3a解：OA →·OP →＝|OA →||OP →|cos ∠POA ＝a |OP →|cos ∠POA . 据图可知，当P 与A 重合时，取得最大值，即OA →·OP →≤a 2(亦可设出P 点坐标求解)．故选C.7．已知向量a ，b 是平面α内的一组基底，向量c ＝a ＋2b ，对于平面α内异于a ，b 的不共线的向量m ，n 有下列命题：①当m ，n 分别与a ，b 对应共线时，满足c ＝m ＋2n 的向量m ，n 有无数组；②当m ，n 与a ，b 均不共线时，满足c ＝m ＋2n 的向量m ，n 有无数组；③当m 与a 共线，但向量n 与b 不共线时，满足c ＝m ＋2n 的向量m ，n 有无数组．其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解：如图，将c 沿OA →和OB →方向分解时，只有一种分解方式，故①错误；当m ，n 与a ，b 均不共线时，m ，n 的变化会引起分解的变化，故②正确；同理，③正确．故选C.8．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为B ．1C ．－33DA →＋13AB →，DB →＝DA →＋AB →，13AB →2＝1，故选B .＝(－1，3)，OA →＝a －b ，O 为直角顶点的等腰直角三角形，则 )B ．2C ．2 2 由三角形AOB 为等腰直角三角形可得：已知向量AB →与AP →＝λAB →＋____________．，AP →⊥BC →＋AC →2－AC →本大题共6小题，写出文字说明、证明过程或演算步骤．长春检测)已知向量BC ＝2a ＋8b, 三点共线；＋b 与2a ＋＝BC →＋CD →的轨迹方程；和OM →夹角最大时y 0)，M (x ，y )，则OP →＋OQ →＝(2x 0，0＝12x ，0＝y ，∵x 20＋y 20＝OM →的夹角为α，OM OM →|＝2x 20＋y 24x 20＋y 20＝（t ＋2）2＝1t ＋。

1.(2012·厦门模拟)下列函数中，随x (x ＞0)的增大，增长速度最快的是( )A ．y ＝1，x ∈ZB ．y ＝xC ．y ＝2xD ．y ＝e x解：指数函数模型增长速度最快，并且e ＞2，因而y ＝e x 增长速度最快，故选D.2.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙，如图所示，那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面解：由图象可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0，0～t 1与t 轴所围成的图形面积大，则在t 0，t 1时刻，甲车均在乙车前面．故选A.3.某学校开展研究性学习活动，某组同学获得了现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)解：通过描点可知，y ＝12(x 2－1)最符合要求．故选D .4.根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <A ，cA，x ≥A (A ，c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( )A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，16解：由⎩⎪⎨⎪⎧f （4）＝30，f （A ）＝15，即⎩⎨⎧c2＝30，c A＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝60，A ＝16.故选D.5．已知A 、B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km/h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1 h 后再以50 km/h 的速度返回A 地.把汽车离A 地的距离x (km)表示为时间t (h)的函数表达式是( )8.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝⎛⎭⎫116t -a(a 为常数)，如图所示.据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到不高于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.解：(1)由题意和图示，当0≤t ≤0.1时，可设y ＝kt (k 为待定系数)，由于点()0.1，1在直线上，∴k ＝10；同理，可得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1-a ⇒0.1－a ＝0⇒a ＝110， 故所求的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝⎛⎭⎫116t －110，t ＞0.1.(2)由题意可得y ≤0.25＝14，即⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫116 t －110≤14，t ＞0.1⇒t ≥0.6，至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．故填(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝⎛⎭⎫116t －110，t ＞0.1；(2)0.6.9.如果从边长为a 的正三角形的各顶点出发，在各边上截取长度为x 的线段，以这些线段为边做成有两个角是直角的四边形有三个，把这三个四边形剪掉，用剩下部分折一个底为正三角形的无盖柱形容器.(1)求这个容器的体积V (x )；(2)求使V (x )为最大值时的x 及V (x )的对应值.解：(1)容器底边长为a －2x ，高h 可以由原图形中求得，h ＝x ·tan30°＝x3， 故V (x )＝34(a －2x )2·x3＝14(a －2x )2·x ＝x 3－ax 2＋14a 2x ，0<x <a2.(2)∵V ′(x )＝3x 2－2ax ＋14a 2.令V ′(x )＝0，得x ＝a 6或x ＝a2(舍去)，即x ＝a6时，V (x )取得极大值，也是最大值，最大值为a 354.∴当截取的线段为a 6时，容器有最大容积为a 354.10．(2012·山东模拟)某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资金额成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资金额单位：万元).(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式；(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中.问怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？解：(1)设投资x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元，依题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由图1，得f (1)＝0.2，即k 1＝0.2＝15，由图2，得g (4)＝1.6，即k 2×4＝1.6，所以 k 2＝45.故f (x )＝15x (x ≥0)，g (x )＝45x (x ≥0)．(2)设B 产品投入x 万元，则A 产品投入10－x 万元，设企业利润为y 万元，由(1)得y ＝f (10－x )＋g (x )＝－15x ＋45x ＋2(0≤x ≤10)．因为y ＝－15x ＋45x ＋2＝－15(x －2)2＋145，0≤x≤10，所以当x ＝2，即x ＝4时，y max ＝145＝2.8. 因此当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元．11.研究表明：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO 2浓度增加.据测，2007年、2008年、2009年大气中的CO 2浓度分别比2006年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟每年CO 2浓度增加的可比单位数与年份增加数x 的关系，模拟函数可选用二次函数f (x )＝px 2＋qx ＋r 或函数y ＝a ·b x ＋c (其中a ，b ，c 为常数)，且又知2011年大气中的CO 2浓度比2006年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？解：若以f (x )＝px 2＋qx ＋r 作模拟函数，则依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＝1，4p ＋2q ＋r ＝3，9p ＋3q ＋r ＝6.解得p ＝12，q ＝12，r ＝0，所以f (x )＝12x 2＋12x .若以g (x )＝a ·b x＋c 作模拟函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝3，ab 3＋c ＝6.解得a ＝83，b ＝32，c ＝－3.所以g (x )＝83·⎝⎛⎭⎫32x－3.利用f (x )，g (x )对2011年的CO 2浓度作估算，则其数值分别为：f (5)＝15可比单位，g (5)＝17.25可比单位，∵|f (5)－16|＜|g (5)－16|，故选f (x )＝12x 2＋12x 作为模拟函数较好．有一家公司准备裁减人员.已知这家公司现有职员2m (160＜2m ＜630，且m 为偶数)人，每人每年可创利n (n >0)万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.02n 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.8n 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的34.为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解：设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元， 则y ＝(2m －x )(n ＋0.02nx )－0.8nx .整理得y ＝－n50[x 2－2(m －45)x ]＋2mn ，则二次函数y ＝－n50[x 2－2(m －45)x ]＋2mn 的对称轴方程为x ＝m －45.∵－n50＜0，∴当x ＜m －45时，函数y 是递增的 ；当x ＞m －45时，函数y 是递减的．∵该公司正常运转所需人数不得少于现有职员 的34， ∴2m －x ≥34×2m ，∴0＜x ≤m2.∵m 为偶数，∴m2为整数．又∵160＜2m ＜630，∴80＜m ＜315.(1)当0＜m －45≤m2，解得45＜m ≤90，∴80＜m ≤90时 ，x ＝m －45时，y 取最大值．(2)当m －45＞m2，即90＜m ＜315时，x ＝m2时，y 取到最大值．综上所述，当80＜m ≤90时，应裁员(m －45)人；当90＜m ＜315时，应裁员m2人，公司才能获得最大的经济效益．。

第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用§2.1函数及其表示1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).从近几年高考来看，函数的概念、分段函数的解析式和求函数值是重点考查的内容之一，主要以选择、填空题的形式出现.1.函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有________f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做________，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________.2.函数的表示方法(1)解析法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法.(2)图象法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法.(3)列表法：就是________表示两个变量之间的对应关系的方法.3.构成函数的三要素(1)函数的三要素是：________，________，________.(2)两个函数相等：如果两个函数的________相同，并且完全一致，则称这两个函数相等.4.分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数.5.映射的概念一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于A中的________元素x，在集合B中都有________元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.6.映射与函数的关系(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_____________.(2)区别：函数是从非空数集．．A到非空数集．．B的映射；对于映射而言，A和B不一定是数集．．.7.复合函数一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数.【自查自纠】1.唯一确定的数函数自变量定义域函数值值域2.(1)数学表达式(2)图象(3)列出表格3.(1)定义域对应关系值域(2)定义域对应关系5.任意一个唯一确定的6.(1)映射(2012·江西)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A．y＝1sin x B．y＝ln xxC．y＝x e x D．y＝sin xx解：函数y＝13x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，列判断正确的是．都表示映射，都表示y 是x 的函数 ．仅③表示y 是x 的函数 ．仅④表示y 是x 的函数 ．都不能表示y 是x 的函数根据映射的定义，①②③中，x 与y 的对应关系都不是映射，当然不是函数关系，④是映射，是函数关系．故选C.函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域________________.依题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0， 解得－4≤1.故填[－4，0)∪(0，1]．规定记号“*”表示一种运算，且a *b ＝ab ，a b 是正实数，已知1*k ＝3.正实数k 的值为____________；在(1)的条件下，函数f (x )＝k *x 的值域是___________.∵1*k ＝k ＋k ＋1＝3，∴k ＝1；k *x ＝1*x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>1，∴函数f (x )＝k *x 的值域是．故填1；(1，＋∞)．________.①P ＝Z 素取绝对值与集合②P ＝{→y ＝x 2 ①A ＝R ②A ＝⎩⎨⎧a ：a →b ， 相等的函数是A ．g (x一函数的是(A．f(x)＝B．f(x)＝的定义域.(2)若函数的定义域求函数f(x)的定义域(2)已知函数的定义域.解：(1)∵(1)y＝11(3)y＝2，x ＜－12，，－12≤x ≤4，＞4，作出其图象，可知函数f (x )的值域是求函数值域的常用方法：①单调性法，(2)；③分离常数法，如(包括代数换元与三角换元⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(5)，(6))，其解法要针对具体题目可以将二元函数化为一元函数求值只能用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．求下列函数的值域：(1)y ＝x ＋； (2)f (x )＝解：(1)函数的定义域为和y ＝(1)已知；(2)已知(3)已知，求f(x)(2)已知2x＋17，求(3)已知1－x），－1）－f ________.解：∵x>02x，x＞012（－x），范围是(A．(－1(a )＞f (－a )，则有由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log ）＞log 2（－a ）⇒⎩⎪⎨⎪⎧）＞0.或－1＜a ＜0.故选类型七 创新问题对实数a 与b ，定义运算a －b ≤1a －b >1.若函数y ＝f c 的取值范围是由图可知，要使y ＝f ()x 与y ＝c 的图象有两个交的活动范围是在l 1与l 2之间， a －b ）2)A ．f (x )＝§2.2函数的单调性与最大(小)值1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.掌握简单函数单调性的判断和证明方法.3.能将函数单调性、最大(小)值的定义、图象、求导等紧密结合，并能综合应用，解决函数单调性问题.函数的单调性、最值一直是高考的热点.1.函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是.②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是.(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的.2.函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值.(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得.那么我们称m是函数y＝f(x)的最小值.【自查自纠】1.(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2.(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M(2)①f(x)≥m②f(x0)＝m(2012·广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝ln(x＋2) B．y＝－x＋1C．y＝⎝⎛⎭⎫12xD．y＝x＋1x解：易知选项中4个函数均在区间(0，＋∞)上有意义，由y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)可知：y ＝ln(x＋2)在(0，＋∞)上是增函数．故选A.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A．2 B．－2C．2或－2 D．0解：当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2.故选C.下列区间中，函数f(x)＝||ln（2－x）在其上为增函数的是()A．(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－1，43C.⎣⎡⎭⎫0，32D．[1，2)解：f(x)的定义域为(－∞，2)，f(1)＝0，当x∈[1，2)时，f(x)＝－ln(2－x)，由复合函数的单调性特征知f(x)为增函数．故选D.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是____________.解：f(x)的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.∵u＝2x＋1在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，且u∈(0，＋∞)，y＝log5u在(0，＋∞)上单调递增．∴f(x)在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增．故填⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.(2012·上海)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数).若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________.解：图象法，根据函数f(x)＝e|x-a|＝⎩⎪⎨⎪⎧e x-a，x≥a，e-x+a，x＜a.的图象如图所示，由图象知当为增函数，而已知函数上为增函数，所以a的取值范围为判断函数的单调性，求函数的单调区间2013·重庆模拟)求下列函数的单调区间：①y＝－＋3；②y＝1x＋2；③y＝x①依题意，可得＝－x2＋2x＋3＝－(＝－x2－2x＋3＝－由二次函数的图象知，函数y＝－上是增函数，在[y＝－x2＋2|x|＋1]；单调减区间为0，得x≥2或x≤，则y＝1－u，减的是________①f(x)＝③f(x)＝上是单调增函数，求实数解：设是单调增函数．在区间[2解：设假设符合条件的当a>1时，由复合函数的单调性知，只需y)＝f(x＋(1)求证：(2)求f(∞)，且对一切时，有(1)求f(1)(2)判断－1)＜0，f (11)＝f (3)＞(80)＜f (11)，故选D .若函数f (x )＝||2x ＋a 的单调递增区a ＝____________.函数的对称轴为x ＝－a2，由对称性可知6. (3)＝0⇒a ＝－6.故填－若函数f (x )＝a x (a >0，，最小值为m ，且函数增函数.§2.3函数的奇偶性与周期性了解函数奇偶性的含义.在高考中，函数的奇偶性、周期性常与函数的其他性质结合在一起命题，综合考查学生对函数基本概念及性质的理解，题型以选择、填空为主.1.奇偶函数的概念(1)偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数.2.奇偶函数的图象特征偶函数的图象关于对称；奇函数的图象关于对称.3.具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即定义域关于是一个函数具有奇偶性的条件.4.周期函数的概念(1)周期、周期函数对于函数f(x)，如果存在一个T，使得当x取定义域内的值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数.T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.5.函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f(x)为奇函数，在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上应为；(2)若函数f(x)为偶函数，在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上应为.6.奇偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝，偶±偶＝，奇×奇＝，偶×偶＝，奇×偶＝.7.函数的对称性如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a＋x)＝f(b－x)，那么函数的图象有对称轴；如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a－x)＝－f(b ＋x)，那么函数的图象有对称中心.8.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T ＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同).(2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a).(3)如果函数f(x)，x∈D在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.【自查自纠】1.(1)f(－x)＝f(x)(2)f(－x)＝－f(x)2.y轴原点3.原点对称原点对称必要不充分4.(1)非零常数每一个f(x＋T)＝f(x)(2)最小5.(1)增(减)函数(2)减(增)函数6.奇偶偶偶奇7.x＝a＋b2⎝⎛⎭⎫a＋b2，0(2013·广东)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是() A．4 B．3 C．2 D．1解：易知函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，故选C.(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A．－2 B．0 C．1 D．2解：∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.(2013·东北三校联考)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1 B．1 C．－2 D．2解：∵函数f(x)的周期为5，∴f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)，又∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.故选A.设函数f(x)＝x(e x＋a e－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝.解：令g(x)＝x，h(x)＝e x＋a e－x，因为函数g(x)(1)f(x)＝(2)f(x)＝，∴－2≤x≤2且x≠0定义域关于原点对称．偶性：(1)f(x)＝(2)f(x)＝(1)求证：(2)若f(1)(3)若当f(x)的解析式称，且当x∈x).解：由题意知函数期的周期函数．所以先求出一个周期内的表达式，然2]上单调递减，若值范围是________________解：∵∴f(1－－1，1)上又是减函数，且满足的取值范围为解：由奇函数的性质得＋x)＝f(5－2014，A．808解：∵数，且f(2)＝成立，则A．4024解：函数是定义在R 上的偶函数，且满足：；②当0≤x ≤1时，是否为周期函数；.）＝f （2－x ），）＝f （－x ） ⇒x )是周期为2的周期函数．1.5)＝f (1.5)＝f (2－x )的定义域为(－2，的定义域；为奇函数，并且在定义域上单调递减，的解集.由题意可知，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，12<x <52，的偶函数，当§2.4 二次函数二次函数虽属于初中内容，在考试大纲中也没有明确要求，但二次函数、一元二次方程和一元二次不等式又是高考的热点内容之一，因此，二次函数的重要性在于它的工具性和基础性，从题型上看，选择、填空、大题都有.掌握好二次函数的关键是掌握其图象，记住它的图象，其性质就很容易掌握.1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f (x )＝ (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝ (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝ (a ≠0). 2.二次函数的图象与性质(1)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：①对称轴：x ＝ ； ②顶点坐标： ；③开口方向：a ＞0时，开口 ，a ＜0时，开口 ；④值域：a ＞0时，y ∈ ，a ＜0时，y ∈ ；⑤单调性：a ＞0时，f (x )在 上是减函数，在 上是增函数；a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－b2a 上是 ，在⎝⎛⎭⎫－b 2a ，＋∞上是____________. (2)二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点(图象与x 轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的 ，也是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(或ax 2＋bx ＋c ≤0)解集的 .3.二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的 或二次函数的 处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值.4.一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根，则x 1，x 2的分布范围与系数之间的关向下④⎣⎡⎭⎫4ac－b24a，＋∞⎝⎛⎦⎤－∞，4ac－b24a⑤⎝⎛⎭⎫－∞，－b2a⎝⎛⎭⎫－b2a，＋∞增函数减函数(2)根端点值3.端点顶点函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1解：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，对称轴为x＝1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立．故选A.(2013·重庆)()3－a()a＋6()－6≤a≤3的最大值为()A．9 B.92C．3 D.322解：（3－a）（a＋6）＝－⎝⎛⎭⎫a＋322＋814≤92，当a＝－32时，取等号．故选B.(也可用基本不等式求解)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()解：A选项中，由于二次函数图象开口向下，所以a<0，且函数与y轴交点在y轴负半轴，所以c<0，又abc>0，所以b>0，函数的对称轴x＝－b2a>0，显然A不正确；B选项中，a<0，c>0，所以b<0，所以对称轴x＝－b2a<0，所以B不正确；C选项中，a>0，c<0，所以b<0，所以对称轴x＝－b2a>0，所以C错．故选D.若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是.解：m＝0时，函数在给定区间上是增函数；m≠0时函数是二次函数，由题知m＞0，对称轴为x＝－12m≤－2，∴0＜m≤14，综上0≤m≤14.故填⎣⎡⎦⎤0，14.(2012·江苏改编)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)－c＜0的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________.解：由条件设f(x)－c＝(x－m)(x－m－6)，∴f(x)＝x2－(2m＋6)x＋m(m＋6)＋c.由于f(x)的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴(2m＋6)2－4[m(m＋6)＋c]＝0，解得c＝9.故填9.类型一求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.解法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.解法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n，∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝2＋（－1）2＝12，∴m＝12，又根据题意，函数有最大值为8，∴n＝8，∴f(x)＝a⎝⎛⎭⎫x－122＋8.∵f(2)＝－1，即a⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1.解之得a＝－4.∴f(x)＝－4⎝⎛⎭⎫x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，即g(x)＝f(x)＋1的两个零点为2，－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.⎭⎫32－x 对的两实根之差的绝对值等于析式.解：∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， >0，c <0，b 2－4ac >0，图象开口向上，在y 轴上截距为负，且过故选A.【评析】a 决定抛物线开口的方向，c 确定抛物线轴上的截距，b 与a 确定顶点的横坐标(或对称轴，再结合题设条件就不难解答此题了．在同一坐标系中，函数y ＝ax 2＋bx ＋b (ab ≠0)的图象只可能是( )解：抛物线y ＝ax 2＋bx 过原点排除A ，又直线与抛物线y ＝ax 2＋bx 都过点⎝⎛⎭⎫－ba ，0，排除故选D.类型三 二次函数的最值(2013·济南模拟)已知f (x )＝ax (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值g (a ).解：(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减，∴g (a )＝f (x )min ＝f (1)＝－2. 当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口方向向上，且其对称轴为x ＝1a .当0＜1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象对上有最小值解：f(x)①当t≤1②当t>1(1)若方程有两根，其中一根在区间另一根在区间(2)若方程两根均在区间1<0，2>0，2<0，5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<－m∈m<－m>－的取值范围为⎩⎨⎧m|－56＜m＜－轴交点落在区间1>0，2>0，4（2m＋1）≥0，≤1－2，∴－12<的取值范围为⎩⎨⎧m|－12＜m≤1一元二次方程根的分布，即二次函数零点的分布，关键在于作出二次函数的草图，由此列出不等式组，要注意二次函数的对称轴及2012·郑州模拟)已知二次函数bx＋c(b，＋b＝0的两个实数根分别在区间内，求实数解：由题意知2tx＋2t＋§2.5 基本初等函数(Ⅰ)1. 指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象.(4)体会指数函数是一类重要的函数模型. 2. 对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.会画底数为2，10，12的对数函数的图象.(3)体会对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0且a ≠1).3. 幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况.指数函数、对数函数在高考中属常考内容.以考查指数函数、对数函数的图象、性质为主，性质又以单调性为主，有时在大题中与其他函数混合出现，一般用导数方法解决.高考中常以5种幂函数为载体，考查幂函数的图象及性质，题目多以选择填空题的形式 出现.(一)指数函数 1. 根式(1)n 次方根：如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的 ，其中n ＞1，且n ∈N *.①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个 数，负数的n 次方根是一个 数，这时a 的n 次方根用符号 表示.②当n 为偶数时，正数的n 次方根有 个，这两个数互为 .这时，正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 次方根用符号 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成 .③负数没有偶次方根.④0的n (n ∈N *)次方根是 ，记作 . (2)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做 ，a 叫做 .(3)根式的性质：n 为奇数时，na n ＝ ； n 为偶数时，na n ＝ . 2. 幂的有关概念及性质 (1)正整数指数幂：a n ＝(n ∈N *).(2)零指数幂：a 0＝ .这里a 0. (3)负整数指数幂：a -n ＝ (a ≠0，n ∈N *). (4)正分数指数幂：a m n＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1).(5)负分数指数幂：a -m n＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1).(6)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂.(7)有理指数幂的运算性质 ⎩⎪⎨⎪⎧a r a s＝ （a ＞0，r ，s ∈Q ），（a r ）s＝ （a ＞0，r ，s ∈Q ），（ab ）r ＝ （a ＞0，b >0，r ∈Q ）.注：无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.3. 指数函数的图象及性质定义一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数图象a ＞10＜a ＜1定义域 __________ 值域 __________ 性 质过定点__________在R 上是 __________在R 上是 __________位长度，所得图象与曲线⎛ _________(2)0.75－1614.(1)y＝⎝⎛(3)y＝2解：(1)(1)y＝82(3)y＝⎝⎛1 2解：(1)因为列五个关系：①＜a＜0)A．1个与指数函数有关的比较大小问题，除了应用函数的单调性外，还用到指数函数图象的程度，也就是函数f(x)增(减)的快慢．2013·合肥模拟)函数f(x)＝如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是)＜0＞0，b＞0，b＜0由图象知f(x)是减函数，∴0＜a＜轴的截距小于1可知a－b＜1，即－类型四指数函数的综合问题已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x，x∈[－＝f 2(x)－x)＋3的最小值为h(a).(1)若f(x(2)若2t f的取值范围解：(1)当(1)log535(2)a log(3)(log2(1)(lg2)2(2)(log32(3)lg600lg10，c＝A．c>b C．a>c 解：a＝-12，则(A．x＜yC．z＜y解：由对数与指数性质知(1)若f((2)若函数(3)若函数的取值范围；x＋3).(1)若f(1)(2)是否存在实数求出a的值；若不存在，说明理由a≠1).f(x)－f⎝⎛(1)求f(x(2)若方程图象，已知，C2，C3数形结合法)：如图，作直线的图象与直线x＝t的交点为的大小与图象交点的“高低特殊值法)：当x＝2时，，y4＝2－1＝12，故填3，2，12，－利用幂函数的性质比较大小，往往伴解：因为幂函数0.7＜1，所以1.3x是增函数，并且C ．3 ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛23，13，即α＝log 2313，β2313＝1.故选A.的方程a ·4x ＋b ·2x ＋异号，则下列结论中正确的是．此方程无实根．此方程有两个互异的负实根 ．此方程有两个异号实根 ．此方程仅有一个实根，则at 2＋bt ＋c ＝t 2＝－b a ＜0，t 1t 2＝2x 单调递增，所以只有一正根，故选D .已知函数f (x )＝lg x ， .(2x ＋t )(t§2.6函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.从近两年的高考试题来看，函数的零点，方程根的问题是热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题.预计今后高考仍有可能以函数的零点，方程根的存在性问题为主要考点，并结合考查相应函数的图象和性质.1.函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴⇔函数y＝f(x) .2.函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的根.3.二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4考点梳理4)【自查自纠】1.(1)f(x)＝0(2)有交点有零点2.f(a)·f(b)＜0(a，b)(a，b)f(c)＝0函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)解：∵f(－1)＝12－3<0，f(0)＝1>0，∴f(－1)·f(0)<0，因此，函数f(x)在区间(－1，0)内有零点．故选B.(2012·湖北)函数f(x)＝x cos x2在区间[0，4]上的零点个数为()A．4 B．5 C．6 D．7解：若f(x)＝0，则x＝0或cos x2＝0，x2＝kπ＋π2，k∈Z，又x∈[0，4]，k＝0，1，2，3，4，所以f(x)共有6个零点．故选C.已知a是函数f(x)＝ln x－log12x的零点，若0＜x0＜a，则()A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定解：因为f(x)＝ln x－log12x在(0，＋∞)上是增函数，所以当0＜x0＜a时，有f(x0)＜f(a)＝0，故选C.已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为.解：⎩⎪⎨⎪⎧a>0，2（1－a）＋a＝－（1＋a）－2a，或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a .可得a＝－34.故填－34.方程ln x＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.解：令函数f(x)＝ln x＋2x－8，∴f′(x)＝1x＋2＞0(x＞0)，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝－6＜0，f(2)＝ln2－4＜0，f(3)＝ln3－2＜0，f(4)＝ln4＞0，∴f(x)的唯一零点在(3，4)内，因此k＝3.故填3..(1)f(x)＝(2)f(x)＝的零点所在的大致区间是A．(1，C．(1，解：∵f1)内的零点个数是A．0解法一：定义域上单调递增且连续，＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0f(x)的零点个数．故选零点个数为(A．1解：函数判断函数在给定区间零点的步骤确定函数的图象在闭区间[a，bb)的值并判断f(a)·f0，则有实数解.除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断.零点个数(方程f(x)＝判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由)＝0的判别式Δ＞0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断对于一般函数零点个数的判断，点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题.在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则长春第二次调研)若a ＞2，则函数2)内零点的个数为(．2 C ．1 (x )＝x 2－2ax ，由a 时恒为负数，即f (x )在(0，＝83－4a ＋1＜0，则内只有一个零点，故选是函数f (x )＝2x ＋11－x 的一个零点，若，＋∞)，则( )2)<0 B ．f (x 1)<02)<0 D ．f (x 1)>0g (x )＝11－x ＝－1x －＝2x 在(1，＋∞)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递增，所以函数x)，f(x)＝§2.7函数的图象1.掌握常见函数的图象(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、幂函数).2.会利用图象变换的知识作出一些简单函数的图象.3.会求经过某种变换后所得图象的函数表达式.4.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.图象是函数的重要表现形式，数形结合是研究函数的重要技巧与方法.在历年高考中，都有直接或间接考查函数图象的题目出现.1.作函数的图象有两种基本方法：(1)利用描点法作图，其一般步骤为：①确定函数定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；④描点并作出函数图象.(2)图象变换法.2.图象变换的四种形式(1)平移变换①水平平移：y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x－a)(a＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移a个单位长度而得到.②竖直平移：y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x)－b(b＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移b个单位长度而得到.总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”.(2)对称变换①y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)三个函数的图象与y＝f(x)的图象分别关于、、对称；②若对定义域内的一切x均有f(m＋x)＝f(m－x)，则y＝f(x)的图象关于直线对称.(3)伸缩变换①要得到y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸(A>1时)或缩(A<1时)到原来的；②要得到y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1时)或缩(a>1时)到原来的.(4)翻折变换①y＝|f(x)|的图象作法：作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，上方的部分不变；②y＝f(|x|)的图象作法：作出y＝f(x)在y轴右边的图象，以y轴为对称轴将其翻折到左边得y＝f(|x|)在y 轴左边的图象，右边的部分不变.【自查自纠】2.(1)①y＝f(x＋a)右②y＝f(x)＋b下(2)①y轴x轴原点②x＝m(3)①A倍②1a倍(2013·福建)函数f(x)＝ln()x2＋1的图象大致是()解：由函数解析式可知f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，排除C；由函数图象过(0，0)点，排除B，D.故选A.函数f(x)＝2x＋2－x的图象()解：令x ＝2，则y ＝－f (2－x )＝－f (0)项可排除，令x ＝1，则y ＝－f (2－x )＝－可排除A ，C 项，故选B.若将函数y ＝f (x )的图象向左平移再沿y 轴对折，得到y ＝lg(x ＋1)的图象，则 .解：把y ＝lg(x ＋1)的图象沿y 轴对折得到y ＝lg(－x ＋1)的图象，再将图象向右平移得y ＝lg[－(x －2)＋1]＝lg(3－x )的图象．∴f (x )＝lg(3－x )，故填lg (3－x )．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，log c ⎝⎛⎭⎫x ＋116，x ≥0 的图象如图所示，则abc ＝ .解：依图象有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，－a ＋b ＝0，log c116＝2.得a ＝(1)y ＝|x (2)y ＝|log (3)y ＝2(1)＝log 2x 的图象，然后向左平移轴下方的图象沿x 轴对折，图(3)函数的解析式为y ＝2x －1x ＋1＝2①本题中(2)(3)的函数的图象是由基本函数通过变换得到的，因此可先作最基本的函数的图象，伸缩、对称等变换作出待作函数的图象；②变换法作函数的图象是经常用到的一种作图方法，在作图时，应注意先作出图象的关键点和关键线(如对称轴、渐近线等函数奇偶性与基本函数图象的特征作图，也是常用方作出下列函数的图象：x －1－1＝2（x －1）＋1x －1.－∞，1)∪(1，＋∞)．的图象向右平移1个单位得＝1x －1的图象向上平移2个单位可得的图象．类型二 识图2012·山东)函数y ＝cos6x2x －2 )解：令f (x )＝cos6x2x －2－x，由f (－x )＝－f (x )知f (x )为奇 )解：由3x－1≠0，得x ≠0，可排除A ；当x ＜0，可排除B ；当x 趋近于＋∞时，y 趋近于0.可排故选C.类型三 用图设a 为实数，且1＜x ＜3，试讨论关于的方程x 2－5x ＋3＋a ＝0的实数解的个数.解：原方程即a ＝－x 2＋5x －3.分别作出函数y ＝－x 2＋5x －3＝－⎝⎛⎭⎫x －522＋1343)和y ＝a 的图象，得a ＞134或a ≤1时，原方程的实数解的个数为a ＝134或1＜a ≤3时，原方程的实数解的个数3＜a ＜134时，原方程的实数解的个数为2.＝x3＋x的零点依次为小顺序为(A．b>cC．a>b合理处理识图题与用图题对于给定的图象，要能从图象的左、右、上、下分布的范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量”的直观性，它是探求解题途径，使问题成功获解的重要依托.函数图象主要应用于以下方面：①求函数的解析式；②求函数的定义域；③求函数的值域；④求函数⑤判断函数的奇偶性；⑥求函数的单调区间；⑦解不等式；⑧证明不等式；⑨探求关于方程根的分布问题；⑩比较大小；⑪求函数周期.图象对称性的证明证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一或对称轴)的对称点仍在图象上与C2的对称性，即证明或对称轴)的对称点在研究函数的图象必须与函数的性质有机结合起的完美结合，不要将二者割裂易知函数y＝e21x-为偶函数，因此排除e21x-＞0，故排除D.故选C.f(x)＝x－cos x，则方程f(x)＝0在[0上的实根个数是()．没有实根．有且仅有一个实根．有且仅有两个实根．有无穷多个实根令f(x)＝x－cos x＝0，即x＝cos x，画出函和y＝cos x的图象(如图)，函数y＝x与函数的图象仅在x＝α⎝⎛⎭⎫0<α<π2处有一个交点．把函数y＝log2(x－1)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12个单位长度所得图象的)＝log2(2x＋1) B．y＝log2(2x＋＝log2(2x－1) D．y＝log2(2x－把函数y＝log2(x－1)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到y＝log2(2x－1)的图象，再向右单位长度，所得函数的解析式为⎦⎤⎭⎫12－1＝log2(2x－2)．故选D.y＝2-|x-1|－m的图象与x轴有交点时，取值范围是()。