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苏科版九年级数学上册 2.4 圆周角同步测试题（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、选择题（本题共计9小题，每题3 分，共计27分，）1. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么A. B. C. D.2. 下列说法错误的是（）A.圆内接四边形的对角互补B.圆内接四边形的邻角互补C.圆内接平行四边形是矩形D.圆内接梯形是等腰梯形3. 如图，四边形是圆内接四边形，是延长线上一点，若，则的大小是（）A. B. C. D.4. 如图，四边形为圆内接四边形，为延长线上一点，若，则为（）A. B. C. D.5. 如图，是的直径，＝，则的度数为（）A. B. C. D.6 如图的弦交弦于，，，，则的长为（）A. B. C. D.7. 如图，的两条弦，交于点，已知，，，则的长为（）A. B. C. D.8 如图，在中，则等于（）A. B. C. D.9 如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是A. B. C. D.二、填空题（本题共计9小题，每题3 分，共计27分，）10. 已知弦和弦相交于内一点，，，，则________．11 如图，的弦与相交于点，若，，，则________．12 如图，点，，都在圆上，若，则的度数为________．13. 如图，的内接四边形中，，则等于________．14 如图，四边形内接于，为的直径，点为弧的中点，若，则________．15. 如图，在中，、、三点在圆上，且，那么________度．16 如图，是的外接圆，，则的大小是________．17. 如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则的度数是________．18. 如图，在中，为的弦，点为圆上异于、的一点，，则________．三、解答题（本题共计6 小题，共计66分，）19. 如图，圆内接四边形，两组对边的延长线分别相交于点、，且，，求的度数．20. 如图所示，已知为的直径，点为上一点，弦过点，且，，，若于点，求的长．21. 已知：如图，与交于和两点，在上，的弦交于．求证：．22 如图，四边形内接于，为延长线上一点，若．求的度数．23. 如图，是的半径，是的弦，以为直径的圆与相交于点，（1）说明：与的关系；（2）若点在圆上运动（与不重合），则（1）中求得的与的大小关系是否保持不变？为什么？24如图，为圆内接三角形的外角的平分线，它与圆交于点，为上的点．（1）求证：；（2）请你再补充一个条件使直线一定经过圆心，并说明理由．。
2.4 第1课时 圆周角的概念与性质一、选择题1．如图1，点A ，B ，C 都在⊙O 上，若∠C ＝35°，则∠AOB 的度数为 ( ) A ．35° B ．55° C ．145° D ．70°图1 图22．如图2，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 是AB ︵上任意一点，则∠DEC 的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．80°3．如图3，在⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC .若∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，则∠C 的度数是( )A ．25°B ．27.5°C ．30°D ．35°图3 图44．如图4，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是( ) A．64° B．58° C．32° D．26°5．如图5，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC的度数为( ) A．180°－2α B．2α C．90°＋α D．90°－α图5 图66．如图6，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，若∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( ) A ．40° B ．45° C ．50° D ．55° 二、填空题7．如图7，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ︵＝BC ︵，若∠AOB ＝58°，则∠BDC ＝________°.图7 图88．如图8，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在BC ︵上，且OA ＝AB ，则∠ABC ＝________°. 9．已知⊙O 的半径为1，点A ，B 在⊙O 上，且AB ＝2，则AB 所对的圆周角为________． 三、解答题10．如图9，在⊙O 中，AC ∥OB ，∠BAO ＝25°，求∠BOC 的度数.图9 11．已知：如图10，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，求⊙O的半径．图10 12．如图11，P是⊙O外的一点，C是⊙O上的一点．求证：∠ACB＞∠APB.图1113．如图12，△ABC 的高AD ，BE 相交于点H ，延长AD 交△ABC 的外接圆于点G ，连接BG .求证：HD ＝GD .图1214．如图13所示，在⊙O 中，△ABC 的三个顶点均在⊙O 上，且∠ABC ＝∠C ，点D 在BC ︵上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交直线AB 于点E ，连接BD ，AD .∠ADB 与∠E 相等吗？为什么？链接听课例3归纳总结图13 15如图14所示，AD是⊙O的直径．图14(1)如图(a)，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是________，∠B2的度数是________；(2)如图(b)，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；(3)如图(c)，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n C n把圆周2n等分，请你用含n 的代数式表示∠B n的度数(只需直接写出答案)．1．[解析]D ∵∠C ＝35°，∴∠AOB ＝2∠C ＝70°.故选D .2．[解析]B 连接BD.∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DBC ＝45°，∴∠DEC ＝∠DBC ＝45°. 故选B .3．[解析]D ∵∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，∴∠B ＝85°－60°＝25°，∠CDO ＝95°，∴∠AOC ＝2∠B ＝50°，∴∠C ＝180°－95°－50°＝35°.故选D .4．[解析]D 如图，连接AO.由OC ⊥AB ，得AC ︵＝BC ︵，∠OEB ＝90°，∴∠2＝∠3.∵∠2＝2∠1＝2×32°＝64°，∴∠3＝64°.在Rt △OBE 中，∠OEB ＝90°，∴∠B ＝90°－∠3＝90°－64°＝26°.故选D . 5．[解析]D 连接OC ，则∠BOC ＝2∠A ＝2α.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝12(180°－2α)＝90°－α.6．[解析]D 如图，连接OC.∵AO ∥DC ，∴∠D ＝∠AOD ＝70°.∵OD ＝OC ，∴∠OCD ＝∠D ＝70°，∴∠DOC ＝40°，∴∠AOC ＝110°，∴∠B ＝12∠AOC ＝55°.故选D .7．[答案] 29[解析] 连接OC.∵AB ︵＝BC ︵，∴∠AOB ＝∠BOC ＝58°，∴∠BDC ＝12∠BOC ＝29°.8．[答案] 15[解析]∵OA ＝OB ，OA ＝AB ，∴OA ＝OB ＝AB ，即△OAB 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°.∵OC ⊥OB ，∴∠COB ＝90°，∴∠COA ＝90°－60°＝30°，∴∠ABC ＝15°.9．[答案] 45°或135°[解析] 如图所示．∵OC ⊥AB ，∴C 为AB 的中点，即AC ＝BC ＝12AB ＝22.在Rt △AOC 中，OA ＝1，AC ＝22， 根据勾股定理，得OC ＝OA 2－AC 2＝22， 即OC ＝AC ，∴△AOC 为等腰直角三角形，∴∠AOC ＝45°，同理∠BOC ＝45°， ∴∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝90°. ∵∠AOB 与∠ADB 都对着AB ︵， ∴∠ADB ＝12∠AOB ＝45°.∵钝角∠AOB ＝270°，∴∠AEB ＝135°， ∴弦AB 所对的圆周角为45°或135°.10．[解析] 根据OA ＝OB ，∠BAO ＝25°得出∠B ＝25°，再由平行线的性质得出∠B ＝∠CAB ＝25°，根据圆周角定理即可得出结论．解：∵OA ＝OB ，∠BAO ＝25°，∴∠B ＝25°.∵AC ∥OB ，∴∠B ＝∠CAB ＝25°，∴∠BOC ＝2∠CAB ＝50°.11．[解析] 连接OB ，OA ，根据圆周角定理得出∠BOA ＝90°，再由勾股定理得出⊙O 的半径即可．解：如图，连接OB，OA.∵∠C＝45°，∴∠BOA＝90°.又∵OB＝OA，AB＝2，∴OB＝OA＝2，即⊙O的半径为 2.12．证明：如图，连接AN.∵∠ANB＝∠APB＋∠NAP，∴∠ANB＞∠APB.又∵∠ANB＝∠ACB，∴∠ACB＞∠APB.13．证明：∵∠C＝∠G，AD，BE为△ABC的高，∴∠C＋∠DAC＝90°，∠AHE＋∠DAC＝90°，∴∠C＝∠AHE.∵∠AHE＝∠BHG，∴∠BHG＝∠C，∴∠G＝∠BHG，∴BH＝BG.又∵AD⊥BC，∴HD ＝GD.14．[解析] 探索两角之间的关系，在图形较复杂的情况下，一般要借助“中间角”建立它们之间的联系．解：∠ADB ＝∠E.理由：∵DE ∥BC ，∴∠ABC ＝∠E.又∵∠ADB ＝∠C ，∠C ＝∠ABC ，∴∠ADB ＝∠E.[素养提升]解：(1)22.5° 67.5°(2)∵圆周被6等分，∴B 1C 1︵＝C 1C 2︵＝C 2C 3︵，且它们所对的圆心角都为360°÷6＝60°.∵直径AD ⊥B 1C 1，∴AC 1︵所对的圆心角为30°，∴∠B 1＝15°，∠B 2＝12×(30°＋60°)＝45°，∠B 3＝12×(30°＋60°＋60°)＝75°.(3)∠B n ＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×360°2n ＋（n －1）×360°2n ＝（90n －45）°n ⎝ ⎛⎭⎪⎫或∠B n ＝90°－360°8n ＝90°－45°n .。
2.4 圆周角1．A 判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由.2． A 如图，已知在⊙O中，∠B OC=150°，求∠A3．A 已知一条弧所对的圆周角等于50°，则这条弧所对的圆心角是多少度？4．A 给你一把直尺和一把圆规，你能画出公共边为斜边的一对直角三角形么?5．B 在⊙O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是___________．A．42° B．138°C．84° D．42°或138°6．B 如图，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD．如果∠BAC=32°，则∠AOD=___________．A．16° B．32° C．48° D．64°7．B ∠AOB=100o, 点C在⊙O上, 且点C不与A、B重合, 则∠ACB的度数为( )A.50°B.80°或50°C.130°D.50°或130°8．B 已知，如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°.求⊙O的直径．9．B 如图，在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为（）A. 140°B. 135 °C. 130 °D. 125 °——————————————————2.4 圆周角1．(3)是圆周角，其它都不是2．75°3．100°4．先用圆规画一个圆, 并找出其直径AB. 在圆周上找任意异于A、B的两点C、D, 连接AC、BC、AD、BD.5．D6．D7．D8．cm9．D.。
2.4 圆周角1．A 判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由.2． A 如图，已知在⊙O中，∠B OC=150°，求∠A3．A 已知一条弧所对的圆周角等于50°，则这条弧所对的圆心角是多少度？4．A 给你一把直尺和一把圆规，你能画出公共边为斜边的一对直角三角形么?5．B 在⊙O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是___________．A．42° B．138°C．84° D．42°或138°6．B 如图，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD．如果∠BAC=32°，则∠AOD=___________．A．16° B．32° C．48° D．64°7．B ∠AOB=100o, 点C在⊙O上, 且点C不与A、B重合, 则∠ACB的度数为( )A.50°B.80°或50°C.130°D.50°或130°8．B 已知，如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°.求⊙O的直径．9．B 如图，在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为（）A. 140°B. 135 °C. 130 °D. 125 °——————————————————2.4 圆周角1．(3)是圆周角，其它都不是2．75°3．100°4．先用圆规画一个圆, 并找出其直径AB. 在圆周上找任意异于A、B的两点C、D, 连接AC、BC、AD、BD. 5．D6．D7．D8．cm9．D.。
2.4第1课时圆周角的概念与性质一、选择题1．下列说法中，错误的是()A．90°的圆周角所对的弦是直径B．90°的圆心角所对的弦是直径C．直径所对的圆周角是90°D．直径是圆中最长的弦2．[如图1，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是()A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD图1 图23．如图2，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是() A．58°B．60°C．64°D．68°4．如图3，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE.若∠E＝36°，则∠D的度数是()A．44°B．54°C．72°D．53°图3 图45．如图4，直角三角板ABC的斜边AB与量角器的0刻度线重合，点D对应54°，则∠ACD的度数为()A．27°B．54°C．63°D．36°二、填空题6．如图5，小华同学设计了一个测直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在点O处钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把点O靠在圆周上，读得刻度OE＝8，OF＝6，则圆的直径为________.图5 图67．如图6，AC 为⊙O 的直径，点B 在圆上，OD ⊥AC 交⊙O 于点D ，连接BD ，∠BDO ＝15°，则∠ACB ＝________°.8．如图7，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 的直径，∠ABC ＝50°，则∠CAD ＝________°.图7 图89． AB 为半圆O 的直径，现将一块等腰直角三角板按图8放置，锐角顶点P 在半圆上，斜边过点B ，一条直角边交该半圆于点Q .若AB ＝2，则线段BQ 的长为________．10．如图9所示，AB 是⊙O 的直径，C 是BD ︵的中点，CE ⊥AB 于点E ，BD 交CE 于点F ，连接BC ，CD .若CD ＝6，AC ＝8，则⊙O 的半径为________，CE 的长是________．图9三、解答题11．如图10所示，在⊙O 中，AC ，CD 是⊙O 中的两条弦，AC ＝CD ，延长AC 至点P ，使CP ＝AC ，连接PD 并延长交⊙O 于点B ，AB 是⊙O 的直径吗？为什么？图10 12．如图11，已知AB是半圆O的直径，OC⊥AB交半圆于点C，D是射线OC上的一点，连接AD交半圆O于点E，连接BE，CE.(1)求证：EC平分∠BED；(2)当BE＝DE时，求证：AE＝CE.图11 13．如图12，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为(0，2)，D 为⊙C上在第一象限内的一点且∠ODB＝60°.(1)求线段AB的长及⊙C的半径；(2)求点B的坐标．图1214．如图13，在平面直角坐标系中，以点M(0，3)为圆心，以2 3为半径作⊙M交x 轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，连接AM并延长交⊙M于点P，连接PC交x轴于点E.(1)求点C，P的坐标；(2)求证：BE＝2OE.图1315 如图14，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，求线段PC长的最小值．图14答案1．B 2． D 3．A 4．B 5．C 6． 10 7． 60 8． 40 9． 2 10．524511．解：AB 是⊙O 的直径．理由：连接AD. ∵AC ＝CD ，∴∠CAD ＝∠CDA. ∵CP ＝AC ，∴CP ＝CD ，∴∠P ＝∠CDP. ∵∠CAD ＋∠CDA ＋∠P ＋∠CDP ＝180°，∴∠CDA ＋∠CDP ＝90°，即∠ADP ＝90°，∴∠ADB ＝90°，∴AB 是⊙O 的直径． 12．证明：(1)∵AB 是半圆O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∴∠DEB ＝90°. ∵OC ⊥AB ，∴∠AOC ＝∠BOC ＝90°， ∴∠BEC ＝12∠BOC ＝45°，∴∠DEC ＝∠DEB －∠BEC ＝45°， ∴∠BEC ＝∠DEC ，即EC 平分∠BED. (2)连接BC ，OE.在△BEC 与△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DE ，∠BEC ＝∠DEC EC ＝EC ，，∴△BEC ≌△DEC ，∴∠CBE ＝∠CDE.∵∠CDE ＝90°－∠A ＝∠ABE ，∴∠ABE ＝∠CBE ， ∴∠AOE ＝∠COE ，∴AE ＝CE.13．解： (1)连接AB.∵A(0，2)，∴OA ＝2. ∵∠ODB ＝∠OAB ，且∠ODB ＝60°，∴∠OAB ＝60°.∵∠AOB 是直角， ∴AB 是⊙C 的直径，∠OBA ＝30°， ∴AB ＝2OA ＝4，∴⊙C 的半径为2.(2)在Rt △OAB 中，由勾股定理，得OB 2＋OA 2＝AB 2， ∴OB ＝2 3，∴点B 的坐标为(2 3，0)． 14．解：(1)如图，连接PB.∵PA 是⊙M 的直径，∴∠PBA ＝90°.∵MO ⊥AB ，∴OB ＝AO ＝AM 2－OM 2＝3，PB ∥MO ， ∴PB ＝2MO ＝2 3，∴点P 的坐标为(3，2 3)． 由圆可知MA ＝MC ＝2 3，OM ＝3， ∴OC ＝MC －OM ＝3， ∴点C 的坐标为(0，－3)．(2)证明：连接AC.∵在Rt △AOC 中，AO ＝3，OC ＝3，∴AC ＝2 3.又∵AM＝MC＝2 3，∴AM＝MC＝AC＝2 3，∴△AMC为等边三角形，∴∠ACO＝60°.又∵AP为⊙M的直径，∴∠ACP＝90°，∴∠OCE＝30°，∴OE＝1，∴BE＝2，∴BE＝2OE.15 解：如图所示，∵∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠PBC＝90°.∵∠PAB＝∠PBC，∴∠PAB＋∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上．连接OC交⊙O于点P，此时PC的长最小．在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝OB2＋BC2＝5，∴PC＝OC－OP＝5－3＝2，∴线段PC长的最小值为2.。
苏科版九年级数学上册 2.4 圆周角同步测试题（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、选择题（本题共计9小题，每题3 分，共计27分，）1. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么A. B. C. D.2. 下列说法错误的是（）A.圆内接四边形的对角互补B.圆内接四边形的邻角互补C.圆内接平行四边形是矩形D.圆内接梯形是等腰梯形3. 如图，四边形是圆内接四边形，是延长线上一点，若，则的大小是（）A. B. C. D.4. 如图，四边形为圆内接四边形，为延长线上一点，若，则为（）A. B. C. D.5. 如图，是的直径，＝，则的度数为（）A. B. C. D.6 如图的弦交弦于，，，，则的长为（）A. B. C. D.7. 如图，的两条弦，交于点，已知，，，则的长为（）A. B. C. D.8 如图，在中，则等于（）A. B. C. D.9 如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是A. B. C. D.二、填空题（本题共计9小题，每题3 分，共计27分，）10. 已知弦和弦相交于内一点，，，，则________．11 如图，的弦与相交于点，若，，，则________．12 如图，点，，都在圆上，若，则的度数为________．13. 如图，的内接四边形中，，则等于________．14 如图，四边形内接于，为的直径，点为弧的中点，若，则________．15. 如图，在中，、、三点在圆上，且，那么________度．16 如图，是的外接圆，，则的大小是________．17. 如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则的度数是________．18. 如图，在中，为的弦，点为圆上异于、的一点，，则________．三、解答题（本题共计6 小题，共计66分，）19. 如图，圆内接四边形，两组对边的延长线分别相交于点、，且，，求的度数．20. 如图所示，已知为的直径，点为上一点，弦过点，且，，，若于点，求的长．21. 已知：如图，与交于和两点，在上，的弦交于．求证：．22 如图，四边形内接于，为延长线上一点，若．求的度数．23. 如图，是的半径，是的弦，以为直径的圆与相交于点，（1）说明：与的关系；（2）若点在圆上运动（与不重合），则（1）中求得的与的大小关系是否保持不变？为什么？24如图，为圆内接三角形的外角的平分线，它与圆交于点，为上的点．（1）求证：；（2）请你再补充一个条件使直线一定经过圆心，并说明理由．。
苏科版九上2.4圆周角课后练习班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是()A. 1：3：2：4B. 7：5：10：8C. 13：1：5：17D. 1：2：3：42.如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠C=31°，则∠B的度数是()A. 59°B. 60°C. 62°D. 69°3.如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于D，E，若∠DOE=60°，AD=√2，则AC的长为()A. √3B. 2C. 2√2D. 2√34.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是()A. 70°B. 110°C. 130°D. 140°5.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD=34°，那么∠BAD等于()A. 34°B. 46°C. 56°D. 66°6.如图，在四边形ABCD中，点A、B、D在⊙O上，点C在⊙O外，BC与CD交圆于E、F两点，请判断∠ABC+∠ADC的度数()A. 小于180°B. 大于180°C. 等于180°D. 不能确定7.如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，弧AC的度数为100°，则∠D的大小为()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°二、填空题8.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC=10°，则∠ABC=_____________．9.如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是直径，CB⏜=CD⏜，∠CAD=40°，则∠ACB=______．10.如图，A，B，C，D是⊙O上四点，连结AD，AC，BD，BC.图中相等的角是(不再添加其他字母)．11.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC=∠B，则∠D的度数为．12.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，点E在弧AD上，则∠E=125°，则∠C=______°.13.如图，A、B是⊙O上的两点，若∠AOB=80°，C是⊙O上不与点A、B重合的任一点，则∠ACB的度数为______．三、解答题14.如图，已知⊙O的直径AB=d，弦AC=a，AD⏜=BC⏜，求A，D两点之间的距离．15.如图，∠ACB=∠CDB=60°，AC=2cm.求△ABC的周长．16.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，若∠CAB=25°，∠ABD=95°，试求∠CDB和∠ACD的度数．17.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数．18.如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．求BC，BD的长；答案和解析1.C解：∵圆的内接四边形对角互补，∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°，∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是13：1：5：17．2.A解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠B=90°−∠C=90°−31°=59°．3.C解：连接CD，如图，∵∠DOE=60°，∴∠DCE=30°，∵BC为直径，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°．∵∠DCE=30°，AD=√2，∴AC=2√2，4.B解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，∴∠ADC=180°−∠ABC=180°−70°=110°，5.C解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ACD=34°，∴∠ABD=∠ACD=34°，∴∠BAD=90°−∠ABD=56°，6.B解：连接DE，如图，∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，∴∠ABE+∠ADE=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°+∠CDE>180°．故选：B．7.B解：连结AC，如图，∵弧AC的度数为100°，∴∠ABC=50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°−∠ABC=90°−50°=40°，∴∠D=∠BAC=40°．8.80°解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．又∵∠BAC=10°，∴∠ABC=90°−∠BAC=90°−10°=80°．9.50°解：∵CB⏜=CD⏜，∴∠CAB=∠CAD=40°，∵AC为直径，∴∠ABC=90°，∴∠ACB=90°−40°=50°．10.∠A=∠B，∠C=∠D解：弧CD所对的圆周角∠A=∠B，弧AB所对的圆周角∠C=∠D，11.60解：∵∠AOC=∠B，所以∠B=∠AOC=2∠D，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠D=180°，∴∠B+∠D=2∠D+∠D=180°∴∠D=60°，12.110解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∠E =125°，∴∠ABD =180°−125°=55°．∵AB =AD ，∴∠ADB =∠ABD =55°．∴∠BAD =180°−2×55°=70°∵四边形ABDE 是圆内接四边形，∴∠C =180°−70°=110°．13. 40°或140°解：如图，当C 点在优弧ACB ⏜上，则∠ACB =12∠AOB =12×80°=40°；当C′点在AB ⏜上，则∠AC′B =180°−∠ACB =180°−40°=140°，综上所述，∠ACB 的度数为40°或140°．14. 解：如图，连接AD 、BC ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，AB =d ，AC =a ，∴BC =√AB 2−AC 2=√d 2−a 2．∵AD⏜=BC ⏜， ∴AD =BC =√d 2−a 2，即A ，D 两点之间的距离是√d 2−a 2．15. 解：∵∠CDB 和∠CAB 都对BC⏜， ∴∠BAC =∠CDB =60°，∵∠ACB =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴△ABC 的周长=3AC =6cm ．16. 解：根据圆周角定理得∠CDB =∠CAB =25°，∠ACD=∠ABD=95°．17.解：连接BD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠B=∠C=15°，∴∠BAD=90°−15°=75°．18.解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，∵AB=10，AC=5，∴BC=√102−52=5√3．(2)∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45°，在Rt△ABD中，BD=AB×sin45°=10×√2=5√2．2。
2.4 圆周角（1）班级 姓名 学号【学习目标】1．认识圆周角，掌握圆周角的两个特征；2．经历探索同弧或等弧所对圆周角与圆心角的关系的过程，体验“观察—猜想—验证—归纳”的过程，初步应用其解决问题；3．引导学生体会分类的思想、转化等数学思想方法，学会理性的分析思考问题． 【探索活动】 操作与思考一：（1）如图，点A 在⊙O 内，点B 1、B 2、B 3在⊙O 上，点C 在⊙O 外， 度量⊙A 、⊙B 1、⊙B 2、⊙B 3、⊙C 的大小，你能发现什么？⊙B 1、 ⊙B 2、⊙B 3有什么共同的特征？它们与圆心角有什么区别？记下你的发现： . （2）你认为圆周角概念中是否有值得注意的地方？试写下来： . （3）判断下列各图中的角是否是圆周角？说说你的理由.操作与思考二：1．如图，弧BC 所对的圆心角有多少个？弧BC 所对的圆周角有多少个？ 请你在图中画出弧BC 所对的圆心角和圆周角.2．观察上图，你所画的圆周角与圆心有几种不同的位置关系？它们分别是 ；OO O O O OOCB3．设弧BC 所对的圆周角为⊙BAC ，请你探索⊙BAC 与圆心角⊙BOC 有怎样的数量关系？和同学们交流你的发现，并讨论如何证明自己的发现.（请你在下面空白处画出图形，并写出证明过程）4．如果同学们画的是等弧所对的圆周角，或者是同弧所对的圆周角，它们之间又会有什么关系呢？为什么？5．通过上述讨论，你获得的结论是： 【基础训练】1．如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则⊙1的度数为 ． 2．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC=60°，则∠BOC= ，若∠AOB=90°，则∠ACB= ． 3．如图，AC 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，EC ∥AB ，交⊙O 于点E 。
请写出与BOC 21相等的角 ．4．如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，∠BAC=40°，∠AED=75°，则∠ABD= ．【典型例题】例1、如图AB 、AC 为⊙O 的两条弦，延长CA 到D ，使AD=AB ，如果∠ADB=35°，求∠BOC 的度数.E O BCAOCAE O BCA第2题 第3题第4题第1题O BCA例2．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 中，∠ADC=∠BDC=60°，判 断ΔABC 的形状，并说明理由.操作与思考（三）（1）∠A 与圆周上的角大小有什么关系？ ∠C 与圆周上的角大小又有什么关系？（2）成果展示如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，点D 在圆外，BD 交⊙O 于点F ， 比较⊙BAC 与⊙BDC 的大小，并说明理由．【法眼观察】人们常用“一字之差，差之千里”来形容因一点小小的差别，往往会给问题本身带来很大的区别。
2.4 圆周角1．A 判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由.2． A 如图，已知在⊙O中，∠B OC=150°，求∠A3．A 已知一条弧所对的圆周角等于50°，则这条弧所对的圆心角是多少度？4．A 给你一把直尺和一把圆规，你能画出公共边为斜边的一对直角三角形么?5．B 在⊙O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是___________．A．42° B．138°C．84° D．42°或138°6．B 如图，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD．如果∠BAC=32°，则∠AOD=___________．A．16° B．32° C．48° D．64°7．B ∠AOB=100o, 点C在⊙O上, 且点C不与A、B重合, 则∠ACB的度数为( )A.50°B.80°或50°C.130°D.50°或130°8．B 已知，如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°.求⊙O的直径．9．B 如图，在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为（）A. 140°B. 135 °C. 130 °D. 125 °——————————————————2.4 圆周角1．(3)是圆周角，其它都不是2．75°3．100°4．先用圆规画一个圆, 并找出其直径AB. 在圆周上找任意异于A、B的两点C、D, 连接AC、BC、AD、BD.5．D6．D7．D8．9．D.。
第2章对称图形——圆2.4 第2课时特殊的圆周角知识点 1 利用直径所对的圆周角是直角求角度1．如图2－4－15，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠B的度数为( ) A．80° B．60° C．50° D．40°图2－4－15图2－4－162．如图2－4－16，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为( )A．50° B．40° C．45° D．60°3．如图2－4－17，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，则∠1＋∠2＝________°.图2－4－17图2－4－184．[2017·株洲] 如图2－4－18，已知AM是⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E.若∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.5．如图2－4－19，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°.求∠CEB的度数．图2－4－19知识点 2 利用直径所对的圆周角是直角求线段长6．教材练习第1题变式如图2－4－20，把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆形玻璃镜的半径是( )A.10 cm B．5 cm C．6 cm D图2－4－20图2－4－217．如图2－4－21，AB是⊙O的直径，若BC＝5，AC＝12，则⊙O的直径AB为________．8．[2017·台州] 如图2－4－22，已知等腰直角三角形ABC，P是斜边BC上一点(不与点B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．图2－4－229．如图2－4－23，⊙O以等腰三角形ABC的一腰AB为直径，它交另一腰AC于点E，交BC 于点D.求证：BC ＝2DE.图2－4－23图2－4－2410．如图2－4－24，AB 是半圆的直径，D 是AC ︵的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 等于( )A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°11．[2017·海南] 如图2－4－25，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5，C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB＝45°.若M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则MN 长的最大值是________．图2－4－25图2－4－2612．如图2－4－26，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC∥BD，AD 与BC ，OC 分别相交于点E ，F ，则下列结论：①AD⊥BD；②CB 平分∠ABD；③∠AOC ＝∠AEC；④AF＝DF ；⑤△CEF ≌△BED ；⑥BD＝2OF.其中一定成立的是________(请填序号)．13．如图2－4－27，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的两点，且OD∥BC，OD 与AC 交于点E.(1)若∠B＝70°，求∠CAD 的度数； (2)若AB ＝4，AC ＝3，求DE 的长．图2－4－2714．如图2－4－28，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使CD＝BC，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．图2－4－2815．已知：如图2－4－29①，在⊙O中，直径AB＝4，弦CD＝2，直线AD，BC相交于点E.(1)∠E的度数为________；(2)如图②，直径AB与弦CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；(3)如图③，直径AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．图2－4－291．C [解析] 因为AB 是⊙O 的直径，所以∠C＝90°，所以∠A＋∠B＝90°，则∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°.故选C .2．A [解析] ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∵∠ABD ＝∠ACD＝40°，∴∠BAD ＝180°－90°－40°＝50°. 3．90 [解析] 连接AC ，则∠ACB＝90°. 根据圆周角定理，得∠ACE＝∠2， ∴∠1＋∠2＝∠AC B ＝90°. 4．805．解：如图，连接BC ，则∠ADC＝∠B.∵∠ADC ＝50°， ∴∠B ＝50°.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠BAC ＝40°.∵∠CEB ＝∠ACD＋∠BAC，∠ACD ＝60°， ∴∠CEB ＝60°＋40°＝100°. 6．B 7．138．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ABC ＝45°，∴∠AEP ＝45°. ∵PE 是⊙O 的直径，∴∠PAE ＝90°， ∴△APE 是等腰直角三角形．(2)∵△ABC 和△APE 均是等腰直角三角形， ∴AC ＝AB ，AP ＝AE ，∠CAB ＝∠PAE＝90°， ∴∠CAP ＝∠BAE.在△APC 和△AEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAP ＝∠BAE，AP ＝AE ，∴△APC ≌△AEB ，∴PC ＝EB.∵PE 是⊙O 的直径，∴∠PBE ＝90°，∴PC 2＋PB 2＝EB 2＋PB 2＝PE 2＝4. 9．证明：连接AD ，BE.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. 又∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠C，BD ＝DC ， 即BC ＝2DC.∵∠DAE ＝∠DBE，∠ADE ＝∠ABE，∴∠DEC ＝∠DAE＋∠ADE＝∠DBE＋∠ABE＝∠ABC＝∠C， ∴DE ＝DC ，∴BC ＝2DE. 10．C [解析] 连接BD. ∵D 是AC ︵的中点，即CD ︵＝AD ︵， ∴∠ABD ＝∠CBD.∵∠ABC ＝50°，∴∠ABD ＝12×50°＝25°.∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠DAB ＝90°－25°＝65°. 11.5 2212．①②④⑥13．解：(1)∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝90°－∠B ＝20°. 又∵OD∥BC，∴∠AOD ＝∠B＝70°. ∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO＝12(180°－∠AOD)＝55°，∴∠CAD ＝∠DAO－∠CAB＝35°. (2)在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝7. ∵OD ∥BC ，∴∠AEO ＝∠A CB ＝90°， 即OE⊥AC，∴AE ＝EC. 又∵OA＝OB ，∴OE ＝12BC ＝72.∵OD ＝12AB ＝2，∴DE ＝OD －OE ＝2－72. 14． (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，即AC⊥BC.又∵CD＝BC ，∴AD ＝AB ，∴∠B ＝∠D. (2)设BC ＝x ，则AC ＝x －2.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，即(x －2)2＋x 2＝42，解得x 1＝1＋7，x 2＝1－7(舍去)， ∴BC ＝1＋7.∵∠B ＝∠E，∠B ＝∠D， ∴∠D ＝∠E， ∴CD ＝CE. ∵CD ＝BC ，∴CE ＝BC ＝1＋7.15． (1)如图①，连接OD ，OC ，BD.∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠DBC＝30°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠E＝90°－30°＝60°.(2)如图②，直线AD，CB交于点E，连接OD，OC，AC.∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠DAC＝30°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠E＝90°－∠DAC＝90°－30°＝60°.(3)如图③，连接OD，OC.∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠CBD＝30°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BED＝60°，∴∠AEC＝∠BED＝60°.第2章对称图形——圆图2－Y －11．[2017·徐州] 如图2－Y －1，点A ，B ，C 均在⊙O 上，∠AOB ＝72°，则∠ACB＝( ) A ．28° B ．54° C ．18° D ．36°2．[2017·宿迁] 若将半径为12 cm 的半圆形纸片拼成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．6 cm3．[2016·南京] 已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为( )A ．1B . 3C ．2D ．2 3图2－Y －24．[2017·苏州] 如图2－Y －2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝56°.以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是⊙O 上一点，且CE ︵＝CD ︵，连接OE ，过点E 作EF⊥OE，交AC 的延长线于点F ，则∠F 的度数为( )A ．92°B ．108°C ．112°D ．124°5．[2017·南京] 过三点A(2，2)，B(6，2)，C(4，5)的圆的圆心坐标为( )A ．(4，176)B ．(4，3)C ．(5，176) D ．(5，3)6．[2017·连云港] 如图2－Y －3所示，一动点从半径为2的⊙O 上的点A 0出发，沿着射线A 0O 方向运动到⊙O 上的点A 1处，再向左沿着与射线A 1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 2处；接着又从点A 2出发，沿着射线A 2O 方向运动到⊙O 上的点A 3处，再向左沿着与射线A 3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 4处……按此规律运动到点A 2017处，则点A 2017与点A 0之间的距离是( )A ．4B ．2 3C ．2D ．0图2－Y －3图2－Y －47．[2017·扬州] 如图2－Y －4，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，连接AO.若∠B＝40°，则∠OAC＝________°.8．[2016·南京] 如图2－Y －5，扇形OAB 的圆心角为122°，C 是AB 上一点，则∠ACB ＝________°.图2－Y －5图2－Y －69．[2017·镇江] 如图2－Y －6，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，CO 交⊙O 于点D.若∠CAD＝30°，则∠BOD＝________°.10．[2016·泰州] 如图2－Y －7，⊙O 的半径为2，点A ，C 在⊙O 上，线段BD 经过圆心O ，∠ABD ＝∠CDB ＝90°，AB ＝1，CD ＝3，则图中阴影部分的面积为________．图2－Y －7图2－Y －811．[2017·盐城] 如图2－Y －8，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C 在AMB ︵上，点D 在AB ︵上．若∠ACB＝70°，则∠ADB＝________°.12. [2016·南通] 已知：如图2－Y －9，AM 为⊙O 的切线，A 为切点，过⊙O 上一点B 作BD⊥AM 于点D ，BD 交⊙O 于点C ，OC 平分∠AOB.(1)求∠AOB 的度数；(2)若⊙O的半径为2 cm，求线段CD的长．图2－Y－913．[2017·淮安] 如图2－Y－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O 为圆心，OA长为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得EF＝BF，EF与AC交于点C.(1)试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若OA＝2，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．图2－Y－1014．[2016·宿迁] 如图2－Y－11①，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)当BD是⊙O的直径时(如图②)，求∠CAD的度数．图2－Y－1115．[2017·盐城] 如图2－Y－12，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A，D，E的圆的圆心F恰好在y 轴上，⊙F与y轴相交于另一点G.(1)求证：BC是⊙F的切线；(2)若点A，D的坐标分别为(0，－1)，(2，0)，求⊙F的半径；(3)试探究线段AG，AD，CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．图2－Y－12详解详析1．D [解析] 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得∠ACB ＝12∠AOB ＝12×72°＝36°.故选D.2．D 3.B4．C [解析] 连接OD .∵∠ACB ＝90°，∠A ＝56°，∴∠B ＝34°.在⊙O 中，∵CE ︵＝CD ︵， ∴∠COE ＝∠COD ＝2∠B ＝68°.又∵OE ⊥EF ，∠OCF ＝∠ACB ＝90°，∴∠F ＝112°.故选C.5．A [解析] 根据题意，可知线段AB 的垂直平分线为直线x ＝4，所以圆心的横坐标为4，然后设圆的半径为r ，则根据勾股定理可知r 2＝22＋(5－2－r )2，解得r ＝136，因此圆心的纵坐标为5－136＝176，因此圆心的坐标为(4，176)．6．A [解析] 如图所示，当动点运动到点A 6处时，与点A 0重合，2017÷6＝336……1，即点A 2017与点A 1重合，点A 2017与点A 0之间的距离即A 0A 1的长度，为⊙O 的直径，故点A 2017与点A 0之间的距离是4，因此选A.7．50 [解析] 根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”，连接OC ，便有∠AOC ＝2∠B ＝80°，再由OA ＝OC ，根据“等边对等角”及“三角形内角和定理”可以求得∠OAC ＝50°.8．1199．120 [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，∴AC ⊥AO ，即∠CAO ＝90°.∵∠CAD ＝30°，∴∠DAO ＝60°，∴∠BOD ＝2∠DAO ＝120°.故答案为120.10.5π3 [解析] 如图，连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝2.∵∠ABD ＝∠CDB ＝90°，AB ＝1，CD＝3，∴OD ＝1，BO ＝3，∴S △ABO ＝S △ODC ，∠AOB ＝30°，∠COD ＝60°，∴∠AOC ＝180°－60°＋30°＝150°，∴S 阴影部分＝S 扇形OAC ＝150π×22360＝5π3.故答案为5π3.11．110 [解析] 如图，设点D ′是点D 折叠前的位置，连接AD ′，BD ′，则∠ADB ＝∠D ′.在圆内接四边形ACBD ′中，∠ACB ＋∠D ′＝180°，所以∠D ′＝180°－70°＝110°，所以∠ADB ＝110°.12．解：(1) ∵OC 平分∠AOB ， ∴∠AOC ＝∠COB .∵AM 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥AM . 又BD ⊥AM ，∴OA ∥BD ，∴∠AOC ＝∠OCB . 又∵OC ＝OB, ∴∠OCB ＝∠B ，∴∠B ＝∠OCB ＝∠COB ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.(2)过点O 作OE ⊥BC 于点E ，由(1)得△OBC 为等边三角形． ∵⊙O 的半径为2 cm ，∴BC ＝2 cm ，∴CE ＝12BC ＝1 cm.由已知易得四边形AOED 为矩形， ∴ED ＝OA ＝2 cm ， 则CD ＝ED －CE ＝1 cm.13．解：(1)直线EF 与⊙O 相切． 理由：如图所示，连接OE . ∵EF ＝BF ，∴∠B ＝∠BEF . ∵OA ＝OE ，∴∠A ＝∠AEO .∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°. ∴∠AEO ＋∠BEF ＝90°， ∴∠OEG ＝90°，∴OE ⊥EF ， ∴直线EF 与⊙O 相切．(2)如图所示，连接ED .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED ＝90°. ∵∠A ＝30°，∴∠ADE ＝60°.又∵OE ＝OD ，∴△ODE 是等边三角形． ∴∠DOE ＝60°.由(1)知∠OEG ＝90°， ∴∠OGE ＝30°.在Rt △OEG 中，OG ＝2OE ＝2OA ＝4，∴EG ＝OG 2－OE 2＝2 3，∴S △OEG ＝12OE ·EG ＝12×2×2 3＝2 3，S 扇形OED ＝60360×π×22＝23π，∴S阴影＝S△OEG－S扇形OED＝2 3－23π.14．解：(1)证明：如图，连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE.∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，∠ADB＝∠ACB＋∠CAD，∴∠ABC＝∠CAD.∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴∠EAD＝90°－∠AED.∵∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠ABC＝∠CAD，∴∠EAD＝90°－∠CAD，即∠EAD＋∠CAD＝90°，∴EA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．(2)∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠ABC＋∠ADB＝90°.∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，∴4∠ABC＝90°，∴∠ABC＝22.5°，由(1)知∠ABC＝∠CAD，∴∠CAD＝22.5°.15．解：(1)证明：如图，连接EF.∵AE平分∠BAC，∴∠FAE＝∠EAC.∵EF＝AF，∴∠FAE＝∠FEA，∴∠EAC＝∠FEA，∴EF∥AC，∴∠BEF＝∠C.∵AB是Rt△ABC的斜边，∴∠C＝90°，∴∠BEF＝90°，即EF⊥BC.又∵EF是⊙F的半径，∴BC是⊙F的切线．(2)如图，连接DF.∵A (0，－1)，D (2，0)， ∴OA ＝1，OD ＝2.设⊙F 的半径是r ，则FD ＝r ，OF ＝r －1. ∵OD ⊥OF ，∴OF 2＋OD 2＝FD 2，即(r －1)2＋22＝r 2，解得r ＝2.5， ∴⊙F 的半径是2.5. (3)2CD ＋AD ＝AG .证明：如图，过点F 作FH ⊥AC 于点H . ∵F 是圆心，FH ⊥AC ， ∴AH ＝DH ＝12AD ，∠FHD ＝90°.∵∠BEF ＝∠C ＝90°，∴∠CEF ＝90°， ∴四边形CEFH 是矩形，∴CH ＝EF . ∵AG 是⊙F 的直径，∴EF ＝12AG ，∴CH ＝12AG .∵AD ＋CD ＝AC ＝AH ＋CH ， ∴AD ＋CD ＝12AD ＋12AG ，∴2CD ＋AD ＝AG .。
