华东理工大学高等数学(下册)第11章作业答案

华东理工大学继续教育学院成人教育《高等数学》（下）（专升本68学时）练习试卷（4）（答案）一、单项选择题1、设(,)ln 2y f x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则(1,0)x f = 答（ A ）(A) 1 (B) -1(C)(D) 解：（知识点：偏导数的概念、偏导数的计算方法）22312()(,)(1)22x y x y f x y y x x xy x x-=-=++ (1,0)1x f ⇒=， 所以选（A ） 2、下列方程中哪一个是椭球面方程 答（ B ）（A ）2229x y z ++= （B ）2222149y z x ++= （C ）2229x y z +-= （D ）2222149y z x +-= 解：（知识点：二次曲面）2222149y z x ++=可表示为222222123x y z ++=，它是椭球面方程，所以选（B ） 3、设y x xy u +=，则22yu∂∂= 答（ C ）(A) 2()x x y +(B) 222()x x y -+ (C) 232()x x y -+ (D) 2x y y -解：（知识点：二阶偏导数的概念、二阶偏导数的计算方法）222222233(2)2, ()()()()u x y y x u x x x y x y x y y x y x y ∂+-∂-===⋅=-∂++∂++, 所以选（C ）4、如果(,)f x y 在点00(,)x y 的某邻域内连续，则0(,)f x y 答（ A ） （A ）在0x 点连续 （B ）在0x 点可导 （C ）在0x 点可微 （D ）在0x 点有极值 解：（知识点：函数连续、可导、可微、极值的概念）因为(,)f x y 在点00(,)x y 的某邻域内连续 0(,)f x y ⇒在0x 点连续，所以选（A ）5、微分方程 '''28sin 2y y y x +-=的一个特解形式p y = 答（ C ）（A ）cos2p y a x = （B ）(cos2sin2)p y x a x b x =+ （C ）cos2sin 2p y a x b x =+ （D ）sin 2p y b x=解：（知识点：二阶线性常系数非齐次微分方程的特解形式） 特征方程：220λλ+-=，特征根：122,1λλ=-=，根据特解形式可设方程的特解为： c o s 2s i n 2p y a x b x =+， 所以选（C ）二、填空题1、设方程 2sin 0x z y ye z ++= 确定的隐函数(,)z z x y =，则 zx∂=∂ 解：（知识点：多元隐函数的概念、隐函数求导法）将方程两边对x 求偏导得sin 20x z zy ye z x x∂∂++=∂∂， 解得 2sin xz ye x z y∂=-∂+2、函数y = ⎽⎽⎽ ⎽⎽⎽⎽ 。

高等数学课后习题与参考答案〔第十一章〕习题11-11.写出下列级数的前五项:<1>∑∞=++1211n nn;解 51514141313121211111112222212⋅⋅⋅+++++++++++++++=++∑∞=n n n . 解 3762651045311112⋅⋅⋅+++++=++∑∞=n n n .<2>∑∞=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅12 42)12( 31n n n ; 解 10864297531864275316425314231212 42)12( 311⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∑∞=n n n . 解 3840945384105481583212 42)12( 311⋅⋅⋅+++++=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∑∞=n n n .<3>∑∞=--115)1(n n n ; 解 51515151515)1(543211⋅⋅⋅-+-+-=-∑∞=-n n n . 解 3125162511251251515)1(11⋅⋅⋅-+-+-=-∑∞=-n n n . <4>∑∞=1!n n nn.解 5!54!43!32!21!1!543211⋅⋅⋅+++++=∑∞=n n n n. 解3125120256242764211!1⋅⋅⋅+++++=∑∞=n n n n . 2.写出下列级数的一般项:<1> 7151311⋅⋅⋅++++; 解 一般项为121-=n u n . <2> 5645342312⋅⋅⋅-+-+-; 解 一般项为nn u n n 1)1(1+-=-. <3> 86426424222⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+x x x x x ; 解 一般项为!22n x u n n =.<4> 97535432⋅⋅⋅+-+-a a a a . 解 一般项为12)1(11+-=+-n a u n n n . 3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:<1>∑∞=-+1)1(n n n ;解 因为)1( )34()23()12(n n s n -++⋅⋅⋅+-+-+-=)()11(∞→∞→-+=n n ,所以级数发散.<2> )12)(12(1 751531311⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n ; 解 因为)12)(12(1 751531311+-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n)121121(21 )7151(21)5131(21)3111(21+--+⋅⋅⋅+-+-+-=n n )121121 715151313111(21+--+⋅⋅⋅+-+-+-=n n )(21)1211(21∞→→+-=n n , 所以级数收敛.<3> 6sin 63sin 62sin 6sin ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ππππn . 解 6sin 63sin 62sin 6sin ππππn s n ⋅⋅⋅+++= )6sin 12sin 2 62sin 12sin 26sin 12sin 2(12sin 21πππππππn +⋅⋅⋅++= )]1212cos 1212(cos )125cos 123(cos )123cos 12[(cos 12sin 21πππππππ+--+⋅⋅⋅+-+-=n n )1212cos 12(cos 12sin 21πππ+-=n . 因为π1212cos lim +∞→n n 不存在,所以n n s ∞→lim 不存在,因而该级数发散. 4.判定下列级数的收敛性: <1> 98)1( 9898983322⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n n ; 解 这是一个等比级数,公比为98-=q ,于是198||<=q ,所以此级数收敛. <2> 31 916131⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n; 解 此级数是发散的,这是因为如此级数收敛,则级数) 31 916131(311⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞=n n n 也收敛,矛盾.<3> 31 3131313⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n ; 解 因为级数的一般项)(013311∞→≠→==-n u n n n ,所以由级数收敛的必要条件可知,此级数发散.<4> 232323233322⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n ; 解 这是一个等比级数,公比123>=q ,所以此级数发散. <5> )3121( )3121()3121()3121(3322⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++++nn . 解 因为∑∞=121n n 和∑∞=131n n 都是收敛的等比级数,所以级数 )3121( )3121()3121()3121()3121(33221⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++++=+∑∞=n n n n n 是收敛的.习题11-21.用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收 敛性:<1> )12(1 51311⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++n ; 解因为211121lim =-∞→nn n ,而级数∑∞=11n n发散,故所给级数发散. <2> 11 313121211222⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++++n n ; 解因为n n n n n n u n 111122=++>++=,而级数∑∞=11n n发散, 故所给级数发散.<3> )4)(1(1 631521⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅+⋅n n ; 解因为145lim 1)4)(1(1lim 222=++=++∞→∞→n n n nn n n n ,而级数∑∞=121n n 收敛, 故所给级数收敛.<4> 2sin 2sin 2sin 2sin 32⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n ππππ;解因为πππππ==∞→∞→nn n n n n 22sin lim 212sin lim ,而级数∑∞=121n n 收敛, 故所给级数收敛.<5>∑∞=>+1)0(11n n a a . 解因为 ⎪⎩⎪⎨⎧>=<<==+=+∞→∞→11 1 2110 0 1lim 111lim a a a l a a a a n n n n n n ,而当a >1时级数∑∞=11n n a 收敛,当0<a ≤1时级数∑∞=11n n a 发散, 所以级数∑∞=+111n n a 当a >1时收敛,当0<a ≤1时发散. 2.用比值审敛法判定下列级数的收敛性:<1>23 2332232133322⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅nn n ; 解级数的一般项为n n n n u 23⋅=.因为 123123lim 322)1(3lim lim 111>=+⋅=⋅⋅⋅+=∞→++∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n n n , 所以级数发散.<2>∑∞=123n n n ; 解因为131)1(31lim 33)1(lim lim 22121<=+⋅=⋅+=∞→+∞→+∞→nn n n u u n n n n n n n , 所以级数收敛.<3>∑∞=⋅1!2n n n n n ;解因为12)1(lim 2!2)1()!1(2lim lim 111<=+=⋅⋅++⋅=∞→++∞→+∞→e n n n n n n u u n n n n n n n n n n , 所以级数收敛.<3>∑∞=+112tann n n π. 解因为121221lim 2tan 2tan )1(lim lim 12121<=⋅+=+=++∞→++∞→+∞→n n n n n n n n n n n n n u u ππππ, 所以级数收敛.3.用根值审敛法判定下列级数的收敛性:<1>∑∞=+1)12(n n n n ; 解因为12112lim lim<=+=∞→∞→n n u n n n n ,所以级数收敛. <2>∑∞=+1)]1[ln(1n n n ; 解因为10)1ln(1lim lim<=+=∞→∞→n u n n n n ,所以级数收敛. <3>∑∞=--112)13(n n n n ; 解因为n n n n n n n n n n n u 1212)13(1lim)13(lim lim -∞→-∞→∞→-=-= 131)311(31lim 321212<⋅=-⋅=--∞→en n n n , 所以级数收敛.<4>∑∞=1)(n n na b ,其中a n →a <n →∞>,a n ,b ,a 均为正数.解因为a b a b u nn nn n ==∞→∞→lim lim , 所以当b <a 时级数收敛,当b >a 时级数发散.4.判定下列级数的收敛性:<1> )43( )43(3)43(24332⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n ; 解这里n n n u )43(=,因为 143431lim )43()43)(1(lim lim 11<=⋅+=+=∞→+∞→+∞→n n n n u u n nn n n n n , 所以级数收敛.<2>!!33!22!114444⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n ; 解这里!4n n u n =,因为 10)1(1lim !)!1()1(lim lim 3441<=+⋅=⋅++=∞→∞→+∞→n n nn n n n u u n n n n n , 所以级数收敛.<3>∑∞=++1)2(1n n n n ; 解因为121lim 1)2(1lim =++=++∞→∞→n n nn n n n n ,而级数∑∞=11n n发散, 故所给级数发散.<4>∑∞=13sin2n nn π; 解因为1323232lim 3sin 23sin 2lim 1111<=⋅⋅=++∞→++∞→n n n n n n n n n n ππππ, 所以级数收敛.<5> 1 232⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++nn ; 解因为011lim lim ≠=+=∞→∞→n n u n n n , 所以级数发散.<6>)0 ,0( 1 211>>⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++b a bna b a b a . 解因为n a b na u n 111⋅>+=,而级数∑∞=11n n发散, 故所给级数发散.5.判定下列级数是否收敛？如果是收敛的,是绝对收敛还是 条件收敛？<1> 4131211⋅⋅⋅+-+-; 解这是一个交错级数∑∑∞=-∞=--=-11111)1()1(n n n n n n u ,其中n u n 1=. 因为显然u n ≥u n +1,并且0lim =∞→n n u ,所以此级数是收敛的. 又因为∑∑∞=∞=-=-1111|)1(|n n n n nu 是p <1的p 级数,是发散的,所以原级数是条件收敛的.<2>∑∞=---1113)1(n n n n ; 解∑∑∞=-∞=--=-111113|3)1(|n n n n n n n . 因为131331lim 1<=+-∞→n n n n n ,所以级数∑∞=-113n n n 是收敛的, 从而原级数收敛,并且绝对收敛.<3> 2131213121312131432⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-⋅;解这是交错级数∑∞=-⋅-112131)1(n n n ,并且∑∑∞=∞=-⋅=⋅-1112131|2131)1(|n n n n n . 因为级数∑∞=⋅12131n n 是收敛的,所以原级数也收敛,并且绝对收敛. <4> 5ln 14ln 13ln 12ln 1⋅⋅⋅+-+-; 解这是交错级数∑∑∞=-∞=-+-=-1111)1ln()1()1(n n n n n n u ,其中)1ln(1+=n u n . 因为u n ≥u n +1,并且0lim =∞→n n u ,所以此级数是收敛的. 又因为11)1ln(1+≥+n n ,而级数∑∞=+111n n 发散, 故级数∑∑∞=∞=-+=-111)1ln(1|)1(|n n n n n u 发散,从而原级数是条件收敛的. <5>∑∞=+-11!2)1(2n n n n . 解级数的一般项为!2)1(21n u n n n +-=. 因为∞=⋅⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅===∞→∞→∞→∞→122232 22122lim !)2(lim !2lim ||lim 2n n n n n n n n n n n n n n n n n n u , 所以级数发散.习题11-31. 求下列幂级数的收敛域:<1>x +2x 2+3x 3+⋅⋅⋅+nx n +⋅⋅⋅;解 11lim ||lim 1=+=∞→+∞→nn a a n n n n , 故收敛半径为R =1. 因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=1n n , 是发散的;当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n n , 也是发散的,所以收敛域为<-1,1>.<2> )1( 21222⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅++-nx x x n n ; 解 1)1(lim 1)1(1lim ||lim 22221=+=+=∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n , 故收敛半径为R =1. 因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=-221)1(n n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=+1211n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-1,1].<3> )2( 42 64242232⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+n x x x x n ; 解 0)1(21lim )!1(2!2lim ||lim 11=+=⋅+⋅⋅=∞→+∞→+∞→n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为R =+∞, 收敛域为<-∞,+∞>. <4> 33332313322⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n n x x x x ; 解 31131lim 3)1(3lim ||lim 11=+⋅=⋅+⋅=∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为R =3. 因为当x =3时, 幂级数成为∑∞=11n n , 是发散的; 当x =-3时, 幂级数成为∑∞=-11)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-3,3>. <5> 12 102522223322⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++n n x n x x x ;解 21)1(1lim 2211)1(2lim ||lim 222211=+++=+⋅++=∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为21=R . 因为当21=x 时, 幂级数成为∑∞=+1211n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=+-1211)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为]21 ,21[-. <6>∑∞=++-11212)1(n n n n x ; 解 这里级数的一般项为12)1(12+-=+n x u n nn . 因为212321|1232|lim ||lim x x n n x u u n n n n n n =+⋅+=++∞→+∞→, 由比值审敛法, 当x 2<1, 即|x |<1时, 幂级数绝对收敛; 当x 2>1, 即|x |>1时, 幂级数发散, 故收敛半径为R =1.因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=+-1121)1(n n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=++-11121)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-1, 1].<7>∑∞=--122212n n n x n ; 解 这里级数的一般项为22212--=n nn x n u . 因为22212121|)12(22)12(|lim ||lim x x n x n u u n n n n n n n n =-⋅+=-+∞→+∞→, 由比值审敛法, 当1212<x , 即2||<x 时, 幂级数绝对收敛; 当1212>x , 即2||>x 时, 幂级数发散, 故收敛半径为2=R . 因为当2±=x 时, 幂级数成为∑∞=-1212n n , 是发散的, 所以收敛域为)2 ,2(-.<8>∑∞=-1)5(n nn x . 解 11lim ||lim 1=+=∞→+∞→n n a a n n n n , 故收敛半径为R =1, 即当-1<x -5<1时级数收敛, 当|x -5|>1时级数发散.因为当x -5=-1, 即x =4时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n nn , 是收敛的; 当x -5=1, 即x =6时, 幂级数成为∑∞=11n n, 是发散的, 所以收敛域为[4, 6>. 2. 利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数:<1>∑∞=-11n n nx ;解 设和函数为S <x >, 即∑∞=-=11)(n n nx x S , 则][][])([)(1010110'='='=∑⎰⎰∑⎰∞=-∞=-n xn x n n x dx nx dx nxdx x S x S)11( )1(1]111[][21<<--='--='=∑∞=x x x x n n . <2>∑∞=++11414n n n x ; 解 设和函数为S <x >, 即∑∞=++=11414)(n n n x x S , 则dx x dx n x dx x S S x S x n n x n n x ⎰∑⎰∑⎰∞=∞=+='+='+=01401140]14[)()0()( ⎰⎰-⋅++⋅+-=--=x x dx x x dx x02204)112111211()111( )11( arctan 2111ln 41<<--+-+=x x x x x .提示: 由)0()()(0S x S dx x S x -='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(. <3>⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++- 12 531253n x x x x n . 解 设和函数为S <x >, 即⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++=-=-∞=-∑ 12 5312)(1253112n x x x x n x x S n n n , 则 ⎰∑⎰∑⎰∞=-∞=-='-='+=x n n x n n x dx x dx n x dx x S S x S 012201120]12[)()0()( )11( 11ln 211102<<--+=-=⎰x x x dx xx . 提示: 由)0()()(0S x S dx x S x -='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(.习题11-41. 求函数f <x >=cos x 的泰勒级数, 并验证它在整个数轴上收敛于这函数.解 )2cos()()(π⋅+=n x x f n <n =1,2,⋅⋅⋅>, )2cos()(00)(π⋅+=n x x f n <n =1,2,⋅⋅⋅>, 从而得f <x >在x 0处的泰勒公式)(!2)cos())(2cos(cos )(200000⋅⋅⋅+-++-++=x x x x x x x x f ππ )( )(!)2cos(00x R x x n n x n n +-++π. 因为)!1(|||)()!1(]21)(cos[||)(|101000+-≤-+++-+=++n x x x x n n x x x x R n n n πθ<0≤θ≤1>, 而级数∑∞∞→++-n n n x x )!1(||10总是收敛的, 故0)!1(||lim 10=+-+∞→n x x n n , 从而0|)(|lim =∞→x R n n . 因此 )(!2)cos())(2cos(cos )(200000⋅⋅⋅+-++-++=x x x x x x x x f ππ⋅⋅⋅+-++ )(!)2cos(00n x x n n x π,x ∈<-∞,+∞>.2. 将下列函数展开成x 的幂级数, 并求展开式成立的区间: <1>2sh x x e e x --=; 解 因为∑∞==0!n n xn x e ,x ∈<-∞,+∞>,所以 ∑∞=--=0!)1(n n nx n x e ,x ∈<-∞,+∞>, 故 ∑∑∑∑∞=-∞=∞=∞=-=--=--=012000)!12(!])1(1[21]!)1(![21sh n n n n n n n n n n n x n x n x n x x ,x ∈<-∞,+∞>. <2>ln<a +x ><a >0>;解 因为)1ln(ln )1(ln )ln(a x a a x a x a ++=+=+,∑∞=++-=+011)1()1ln(n n nn x x <-1<x ≤1>, 所以 ∑∑∞=++∞=++-+=+-+=+01101)1()1(ln )(11)1(ln )ln(n n n n n n n a n x a a x n a x a <-a <x ≤a >. <3>a x ;解 因为∑∞==0!n n x n x e ,x ∈<-∞,+∞>, 所以 ∑∑∞=∞=====00ln !)(ln !)ln (n n n n n x a x x x n a n a x e ea ,x ∈<-∞,+∞>, <4>sin 2x ; 解 因为x x 2cos 2121sin 2-=,∑∞=-=02)!2()1(cos n n nn x x ,x ∈<-∞,+∞>, 所以 ∑∑∞=-∞=⋅-=--=1212022)!2(2)1()!2()2()1(2121sin n n n n n n n n x n x x x ∈<-∞,+∞>. <5><1+x >ln<1+x >;解 因为∑∞=++-=+011)1()1ln(n n nn x x <-1<x ≤1>, 所以 ∑∞=++-+=++011)1()1()1ln()1(n n nn x x x x ∑∑∞=+∞=++-++-=02011)1(1)1(n n n n n nn x n x ∑∑∞=++∞=+-++-+=11111)1(1)1(n n n n n n n x n x x 111])1(1)1([+∞=+∑-++-+=n n n n x n n x 111)1()1(+∞=-∑+-+=n n n x n n x <-1<x ≤1>. <6>21x x +. 解 因为∑∞=--+=+122/12!)!2(!)!12()1(1)1(1n n n x n n x <-1≤x ≤1>, 所以 ∑∑∞=+∞=+⋅-+=--+=+11221122)2()!()!2(2)1(!)!2(!)!12()1(1n n n n n n x n n x x n n x xx <-1≤x ≤1>. 3. 将下列函数展开成<x -1>的幂级数, 并求展开式成立的区间: <1>3x ;解 因为)11( !)1( )1( !2)1(1)1(2<<-⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++=+x x n n m m m x m m mx x n m . 所以 233)]1(1[-+=x x )1(!)123( )123(23 )1(!2)123(23)1(2312⋅⋅⋅+-+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+--+-+=n x n n x x)111(<-<-x ,即 )1(!2)25( )3()1(13 )1(!2213)1(231223⋅⋅⋅+-⋅-⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅+⋅⋅⋅+-⋅⋅+-+=n n x n n x x x )20(<<x .上术级数当x =0和x =2时都是收敛的, 所以展开式成立的区间是[0,2].<2>lg x .解 ∑∞=-≤-<---=-+==11)111( )1()1(10ln 1)]1(1ln[10ln 110ln ln lg n n n x nx x x x , 即 ∑∞=-≤<--=11)20( )1()1(10ln 1lg n n n x nx x . 4. 将函数f <x >=cos x 展开成)3(π+x 的幂级数. 解 3sin )3sin(3cos )3cos(]3)3cos[(cos ππππππ+++=-+=x x x x )3sin(23)3cos(21ππ+++=x x ∑∑∞=+∞=++-++-=01202)3()!12()1(23)3()!2()1(21n n n n n n x n x n ππ )( ])3()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-=+∞=∑x x n x n n n n n ππ. 5.将函数xx f 1)(=展开成<x -3>的幂级数. 解 ∑=<-<---=-+=-+=n n n n x x x x x 0)1331( )33()1(313311313311, 即 ∑=<<--=n n n n x x x 0)60( )33()1(311. 6.将函数231)(2++=x x x f 展开成<x +4>的幂级数. 解 2111231)(2+-+=++=x x x x x f ,而 ∑∞=<++-=+--=++-=+0)1|34(| )34(31341131)4(3111n n x x x x x , 即 )17( 3)4(1101-<<-+-=+∑∞=+x x x n n n ; ∑∞=<++-=+--=++-=+0)1|24(| )24(21241121)4(2121n n x x x x x , 即 )26( 2)4(2101-<<-+-=+∑∞=+x x x n n n . 因此 ∑∑∞=∞=+++++-=++=001122)4(3)4(231)(n n n n n n x x x x x f )26( )4)(3121(011-<<-+-=∑∞=++x x n n n n . 习题11-51. 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值:<1>ln3<误差不超过0.0001>; 解)11( ) 121 5131(211ln 1253<<-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++=-+-x x n x x x x x n , ) 21121 2151213121(2211211ln 3ln 1253⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=-+=-n n . 又 ] 2)32(12)12(1[2||3212⋅⋅⋅+⋅++⋅-=+-n n n n n r ] 2)52(2)12(2)32(2)12(1[2)12(25212321212⋅⋅⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+++=+++++n n n n n n n n n n 2242122)12(31) 21211(2)12(2-+-=⋅⋅⋅++++<n n n n , 故 00012.021131||85≈⋅⋅<r ,00003.021331||105≈⋅⋅<r . 因而取n =6, 此时1.0986 )21111219121712151213121(23ln 119753≈⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=. <2>e <误差不超过0.001>;解 )( !1 !2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x , 21!1 21!212112⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅++=nn e . 由于 21)!2(121)!1(121⋅⋅⋅+⋅++⋅+=++n n n n n r 21)1()2(121111[2!12⋅⋅⋅+⋅+⋅++⋅++⋅=n n n n n 22!3141112!1-⋅⋅=-⋅⋅<n n n n , 故 0003.02!53134≈⋅⋅=r . 因此取n =4得648.121!4121!3121!21211432≈⋅+⋅+⋅++≈e . <3>9522<误差不超过0.00001>; 解)11( !)1( )1( !2)1(1)1(2<<-⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++=+x x n n m m m x m m mx x n m , 9/199)2101(2522+= ] )210(!33178)210(!298210911[23922929⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅+=. 由于002170.0210919≈⋅,000019.0)210(!298292≈⋅⋅, 故00430.2)000019.0002170.01(25229≈-+=.<4>cos 2︒<误差不超过0.0001>.解 )( )!2()1( !4!21cos 242+∞<<-∞⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=x n x x x x n n , )90(!61 )90(!41)90(!21190cos 2cos 642⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-==︒ππππ.由于42106)90(!21-⨯≈⋅π,8410)90(!41-≈⋅π, 故 9994.00006.01 )90(!2112cos 2=-≈⋅⋅-≈︒π.2.利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值:<1>⎰+5.00411dx x <误差不超过0.0001>; 解⎰⎰⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-=+5.00412845.004] )1( 1[11dx x x x x dx x n n 5.001395|) 1319151(⋅⋅⋅+-+-=x x x x 2113121912151211395⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-. 因为00625.021515≈⋅,00028.021919≈⋅,000009.02113113≈⋅, 所以4940.0219121512111955.004≈⋅+⋅-≈+⎰dx x . <2>⎰5.00arctan dx xx <误差不超过0.0001>. 解)11( 121)1( 5131arctan 1253<<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅-+-=+x x n x x x x n n, dx x n x x dx x x n n ] 121)1( 51311[arctan 5.002425.00⎰⎰⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅-+-= 5.00753|) 49125191(⋅⋅⋅+-+-=x x x x 2149121251219121753⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-=. 因为0139.021913≈⋅,0013.0212515≈⋅,0002.0214917≈⋅, 所以487.021*********arctan 535.00≈⋅+⋅-=⎰dx x x . 3.将函数e x cos x 展开成x 的幂级数. 解)(21cos ix ix e e x -+=, ][21)(21cos )1()1(i x i x ix ix x x e e e e e x e -+-+=+⋅=∑∑∑∞=∞=∞=-++=-++=000!)1()1(21!)1(!)1([21n n n n n n n n n n x n i i x n i x n i . 因为421πi e i =+,421πi e i -=-, 所以4cos 2)4cos 2(2][2)1()1(122442ππππn n e e i i n n n i n i n n n +-==+=-++. 因此)( !4cos 2cos 02+∞<<-∞=∑∞=x x n n x e n n n x π.习题11-7 1.下列周期函数f <x >的周期为2π,试将f <x >展开成傅里叶级数,如果f <x >在[-π,π>上的表达式为:<1>f <x >=3x 2+1<-π≤x <π>;解 因为)1(2)13(1)(1220+=+==⎰⎰--πππππππdx x dx x f a , ⎰-=ππππdx n x f a n cos )(1 2212)1(cos )13(1n dx n x n -=+=⎰-ππππ <n =1,2,⋅⋅⋅>, ⎰-=ππππdx n x f b n sin )(1 0sin )13(12=+=⎰-ππππdx n x <n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以f <x >的傅里叶级数展开式为)( cos )1(121)(122+∞<<-∞-++=∑∞=x nx n x f n n π.<2>f <x >=e 2x <-π≤x <π>;解 因为πππππππππ21)(12220----===⎰⎰e e dx e dx x f a x ,⎰-=ππππdx n x f a ncos )(1πππππππ)4()()1(2cos 12222+--==--⎰n e e dx n e n x<n =1,2,⋅⋅⋅>, ⎰-=ππππdx n x f b n sin )(1πππππππ)4()()1(sin 12222+---==--⎰n e e n dx n e n x<n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以f <x >的傅里叶级数展开式为∑∞=--+-+-=1222)sin cos 2(4)1(41[)(n n nx n nx n e e x f πππ<x ≠<2n +1>π,n =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.<3>⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx ax x bx x f 0 0)(<a ,b 为常数,且a >b >0>.解 因为)(211000b a axdx bxdx a -=+=⎰⎰-πππππ, ]cos 1cos 100⎰⎰+=-ππππnxdx ax nxdx bx a nn n a b )1(1[2---=π<n =1,2,⋅⋅⋅>,⎰⎰+=-ππππ00sin 1sin 1nxdx ax nxdx bx b nnb a n +-=+1)1(<n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以f <x >的傅里叶级数展开式为∑∞=-+-+---+-=112}sin )()1(cos )]()1(1[{)(4)(n n n nx n b a nx n a b b a x f ππ <x ≠<2n +1>π,n =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.2.将下列函数f <x >展开成傅里叶级数:<1>3sin2)(x x f =<-π≤x ≤π>; 解 将f <x >拓广为周期函数F <x >, 则F <x >在<-π,π>中连续, 在x =±π间断, 且)()]()([21πππ-≠-+-+-f F F ,)()]()([21πππf F F ≠++-, 故F <x >的傅里叶级数在<-π,π>中收敛于f <x >, 而在x =±π处F <x >的傅里叶级数不收敛于f <x >. 计算傅氏系数如下: 因为3sin2x <-π<x <π>是奇函数, 所以a n=0<n =0,1,2,⋅⋅⋅>,⎰⎰+--==ππππ00])31cos()31[cos(2sin 3sin 22dx x n x n nxdx x b n19318)1(21-⋅-=+n nn π<n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以∑∞=+--=12119sin )1(318)(n n n nx n x f π<-π<x <π>.<2>⎩⎨⎧≤≤<≤-=ππx x e x f x 0 10)(.解 将f <x >拓广为周期函数F <x >, 则F <x >在<-π,π>中连续, 在x =±π间断, 且)()]()([21πππ-≠-+-+-f F F ,)()]()([21πππf F F ≠++-,故F <x >的傅里叶级数在<-π,π>中收敛于f <x >, 而在x =±π处F <x >的傅里叶级数不收敛于f <x >. 计算傅氏系数如下:ππππππ---+=+=⎰⎰e dx dx e a x 1][1000, )1()1(1]cos cos [1200n e nxdx nxdx e a n xn +--=+=--⎰⎰πππππ<n =1,2,⋅⋅⋅>,]sin sin [100⎰⎰+=-πππnxdx nxdx e b xn})1(11])1(1[{12n n e n n n --++---=-ππ<n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以πππ21)(--+=e x f∑∞=----++-+-++--+122}]sin )1(11)1([cos 1)1(1{1n n n n nx n n ne n nx n e πππ <-π<x <π>.3.设周期函数f <x >的周期为2π,证明f <x >的傅里叶系数为⎰=ππ20cos )(1nxdx x f a n <n =0, 1, 2,⋅⋅⋅>,⎰=ππ20sin )(1nxdx x f b n <n =1, 2,⋅⋅⋅>.证明 我们知道, 若f <x >是以l 为周期的连续函数, 则⎰+la adx x f )(的值与a 无关, 且⎰⎰=+lla adx x f dx x f 0)()(,因为f <x >,cos nx ,sin nx 均为以2π为周期的函数, 所以f <x >cos nx ,f <x >sin nx 均为以2π为周期的函数, 从而⎰⎰+---==πππππππ2cos )(1cos )(1nxdx x f nxdx x f a n⎰=ππ20cos )(1nxdx x f <n =1, 2,⋅⋅⋅>.同理 ⎰=ππ20sin )(1nxdx x f b n <n =1, 2,⋅⋅⋅>.4.将函数2cos )(xx f =<-π≤x ≤π>展开成傅里叶级数: 解 因为2cos )(x x f =为偶函数, 故b n =0<n =1, 2,⋅⋅⋅>, 而⎰⎰==-πππππ0cos 2cos 2cos 2cos 1nxdx x nxdx x a n⎰+--=ππ0])21cos()21[cos(1dx x n x n 1414)1(21-⋅-=+n n π<n =1, 2,⋅⋅⋅>. 由于2cos )(x x f =在[-π,π]上连续, 所以 ∑∞=+--+=121cos 141)1(422cos n n nx n x ππ<-π≤x ≤π>. 5.设f <x >的周期为2π的周期函数, 它在[-π,π>上的表达式这⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<≤--<≤--=ππππππππx x x x x f 2 222 2 2)(,将f <x >展开成傅里叶级数.解 因为f <x >为奇函数, 故a n =0<n =0,1,2,⋅⋅⋅>, 而]sin 2sin [2sin )(22200⎰⎰⎰+==πππππππnxdx nxdx x nxdx x f b n2sin 2)1(2ππn n n n +--=<n =1,2,⋅⋅⋅>,又f <x >的间断点为x =<2n +1>π,n =0,±1,±2,⋅⋅⋅, 所以nx n n n x f n n sin ]2sin 2)1([)(121∑∞=++-=ππ< x ≠<2n +1>π,n =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.6. 将函数2)(x x f -=π<0≤x ≤π>展开成正弦级数.解 作奇延拓得F <x >:⎪⎩⎪⎨⎧<<---=≤<=0)(0 00 )()(x x f x x x f x F ππ,再周期延拓F <x >到<-∞,+∞>, 则当x ∈<0,π]时F <x >=f <x >,)0(20)0(f F =≠=π.因为a n =0<n =0,1,2,⋅⋅⋅>, 而nnxdx x b n 1sin 220=-=⎰πππ <n =1,2,⋅⋅⋅>, 故 nx nx f n sin 1)(1∑∞==<0<x ≤π>,级数在x =0处收敛于0.7.将函数f <x >=2x 2<0≤x ≤π>分另别展开成正弦级数和余弦级数. 解对f <x >作奇延拓,则a n =0<n =0, 1, 2,⋅⋅⋅>,而]2)2()1[(4sin 2232302n n n nxdx x b n n ---==⎰ππππ<n =1, 2,⋅⋅⋅>,故正弦级数为nx n n n x f n n sin ]2)2()1[(4)(1323∑∞=---=ππ<0≤x <π>, 级数在x =0处收敛于0.对f <x >作偶延拓,则b n =0<n =1, 2,⋅⋅⋅>,而20203422πππ==⎰dx x a , 2028)1(cos 22nnxdx x a n n -==⎰ππ <n =1, 2,⋅⋅⋅>, 故余弦级数为nx nx f n n cos )1(832)(122∑∞=-+=π<0≤x ≤π>.8.设周期函数f <x >的周期为2π, 证明<1>如果f <x -π>=-f <x >, 则f <x >的傅里叶系数a 0=0,a 2k =0,b 2k =0<k =1,2,⋅⋅⋅>; 解 因为020200)(1)(1)(1a dt t f dx t f dx x f a xt -=-=-=⎰⎰⎰+=-πππππππππ令,所以a 0=0. 因为dx t k t f kxdx x f a xt k )(2cos )(12cos )(1202ππππππππ--=⎰⎰+=-令k a ktdt t f 2202cos )(1-=-=⎰ππ,所以a 2k =0.同理b 2k =0<k =1,2,⋅⋅⋅>.<2>如果f <x -π>=f <x >, 则f <x >的傅里叶系数a 2k +1=0,b 2k +1=0<k =1,2,⋅⋅⋅>. 解因为)12cos()(112⎰-++=πππxdx k x f a kdx t k t f xt ))(12cos()(1 20πππππ-+-⎰+=令1220)12cos()(1+-=+-=⎰k a tdt k t f ππ,所以a 2k +1=0<k =1,2,⋅⋅⋅>. 同理b 2k +1=0<k =1,2,⋅⋅⋅>.习题11-81. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数<下面给出函数在一个周期内的表达式>: <1>)2121(1)(2<≤--=x x x f ;解 因为f <x >=1-x 2为偶函数, 所以b n =0<n =1,2,⋅⋅⋅>, 而611)1(4)1(2/12210221020=-=-=⎰⎰dx x dx x a ,⎰-=21022/1cos )1(2/12dx x n x a n π2212102)1(2cos )1(4ππn xdx n x n +-=-=⎰<n =1,2,⋅⋅⋅>,由于f <x >在<-∞,+∞>内连续, 所以∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n x n n x f ππ,x ∈<-∞,+∞>.<2>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤<≤-=121 1210 101 )(x x x x x f ;解 21)(1212100111-=-+==⎰⎰⎰⎰--dx dx xdx dx x f a n ,⎰⎰⎰⎰-+==--1212100111cos cos cos cos )(xdx n xdx n xdx n x xdx n x f a n ππππ2sin 2])1(1[122πππn n n n +--= <n =1,2,⋅⋅⋅>,dx x n xdx n xdx n x xdx n x f b n ⎰⎰⎰⎰-+==--121210111sin sin sin sin )(πππππππn n n 12cos 2+-= <n =1,2,⋅⋅⋅>.而在<-∞,+∞>上f <x >的间断点为x =2k ,212+k ,k =0,±1,±2,⋅⋅⋅,故 }sin 2cos 21cos ]2sin 2)1(1{[41)(122x n n n x n n n n x f n nπππππππ-++--+-=∑∞= <x ≠2k ,212+≠k x ,k =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.<3>⎩⎨⎧<≤<≤-+=30 1 03 12)(x x x x f .解 1])12([31)(313003330-=++==⎰⎰⎰--dx dx x dx x f a ,]3cos 3cos )12([313cos )(31300333⎰⎰⎰--++==dx x n dx x n x dx x n x f a n πππ])1(1[622n n --=π<n =1,2,⋅⋅⋅ >, ]3sin 3sin )12([313sin )(31300333⎰⎰⎰--++==dx x n dx x n x dx x n x f b n πππn n )1(6-=π<n =1,2,⋅⋅⋅ >, 而在<-∞,+∞>上,f <x >的间断点为 x =3<2k +1>,k =0,±1,±2,⋅⋅⋅,故 }3sin 6)1(3cos])1(1[6{21)(1122∑∞=+-+--+-=n n n x n n x n n x f ππππ,<x ≠3<2k +1>,k =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.2. 将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数:<1>⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=lx x l l x x x f 2l20 )(; 解 正弦级数:对f <x >进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a 0=0<n =0,1,2,⋅⋅⋅>,2sin 4]sin )(sin [22221210ππππn n l dx l x n x l dx l x n x l b l n =-+=⎰⎰<n =1,2,⋅⋅⋅ >故 ∑∞==122sin 2sin14)(n l x n n nl x f πππ,x ∈[0,l ].余弦级数:对f <x >进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为2])([2212100l dx x l xdx l a l=-+=⎰⎰,⎰⎰-+=l n dx l x n x l dx l x n x l a 21210]cos )(cos [2ππ ])1(12cos 2[222n n n l ---=ππ <n =1, 2,⋅⋅⋅ > b n =0<n =1, 2,⋅⋅⋅ >,故lx n n n l l x f n n πππcos ])1(12cos2[124)(122∑∞=---+=,x ∈[0,l ].<2>f <x >=x 2<0≤x ≤2>.解正弦级数:对f <x >进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a 0=0<n =0, 1, 2,⋅⋅⋅>,]1)1[()(168)1(2sin 2231202--+-==+⎰n n n n n dx x n x b πππ,故 2sin }]1)1[()(168)1{()(131x n n n x f n n n πππ∑∞=+--+-=2sin }]1)1[(2)1({81231x n n n n n n πππ∑∞=+--+-=,x ∈[0,2>. 余弦级数:对f <x >进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为38222020==⎰dx x a2202)(16)1(2cos 22ππn dx x n x a n n -==⎰<n =1, 2,⋅⋅⋅>, b n =0<n =1, 2,⋅⋅⋅>,故 2cos )(16)1(34)(12x n n x f n n ππ∑∞=-+=2cos )1(1634122x n n n n ππ∑∞=-+=,x ∈[0,2].总习题十一 1.填空: <1>对级数∑∞=1n n u ,0lim =∞→n n u 是它收敛的________条件,不是它收敛的________条件; 解 必要; 充分.<2>部分和数列{s n }有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的________条件; 解 充分必要. <3>若级数∑∞=1n n u 绝对收敛,则级数∑∞=1n n u 必定________;若级数∑∞=1n n u 条件收敛,则级数∑∞=1||n n u 必定________. 解 收敛; 发散.2.判定下列级数的收敛性: <1>∑∞=11n n nn ; 解因为11lim 11lim ==∞→∞→n n nn nnn n ,而调和级数∑∞=11n n发散,故由比较审敛法知,级数发散. <2>∑∞=1222)!(n nn ;解因为∞==⋅++=∞→∞→+∞→222221lim )!(2)1(2])!1[(lim lim n n n n n u u n n n n n , 故由比值审敛法知,级数发散.<3> ∑∞=1223cos n n n n π; 解因为n n n n n 223cos 2<π,12121lim 2lim <==∞→∞→n n n n n n n所以由根值审敛法,级数∑∞=12n n n 收敛;由比较审敛法,级数∑∞=1223cos n nn n π收敛. <4>∑∞=110ln 1n n;解 因为∞==∞→∞→nn n u n n n 10ln lim 1lim, 而调和级数∑∞=11n n发散, 故由比较审敛法知, 原级数发散. 提示:∞===⋅⋅⋅==⋅=∞→∞→∞→∞→∞→xx x x x x x x x x x x x x 11lim !101ln lim !101 ln lim 1011ln 101limln lim9910<5>∑∞=1n s nna <a >0,s >0>. 解 因为a n a n a s n n ns n n ==∞→∞→)(lim lim , 故由根值审敛法知, 当a <1时级数收敛, 当a >1时级数发散.当a =1时, 原级数成为∑∞=11n s n, 这是p =s 的p -级数, 当s >1时级数收敛, 当s ≤1时级数发散. 3.设正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都收敛,证明级数∑∞=+12)(n n n v u 与收敛. 证明 因为∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都收敛, 所以0lim =∞→n n u ,0lim =∞→n n v . 又因为0)2(lim 2lim 2=+=+∞→∞→n n n nn n n n v u u v u u ,0lim lim 2==∞→∞→n n n n n v v v , 所以级数∑∞=+12)2(n n n n v u u 和级数∑∞=12n n v 都收敛, 从而级数 ∑∑∞=∞=+=++12122)(])2[(n n n n n n n n v u v v u u也是收敛的.4.设级数∑∞=1n n u 收敛,且1lim =∞→n n n u v ,问级数∑∞=1n n v 是否也收敛？试说明理由. 解 级数∑∞=1n n v 不一定收敛. 当∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 均为正项级数时, 级数∑∞=1n n v 收敛, 否则未必. 例如级数∑∞=-11)1(n n 收敛, 但级数∑∞=+-1]11)1[(n n n 发散, 并且有 11)1(11)1(lim =-+-∞→nn n n .5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:<1>∑∞=-11)1(n p n n ; 解∑∑∞=∞==-111|1)1(|n p n p n n n 是p 级数.故当p >1时级数∑∞=11n p n 是收敛的,当p ≤1时级数∑∞=11n p n 发散.因此当p >1时级数∑∞=-11)1(n p n n 绝对收敛. 当0<p ≤1时,级数∑∞=-11)1(n p n n 是交错级数,且满足莱布尼茨定理的条件,因而收敛,这时是条件收敛的. 当p ≤0时,由于01)1(lim ≠-∞→p nn n ,所以级数∑∞=-11)1(n p n n 发散. 综上所述,级数∑∞=-11)1(n p n n 当p >1时绝对收敛,当0<p ≤1时条件收敛,当p ≤0时发散. <2>∑∞=+++-1111sin )1(n n n n ππ; 解因为1111|1sin )1(|+++≤+-n n n n πππ,而级数∑∞=+111n n π收敛,故由比较审敛法知级数|1sin )1(|111∑∞=+++-n n n n ππ收敛,从而原级数绝对收敛. <3> ∑∞=+-11ln )1(n n n n ; 解因为1ln )11ln(lim 1ln lim 1|1ln )1(|lim ==+=+=+-∞→∞→∞→e n n n n nn n n n n n n ,而级数∑∞=11n n发散,故由比较审敛法知级数|1ln )1(|1∑∞=+-n n n n 发散,即原级数不是绝对收敛的. 另一方面,级数∑∞=+-11ln )1(n n n n 是交错级数,且满足莱布尼茨定理的条件,所以该级数收敛,从而原级数条件收敛.<4>∑∞=++-11)!1()1(n n nn n . 解令1)!1()1(++-=n n n n n u .因为 11)11(112lim )1(12lim )!1()1()!2(lim ||||lim 121<=+⋅++=+⋅++=+⋅++∞→∞→++∞→+∞→enn n n n n n n n n n u u n n n n n n n n n n , 故由比值审敛法知级数|)!1()1(|11∑∞=++-n n n n n 收敛,从而原级数绝对收敛. 6.求下列级限: <1>∑=∞→+n k k k n k n 12)11(311lim ; 解 显然∑=+=nk k k n k s 12)11(31是级数∑∞=+12)11(31n n n n 的前n 项部分和. 因为13)11(31lim )11(31lim 2<=+=+∞→∞→e n n n n n n n n , 所以由根值审敛法, 级数∑∞=+12)11(31n nn n 收敛, 从而部分和数列{s n }收敛.因此01lim )11(311lim 12=⋅=+∞→=∞→∑n n n k k k n s n k n . <2>])2( 842[lim 312719131n n n ⋅⋅⋅⋅⋅∞→. 解n n nn 3 27392313127191312)2( 842+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅.显然n n n s 3 2739231+⋅⋅⋅+++=是级数∑∞=13n n n 的前n 项部分和. 设∑∞=-=11)(n n nx x S ,则210)1(1]111[][])([)(x x x dx x S x S n n x -='--='='=∑⎰∞=. 因为43)311(131)31(31)31(3132111=-⋅===∑∑∞=-∞=S n n n n n n , 所以43lim =∞→n n s , 从而 4331271913122lim ])2( 842[lim ==⋅⋅⋅⋅⋅∞→∞→nn s n n n .7.求下列幂级数的收敛域:<1>∑∞=+153n n n n x n ; 解 51)53(5)53(31lim 53153lim ||lim 111=++⋅+=+⋅++=∞→++∞→+∞→n n n n n n n n n n n n n n n a a , 所以收敛半径为51=R . 因为当51=x 时, 幂级数成为]1)53[(11+∑∞=n n n , 是发散的; 当51-=x 时, 幂级数成为]1)53[()1(1+-∑∞=n n n n , 是收敛的, 所以幂级数的收敛域为)51,51[-. <2>∑∞=+12)11(n n n x n ; 解 n n n x n u 2)11(+=, 因为||||)11(lim ||lim x e x nu n n n n n =+=∞→∞→, 由根值审敛法, 当e |x |<1, 即ex e 11<<-时, 幂级数收敛; 当e |x |>1,时幂级数发散. 当e x 1-=时, 幂级数成为∑∞=+1)1()11(2n n n e n ;。

华东理工大学级(下)高等数学期中考试试卷(学分)解答————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：华东理工大学2013–2014学年第二学期《高等数学（下）11学分》课程期中考试试卷 2014.4开课学院：理学院， 专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟考生姓名： 学号： 班级 任课教师题序 一二三四五六总分得分 阅卷人注 意：试 卷 共 两 页 六 大 题一．填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分）：1、微分方程222'y x e yx y -=的通解为 。

答：C e xe e xx y +-=22412122、微分方程0''9)4(=+y y 的通解为 。

答：x C x C x C C y 3sin 3cos 4321+++=3、函数 zxy u )(= 对变量x 的偏导数 =x u 。

答：12)(--=z x xy x yz u 4、设 ))arctan(,,(xyz e y xze f u zy+=，其中f 关于所有变量有一阶连续偏导数， 则=∂∂yu。

答：3222211f zy x xz f f xze y u y +++=∂∂ 5、设函数z z x y =(,)由方程 ),(yzxz f z = 所确定，其中f 关于所有变量有一阶连续偏导数，则∂∂zy= 。

答：21222yf f xy y zf ---6、设1)(-=⋅⨯c b a ρρρ，则=+⨯+⋅)]()[(c b b a b ρρρρϖ 。

答： 17、函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(处最大的方向导数等于 。

答：228、微分方程 0'2''=+y xy 的通解=y 。

答： 21C xC y +-= 9、设平面π过直线⎩⎨⎧=+-=++04,05:z x z y x L 则原点到平面π距离d 的范围是 。

第十一章自测题参考答案一、填空题： 1.()⎰Γ++ds R Q P γβαcos cos cos 切向量2.()⎰⎰∑++dS R Q P γβαcos cos cos 法向量3.⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q 4. 0 5. π4 6. π2 7. 0 8.()⎰⎰101,dy y x f dx ， ()⎰⎰-110,dy y x f dx ， 09.()⎰-Lds x x y x P 22,二、选择题：1.C2.C3.A4.A5.D 三、计算题：1.解 由于曲线L 表达式中x ,y, z 是对称的，所以⎰Lds x 2=⎰Lds y 2=⎰Lds z 2，故⎰L ds x 2=()⎰++ds z y x 22231=3223223131a a a ds a L ππ=⋅=⎰. 2.解 原式=()[](){}⎰+---π20sin cos 1cos 12dt t t t()⎰+=π202sin sindt t t =π202sin 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t =π 3.解 记222:y x a z S --=，D ：xoy 平面上圆域222a y x ≤+原式=()dxdy y z x z y x a y x D222221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+--++⎰⎰ =()⎰⎰--⋅--++Ddxdy yx a y x a y x a2222221注意到积分区域D 关于坐标轴的对称性及被积函数的奇偶性知⎰⎰--Ddxdy yx a x 222=⎰⎰--Ddxdy yx a y 222=0，所以原式=⎰⎰Ddxdy a=2aa π⋅=3a π.4.解 利用高斯公式原式=()⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x 2其中Ω为S 所围成的空间区域。

由Ω关于坐标平面的对称性知⎰⎰⎰Ωxdxdydz =⎰⎰⎰Ωydxdydz =0，所以，原式=⎰⎰⎰Ωzdxdydz 2=⎰⎰⎰+1222y x D zdz dxdy xy=()⎰⎰--xyD dxdy y x 221=()⎰⎰-12201ρρρθπd d=2412ππ=⋅5.解 原式=()()[]()⎰+--π202222sin cos 1cos 1dt t a t a t a=()⎰-π20253cos 12dt t a =⎰π20253sin 8dt at=du u a⎰π53sin 16=315256a 6.解 ()()()()()x f y x Q y x f e y x P x -=+=,,,要使曲线积分与路径无关，当且仅当xQ y P ∂∂=∂∂，即()()x f x f e x '-=+ 解此微分方程可得()x xe Cex f 21-=-，又()210=f ，所以C =1,故()x x e e x f 21-=- 现在计算从()0,0A 到()1,1B 的曲线积分的值.由于积分与路径无关，故选取有向折线________CB AC +进行积分，其中()0,1C 。

第7章 微分方程§7.5 可降阶的高阶微分方程一、填空题答：1. 2121ln arctan C x C x x x y +++-= 2.22121C x x e C y x +--= 3．121C xy C e =+二、 y =C 1ln x +C 2 . 三、 22x x y -=.§7.6 高阶线性微分方程一、判断题1．（ √ ）2．（ ╳ ）3．（ √ ） 二、选择题答：1.C 2.C 3.C 4.B§7.7 常系数齐次线性微分方程一、判断题1．（ √ ）2．（ ╳ ）3．（ ╳ ） 二、填空题1、y =C 1e x +C 2e-2x2、 t t e C e C x 252251t +=, 3、 y =e -3x (C 1cos2x +C 2sin2x ).4、 y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x5、y =e 2x sin3x三、选择题答：1.B 2.B 3.A 4.C 5.B四、求下列微分方程(1) y =C 1+C 2e 4x . (2) y =e 2x (C 1cos x +C 2sin x ). (3) y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x . (4))2(21x e y x+=-.§7.8 常系数非齐次线性微分方程一、填空题 答：1、x x xe e C e C y ++=-2211，2、x xe x C x C e y x x 2cos 41)2sin 2cos (21-+=.3、x x x y 2sin 31sin 31cos +-+-= 4、x xx y cos 2sin 21+= 二、选择题答：1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D三、)323(2221x x e e C e C y x x x -++=--- 四、 2527521++-=x x e e y . 第12章 无穷级数§12.1 常数项级数的概念与性质一、判断题答：1. √2. √ 3. ×4. ×5. √ 6. √ 二、填空题答：1. 1/2、3/8 、5/16 2. [（-1）^(n-1)]*[(n+1)/n] 3. [x^(n/2)]*(1/2*n!) 4. 0 三、选择题答：1.C 2.A 3.C 4.C四、判定下列级数的收敛性(1)级数收敛. (2) 该级数发散. (3) 级数发散.§12.2 常数项级数的审敛法一、判断题答：1. √ 2. × 3. √4.√ 5√6. ×7. √8. √9.√ 二、填空题答：1.P>1 2. {}n s 有界 3. 绝对收敛 4. 收敛5.1lim 0n nn u u u +=⎧⎨>⎩三、选择题答：1. D 2.C 3.D 4.A 5.C四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 级数发散. (4) 级数收敛.五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 级数发散. (2) 级数收敛.六、用根值审敛法判定下列级数的收敛性:(1) 级数收敛； (2) 当b <a 时级数收敛, 当b >a 时级数发散. 七、 (1) 此级数是收敛的. 条件收敛的. (2) 级数收敛, 并且绝对收敛.§12.3 幂级数一、判断题答：1. √ 2. √ 3. √ 4. √ 5. × 二、填空题答：1.[-1/2、1/2] 2. [-1，5) 3. (-1,1) ,11ln21xx+- 4. 绝对收敛三、选择题 答：1.D 2.B 3 D四、求下列幂级数的收敛域:(1) 收敛域为(-1, 1). （2） 收敛域为[-1, 1]. 五、利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数: (1) ()S x 21(11)(1)x x =-<<-. (2) ()S x 11ln (11)21x x x+=-<<- . 提示: 由)0()()(0S x S dx x S x-='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(.§12.4 函数展开成幂级数一、判断题答：1. √2. × 3. × 二、填空题 1. 答：1.11ln 2(1)2nn nn x n ∞-=+-∑ ，（-2，2 ] 2. 1111()(4)23nn n n x ∞++=-+∑ ，（-6，-2） 3.)( ])3()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-+∞=∑x x n x n n n n nππ 三、选择题答：1.B 2.C 3.C四、(1) 210sh (21)!n n x x n -∞==-∑, x ∈(-∞, +∞). (2) 212212sin (1)(2)!n n n n x x n -∞=⋅=-∑ x ∈(-∞, +∞). 五、∑=<<--=n n n n x x x 0)60( )33()1(311.§12.5 函数的幂级数展开式的应用一、填空题答：1.3. ； 2、)( !4cos2cos 02+∞<<-∞=∑∞=x x n n x e n n nx π.§12.7 傅立叶级数一、判断题 答：1. × 2. √3.√4.√二、填空题 1.5 2. ,n n a b - 3. nx nx f n sin 1)(1∑∞==(0<x ≤π), 级数在x =0处收敛于0. 三、选择题答：1.A 2.C 3.B 4A 5.B四、∑∞=+--+=121cos 141)1(422cos n n nx n x ππ(-π≤x ≤π). 五、正弦级数为nx n n nx f n n sin ]2)2()1[(4)(1323∑∞=---=ππ(0≤x <π), 级数在x =0处收敛于0.余弦级数为 nx nx f n n cos )1(832)(122∑∞=-+=π(0≤x ≤π).§12.8 一般周期函数的傅里叶级数一、 ∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n x n n x f ππ, x ∈(-∞, +∞).二、正弦级数13218(1)2[(1)1]{}sin2n n n n xn n πππ+∞=---+∑, x ∈[0, 2). 余弦级数:221416(1)cos 32n n n xn ππ∞=-+∑, x ∈[0, 2].第8章 空间解析几何与向量代数§8.1 向量及其线性运算一、判断题。

高等数学下册第十一章习题答案详解1.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(,)d 0LP x y x =⎰,其中(),P x y 在L 上连续.证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x ab t b y t =⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2.设L 为xOy 面内x 轴上从点(,0)a 到点(,0)b 的一段直线，证明：(,)d (,0)d bLaP x y x P x x =⎰⎰,其中(),P x y 在L 上连续.证：L ：0x xa xb y =⎧≤≤⎨=⎩，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ． 故()(),d ,0d bLaP x y x P x x =⎰⎰3.计算下列对坐标的曲线积分: （1）22()d Lxy x -⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）d Lxy x ⎰，其中L 为圆周()222x a y a -+=(0)a >及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；（3）d d Ly x x y +⎰,其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到π2的一段弧； （4）22()d ()d Lx y x x y y x y+--+⎰,其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）； （5）2d d d x x z y y z +-⎰Γ,其中Γ为曲线,,x k y acos z asin θθθ===上对应θ从0到π的一段弧；（6） 322d 3d ()d x x zy y xy z ++-⎰Γ,其中Γ是从点3,2,1（）到点0,0,0（）的一段直线；（7）d d d x y y z -+⎰Γ,其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里AB C 、、依次为点1,0,0（）、010（，，）、(001)，，；（8）22(2)d (2)d Lx xy x y xy y -+-⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)的一段弧.解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t =+⎧≤≤⎨=⎩L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故()()()()()12π20π320ππ32203d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L axy x xy x xy xa a t a a t t x a t t ta t t t ta =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t t Rt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π． 故()()()()()()222π202π220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx y a t a t a t a t a t a t t a a t a +--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π220π3220π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x xz y y zk k a a a a k a k a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰(6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0．故()()322322103141d 3d d 27334292d 87d 1874874x x zy y x y z t t t t t tt tt Γ++-⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y x AB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1()01d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰． 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1()()()1010120d d d 112d 12232BC x y y z z dz z zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰0:1y CA z x =⎧⎨=-⎩，x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LABBCCAx y y zx y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()()()221224211235412d 2d 222d 224d 1415L x xy x y xy yx x x x x x x xxx x x x---+-⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰⎰4. 计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰,其中L 分别是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； （4）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 解：(1)L ：2x y y y ⎧=⎨=⎩，y ：1→2，故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343L x y x y x yy y y y y yy y y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ (2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2 故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411L x y x y x yy y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰ (3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且 L 1：1x y y=⎧⎨=⎩，y ：1→2；L 2：2x x y =⎧⎨=⎩，x ：1→4；故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x yx y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故()()()()()()122132014320d d 32412d 10592d 10592432323L x y x y x y t t t tt t tt t t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰5. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比.若质点由(,0)a 沿椭圆移动到0,Bb （）,求力所做的功. 解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t=⎧⎨=⎩，t ：0→π2()()()()π2022π20π222022d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222LW kx x ky yka t t kb t b t t k b a t tk b a t k b a =+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)6. 计算对坐标的曲线积分：（1）d xyz z ⎰Γ,Γ为2221x y z ++=与z y =相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ卦限；（2）222222(-)d ()d ()d y z x z x y x y z +-+-⎰Γ,Γ为2221x y z ++=在第Ⅰ卦限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分. 方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分． 解:(1)Γ：2221x y z y z ⎧++=⎨=⎩ 即2221x z y z ⎧+=⎨=⎩其参数方程为：cos x ty tz t =⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ t ：0→2π 故：2π2π2202π202π0222d cos sin sin cos d 2sin cos d 2sin 2d 21cos 4d 22πxyz z t t t t t t t t t t ttΓ=⋅⋅⋅==-==⎰⎰⎰⎰⎰(2)如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cos sin 0x ty t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩t ：0→π2，故()()()()()1222222π2220π3320π320d d d sin sin cos cos d sincos d 2sin d 24233yz x z x y x y zt t t t tt t tt t Γ-+-+-⎡⎤=--⋅⎣⎦=-+=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰又根据轮换对称性知()()()()()()1222222222222d d d 3d d d 4334y z x z x y x y z y z x z x y x y zΓΓ-+-+-=-+-+-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-⎰⎰ 习题11-31. 应用格林公式计算下列积分：（1）(24)d (356)d Lx y x x y y -+++-⎰,其中L 为三顶点分别为()()0,0,3,0和(32)，的三角形正向边界；（2）222(cos 2sin e )d (sin 2e )d x x Lx y x xy x y x x x y y +-+-⎰,其中L 为正向星形线222333x y a +=0a >（）；（3）3222(2cos )d (12sin 3)d Lxy y x x y x x y y -+-+⎰,其中L 为抛物线22πx y =上由点0,0（）到点π,12⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧； （4）22()d (sin )d Lxy x x y y --+⎰,其中L 是圆周22y x x =-上由点0,0（）到()1,1的一段弧；（5）(e sin )d (e cos )d x x Ly my x y m y -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(),0a 到0,0（）经过圆22x y ax +=上半部分的路线（a 为正数）.图11-4解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4，Q =3x +5y -6，3Qx∂=∂，1P y ∂=-∂，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432212LD DDx yx y x y Q P x y x y x yx y+-++-∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x ，Q =x 2sin x -2y e x ， 则2cos 2sin 2e x P x x x x y y∂=+-∂，2cos 2sin 2e x Qx x x x y x∂=+-∂．从而P Qy x∂∂=∂∂，由格林公式得．()()222d dcos2sin e sin2ed d++--∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰x xLDx yx y x xy x y x x yQ Px yx y(3)如图11-5所示，记OA，AB，BO围成的区域为D．（其中BO=-L）图11-5P=2xy3-y2cos x，Q=1-2y sin x+3x2y2262cosPxy y xy∂=-∂，262cosQxy y xx∂=-∂由格林公式有：d d d d0L OA AB DQ PP x Q y x yx y-++∂∂⎛⎫-+==⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰故π2122001222d d d dd d d dππd d12sin3243d12π4π4++=+=+++⎛⎫=+-+⋅⋅⎪⎝⎭⎛⎫=-+⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰L OA ABOA ABP x Q y P x Q yP x Q y P x Q yO x yy yyy y(4)L、AB、BO及D如图11-6所示．图11-6由格林公式有d d d d++∂∂⎛⎫-+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L AB BO DQ PP x Q y x yx y而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)．1∂=-∂Py ，1∂=-∂Q x，即，0∂∂-=∂∂Q P x y 于是()d d d d 0+++++=+=⎰⎰⎰⎰LABBOL AB BOP x Q y P x Q y从而()()()()()()()22222211220011300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471sin 264LLBA OB P x Q y x yx y x y x y x yx y x y x y x y y x x y x y y +=--+=-+--+-+=-++⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)L ，OA 如图11-7所示．图11-7P =e x sin y -my ， Q =e x cos y -m ， e cos x P y m y ∂=-∂，e cos x Q y x ∂=∂ 由格林公式得：22d d d d d d d d 1π22π8L OA D DDQ P P x Q y x y x y m x ym x ya m m a +∂∂⎛⎫-+= ⎪∂∂⎝⎭==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 于是：()()[]220202πd d d d 8πd 0e sin 00e cos08π0d 8π8+=-+=-+⋅⋅-⋅⋅-=-=⎰⎰⎰⎰L OA a x x a m a P x Q y P x Q y m a xm m m a xm a2. 设a 为正常数，利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：（1） 星形线 33cos ,sin ;x a t y a t == （2） 双纽线 22cos2;r a θ= （3） 圆 22x y ax ++=解：(1) ()()()()()2π3202π2π242222002π202π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8LA y x a t a t tt a t t t a t t t a t t t a tt t t t a t t t a =-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得 cos cos 2x a θ=sin cos 2y a θ=从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ． 于是面积为：[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22LA x y y x a a a θθθ--=⋅-===⎰⎰(3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为 cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩故()()[]()2π022π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin L A x y y xa a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰ 3. 证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： （1）(1,1)(0,0)()(d d )x y x y --⎰；（2）(3,4)2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-⎰；（3）(1,2)2(1,1)d d y x x yx +⎰沿在右半平面的路径； （4）(6,8)(1,0)⎰.证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且1P Q y x∂∂==-∂∂，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是()()()()11,100,00d 0d d x x y x y ==--⎰⎰(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123Pxy y y∂=-∂，2123Qxy y x∂=-∂，有P Q y x ∂∂=∂∂，所以积分与路径无关． 取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则()()()()()()[]3,423221,2432214323212d d 663d d 63966434864236x y xyy x y xy y x y y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰(3)2y P x =，1Q x =-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21P y x ∂=∂，21Q x x ∂=∂，在右半平面内恒有P Qy x∂∂=∂∂，故在右半平面内积分与路径无关． 取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则()()()21,2211,1d d d 11x y x x y y -==--⎰⎰(4) P =，Q ，且P Qy x∂∂==∂∂分在不含原点的区域内与路径无关， 取L 为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则()()686,811,0801529x y =+⎡=+⎣=⎰⎰⎰4．验证下列()(),d ,d P x y x Q x y y +在整个xOy 平面内是某一函数(),u x y 的全微分，并求这样的一个函数(),u x y :（1）()()2d 2d x y x x y y +++；（2）22d d xy x x y +;（3）223238d 812e d yx y xy x x x y y y ++++（）（）； （4）222cos cos d 2sin sin d x y y x x y x x y y ++-（）（）. 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ．2P Q y x ∂∂==∂∂，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()()()()(),0,0022022d d ,22d d 2222222x y xy yu x y x y x y x y x x yx y x y xy x y xy =+++=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++⎰⎰⎰(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Qx y x∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()(),20,02022d d ,0d d x y xy u xy x x y x y x x yx y=+=+=⎰⎰⎰(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y ，2316∂∂=+=∂∂P Qx xy y x，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y 是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e 412e 12e 12x y y xyyy y u x x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos P x y y x y ∂=-+∂，2cos 2sin Qy x x y x∂=-∂， 有P Qy x∂∂=∂∂，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分，()()()()()(),220,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y xyu x y x y x y y x y x x y x x yy x x y y x x y=++-=+-=+⎰⎰⎰5.证明：22xdx ydyx y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数。

第9章（之1） （总第44次）教学内容:§9.1微分方程基本概念*1． 微分方程7359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ）解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．*2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ）解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ；（B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了x C x C y 2sin 12cos 2++=，实质上只有一个任意常数；（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．*3．在曲线族 xx e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线．解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由xxe c e c y -+=21， xxe c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ，故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(21x x e e y --=，即x y sinh =．*4．证明：函数y e x x =-2333212sin 是初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x yx y 的解．证明 '=-+--y e x e x x x 3332321212s i n c o s ，''=----y e x e x x x 3332321212sin cos ，代入方程得''+'+=y y y 0， 此外，，1)0(0)0(='=y y故y e x x =-2333212sin 是初始值问题的解．*5．验证y e e t Ce xt xx=+⎰2d （其中C 为任意常数）是方程'-=+y ye x x 2的通解．证明 '=+⋅+⎰y ee t e e Ce xt xx x x22d =++ye x x 2， 即 2x x e y y +=-'，说明函数确实给定方程的解．另一方面函数y ee t Ce xt x x=+⎰2d 含有一任意常数C ，所以它是方程的通解．**6．求以下列函数为通解的微分方程： （1）31+=Cx y ；解 将等式31+=Cx y 改写为13+=Cx y ，再在其两边同时对x 求导，得C y y ='23，代入上式，即可得到所求之微分方程为1332-='y y xy ． （2）xC x C y 21+=． 解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x 求两次导数，得221x C C y -='，322xC y =''． 从以上三个式子中消去任意常数1C 和2C ，即可得到所求之微分方程为02=-'+''y y x y x ．**7．建立共焦抛物线族)(42C x C y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x 轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．解 在方程)(42C x C y +=两边对x 求导有C y y 42='，从这两式中消去常数所求方程为)2(y y x y y '+'=．**8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线)(x y y =上任一点处的法线都经过坐标原点．解 任取)(x y y =上的点 ),(y x ，曲线在该点处的切线斜率为 y '=dxdy ． 所以过点),(y x 的法线斜率为y '-1， 法线方程为y Y -=y '-1)(x X -， 因为法线过原点，所以=-y 0y '-1)0(x -从而可得所求微分方程为0='+y y x ．第9章（之2）（总第45次）教学内容：§9.2 .1可分离变量的方程； §9.2 .2一阶线性方程**1．求下列微分方程的通解：（1）21)1(x y x y +-='；解： 分离变量21d 1d x x x y y +=-，两边积分⎰⎰+=-21d 1d x xx y y ， 得C x y ln )1ln(21)1ln(2-+=--，即211xC y +-=．（2）222y x e yx y -='； 解：分离变量x xe y ye x y d d 222=，两边积分就得到了通解)d (21222x e xe e x x y ⎰-=c e xe x x +-=)21(2122．（3）042)12(=-+'+y y e y e x ．解： 12d 42d +-=-x xe y e yy ， C x e y ln 21)12ln(21)2ln(21++-=-， 即 ()()e x C y-+=221．**2．试用两种不同的解法求微分方程xy y x y +--='1的通解．解法一 （可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易． 分离变量，)1)(1(y x y --='，x x yyd )1(1d -=-，并积分 x x y yd )1(1d -=-⎰⎰得c x x y +-=--221)1ln(，所求通解为 x x ce y -+=2211．解法二 （线性方程的常数变易法）将原方程改写为x y x y -=-+'1)1(，这是一个一阶线性非齐次方程．对应的齐次方程为0)1(=-+'y x y ，其通解为○1x x e C y -=221．代入原非齐次方程得x e C x x -='-1221，解得○2C e C x x +=-221，○2代入○1即可得原方程的通解xx Cey -+=2211．*3．求解下列初值问题：（1）21x yy -='，6)21(πe y -=．解： y '=21xy -，∴21d d xxy y -=(0≠y )， 21d d xx yy-=⎰⎰，∴C x y +=arcsin ln ， ∴ x Ce y arcsin =，π6)21(e y -=，∴21arcsin 6Cee =-π，∴1-=C ， ∴ x e y arcsin -=．（2）22x e xy y -=+'，1)0(=y ；解: 22x e xy y -=+'， x x p 2)(=∴，2)(x e x q -=，=∴)(x y ⎰-xx ed 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰-C dx e e x x x d 222x e -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰-C dx e e x x x d 2222x x Ce xe --+=， 1)0(=y ， 101=⇒+=∴c c ， 2)1(x e x y -+=∴．（3）x e x y y cos cot =+'，1)2(=πy ；解： x e x y y cos cot =+'， ∴x x P c o t )(=，x e x Q cos )(=．∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-x C y xx x x x d e e e d c o t c o s d c o t )d e e (e sin ln cos sin ln ⎰+=-x C x x x)d sin e(csc cos ⎰+=x x C x xx C x csc )e (cos -=， 由1)2(=πy ， 可确定 2=C ，所以x y x csc )e 2(cos -=．（4）0d )12(d 2=+-+x x xy y x ，01==x y ．解： 方程变形为 2112xx y x y -=+'，是一阶线性非齐次方程，其通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-+⎰=⎰-dx ex x c e y dx x dx x 222)11( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰dx x x x c x 222)11(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=x x c x 22211x xc 1212-+= 由 0)1(=y ， 得 21=c ， 所以特解为：x xy 121212-+=．**4．求微分方程 0d )ln (d ln =-+y y x x y y 的通解（提示将x 看作是y 的函数）． 解：将x 看作是y 的函数，原方程可化为yx y y dy dx 1ln 1=+，这是一阶线性方程，将其中yy Q y y y P 1)( ,ln 1)(==代入一阶线性方程求解公式，得通解 1e 1)ln(ln )ln(ln ln 1ln 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰⎰--dy e y c dy ey c e x y y dy y y dy y y y y c dy y y c y ln 21ln ln ln 1+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰．**5．求满足关系式)(d )(22x y x u u uy x +=⎰的可导函数)(x y ．解：这是一个积分方程，在方程等式两边同对x 求导，可得微分方程xy x x yx()d d =+2，即 d d y x xy x -=-2，分离变量得d d yy x x -=2，积分得y Ce x=+222， 在原方程两边以2=x 代入，可得初试条件22-==x y．据此可得14--=e C ，所以原方程的解为 24122+-=-x e y ．**6．设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为k ），求降落伞的下落速度与时间的函数关系． 解：根据牛顿运动第二定理有kv mg tvm -=d d ．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得--=+1k mg kv tmC ln()． 由初始条件0)0(=v ， 得)ln(1mg k C -=，即得 v mg k e kmt =-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1．**7．求一曲线，已知曲线过点)1,0(，且其上任一点),(y x 的法线在x 轴上的截距为kx ． 解：曲线在点(,)x y 处的法线斜率为y '-1，所以法线方程为Y y y X x -=-'-1()．只要令0=Y ，就可以得到法线在x 轴上的截距为 y y x X '+= ．据题意可得微分方程x yy kx +'=，即x k y y )1(-='．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得所求曲线C x k y =-+22)1(，由于曲线过点)1,0(，所以1=C ，所以所求曲线方程为 y k x 2211+-=()．***8．求与抛物线族2Cx y =（C 是常数）中任一抛物线都正交的曲线（族）的方程．解：在给定曲线2cx y =上任意一点),(y x 处切线斜率为cx y k 20='=，从上面两式中消去c 得x y y k 20='=，这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程xy y 2='． 设所求曲线方程为 )(x y y =，在同一点),(y x 处切线斜率为y k '=，则根据正交要求有10-=k k ，这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程yx y 2-='． 这是一个可分离变量方程，分离变量xdx ydy -=2，积分得所求曲线族c x y +-=2221，即椭圆族c x y =+2221． ***9．作适当变换，求微分方程 1224+-='-x e y y的通解． 解 原方程可化为4122=++'y ye x y e ，在换元y e z =下方程可化为4122=++'x zz ，这是一个一阶线性方程，其通解为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎰+⎰+-⎰x eC ez x xx xd 412d 212d 2}44{1212x x C x +++=．***10．作适当变换，求微分方程d d tan y x y x y y x =+⎛⎝ ⎫⎭⎪2122的通解． 解：令ux y =2，代入方程整理得 x x u u d tan d =，积分得 Cx u =sin ，以 xy u 2= 代入上式，即得原方程的通解： Cx xy =2sin ．第9章 （之3） （总第46次）教学内容：§9.2 .3齐次型方程；9.2.4伯努利方程．**1．求下列微分方程的通解：(1) )ln ln 1(d d x y xyx y -+=； 解： )ln ln 1(d d x y x y x y -+=， ∴ dx dy =x y (1+xy ln )，这是一个一阶齐次型方程．令 xyu =，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为u u u x ln ='．这是一个可分离变量方程．分离变量x dx u u du =ln ，并积分⎰⎰=xdxu u du ln ，得c x u ln ln ln ln +=，即cx e u =． 以 xy u =代入，得所求的通解为cxxe y =．（2）()arctan xy y yxx '-=． 解：方程可化为xy xy y arctan1+='，这是一个一阶齐次型方程．令 xy u =，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为u x u x arctan 1d d =，这是一个可分离变量方程．分离变量后积分得 x u Ce u u 12+=arctan ．以 xy u =代入上式得原方程的通解：x y Ce yxyx 22+=arctan ． **2．求解下列初值问题：（1）0d )2(d 22=+-y y x x xy 满足初始条件 1)2(=y 的特解． 解: 0d )2(d 22=+-y y x x xy ，dy dx =x y y x +2， 令 yxu = ， 则 u u dy du yu 12+=+， u u du 1+=y dy ， ∴⎰+uu du 1=⎰y dy，c y u ln ln )1ln(212+=+∴， cy u =+∴12， 即 2221y c u =+ ， 代回即得22yx +1=22y c ， 1)2(=y ， ∴52=c ， 因此 22y x +=54y ．（2）⎩⎨⎧==-++=.0,0d )(d )(0x y y y x x y x解：原方程可表为11d d -+=-+=xy x yx y y x x y ，令 x y u =，u x u y '+='， 代入方程，有 11-+='+u uu x u ，即 121d d 2--+=u u u x u x ， 分离变量x x u u u u d 1d 2112=-+-，积分得 C x u u ln ln )21ln(212-=-+- ⇒通解 C y xy x =-+222，令 0,0==y x ，得 0=C ．所以初值问题的解为 0222=-+y xy x ．***3．试证明：当1221b a b a ≠时，总能找到适当的常数h ，k ，使一阶微分方程)(222111c y b x a c y b x a f y ++++='在变换k y s -=，h x t -=之下，可化为一阶齐次型方程)(d d 2211sb t a s b t a f t s++=． 并求方程 0d )32(d )12(=++++y y x x y x 的解．证明：令⎩⎨⎧+=+++=++s b t a c y b x a sb t ac y b x a 2222211111 1221b a b a ≠ ，∴可解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=1221122112212112b a b a c b c b x t b a b a c a c a y s 因此可取：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221122112212112b a b a c b c b h b a b a c a c a k解：0)32()12(=++++dy y x dx y x ，令⎩⎨⎧-=+=32x t y s ⎩⎨⎧==⇒x t ys d d d d[][]0)2(3)3(21)2(23=-++++-++∴ds s t dt s t ，()0)32(2=+++ds s t dt s t ，ts t sdt ds dtdst s t s 32210)32(21++-=⇒=+++⇒， 令dt du t u dt ds t s u +=⇒=， 23)1)(13(3221+++-=⇒++-=+∴u u u dt du t u u dt du t u ，⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++∴-=+++⇒t dtdu u u t dt du u u u )13(23)1(21,)1)(13()23(， c t u u ln ln )13)(1ln(21+-=++即，c tst s t c t u u =++⇒=⋅++∴)13)(1()13)(1(，c x xy x y c x y x y x 243)3631)(321()3(22=+++⇒=-++-++-∴．**4．求下列微分方程的通解（1）0ln 2=+-'x y y y x ；解： 0ln '2=+-x y y xy xxy x y y ln 1'12-=-∴-- 令x x t x dx dt y t ln 11=+⇒=-， ,ln )Q( ,1)(xx x x x P ==∴ln 1 d ln )(d 1d 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=∴⎰⎰-xdx x x C x x e x x C e x t x x x x1ln C )ln (C 11-+=-+=---x x x x x x x x ， 111ln --+-=Cx x y ．（2）0d d )2(=+-y x x xy y ．解： 0d d )2(=+-y x x xy y ， x y d d +y x 1=212y x， y y '-21+211y x =x 2， 21y u =，x u d d +x 21x u 1=， ∴x x P 21)(=，xx Q 1)(．∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-x e x C e x u x x x x d 1)(d 21d 2121-=x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰x x x C d 121[]x C x +=-21， ∴ []x C xy +=-2121， ∴xC x y +=．（3）'=-y y xy x 3222()解一：令u y =2，原方程化为： d d u x u x u x =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪-21，解此方程得 u Ce u x =， 以u y =2代入上式，原方程通解为 y Ce y x22=．解二：原方程写成d d x y y x yx -=-2232， 令xz -=1，则方程化为：322d d yz y y z =+， 则通解 z eC y ey yy y y=+⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥-⎰⎰⎰2322d d d ]ln 2[12y C y+= ， 故原方程通解：1122x yC y =+[ln ]． **5．求下列伯努力方程满足初始条件的特解：yxy y 2-='，1)0(=y ． 解：x y yy', xy y y 22'21-=-∴-=- ，令 x t dxdty t 42 2-=-⇒=， x x Q x P 4)( ,2)(-=-=∴， []12010211)0(1212 )]2[ d 4 d )4()(2022222222d 2d 2+=∴=⇒++⨯=∴=++=∴++=++=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-+⎰=∴----⎰⎰x y C Ce y Ce x y x Ce e xe C e xxe C e x e x C e x t xx x x x x x x x，****6．作适当的变换求方程12222212+⋅'=++x y y x y e x sin sin 的通解．解：原方程化为：12222212+=++x yxx y e x d sin d sin ，令z y =sin 2，得d d z x x x ze x x -+=++21122122，故 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++=⎰⎰+-+⎰+x exeC ez xx x x x x x d 1d 12212d 12222)1ln(2121222x x e Ce x x +++=++原方程的通解为 sin ln()221212221y Ce e x x x x =+++++．***7．已知)(2d )(1)(2202x y x y y x+='+⎰ξξξ，求y x ()．解：两边关于x 求导得 212yy y '-=-，解得 y Ce x 21=+，由yx ==00，求得 C =-1，故原方程的解为：y e x 21=-．***8．曲线过点(,)11，其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的曲线的法线在x 轴上的截距乘积的两倍，求曲线方程． 解：x y x x yy y 22211+=+'=(),(), 212yy xy x '-=- 令y z 2=，解得 z y x C x ==-2()由y ()11=， 得 C =2， 曲线方程为： x y x 222+=．***9．根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为 gh A v 2α=，其中 g 为重力加速度，h 为液面与底部孔口之间的距离，A 为孔口面积，α为孔口收缩系数，实验确定其取值为 62.0=α．现有一直径为1m ，高为2m 的直立圆柱形容器，其中盛满的水从底部直径为1=d cm 的圆孔流出，要多长时间容器内的水才会完全流尽？解：设在时刻t 时， 容器中液面高度)(t h ，则经过t ∆后液面高度为)(t t h ∆+， 于是有t t gh A t t h t h r ∆=∆+-)(2))()((2απ，即 22)()(rghA t t h t t h πα=∆-∆+-， 令0→∆t ， 得⎪⎩⎪⎨⎧==-200)0(2d d 2h gh r At h πα解得200222+=t g rAh πα， 代入0=h ， 980=g ， 50=r ， 4π=A ， 62.0=α， 得10304=t （秒）．第9章 （之4）（总第47次）教学内容：§9.3可降阶的高阶微分方程**1．解下列问题：（1）．微分方程'+''=''y y xy 满足条件'==y y (),()2121的解是 （ ） （A ）y x =-()12（B ）y x =+-()122142（C ）y x =-+121122()（D ）y x =--()12542解：（C ）（2）．微分方程''-'=y yy 203满足条件'=-=y y (),()0101的解是 （ ）（A ）y x 3313=+（B ）x y 331=- （C ）y x 3313=-+（D ）x y 331=-+ 解：（C ）**2．求下列微分方程的通解． （1）0='+''y y x ；解： 0='+''y y x 是一不显含因变量y 的二阶方程， 令 y p '= ⇒ y ''x p d d =∴0=+'p p x ， ⇒pp d =x x d -，⇒⎰⎰-=x xp p d d ⇒ 1ln ln ln C x p +-= ⇒xC p 1=， ∴=x y d d x C 1， x x C y d d 1=， ⎰⎰=x xC y d d 1 ，21ln C x C y +=． （2）()1212+''+'=x y xy ； 解：''++'=+y x x y x 211122，'=++y x x C 1121()， y x C x C =+++121212ln()arctan ．（3）()02='+''y y y ；解：∵()02='+''y y y ， 令 y p '=， 则 yppy d d =''，代入方程有 0d d 2=+⋅⋅p ypp y ， 0)d d (=+⋅⇒p ypy p ， 因为求通解，所以 p 满足 0d d =+⋅p ypy ． 由⎰⎰-=⇒-=y yp p yy p p d d d d ， y C p C y p 11ln ln ln '=⇒+-=⇒， ⎰⎰'=⇒'=⇒'=⇒x C y y x C y y yC x y d d d d d d 111212C x C y +=⇒． ∴ 通解：212C x C y +=． （4）()1222+''='y y yy解：令：'=''='y p y y pp (),，得()1222+⋅'=y p p p y ， 即d d p p yy y =+212， 得 p C y =+121()，所以 d d yyC x 121+=，通解为：arctan y C x C =+12．第9章 （之5）（总第48次）教学内容：§9 .4 .1二阶线性方程和解的存在性；§9 .4 .2二阶线性方程解的结构**1．若21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的两个解，试证12y y - 必是其对应齐次方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．证明：因为21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的解． 所以成立下式：)2()()()()1()()()(222111x R y x Q y x P y x R y x Q y x P y =+'+''=+'+''将 (1)、(2) 两式相减，得)3(0))(())(()(212121=-+'-'+''-''y y x Q y y x P y y(2) 式可写为0))(())(()(212121=-+'-+''-y y x Q y y x P y y ，所以 21y y - 是齐次方程 0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．***2．已知23211,1,1x y x y y +=+==是方程22222xy x y x y =+'-''的三个特解，问能否求出该方程得通解？若能则求出通解来．解：按（1）证明可知 21312,x y y x y y =-=- 分别是其对应齐次方程0222=+'-''y xy x y 的解，并且线性无关，所以221x C x C + 为齐次方程的通解． 所以原方程的通解可以表示为：1221++=x C x C y ．*3．验证：22,t t e e -是微分方程''-'-=x tx t x 1402的两个线性无关特解，并求此方程的通解．证明：因为()()222241t t t e t e te -'-"0421********=-⨯-+=t t t t e t te t e t e ，()()2222"41t t t e t e te ----'-=-+-⨯--=--241240222222e t e t te t e t t t t ()，故22,t t e e -是方程的解，且≠=-2222t t t e ee 常数．于是22,t t e e -是方程线性无关的解（构成基本解组），故方程的通解为2221t t e C e C x -+=，其中21,C C 为任意常数．*4．已知函数 x y e y x ==21, 是方程 0)1(=-'+''-y y x y x 的两解，试求该方程满足初始条件 0)0(,1)0(='=y y 的特解．解：方程的通解为 x c e c y x 21+=，将初始条件代入，有：，，0)0('1)0(21211=+=+===c c c e c y c y x解得21,c c 为： 1,121-==c c ，所以特解为：x e y x -=．**5．设x t 1()是非齐次线性方程''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()()1211的解．x t 2()是方程''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()()1222的解．试证明 x x t x t =+12()()是方程''+'+=+x t a t x t a t x t f t f t ()()()()()()()()12123的解．解：因为)(2),(1t x t x 分别为方程（1）和方程（2）的解，所以)1()()()()()()(112111'≡+'+''t f t x t a t x t a t x''+'+≡'x t a t x t a t x t f t 2122222()()()()()()()()()12'+'得：()()())()()()()()()()()()(2121221121t f t f t x t x t a t x t x t a t x t x +='++'++"+即 x x t x t =+12()() 是方程（3）的解．第9章 （之6）（总第49次）教学内容：§9 .4 .3二阶线性常系数方程的解法**1．解下列问题：（1）方程08=+''y y 的通解为=y _______________．解：x c x c y 22sin 22cos 21+=．（2）方程025'6"=++y y y 的通解为=y _______________． 解：)4sin 4cos (213x c x c e y x +=-．（3）方程0158=+'-''y y y 的通解为=y _______________． 解：x x C C y 5231e e +=．（4）方程031525=+'+''y y y 的通解为=y _______________． 解：)(21515C x C e y x +=-．（3）方程06=+'+''py y y 的通解为)2sin 2cos (e 21x C x C y kx +=，则=p ___，=k _____． 解：11，3-．**2．求解下列初值问题：（1）0)1(,)1(,01684='==+'-''y e y y y y ；解：∵0)4(16822=-=+-λλλ， ∴421=，λ， 通解为：xe x c c y 421)(+=．将初始条件代入，有 4421)()1(e e c c y =+=，04)(4)(4)1('4424214242142=+=++=++=e e c e c c e c e x c c e c y x x得到：4521-==c c ，所以特解为：xex y 4)45(-=．（2）3)2(,1)2(,0294='==+'+''ππy y y y y ；解：02942=++λλ， i i5221042116164±-=±-=-±-=λ，通解为：)5sin 5cos (212x c x c ey x+=-．代入初始条件有： πππe c c ey =⇒=+=-221)0()2(，)5c o s 55s i n 5()5s i n 5c o s (2)2(212212x c x c e x c x c ey x x+-++-='--π，得：πe c -=1． 特解为：)5sin 5cos (2x x e y x +-=-π．（3）10)0(,6)0(,034='==+'+''y y y y y ；解： 0342=++λλ， 0)3)(1(=++λλ， 所以通解为 x x e c e c y 321--+=． 代入初始条件有：6)0(21=+=c c y ，1033)0('21321=--=--=--c c e c e c y x x ，特解为：x x e e y 3814---=．**3．求解初值问题'++==⎧⎨⎪⎩⎪≥⎰y y y x y x x210100d () 解：将原方程对x 求导得''+'+=y y y 201()且有'=-=-y y ()()01201微分方程（1）的通解为：y e C x C x =+-()12，代入初始条件1)0(,1)0(-='=y y ，得1,021==C C ， 故所求问题的解为：xe y -=．***4．设函数)(x ϕ二阶连续可微，且满足方程⎰-+=xu u u x x 0d )()(1)(ϕϕ，求函数ϕ()x ．解：原方程关于x 求导得⎰⎰=-+='xxu u x x x x u u x 0d )()()(d )()(ϕϕϕϕϕ,0)0(='ϕ，再求导得： )()(x x ϕϕ=''， 且由原方程还有：1)0(=ϕ，微分方程的通解为：x x e C e C x -+=21)(ϕ，代入条件0)0(,1)0(='=ϕϕ，得2121==C C ， 故所求函数为： x e e x x xch )(21)(=+=-ϕ．***5．长为100cm 的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑．设运动开始时，链条已有20cm 垂于桌面下，试求链条全部从桌子边缘滑下需多少时间．解：设链条单位长度的质量为ρ，则链条的质量为ρ100．再设当时刻 t 时，链条的下端距桌面的距离为)(t x ，则根据牛顿第二定律有：gx dt x d ρρ=22100， 即 010022=-x gdtx d ． 又据题意知：20)0(=x ， 0)0(='x ，所以 )(t x 满足下列初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧='==-0)0(20)0(010022x x x gdt x d ， 解得方程的通解为：tg tgec ec x 102101-+=．又因为有初始条件： ()()⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==1010020021'c c x x所以 tg tgeex 10101010-+=．又当链条全部从桌子边缘滑下时，100=x ，求解t ，得：tg tg e e 10101010100-+=，即： 510=t gch， 510arch gt =．***6．设弹簧的上端固定，下端挂一个质量为2千克的物体，使弹簧伸长2厘米达到平衡，现将物体稍下拉，然后放手使弹簧由静止开始运动，试求由此所产生的振动的周期． 解：取物体的平衡位置为坐标原点，x 轴竖直向下，设t 时刻物体m 位于x t ()处，由牛顿第二定律：22222d d ()xtg g x gx =-+=- ， 其中g =980厘米/秒2 其解为：x C g t C g t =+1222cossin ， 振动周期为 T g ==≈222490028ππ.．第9章 （之7）（总第50次）教学内容：§9.4.3二阶线性常系数方程的解法； §9.4.4高阶线性常系数微分方程 **1．微分方程x x y y sin =+''的一个特解应具有形式 （ ）（A ）()sin Ax B x +（B ）x Ax B x x Cx D x ()sin ()cos +++ （C ）x Ax B x x ()(cos sin )++ （D ）x Ax B C x D x ()(sin cos )++ 解：（B ）**2．设A B C D ,,,是待定常数，则微分方程''+=+y y x x cos 的一个特解应具有形式 （ ）（A ）Ax B C x ++cos（B ）Ax B C x D x +++cos sin（C ）Ax B x C x D x +++(cos sin ) （D ）Ax B Cx x ++cos 答：（C ）**3．求下列非齐次方程的一个解 （1）122+=-'-''x y y y ； 解：∵ 022=--λλ， ∴1,22,1-=λ， 0 不是特征根．设 01b x b y p +=， 代入原方程，得：1222011+=---x b x b b ，有：1,010-=b b ，特解为：x y -=．（2）xe y y y -=+'+''2． 解： ∵ 1- 是二重特征根， ∴ 设 02b e x y xp -=， 0202b e x b xe y xxp ---='，02002022b e x b xe b e x b e y x x x x p----+--=''， 代入 xe y y y -=++'2''， 解得：210=b ，特解为：xe x y -=221．**4．求微分方程''-'+=y y y xe x 32满足条件y y ()()000='=的特解． 解：特征方程0232=+-r r 的根为2,121==r r ，相应齐次方程的通解为x x h e C e C y 221+=，设特解为x p e B Ax x y )(+=，代入方程得： 1,21-=-=B A ． 故方程的通解为xxx e x x eC e C y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=22221，代入条件0)0()0(='=y y ，得1,121=-=C C ，因此所求特解为 x xe x x e y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=1222．**5． 求下列非齐次方程的通解：)(2x f y y ='+''x x f e x f x x f x cos )()3,)()2,14)()12==+=；解：特征方程：022=+λλ， 特征根：2,021-==λλ，所以方程0'2=+''y y 的通解为 x h e c c y 221-+=．1）对于方程14'2+=+''x y y ， 由于0是特征方程的单根，故设其特解为：x b x b y p )(10+=，代入方程有：14242100+=++x b x b b ，解得 21110-==b b ， 所以特解为：x x y p 212-=． 所以方程的通解为：x x e c c y y y xp h 212221-++=+=-．2）对于方程xe y y 2'2=+'''，由于2不是特征方程的根，故设其特解为：02b e y xp =， 代入方程有：810=b ， xp e y 281=， 所以方程的通解为：x xp h e ec c y y y 222181++=+=-．3）对于方程：x y y cos '2=+'''，由于i ±不是特征方程的根，故设其特解为： x b x b y p sin cos 10+=， 代入方程有：x b x b y p cos sin '10+-=， x b x b y p sin cos "10--=，x x b x b x b x b cos cos sin 2sin cos 1010=+---， 得：525120=-=b b ， x x y p sin 52cos 51+-=，所以方程的通解为：x x e c c y y y xp h sin 52cos 51221+-+=+=-．**6．求微分方程''-'+=y y y e x x 6925sin 的通解．解：特征方程r r 2690-+=的根为r 123,=，相应齐次方程的通解为x h e x C C y 321)(+=设特解为y e A x B x p x=+(cos sin )，代入方程得：A B ==43,故方程的通解为 y C C x e e x x x x =+++()(cos sin )12343***7．已知曲线y y x x =≥()()0过原点，位于x 轴上方，且曲线上任一点),(00y x M =处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴，直线x x =0所围成的面积与该点横坐标的和，求此曲线方程．解：由已知y ()00=，且'=+'=⎰y y x x y xd ,()000，将此方程关于x 求导得''=+y y 1其通解为： y C e C exx=+--121 ，代入初始条件y y (),()0000='=，得 C C 1212==， 故所求曲线方程为：y e e x xx =+-=--1211()ch ．***8．设一物体质量为m ，以初速v 0从一斜面滑下，若斜面与水平面成θ角，斜面摩擦系数为μμθ(tan )0<<，试求物体滑下的距离与时间的关系．解：设t 时刻物体滑过的距离为S ，由牛顿第二定律m Stmg mg d d sin cos 22=-θμθ 且 S S v (),()0000='=方程的通解为S gt C t C =-++12212(sin cos )θμθ 代入初始条件得C v C 1020==,，故物体滑下的距离与时间的关系为S gt v t =-+1220(sin cos )θμθ***9．设弹簧的上端固定，下端挂一质量为m 的物体，开始时用手托住重物，使弹簧既不伸长也不缩短，然后突然放手使物体开始运动，弹簧的弹性系数为k ，求物体的运动规律．解：取物体未发生运动时的位置为坐标原点，x 轴垂直向下，设t 时刻物体位于x t ()处，由牛顿第二定律： m xtkx mg d d 22+=， 且 0)0(0)0(='=x x ，． 方程的通解为： x C k m t C k m t m kg =++12cos sin ， 代入初始条件得C mkg C 120=-=,，故物体的运动规律为x mg k k m t =-⎛⎝ ⎫⎭⎪1cos ．***10． 求下列方程的通解： （1）02)4(=''+'''-y y y；解： 02234=+-λλλ，0)12(22=+-λλλ， 0)1(22=-λλ，所以通解为 x e x c c x c c y ）（4321+++=．（2）0365)4(=-''+y y y ．解：036524=-+λλ， 0)9)(2)(2(2=++-λλλ，所以通解为 x c x c e c e c y x x 3sin 3cos 432221+++=-．****11* 试证明，当以 x t ln =为新的自变量时，变系数线性方程（其中a,b,c 为常数，这是欧拉方程）)('"2x f cy bxy y ax =++可化为常系数线性方程)()(22t e f cy dt dya b dty d a =+-+并求下列方程通解：（1）022=-''y y x ； （2）x x y y x y x ln 22=+'-''． 证明：令 x t ln =， t e x =，dtdy x dx dt dt dy dx dy 1==，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dt dy dt y d x dt dy dx d x dt dy x dx y d 222222111， 将y y ''',代入方程有：()()te f cy dt dy a b dt y d a cy dt dy b dt dy dt y d a cy y bx y ax =+-+=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+'+''22222， 得证．（1）令 x t ln =， te x =，原方程化为：0222=--y dt dydty d ． 其通解为t t e c e c y -+=221．将x 代入，得：xc x c y 221+=． （2） 令 x t ln =， te x =，原方程化为：tte y dt dy dty d =+-2222， 上述方程的相应其次方程的通解为：()t c t c e y t h sin cos 21+=．令上述方程一个特解为：()10b t b e y t p +=，代入方程得：0,110==b b ， 即：t e y t p =．原方程得通解为：()t t c t c e y t ++=sin cos 21，即：()()[]x x c x c x y ln ln sin ln cos 21++=．***12．一质量为m 的潜水艇在水面从静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比（比例系数为k >0），浮力为常数B ，求潜水艇下降深度x 与时间t 之间的函数关系． 解： ma B F F =--阻重， a 为加速度， ma B kv mg =--， v 为下降速度，因为 22,dt x d dt dv a dt dx v ===， 所以 22dtxd m B dt dx k mg =--，即 m B g dt dx m k dtx d -=+22 ， 其特征方程为： 02=+λλmk ， 解得特征根为 m k-==21,0λλ．所以对应的齐次方程的通解为：21c e c x t mkh +=-．由于0是特征方程的单根，故设其特解为：t b x 01=， 代入方程有：m B g b m k -=0， 得 kB mg b -=0． 所以微分方程的通解为：t kBmg c e c x t mk-++=-21， 因为初始位置为０，初始速度为０，所以有初始条件 ()()00,00'==x x ，代入微分方程有： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=++000121k Bmg c m k c c 求得：222221,kgm Bm c k Bm g m c -=-=， 所以x 与t 的关系可表示为： t k B m g e k g m Bm x t m k-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-122．***13．证明：若有方程'=-f x f x ()()1，则必有''+=f x f x ()()0，并求解此方程． 证明：由于'=-f x f x ()()1，两边关于x 求导得''=-'-=---=-f x f x f x f x ()()[()]()111故得''+=f x f x ()()0（1）解方程（1）得通解为 f x C x C x ()cos sin =+12（2）'=-+f x C x C x ()sin cos 12 （3） '='=f f f f ()(),()()0110，将此代入(2),(3)得C C C C C C 1221211111cos sin sin cos +=-+=⎧⎨⎩ 解得：C C 21111=+sin cos所以原方程的解为： f x C x x ()cos sin cos sin =++⎛⎝⎫⎭⎪1111．第9章 （之8） （总第51次）教学内容：§9.6 微分方程应用举例 (机动)第9章 （之9） （总第52次）教学内容：§9.7 差分方程1. 已知t t e y 3=是二阶差分方程t t t e ay y =+-+11的一个特解，求a ． 解： )31(3e ea -=．2. 求下列差分方程的一般解： (1) 0721=+-t t y y ； 解：tt C y )27(-=(2) 431-=--t t y y ； 解：23+=t t C y(3) 051021=-++t y y t t ； 解：)61(125)5(-+-=t C y tt (4) t t t y y 2124=-+； 解：144-+=t t t t C y (5) t t t t y y 21⋅=-+． 解：t t t C y 2)2(-+=3. 写出下列差分方程的一个特解形式： (1) t y y t t sin 1=-+； 解：t B t B Y t cos sin 21+=(2) t y y t t πcos 31-=++． 解：)sin cos (21t B t B t Y t ππ+=4. 设t y 为第t 期国民收入，t C 为第t 期消费，I 为每期投资（I 为常数）．已知t y ，t C ，I 之间有关系 I C y t t +=，βα+=-1t t y C ，其中10<<α，0>β，试求t y ，t C ． 解：t y 满足：βα+=--I y y t t 1，解得 αβα-++=1I C y tt ， 从而 =-=I y C t t ααβα-++1I C t．5. 已知差分方程t t t cy y by a =++1)(，其中a ，b ，c 为正的常数．设初始条件0)0(0>=y y ，证明：(1) 对任意 ,2,1=t ，有0>t y ；(2) 在变换tt y u 1=之下，原差分方程可化为有关t u 的线性差分方程，写出该线性差分方程并求其一般解；(3) 求方程t t t y y y =++1)21(的满足初始条件20=y 的解． 解：（1）归纳法证明． （2）令 t t y u 1=，即t t u y 1=，111++=t t u y ， 则原方程化为线性差分方程 b au cu t t =-+1， 其一般解为 a c ≠时， ac bcaC u tt -+=)( ； a c =时， b C u t +=． （3）令 tt y u 1=，原方程化为 21=-+t t u u ，一般解为 2+=C u t ， 所以原方程的一般解为 t t u y 1=21+=C ，代入 20=y ，得 23-=C ，所以 特解为 2=t y ．第 10 章 （之1）（总第53次）教学内容：§10.1向量及其运算* 1. 设 a b a b ==+=2232,,，则(,)a b ∧= ．答：65π． ** 2.设向量 a 与 b 不平行，c a b =+，则(,)(,) a c b c ∧∧=的充分必要条件为 ．答：||||b a =．** 3.设直线L 经过点0P 且平行于向量a , 点0P 的径向量为0r ，设P 是直线L 的任意一点，试用向量0r ，a 表示点P 的径向量r ． 解：∵a P ||0， ∴a t P=0， 而P r r 00+=，∴a t r r+=0∴P 点的径向量为 a t r+0．** 4．设 3,2==b a ，a 与b 的夹角等于π32，求：（1）b a ⋅； （2）)2()23(b a b a +⋅-； （3）b a )(； （4）b a 23-．解：（1）〉〈=⋅b a b a a ,cos b 332cos 32-=⨯⨯=π．（2）()()b a b a223+⋅-b a b a 44322+-=()3634342322-=-⨯+⨯-⨯=．（3）()133-=-=⋅=bb a a b．（4）()()b a b a b a 2323232-⋅-=-b a b a124922-+=()108312342922=-⨯-⨯+⨯=，3610823==-b a．** 5．设5,4==b a ，a 与b 的夹角等于π31，求：（1）b a b a -+)(； （2）b a 25+与b a -的夹角．解：（1）()()b a ba b a--=-⋅2b a b a 222-+=213cos 5425422=⨯⨯-+=π，∴21=-b a，()()()b a b a b a ba ba--+=+⋅-2122b a -=215422-=7213-=． （2）()()b a ba-+⋅25b a b a 32522--=03cos543524522=⨯⨯-⨯-⨯=π，∴向量b a b a-+,25垂直．** 6. 若a ，b 为非零向量，且b a b a -=+，试证b a ⊥．解：b a b a -=+，∴ 22b a b a -=+，∴()()()()b a ba b a ba --=++⋅⋅，∴b a b a b a b a222222-+=++， ∴0=⋅b a ， ∴b a ⊥．***7．用向量的方法证明半圆的圆周角必是直角． 解：如图所示，AC 为直径，B 为圆周上任一点， =→--OA →---OC ， ||→--OB ==→--||OA ||→--OC ，则有 →--AB →--=OB →---OA ，→--CB →--=OB →---OC →--=OB →--+OA ，→--AB →--⋅CB →--=OB (⋅→---)OA →--OB ()→--+OA 0||||22=-=→--→--OA OB ，∴ 半圆的圆周角必为直角．第 10 章（之2）（总第54次）教学内容：§10.2空间直角坐标系与向量代数1.填空题*(1) 点A （2，－3，－1）关于点M （3，1，－2）的对称点是______ ．答：（4,5,3-)**(2) 设平行四边形ABCD 的三个顶点为A B C (,,),(,,),(,,)231243313----，则 D 点为______ ． 答：（5,8,7--）**(3) 已知{}{}a b z =-=-45314,,,,,，且a b a b +=-，则z =______ ． 答：8-**2. A,B 两点的坐标分别为)1,3,(),,5,2(--q p ，线段AB 与y 轴相交且被y 轴平分，求qp ,之值及交点坐标．B。

第 11 章（之1）（总第59次）教材容：§11.1多元函数 1．解下列各题：**（1）. 函数f x y x y (,)ln()=+-221连续区域是 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ． 答：x y 221+>**（2）. 函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000， 则（ ）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续(C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A ）**2. 画出下列二元函数的定义域： （1）=u y x -；解：定义域为：{}x y y x ≤),(，见图示阴影部分：（2）)1ln(),(xy y x f +=；解：{}1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包括边界，双曲线1-=xy 用虚线表示）．（3）yx yx z +-=． 解：()()⎩⎨⎧-≠≥⇔⎩⎨⎧≠+≥+-⇔≥+-y x y x y x y x y x y x y x 000．***3. 求出满足22,y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的函数()y x f ,. 解：令⎪⎩⎪⎨⎧=+=x yt y x s ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t st y t s x 11∴()()()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22222， 即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限：()()220,0,11limyx xy y x +-+→．解：()()()()()22222222112111110yx xy y x yx xy xyyx xy ++++≤+++=+-+≤()011222→+++=xy y x （()()0,0,→y x ） ∴()()011lim220,0,=+-+→yx xy y x ．**5. 说明极限()()22220,0, lim y x y x y x +-→不存在．解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同．首先，0=x 时，极限为()()1lim 2222220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ，其次，0=y 时，极限为()()1lim 2222220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ，故极限()()22220,0,y y lim +-→x x y x 不存在．**6. 设112sin ),(-+=xy x y y x f ，试问极限),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域函数112sin ),(-+=xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．***7. 试讨论函数z x yxy=+-arctan1的连续性． 解：由于arctan x yxy+-1是初等函数，所以除xy =1以外的点都连续，但在xy =1上的点处不连续．**8. 试求函数f x y xyx y(,)sin sin =+22ππ的间断点．解：显然当(,)(,),x y m n m n Z =∈时，f x y (,)没定义，故不连续． 又f x y xyx y(,)sin sin =+22ππ是初等函数． 所以除点(,)m n （其中m n Z ,∈）以外处处连续．第 11 章（之2） （总第60次）教材容：§11.2 偏导数 [§11.2.1]**1.解下列各题： （1）函数32),(y x y x f +=在)0,0(点处 （ ）（A ）)0,0(x f '和)0,0(y f '都存在； （B ）)0,0(x f '和)0,0(y f '都不存在； （C ）)0,0(x f '存在，但)0,0(y f '不存在； （D ）)0,0(x f '不存在，但)0,0(y f '存在． 答：（D ）．（2） 设z x y xy =+-()arcsin2，那么∂∂z y (!,)2= （ ）(A) 0 ； (B) 1； (C)π2； (D)π4． 答：(D)．（3）设()xy y x f =,，则=)0,0('x f ______，=)0,0('y f __________．解：由于0)0,(=x f ，0)0,0('=∴x f ，同理 0)0,0('=y f ．**2. 设z x y x y e xy =-+++2322ln ， 求 z z x y ,． 解：z x x y ye x xy=+++1322， z y x yxe y xy =-+++2322．**3. 求函数xyz arctan =对各自变量的偏导数. 解：2222,y x xz y x y z yx +=+-=．**4. 设f x y x x y x y x y (,)ln()=++≠+=⎧⎨⎩222222200，求f f x y (,),(,)0000．解：f x x x x x (,)limln 000022==→， f yy y (,)lim 000000=-=→．***5. 求曲线⎩⎨⎧=+-=122x y xy x z 在()1,1,1点处切线与y 轴的夹角．解：由于曲线在平面1=x ，故由 ()()()121,11,1=+-=y x z y ，得切线与y 轴的夹角为 41arctan π=．[也可求出切向量为{}1,1,0]∴夹角={}{}422arccos12110,1,01,1,0arccos 22π==+．***6. 设函数ϕ(,)x y 在点)0,0(连续，已知函数f x y x y x y (,)(,)=-ϕ在点)0,0(偏导数)0,0(x f '存在，（1）证明ϕ(,)000=； （2）证明)0,0(y f '也一定存在．解：（1）lim(,)(,)lim (,)∆∆∆∆∆∆∆x x f x f x x x x→→-=000000ϕ， 因为)0,0(x f '存在，所以 lim (,)lim(,)∆∆∆∆∆∆∆∆x x x x x x x x→+→-⋅=-⋅0000ϕϕ 即 ϕϕ(,)(,)0000=-， 故 ϕ(,)000=．（2）由于ϕ(,)x y 在点)0,0(连续，且ϕ(,)000=，所以0→∆y 时，),0(y ∆ϕ是无穷小量，而yy ∆∆是有界量，所以0),0(lim )0,0(),0(lim00=∆∆∆=∆-∆→∆→∆yy y y f y f x y ϕ，即0)0,0(='y f ．第 11 章（之3） （总第61次）教材容：§11.2 偏导数 [§11.2.2 ~ 11.2.4]**1. 求函数()x y z x z y x f sh ch ,,-=的全微分，并求出其在点()2ln ,1,0=P 处的梯度向量．解：()()()x y d z x d z y x df sh ch ,,-=()zdzx xdy dx x y z xdxy xdy zdz x zdx sh sh ch ch ch sh sh ch +--=--+=∴()()dx z y x df 41,,2ln ,1,0=， ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∇0,0,41,,2ln ,1,0z y x f ． **2.求函数xyyx z -+=1arctan的全微分： 解：xyyx d dz -+=1arctan)arctan (arctan y x d +=2211)(arctan )(arctan y dy x dx y d x d +++=+=**3. 设z xy xy =-sec ()ln()21，求d z ．解：222)]1[ln()]1d[ln()(sec )](d[sec )]1[ln(d ----=xy xy xy xy xy z)]d d (1)(sec )d d )(tan()(sec 2)1[ln()]1[ln(1222y x x y xy xy y x x y xy xy xy xy +--+--= )1(ln )(cos )1()d d ](1)1)(tan()1ln(2[22--+---=xy xy xy y x x y xy xy xy ．**4. 利用df f ≈∆，可推出近似公式：()()()y x df y x f y y x x f ,,,+≈∆+∆+， 并利用上式计算()()2203.498.2+的近似值．解：由于()()()y x df y x f y y x x f ,,,+≈∆+∆+， 设()22,y x y x f +=，03.0,02.0,4,3=∆-=∆==y x y x ，于是 ()2222,yx y y x x yx ydy xdx y x df +∆+∆=++=，()()22,,yx y y x x y x f y y x x f +∆+∆+≈∆+∆+，∴()()()()012.54303.0402.034303.498.2222222=++-++≈+．***5．已知圆扇形的中心角为60=α，半径为cm r 20=，如果α增加了 1，r 减少了1cm ，试用全微分计算面积改变量的近似值． 解：180212παrS =， ))(2(3602ααπd r dr dS +=，∴ )(4533.17)3601)20(360)1(60202(22cm dS S -=⨯+-⨯⨯⨯=≈∆π．***6. 计算函数()()z y x z y x f 32ln ,,++=在点()0,2,1=P 处沿给定方向k j i l-+=2 的方向导数Plf∂∂．解：zy x f zy x f zy x f z y x 323,322,321++=++=++=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=61,61,62l e ，∴ 65161,61,6253,52,51=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋅∇=∂∂l Pe f lf．***7. 函数z xy=++arctan 11在（0，0）点处沿哪个方向的方向导数最大，并求此方向导数的值． 解：∂∂z xx y y(,)(,)0020011111112=+++⎛⎝ ⎫⎭⎪⋅+=， ∂∂z yx y x y (,)(,)()00220011111112=+++⎛⎝ ⎫⎭⎪⋅-++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-，{}{}∂∂ααααϕz l =+-=-⋅=1212121122cos ()sin ,cos ,sin cos ， 其中ϕ为{} l =cos ,sin αα与 g =-⎧⎨⎩⎫⎬⎭1212,的夹角，所以ϕ=0时，即l 与g 同向时，方向导数取最大值∂∂z l =22．**8. 对函数 xyze z y xf =),,( 求出 ),,(z y x f ∇ 以及 )3,2,1(f ∇.解： {}xyz xyz xyzxye xze yze f ,,=∇，{}2,3,6)3,2,1(6e f =∇．**9. 求函数z y x z y x f 1)(),,(+=在点)21,21,21(-+=e e P 处的梯度． 解：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++-++=∇--)ln()(,)(1,)(1211111y x z y x y x z y x z f z z z ， {}24,2,2)21,21,21(e e e e ef -=-+∇．***10. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin ),(22222222y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处的连续性，可导性和可微性．解：因为 lim (,)lim sin(,)x y x y f x y x y x y f →→→→=++==022221000，所以f x y (,)在点（0，0）连续．因为 lim(,)(,)lim sin ()∆∆∆∆∆∆∆x x f x f x x x x →→+-=00200001， 极限不存在，f x y (,)在（0，0）处不可导，从而在（0，0）处不可微．第 11 章（之4）（总第62次）教材容：§11.3 复合函数微分法；§11.4 隐函数微分法**1.解下列各题：（1） 若函数),(v u f 可微，且有x x x x x f ++=3422),(及122),(22 +-='x x x x f u ，则),(2 x x f v '= ( )(A) 1222++x x(B) xx x 21322++ (C) 1222+-x x(D) 1322++x x答：(A)（2）设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy=_________． 答： 2112xyz xy-- ．（3）方程yzx z ∂∂=∂∂3，在变量代换y x u 3+=，y x v +=3下，可得新方程为_______. 答：0=∂∂uz．**2. 设u x y z x r y r z r =++===222,cos sin ,sin sin ,cos θϕθϕϕ求∂∂∂∂θ∂∂ϕu r u u ,,．解：()∂∂θϕθϕϕurx y z r =++=2222cos sin sin sin cos ，0)sin cos (2]sin )sin ([2=+-=ϕθθϕ∂θ∂r y r x u，0sin 2)cos sin (2)cos cos (2=-+=ϕϕθϕθ∂ϕ∂r z r y r x u．**3. 一直圆锥的底半径以3s cm /的速率增加，高h 以5s cm /的速率增加，试求r=15cm ，h=25cm 时其体积的增加速率． 解：h r V 231π=， s cm h r dtdVdtdhr dt dr rh dt dh h V dt dr r V dt dV /11252515313232πππ===+=⋅∂∂+⋅∂∂=*4. 设,3y e z x -=而4,sin t y t x ==，求dtdz． 解：32334cos y t t e dtdy z dt dx z dt dz xy x -=+=．**5. 若)(22y x f xy z -=，证明：z y z x y z y x x z xy 2222+=∂∂+∂∂． 解：22222,2ff xy xf z f f y x yf z y x '+='-=， 则 z y z x fy x xy yz x z xy y x 222222)(+=+=+． **6. 设 )cos ,,(2x xy ye xe f u x y =，求du yux u ,,∂∂∂∂． 解：3221)2sin cos (f x xy x y f ye f e xux y -++=∂∂ ， 3221cos xf x f e f xe yux y ++=∂∂， [][]dy xf x f e f xe dx f x xy x y f ye f e du x y x y 32213221cos )2sin cos (+++-++=．**7. 求由方程y z z x ln =所确定的函数),(y x z z =的偏导数yz x z ∂∂∂∂,． 解：zx zyz y zx zFz Fx z x +=---=-=21，yz xy z z z x y Fz Fy z y +=---=-=2211．**8. 设,0),,(=+xz z y xy F 试求dz yzx z ,,∂∂∂∂． 解：,0),,(=+xz z y xy F 两边对x 求导，得 0)(321=+++x x xz z F F z yF ， 解得 3231xF F zF yF z x ++-=，两边对y 求导，得 0)1(321=+++y y xz F z F xF ． 解得3221xF F F xF z y ++-= ，所以dy xF F F xF dx xF F zF yF dz 32213231++-++-=．***9. 函数z z x y =(,)由方程F x x y z z xy (,,)+++=1所确定，其中F 具有连续一阶偏导数，F F 230+≠，求∂∂z x 和∂∂z y． 解：F x x y z F z y x x y F 1230d (d d d )(d d d )++++++=，d ()d ()d z F F yF x F xF yF F =-+++++1232323，∂∂z x F F yF F F =-+++12323， ∂∂z y F xF F F =-++2323． ***10. 求由方程z xyz aa 3330-=≠()所确定的隐函数z z x y =(,)在坐标原点处沿由向量{}a =--12,所确定的方向的方向导数． 解：当x y ==00,时，z a 00=≠．0,0)0,0(2)0.0()0,0(2)0.0(=-==-=xyz xz yz xyz yz xz ∂∂∂∂，0=∂∂∴az．***11. 设)0(,1,022≠+=+=-y x xv yu yv xu 求yv y u x v x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,． 解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂-∂∂+00x v x x u y v xv y x u x u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=∂∂++-=∂∂⇒2222y x yu xv x v y x yv xu x u类似地 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y ux ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=∂∂+--=∂∂⇒2222y x yv xu yv y x xv yu y u第 11 章 （之5）（总第63次）教材容：§11.5 多元函数微分法在几何上的应用**1. 曲面x y z xyz x z 2222426-+--+=在点)2,1,0(=A 处的切平面方程为 （ ） （A ）31223110()()x y z -+--+= （B ）3234x y z +-= （C ）032213=--+-+z y x （D ）x y z 31223=-=-- 答：(A)．**2.设函数F x y z (,,)可微，曲面F x y z (,,)=0过点)0,1,2(-=M ，且F F F x y z (,,),(,,),(,,)210521022103-=-=--=-.过点M 作曲面的一个法向量n ，已知n 与x 轴正向的夹角为钝角，则n 与z 轴正向的夹角γ=______ ． 答：π3．***3. 设曲线x t y t z t =+=-=+2131223,,在t =-1对应点处的法平面为S ，则点)1,4,2(-=P 到S 的距离d =______ ．答：2．**4. 求曲线ct z t b y t a x L ===,sin ,cos :在点)2,0,(0c a M π=处的切线和法平面方程． 解：,0sin 00=-===t t t a dt dx,cos 00b t b dt dy t t =-=== cdtdzt ==0．∴切线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧-==⇔-=-=-c c z by ax c c z b y a x ππ2200，法平面方程为：0)2(=-+c z c by π．***5. 求曲线6,11:==++xyz zx yz xy L 在点)3,2,1(0=M 处的切线和法平面方程．解：设 11),,(-++=zx yz xy z y x F ，6),,(-=xyz z y x G ，)()()(),(),(2x y z z x yz z y xz xz yz z x zy y x G F +-=+-+=++=∂∂，)()()(),(),(2z y x y x xz z x xy xy zx x y z x z y G F -=+-+=++=∂∂，)()()(),(),(2x z y z y xy y x zy zyxy z y y x x z G F -=+-+=++=∂∂．∴8),(),(,1),(),(,9),(),(0=∂∂-=∂∂-=∂∂M M M x z G F z y G F y x G F ，∴切线方程为938211--=-=--z y x ， 法平面方程为 ()()()()()0948211=--+-+--z y x ，即 01298=-+-z y x ．***6. 求曲面4416222x y z ++=在点1,22,1(-=P )处的法线在yOz 平面上投影方程．解：曲面在点1,22,1(-=P ）处的法线方向向量{}{}2,2,248,24,8-=-=→n ，法线方程为：x y z -=-=+-1222212．法线在yOz 平面上投影方程为212220-+=-=z y x ．***7.求曲线x t y t z t ===3223,,上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面x y z +-=21．解：设所求的点对应于t t =0，则对应的切线方向向量为： {}3,4,3020t t s =→．因为→s 垂直于平面法向量{}1,2,1-=→n ，所以0383020=-+=⋅→→t t n s ， 解得：t 013=和t 03=-．所求点为：127291,,⎛⎝ ⎫⎭⎪和(,,)--27189．**8．求曲面xyz 6=上平行于平面.06236=+--z y x 的切平面方程． 解：26,6xyy z xyx z -=∂∂-=∂∂， ∴由条件，得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-=--=-=-32121366622z y x k k x y k yx∴切平面方程为：,0)3(2)2(3)1(6=+-+--z y x 即 018236=---z y x ．***9.求函数22y x ez +=在点),(000y x M =沿过该点的等值线的外法线方向的方向导数．解：等值线方程为x y x y 220202+=+, 在),(000y x M =处的法线斜率为 00x y k =，即法线方向向量为 },1{00x y n =或},{00y x ，方向余弦为：cos cos αβ=+=+x x yy x y0020200202,∂∂zn e x x x y e y y x y x y x y =⋅⋅++⋅⋅+++0202020222000202000202=⋅++202020202e x y x y ．***10. 求函数z y x =+sin 在⎪⎭⎫⎝⎛=1,2πP 点沿 a 方向的方向导数，其中 a 为曲线x t y t ==22sin ,cos π在t =π6处的切向量（指向t 增大的方向）． 解：tan d d sin cos αππππ==-=-==y xt tt t 66222，1sin 11cos 22+-=+=ππαπα，，221sin 210sin 2cos 1,21,21,21,2=+==+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππ∂∂∂∂xy yz xy x xz ，，所以 ∂∂πππz a =⨯++⨯-+011122122()()1222+-=ππ．***11. 设f y z g z (,),()都是可微函数，求曲线x f y z y g z ==⎧⎨⎩(,)()在对应于z z =0点处的切线方程和法平面方程．解：z z =0对应点()f g z z g z z [(),],(),0000， 对应的切线方向向量：{}S f g z z g z f g z z g z y z ='+'[(),]()[(),],(),0000001．切线方程：x f g z z f g z z g z f g z z y g z g z z z y z -'+=-'=-[(),][(),]()[(),]()()0000000000，法平面方程： {}{}f g z z g z f g z z x f g z z y z [(),]()[(),][(),]0000000'+-+'-+-=g z y g z z z ()[()]()0000．****12. 在函数yx u 11+=的等值线中哪些曲线与椭圆16822=+y x 相切？解：对等值线 y x u 110+= 两边微分得 022=--ydy x dx ， 即 22x y dx dy -=， 同样对16822=+y x 两边微分，有yx dx dy 8-=， 令y xxy 822-=-，得 y x 2=，代入16822=+y x ，得 32,34±=±=y x ，∴ 433110±=+=y x u ．***13. 试证明曲面3a xyz =上任一点处的切平面在三个坐标轴上截距之积为定值．解：由3a xyz =， 得 xya z 3=，∴在点),,(000z y x 处法向量为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-1,,02030203x y a y x a， ∴切平面为：0)()(0020300203=-+-+-z z y y y x a x x y x a ，又 ∵3000a z y x =， ∴ 切平面方程化为：1333000=++z zy y x x ， ∴ 截距之积为： 30002727a z y x =（定值）．***14. 证明曲面0,=⎪⎭⎫⎝⎛----c z b y c z a x F 的所有切平面都通过一个定点，这里F u v (,)具有一阶连续偏导数．解：曲面上点(,,)x y z 000处的切平面法向量：[]n F z c F z c z c x a F y b F =-----+-⎧⎨⎩⎫⎬⎭10200201021,,()()()[]{}=-----+-10201020102()(),(),()()z c z c F z c F x a F y b F ． 切平面方程为： ()()()()z c F x x z c F y y 010020--+--[]0)()()(02010=--+--z z F b y F a x ．易知x a y b z c ===,,满足上述方程，即曲面的所有切平面都通过定点(,,)a b c ．第 11 章 （之6）（总第64次）教学容：§11.6泰勒展开1．填空：*（1）设u xy yx=+，则∂∂22u x =________ ．答：32xy． *（2）设u x xy =ln ，则∂∂∂2ux y= _________．答：y1． *（3）设u x y y x =+22sin cos ，则∂∂∂2ux y= _________ ．答： x y y x sin 2cos 2-．*（4）设u x yxy=+-arctan 1，则∂∂∂2u x y =_______ ．答：0 ．**（5）设z e y e y xx=+-sin cos ，则∂∂∂∂2222z x zy+= _________．答：0．**2．设z f x u =(,)具有连续的二阶偏导数，而u xy =，求∂∂22zx．解:z f yf x x u =+， z f yf y f xx xx xu uu =++22．**3．设z x xy =ln()，求∂∂∂32zx y．解一： z x yy =， z yyx =1， z yx 20=．解二： z xy x =+ln()1， z xx 21=， z yx 20=．**4．设)2,21(),()(4322xy z y x xf xy f y z 求+=． 解：)(3)()('43434324y x f y x y x f xy f y z x ++=，,4)("3)('124)('2)(")('4334343433333432423yx y x f y x y x f y x x y y x f yx xy f y xy f y z xy ⋅++⋅+⋅+=∴)2("24)2('12)2('4)2("32)2('32)2,21(f f f f f z xy ++++= )2("56)2('48f f +=．**5．函数y y x =()由方程x xy y 2221+-=所确定，求22d d xy． 解：xy yx y x y x x y -+=-+-=2222d d ，222)())(1())(1(d d x y y x y x y y x y -+-'--'+= 322)()2(2x y y xy x --+-=3)(2y x -=. ***6．求方程 zy ez x +=+ 所确定的函数),(y x z z =z=z(x,y)的所有的二阶偏导数.解：xz e x z z y ∂∂⋅=∂∂++1， ∴ 11-=∂∂+zy e x z ．3222)1()1(--=-∂∂⋅-=∂∂++++z y zy zy z y e e e x ze x z， 因为 )1(y z e y z zy ∂∂+=∂∂+， ∴zy z y z y e e e y z +++-+-=-=∂∂1111． 则 3222)1()1()1(z y z y z y z y e e e yze y z ++++-=-+∂∂=∂∂， 322)1()1()1(z y z y z y z y e e e yze yx z ++++--=-+∂∂-=∂∂∂， 322)1()1(-=-∂∂=∂∂∂++++z y z y z y zy e e e x ze x y z ．***7．对于由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x z =，试求 22xz ∂∂．解：由公式zx F F x z-=∂∂两边对x 求偏导数，得。

第十一章 曲线积分与曲面积分 (09级下学期用) § 1 对弧长的曲线积分 1设 L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x f ,关于y 是偶函数时，()=⎰Lds y x f ,（ B ）()⎰1,L ds y x f C. ()⎰-1,2L ds y x f D.ABC 都不对2、设L 是以点()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--D C B A 为顶点的正方形边界,则⎰+Lyx ds =( C )24 D. 223、有物质沿曲线L ：()103,2,32≤≤===t t z t y t x 分布，其线密度为,2y =μ，则它的质量=m ( A )++1421dt t t t B.⎰++14221dt t t tC.⎰++1421dt t t D.⎰++1421dt t t t4．求,⎰Lxds 其中L 为由2,x y x y ==所围区域的整个边界解：,⎰Lxds =()22155121241111+-=++⎰⎰xdx dy yy 5．,ds y L⎰其中L 为双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x解：原积分=()()222sin 4sin 442022'2441-==+=⎰⎰⎰a d ad r r r ds y L χππθθθθθ6．⎰+Lds y x ,22其中L 为()022>=+a axy x原积分222cos 2a adt t a ==⎰π7．,2⎰Lds x 其中L 为球面2222a z y x =++与平面0=-y x 的交线解：将y x =代入方程2222a z y x =++得2222a z x =+于是L 的参数方程：t a z t a y t a x sin ,sin 2,cos 2===，又adt ds =原积分=⎰=ππ203222cos 2a adt t a 8、求均匀弧()0,sin ,cos ≤<∞-===t e z t e y t e x t t t 的重心坐标33,30===⎰∞-dt e M dt e ds tt，523cos 100==⎰∞-dt e t e Mx t t ，21,5100=-=z y§2 对坐标的曲线积分 一、选择题1.设L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x P ,关于y 是偶函数 时，()=⎰Ldx y x P ,( D) A.0 B. ()⎰1,2L dx y x P C.()⎰-1,2Ly x P 都不对2．设L 为1=+y x 的正向，则=++⎰Ly x ydyxdx 3．L 为222a y x =+的正向，=+--+⎰Lyx dyy x dx y x 22)()(( B ) A.2ππ C.0 D.π二、计算1．()()dy y x dx y x L⎰-++2222，其中L 由曲线()2011≤≤--=x x y 从()0,2A 到()0,0O 方向解：()1,1B 01:,:;12:,2:_______→=→-=x x y BO x x y AB=I =+⎰⎰_______BOAB ()()()()()()34122012212222-=++---+-+⎰⎰dx x xdx x x dx x x2．[]d y y x x xy y dx y x L)ln((2222+++++⎰ 其中L 是正向圆周曲线222a y x =+解： 由奇偶对称性022=+⎰Ldx y x ，L ：ππ→-==:,sin ,cos t t a y t a x=I ()()=++⎰-dt t a t t a dt t t acos 1ln cos sin cos sin 3224πππππ4cos sin 4224a dt t t a =⎰-3．()⎰Γ-+++dz y x ydy xdx 1其中为从点()1,1,1A 到()4,3,2B 的有向线段解：Γ方程：13,12,1+=+=+=t z t y t x ，=I ()136141=+⎰dt t三、过()0,0O 和()0,πA 的曲线族()0sin >=a x a y ，求曲线L 使沿该曲线从()0,0O 到()0,πA 的积分()()dy y x dx y L+++⎰213的值最小解：()()[]3033344cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +-=+++=⎰ππ()()()0811,014''2'>=⇒=⇒=-=I a a a I 。

习题11.11.回答下列问题.(1)何谓级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和？何谓级数∑∞=1n n u 的收敛和发散？何谓收敛级数的和？【答】（1）∑∞=1n n u 的前n 项部分和是指(),...2,11==∑=n u S nk k n ；（2）∑∞=1n n u 收敛是指s S n n =∞→lim 存在，这时并称s 为∑∞=1n n u 的和；∑∞=1n nu发散是指n n S ∞→lim 不存在.(2)当公比q 取何值时，等比级数∑∞=-11n n aq 收敛？当公比q 取何值时，等比级数∑∞=-11n n aq发散？写出收敛时的和数.【答】（1）当1<q 时，∑∞=-11n n aq 收敛，且其和数为qas -=1； （2）当1≥q 时，∑∞=-11n n aq 发散.(3) 级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件是什么？它是否也是充分条件.请举例说明.【答】（1）∑∞=1n n u 收敛的必要条件是0lim =∞→n n u ；（2）0lim =∞→n n u 不是∑∞=1n n u 收敛的充分条件.比如，01lim =∞→n n ，但∑∞=11n n发散.2.若级数()()()......2211+++++++n n b a b a b a 收敛，去掉括号之后的级数级数......2211+++++++n n b a b a b a 是否还收敛？它说明了什么？ 【答】未必，比如()()() (1111111)+-++-+=-∑∞=-n n .3.把下列级数写成级数”“∑的形式.(1) ...5ln 5ln 5ln 32+++ ；【解】∑∞==+++1325ln ...5ln 5ln 5ln n n ；(2) (8)141211-+-+- ； 【解】()11211...8141211-∞=∑-=-+-+-n n n ；(3) ...001.0001.0001.03+++ ；【解】()nn 113001.0...001.0001.0001.0∑∞==+++；(4)...751531311+⨯+⨯+⨯. 【解】()()∑∞=+-=+⨯+⨯+⨯112121...751531311n n n . 4.根据级数收敛与发散的定义，判别下列级数的敛、散性.(1) (8)1614121++++；【解】nn 1.21...816141211∑∞==++++发散.(2)∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-2211ln n n； 【解】记()()n n n n n n n n u n 1ln 1ln 11ln11ln 22++-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,...)2(=n 则 1432...+++++=n n u u u u S⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n 1ln 1ln ...45ln 43ln 34ln 32ln 23ln 21lnn n n n n n 1ln1ln 1ln ...43ln 34ln 32ln 23ln 21ln ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++= ,...)2,1(11ln 21ln =⎪⎭⎫⎝⎛++=n n因为 21ln lim =∞→n n S ，所以∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-2211ln n n 收敛. (3) ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+14122ln n nn n ； 【解】因∑∞=122ln n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛=122ln n n及∑∞=141n n nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞=141均收敛，故∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+14122ln n n n n 收敛. (4) (1)31...2191131+++++++n n ；【解】因为 (3)1...9131++++n 收敛，但 (1)...211++++n 发散，故原级数发散.(5) (4)33221+++ ；【解】 级数的通项为 ,...)2,1(1=+=n n nu n ，因为01lim ≠=∞→n n u ，故...433221+++发散.(6) ...cos ...3cos 2cos cos +++++nππππ ；【解】级数的通项为 ,...)2,1(cos ==n nu n π，因为010cos lim ≠==∞→n n u ，故...cos ...3cos 2cos cos +++++nππππ发散.(7) nn n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-12ln ；【解】级数的通项为 ,...)2,1(2ln =⎪⎭⎫⎝⎛-=n n n u nn ，因为02ln 21ln lim lim 222≠-==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---∞→∞→en u n n n n ，故nn n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-12ln 发散.(8) (9)898983322+-+-.【解】...9898983322+-+-nn ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-=198是等比级数，且公比98-的绝对值小于1，故...9898983322+-+-收敛.5.已知级数∑∞=1n n u 的部分和3n S n =，当2≥n 时，求n u .【解】(),...)2(13312331=+-=--=-=-n n n n n S S u n n n .6.若级数∑∞=1n n u 收敛，记∑==ni i n u S 1，则（B ）A. 0lim =∞→n n S ； B. n n S ∞→lim 存在；C. n n S ∞→lim 可能不存在； D. {}n S 是单调数列.7.若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列级数中收敛的是（A ）A. ∑∞=110n n u； B.()∑∞=+110n nu；C. ∑∞=110n nu ； D.()∑∞=-110n nu.8.设501=∑∞=n n u ，1001=∑∞=n n v ，则()∑∞=+132n n n v u （D ）A. 发散；B. 收敛，和为100；C. 收敛，和为50；D. 收敛，和为400. . 9.下列条件中，使级数()∑∞=+1n n n v u 一定发散的是（A ）A.∑∞=1n nu发散且∑∞=1n n v 收敛； B.∑∞=1n nu发散；C.∑∞=1n nv发散； D.∑∞=1n nu和∑∞=1n n v 都发散.10.设级数()∑∞=-11n n u 收敛，求n n u ∞→lim .【解】因为()∑∞=-11n n u 收敛，故根据级数收敛的必要条件知()01lim =-∞→n n u ，所以 =∞→n n u lim ()[]=--∞→n n u 11lim ()1011l i m1=-=--∞→n n u .11.将下列循环小数表示为分数 (1) ∙3.0 ；【解】...003.003.03.03.0+++=∙是公比为1.0=q 的等比级数，故311.013.03.0=-=∙. (2) ∙∙370.0.【解】...0000073.000073.0073.0370.0+++=∙∙是公比为01.0=q 的等比级数，故.9907301.01073.0370.0=-=∙∙12.设级数∑∞=1n n u 满足条件：（1）0lim =∞→n n u ；（2）()∑∞=-+1212n n n u u 收敛，证明级数∑∞=1n n u 收敛.【解】记∑∞=1n n u 的前n 次部分和数列为{}n S .又记()∑∞=-+1212n n n u u 的前n 次部分和数列为{}n σ.则有(),...2,12==n S n n σ.因为已知()∑∞=-+1212n n n u u ，故根据级数收敛的定义知 =∞→n n σl i ms S n n =∞→2lim ①存在；又已知0lim =∞→n n u ，故0lim 12=+∞→n n u ，从而=+∞→12lim n n S ()s s S u n n n =+=++∞→0lim 212②也存在.综合①、②式知s S n n =∞→lim 存在，所以级数∑∞=1n n u 收敛.13.小球从1米高处自由落下，每次弹起的高度均为前一次高度的一半，问小球会在自由下落约多少秒后停止运动？ 【解】小球为自由落体运动，即212s gt =。

第十一章-无穷级数练习题（一）. 基本概念1.设∑∞=1n n U 为正项级数，下列四个命题（1）若,0lim =∞→n n U 则∑∞=1n n U 收敛；（2）若∑∞=1n n U 收敛，则∑∞=+1100n n U 收敛；（3）若,1lim 1>+∞→nn n U U 则∑∞=1n n U 发散； （4）若∑∞=1n n U 收敛，则1lim 1<+∞→nn n U U ．中, 正确的是( ) A ．(1)与(2); B ．(2)与(3);C ．(3)与(4);D ．(4)与(1)．2.下列级数中，收敛的是（ ）． A ．∑∞=11n n ； B ．∑∞=+112n n n ； C ． +++3001.0001.0001.0; D ． +⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+43243434343． 3.在下列级数中，发散的是（ ）． A ．∑∞=-11)1(n n n ；B ．∑∞=+11n n n； C ．∑∞=131n nn;D ． +-+-44332243434343．4.条件（ ）满足时，任意项级数1nn u∞=∑一定收敛.A. 级数1||n n u ∞=∑收敛；B. 极限lim 0n n u →∞=；C ． 极限1lim1n n nu r u +→∞=<；D. 部分和数列1n n k k S u ==∑有界.5.下列级数中条件收敛的是（ ）．A . ∑∞=11cos n n ; B. ∑∞=11n n ;C. ∑∞=-11)1(n n n ; D. ∑∞=-11)1(n n n n ．6.下列级数中绝对收敛的是（ ）．A . ∑∞=-11)1(n n n ; B. ∑∞=-121)1(n n n ; C. ∑∞=+-11)1(n n n n ; D. ∑∞=11sin n n ． （二）. 求等比级数的和或和函数。

提示：注意首项 7.幂级数 1021+∞=∑n n n x 在)2,2(-上的和函数=)(x s ． 8.幂级数 ∑∞=-04)1(n n nnx 在)4,4(-上的和函数=)(x s ．9.无穷级数125()3n n ∞=∑的和S = .（三）. 判定正项级数的敛散性。

第2章 （之1）第2次作业教学内容: §2.1 导数概念**1. 设x x x f 2)(3+=，试用导数定义求)(x f '.解：lim ()()lim()()∆∆∆∆∆∆∆x x f x x f x x x x x x x xx→→+-=+++--003322 =+322x .**2. 试用导数定义计算下列函数的导数：（1）xx f 1)(=， 求)1(f '； （2）()38t t g -=，求()2g '； （3）()t t t -=23ϕ，求()1-'ϕ.解：（1）x f x f f x ∆-∆+='→∆)1()1(lim )1(0=+-→lim ∆∆∆x x x 0111=-+=-→lim ∆∆x x0111.（2） ()()()tt g t t g t g t ∆-∆+='→∆0lim()[][]()()tt t t t t t t t t t t t t t t t t t ∆∆+∆+∆+-=∆∆+-=∆--∆+-=→∆→∆→∆32233033033033lim lim 88lim()22033lim t t t t t ∆-∆--=→∆23t -=，即 ()23t t g -='， ()122-='∴g .（3） ()()()tt t t t t ∆-∆+='→∆ϕϕϕ0lim()()[][]ttt t t t t t ∆--∆+-∆+=→∆22033limttt t t t ∆∆-∆+∆=→∆2036lim()16136lim 0-=-∆+=→∆t t t t ， ()16-='∴t t ϕ， ()71-=-'ϕ.**3. 求曲线22x y = 在点 ()2,1=P 处的切线方程.解：曲线在点P 处切线的斜率为 4122lim21=--→x x x ， 所以切线方程为 ()214+-=x y .**4. 化学反应速率通常是以单位时间内反应物浓度的减少或生成物浓度的增加来表征。

《高等数学》习题参考资料第五篇概率论与数理统计第十一章概率论§ 1 概率习题1. 设一个工人生产了5 个零件, 用Ai表示“第i个零件是正品”，i=1,2,3,4,5，试用Ai表示下列事件：（1）没有一个次品；（2）最多有3个次品；（3）只有2个次品；（4）至少有3个次品.【答案】 (1) B1=A1A2A3A4A5;(2) B2=A1A2+A1A3+A1A4+A1A5 +A2A3+A2A4+A2A5 +A3A4+A3A5+A4A5;(3) B3=A1A2A3A4A5+A1A23A45 +A12A3A45+1A2A3A45+A1A234A5+A12A34A5+1A2A34A5+1A23A4A5+A123A4A5+12A3A4A5;(4) B4=+12345 +A12345+1A2345 +12A345+123A45+1234A5+A1A2345+A12A345+A123A45+A1234A5+1A234A5+1A23A45+1A2A345+123A4A5+12A34A5+12A3A45.2. 已知P(B)=0.3, p(A∪B)=0.6, 求P(A).【答案】 P(A)=P(A∪B)−P(B)=0.3.3. 如果事件A和B同时出现的概率P(AB)=0, 则下列结论成立的是:(1) A与B互逆; (2) AB为不可能事件; (3) P(A)=0或P(B)=0; (4)AB未必是不可能事件.【解】(1) 和(2)成立. (3),(4) 不成立.2184. 已知P(A∩B)=P(∩), 且P(A)=p, 求P(B).【答案】P(B)=1−p.5. 设事件A,B的概率分别为P(A)=和P(B)=, 且P(AB)=12141, 求P(B)和10P(A)【解】P(B)=P(B)−P(AB)=32; P(A)=P(A)−P(AB)=.2056. 对任意三个事件A,B,C, 试证P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC).并把这个结论推广到n个事件的情况【解】 P(A∪B∪C)=P(A∪B)+P(C)−P((A∪B)∩C)=P(A)+P(B)−P(AB)+P(C)−P(AC∪BC)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC).7. 十把钥匙, 其中有3把能打开房门, 现从中任取2把, 求能打开房门的概率.11C3C7+C328 【答案】 p==.215C108. 甲、乙、丙各自向同一个目标射击一次, 已知它们的命中率分别为0.7 ,0.8 和0.75, 求目标被击中2次的概率.【解】设A,B,C分别表示甲乙丙射中目标的事件,p=P(AB+P(A)+P(BC)=0.7×0.8×0.25+0.7×0.2×0.75+0.3×0.8×0.75=0.14+0.105+0.18=0.425.9. 男人的性染色体为(x,y), 女人为(x,x). 当生殖细胞作成数分裂时. 这时染色体分配在两个细胞中. 如果某种遗传病和隐性遗传病都在染色体x上, 把这种染219色体记为x*. 对于男人, 性染色体为x*,y时为隐性遗传病患者. 对于女人, 性染色体为x*,x*时, 为隐性遗传病患者, 性染色体为(x*,x)或(x,x*)时为隐性遗传病携带者. 讨论子女为隐性遗传病患者(A1)和隐性遗传病携带者(A2)的概率.【解】除去父母均为正常者之外, 列表如下:父母子女儿 P(A1) P(A2) P(A1+A2)111(x,y) (x*,x) (x,y),(x*,y) (x,x),(x,x*) 44211**(x,y) (x*,x*) (x*,y),(x*,y) (x,x),(x,x) 12211(x*,y) (x,x) (x,y),(x,y) (x*,x),(x*,x) 0 22113(x*,y) (x*,x) (x*,y),(x,y) (x*,x*),(x*,x) 244(x*,y) (x*,x*) (x*,y),(x*,y) (x*,x*),(x*,x*) 1 0 1()()10. 若班上有40个同学, 每个人的生日是一年365天中的哪一天是等可能的.试求班上至少有两位同学的生日在同一天的事件A的概率.【解】此问题也类似一个分房问题. 把365天看作365个房间, 事件A的对立事件是“没有两个同学在同一天生日”的事件, 它就相当于每个同学占据一天的日子一样. 于是按例10知N! P(A)=(N−n)!⋅NnN=365,n=40, 因而365!N!1=−=1−0.109=0.891,P(A)=1−P(A)=1−(N−n)!⋅Nn(365−40)!⋅36540即班上至少有两个同学在同一天生日的可能性达到89%.若n =20, 则概率就接近0.5.若n = 50, 则概率达到97%.若n = 100, 则概率几乎达到1.11. 从 0,1,2,L,9十个数字中任取3个组成三位数, 问这个三位数是偶数的概率.111C92P2+C4C8C841【答案】p==181C9P12. 某人写了3封信, 并分别在3 个信封上写了这3封信的地址, 如果他任意地将3 张信纸装入3个信封中, 求没有一封信的信封和信纸是配对的概率..220【解】设A表示”至少有一封信的信封和信纸是配对”的事件. Ai表示”第i个111信封和自己的信纸配对”的事件. P(Ai)=, P(AiAj)==, i≠j,33!611P(A1A2A3)==. A=A1+A2+A3, 于是3!6P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) −P(A1A2)−P(A2A3)−P(A1A3)+P(A1A2A3) 11141=3×−3×+=，因此P()=1−P(A)=.3666313. 设100个成品中有3 个是次品, 任取5个, 求其次品数分别为 0 , 1 ,2 , 3 的概率. i5−iC3C97, i=0,1,2,3. 【答案】 pi=5C10014. 设一个口袋里有十个硬币, 其中五分的有2个, 二分的有3 个, 一分的有5 个, 若从中任取5个硬币, 问其总值大于10 分的概率.23131122C2C8+C2C3C5+C2C3C5126 【答案】 p===0.55252C1015. 设100件产品中有5件次品, 现从中随意地抽取10 件, 求这10 件中恰有3件次品的概率.37C5C 【答案】 p=1095.C10016. 电路由元件A 和两个并联的元件B和C串联而成. 设元件A , B , C 损坏的概率分别是0.3 ,0.2 , 0.25 . 求电路发生故障的概率.【解】E=A∪(B∩C),P(E)=P(A)+P(BC)−P(ABC)=0.3+0.05−0.015=0.33522117. 设100件零件中, 次品率为10%, 先后从中各任取1个, 第一次取出的零件不放回, 求第二次取得正品的概率.【答案】p=989190×+×=0.91099109918. 设口袋中有a个黑球, b个白球 (b>2), 球的大小和质地一样, 甲, 乙,丙三人依次从口袋中任取一个球, 取后不放回, 分别求出三人各自取得白球的概率.【答案】19. 设12个乒乓球中有9个是新的, 3个是旧的, 第一次比赛取出了3 个, 用完后放回, 第二次比赛又取出3 个球, 求第二次比赛取出的3 个球中有2个是新球的概率. 031212121123012C3C9C6C6C3C9C5C7C32C9C4C8C3C9C3C91377= 【答案】p=.+++333333333025C12C12C12C12C12C12C12C12b.a+b20. 设10个考签中有4个是难题, 三个人参加抽签考试, 不重复地抽取, 每个人抽一题, 甲先, 乙次, 丙最后, 证明三个人抽到难题的概率是相同的.【解】本题类似18题, 每个人抽到难题的概率都是42=.10521. 两封信随机地投入到4个邮筒里. 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.1C2⋅33221 【答案】 p1=2=, p2=2=.484422. 二维随机点(m,n)在区域|m|<1,|n|<1中等可能地出现, 求方程x2+mx+n=0的两个根都是正根的概率222【答案】 n>0且 m<0且m2−4n>0,p=1.4823. 把长度为a的铁丝任意折成三段, 求它们可以构成一个三角形的概率.【解】设三段为x,y,a−x−y, 于是0<x<a, 0<y<a, ; 根据三角形两边和大于第三边, 则符合条件的是0<x<aaa, 0<y<, <x+y<a, 如图.22221 a 12 2 因此所求概率p==.24a224. 从(0,1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率 (1) 两数之和小于(2) 两数之积小于; (3) 同时满足前两个条件.146;51441−××255=17=0.68; 【解】 (1) p=125(2)p=1111×1+1=(1+ln4)=0.567;4444x6−1011 5 5 −x dx+6−+6+ −x dx=0.593.4x 6 10 6106+1 (3) p=×1+15525. Buffon问题在平面上画出等距离a的平行线, 向此平面随机地投掷一根长为l(l<a)的针. 试求针与平行线相交的概率.223【解】以M表示针的中点, x表示M与最近的平行线的距离, t表示针与a平行线的夹角, 显然0≤x≤, 0≤t≤π, 针与平行线相交的充分必要条件是2l0<x<sint, 于是2lπsintdt∫02l=P(A)=aπaπ×226. 设有 Ai(i=1,2,3,4,5)五个相同元件构成图11.1.2所示系统, 每一个元件能正常工作的概率是p, 各元件是否正常工作是相互独立的, 问此系统能正常工作(接通)的概率?【解】将系统分成两种情况讨论,一是A3正常, 二是A3不正常, 记B为系统正常工作,Ai表示Ai元件正常工作,A3正常时相当于右图于是P(B|A3)=P((A1∪A4)∩(A2∪A5))=P(A1∪A4)P(A2∪A5)=(1−P(1)P(4))(1−P(2)P(5))=p2(2−p)2,224A3不正常时, 相当于右图P(B|3)=P((A1∩A4)∪(A2∩A5))=P(A1A2)+P(A4A5)−P(A1A2A4A5)=p2(2−p2),于是根据全概率公式,P(B)=P(A3)P(B|A3)+P(3)P(B|3)=p⋅p2(2−p)2+(1−p)⋅p2(2−p2)=p2(2p3−5p2+2p+2)《高等数学》习题参考资料第十一章概率论§ 2 条件概率全概率公式 Bayes公式习题1. 袋中有4个白球, 2个黑球, 连取2 个球, 取后不放回, 如果已知第一个是白球, 问第二个是白球的概率?3 【答案】.52. A,B为两随机事件, 且B⊂A, 则下列哪个式子是正确的: (1)P(A∪B)=P(A); (2)P(AB)=P(A); (3)P(B−A)=P(A)−P(B).(4)P(B|A)=P(B).【答案】(1) 是正确的. 其余是错误的2253. 用三个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别是0.5 ,0.35 , 0.15 , 各机床加工的零件为合格品的概率分别是0.95 , 0.92 , 0.96 ,求全部产品的合格率. 【解】p=0.5×0.95+0.35×0.92+0.15×0.96=0.941.4. 设有10 箱同样规格的产品, 其中5 箱是甲厂的产品, 次品率是是乙厂的产品, 次品率是1; 3 箱1011; 2 箱是丙厂的产品, 次品率是. 今在这10 箱产1520品中任选1箱, 再从中任取1件产品, 问它是次品的概率是多少? 又若已知取得的一件产品是次品, 它是甲厂的产品的概率是多少?【解】(1) p=∑P(Ai)P(E|Ai)=i=1351312125⋅+⋅+⋅=；（2） .1010101510202585. 有2 个口袋. 甲袋中装有2 个白球, 1个黑球; 乙袋中装有1个白球, 2个黑球. 由甲袋任取1 个球放入乙袋, 再从乙袋中任取1 个球, 求取到白球的概率.【解】p=21115⋅+⋅=.3234126. 设每次射击时命中率为0.2 , 问至少需进行多少次独立的射击, 才能使至少击中一次的概率不小于0.9 .【解】射击n次, 至少击中一次的概率为p=1−(1−0.2)n, 91−0.8n=0., 于是n=ln0.1=10.3, 因此取n=11次.ln0.87. 某设备由A , B 两个部件串联而成, 两个部件中任何一个失灵, 该设备就失灵. 若使用1000小时后, 部件A失灵的概率是0.1, 部件B 失灵的概率是0.3,若两个部件是否失灵是相互独立的, 求这个设备使用1000小时后不失灵的概率.226【解】p=1−(1−0.1)(1−0.3)=0.37.8. 某种牌号的电子元件使用到1000小时的概率为0.9, 使用到1500小时的概率为0.3, 今有该种牌号的一个电子元件已使用了1000小时, 问该电子元件能用到1500小时的概率.【解】条件概率p=139. 甲、乙两人独立地对同一目标进行射击一发子弹, 他们的命中率分别是0.7和0.8, 现在目标被命中一发, 求它是甲射中的概率.【解】利用Bayes公式: p=10. 设三次独立试验中, 事件A出现的概率相等. 若已知A至少出现一次的概率等于0.7×0.214=.0.7×0.2+0.8×0.33819, 求事件A在一次试验中出现的概率.27 191, p=;273 【解】1−(1−p)3=11. 上海电脑型体育彩票共有36个号码 (自01, 02, 03 到 36) 可供选择,每注选7个号码, 每期开奖开出七个号码. 若彩票的七个号与开奖的七个号一样(不论次序), 则中特等奖. 假定每期彩票销售4,500,000元, 有300个销售点,平均每个销售点销售15000元. 问每期彩票至少开出一个一等奖的概率是多少?经多少期彩票销售才能使至少开出一个特等奖的概率达到0.95.【解】解上海电脑型福利彩票共有36个号可供选择, 每注7个号, 因此共有7C36=8347680 (记为M) 种(注). 每次销售6,000,000元, 有300个销售点, 平均每个销售点销售20000元, 即10000张彩票. 在一个销售点售出的彩票中, 中一等奖的可能概率为100001 1 M−1 kx~B(10000,), p1=∑C1000 MMM k=1=0.001197220461.k10000−k M−1 =1− M 10000227各销售点的销售可以看作的相互独立的. 300个销售点至少有一个点销售的彩票中一等奖的概率是p300=1−(1−p1)300=1−(1−0.001197220461)300≈0.3018919036.即每期开奖至少产生一个一等奖的概率约0.302. 因此, 在k期彩票中至少产生一个一等奖的概率Pk是P=1−(1−p300)k=1−(0.63893742)k.k椐此易计算出p3 := 0.5126450857, p4 := 0.7624851875 , p5 := 0.8341889864p6 := 0.8842459889, p7 := 0.9191911877, p8 := 0.9435867139p9 := 0.9606174282, p10 := 0.9725067078, p11 := 0.9808067101若要使中奖概率达到0.95 则有k>8, 即开奖12. 在长达11年的时间里，从得克萨斯州的一个县中有870人被要求作为可能的大陪审团的陪审员，该县的人口中有墨西哥血统的美国人占79％，但只有339个有墨西哥血统的美国人被选为履行大陪审团陪审员的职责．如何用来概率模型确定：大陪审团陪审员的选择对有墨西哥血统的美国人来说并非没有种族歧视．【解】若没有种族偏见则339个或更少的墨西哥血统的美国人被选为陪审员的概率为∑n=0339−nC[n0.79p]C[8700.21p]C870p，其中p是该县的人口数, p是个很大的数，若p=10000, 则此概率为0.20848×10−161, 几乎为0.13. 某场比赛进行五局, 并以五战三胜决定胜负. 若已知甲方在每一局中的胜率为0.6, 求甲方在比赛中获胜的概率是多少?【解】获胜有三种情况: 3:0, 3:1, 3:2, 于是p(A1)=p3=0.216,P(A2)=C32p2(1−p)⋅p=0.259,22 P(A3)=C4p(1−p)2⋅p=0.207,因此 p=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.682.22814. 假设有三张形状完全相同, 但所涂颜色不同的卡片, 第一张两面全是红色, 第二张两面全是黑色, 第三张是一面红一面黑, 将这三张卡片放在帽子里经充分混合后, 随机地取出一张放在桌上, 如果取出的卡片朝上的一面是红的, 那么它的另一面为黑的概率是多少.1 【解】 . 注意两面全是红色的卡片有正反面向上两种可能, 因此符合“卡片3朝上的一面是红的”条件的情况有三种, 另一面为黑的仅一种情况.15. 若选择题有m种答案, 考生可能知道答案, 也可能瞎猜. 设考生知道正确答案的概率是p , 瞎猜的概率是1−p, 考生瞎猜猜对的概率为问他确实知道正确答案的概率是多少.1, 如果已知考生答对了,m【解】mp.1+(m−1)p16. 瓷杯成箱出售, 每箱20只, 假设各箱含0, 1, 及 2只残次品的概率分别为0.8,0.1, 0.1, 一顾客欲购一箱瓷杯, 购买时, 任取一箱, 从中任意地察看4只, 若无残次品,则就买下, 否则退回. 试求: (1) 顾客买下该箱的概率; (2) 在顾客买下该箱的瓷杯中,确实没有残次品的概率.【解】 (1) 44895; (2) .47511217. 在n双不同的鞋中任取2r 只(r<n), 求 (1) 其中没有成双的概率; (2) 恰好有2 双的概率; (3) 有r双的概率.2r 【解】样本点总数有C2n. (1) 可以先从n双中取出2r双, 再从每双中任取r22rCn一只, 于是p1=; (2) 先从n双中任取2双, 再从n−2双中取出2r−4双,2rC2n r2r−2n22r−2CnCn−1再从每双中任取一只, 于是p2=; (3) p3=2r.2rC2nC2n229《高等数学》习题参考资料第十一章概率论§3 一维随机变量习题1. 设有m件产品, 其中n件为次品, 从中任取k件 (k<m), 记取得的次品数为ξ, 试写出ξ的概率分布.【解】根据题意认为n≤m, 由于有较多的未知参数, 因此应该讨论这些参数的不同情况.2. 设离散型随机变量ξ以正的概率只取 1, 2 , 3 , 又设P(ξ=1)=0.4,P(ξ=3)=0.5. (1)计算P(ξ=2); (2) 求ξ的分布和分布函数.【解】(1)P(ξ=2)=0.1,(2) 分布律: ξ=ip1230.40.10.5x≤1 0, 0.4,1<x≤2 分布函数F(x)= 0.5,2<x≤33<x 1,2303. 设随机变量ξ的密度函数为 A x∈[−2,2],4−x2, ϕ(x)= 2π x∉[−2,2], 0,求 (1) 系数A 的值; (2) ξ的分布函数F(x), 并作图.【解】(1) A=1;0, x 1 (2) F(x)= 2π+4arcsin+x4−x2 ,2 4π 1, x≤−2−2<x<2x≥24. 从学校到市中心广场共有六个十字路口, 假定在各个十字路口遇到红灯的事件是相互独立的, 且概率都是0.4. 以ξ表示遇到的红灯数, 求随机变量ξ的分布. 以η表示汽车行驶过程中在第一次停止前所经过的路口数, 求η的分布.【解】011C60.650.4234560.6635C620.640.42C60.630.43C640.640.44C60.610.450.46012345 6∗0.660.40.4⋅0.60.4⋅0.620.4⋅0.630.4⋅0.640.4⋅0.65∗假定过了6站后停下.5. 设某种疫苗中所含细菌数服从Poisson分布. 设1毫升疫苗中平均含有一个细菌, 把这种疫苗放入5只试管中, 每只试管放2毫升. 试求: (1) 5 只试管中都有细菌的概率; (2) 至少有3 只试管中有细菌的概率 (提示: λ=2). 【解】每只试管中有细菌的概率为p, 记ξ表示细菌个数, η表示有细菌的试管20−2数, 于是p=P(ξ≥1)=1−P(ξ=0)=1−e≈0.8647,0!(1) 5 只试管中都有细菌的概率为P(η=5)=p5=0.86475≈0.4833;231(2) 记q=1−p, 至少有3 只试管中有细菌的概率332550P(η≥3) =C5pq+C54p4q1+C5pq=0.4834+0.3782+0.1184=0.980.6. 某乘客在某公交车站候车的时间 (以分计) ξ服从指数分布, 其概率密度函数x 1−5 ϕξ(x)= 5e,x>0，x≤0 0,某乘客在候公交车时, 若等车超过 10 分钟, 他就离开而乘出租车. 该乘客一个星期要乘车 5 次, 若以η 表示一周内他乘出租车的次数, 写出η的分布律, 【解】每天等车时间超过10分钟的概率p=∫ϕξ(x)dx=∫−∞101001edx=−e5−x5−x1050=1−e−2于是η的分布律:η=kP(=k)011C5pq423332C5pq45q5C52p2q3C54p4qp57. 设随机变量ξ服从N(0,1), 那么Φ0(0),ϕ0(0),P(ξ=0)各取什么值, 它们各表示什么意思?【解】Φ0(0)=0, ϕ0(0)=12, P(ξ=0)无意义.8. 设随机变量ξ服从N(0,1), 求P(ξ<2.5), P(ξ≥−1), P(−1.5≤ξ≤1). 【解】P(ξ<2.5)=0.99379, P(ξ≥−1)=2×0.841345-1=0.68269,P(−1.5≤ξ≤1)=0.5-(1-0.933193)=0.433193.2329. 设随机变量ξ服从N(−1,16), 求P(ξ>−1.5), P(ξ<8), P(|ξ|<4). 【解】P(ξ>−1.5)=0.5478, P(ξ<8)=0.988, P(|ξ|<4)=0.668.10. 设随机变量ξ服从N(0,1),求a值, 分别使（1）P(|ξ|<a)=0.975, （2）P(ξ>−a)=0.975，（3）P(ξ<a)=0.975.【答案】 (1)a=2.24, (2) a=1.96, (3) a=1.96.11. 设随机变量ξ的概率分布密度为ϕ(x)=e−|x|,12求 (1) 随机变量ξ的分布函数F(x); (2) P(a≤ξ≤b), P(ξ≥a), P(ξ≤b), 其中 a<0,b>0.1xx≤0 2e,【解】(1) F(x)= ,1−x 1−e,x>0 21111 (2) P(a≤ξ≤b)=1−e−b−ea, P(ξ≥a)=1−ea, P(ξ≤b)=1−e−b.222212. 设某商品的月销售量服从参数为7的Poisson分布,. 问在月初商店要进货多少此商品, 才能保证当月不脱销的概率为0.999.【解】不脱销表示商店到月末还有货. 设月销售量为ξ因此问题是求 k ,使P(ξ>k)≤0.001, 即P(ξ≤k)≥0.999, 计算λ=7的Poisson分布值,P(ξ≥16)=0.002407, 000958P(ξ>16)=0.,001448P(ξ=16)=0.>0.001,P(ξ=17)=0.000596<0.001, 因此k=17, 月初的最少进货应该是k−1=16个单位.13. 设某地在任何长为t(周)的时间内发生地震的次数n(t)服从参数为λt的Poisson 分布. (1) 若T表示直到下一次地震发生所需的时间(周), 求T的概率分布. (2) 求相邻三周内至少发生3次地震的概率. (3) 在连续8周无地震的情况下, 下8周仍无地震的概率’233(λt)k−kt 【解】 P(n(t)=k)=e.表示在t时间间隔内发生k次地震.k!(1) P(T≥t)=P(n(t)=0)=e−λt, 它表示在t时间间隔内不发生地震的概率，于是T的分布函数F(t): t≤0时,F(t)=0; t>0时, F(t)=P(T<t) =1−P(T≥t)1−e−λtt>0=1−e. 即F(t)= , 即T服从参数为λ的指数分布;≤0t0这表明Poisson过程的来到间隔服从指数分布;(2) 相邻三周内至少发生3次地震, 即在3周时间内发生三次以上地震P(n(3)≥3)=1−P(n(3)<3)=1−P(n(3)=0)−P(n(3)=1)−P(n(3)=2)−λt9λ2e−2λ9=1−e−3λe−=1−(1+3λ+λ2)e−3λ;22P("T≥16"⋅"T≥8")P("T≥16"⋅)e−16λ(3) P("t≥16"|"T≥8")= = =−8λ =e−8λ.P("T≥8")P("T≥8")e这说明指数分布具有无记忆性.3λ−3λ14. 设有800万个质点独立地散布在容积为2千立方米的一个水池中, 每一个质点在水池各处是等可能的. 求从这个水池中任取的1 升（0.001立方米）水中含有质点个数ξ的分布密度.8,000,000=4即np=λ=4，2,000×1,0001或解: 一个质点落在1升水中的概率是p=，8,000,000个质点相当于2,000,000 8,000,000次Bernoulli试验, 于是1升水中含有质点数ξ,服从的分布【解】在一升水中平均有质点 pk=Ck8000000p(1−p)k8000000−k(np)k−np4k−4≈e=ek!k!15. 某射手有6发子弹, 命中率为0.85, 如果命中了, 就停止射击, 如果不命中, 就一直射下去, 直到子弹用完为止. 求耗用子弹数ξ的分布律.【答案】ξpk1p2pq3pq24pq35pq46, 其中 p=0.85, q=0.15.q516. 某市每天耗电量不超过一百万千瓦小时, 该市每天的耗电率(天耗电量/百万千瓦小时) ξ的密度函数是23412x(1−x)2,ϕ(x)= 0,x∈(0,1],x∉(0,1].如果该市发电厂每天供电量为80万千瓦小时, 则任一天供电量不够需要的概率是多少?【解】P(ξ>0.8)=1−P(ξ≤0.8)=1−∫12x(1−x)2dx=0.0272.00.817. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(小时)都服从同一指数分布，其密度函数为1x 1−600 ef(x)= 600 0x>0x≤0试求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率。