切线的判定与性质的应用题

P 图1切线的性质与判定直线与圆相切是直线与圆的特殊位置关系，有关的性质与判定也是圆中重点知识，现举例说明，供大家参考．一、切线性质的应用例1如图1，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若∠P=30º，求∠B 的度数．分析：要求∠B 周角的2倍”，因此∠AOC=2∠B ，所以只要求出∠AOC 的度数，而PA 是⊙O 切线，根据圆的切线性质知△PAO 是直角三角形，而∠P 知，这样根据“直角三角形两锐角互余”即可求出∠B 的度数． 解：因为PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，所以OA ⊥PA ，即∠PAO=90º．因为∠P=30º，所以∠AOC =90º－∠P=90º－30º=60º．又因为∠AOC=2∠B ，所以∠B=30º．点评：“圆的切线垂直于经过切点的半径”，这一性质在求角的度数和线段长度中有着广泛的应用．二、切线的判定例2（兴义）如图2，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA ∠BPC=30°．求证：PC 是⊙O 的切线．分析：由于题目中没有明确直线PC 与⊙O 因为∠BPC=30°，所以OD=12OP ．因为AP=12AB AP=OA=12OP ．所以OD= OA ，即圆心O 到直线PC O 的切线．点评：圆的切线的判定常见方法有两种类型：一当已知条件中已明确给出直线与圆的公共点时，常采用连接这点和圆心这条辅助线，去证明这个半径垂直于已知直线．这种方法简称“连半径，证垂直”．二当已知条件中没有明确给出直线与圆的公共点时，常采用过圆心作直线的垂线段这条辅助线，去证明垂线段的长度等于圆的半径长．这种方法简称“作垂直，证半径”．本例属于第二种类型．。

圆的切线性质与判定的经典题型总结切线的判定辅助线：圆心与切点的半径证明思路：证平行得垂直分两角，转移为求两角和为 90 °已知一条切线证另一条切线用全等换位思考间接证垂直不忘点到直线距离等于半径证平行得垂直例 11 、如图，在△ ABC 中， AB=AC ，以 A B 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D ，过点 D 作 FE⊥A C 于点 E ，交 A B 的延长线于点 F 。

求证： EF 与⊙ O 相切；分两角，转移为求两角和为90°例 1 2 、已知：如图， AB 是⊙ O 的直径， AC 是⊙ O 的弦， M 为 AB 上一点，过点 M 作 DM⊥AB ，交弦 AC 于点 E ，交⊙ O 于点，且 DC ＝ DE ．求证： DC 是⊙ O 的切线；例 13 、如图，△ABC 中，E 是AC 上一点， ∠CAB=2∠EBC ，AE=AB ，以 AB 为直径的⊙ O 交AC 于点 D ，交 EB 于点 F 。

求证： BC 与⊙ O 相切；证明：已知一条切线证另一条切线用全等例1 4 、如图， C 是以 AB 为直径的⊙ O 上一点，过 O 作 OE ⊥AC 于点 E ，过点 A 作⊙ O 的切线交 OE 的延长线于点 F ，连结 CF 并延长交 BA 的延长线于点 P 。

求证： PC 是⊙ O 的切线 .换位思考，间接证垂直例1 5 、 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C=90 ° ，点 D 是 AC 的中点，且 ∠ A+ ∠CDB=90 ° ，过点 A ， D 作 ⊙ O ，使圆心 O 在 AB 上， ⊙ O 与 AB 交于点 E ．（ 1 ）求证：直线 BD 与 ⊙ O 相切；（ 2 ）若 AD ： AE= ， BC=6 ，求切线 BD 的长．A不忘点到直线距离等于半径例16、已知：如图，△ ABC 为等腰三角形， O 是底边 BC 的中点，⊙ O 与腰 AB 相切于点 D 。

例 如图，△ABC 内接于大⊙O ，∠B ＝∠C ，小⊙O 与AB 相切于点D ．求证：AC 是小圆的切线．分析 AC 与小⊙O 的公共点没有确定，故应过O 作AC 的垂线段OE ．再证明OE 等于小圆半径，用“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”来判定AC 是小圆的切线． 证明 连结OD ，作OE ⊥AC 于E ． ∵∠B ＝∠C ，∴AB=AC ．又AB 与⊙O 小相切于D ，∴OD ⊥AB ． ∵OE ⊥AC ，∴OD=OE ．即小⊙O 的圆心O 到AC 的距离等于半径，所以AC 是小圆的切线． 说明：（1）本题为证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径．）之一；（2）本题为基本题型，但应用到切线的性质和判定；（3）本题为教材110页例4的变形题．例 （大连市，l 999）阅读：“如图△ABC 内接于⊙O ，∠CAE=∠B ． 求证：AE 与⊙O 相切于点A ． 证明：作直径AF ，连结FC ，则∠ACF ＝90°．∴ ∠AFC+∠CAF ＝90°． ∵∠B ＝∠AFC ． ∴ ∠B+∠CAF ＝90°． 又∵ ∠CAE=∠B ，∴ ∠CAE+∠CAF ＝90°． 即AE 与⊙O 相切于点A ．问题：通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用)．问题：通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用)．如图，已知△ABC 内接于⊙O ．P 是CB 延长线上一点，连结AP ．且PA 2＝PB ·PC ． 求证：PA 是⊙O 的切线． 证明：∵PA 2＝PB ·PC ，∴PAPBPC PA ． 又∵ ∠P=∠P ，∴△PAB ∽△PCA ．∠PAB=∠C ． 由阅读题的结论可知，PA 是⊙O 的切线． 说明：（1）此题的阅读材料来源于教材第117页B 组第1题；（2）应用“连半径证垂直”证明切线．例 （西宁，1999）已知：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，以AB 为直径的⊙O 交斜边AB 于E ，OD ∥AB ． 求证：（1）ED 是⊙O 的切线；（2）2 DE 2＝BE ·OD证明：（1）连结OE 、CE ，则CE ⊥AB ． 在Rt △ABC 中，∵OA=OC ，OD ∥AB ，∴D 为BC 的中点，∴DE=CD ， 又∵OC=OE ，OD=OD ，∴△COD ≌△EOD ，∴∠OED=∠OCD=90°，∴ED 是⊙O 的切线．（2）在Rt △ABC 中，CE ⊥AB ，∴△CBE ∽△ABC ，∴CB 2＝BE ·AB ， ∵OD 为△ABC 的中位线，∴AB=2OD ，BC=2ED ，∴（2ED ）2＝BE ·2OD 即2 DE 2＝BE ·OD说明：此题为综合题，主要应用切线的性质定理、判定定理、射影定理、中位线定理等知识．BC典型例题四例 （北京市西城区试题，2002）已知：AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长线上的一个动点，过点P 作⊙O 的切线，设切点为C.（1）当点P 在AB 延长线上的位置如图1所示时，连结AC ，作APC ∠的平分线，交AC 于点D ，请你测量出CDP ∠的度数；（2）当点P 在AB 延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC ，请你分别在这两个图中用尺规作APC ∠的平分线（不写做法，保留作图痕迹），设此角平分线交AC 于点D ，然后在这两个图中分别测量出CDP ∠的度数；猜想：CDP ∠的度数是否随点P 在AB 延长线上的位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明.解：（1）测量结果：︒=∠45CDP . （2）作图略.图2中的测量结果：︒=∠45CDP . 图3中的测量结果：︒=∠45CDP .猜想：︒=∠45CDP 为确定的值，CDP ∠的度数不随点P 在AB 延长线上的位置的变化而变化.证法一：连结BC .∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ︒=∠90ACB .∵ PC 切⊙O 于点C ，∴ A ∠=∠1.∵ PD 平分APC ∠，.454,3,21432︒=∠=∠∴∠+∠=∠∠+∠=∠∠=∠∴CDP A CDP∴ 猜想正确. 证法二：连结OC .∵ PC 切⊙O 于点C ，.901.︒=∠+∠∴⊥∴CPO OC PC∵ PD 平分APC ∠，.45)1(212.121,31.3,.212︒=∠+∠=∠+∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠∠=∠∴=∠=∠∴CPO A CDP A A A OC OA CPO∴ 猜想正确.典型例题五例 （北京市崇文区，2002）已知：ABC∆≌C B A '''∆，3,5,90==︒='''∠=∠AC AB B C A ACB ，对应边AC 与C A ''重合，如图（1）.若将C B A '''∆沿CB 边按箭头所示方向平移，如图（2），使边AB 、B A ''相交于点D ，边C A ''交AB 于点E ，边AC 交B A ''于点F ，以C C '为直径在五边形CF C DE '内作半圆O ，设C B '的长为x ，半圆O 的面积为y .1．求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； 2．连结EF ，求EF 与半圆O 相切时的x 的值.解：1．∵ ABC ∆≌C B A '''∆，3,5,90==︒='''∠=∠AC AB B C A ACB ，,4,.4x C B BC C C x C B BC -='-='∴='∴=∴ππππ28)24(2122+-=-=∴x x x y .以C C '为直径在五边形内作半圆，依题意，在运动过程中C A ''、AC 与⊙O 始终相切，故只需考虑AB 与⊙O 相切的特殊位置，以确定x 的最小值.当C B A '''∆沿CB 边按箭头所示方向平移时， ∵ ABC ∆≌C B A '''∆， ∴ B B '∠=∠， ∴ B DB '∆是等腰三角形.又∵ ,,C O OC C B BC '=''=∴ .O B BO '=∴ O 是B B '的中点.∴ O 到BD 、D B ''的距离相等.∴ AB 与⊙O 相切时，B A ''必与⊙O 相切. 设切点分别为G 、H ，连结OG ， 则有,,90B B BCA BGO ∠=∠︒=∠=∠ ∴ BOG ∆∽BAC ∆..5244324,xx BA BO AC OG --=-=∴ 解之得.1=x当1<x 或4≥x 时，不合题意，∴ 自变量x 的取值范围是41<≤x . 2．在C BE '∆和FC B '∆中，⎪⎩⎪⎨⎧︒='∠='∠'=''∠=∠,90,,CF B E C B C B C B B B ∴ C BE '∆≌FC B '∆.,90,//.︒='∠'='∴C FC FC C E FC C E∴ 四边形CF C E '为矩形. 当EF 与⊙O 相切时，C C C E '='21. ).4(2143,43,43tan x x x C E BC AC C B C E B -=∴='∴==''=解之得.58=x典型例题六例 已知如图，在ABC ∆中，AC AB =，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作⊙O 的切线交AC 于E ，求证：AC DE ⊥.分析：因为DE 是⊙O 的切线，D 是切点，所以连OD ，得DE OD ⊥，因此本题的关键在于证明OD AC //. 证明 连结AD 、ODAB 为⊙O 的直径，AC AB =，BC AD ⊥∴.D 是BC 中点，O 是AB 的中点，OD ∴为BAC ∆的中位线，AC OD //∴DE 是切线，D 为切点，OD 是⊙O 的半径DE OD ⊥∴AC DE ⊥∴ 说明：连结OD 构成了“切线的性质定理”的基本图形，连结AD 构成了圆周角推论的基本图形.典型例题七例 如图，已知⊙O 中，AB 为直径，过B 点作⊙O 的切线，连线CO ，若OC AD //交⊙O 于D .求证：CD 是⊙O 的切线.分析：要证AD 是⊙O 的切线，只须证AD 垂直于过切点D 的半径，由此应想到连结OD .证明 连结OD OC AD // ，A COB ∠=∠∴及ODA COD ∠=∠ OD OA = ，OAD ODA ∠=∠∴ COD COB ∠=∠∴CO 为公共边，OB OD =COB ∆∴≌COD ∆.即ODC B ∠=∠ BC 是切线，AB 是直径， ︒=∠∴90B ，︒=∠90ODC ， CD ∴是⊙C 的切线.说明：辅助线OD 构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理.典型例题八例 如图，以ABC ∆Rt 的一条直角边AB 为直径作圆斜边BC 于E ，F 是AC 的中点，求证：EF 是圆的切线.分析：连OE ，因为EF 过半径OE 的外端，要证EF 是切线，只需证︒=∠90OEF . 思路1 连OF ，证OAF ∆≌OEF ∆，则有︒=∠=∠90OAF OEF思路2 连AE ，则︒=∠90AEC ，证︒=∠+∠=∠+∠90OAE FAE OEA FEA 证明1 如图，连OF 、OE ，的中位线是中点为中点为ABC OF AB O AC F ∆⇒⎭⎬⎫B BC OF ∠=∠⇒⇒1//，32∠=∠ 又B OE OB ∠=∠⇒=3，即21∠=∠，OE OA =，OF OF = 所以OAF ∆≌OEF ∆有︒=∠=∠90OAF OEF 即EF OE ⊥， EF 过半径OE 的外端， 所以EF 是⊙O 的切线.证明2 如图，连结AE 、OE AB 是⊙O 直径︒=∠⇒90AEBFA FE AC F AEC =⇒⎭⎬⎫︒=∠⇒中点为9042314321∠+∠=∠+∠⇒⎭⎬⎫∠=∠⇒=∠=∠⇒OE OAEF OE ⊥⇒︒⇒90 FE 过半径OE 的外端 所以EF 是⊙O 的切线说明：这里的辅助线OE ，仍然想着构造“切线判定定理”的基本图形的作用.典型例题九例 如图，已知弦AB 等于半径，连结OB 并延长使.（1）求证AC 是⊙O 的切线； （2）请你在⊙O 上选取一点D ，使得 （自己完成作图，并给出证明过程）证明：（1）即是⊙O 的切线.（2）①作BO 延长线交⊙O 于D ，连接AD ，，所以D 点为所求. ②如图，在圆上取一点使得，连结，所以点也为所求.说明：证明一条直线是圆的切线，通常选择：（1）到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；（2）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.而涉及切线问题时，应灵活运用切线的性质，通常连结切点和圆心.题目的第（2）问是分类讨论问题，当题目中的图形未给定时，作图时，应将所有符合条件的图形作出，再分别解答.典型例题十例 已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且CB CA OB OA ==,.求证：直线AB 是⊙O 的切线.证明 连结OC .∵CB CA OB OA ==,，∴OC 是等腰三角形OAB 底边AB 上的中线. ∴.OC AB ⊥∴AB 是⊙O 的切线.说明：本题考查切线的判定，解题关键是作出辅助线，易错点是把求证的结论“AB 是⊙O 的切线”.作为条件使用，造成推理过程中的逻辑混乱.典型例题十一例 如图，AB 是⊙O 直径，弦AB CD //，连AD ，并延长交⊙O 过点B 的切线于E ，作AC EG ⊥于G .求证：.CG AC =证明 连结BC 交AE 于F 点...21,32.31,//BF AF CD AB =∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∴BE 为⊙O 切线，...54,21.9051,9042.EF AF EF BF BE AB =∴=∴∠=∠∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠∴⊥∴AB 为直径，∴.AC BC ⊥..//,CG AC BC EG AC EG =∴∴⊥说明： 本题主要考查切线的性质，解题关键是作辅助线.典型例题十二例 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD 交⊙O 于点E ，AC AB AD ,5,4==平分BDA ∠.（1）求证：CD AD ⊥.（2）求AC .证明 （1）连OC .CD 切⊙O 于C ，∴.CD OC ⊥..//.32,21.31,CD AD AD OC OC OA ⊥∴∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∴=解 （2）连BC .AB 是⊙O 的直径，∴︒=∠90ACB .ABC ADC ∆∴∠=∠︒=∠,21,90 ∽.ACD ∆∴.AD AC AC AB =即.52.45=∴=AC ACAC 说明：在题目条件中若有切线，常常要作出过切点的半径.利用三角形相似的知识求出线段的长.典型例题十三例 （北京朝阳区试题，2002）已知：在内角不确定的ABC ∆中，AC AB =，点E 、F 分别在AB 、AC 上，BC EF //，平行移动EF ，如果梯形EBCF 有内切圆， 当21=AB AE 时，322sin =B ； 当31=AB AE 时，23sin =B （提示：43223=）； 当41=AB AE ，54sin =B . （1）请你根据以上所反映的规律，填空：当51=AB AE 时，B sin 的值等于_________； （2）当nAB AE 1=时（n 是大于1的自然数），请用含n 的代数式表示=B sin ___________，并画出图形、写出已知、求证和证明过程。

切线的性质与判定、切线长定理专题班级：姓名：1、切线的性质例1：（1）AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于 . （2）．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，且点为N，则DM的长为（）A． B．8 C． D．2（1）（2）练习：1、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=115°，过D点的切线PD与射线BA交于点P，则∠ADP的度数为；2．如图，AB是⊙的直径，CD是∠ACB的平分线交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．若AB=4，∠E=75°，则CD的长为；3．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞0），半径是2，与y轴相切于点C，直线y=x被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A． B． C． D．（1）（2）（3）4．如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当⊙O与边BC所在的直线与相切时，则AB的长是．5．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值（） A．5 B．4 C．4.75 D．4.82、切线的判定例2：(1)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D 为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=10，EB=6．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）求线段AC的长．(2)如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C 作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．练习：1．已知：如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E．（1）判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；（2）若CE=2，求⊙O的半径r．3、切线长定理例3：（P102，第11题）若AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G 三点，且AB∥CD，BO=6,CO=8.(1)求∠BOC的度数；（2）求BC的长；（3）求半径OF的长；（4）E、O、G共线吗？说明理由.(5)连接G、F,求证OB∥FG(6)连接EF 、GF 分别交OB 于P ，交OC 于Q,求证：四边形OPFQ 为矩形.(7)若延长CO 交⊙O 于点M ，过点M 作MN ∥OB 交CD 于点N ，求MN 的长．变式1．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=12cm ，AD=8cm ，BC=22cm ，AB 为⊙O 的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动．P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t （s ）．（1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？（2）当t 为何值时，PQ 与⊙O 相切？变式2．如图，四边形ABCD 中，AD 平行BC ，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB 为直径的半⊙O 切CD 于点E ，F 为弧BE 上一动点，过F 点的直线MN 为半⊙O 的切线，MN 交BC 于M ，交CD 于N ，则△MCN 的周长为（ ）A ．9B ．10C ．3D ．2（变式2） （变式3） （变式4） （变式5） 变式3．如图，正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）A ．12B ．24C ．8D ．6变式4．如图，PA 、PB 、分别切⊙O 于A 、B 两点，∠P=40°，则∠C 的度数为 ;变式5．如图，PA 、PB 、CD 分别切⊙O 于A 、B 、E ，CD 交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE 的度数为PQ变式6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．B．3 C．3 D．（变式6） (例4)4、动态问题例4：如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么⊙P与直线CD相切时运动时间是 s.练习：1．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是 cm.(1题) (2题)2．如图，∠AOB=60°，点M是射线OB上的点，OM=4，以点M为圆心，2cm为半径作圆．若OA绕点O按逆时针方向旋转，当OA和⊙M相切时，OA旋转的角度是．变式：如2题图，已知∠AOB=60°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M．若⊙M在OB边上运动，则当OM= cm时，⊙M与OA相切．3．如图，P为正比例函数y=x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x，y）．则⊙P与直线x=2相切时点P的坐标为．4．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．。

中考复习：切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。

2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。

精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。

（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）EM ＝FM 。

：【例2】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。

求证：AC 是⊙O 的切线。

》【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，OA ＝r 。

<（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求OC AD ⋅的值；（3）若AD ＋OC ＝r 29，求CD 的长。

•例1图321MFOEDCB A例2图 EO D C B A •例3图321OD C BA探索与创新：【问题一】如图，以正方形ABCD 的边AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O ，CG 切半圆于E ，交AD 于F ，交BA 的延长线于G ，GA ＝8。

（1）求∠G 的余弦值；!（2）求AE 的长。

【问题二】如图，已知△ABC 中，AC ＝BC ，∠CAB ＝α（定值），⊙O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q 。

,（1）求∠POQ ；（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与⊙O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断∠DOE 的大小是否保持不变，并说明理由。

(|•问题一图 G F E O DCB A 问题二图NQ P EO DC BA答案精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。

专项21 切线的判定与性质的综合应用ìïìïííîïïî圆的切线的性质--三角形内切圆应用:d=r 圆的切线的判定判定定理圆的切线性质与判定综合应用【类型一： 有公共点：连半径，证垂直】【典例1】（2021秋•吉林期末）已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点P ，PD ⊥AC 于点D ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）若∠CAB ＝120°，AB ＝6，求BC 的值．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵OP ＝OB ，∴∠B ＝∠OPB ，∴∠OPB ＝∠C ，∴OP ∥AC ，∵PD ⊥AC ，∴OP ⊥PD ，∴PD 是⊙O的切线；（2）解：连接AP，如图，∵AB为直径，∴∠APB＝90°，∴BP＝CP，∵∠CAB＝120°，∴∠BAP＝60°，在Rt△BAP中，AB＝6，∠B＝30°，∴AP＝AB＝3，∴BP＝AP＝3，∴BC＝2BP＝6．【变式1-1】（2021秋•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB＝10，CD＝8，求CE的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵BD为∠ABC平分线，∴∠1＝∠2，∵OB＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE，则四边形ODCG为矩形，∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝6，∵OG⊥BE，OB＝OE，∴BE＝2BG＝12．解得：BE＝12，∵AC是⊙O的切线，∴CD2＝CE•CB，即82＝CE（CE+12），解得：CE＝4或CE＝﹣16（舍去），即CE的长为4．【变式1-2】（2021秋•温岭市期末）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝8，CD＝12，求半径的长度．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB+∠CDA＝90°，∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴∠CDO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：在Rt△CDO中，CD2+OD2＝OC2，∴122+r2＝（8+r）2，∴r＝5，∴半径的长度为5．【典例2】（2020•中宁县一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD＝1，求⊙O的直径．【解答】（1）证明：连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．（2）设该圆的半径为x．在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝2OA＝OD+PD，又∵OA＝OD，∴1+x＝2x，解得：x＝1∴OA＝PD＝1，所以⊙O的直径为2【变式2-1】（2021秋•甘井子区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．【解答】（1）证明：连接OE，∵EF⊥AC，∴∠EFD＝∠EFC＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠OEB，∴∠OEB＝∠C，∴OE∥AC，∴∠OEF＝∠EFC＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：过点O作OG⊥AD，垂足为G，∴∠OGF＝90°，∵∠OEF＝∠EFG＝90°，∴四边形OEFG是矩形，∴OG＝EF＝3，设⊙O的半径为x，∴AB＝AC＝2x，∵CD＝4，∴AD＝AC﹣CD＝2x﹣4，∵OG⊥AD，∴AG＝AD＝x﹣2，在Rt△OAG中，AG2+OG2＝OA2，∴（x﹣2）2+9＝x2，∴x＝，∴⊙O的半径为．【变式2-2】（2021秋•天津期末）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝6，求ED的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE⊥AE，∴∠AED＝90°，∵AD平分∠BAE，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥DO，∴∠EDO＝180°﹣∠E＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ECB＝180°﹣∠ACB＝90°，∵∠E＝∠EDO＝90°，∴四边形ECFD是矩形，∴DE＝CF，∠CFD＝90°，∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵OD⊥BC，∴CF＝BC＝4，∴DE＝CF＝4，∴ED的长为4【典例3】（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O 与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OE、OD，在△AOD和△EOD中，，∴△AOD≌△EOD（SSS），∴∠OED＝∠BAC＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵△AOD≌△EOD，∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，∵∠AOE＝∠B+∠OEB，∴∠BEO＝∠EOD，∴OD∥BC，又AO＝BO，∴OD＝BC＝5，由勾股定理得，AO＝＝3，则⊙O的半径为3．【变式3-1】（2021秋•金湖县期末）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC 为半径的圆交CE于D，延长CO交⊙O于B，连接AD、AB，AB是⊙O的切线．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为4，AB＝8，求平行四边形OAEC的面积．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBA＝90°，∵四边形OAEC是平行四边形，∴AO∥EC，∴∠AOD＝∠ODC，∠AOB＝∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，又∵OA＝OA，OD＝OB，∴△AOB≌△AOD（SAS），∴∠OBA＝∠ODA，∴∠ODA＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴AD为⊙O的切线；（2）解：∵OB＝4，AB＝8，∴S＝AB•OB＝×4×8＝16，△ABO∵△AOB≌△AOD，∴S＝16，△AOD＝32．∴平行四边形OAEC的面积＝2S△AOD【类型一：没有公共点：作垂直，证半径】【典例4】（2020•八步区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，E 为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D，AB＝5，BE＝3．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）求线段AC的长．【解答】（1）证明：过点D作DF⊥AC于F；∵AB为⊙D的切线，∴∠B＝90°，∴AB⊥BC，∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD＝DF，∴AC与⊙D相切；（2）解：在△BDE和△DCF中；，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴EB＝FC．∵AB＝AF，∴AB+EB＝AF+FC，即AB+EB＝AC，∴AC＝5+3＝8．【变式4-1】（2021秋•莆田期末）如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为A、B，CO平分∠BCD．（1）求证：CD是半圆O的切线．（2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的长．【解答】（1）证明：过点O作OE⊥CD，垂足为点E，∵BC是半圆O的切线，B为切点，∴OB⊥BC，∵CO平分∠BCD，∴OE＝OB，∵OB是半圆O的半径，∴CD是半圆O的切线；（2）解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F，∴∠DFB＝90°，∵AD是半圆O的切线，切点为A，∴∠DAO＝90°，∵OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∴四边形ADFB是矩形，∴AD＝BF＝20，DF＝AB，∵AD，CD，BC是半圆O的切线，切点分别为A、E、B，∴DE＝AD＝20，EC＝BC，∵CD＝50，∴EC＝CD﹣DE＝50﹣20＝30，∴BC＝30，∴CF＝BC﹣BF＝10，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF＝＝＝20，∴AB＝DF＝20，∴BC的长为30，AB的长为20．1.（2021秋•龙沙区期末）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长．【解答】（1）证明：连接OC，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠1＝90°，又∵∠DCB＝∠CAD，∵∠CAD＝∠OCA，∴∠OCA＝∠DCB，∴∠DCB+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，∴OC2+CD2＝OD2，∴OB2+42＝（OB+2）2，∴OB＝3，∴AB＝6，∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，∴AE是⊙O的切线，∵CD是⊙O的切线；∴AE＝CE，∵AD2+AE2＝DE2，∴（6+2）2+AE2＝（4+AE）2，解得AE＝6．2．（2021秋•聊城期末）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC平分∠BAD，且AD⊥CD 于点D．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AD＝4，CD＝2，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图中，连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图，过点O作OE⊥AD于点E，得矩形OEDC，∴OE＝CD＝2，DE＝OC，∴AE＝AD﹣DE＝4﹣OC＝4﹣OA，在Rt△AEO中，根据勾股定理，得OA2＝AE2+OE2，∴OA2＝（4﹣OA）2+22，解得OA＝．∴⊙O的半径为．3．（2022春•长兴县月考）如图，已知等边△ABC的边长为6，点O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边AC，AB分别交于点D，E，过点D作DF⊥BC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连结EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连结OD，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝∠B＝60°，∵∠DAO＝60°，OD＝OA，∴△DOA是等边三角形，∴∠ODA＝∠C＝60°，∴OD∥BC，又∵∠DFC＝90°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；（2）解：设半径为r，等边△ABC的边长为6，由（1）可知：AD＝r，则CD＝6﹣r，BE＝6﹣2r在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝6﹣r，∴CF＝（6﹣r），∴BF＝a﹣（6﹣r），又∵EF是⊙O的切线，∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，∴BF＝2BE，∴6﹣（6﹣r）＝2（6﹣2r），解得：r＝2，∴⊙O的半径为2．4．（2022•西湖区校级开学）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若∠C＝30°，CD＝10cm，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴OD∥AC，∴∠CED＝∠ODE，∵DE⊥AC，∴∠CED＝∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是圆的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵D是BC的中点，∴AB＝AC，∵∠C＝30°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AD，∵CD＝10cm，∴BD＝10cm，设AD＝xcm，则AB＝2xcm，∴x2+102＝4x2，∴x＝或x＝﹣（舍去），∴AD＝（cm），AB＝（cm），∴⊙O的半径为cm．5．（2021秋•曲靖期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，DQ⊥AB，DQ＝DC，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点D，交BC于点E、交AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CD＝4，求CE的长．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵∠C＝90°，DQ⊥AB，DQ＝DC，∴BD是△ABC的角平分线，∴∠OBD＝∠DBC，∴∠ODB＝∠DBC，∴OD∥BC，∴∠ODA＝∠C＝90°，∵AC经过⊙为的半径OD的端点D，且AC⊥OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：如图，作OG⊥BE于点G，则BG＝EG，∠OGB＝90°，∵∠ODC＝∠C＝∠OGC＝90°，∴四边形ODCG是矩形，∵CD＝4，OB＝OD＝5，∴OG＝CD＝4，GC＝OD＝5，在Rt△BOG中，OB2＝OG2+BG2，∴BG＝＝＝3，∴EG＝3，∴CE＝GC﹣EG＝5﹣3＝2．6．（2021秋•海淀区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AC，过A作AF⊥AC，交⊙O于点F，连接DF，过B作BG⊥DF，交DF的延长线于点G．（1）求证：BG是⊙O的切线；（2）若∠DFA＝30°，DF＝4，求FG的长．【解答】（1）证明：∵C，A，D，F在⊙O上，∠CAF＝90°，∴∠D＝∠CAF＝90°．∵AB⊥CE，BG⊥DF，∴∠BED＝∠G＝90°．∴四边形BEDG中，∠ABG＝90°．∴半径OB⊥BG．∴BG是⊙O的切线．（2）解：连接CF，∵∠CAF＝90°，∴CF是⊙O的直径．∴OC＝OF．∵直径AB⊥CD于E，∴CE＝DE．∴OE是△CDF的中位线．∴OE＝＝2．∵＝，∠AFD＝30°，∴∠ACD＝∠AFD＝30°．∴∠CAE＝90°﹣∠ACE＝60°．∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形．∵CE⊥AB，∴E为AO的中点，∴OA＝2OE＝4，OB＝4．∴BE＝OB+OE＝6．∵∠BED＝∠D＝∠G＝90°，∴四边形BEDG是矩形．∴DG＝BE＝6．∴FG＝DG﹣DF＝2．7．（2021秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，BC＝8，求DE的长．【解答】（1）证明：如图1，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥半径OD，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝＝4，∴AD＝＝3，∵DE⊥AC，∴S＝，△ACD∴5•DE＝3×4，∴DE＝，∴DE的长是．8．（2021秋•平罗县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝2，CE＝1，求BD的长度．【解答】（1）证明：如图，连接OD，CD，则∠OAD＝∠ODA．∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠EAD．∴∠ODA＝∠EAD．∴OD∥AE，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AD平分∠CAB，∴＝，∴CD＝BD，在Rt△CDE中，DE＝2，CE＝1，根据勾股定理，得CD＝＝＝，∴BD＝．9．（2021秋•博白县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC＝10，CD＝6，求DE的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴EF⊥OD，又∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接AD，∵AC为⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝6．在Rt△ACD中，AC＝10，CD＝6，∴AD＝＝＝8，又∵DE⊥AB，AB＝AC＝10，＝AB•DE＝AD•BD，∴S△ABD即×10×DE＝×8×6，∴DE＝4.8．10．（2022•任城区三模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF；（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由．（2）若⊙O的半径为4，AF＝3，求AC的长．【解答】（1）解：AF是⊙O的切线，理由如下：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O直径，∴∠BCA＝90°，∵OF∥BC，∴∠AEO＝90°，∠1＝∠2，∠B＝∠3，∴OF⊥AC，∵OC＝OB，∴∠B＝∠1，∴∠3＝∠2，在△OAF和△OCF中，，∴△OAF≌△OCF（SAS），∴∠OAF＝∠OCF，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCF＝90°，∴∠OAF＝90°，∴FA⊥OA，∴AF是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为4，AF＝3，∠OAF＝90°，∴OF＝＝＝5∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AC＝2AE，△OAF的面积＝AF•OA＝OF•AE，∴3×4＝5×AE，解得：AE＝，∴AC＝2AE＝．。

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形圆》专题切线的性质与判定的综合运用（共30题）（基础题＆提升题＆压轴题）1．（2022秋•斗门区期末）如图，AB为⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为圆上一点，且∠ACP＝∠OBC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若P A＝4，PC＝BC，求⊙O的半径．2．（2023•太平区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BD为直径的半圆交BC于点F，点E是边AC和半圆的公共点，且满足DE＝EF．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，AB＝9，求BF的长度．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE∥AC交CB的延长线于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，BD＝3，求BC的长．4．（2023•东港区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，点D在AB 上，且以AD为直径的⊙O经过点E．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）当AD＝3BD，且BE＝4时，求⊙O的半径．5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．以BC为直径的⊙O交AC于D，E是AB的中点，连接ED并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DB的长．6．（2023•鲁山县一模）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于点F，且CE＝CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝8，BD＝4，求AE的长．7．（2022秋•嘉祥县校级期末）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．8．（2023•莱芜区模拟）如图，在△ADC中，AC＝CD，∠D＝30°，点B是AD上一点，∠ACB的角平分线CE交以AB为直径的⊙O于点E，过点B作BF⊥EC，垂足为F，⊙O恰好过点C．（1）求证：CD是⊙O切线；（2）若AC=4√3，求CF的长．9．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为BĈ的中点，DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O，连接BD并延长交⊙O 于点E，连接CE．（1）若CE＝BC，求证：CE是⊙O的切线．（2）在（1）的条件下，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径．11．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，AD交⊙O于E点，BĈ=CÊ，F为⊙O上一点，AF∥CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）AC＝5，AF＝6，求⊙O的半径．12．如图，已知，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于点A．（1）证明：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．13．（2023•鞍山二模）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O恰好经过点C，点D为半圆AB中点，连接CD，过D作DE∥AB交AC延长线于点E．（1）求证：DE为⊙O切线：（2）若AC＝4，CD=√2，求⊙O的半径长．14．（2023•新余一模）⊙O是△ABC的外接圆，OC∥AB，延长OC至D点．（1）如图1，若OC＝CD，且B为弧AC的中点，求证：BD是⊙O的切线；（2）如图2，若BD是⊙O的切线，且BD＝3，CD＝1，求圆的半径及弦AB的长．15．（2023•云梦县校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．（1）求证：EN是⊙O的切线；（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，求线段EN的长．16．（2023•榆阳区一模）如图，BP为⊙O的直径，点A为PB延长线上一点，点C是⊙O上一点，过点C 作CE⊥BO交BO于点D，交⊙O于点E，连接OE，CB，∠ACB＝∠ECB．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若AB＝3，BD＝1，求CE的长度．17．（2023•乌鲁木齐一模）如图，AB是⊙O的直径，AD和CD分别切⊙O于A、E两点，BC与⊙O有公共点B，且EC＝BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AB＝12，AD＝8，求BC的长．18．（2022秋•同心县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，以点D为圆心、AD的长为半径的⊙D与AB相切于点A，与AC相交于点E．（1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求AC和AD的长．19．（2022秋•蔡甸区期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为斜边BC的中点，以AD为直径作⊙O，分别与边AB、AC交于点E、F，过点E作EG⊥BC，垂足为G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为6，若AF＝8，求BE的长．20．（2023•鱼峰区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为5，且AF﹣DE＝2，求EF的长．21．（2023•漳平市一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠D＝30°，AB＝10，求CD的长．22．（2023•怀远县校级模拟）AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，P是半径OB上一点，PE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E，D是EF的中点，连接CD；（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连OD交BC于G，若G为OD的中点，AC＝6，求CE的长．23．（2023•桑植县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，∠BCF＝∠BAC，CF与AB的延长线相交于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：∠ACD＝∠F；（3）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．24．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC．已知OA＝OB，CA＝CB，DE＝10，DF＝6．（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠EDC＝∠FDC；（2）求CD的长．25．（2022秋•华容区期末）如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF 的长．26．（2023•高青县二模）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，点A是弧MC的中点，CD交⊙O 于M，CD交AB于E，DB＝DE．（1）求证：DB是⊙O的切线；（2）求证：∠D＝2∠ACD；（3）若DB＝6，DC＝10，求ME的长．27．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的长．28．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点E，点P是CD延长线上的一点，AP ＝AC，且∠B＝2∠P．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD=√3，求⊙O的直径；（3）在（2）的条件下，若点B等分半圆CD，求DE的长．29．（2023•南海区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．30．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：OF⊥CE（2）求证：EF是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．。

圆的切线的判定与性质1．（2014•三明）已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，①AE与OD的大小有什么关系？为什么？②求∠ODC的度数．2．（2014•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．（1）求证：EB=EC；（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．3．（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．4．（2014•咸宁）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若点E为的中点，AD=，AC=8，求AB和CE的长．5．（2014•潍坊）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．（1）求证：OD∥BE；（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长．6．（2014•常德）如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．（1）求证：ED是⊙O的切线．（2）当OA=3，AE=4时，求BC的长度．7．（2014•宁夏）在等边△ABC中，以BC为直径的⊙O与AB交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）计算．8．（2014•新疆）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=2，求⊙O的半径．9．（2014•宜宾）如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若CF=5，cos∠A=，求BE的长．10．（2014•营口）如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若AC=4，tan∠ACD=，求⊙O的半径．11．（2014•梅州）如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若∠AOB=120°，AB=4，求⊙O的面积．12．（2014•铜仁）如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，连接DC，且AC=DC，BC=BD．（2）作CD的平行线AE交⊙O于点E，已知DC=10，求圆心O到AE的距离．13．（2014•宿迁）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．14．（2014•铁岭）如图，⊙O是△ABC外接圆，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB于点H，DE与AC相交于点G，DE、BC的延长线交于点F，P是GF的中点，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是1，=，∠ABC=45°，求OH的长．15．（2014•毕节地区）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．16．（2014•威海）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．1.（2014•三明）已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，①AE与OD的大小有什么关系？为什么？②求∠ODC的度数．2．（2014•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．（1）求证：EB=EC；（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．∴∴x=ACB=（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若点E为的中点，AD=，AC=8，求AB和CE的长．∴BC=为OE=OA=AB=5AE==5∴∴AF=4EF=3，CF=AF=4CE=CF+EF=7．5．（2014•潍坊）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．（1）求证：OD∥BE；（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长．∠ABE=COB=∠==（1）求证：ED是⊙O的切线．（2）当OA=3，AE=4时，求BC的长度．∴=．7．（2014•宁夏）在等边△ABC中，以BC为直径的⊙O与AB交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）计算．AD=BD=ABAE=AD=AC∴8．（2014•新疆）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=2，求⊙O的半径．∵，∵=，×CD=2AC=2CD=4，AC=×垂足为E，交AC的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若CF=5，cos∠A=，求BE的长．FOD==，，则，R=AB=2OD=．A===AE=﹣=2上的一点，且∠FCA=∠B．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若AC=4，tan∠ACD=，求⊙O的半径．∴，ACD=ACD=，∴，==411．（2014•梅州）如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若∠AOB=120°，AB=4，求⊙O的面积．AB=4AC=AB=2A=2×=2BC=BD．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）作CD的平行线AE交⊙O于点E，已知DC=10，求圆心O到AE的距离．CD=10×=5（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．，（BC的延长线交于点F，P是GF的中点，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是1，=，∠ABC=45°，求OH的长．∴∵，∴OM=，∵，OH=OM=（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．16．（2014•威海）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．。

切线的性质和判定练习一．解答题（共11小题）1．（2018•宿迁）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A 作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．2．（2018•常德）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD=CF．3．（2018•官渡区二模）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，点D是AM上一点，连接OD，过点B作BE∥OD交⊙O于点E，连接DE并延长交BN 于点C．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD=l，BC=4，求直径AB的长．4．（2018•洪泽区一模）如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC 是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为4，∠OCE=30°，求△OCE的面积．5．（2018•淅川县二模）如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C 作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．（1）直接写出ED和EC的数量关系：；（2）DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；（3）填空：当BC= 时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是．6．（2018•东河区二模）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB 于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：OF⊥CE（2）求证：EF是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．7．（2018•海淀区二模）如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．（1）连接AD，则∠OAD= °；（2）求证：DE与⊙O相切；（3）点F在上，∠CDF=45°，DF交AB于点N．若DE=3，求FN的长．8．（2018•朝阳区二模）AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB 的延长线相交于点D，CA=CD．（1）连接BC，求证：BC=OB；（2）E是中点，连接CE，BE，若BE=2，求CE的长．9．（2018•苏州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB 相交于点G，连接OC．（1）求证：CD=CE；（2）若AE=GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．10．（2017•黄石）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC 的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为⊙O的切线．11．（2018•长沙）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE ∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．切线的性质和判定参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．（2018•宿迁）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A 作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．【分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB=60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF=90°，结合半径OC=5可得答案．【解答】解：（1）连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∵，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP∵PA是半⊙O的切线，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°，∵AB=10，∴OC=5，由（1）知∠OCF=90°，∴CF=OCtan∠COB=5．【点评】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．2．（2018•常德）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD=CF．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得：AE是⊙O的切线；（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质得：∠ADF=∠ABC=60°，得△ADF是等边三角形，证明△BAD≌△CAF，可得结论．【解答】证明：（1）连接OD，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠BCA=60°，∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF=∠ABC=60°，∵AD=DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD=AF，∠DAF=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAF=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键．3．（2018•官渡区二模）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，点D是AM上一点，连接OD，过点B作BE∥OD交⊙O于点E，连接DE并延长交BN 于点C．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD=l，BC=4，求直径AB的长．【分析】（1）求出∠AOD=∠EOD，根据全等三角形的判定和性质推出∠DEO=∠DAO，根据切线的判定得出即可；（2）根据矩形的性质和判定得出AB=DH，AD=BH=1，根据切线长定理求出DC，根据勾股定理求出DH即可．【解答】（1）证明：连接OE，∵OA=OE=OB，∴∠OBE=∠PEB，∵OD∥BE，∴∠AOD=∠OBE，∠OEB=∠DOE，∴∠AOD=∠EOD，在△AOD和△EOD中∴△AOD≌△EOD，∴∠OAD=∠OED，∵AM是⊙O的切线，∴∠OAD=90°，∴∠OE D=90°，即OE⊥DE，∵OE为⊙O半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过D作DH⊥BC于H，∵AM和BN是⊙O的两条切线，∴∠DAB=∠ABH=∠DHB=90°，∴四边形ABHD是矩形，∴AB=DH，AD=BH，∵AD=l，BC=4，∴BH=1，CH=4﹣1=3，∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE切⊙O于E，AD=1，BC=4，∴DE=AD=1，BC=CE=4，∴DC=1+4=5，在Rt△DHC中，由勾股定理得：DH===4，即AB=4．【点评】本题考查了切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质和判定、切线长定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．4．（2018•洪泽区一模）如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC 是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为4，∠OCE=30°，求△OCE的面积．【分析】（1）连接DO，如图，利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠COD=∠COB．则根据“SAS”可判断△COD≌△COB，所以∠CDO=∠CBO．再根据切线的性质得∠CBO=90°，则∠CDO=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先利用∠OCB=∠OCD=30°得到∠DCB=60°，则∠E=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系计算出DE=4，DC=OD=4，然后根据三角形面积公式计算．【解答】（1）证明：连接DO，如图，∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO=∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO=90°，∴∠CDO=90°，∴OD⊥CE，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）解：由（1）可知∠OCB=∠OCD=30°，∴∠DCB=60°，又BC⊥BE，∴∠E=30°，在Rt△ODE中，∵tan∠E=，∴DE==4，同理DC=OD=4，=•OD•CE=×4×8=16．∴S△OCE【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了解直角三角形．5．（2018•淅川县二模）如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．（1）直接写出ED和EC的数量关系：ED=EC ；（2）DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；（3）填空：当BC= 2 时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C 为顶点的四边形是正方形．【分析】（1）连结CD，如图，由圆周角定理得到∠ADC=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线直线得到DE=CE=BE；（2）连结OD，如图，利用切线性质得∠2+∠4=90°，再利用等腰三角形的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4=90°，于是根据切线的判定定理可判断DE是⊙O的切线；（3）要判断四边形AOED是平行四边形，则DE=OA=1，所以BC=2，当BC=2时，△ACB为等腰直角三角形，则∠B=45°，又可判断△BCD为等腰直角三角形，于是得到DE⊥BC，DE=BC=1，所以四边形AOED是平行四边形；然后利用OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°可判断四边形OCED为正方形．【解答】解：（1）连结CD，如图，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵E是BC的中点，∴DE=CE=BE；（2）DE是⊙O的切线．理由如下：连结OD，如图，∵BC为切线，∴OC⊥BC，∴∠OCB=90°，即∠2+∠4=90°，∵OC=OD，ED=EC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODB=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）当BC=2时，∵CA=CB=2，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴DE⊥BC，DE=BC=1，∵OA=DE=1，AO∥DE，∴四边形AOED是平行四边形；∵OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°，∴四边形OCED为正方形．故答案为ED=EC；2，正方形．【点评】本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．常见的辅助线为：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．解决（3）小题的关键是熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法．6．（2018•东河区二模）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB 于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：OF⊥CE（2）求证：EF是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【分析】（1）由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据OF∥AB，得出OF⊥CE，（2）得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论．（3）证出△AOE是等边三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性质即可得到结果．【解答】证明：（1）如图，连接CE，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE（2）∵OF⊥CE∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠OEC=∠OCE，∵∠ACB=90°，即：∠OCE+∠FCE=90°，∴∠OEC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（3）如图，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=3，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=3，AC=6，∴AD=3．【点评】本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键．7．（2018•海淀区二模）如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．（1）连接AD，则∠OAD= 60 °；（2）求证：DE与⊙O相切；（3）点F在上，∠CDF=45°，DF交AB于点N．若DE=3，求FN的长．【分析】（1）由CD⊥AB和M是OA的中点，利用三角函数可以得到∠DOM=60°，进而得到△OAD是等边三角形，∠OAD=60°．（2）只需证明DE⊥OD．便可以得到DE与⊙O相切．（3）利用圆的综合知识，可以证明，∠CND=90°，∠CFN=60°，根据特殊角的三角函数值可以得到FN的数值．【解答】解：（1）如图1，连接OD，AD∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB∴AB垂直平分CD∵M是OA的中点，∴OM=OA=OD∴cos∠DOM==∴∠DOM=60°又：OA=OD∴△OAD是等边三角形∴∠OAD=60°故答案为：60°（2）∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，∴CM=MD．∵M是OA的中点，∴AM=MO．又∵∠AMC=∠DMO，∴△AMC≌△OMD．∴∠ACM=∠ODM．∴CA∥OD．∵DE⊥CA，∴∠E=90°．∴∠ODE=180°﹣∠E=90°．∴DE⊥OD．∴DE与⊙O相切．（3）如图2，连接CF，CN，∵OA⊥CD于M，∴M是CD中点．∴NC=ND．∵∠CDF=45°，∴∠NCD=∠NDC=45°．∴∠CND=90°．∴∠CNF=90°．由（1）可知∠AOD=60°．∴．在Rt△CDE中，∠E=90°，∠ECD=30°，DE=3，∴．在Rt△CND中，∠CND=90°，∠CDN=45°，CD=6，∴．由（1）知∠CAD=2∠OAD=120°，∴∠C FD=180°﹣∠CAD=60°．在Rt△CNF中，∠CNF=90°，∠CFN=60°，，∴．【点评】本题考查圆的综合运用，特别是垂径定理、切线的判定要求较高，同时对于特殊角的三角函数值的运用有所考察，需要学生能具有较强的推理和运算能力．8．（2018•朝阳区二模）AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB 的延长线相交于点D，CA=CD．（1）连接BC，求证：BC=OB；（2）E是中点，连接CE，BE，若BE=2，求CE的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理、切线的性质得到∠ACO=∠DCB，根据CA=CD 得到∠CAD=∠D，证明∠COB=∠CBO，根据等角对等边证明；（2）连接AE，过点B作BF⊥CE于点F，根据勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：连接OC．∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵CD为⊙O切线∴∠OCD=90°，∴∠ACO=∠DCB=90°﹣∠OCB，∵CA=CD，∴∠CAD=∠D．∴∠COB=∠CBO．∴OC=BC．∴OB=BC；（2）解：连接AE，过点B作BF⊥CE于点F．∵E是AB中点，∴=，∴AE=BE=2．∵AB为⊙O直径，∴∠AEB=90°．∴∠ECB=∠BAE=45°，．∴．∴CF=BF=1．∴．∴．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9．（2018•苏州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB 相交于点G，连接OC．（1）求证：CD=CE；（2）若AE=GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．【分析】（1）连接AC，根据切线的性质和已知得：AD∥OC，得∠DAC=∠ACO，根据AAS证明△CDA≌△CEA（AAS），可得结论；（2）介绍两种证法：证法一：根据△CDA≌△CEA，得∠DCA=∠ECA，由等腰三角形三线合一得：∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，在直角三角形中得：∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，可得结论；证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，根据平角的定义得：∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，则3x+3x+2x=180，可得结论．【解答】证明：（1）连接AC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴∠DCO=∠D=90°，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，∵OC=OA，∴∠CAO=∠ACO，∴∠DAC=∠CAO，∵CE⊥AB，∴∠CEA=90°，在△CDA和△CEA中，∵，∴△CDA≌△CEA（AAS），∴CD=CE；（2）证法一：连接BC，∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA=∠ECA，∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠ECA=∠ECG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE⊥AB，∴∠ACE=∠B，∵∠B=∠F，∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，∵∠D=90°，∴∠DCF+∠F=90°，∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，∴∠AOC=2∠F=45°，∴△CEO是等腰直角三角形；证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，∵AD∥OC，∴∠OAF=∠AOC=2x，∴∠CGA=∠OAF+∠F=3x，∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA，∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA，∴∠DAC=∠EAC=∠CGA=3x，∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，∴3x+3x+2x=180，x=22.5°，∴∠AOC=2x=45°，∴△CEO是等腰直角三角形．【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，本题相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用．10．（2017•黄石）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC 的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为⊙O的切线．【分析】（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DBE=∠DEB；（2）欲证明直线CF为⊙O的切线，只要证明BC⊥CF即可；【解答】（1）证明：∵E是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．（2）连接CD．∵DA平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∴=，∴BD=CD，∵BD=DF，∴CD=DB=DF，∴∠BCF=90°，∴BC⊥CF，∴CF是⊙O的切线．【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．11．（2018•长沙）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE ∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．【分析】（1）证明AD为△BCE的中位线得到CE=2AD=6；（2）通过证明AC=AE得到AB=AC；（3）如图，连接BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出AB=5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt△PBD中利用勾股定理得到（R﹣3）2+42=R2，解得R=，则PD=，再利用面积法求出r=，即QD=，然后计算PD+QD即可．【解答】（1）解：∵AD是边BC上的中线，∴BD=CD，∵CE∥AD，∴AD为△BCE的中位线，∴CE=2AD=6；（2）证明：∵CE∥AD，∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，而∠BAD=∠CAD，∴∠ACE=∠E，∴AE=AC，而AB=AE，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形．（3）如图，连接BP、BQ、CQ，在Rt△ABD中，AB==5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R=，∴PD=PA﹣AD=﹣3=，∵S△ABQ +S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，∴•r•5+•r•8+•r•5=•3•8，解得r=，即QD=，∴PQ=PD+QD=+=．答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．-----精心整理，希望对您有所帮助!。

初中数学圆中切线的判定与性质综合应用专项练习题3（附答案详解）1．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．⑴求证：BE是⊙O的切线；⑵若BC=3，AC=5，求圆的直径AD的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径长为5，BF=2，求EF的长．⊥，垂足为点,E DA 3．如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AE CD∠．平分BDE（1）AE是O的切线吗？请说明理由；AE=求BC的长．（2）若4,4．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；（3）试探究线段AG 、AD 、CD 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．5．如图，A 是半径为12cm 的O 上的定点，动点P 从A 出发，以2πcm/s 的速度沿圆周逆时针运动，当点P 回到A 地立即停止运动．（1）如果90POA ∠=，求点P 运动的时间；（2）如果点P 是OA 延长线上的一点，AB OA =，那么当点P 运动的时间为2s 时，判断直线OA 与O 的位置关系，并说明理由．6．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2=CD•CA ，弦ED=弦BD ，BE 交AC 于F.(1)求证：BC 为⊙O 切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC=15，CD=9，求tan ∠ADE 的值.7．如图，AB 是⊙O 的直径， BC 交⊙O 于点D ，E 是BD 的中点，连接AE 交BC 于点F ，∠ACB =2∠EAB ．（1）判断直线AC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若3cos4C=，8AC=，求BF的长．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：D E是⊙O的切线；（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．∠ABC的平分线交AC于点O，以点O为圆心，OC为半径．在△ABC同侧作半圆O．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若AB＝5，AC＝4，求⊙O的半径．10．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE．（1）求证：直线PQ为⊙O的切线；（2）若直径AB的长为4．①当PE＝时，四边形BOPQ为正方形；②当PE＝时，四边形AEOP为菱形．11．如图，在三角形ABC中，AB＝10，AC＝BC＝13，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF⊥AC，于点F，交CB的延长线于点E．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求cos∠ADF的值．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径长．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠A＝43，点O是线段AC上一动点（不与点A，点C重合），以OC为半径的⊙O与线段BC的另一个交点为D，作DE⊥AB于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当⊙O与AB相切于点F时，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，连接OB交DE于点M，点G在线段EF上，连接GO．若∠GOM ＝45°，求DM和FG的长．14．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE=CB，∠BCD=∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：CE=CF；（3）若BD=1，CD=2，求弦AC的长．15．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①或②；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)求证：2=⋅；AD AB AF(3)若BE=8，sinB=513，求AD的长，17．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．18．已知：如图，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC＝∠ODB．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当AB＝10，BC＝8时，求BD的长．19．如图，在O中，AB为直径，点C、D都在O上，且BD平分ABC∠，过点D作DE BC⊥，交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是O的切线；（2）若3BC =，1CE =，求O 的直径．20．如图，在三角形ABC 中，10AB =，13AC BC ==，以BC 为直径作O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，直线DF AC ⊥于点F ，交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）求cos ADF ∠的值．21．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，过点B 作直线EF ∥AC ，又知∠ACB ＝∠BDC ＝60°，AC ＝3cm ．（1）请探究EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）求⊙O 的周长．22．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 外，∠ABC 的平分线与⊙O 交于点D ，∠C ＝90°．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若∠CDB ＝60°，AB ＝18，求AD 的长．23．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，作BAC ∠的角平分线交BC 于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作圆．（1）依据题意补充完整图形；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：O与直线AC相切；（3）在（2）的条件下，若O与直线AC相切的切点为D，O与BC相交于点F，连接BD，DF；其中CD23=，2CF=，求AB的长．24．如图，在△ABC中，AB = BC，以BC为直径作⊙ O交AC于点E，过点E作AB 的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G．（1）求证： EG是⊙O的切线；（2）若BG=OB，AC=6，求BF的长．25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交€€⊙O于点E．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）求证：PC=PF；（3）若AC=8，tan∠ABC=43，求线段BE的长．26．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF 的长．27．如图①，已知点C 是以AB 为直径的圆O 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 是BD 的中点，连接CE ．（1）求证：CE 是圆O 的切线；（2）如图②，CF AB ⊥，垂足为F ，若O 的半径为3，4BE =，求CF 的长； （3）如图③，连接AE 交CF 于点H ，求证：点H 是CF 的中点．28．定义：当点P 在射线OA 上时，把OP OA 的的值叫做点P 在射线OA 上的射影值；当点P 不在射线OA 上时，把射线OA 上与点P 最近点的射影值，叫做点P 在射线OA 上的射影值．例如：如图1，△OAB 三个顶点均在格点上，BP 是OA 边上的高，则点P 和点B 在射线OA 上的射影值均为OP OA ＝13．（1）在△OAB 中，①点B 在射线OA 上的射影值小于1时，则△OAB 是锐角三角形；②点B 在射线OA 上的射影值等于1时，则△OAB 是直角三角形；③点B 在射线OA 上的射影值大于1时，则△OAB 是钝角三角形． 其中真命题有 ．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③（2）已知：点C 是射线OA 上一点，CA ＝OA ＝1，以〇为圆心，OA 为半径画圆，点B 是⊙O 上任意点．①如图2，若点B 在射线OA 上的射影值为12．求证：直线BC 是⊙O 的切线； ②如图3，已知D 为线段BC 的中点，设点D 在射线OA 上的射影值为x ，点D 在射线OB 上的射影值为y ，直接写出y 与x 之间的函数关系式为 ．29．如图，ABC ∆内接于O ，BC 是O 的直径，弦AF 交BC 于点E ，延长BC 到点D ，连接OA ， AD ，使得FAC AOD ∠=∠，D BAF ∠=∠（1）求证：AD 是O 的切线； （2）若O 的半径为5，2CE =，求EF 的长.参考答案1．（1）详见解析；（2）6【解析】【分析】（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再结合∠EBD=∠CAB从而得到∠BAD=∠EBD，最后用直径所对的圆周角为直角即可；（2）利用三角形的中位线先求出OM，再用勾股定理求出半径r，最后得到直径的长．【详解】解：⑴证明：连接OB,CD,OB、CD交于点M∵BC=BD，∴∠CAB=∠BAD.∵OA=OB,∴∠BAD=∠OBA.∴∠CAB=∠OBA.∴OB∥AC.又AD是直径,∴∠ABD=∠ACD =90°，又∠EBD=∠CAB, ∠CAB=∠OBA.∴∠OBE=90°，即OB⊥BE.又OB是半径,∴BE是⊙O的切线．⑵∵ OB∥AC, OA=OD,AC=5,.∴ OM=2.5 ,BM=OB-2.5,OB⊥CD设⊙O的半径为r，则在Rt△OMD中：MD2=r2-2.52;在Rt△BMD中：MD2=BD2-(r-2.5)2 ,BD=BC=3.∴r1=3 ,r2=-0.5(舍).∴圆的直径AD的长是6．【点睛】此题是切线的判定，主要考查了圆周角的性质，切线的判定，勾股定理等，解本题的关键是作出辅助线．2．（1）证明见解析；（2）EF10【解析】【分析】（1）连接OE，易得∠ADB=90°，证明∠BOE=∠A，联立∠C=∠ABD可求证．（2）连接BE，根据同弧所对的圆周角先证明△BEF∽△BOE，根据相似三角形的性质求出EF的长度．【详解】解：（1）连接OE，∵AB是o的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠ABD=90°，由图可知∠BOE=2∠BDE又∵∠A=2∠BDE∴∠A=∠BOE∵∠C=∠ABD∴∠BOE+∠C=90°∴OE⊥EC∴CE是⊙O的切线．（2）连接BE，有图可知∠BED=∠A=∠BOE，∴△BEF∽△BOE∴BE BF EF BO BE OE==∵OB=OE=5,BF=2∴BE=EF∴EF2=OE·BF=1010故答案为：（1）证明见解析；（2）EF10=【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定及性质，解题的关键在于合理作出辅助线转化求解．3．（1）AE是O的切线，理由见解析；（2）8．【解析】【分析】（1）连接AO，由AO=DO，得∠OAD=∠ODA，由DA平分∠BDE，得∠ADE=∠ODA，则∠ADE=∠OAD，证明AO∥ED，得OA⊥AE；（2）延长AO交BC于点F，由∠C=∠FAE=∠AEC=90°，可证四边形AECF为矩形，则CF=AE=4，由垂径定理得BF=FC=4．【详解】()1AE是O的切线．连接AO，OA OD=，,OAD ODA∴∠=∠ADE ADB∠=∠，OAD ADE∴∠=∠//AO CE∴AE CD⊥AE AO∴⊥AE∴是O的切线．()2延长AO交BC于点F．∵BD是⊙O的直径，∴∠C=90°．∴∠C=∠FAE=∠AEC=90°．∴四边形AECF为矩形，CF=AE=4．∵AF⊥BC，且AF过圆心，∴BC=2CF=8．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理的运用．关键是连接AO并延长，证明直角和矩形．4．（1）证明见解析；（2）52；（3）AG=AD+2CD．【解析】【分析】（1）连接EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；（2）连接FD，设⊙F的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（3）作FR⊥AD于R，得到四边形RCEF是矩形，得到EF=RC=RD+CD，根据垂径定理解答即可．【详解】（1）证明：连接EF，∵AE平分∠BAC，∴∠FAE=∠CAE，∵FA=FE，∴∠FAE=∠FEA，∴∠FEA=∠EAC，∴FE∥AC，∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切线；（2）解：连接FD，设⊙F的半径为r，则r2=（r﹣1）2+22，解得，r=52，即⊙F的半径为52；（3）解：AG=AD+2CD．证明：作FR⊥AD于R，则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，∴四边形RCEF是矩形，∴EF=RC=RD+CD，∵FR⊥AD，∴AR=RD，∴EF=RD+CD=12AD+CD，∴AG=2FE=AD+2CD．考点：圆的综合题；探究型．5．（1）3s或9s（2）直线BP与O相切，理由见解析【解析】【分析】（1）当∠POA=90°时，点P运动的路程为⊙O周长的14或34，所以分两种情况进行分析；（2）直线BP与⊙O的位置关系是相切，根据已知可证得OP⊥BP，即直线BP与⊙O相切．【详解】解：（1）当∠POA=90°时，根据弧长公式可知点P运动的路程为⊙O周长的14或34，设点P运动的时间为ts；当点P运动的路程为⊙O周长的14时，2π•t=14•2π•12，解得t=3；当点P运动的路程为⊙O周长的34时，2π•t=34•2π•12，解得t=9；∴当∠POA=90°时，点P运动的时间为3s或9s．（2）如图，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切理由如下：当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm，连接OP，PA；∵半径AO=12cm，∴⊙O的周长为24πcm，∴AP的长为⊙O周长的16，∴∠POA=60°；∵OP=OA，∴△OAP是等边三角形，∴OP=OA=AP，∠OAP=60°；∵AB=OA，∴AP=AB，∵∠OAP=∠APB+∠B，∴∠APB=∠B=30°，∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，∴OP⊥BP，∴直线BP与⊙O相切．【点睛】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．6．（1）证明见解析；（2）△BCF为等腰三角形．证明见解析；（3）7 24【解析】【分析】（1）由BC2=CD•CA，根据三角形相似的判定得到△CBD∽△CAB，根据三角形相似的性质得到∠CBD=∠BAC，而AB为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得∠ADB=90°，易证得∠ABD+∠CBD=90°，根据切线的判定即可得到答案；（2）由DE BD，根据圆周角定理得∠DAE=∠BAC，由（1）得∠BAC=∠CBD，则∠CBD=∠DAE，根据同弧所对的圆周角相等得∠DAE=∠DBF，所以∠DBF=∠CBD，而∠BDF=90°，根据等腰三角形三线的判定即可得到△BCF为等腰三角形；（3）由BC2=CD•CA，BC=15，CD=9，可计算出CA=25，根据等腰三角形的性质有BF=BC=15，DF=DC=9，利用勾股定理计算出BD=12，得到AF=7，再根据等积可求出AE=71228 155⨯=，然后利用Rt△AEF∽Rt△BDF，通过相似比可计算出EF，则可得到BE，而∠ADE=∠ABE，最后利用三角函数的性质可计算出tan∠ADE的值．【详解】（1）证明：∵BC2=CD•CA，∴BC：CA=CD：BC，∵∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴∠CBD=∠BAC，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠BAC+∠ABD=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°，即AB⊥BC，∴BC为⊙O切线；（2）△BCF为等腰三角形．证明如下：∵DE BD=，∴∠DAE=∠BAC，又∵△CBD∽△CAB，∴∠BAC=∠CBD，∴∠CBD=∠DAE，∵∠DAE=∠DBF，∴∠DBF=∠CBD，∵∠BDF=90°，∴∠DBC=∠BDF=90°∵BD=BD∴△BDF≌△BDC∴BF=BC∴△BCF 为等腰三角形；（3）解：∵BC 2=CD•CA ，BC=15，CD=9，∴CA=25，BF=BC=15，DF=DC=9，∴=12，∴AF=25-18=7，∴S △ABF =12•AE•BF=12•AF•BD ， ∴AE=71228155⨯=， 易证Rt △AEF ∽Rt △BDF ，∴EF ：DF=AF ：BF ，即EF ：9=7：15，∴EF=215， ∴BE=15+215=965， ∵∠ADE=∠ABE ，∴tan ∠ADE=tan ∠ABE 287596245=． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以及三角形相似的判定与性质． 7．（1）AC 是⊙O 的切线，见解析；（2）83BF =【解析】【分析】（1）首先证明∠ACB =∠BAD ，然后根据圆周角定理的推论得出∠ACB +∠CAD=90°，则有∠BAD+∠CAD=90°，所以BA ⊥AC ，则可证明AC 是⊙O 的切线；（2）过点F 做FH ⊥AB 于点H ．首先通过角平分线的性质得出FH=FD ，且FH ∥AC ，然后利用锐角三角函数求出CD,BD 的长度，然后设 DF=x ，则FH=x ，143BF x =-，最后利用3cos 4FH BFH BF ∠==建立关于x 的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）AC是⊙O的切线理由:如图，连接AD．∵ E是BD中点，∴BE DE=．∴∠DAE=∠EAB．∵∠ACB =2∠EAB，∴∠ACB =∠BAD．∵ AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠ACB +∠CAD=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°．即BA⊥AC．∴ AC是⊙O的切线．（2）解：如图，过点F做FH⊥AB于点H．∵ AD⊥BD，FH⊥AB，∠DAE=∠EAB，∴ FH=FD，且FH∥AC．在Rt△ADC中，∵3cos4C=，8AC=，∴ CD=6．同理，在Rt△BAC中，可求得32 3BC=．∴143BD=．设DF=x，则FH=x，143BF x=-．∵ FH∥AC，∴∠BFH=∠ACB．∴3cos4FHBFHBF∠==．即31443xx=-．解得x=2，经检验，x=2是原分式方程的解，∴83BF=．【点睛】本题主要考查切线的判定及性质，圆周角定理的推论，解直角三角形，掌握切线的判定及性质，圆周角定理的推论，锐角三角函数，分式方程的解法是解题的关键．8．（1）证明见解析；（2）6．【解析】试题分析：（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC 的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E 为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为r ，∵∠ODF=90°，∴OD 2+DF 2=OF 2，即r 2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O 的直径为6．考点：切线的判定与性质．9．（1）见解析；（2）⊙O 的半径长是32． 【解析】【分析】（1）过O 作OH ⊥AB 于H ，得到∠BHO=∠BCO=90°，根据角平分线的定义得到∠CBO=∠HBO ，根据全等三角形的性质得到OH=OC ，于是得到AB 与⊙O 相切； （2）求得BC 的长，然后证明BC 是切线，利用切线长定理求得BH 的长，证明△OAH ∽△BAC ，利用相似三角形的性质求解．【详解】（1）证明：如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，∠ACB ＝90°∴∠BHO ＝∠BCO ＝90°，∵BO 平分∠ABC ，∴∠CBO ＝∠HBO ，∵BO ＝BO ，∴△CBO ≌△HBO （AAS ），∴OH ＝OC ，∴AB 与⊙O 相切；（2）解：∵在直角△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，∴BC 2222543,AB AC -=-=∵∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，∴BC 是半圆的切线，又∵AB 与半圆相切，∴BH ＝BC ＝3，AH ＝AB ﹣BH ＝5﹣3＝2．∵AB 是切线，∴OH ⊥AB ，∴∠OHA ＝∠BCA ，又∵∠A ＝∠A ，∴△OAH ∽△BAC ， ∴,OH AH BC AC =即2,34OH = 解得OH ＝32．即⊙O 的半径长是32． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．10．（1）见解析；（2）①2；②【解析】【分析】（1）根据切线的性质得∠OBQ ＝90°，根据平行线的性质得∠APO ＝∠POQ ，∠OAP ＝∠BOQ ，加上∠OPA ＝∠OAP ，则∠POQ ＝∠BOQ ，于是根据“SAS”可判断△BOQ ≌△POQ ，得到∠OPQ ＝∠OBQ ＝90°，根据切线的判定即可得证；（2）①由（1）得到∠OPQ ＝∠OBQ ＝90°，由于OB ＝OP ，所以当∠BOP ＝90°，四边形OPQB 为正方形，此时点C 、点E 与点O 重合，于是PE ＝PO ＝2；②根据菱形的判定，当OC ＝AC ，PC ＝EC ，四边形AEOP 为菱形，则OC ＝12OA ＝1，然后利用勾股定理计算出PC ，从而得到PE 的长．【详解】（1）证明：∵OQ ∥AP ，∴∠BOQ ＝∠OAP ，∠POQ ＝∠APO ，又∵OP ＝OA ，∴∠APO ＝∠OAP ，∴∠POQ ＝∠BOQ ，在△BOQ 与△POQ 中，=OB OP BOQ POQ OQ OQ =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△BOQ ≌△POQ （SAS ），∴∠OPQ ＝∠OBQ ＝90°，∵点P 在⊙O 上，∴PQ 是⊙O 的切线；（2）解：①∵∠OBQ ＝∠OPQ ＝90°，∴当∠BOP ＝90°，四边形OPQB 为矩形，而OB ＝OP ，则四边形OPQB 为正方形，此时点C 、点E 与点O 重合，PE ＝PO ＝12AB ＝2； ②∵PE ⊥AB ，∴当OC ＝AC ，PC ＝EC ，四边形AEOP 为菱形，∵OC ＝12OA ＝1，∴PC =，∴PE ＝2PC ＝．故答案为：2；．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质和菱形、正方形的判定方法；综合应用所学知识是解答本题的关键．11．（1）证明见解析；（2）1213【解析】【分析】（1）连接OD 和CD ，根据圆周角定理求出∠BDC＝90°，根据等腰三角形的性质求出AD ＝BD ，根据三角形的中位线求出OD∥AC，求出OD⊥EF，根据切线的判定得出即可；（2）根据余角的性质得到∠ADF＝∠ODC，等量代换得到∠ADF＝∠ODC，根据勾股定理得到CD ＝12，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OD ，CD ，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∵AC＝BC ，AB ＝10，∴AD＝BD ＝5，∵O 为BC 中点，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥EF，∵OD 过O ，∴直线DF 是⊙O 的切线；（2）∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ODF＝90°，∴∠ADF＝∠ODC，∴OD＝OC ，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADF＝∠ODC，∵BD＝5，BC ＝13，∴CD＝12，∴cos ADF ∠＝cos BCD ∠＝1213CD BC =．【点睛】本题考查了切线的判定，求一个角的三角函数值，（1）要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可；（2）求一个角的三角函数值，要把这个角放入直角三角形中或作垂直，也可以根据等角的三角函数值相等进行转化． 12．（1）见解析；（2）1【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ADO＝30°，求出∠DOB＝60°，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可；(2)根据直角三角形的性质得到OD＝12OB，于是得到结论．【详解】(1)证明：连接OD，∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，∴∠A＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝2∠A＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；(2)解：∵∠ODB＝90°，∠DBC＝30°，∴OD＝12 OB，∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半径OD的长为1．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，掌握等腰三角形的性质以及圆切线的判定是解题的关键．13．（1）见解析；（2）r＝409；（3）DM＝8027，FG=89【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形判断出∠ABC＝∠ACB，进而得到OD∥AB即可得到求证；（2）连接OF，根据切线得到△AOF是直角三角形，根据tan∠A＝43，设半径OF=OC=r,则可表示出AF=34r，AO=10-r，勾股定理求出半径即可得到结果；（3）现根据题意证出ODEF是正方形，求出BE,再根据△BEM∽△ODM，即可得到MD；在EF延长线上截取FT＝DM，证明出OT=OM，再证明△OGT≌△OGM，则GM＝GT＝GF＋FT＝GF＋DM，设出GF＝a，根据勾股定理求解即可．【详解】解：（1）证明：连接OD∵OC，OD均为⊙O的半径，∴OC＝OD，∴∠DCO＝∠CDO又∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∴∠ABC＝∠CDO，∴OD∥AB∵DE⊥AB，∴DE⊥OD∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接OF，设⊙O的半径为r，则OF＝r，OC＝r∵⊙O与AB相切于点F，∴AB⊥OF，∴∠OF A＝90°，在Rt△AOF中，∠OF A＝90°，OF＝r，tan∠A＝4 3∴AF＝34r，∴AO＝5 4 r又∵AO＝AC－OC＝10－r，∴54r＝10－r∴ r＝409．（3）由（2）知r＝409，∴AF＝34r＝103∵∠ODE＝∠DEF＝∠OFE＝90°，∴四边形ODEF是矩形∵OF＝OD，∴矩形ODEF是正方形，∴DE＝EF＝OF＝40 9∴BE＝AB－AF－EF＝10－103-409＝209∵∠BME＝∠OMD，∠BEM＝∠ODM＝90°∴△BEM∽△ODM，∴EM BE DM OD即409DMDM＝209409，解得DM＝8027在EF延长线上截取FT＝DM∵四边形ODEF是正方形，∴∠OFT＝∠ODM＝90°，OF＝OD ∴△OFT≌△ODM，∴∠2＝∠1，OT＝OM∵∠DOF＝90°，∠GOM＝45°，∴∠GOF＋∠1＝45°，∴∠GOF＋∠2＝45°即∠GOT＝45°，∴∠GOT＝∠GOM又OG＝OG，∴△OGT≌△OGM，∴GM＝GT＝GF＋FT＝GF＋DM设GF＝a，则EG＝409－a，GM＝8027＋a，且EM＝DE－DM＝409－8027＝4027在Rt△EMG中，EM2＋EG2＝GM2，即(4027)2＋(409－a)2＝(8027＋a)2，解得a＝89∴FG的长为89．【点睛】此题考查圆与特殊四边形的知识：切线的判定及性质，特殊四边形的证明，勾股定理等，难度较大，需要做辅助线．14．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）连接OC，可证得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即结论得证；（2）证明△ABC≌△AFC可得CB=CF，又CB=CE，则CE=CF；（3）证明△DCB∽△DAC，可求出DA的长，求出AB长，设BC=a，AC=2a，则由勾股定理可得AC的长．【详解】解：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ABC=90°，∵CE=CB，∴∠CAE=∠CAB，∵∠BCD=∠CAE，∴∠CAB=∠BCD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB+∠BCD=90°，∴∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠BAC=∠CAE，∠ACB=∠ACF=90°，AC=AC，∴△ABC≌△AFC（ASA），∴CB=CF，又∵CB=CE，∴CE=CF；（3）∵∠BCD=∠CAD，∠ADC=∠CDB，∴△DCB ∽△DAC ， ∴CD AD AC BD CD BC==，∴1=， ∴DA =2，∴AB =AD ﹣BD =2﹣1=1，设BC =a ，AC a ，由勾股定理可得：222)1a +=，解得：a =3，∴3AC =. 【点睛】本题主要考查了切线的判刑、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，学会添加辅助线和灵活运用所学知识是解题的关键.15．（1）①OA ⊥EF ；②∠FAC=∠B ；（2）见解析；（3）见解析．【解析】【分析】(1) 添加条件是:①OA ⊥EF 或∠FAC=∠B 根据切线的判定和圆周角定理推出即可．(2) 作直径AM,连接CM ，推出∠M=∠B=∠EAC ，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．(3)由同圆的半径相等得到OA=OB ，所以点O 在AB 的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B ，∠ BAC=∠FAC ，等量代换得到∠BAC=∠B ，所以点C 在AB 的垂直平分线上，得到OC 垂直平分AB ．【详解】（1）①OA ⊥EF ②∠FAC=∠B ，理由是：①∵OA ⊥EF ，OA 是半径，∴EF 是⊙O 切线，②∵AB 是⊙0直径，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠FAC=∠B，∴∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半径，∴EF是⊙O切线，故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，（2）作直径AM，连接CM，即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠FAC=∠B，∴∠FAC=∠M，∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM=90°，∴∠CAM+∠M=90°，∴∠FAC+∠CAM=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．（3）∵OA=OB，∴点O在AB的垂直平分线上，∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，∴∠BAC=∠B，∴点C在AB的垂直平分线上，∴OC垂直平分AB，∴OC⊥AB．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．16．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）AD13【解析】【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；（2）连接DF，证明△ABD∽△ADF，，由相似三角形的性质即可证得结论；（3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF=sinB，进而求出AF的长，再根据（2）的结论即可求得AD的长．【详解】（1）如图，连接OD，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，∴OD⊥BC，∴BC为圆O的切线；（2）连接DF，由（1）知BC为圆O的切线，∴∠FDC=∠DAF，∴∠CDA=∠CFD，∴∠AFD=∠ADB，∵∠BAD=∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴AB AD AD AF=，即AD2=AB•AF；(3)连接EF，在Rt△BOD中，sinB=513 ODOB=，设圆的半径为r，可得5813 rr=+，解得：r=5，∴AE=10，AB=18，∵AE是直径，∴∠AFE=∠C=90°，∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∴sin∠AEF=513 AFAE=，∴AF=AE•sin∠AEF=10×513=50 13，∵AD2=AB•AF∴5013181313AB AF⋅=⨯=．【点睛】本题是圆的综合题，考查的知识点有切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．17．（1）详见解析；（2）4【解析】【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠EBC＝∠OEB，然后得出OE∥BC，则有∠OEA＝∠ACB=90°，则结论可证．（2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，首先证明四边形OHCE是矩形，则有 ，然后利用等腰三角形的性质求出BH的长度，再利用勾股定理即可求出OH的OH CE长度，则答案可求．【详解】（1）证明：连接OE．∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB．∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠EBC，∴∠EBC＝∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝90°∴AC是⊙O的切线；（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，∵OH ⊥BF ，90OHC ∴=︒ ．90OHC ACB OEC =∠=∠=︒∴四边形OECH 为矩形，∴OH ＝CE ．∵,OB OF OH BF =⊥，BF ＝6，∴BH ＝3．在Rt △BHO 中，OB ＝5，∴OH 2253-4，∴CE ＝4．【点睛】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键．18．（1）见解析；（2）203【解析】【分析】（1）从切线的判定为目标，来求BD ⊥AB ，连接AC 通过相似来证得；（2）通过已知条件和第一步求得的三角形相似求得BD 的长度．【详解】（1）证明：连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB ＝90°又∵OD ⊥BC∴AC∥OE∴∠CAB＝∠EOB由AC对的圆周角相等∴∠AEC＝∠ABC又∵∠AEC＝∠ODB∴∠ODB＝∠OBC∴△DBF∽△OBD∴∠OBD＝90°即BD⊥AB又∵AB是直径∴BD是⊙O的切线．（2）∵OD⊥弦BC于点F，且点O圆心，∴BF＝FC∴BF＝4由题意OB是半径即为5∴在直角三角形OBF中OF为3由以上（1）得到△DBF∽△OBD∴BD OB BF OF=即得BD＝203．【点睛】本题考查了切线的判定及其应用，通过三角形相似求得，本题思路很好，是一道不错的题．19．（1）见解析；（232【解析】【分析】（1）连接OD ，证//OD BC ，则OD DE ⊥，即可证明DE 是O 的切线；（2）连AD 、CD ，作DF AB ⊥，证明Rt Rt BDF BDE ∆∆≌，Rt Rt ADF CDE ∆∆≌，从而求出AB 长，即为O 直径. 【详解】解：（1）连OD ，∵OB OD =，∴ODB OBD ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴OBD CBD ∠=∠，∴ODB CBD ∠=∠，∴//OD BC ，∵DE BC ⊥，∴90E ∠=︒，∴90ODE ∠=︒，即OD DE ⊥，∴DE 是O 的切线；（2）连AD 、CD ，作DF AB ⊥，∵在O 中，ABD CBD ∠=∠，∴AD CD =，又∵OD DE ⊥，DF AB ⊥，∴DE DF =，在Rt △BDE 和Rt △BDF 中BD=BD DE=DF ⎧⎨⎩∴Rt Rt BDF BDE ∆∆≌（HL ），在Rt △ADF 和Rt △CDE 中AD=DC DF=DE ⎧⎨⎩∴Rt Rt ADF CDE ∆∆≌（HL ），∴1BF BE ==，1AF CE ==，∴32AB =+，即O 的直径为32+．【点睛】本题是对圆知识的综合考查，熟练掌握圆的性质定理是解决本题的关键.20．（1）证明见解析；（2）12cos 13ADF ∠=． 【解析】【分析】(1)连接OD 和CD ，根据圆周角定理求出∠BDC=90°，根据等腰三角形的性质求出AD=BD ，根据三角形的中位线求出OD ∥AC ，求出OD ⊥EF ，根据切线的判定得出即可；(2)根据余角的性质得到∠ADF=∠ODC ，等量代换得到∠ADF=∠OCD ，根据勾股定理得到CD=12，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：如图，连接OD ，CD ，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BDC=90°（直径所对的圆周角是90°），即CD ⊥AB ，∵AC=BC ，AB=10，∴AD=BD=5，∵O 为BC 中点，∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC=90°，∴∠FDO=180°-90°=90°（两直线平行，同旁内角互补），∴OD ⊥EF ，又∵OD 过圆心O 点，∴直线DF 是⊙O 的切线；（2）∵∠ADC=∠BDC=90°，∠ODF=90°，∴∠ADF=∠ODC ，又∵OD=OC ，∴∠ODC=∠OCD ，∴∠ADF=∠OCD （等量替换），∵BD=5，BC=13，∴（勾股定理），12cos cos 13ADF BCD ∠=∠=； 【点睛】 本题主要考查了切线的判断、等腰三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理、勾股定理的知识点，能综合运用知识点进行求解是解题的关键．21．（1）EF 与⊙O 相切．理由见解析；（2）⊙O 的周长为2πcm ．【解析】【分析】（1）延长BO 交AC 于H ，如图，先证明△ABC 为等边三角形，利用点O 为△ABC 的外心得到BH ⊥AC ，由于AC ∥EF ，所以BH ⊥EF ，于是根据切线的判定定理即可得到EF 为⊙O 的切线；（2）连结OA ，如图，根据等边三角形的性质得∠OAH ＝30°，AH ＝CH ＝12AC ＝2，再在Rt △AOH 中，利用三角函数和计算出OA ＝1，然后根据圆的周长公式计算．【详解】（1）EF 与⊙O 相切．理由如下：延长BO 交AC 于H ，如图，∵∠BAC ＝∠BDC ＝60°，而∠ACB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∵点O 为△ABC 的外心，∴BH ⊥AC ，∵AC ∥EF ，∴BH ⊥EF ，∴EF 为⊙O 的切线；（2）连结OA ，如图，∵△ABC 为等边三角形，∴OA 平分∠ABC ，∴∠OAH ＝30°，∵OH ⊥AC ，∴AH ＝CH ＝12AC 在Rt △AOH 中，∵cos ∠OAH ＝AH OA，∴OA 1， ∴⊙O 的周长＝2π×1＝2π（cm ）．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的判定与性质．22．（1）见解析；（2）3π．【解析】【分析】（1）连接OD，求出OD//BC，求出OD⊥DC，根据切线的判定得出即可；（2）求出∠CBD=30°，求出∠AOD=∠ABC=60°，求出半径OA，根据弧长公式求出即可．【详解】（1）连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠OBD，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD//BC，∴∠C+∠ODC＝180°，∵∠C＝90°．∴∠ODC＝90°，即OD⊥DC，∵OD过O，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠CDB＝60°，∠C＝90°，∴∠CBD＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，∵OD//BC，∴∠AOD＝∠ABC＝60°，∵直径AB＝18，∴半径OA＝9，∴弧AD的长是609180π⨯＝3π．【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧长公式等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）AB=【解析】【分析】（1）根据尺规作图的规则作图即可．（2）根据角平分线证明边和角，再根据切线长定理求证即可．（3）先在（2）的前提下，根据三角形相似，求出圆的半径，再根据△ODC∽△ABC求出AB即可．【详解】（1）作图如下：（2）证明：过点O 作OD ⊥AC ，垂足为D ．∵∠ABC=90°，∴OB ⊥AB ，∵AO 平分∠BAC 且OB ⊥AB ，OD ⊥AC ，∴OB=OD ，∴⊙O 与直线AC 相切．（2）由（1）可知，∠ODC=90°，∵BF 为直径∴∠BDF=90°，∴∠ODC=∠BDF ，∴∠BDO=∠CDF ，∵OB=OD ，∴∠BDO=∠DBO ，∴CDF=∠DBO ，且∠DCF=∠BCD ，∴△DCF ∽△BCD ，∴2CD CF BC =⋅，∵CD23=，CF=2，∴BC=6，∴OB=OF=2，∴OC=4，OD=2，∵△ODC∽△ABC，∴OD CDAB BC=，OD=2，CD23=∴23AB=．【点睛】此题考查尺规作图的方法，切线长定理及三角形相似，知识面较广，难度较难．24．（1）见解析；（2）3【解析】【分析】（1）由AB=BC，可得△ABC是等腰三角形，且BE⊥AC可得AE=CE，根据中位线定理可得OE∥AB，且AB⊥EG可得OE⊥EG，即可证EG是⊙O的切线（2）易证得△OBE是等边三角形，根据三角函数求BE，CE的长，再根据三角形的中位线的性质即可求得BF的长．【详解】（1）如图：连接OE，BE，∵AB=BC，∴∠C=∠A，∵BC是直径，∴∠CEB=90°，且AB=BC，∴CE=AE ，且CO=OB ，∴OE ∥AB ，∵GE ⊥AB ，∴EG ⊥OE ，且OE 是半径，∴EG 是⊙O 的切线；(2) ∵BG = OB ，OE ⊥EG ，∴BE= 12OG=OB=OE ， ∴△OBE 为等边三角形，∴∠CBE = 60°， ∵AC = 6，∴CЕ = 3，BЕ =3tan 60 ，∴∵ОB = BG ，OE//AB ，∴BF= 12 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，解直角三角形等，关键是灵活运用切线的判定解决问题．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）连接OC ，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠DAC=∠OCA ，得到OC ∥AD ，根据平行线的性质得到OC ⊥PD ，根据切线的判定定理证明结论；（2）根据圆周角定理、三角形的外角的性质证明∠PFC=∠PCF ，根据等腰三角形的判定定理证明；（3）连接AE ，根据正切的定义求出BC ，根据勾股定理求出AB ，根据等腰直角三角形的性质计算即可．【详解】。