高中数学必修二知识点、考点及典型例题

4.3.1.1等比数列的概念和通项公式知识点一 等比数列的概念(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q ≠0)表示． (2)符号语言：a n ＋1a n ＝q (q 为常数，n ∈N *)【重点总结】(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．要点二 等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 【重点总结】(1)若G 是a 与b 的等比中项，则G a ＝bG，所以G 2＝ab ，G ＝±ab.(2)与“任意两个实数a ，b 都有唯一的等差中项A ＝a ＋b2”不同，只有当a 、b 同号时a 、b 才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是ab 与－ab ；当a ，b 异号时没有等比中项．(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． 要点三 等比数列的通项公式设等比数列{a n }的公比为q ，则这个等比数列的通项公式是a n ＝11n a q (a 1，q ≠0且n ∈N *)． 【重点总结】(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列． (2)在公式a n ＝a 1q n －1中，有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a 1，q 为两个基本量．(3)对于等比数列{a n }，若q<0，则{a n }中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{a n }各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列为{a n }，且满足a na n －1＝q (n ≥2，q 为不等于0的常数)，则这个数列是等比数列．( )(2)在等比数列{a n }中，若已知任意两项的值，则可以求出首项、公比和数列任一项的值．( ) (3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(4)若一个数列从第二项开始，每一项都是它前后两项的等比中项，则这个数列是等比数列．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）×（4）× 2．(多选题)下列数列不是等比数列的是( )A ．2,22,3×22，… B.1a ，1a 2，1a3，…C ．s －1，(s －1)2，(s －1)3，…D ．0,0,0，… 【答案】ACD【解析】A 中，222≠3×2222，A 不是等比数列；B 中，1a 21a ＝1a 31a 2＝…，B 是等比数列；C 中，当s ＝1时，不是等比数列；当s ≠1时，是等比数列，所以C 不是等比数列；D 显然不是等比数列．故选ACD. 3．已知{a n }是等比数列，a 1＝1，a 4＝22，则a 3＝( ) A ．±2 B ．2 C ．－2 D ．4 【答案】B【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则有1×q 3＝22＝(2)3，∴q ＝2，∴a 3＝a 4q＝2，故选B.4．已知等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________. 【答案】－2n 或(－2)n【解析】∵a 1＝－2，a 3＝－8，∴a 3a 1＝q 2＝－8－2＝4，∴q ＝±2，∴a n ＝(－2)·2n －1或a n ＝(－2)·(－2)n －1，即a n＝－2n 或a n ＝(－2)n .题型一 等比数列通项公式的求法及应用 探究1 基本量的计算 【例1】在等比数列{a n }中 (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .【解析】(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22-53n .(2)方法一：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①得q ＝12，从而a 1＝32.又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6. 方法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32.由a n ＝a 1q n －1＝1，得n ＝6. 【重点小结】 (1)由a 7a 4＝q 3便可求出q ，再求出a 1，则a n ＝a 1·q n －1.(2)两个条件列出关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再由a n ＝1求n ；也可以直接先由q ＝a 3＋a 6a 2＋a 5入手．【方法归纳】等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．探究2 等比数列的实际应用【例2】计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格每年降低13，现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为( )A ．300元B ．900元C ．2 400元D ．3 600元 【答案】C【解析】降低后的价格构成以23为公比的等比数列，则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×⎝⎛⎭⎫233＝2 400(元)． 【方法技巧】关于等比数列模型的实际应用题，先构造等比数列模型，确定a 1和q ，然后用等比数列的知识求解． 【跟踪训练1】(1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q 等于( ) A ．－2 B ．1或－2 C ．1 D ．1或2 【答案】B【解析】a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2q 2＝2q ＋2q 2＝4， 即q 2＋q －2＝0，解得q ＝1或q ＝－2，故选B.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，已知a 1＝6，a 1＋a 2＋a 3＝78，则a 2等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．36 【答案】B【解析】设公比为q ，由已知得6＋6q ＋6q 2＝78， 即q 2＋q －12＝0解得q ＝3或q ＝－4(舍去)． ∴a 2＝6q ＝6×3＝18.故选B.(3)某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的________倍． 【答案】1.259【解析】设这个林场今年的树木总量是m ，第n 年末的树木总量为a n ，则a n ＋1＝a n ＋a n ×25%＝1.25a n . 则a n ＋1a n＝1.25，则数列{a n }是公比q ＝1.25的等比数列． 则a 10＝a 1q 9＝1.259 m.所以a 10a 1＝1.259.题型二 等比中项【例3】已知等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项．【解析】设该等比数列的公比为q ，首项为a 1， 因为a 2－a 5＝42，所以q ≠1，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168a 1q －a 1q 4＝42， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q ＋q 2)＝168a 1q (1－q 3)＝42①②因为1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2)，所以由②除以①，得q (1－q )＝14.所以q ＝12.所以a 1＝4212－⎝⎛⎭⎫124＝96.若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝⎛⎭⎫1210＝9. 所以a 5，a 7的等比中项是±3. 【方法归纳】(1)首项a 1和q 是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法． (2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项． 【跟踪训练2】如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9【答案】B【解析】∵－1，a ，b ，c ，－9成等比数列， ∴a 2＝(－1)×b ，b 2＝(－1)×(－9)＝9 ∴b <0，∴b ＝－3.又b 2＝ac ，∴ac ＝9.故选B.题型三 等比数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．【解析】(1)当n ＝1时，S 1＝13(a 1－1)＝a 1，解得：a 1＝－12，当n ＝2时，S 2＝13(a 2－1)＝a 1＋a 2，解得a 2＝14.(2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．【变式探究1】将本例中条件换为“数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1”，求证：{a n ＋1}成等比数列，并求a n .【解析】由a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2×2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n －1.【变式探究2】将本例中的条件换为“数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1”，求a n . 【解析】令a n ＋1－A ·⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －A ·⎝⎛⎭⎫12n ，则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝⎛⎭⎫12n ＋1. 由已知条件知A3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －3×⎝⎛⎭⎫12n . 又a 1－3×⎝⎛⎭⎫121＝－23≠0， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －3×⎝⎛⎭⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列． 于是a n －3×⎝⎛⎭⎫12n ＝－23×⎝⎛⎭⎫13n －1，故a n ＝3×⎝⎛⎭⎫12n －2×⎝⎛⎭⎫13n . 【方法归纳】判定数列是等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是常数)或a na n －1＝q (q 是常数，n ≥2)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列． 【易错辨析】忽略等比数列各项的符号规律致错【例5】在等比数列{a n }中，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．－27 【答案】B【解析】由等比中项的性质得a 27＝a 5a 9＝81，∴a 7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a 7＝9，故选B. 【易错警示】 1. 出错原因没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得a 7＝±9，错选A. 2. 纠错心得在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题时要小心谨慎，以防上当.一、单选题1．已知等比数列{}n a 中，3a 是1a ，2a 的等差中项，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．12-或1B ．12-C ．12D ．1【答案】A【分析】首先根据题意得到3122a a a =+，从而得到2210q q --=，再解方程即可. 【解析】由题知：3122a a a =+，所以221q q =+，即2210q q --=，解得12q =-或1q =.故选：A2．已知等比数列{}n a 满足2512,4a a ==，则公比q =（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】B 【分析】由352a a q =即可求出．【解析】 352a a q =，即3124q =，解得12q =． 故选：B ．3．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．35【答案】B 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知可得q 和1a ，代入等比数列的求和公式即可 【解析】因为 2312a a a =23114a q a a ==，42a ∴=，3474452224a a a a q +=⨯=+， 所以11,162q a ==，551161231112S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，故选：B.4．《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（ ）个． A ．12 B ．24 C ．36 D ．48【答案】D 【分析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，根据题意，由()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩求解. 【解析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，由题意得：123123453493a a a a a a a a ⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，即()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩， 解得132a q =⎧⎨=⎩，所以45148a a q ==，故选：D5．在等比数列{}n a 中，若1614a a a ⋅⋅为定值，n T 为数列{}n a 的前n 项积，则下列各数为定值的是（ ） A ．11T B ．12TC ．13TD ．14T【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式用1,a q 表示出1614a a a ，然后再分别表示出各选项中的积进行判断． 【解析】设公比为q ，则()35133186161411111a a a a a q a q a q a q =⋅==为定值，即61a q 为定值，(1)112(1)211111n n n n n n n T a a q a qa qa q--+++-=⋅==，11555111111()T a q a q ==，不是定值，1211126621211T a q a q ⎛⎫== ⎪⎝⎭，不是定值，13786131311()T a q a q ==，是定值，1413131414221411()T a q a q ⨯==，不是定值．故选：C ．6．在各项都为正数的数列{}n a 中，首项12,n a S =为数列{}n a 的前n 项和，且()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，则10S =（ ） A ．1022 B ．1024C ．2046D ．2048【答案】C 【分析】当2n ≥时，1n n n a S S -=-，故可以得到()()11220n n n n a a a a --+-=，因为120n n a a -+>，进而得到120n n a a --=，所以{}n a 是等比数列，进而求出102046S = 【解析】由()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，得22140nn a a --=，得()()11220n n n n a a a a --+-=， 又数列{}n a 各项均为正数，且12a =， ∴120n n a a -+>，∴120n n a a --=，即12nn a a -= ∴数列{}n a 是首项12a =，公比2q 的等比数列，其前n 项和()12122212n n nS +-==--，得102046S =，故选：C.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a =-，则202120221S a +=（ ）A ．2B ．1C ．12D ．13【答案】B 【分析】由21n n S a =-，根据n a 与n S 的关系，得出{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【解析】由数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，当1n =时，可得11121a S a ==-，所以11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=， 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以202120212021122112S -==--，202120222a =，所以2021202211S a +=. 故选：B.8．在等比数列{}n a 中，()23122a a a a +=+，则数列{}n a 的公比q =（ ） A ．2 B ．1 C ．1-或1 D ．1-或2【答案】D 【分析】用1,a q 表示出已知等式后可得结论． 【解析】由题意知()()211210a q q a q +-+=，所以()()120q q +-=，所以1q =-或2q.故选：D .二、多选题9．(多选题)已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定成立的是（ ） A ．若30a >，则20210a > B ．若40a >，则20200a > C ．若30a >，则20210S > D ．若30a >，则20210S <【答案】ABC【分析】根据等比数列通项式，前n 项和n S 代入即可得出答案. 【解析】设数列{}n a 的公比为q ，当30a >，则2018202130a a q=>，A 正确； 当40a >，则2016202040a a q=>，B 正确. 又当1q ≠时，()20211202111a q qS -=-，当1q <时，2021202110,10,0q qS ->->∴>，当01q <<时，2021202110,10,0q q S ->->∴>，当1q >时，2021202110,10,0q qS -<-<∴>当1q =时，2021120210S a =>，故C 正确，D 不正确. 故选：ABC10．(多选题)若数列{a n }是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有（ ） A ．{ca n }(c 为常数) B ．{a n ＋a n ＋1}C ．{a n ·a n ＋1)D ．{}3n a【答案】CD 【分析】A. 由c ＝0判断；B.q ＝－1时判断；CD.由等比数列的定义判断. 【解析】当c ＝0时，{ca n }不是等比数列，故A 错误；当数列{a n }的公比q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，故B 错误； 由等比数列的定义，选项CD 中的数列是等比数列，故CD 正确. 故选：CD11．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n T 是{}n a 的前n 项之积，227a =，369127a a a ⋅⋅=，则当n T 最大时，n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】AB【分析】 设等比数列{}n a 的公比为q ，求出q 的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式，解不等式1n a ≥，求出n 的取值范围，即可得解.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则33696127a a a a ⋅⋅==，可得613a =，13q ∴==，所以，225212733n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 令531n n a -=≥，解得5n ≤，故当n T 最大时，4n =或5.故选：AB.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．在等比数列{}n a 中，1521,8,n a a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，若63k S =，则k =________．【答案】6【分析】由1521,8a a a ==，解得2q求解. 【解析】在等比数列{}n a 中，设公比为q ，因为1521,8a a a ==，所以48,0q q q =≠，解得2q， 所以126312kk S -==-，解得6k =， 故答案为：613．在正项等比数列{}n a 中，若13a 、312a 、22a 成等差数列，则2021202020232022a a a a -=-________．【答案】19【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，根据已知条件求出q 的值，再结合等比数列的基本性质可求得结果.【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为13a 、312a 、22a 成等差数列，则31232a a a =+，即211132a q a a q =+， 可得2230q q --=，0q >，解得3q =， 因此，()20212020202120202202320222021202019a a a a a a q a a --==--. 故答案为：19. 14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若241,4n n a S b a a +==，数列{}n a 的通项公式为___________． 【答案】21()2n n a -= 【分析】当1n =时，求得102b a =>，再由n n S a b =-+，得到11(2)n n S a b n --=-+≥， 相减可得120n n a a --=，结合等比数列的通项公式，求得b ，进而求得数列的通项公式.【解析】由题意，正项数列{}n a 满足241,4n n a S b a a +==， 当1n =时，可得1111a S a a b =++=，则102b a =>， 由n n S a b =-+，则11(2,)n n S a b n n N +--=-+≥∈，两式相减可得120n n a a --=，所以1(22)1,n n n n N a a +-≥=∈， 即数列{}n a 为公比为12的等比数列， 所以2416,4b a a b ==，所以2441461a b a b =⨯=，解得4b =， 所以122b a ==，所以数列{}n a 的通项公式为1121112()()22n n n n a a q ---==⨯=.故答案为：21()2n n a -=.四、解答题15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，172n n S a ++=，2211log log n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2022n m T >对所有*n N ∈恒成立，求满足条件m 的最小整数值.【答案】（1）322n n a -= （2）674【分析】（1）利用递推公式，结合前n 项和与第n 项的关系、等比数列的定义进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可.（1）由题意172n n S a ++=，当2n ≥时，172n n S a -+=，两式相减得：17n n n a a a +=-，即：()182n n a a n +=≥，所以2n ≥时，{}n a 为等比数列又因为1n =时，217272216a S =+=⨯+=， 所以218a a =， 所以，对所有*n N ∈，{}n a 是以2为首项，8为公比的等比数列，所以132282n n n a --=⨯=；（2） 由题知：32312212211log log log 2log 2n n n n n b a a -++==⋅⋅ ()()13231n n =-+11133231n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭所以12111111111134473231331n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭所以111202220221674167433131n T n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以满足2022n m T >恒成立的最小m 值为674.16．等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =. （1）求n a 与n b ；（2）求12111nS S S +++. 【答案】（1）33(1)3n a n n =+-=，13n n b -=（2）()231n n + 【分析】（1）由{}n b 的公比22S q b =及2212b S +=可解得3q =，由11b =则n b 可求，又由22S q b =可得29S =，26a =，213d a a =-=，则n a 可求；（2）由（1）可得3(1)2n n n S +=，则122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故由裂项相消法可求12111nS S S +++. （1） 等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =，222212S q b b S ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3q =，13n n b -=. {}n b 各项均为正数，∴3q =，13n n b -=.由23b =，得29S =，26a =，213d a a =-=，∴()3313n a n n =+-=. （2）3(1)3(1)322n n n n n S n -+=+=， 122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，12111211111132231n S S S n n ⎛⎫+++=-+-++- ⎪+⎝⎭ 2121313(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝2a n －5，求证{a n －5}是等比数列．【答案】证明见解析【分析】由a n ＋1－5＝2(a n －5)结合等比数列的定义证明即可.【解析】证明：由a n ＋1＝2a n －5得a n ＋1－5＝2(a n －5)． 又a 1－5＝－1≠0，故数列{a n －5}是首项为－1，公比为2的等比数列．。

第二章平面向量及其应用1从位移、速度、力到向量........................................................................................ - 1 - 2从位移的合成到向量的加减法................................................................................ - 8 - 3从速度的倍数到向量的数乘.................................................................................. - 23 - 4平面向量基本定理及坐标表示.............................................................................. - 35 - 5从力的做功到向量的数量积.................................................................................. - 52 - 6平面向量的应用...................................................................................................... - 67 -1从位移、速度、力到向量学习任务核心素养1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)通过向量的有关概念的学习，培养数学抽象素养．(1)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．(2)民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．民航客机飞行一次，位移变化一次，由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：上述情境涉及哪些物理量？其特点是什么？ 问题2：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？ 问题3：平行向量一定是相等向量吗？ 知识点1 向量的概念数学中，我们把既有大小又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、身高、体积等).两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ [提示] 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 知识点2 向量的表示方法(1)具有方向和长度的线段，叫作有向线段．以A 为起点，B 为终点的有向线段，记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作⎪⎪⎪⎪AB →.(2)向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)，记作|a |.箭头所指的方向表示向量的方向．知识点3 零向量与单位向量(1)长度为0的向量称为零向量，记作0或0→； (2)模等于1个单位长度的向量，叫作单位向量．1.把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是________．[答案] 一条直线 两个点 知识点4 向量的基本关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量，记作a ＝b . (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a 平行于b ，记作a ∥b ；规定零向量与任一向量共线．(3)相反向量：长度相等且方向相反的向量，叫作相反向量，a 的相反向量记作－a ；规定零向量的相反向量是零向量．2.下列说法错误的是( ) A ．若a ＝0，则||a ＝0 B ．零向量是没有方向的C ．零向量与任意向量平行D ．零向量与任意向量垂直B [零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行、垂直，所以B 是错误的．]知识点5 向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，在平面内选一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角；(2)夹角的大小与向量共线、垂直的关系：θ＝0°⇔a 与b 同向；θ＝180°⇔a 与b 反向；θ＝90°⇔a ⊥b ，规定：零向量与任一向量垂直．3.等边△ABC 中，AB→与AC →的夹角是________，AB →与BC →的夹角是________．[答案] 60° 120°类型1 向量的有关概念【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；(2)若AB→＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； (3)在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(4)若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0.[解] (1)当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件，故(1)不正确．(2)AB→＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故(2)不正确． (3)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，(3)正确．(4)零向量的方向是任意的，与任一向量平行，(4)正确．1.向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行．2.熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础．[跟进训练]1．已知O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．平行向量 C ．模相等的向量 D ．起点相同的向量C [⎪⎪⎪⎪AO →＝⎪⎪⎪⎪BO →＝⎪⎪⎪⎪CO →＝r .] 类型2 向量的表示【例2】 (教材北师版P 75例1改编)一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B 地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位置向量．[解] (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →，如图所示． (2)由题意知AD →＝BC →， ∴AD 与BC 平行且相等， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB →＝DC →，∴B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．[跟进训练]2．在如图的方格纸中，画出下列向量．(每个小正方形的边长为1).(1)|OA →|＝4，点A 在点O 正北方向；(2)|OB →|＝22，点B 在点O 东偏南45°方向；(3)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么？ [解] (1)(2)(3)的图象如图所示．(3)c 的终点轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆． 类型3 共线向量与夹角【例3】 (教材北师版P 76例2改编)如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，(1)分别写出图中所示与OA →，OB →，OC →相等的向量； (2)分别求出AB →与OB →，AB →与FE →的夹角的大小．[解] (1)OA →＝CB →＝DO →；OB →＝DC →＝EO →；OC →＝AB →＝ED →＝FO →. (2)AB →与OB →的夹角的大小为60°，AB →与FE →的夹角的大小为60°.1．例3中与OA →模相等的向量有多少？ [解] 由图知与OA →的模相等的向量有23个． 2．例3中向量OA →的相反向量有哪些？[解] 与向量OA →长度相等方向相反的向量有OD →，BC →，FE →，AO →. 3．例3中与向量OA →共线的向量有哪些？[解] 与向量OA →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →. 4．求出例3中AB →与OA →的夹角的大小 [解] AB →与OA →的夹角的大小为120°.判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．[跟进训练]3.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中． (1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量； (3)求AE →与CD →夹角的度数． [解] (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →. (2)DA →，CF →，FC →.(3)因为CD →＝AF →，所以AE →与CD →夹角为∠EAF ＝45°.当堂达标1．下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ③若|a |＞|b |，则a ＞b .A ．0B ．1C ．2D ．3B [①温度没有方向，所以不是向量，故①错；③向量不可以比较大小，故③错；②若a ，b 中有一个为零向量，则a 与b 必共线，故a 与b 不共线，则应均为非零向量，故②对．]2．(多选题)下列说法错误的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝±bB ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量称为相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量ACD [对A ，当|a |＝|b |时，由于a ，b 方向不一定相同，a ＝±b 未必成立，所以A 错误；对B ，零向量的长度是0，正确；对C ，长度相等的向量方向不一定相同，故C 错误；对D ，共线向量不一定在同一条直线上，故D 错误．故选ACD.]3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AD →|＝|AB →|，则这个四边形是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形 D [由AB →＝DC →可知AB ∥DC ，且|AB →|＝|DC →|， 所以四边形ABCD 为平行四边形． 又|AD →|＝|AB →|，所以平行四边形ABCD 为菱形．故选D.]4．设O 是正方形ABCD 的中心，则OA →，BO →，AC →，BD →中，模相等的向量是________．[答案] OA →与BO →，AC →与BD →5.如图所示的菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠DAB ＝60°，则DA →与CA →的夹角为________；DA →与BC →的夹角为________．30° 180° [由图知，DA →与CA →的夹角与∠DAO 是对顶角，又因∠DAB ＝60°，根据菱形的几何性质，知∠DAO ＝30°，故DA →与CA →的夹角为30°，DA →与BC →为相反向量，故DA →与BC →的夹角为180°.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.向量与有向线段有怎样的联系与区别？[提示]用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段还是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关．2.向量的“平行”与平面几何中的“平行”含义是否相同？[提示]共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义．2从位移的合成到向量的加减法2．1向量的加法学习任务核心素养1．掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量．(重点) 2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算．(难点)1．通过向量加法的概念及向量加法法则的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量加法法则的应用，培养数学运算素养．有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力F1，F2的大小分别是|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条牵引力为F3的拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 问题1：上述体现了向量的什么运算？ 问题2：向量加法运算常用什么法则？ 问题3：向量的加法运算结果还是向量吗？ 知识点 向量求和法则及运算律 类别 图示几何意义向量求和的法则三角形法则已知不共线向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，再作向量AC →，则向量AC →叫作a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →平行四边形法则已知不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，再作平行AD →的BC →＝b ，连接DC ，则四边形ABCD 为平行四边形，向量AC →叫作向量a 与b 的和，表示为AC →＝a ＋b向量加法的运算律 交换律 a ＋b ＝b ＋a结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )1.根据图中的平行四边形ABCD ，验证向量加法是否满足交换律．(注：AB →＝a ，AD →＝b )[提示] ∵AC →＝AB →＋BC →，∴AC →＝a ＋b . ∵AC →＝AD →＋DC →，∴AC →＝b ＋a .∴a ＋b ＝b ＋a .2.根据图中的四边形ABCD ，验证向量加法是否满足结合律．(注：AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c )[提示] ∵AD →＝AC →＋CD →＝(AB →＋BC →)＋CD →，∴AD →＝(a ＋b )＋c ， 又∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋(BC →＋CD →)， ∴AD →＝a ＋(b ＋c )， ∴(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)0＋a ＝a ＋0＝a ；( ) (2)AB →＋BC →＝AC →；( ) (3)AB →＋BA →＝0；( )(4)在平行四边形ABCD 中，BA →＋BC →＝BD →；( ) (5)|AB →|＋|BC →|＝|AC →|.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×类型1 向量加法法则的应用【例1】 (教材北师版P 81例1改编)(1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a ＋b ；(2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a ＋b .[解] (1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，再作向量OB →，则OB →＝a ＋b .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，再作平行OB →的AC →＝b ，连接BC ，则四边形OACB 为平行四边形，OC →＝a ＋b .用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．[跟进训练]1．已知向量a ，b ，c ，如图，求作a ＋b ＋c .[解] 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，如图，则由向量加法的三角形法则，得OB →＝a ＋b ，OC →＝a ＋b ＋c .类型2 向量加法及其运算律 【例2】 化简下列各式： (1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →；(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.所给各式均为向量和的形式，因此可利用三角形法则和向量加法的运算律求解．[解] (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →.(2)DB →＋CD →＋BC →＝(DB →＋BC →)＋CD →＝DC →＋CD →＝0或DB →＋CD →＋BC →＝(DB →＋CD →)＋BC →＝(CD →＋DB →)＋BC →＝CB →＋BC →＝0.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.向量运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．[跟进训练]2.如图，在平行四边形ABCD 中(1)AB →＋AD →＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →＝________； (3)AB →＋AD →＋CD →＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →＝________．(1)AC → (2)AO → (3)AD → (4)0 [(1)由平行四边形法则知，AB →＋AD →＝AC →.(2)AC →＋CD →＋DO →＝AD →＋DO →＝AO →. (3)AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(4)∵BA →＝CD →，∴AC →＋BA →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0.] 类型3 向量加法的实际应用【例3】 (教材北师版P 81例2改编)在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．速度是向量，因此需要作出船的速度与水流速度的示意图，把实际问题转化为三角形中求角度问题．[解] 作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形， 在Rt △ACD 中，|CD →|＝|AB →|＝v 水＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ， ∴cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． 故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向．1．若例3条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少？ [解] 由题意可知|AC →|＝32|AD →|＝32×20＝103(m/min)＝335(km/h)， 则经过3小时，该船的实际航程是3×335＝935(km).2．若例3的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角).[解] 如图所示，|AD →|＝|BC →|＝|v 船|＝20 m/min ， |AB →|＝|v 水|＝10 m/min ，则tan ∠BAC ＝2，即为所求．应用向量解决平面几何问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．[跟进训练]3．作用在同一物体上的两个力F 1＝60 N ，F 2＝60 N ，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为( )A ．30 NB ．60 NC ．90 ND ．120 N [答案] B当堂达标1．已知四边形ABCD 是菱形，则下列等式中成立的是( ) A ．AB →＋BC →＝CA →B ．AB →＋AC →＝BC → C ．AC →＋BA →＝AD →D ．AC →＋AD →＝DC →C [由加法的平行四边形法则可知AB →＋AD →＝AC →，即(－BA →)＋AD →＝AC →，所以AC →＋BA →＝AD →.]2．(多选题)如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中正确的是( )A ．FD →＋DA →＋DE →＝0B ．AD →＋BE →＋CF →＝0C ．FD →＋DE →＋AD →＝AB →D ．AD →＋EC →＋FD →＝BD →ABC [FD →＋DA →＋DE →＝F A →＋DE →＝0， AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋F A →＝0， FD →＋DE →＋AD →＝FE →＋AD →＝AD →＋DB →＝AB →， AD →＋EC →＋FD →＝AD →＋0＝AD →＝DB →≠BD →.故选ABC.]3．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →的模等于________. 213 [|AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝213.] 4.根据图填空，其中a ＝DC →，b ＝CO →，c ＝OB →，d ＝BA →.(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)b ＋d ＋c ＝________．(1)DB → (2)CA → [(1)a ＋b ＋c ＝DC →＋CO →＋OB →＝DB →. (2)b ＋d ＋c ＝CO →＋BA →＋OB →＝CA →.]5．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，则： (1)|a ＋b |＝________；(2)向量a ＋b 的方向是________.(1)82 (2)北偏东45°(或东北方向) [(1)如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →，所以|a ＋b |＝|OB →|＝82＋82＝8 2. (2)因为∠AOB ＝45°， 所以a ＋b 的方向是东北方向．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.如何灵活选择三角形法则或平行四边形法则求向量的和？[提示](1)三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．(2)向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．2.利用三角形法则求向量的加法时应注意什么问题？[提示]在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.2．2向量的减法学习任务核心素养1．掌握向量减法的定义，理解相反向量的意义．(重点)2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量．(难点)1．通过向量减法的概念及减法法则的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量减法法则的应用，培养数学运算素养．小明的父亲在台北工作，他经常乘飞机从台北到香港开会，再从香港到上海洽谈业务．若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示．阅读教材，综合上述情境回答下列问题： 问题1：上述问题中，b 能用a ，c 表示吗？问题2：方向相同且模相等的两个向量称为什么向量？方向相反且模相等的两个向量称为什么向量？问题3：零向量的相反向量是什么？ 问题4：向量减法是向量加法的逆运算吗？ 知识点1 相反向量定义把与向量a 长度相等、方向相反的向量，叫作向量a 的相反向量，记作－a规定：零向量的相反向量仍是零向量． 性质(1)－(－0)＝0；(2)a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0；(3)若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，b ＝－a ．知识点2 向量减法 (1)定义向量a 减向量b 等于向量a 加上向量b 的相反向量，即a －b ＝a ＋(－b )，求两个向量差的运算，叫作向量的减法．(2)几何意义如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．向量的减法可以转化为向量的加法来运算吗？[提示] 因为向量的减法是向量的加法的逆运算，所以向量的减法可以转化为向量的加法来运算．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)BA →＝OA →－OB →； ( ) (2)相反向量是共线向量； ( ) (3)a －b 的相反向量是b －a ； ( ) (4)|a －b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2.OP →－QP →＋PS →＋SP →＝( ) A ．QP → B ．OQ → C ．SP → D ．SQ → [答案] B类型1 向量减法的几何作图【例1】 (教材北师版P 84例4改编)如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .[解] 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .若本例条件不变，则a －b －c 如何作？[解] 如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .再作CA →＝c ，则BC →＝a －b －c .利用向量减法进行几何作图的方法(1)已知向量a ，b ，如图①所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .,(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a －b .如图②所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，AC →＝－b ，则OC →＝a ＋(－b )，即BA →＝a －b .[跟进训练]1.如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作：(1)向量b ＋c －a ； (2)向量a －b －c .[解] (1)以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，如图，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .(2)由a －b －c ＝a －(b ＋c )，如图，作▱OBEC ，连接OE ，则OE →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，连接AE ，则EA →＝a －(b ＋c )＝a －b －c .类型2 向量减法的运算 【例2】 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →).[解] (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0.(2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.化简向量的和差的方法(1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号． (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简．(3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点． 提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧．[跟进训练]2．化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).[解] (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝CA →－CD →＝DA →. (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋DB → ＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB →＝BC →＋CB →＝0. 类型3 向量加减法的综合应用【例3】 (1)已知|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝5，则|a －b |＝________． (2)(教材北师版P 85例6改编)已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OD →.(1)5 [(1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝a ＋b ，则四边形ABCD 是平行四边形． 又∵(5)2＝12＋22，∴平行四边形ABCD 为矩形， ∴|a －b |＝⎪⎪⎪⎪DB →＝|AC →|＝ 5.] (2)[解]如图所示：OD →＝OA →＋AD →＝a ＋BC →＝a ＋(OC →－OB →)＝a ＋c －b .用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可．[跟进训练]3．设平面内四边形ABCD 及任一点O ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d 且|a －b |＝|a －d |.试判断四边形ABCD 的形状．[解] 由a ＋c ＝b ＋d 得a －b ＝d －c ，即OA →－OB →＝OD →－OC →， ∴BA →＝CD →，于是AB 与CD 平行且相等， ∴四边形ABCD 为平行四边形．又|a －b |＝|a －d |，从而|OA →－OB →|＝|OA →－OD →|， ∴|BA →|＝|DA →|，∴四边形ABCD 为菱形．当堂达标1．在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则BC →＝( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．b －aD ．－a －bC [BC →＝AC →－AB →＝b －a .]2．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c [答案] A3．(多选题)下列四个式子中可以化简为AB →的是( ) A ．AC →＋CD →－BD → B ．AC →－CB → C ．OA →＋OB →D ．OB →－OA →.AD [因为AC →＋CD →－BD →＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →，所以A 正确；因为OB →－OA →＝AB →，所以D 正确，故选AD.]4．设正方形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋AD →－CD →|＝________． 42 [如图，原式＝|(AB →＋AD →)－(CB →＋CD →)|＝|AC →－CA →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →|， ∵正方形边长为2， ∴2|AC →|＝4 2.]5．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b 的位置关系为________．(填“平行”或“垂直”)垂直 [如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形， 则|a ＋b |＝|OC →|， |a －b |＝|BA →|， 又|a ＋b |＝|a －b |， 则|OC →|＝|BA →|，即平行四边形OACB 的对角线相等， ∴平行四边形OACB 是矩形， ∴a ⊥b .]回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.向量减法的实质是什么？[提示]向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．2.在用三角形法则作向量减法时，应注意什么问题？[提示]在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，区分a－b与b－a.3从速度的倍数到向量的数乘3．1向量的数乘运算学习任务核心素养1．掌握向量数乘的运算及其运算律．(重点)2．理解数乘向量的几何意义．(重点)1．通过向量数乘概念的学习，培养数学抽象素养；2．通过向量数乘的运算及其运算律的应用，培养数学运算素养．夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：若设光速为v1，声速为v2，将向量类比于数，则v1与v2有何关系？问题2：实数与向量相乘结果是实数还是向量？(1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa.(2)|λa|＝|λ||a|.(3)方向：λa 的方向⎩⎨⎧当λ>0时，与a 的方向相同；当λ<0时，与a 的方向相反；当λ＝0时，0a ＝0.(4)几何意义：当λ>0时，表示向量a 的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍；当λ<0时，表示向量a 的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍．若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？[提示] 不一定，若b ＝0，此时必有a ∥b ，b ∥c 成立，但a 与c 不一定共线．1.已知|a |＝2，|b |＝3，若两向量方向相同，则向量a 与向量b 的关系为b＝________a .32 [由于|a |＝2，|b |＝3，则|b |＝32|a |，又两向量同向，故b ＝32a .] 知识点2 数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a ，b 为向量，则 (1)(λ＋μ)a ＝λ a ＋μ a ； (2)λ(μa )＝(λμ)a ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合).2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若λa ＝0则λ＝0.( ) (2)对于非零向量a ，向量－2a 与向量a 方向相反． ( ) (3)当a 是非零向量，－1||a a 是与向量a 反向的单位向量．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√类型1 向量数乘运算的定义【例1】 已知a 、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)2a 的方向与a 的方向相同； (2)|－2a |＝32|3a |；(3)1||a a 是单位向量； (4)a ＋b 与－a －b 是一对相反向量． [解] (1)真命题．∵2>0， ∴2a 的方向与a 的方向相同． (2)假命题．|－2a |＝||－2|a |＝2|a |＝23|3a |. (3)真命题．⎪⎪⎪⎪⎪⎪1||a a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1||a ||a ＝1||a ||a ＝1.(4)真命题．∵a ＋b 与－a －b 是一对相反向量，且－(a ＋b )＝－a －b ， ∴a ＋b 与－a －b 是一对相反向量．对数乘向量的三点说明(1)向量数乘运算的几何意义是把a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小． (2)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.反之，也成立， (3)数乘向量的运算不满足消去律．[跟进训练]1．已知λ∈R ，a ≠0，则在下列各命题中，正确的命题有( ) ①当λ＞0时，λa 与a 的方向一定相同； ②当λ＜0时，λa 与a 的方向一定相反； ③当λa 与a 的方向相同时，λ＞0； ④当λa 与a 的方向相反时，λ＜0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [由λ与向量a 的乘积λa 的方向规定，易知①②③④正确．] 类型2 向量的线性运算【例2】 (教材北师版P 88例1改编)计算下列各式： (1)2(a ＋b )－3(a －b )； (2)3(a －2b ＋c )－(2a ＋b －3c )； (3)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋2b ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b .[解] (1)原式＝2a －3a ＋2b ＋3b ＝－a ＋5b ； (2)原式＝3a －6b ＋3c －2a －b ＋3c ＝a －7b ＋6c ； (3)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.1.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”，但这里的“同类项”指向量，实数看作是向量的系数．2.对于线性运算，把握运算顺序为：正用分配律去括号→逆用分配律合并．[跟进训练]2．(1)化简23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）；(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a ). [解] (1)原式＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋13＋74b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b ；(2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j .类型3 向量线性运算的应用【例3】 已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF →＝12(AB →＋DC →).1．若D 是△ABC 的边BC 的中点，如何用AB →，AC →表示AD →？ [提示] 由三角形法则知， AD →＝AB →＋BD →， AD →＝AC →＋CD →，两式相加得2AD →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋BD →＋⎝⎛⎭⎫AC →＋CD →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →＋⎝⎛⎭⎫BD →＋CD →＝AB →＋AC →，所以AD →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →.2．在△ABC 中，若AD →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →，则D 是否是△ABC 的边BC 的中点？ [提示] 设D ′是边BC 的中点，则AD ′→＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →，又AD →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →， 则AD ′→＝AD →， 所以D 与D ′重合， 所以D 是边BC 的中点．[证明] 取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图． ∵E 为AD 的中点， ∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →). 又∵AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →. ∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD →＝12(AB →＋DC →).用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．[跟进训练]3．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点．求证：DE →＝12BC →. [证明] ∵D 为AB 的中点， ∴AD →＝12AB →.∵E 是AC 的中点，∴AE →＝12AC →.∴DE →＝AE →－AD →＝12AC →－12AB →＝12⎝⎛⎭⎫AC →－AB →＝12BC →.当堂达标1．(多选题)已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) A ．m (a －b )＝m a －m b B ．(m －n )a ＝m a －n a C ．若m a ＝m b ，则a ＝bD ．若m a ＝n a ，则m ＝n .AB [A 和B 属于数乘运算对向量与实数的分配律，正确；C 中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；D 中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．]2. 在△ABC 中，如果AD ，BE 分别为BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，那么BC →等于( )A ．23a ＋43bB ．23a －23bC ．23a －43bD ．－23a ＋43bA [由题意，得BC →＝BE →＋EC →＝b ＋12AC →＝b ＋12(AD →＋DC →)＝b ＋12a ＋14BC →，即BC →＝b ＋12a ＋14BC →，解得BC →＝23a ＋43b .]3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A ．BC → B ．12AD → C ．AD →D ．12BC →C [EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →.] 4．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(c ＋b －3x )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量x ＝________．421a －17b ＋17c [据向量的加法、减法整理、运算可得x ＝421a －17b ＋17c .] 5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.则OP →＝________．－13OA →＋43OB → [OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.]回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.数乘向量的运算中应注意什么问题？[提示] 实数λ与向量a 可作数乘，但实数λ不能与向量a 进行加、减运算，如λ＋a ，λ－a 都是无意义的．还必须明确λa 是一个向量，λ的符号与λa 的方向相关，|λ|的大小与λa 的模有关．2.利用数乘运算的几何意义时应注意什么问题？[提示] 利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题．。

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考点1:不等关系与不等式 (2)考点2:等式性质与不等式性质 (7)专题03 不等关系与不等式 考点1:不等关系与不等式知识点一 基本事实两个实数a ,b ,其大小关系有三种可能,即a >b ,a ＝b ,a <b .思考 x 2＋1与2x 两式都随x 的变化而变化,其大小关系并不显而易见．你能想个办法,比较x 2＋1与2x 的大小吗?正确答案 作差:x 2＋1－2x ＝( x －1)2≥0,所以x 2＋1≥2x . 知识点二 重要不等式∀a ,b ∈R ,有a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立．题型1:用不等式( 组)表示不等关系例1 《铁路旅行常识》规定:一、随同成人旅行,身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票( 以下称儿童票),超过1.5米的应买全价票,每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿童票． ……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米,杆状物品不得超过200厘米,重量不得超过20千克……设身高为h ( 米),物品外部长、宽、高尺寸之和为P ( 厘米),请用不等式表示下表中的不等关系.解 由题意可获取以下主要信息:( 1)身高用h ( 米)表示,物体长、宽、高尺寸之和为P ( 厘米);( 2)题中要求用不等式表示不等关系．参考解答本题应先理解题中所提供的不等关系,再用不等式表示．身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h ≤1.5, 身高超过1.5米可表示为h >1.5, 身高不足1.2米可表示为h <1.2,物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P ≤160.如下表所示:变式 某套试卷原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本．据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?解 提价后销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20( 2.5≤x <6.5)．题型2:作差法比较大小例2 已知a ,b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 解 ∵a 3＋b 3－( a 2b ＋ab 2)＝( a 3－a 2b )＋( b 3－ab 2) ＝a 2( a －b )＋b 2( b －a )＝( a －b )( a 2－b 2)＝( a －b )2( a ＋b )． 当a ＝b 时,a －b ＝0,a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2; 当a ≠b 时,( a －b )2>0,a ＋b >0,a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述,a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.变式 已知x <1,试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解 ∵( x 3－1)－( 2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝( x 3－x 2)－( x 2－2x ＋1)＝x 2( x －1)－( x －1)2 ＝( x －1)( x 2－x ＋1)＝( x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34, 又∵⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0,x －1<0, ∴( x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0,∴x 3－1<2x 2－2x .考点1:练习题1．下列说法正确的是( )A ．某人月收入x 元不高于2 000元可表示为“x <2 000”B ．小明的身高为x ,小华的身高为y ,则小明比小华矮可表示为“x >y ”C ．变量x 不小于a 可表示为“x ≥a ”D ．变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ” 正确答案 C详细解析 对于A,x 应满足x ≤2 000,故A 错误;对于B,x ,y 应满足x <y ,故B 错误;C 正确;对于D,y 与a 的关系可表示为“y ≤a ”,故D 错误．2．在开山工程爆破时,已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm,人跑开的速度为每秒4 m,为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区,导火索的长度x ( cm)应满足的不等式为( ) A ．4×x0.5≥100B ．4×x0.5≤100 C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100正确答案 C详细解析 导火索燃烧的时间x 0.5秒,人在此时间内跑的路程为4×x0.5m ．由题意可得4×x0.5>100. 3．设M ＝x 2,N ＝－x －1,则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关正确答案 A详细解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0, ∴M >N .4．若y 1＝2x 2－2x ＋1,y 2＝x 2－4x －1,则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1>y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1<y 2D ．随x 值变化而变化 正确答案 A5．如图,在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地,仓库的长a 大于宽b 的4倍,则表示上述的不等关系正确的是( )A ．a >4bB ．( a ＋4)( b ＋4)＝200C.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，(a ＋4)(b ＋4)＝200 D.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，4ab ＝200 正确答案 C详细解析 由题意知a >4b ,根据面积公式可以得到( a ＋4)( b ＋4)＝200,故选C.6．某次数学智力测验,共有20道题,答对一题得5分,答错一题得－2分,不答得零分．某同学有一道题未答,设这个学生至少答对x 题,成绩才能不低于80分,列出其中的不等关系:________.( 不用化简)正确答案 5x －2( 19－x )≥80,x ∈N *详细解析 这个学生至少答对x 题,成绩才能不低于80分,即5x －2( 19－x )≥80,x ∈N *. 7．某商品包装上标有重量500±1克,若用x 表示商品的重量,则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________． 正确答案 |x －500|≤1详细解析 ∵某商品包装上标有重量500±1克, 若用x 表示商品的重量, 则－1≤x －500≤1, ∴|x －500|≤1.8．若x ∈R ,则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 正确答案x 1＋x 2≤12详细解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0.∴x 1＋x 2≤12. 9．已知a ,b ∈R ,x ＝a 3－b ,y ＝a 2b －a ,试比较x 与y 的大小． 解 因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2( a －b )＋a －b ＝( a －b )( a 2＋1), 所以当a >b 时,x －y >0,所以x >y ; 当a ＝b 时,x －y ＝0,所以x ＝y ; 当a <b 时,x －y <0,所以x <y .10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A,B 含量及成本如下表:若用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用x ,y 表示混合食物成本c 元,并写出x ,y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z , 又x ＋y ＋z ＝100,∴c ＝400＋7x ＋5y ,由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56 000，800x ＋400y ＋500z ≥63 000及z ＝100－x －y ,得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130.∴x ,y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.11．已知0<a 1<1,0<a 2<1,记M ＝a 1a 2,N ＝a 1＋a 2－1,则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．无法确定正确答案 B详细解析 ∵0<a 1<1,0<a 2<1,∴－1<a 1－1<0,－1<a 2－1<0,∴M －N ＝a 1a 2－( a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1( a 2－1)－( a 2－1)＝( a 1－1)( a 2－1)>0, ∴M >N ,故选B.12．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2,且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1,则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12正确答案 A详细解析 令a 1＝0.1,a 2＝0.9;b 1＝0.2,b 2＝0.8.则A 项a 1b 1＋a 2b 2＝0.74;B 项,a 1a 2＋b 1b 2＝0.25;C 项,a 1b 2＋a 2b 1＝0.26,故最大值为A.13．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个,黑球个数至少是白球个数的一半,至多是红球个数的13,白球与黑球的个数之和至少为55,则用不等式( 组)将题中的不等关系表示为________．正确答案 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55( x ,y ,z ∈N *)详细解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55( x ,y ,z ∈N *)．14．若a 1<a 2,b 1<b 2,则a 1b 1＋a 2b 2________a 1b 2＋a 2b 1.( 填“>”“<”“＝”) 正确答案 >详细解析 a 1b 1＋a 2b 2－( a 1b 2＋a 2b 1) ＝a 1( b 1－b 2)＋a 2( b 2－b 1) ＝( b 1－b 2)( a 1－a 2), ∵a 1<a 2,b 1<b 2, ∴b 1－b 2<0,a 1－a 2<0, 即( b 1－b 2)( a 1－a 2)>0, ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.考点2:等式性质与不等式性质知识点一 等式的基本性质 ( 1)如果a ＝b ,那么b ＝a . ( 2)如果a ＝b ,b ＝c ,那么a ＝c . ( 3)如果a ＝b ,那么a ±c ＝b ±c . ( 4)如果a ＝b ,那么ac ＝bc . ( 5)如果a ＝b ,c ≠0,那么a c ＝bc .知识点二 不等式的性质题型1:利用不等式的性质判断或证明例1 ( 1)给出下列命题: ①若ab >0,a >b ,则1a <1b ;②若a >b ,c >d ,则a －c >b －d ;③对于正数a ,b ,m ,若a <b ,则a b <a ＋mb ＋m .其中真命题的序号是________．正确答案 ①③详细解析 对于①,若ab >0,则1ab >0,又a >b ,所以a ab >b ab ,所以1a <1b ,所以①正确;对于②,若a ＝7,b ＝6,c ＝0,d ＝－10, 则7－0<6－( －10),②错误; 对于③,对于正数a ,b ,m , 若a <b ,则am <bm , 所以am ＋ab <bm ＋ab , 所以0<a ( b ＋m )<b ( a ＋m ), 又1b (b ＋m )>0,所以a b <a ＋m b ＋m ,③正确．综上,真命题的序号是①③.( 2)已知a >b >0,c <d <0.求证:3ad<3b c. 证明 因为c <d <0,所以－c >－d >0. 所以0<－1c <－1d.又因为a >b >0,所以－a d >－bc>0.所以3－a d>3－bc,即－3a d>－3b c, 两边同乘－1,得3a d<3b c.变式 若1a <1b <0,有下面四个不等式:①|a |>|b |,②a <b ,③a ＋b <ab ,④a 3>b 3. 则不正确的不等式的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 正确答案 C详细解析 由1a <1b <0可得b <a <0,从而|a |<|b |,①②均不正确;a ＋b <0,ab >0,则a ＋b <ab 成立,③正确;a 3>b 3,④正确．故不正确的不等式的个数为2.题型2:利用性质比较大小例2 若P ＝a ＋6＋a ＋7,Q ＝a ＋5＋a ＋8( a >－5),则P ,Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P >Q D ．不能确定正确答案 C详细解析 P 2＝2a ＋13＋2(a ＋6)(a ＋7),Q 2＝2a ＋13＋2(a ＋5)(a ＋8),因为( a ＋6)( a ＋7)－( a ＋5)( a ＋8)＝a 2＋13a ＋42－( a 2＋13a ＋40)＝2>0, 所以(a ＋6)(a ＋7)>(a ＋5)(a ＋8),所以P 2>Q 2,所以P >Q .变式 下列命题中一定正确的是( ) A ．若a >b ,且1a >1b,则a >0,b <0B ．若a >b ,b ≠0,则a b>1 C ．若a >b ,且a ＋c >b ＋d ,则c >dD ．若a >b ,且ac >bd ,则c >d正确答案 A详细解析 对于A,∵1a >1b ,∴b －a ab>0, 又a >b ,∴b －a <0,∴ab <0,∴a >0,b <0,故A 正确;对于B,当a >0,b <0时,有a b<1,故B 错; 对于C,当a ＝10,b ＝2时,有10＋1>2＋3,但1<3,故C 错;对于D,当a ＝－1,b ＝－2时,有( －1)×( －1)>( －2)×3,但－1<3,故D 错．题型3:利用性质比较大小例3 已知12<a <60,15<b <36.求a －b 和a b的取值范围． 解 ∵15<b <36,∴－36<－b <－15,∴12－36<a －b <60－15,即－24<a －b <45.又136<1b <115,∴1236<a b <6015,即13<a b<4. 故－24<a －b <45,13<a b<4.变式 已知0<a ＋b <2,－1<b －a <1,则2a －b 的取值范围是____________．正确答案 －32<2a －b <52详细解析 因为0<a ＋b <2,－1<－a ＋b <1,且2a －b ＝12( a ＋b )－32( －a ＋b ), 结合不等式的性质可得,－32<2a －b <52.考点2:练习题1．如果a <0,b >0,那么下列不等式中正确的是( )A.1a <1bB.－a <bC ．a 2<b 2D ．|a |>|b |正确答案 A详细解析 ∵a <0,b >0,∴1a <0,1b >0,∴1a <1b ,故选A.2．若a ,b ,c ∈R ,且a >b ,则下列不等式一定成立的是() A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bcC.c 2a －b >0 D ．( a －b )c 2≥0正确答案 D详细解析 ∵a >b ,∴a －b >0,∴( a －b )c 2≥0,故选D.3．已知a >b >c ,则1b －c ＋1c －a 的值是( )A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数正确答案 A详细解析 1b －c ＋1c －a ＝c －a ＋b －c (b －c )(c －a )＝b －a (b －c )(c －a ), ∵a >b >c ,∴b －c >0,c －a <0,b －a <0,∴1b －c ＋1c －a>0,故选A. 4．若x >1>y ,下列不等式不一定成立的是( )A ．x －y >1－yB ．x －1>y －1C ．x －1>1－yD ．1－x >y －x 正确答案 C详细解析 利用性质可得A,B,D 均正确,故选C.5．已知a <0,b <－1,则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2 D.a b >a b 2>a 正确答案 D详细解析 ∵a <0,b <－1,∴a b>0,b 2>1, ∴0<1b 2<1,∴0>a b 2>a 1, ∴a b >a b 2>a . 6．不等式a >b 和1a >1b同时成立的条件是________． 正确答案 a >0>b详细解析 若a ,b 同号,则a >b ⇒1a <1b. 7．给出下列命题:①a >b ⇒ac 2>bc 2;②a >|b |⇒a 2>b 2;③a >b ⇒a 3>b 3;④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确命题的序号是________．正确答案 ②③详细解析 ①当c 2＝0时不成立;②一定成立;③当a >b 时,a 3－b 3＝( a －b )( a 2＋ab ＋b 2)＝( a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2>0成立; ④当b <0时,不一定成立．如:|2|>－3,但22<( －3)2.8．设a >b >c >0,x ＝a 2＋(b ＋c )2,y ＝b 2＋(c ＋a )2,z ＝c 2＋(a ＋b )2,则x ,y ,z 的大小顺序是________．正确答案 z >y >x详细解析 ∵a >b >c >0,y 2－x 2＝b 2＋( c ＋a )2－a 2－( b ＋c )2＝2ac －2bc＝2c ( a －b )>0,∴y 2>x 2,即y >x .同理可得z >y ,故z >y >x .9．判断下列各命题的真假,并说明理由．( 1)若a <b ,c <0,则c a <c b; ( 2)a c 3<b c 3,则a >b ; ( 3)若a >b ,且k ∈N *,则a k >b k ;( 4)若a >b ,b >c ,则a －b >b －c .解 ( 1)假命题．∵a <b ,不一定有ab >0,∴1a >1b不一定成立, ∴推不出c a <c b,∴是假命题． ( 2)假命题．当c >0时,c －3>0,则a <b ,∴是假命题．( 3)假命题．当a ＝1,b ＝－2,k ＝2时,显然命题不成立,∴是假命题．( 4)假命题．当a ＝2,b ＝0,c ＝－3时,满足a >b ,b >c 这两个条件,但是a －b ＝2<b －c ＝3,∴是假命题．10．若－1<a ＋b <3,2<a －b <4,求2a ＋3b 的取值范围．解 设2a ＋3b ＝x ( a ＋b )＋y ( a －b ),则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧ x ＝52，y ＝－12.因为－52<52( a ＋b )<152,－2<－12( a －b )<－1,所以－92<52( a ＋b )－12( a －b )<132, 所以－92<2a ＋3b <132. 11．下列命题正确的是( )A ．若ac >bc ,则a >bB ．若a 2>b 2,则a >bC ．若1a >1b,则a <b D ．若a <b ,则a <b正确答案 D详细解析 对于A,若c <0,其不成立;对于B,若a ,b 均小于0或a <0,其不成立;对于C,若a >0,b <0,其不成立;对于D,其中a ≥0,b >0,平方后显然有a <b .12．已知x >y >z ,x ＋y ＋z ＝0,则下列不等式中一定成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y | 正确答案 C详细解析 因为x >y >z ,x ＋y ＋z ＝0,所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0,所以x >0,z <0. 所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 13．若a ,b ,c ∈R ,a >b ,则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1D ．a |c |>b |c | 正确答案 C详细解析 对于A,若a >0>b ,则1a >0,1b<0, 此时1a >1b,∴A 不成立; 对于B,若a ＝1,b ＝－2,则a 2<b 2,∴B 不成立;对于C,∵c 2＋1≥1,且a >b ,∴a c 2＋1>b c 2＋1恒成立,∴C 成立;对于D,当c＝0时,a|c|＝b|c|,∴D不成立．14．有外表一样,重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a＋b＝c＋d,a＋d>b＋c,a＋c<b,则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )A．d>b>a>c B．b>c>d>aC．d>b>c>a D．c>a>d>b正确答案A详细解析∵a＋b＝c＋d,a＋d>b＋c,∴a＋d＋( a＋b)>b＋c＋( c＋d),即a>c.∴b<d.又a＋c<b,∴a<b.综上可得,d>b>a>c.。

高中数学必修二第一章 空间几何体1.1空间几何体的结构 1、棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

2、棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P -几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

3、棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD—A'B'C'D'几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点4、圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

5、圆锥定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

6、圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A Cy xB B=--，它表示过点0,CB⎛⎫-⎪⎝⎭，斜率为AB-的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA=-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是1122x y-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x 1≠x 2，y 1≠y 2），应用时若采用(y 2―y 1)(x ―x 1)―(x 2―x 1)(y ―y 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+． （2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：（1A （5，3）；（2）过点B （―3，0），且垂直于x 轴；（3）斜率为4，在y 轴上的截距为―2；（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；（5）经过C （―1，5），D （2，―1）两点；（6）在x ，y 轴上的截距分别是―3，―1．【答案】（130y -+-=（2）x+3=0（3）4x ―y ―2=0（4）4x ―y ―2=0（5）2x+y ―3=0（6）x+3y+3=0【解析】 （1）由点斜式方程得35)y x -=-30y -+-=．（2）x=―3，即x+3=0．（3）y=4x ―2，即4x ―y ―2=0．（4）y=3，即y ―3=0．（5）由两点式方程得5(1)152(1)y x ---=----，整理得2x+y ―3=0． （6）由截距式方程得131x y +=--，整理得x+3y+3=0． 【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点A （―5，6）和点B （―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．【答案】2x －y+16=0 1816x y +=- 【解析】 所求直线的一般式方程为2x －y+16=0，截距式方程为1816x y +=-．图形如右图所示． 【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程.【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=，求满足下列条件的a 的值．（1）12//l l ；（2）12l l ⊥．【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。

描述：例题：描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、学习任务认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．二、知识清单典型空间几何体空间几何体的结构特征 组合体展开图 截面分析三、知识讲解1.典型空间几何体空间几何体的概念只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2.空间几何体的结构特征多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体．其中，四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体．旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______．解：棱锥；棱台．⋯⋯余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱或棱柱 ．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥 或者棱锥 ．棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．⋯⋯⋯⋯ABCDEF−A′B′C′D′E′F′DA′⋯⋯⋯⋯S−ABCD S−AC棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）．圆台的结构特征例题：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱台与圆台统称为台体．球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字母 表示．O下列命题中，正确的是（ ）A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形解：D如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱，令四边形 是梯形，可知 ，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．ABCD−A1B1C1D1ABCD面AB∥面DCB1A1C1D1若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥解：D如下图，正六边形 中，，那么正六棱锥中，，即侧棱长大于底面边长．ABCDEF OA=OB=⋯=AB S−ABCDEF SA>OA=AB描述：3.组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．如图所示的几何体中，是台体的是（ ）A．①② B．①③ C．③ D．②③解：C利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧棱的延长线能交于一点且截面与底面平行．有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．其中错误的有（ ）A．个 B． 个 C． 个 D． 个解：D圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交于一点，③错；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面，故④错误．1234例题：描述：4.展开图空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．描述图中几何体的结构特征．解：图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）解：D）不在同一平面内的有______对．3内．解：C描述：例题：5.截面分析截面用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面．平行截面、中截面与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面．轴截面包含立体图形的轴线的截面称为轴截面．球截面球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截面称为球的小圆．球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有 ，其中 为球的半径， 为截面圆的半径， 为球心到截面的距离．+=r 2d 2R 2R r d 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱解：B如图所示，是一个三棱台 ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：如图，过 ，， 三点作一个平面，再过 ，， 作一个平面，就把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 ，，．ABC −A ′B ′C ′A ′B C A ′B C ′ABC −A ′B ′C ′−ABC A ′−B B ′A ′C ′−BC A ′C ′如图，正方体 中，，， 分别是 ，， 的中点，那么正方体中过点 ，， 的截面形状是（ ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P QR作截面图如图所示，可知是六边形．ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则 解：四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是 ．A ．B ．C ．D ．C ()=2,AB =3,=3,BC =4A 1B 1B 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =3A 1B 1B 1C 1A 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =4A 1B 1B 1C 1A 1C 1AB =,BC =,CA =A 1B 1B 1C 1C 1A 1答案：2. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标" "的面的方位是 ．A ．南B ．北C ．西D ．下B △()3. 向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是．A ．H V h ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。

叫做垂足。

的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。

符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。

所成的角。

2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。

三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

第十章三角恒等变换10.1两角和与差的三角函数....................................................................................... - 1 -10.1.1两角和与差的余弦.................................................................................... - 1 -10.1.2两角和与差的正弦.................................................................................... - 5 -10.1.3两角和与差的正切.................................................................................... - 8 -10.2二倍角的三角函数............................................................................................. - 11 -10.3几个三角恒等式................................................................................................. - 15 - 10.1两角和与差的三角函数10.1.1两角和与差的余弦知识点两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(2)两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？[提示]不成立．重点题型类型1两角和与差的余弦公式的简单应用【例1】求下列各式的值：(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°；(2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°；(3)12cos 15°＋32sin 15°．[解](1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝3 2．(2)原式＝cos(15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝2＋6 4．(3)∵cos 60°＝12，sin 60°＝32，∴12cos 15°＋32sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝2 2．1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．提醒：要重视诱导公式在角和函数名称的差异中的转化作用．类型2已知三角函数值求角【例2】已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β的值．以同角三角函数的基本关系为切入点，求得cos α，sin β的值，在此基础上，借助cos(α＋β)的公式及α＋β的范围，求得α＋β的值.[解]因为α，β为锐角，且sin α＝55，cos β＝31010，所以cos α＝1－sin2α＝1－15＝255，sin β＝1－cos2β＝1－910＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22．由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π．因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝π4．已知三角函数值求角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值(该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数)；第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围； 第三步：根据角的范围写出所求的角. 类型3 给值求值问题【例3】 (对接教材P 51例3)已知sin α＝－45，sin β＝513，且π<α<3π2，π2<β<π，求cos(α－β)．[解] ∵sin α＝－45，π<α<3π2， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35．又∵sin β＝513，π2<β<π， ∴cos β＝－1－sin 2β＝－1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝1665．1．(变条件)若将本题改为已知sin α＝－45，sin β＝513，且π<α<2π，0<β<π2，求cos(α－β)．[解] ∵sin β＝513，0<β<π2， ∴cos β＝1－sin 2β＝1213． 又sin α＝－45，且π<α<2π，①当π<α<3π2时，cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665；②当3π2<α<2π时，cos α＝1－sin 2α＝35， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝1665．综上所述，cos(α－β)＝－5665或1665．2．(变条件)若将本例改为已知sin α＝－45，π<α<3π2，cos(α－β)＝1665，π2<β<π．求sin β．[解] ∵sin α＝－45，且π<α<3π2， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35． 又∵π2<β<π， ∴－π<－β<－π2， ∴0<α－β<π． 又cos(α－β)＝1665，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16652＝6365， ∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1665＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×6365＝－1213， ∴sin β＝1－cos 2β＝513．1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制．10.1.2 两角和与差的正弦知识点 两角和与差的正弦公式 (1)两角和的正弦公式：S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β． (2)两角差的正弦公式：S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β． (3)辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ， 令cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(cos φsin x ＋sin φcos x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba ，φ为辅助角．重点题型类型1 两角和与差的正弦公式的简单应用 【例1】 求下列各式的值： (1)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°； (2)2cos 55°－3sin 5°sin 85°．(1)从角和“形”入手，转化成两角和(差)的正弦求值. (2)注意角的差异与变换：55°＝60°－5°，85°＝90°－5°.[解] (1)原式＝sin 163°sin(90°＋133°)＋sin(90°＋163°)·sin(180°＋133°) ＝sin 163°cos 133°－cos 163°sin 133° ＝sin(163°－133°)＝sin 30°＝12． (2)原式＝2cos (60°－5°)－3sin 5°sin (90°－5°)＝cos 5°＋3sin 5°－3sin 5°cos 5°＝cos 5°cos 5°＝1．1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．类型2 给值求值【例2】 已知0＜β＜π4，π4＜α＜3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求cos(α＋β)的值．注意⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2＋(α＋β)，可通过求出3π4＋β和π4－α的正、余弦值来求cos (α＋β).[解] 由0＜β＜π4，π4＜α＜3π4得 －π2＜π4－α＜0，3π4＜3π4＋β＜π． ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45，cos(α＋β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365．解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式. 类型3 形如a sin x ＋b cos x 的函数的化简及应用【例3】 (对接教材P 54探究)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，求函数f (x )的值域．等式a sin x ＋b cos x ＝A sin (x ＋φ)中A 和φ一定存在吗？它们与a ，b 有什么关系？[解] f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∵π2≤x ≤π， ∴π3≤x －π6≤5π6． ∴12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≤1．∴函数f (x )的值域为[1，2]．1．(变结论)本例条件不变，将函数f (x )用余弦函数表示． [解] f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x sin π3－cos x cos π3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos π3－sin x sin π3＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3．2．(变结论)本例条件不变，求函数f (x )的单调区间． [解] f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3，与π2≤x ≤π取交集得π2≤x ≤2π3，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3；由2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2，得2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3，与π2≤x ≤π取交集得2π3≤x ≤π， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π．此类问题的求解思路如下：首先将函数f (x )化简为f (x )＝a sin x ＋b cos x 的形式；,然后借助辅助角公式化f (x )为f (x )＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)的形式；最后，类比y ＝sin x 的性质，树立“x ＋φ”的团体意识研究y ＝f (x )的性质.10.1.3 两角和与差的正切知识点 两角和与差的正切公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β．T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β．公式T(α±β)有何结构特征和符号规律？[提示](1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．重点题型类型1条件求值问题【例1】已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4．2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4可以用tan 2α表示出来.[解]tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan(α＋β)＋tan(α－β)1－tan(α＋β)tan(α－β)＝5＋31－5×3＝－47，tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝tan(α＋β)－tan(α－β)1＋tan(α＋β)tan(α－β)＝5－31＋5×3＝18，tan⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝1＋tan 2α1－tan 2α＝1－471＋47＝311．求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来繁杂的运算.类型2 给值求角【例2】 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，求α＋β．利用根与系数的关系求tan α＋tan β及tan αtan β的值，进而求出tan (α＋β)的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值.[解] 因为tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan α＜0，tan β＜0．又因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以－π＜α＋β＜0．又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，所以α＋β＝－2π3．1．给值求角的一般步骤 (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角． 2．选取函数时，应遵照以下原则 (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．类型3 T (α±β)公式的变形及应用【例3】 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．当一个代数式中同时出现“tan α＋tan β”及“tan α tan β”两个团体时，我们可以联想哪些公式解题？[解] ∵3tan A ＋ 3 tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33．又∵0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6． ∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33， ∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰三角形．1．公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．10.2 二倍角的三角函数知识点 倍角公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan α．(1)T 2α对任意角α都成立吗？(2)倍角公式中的“倍角”只能是2α吗？[提示] (1)不是．所含各角要使正切函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”具有相对性，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．重点题型类型1 直接应用二倍角公式求值【例1】 (对接教材P 63例1)已知sin 2α＝513，π4＜α＜π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．[解] 由π4＜α＜π2，得π2＜2α＜π． 又因为sin 2α＝513， 所以cos 2α＝－1－sin 22α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213． 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α ＝2×513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169；cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝119169；tan 4α＝sin 4αcos 4α＝－120169119169＝－120119．对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α6的二倍角；…，又如α＝2·α2，α2＝2·α4，…．类型2逆用二倍角公式化简求值【例2】化简：2cos2α－12tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－αsin2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α．[解]原式＝2cos2α－12sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos⎝⎛⎭⎪⎫π4－α·cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos2α－12sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－α·cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos2α－1cos 2α＝cos 2αcos 2α＝1．1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．类型3活用“倍角”关系巧解题【例3】已知sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝513，0＜x＜π4，求cos 2xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x的值．本题中角“π4－x”与角“π4＋x”有什么关系？如何借助诱导公式实现cos 2x与sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x的转换？[解]∵⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＋⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝π2，∴sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝513，又0＜x＜π4，∴π4＜x＋π4＜π2，∴sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝1213．∴cos 2xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2413．1．(变结论)本例条件不变，求cos 2x．[解]∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4，由sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝513，得cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝1213，cos 2x＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝2×513×1213＝120169．2．(变结论)本例条件不变，求sin 2x－2sin2x1－tan x的值．[解]∵⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＋⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝π2，∴cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝513．∵sin 2x－2sin2x1－tan x＝2sin x cos x－2sin2x1－sin xcos x＝2sin x(cos x－sin x)cos x－sin xcos x＝2sin x cos x＝sin 2x，又sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1－2×25169＝119169．∴sin 2x －2sin 2x 1－tan x＝119169．当遇到π4±x 这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似这样的变换还有：(1)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；(2)sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1；(3)sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等.提醒：在使用二倍角公式时要特别注意公式中的系数，防止出错.10.3 几个三角恒等式知识点1 积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cos αcos β12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]． (2)和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2， sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2， cos α＋cos β＝2cosα＋β2cos α－β2， cos α－cos β＝－2sinα＋β2sin α－β2．知识点2 半角公式与降幂公式半角公式降幂公式sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝±1＋cos α2， tan α2＝±1－cos α1＋cos α，tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin αsin 2α＝1－cos 2α2， cos 2α＝1＋cos 2α2， tan 2α＝1－cos 2α1＋cos 2α设tan α2＝t ，则sin α＝2t 1＋t 2，cos α＝1－t 21＋t 2，tan α＝2t1－t 2．重点题型类型1 应用和差化积或积化和差求值【例1】 求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°·cos 50° 的值． [解] 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14 ＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70° ＝34－12sin 70°＋12sin 70° ＝34．套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.类型2 万能代换公式的应用 【例2】 设tan θ2＝t ，求证：1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．利用万能代换公式，分别用t 表示sin θ，cos θ，代入待证等式的左端即可证明.[证明] 由sin θ＝2tan θ21＋tan 2θ2及cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2，得1＋sin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ221＋tan 2θ2＝(1＋t )21＋t 2， 1＋sin θ＋cos θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ21＋tan 2θ2＝2(1＋t )1＋t2， 故1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．在万能代换公式中不论α的哪种三角函数(包括sin α与cos α)都可以表示成tan α2＝t 的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t 的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.类型3 f (x )＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx 的性质【例3】 求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间．[解] f (x )＝53×1＋cos 2x 2＋3×1－cos 2x2－2sin 2x ＝33＋23cos 2x －2sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x＝33＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤7π24， ∴π6≤2x －π3≤π4． ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22．∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时， f (x )取最小值为33－22．∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减．1．(变结论)本例中，试求函数f (x )(x ∈R )的对称轴方程． [解] f (x )＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ． 所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ．2．(变条件)本例中，函数解析式变为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )，求f (x )的单调减区间．[解] ∵f (x )＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z ．1．应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 (1)运用和、差、倍角公式和重要恒等式化简． (2)统一化成f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式．(3)利用辅助角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，研究其性质． 2．对三角函数式化简的常用方法 (1)降幂化倍角； (2)升幂角减半；(3)利用f (x )＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，化为“一个角”的函数．。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a共线的单位向量为a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

第2讲函数及其表示方法2.1映射1、映射的概念f设有两个集合、，通过在中都有唯一确定的元素与之对应,称映射.A B x A f B y A B∀∈−−→原象：象：说明：映射是一种对应关系，对应关系一般有4种类型，但只有“一对一”、“多对一”才构成映射关系.下列对应中有几项是映射？考点1 映射【例1】【例2】一、选择题1．给出下列四个命题：(1)若A＝{整数}，B＝{正奇数}，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；(2)若A是无限集，B是有限集，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；(3)若A＝{a}，B＝{1,2}，则从集合A到集合B只能建立一个映射；(4)若A＝{1,2}，B＝{a}，则从集合A到集合B只能建立一个映射．其中正确命题的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个2．下列从P到Q的各对应关系f中，不是映射的是( )A ．P ＝N ，Q ＝N *，f ：x →|x －8|B ．P ＝{1,2,3,4,5,6}，Q ＝{－4，－3,0,5,12}，f ：x →x (x －4)C ．P ＝N *，Q ＝{－1,1}，f ：x →(－1)xD ．P ＝Z ，Q ＝{有理数}，f ：x →x 23．已知集合M ＝{x |0≤x ≤6}，P ＝{y |0≤y ≤3}，则下列对应关系中，不能看做从M 到P 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝xD ．f ：x →y ＝16x4．集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{d ，e }则从A 到B 可以建立不同的映射个数为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．9详解答案 1[答案] B[解析] 对于(1)f ：A →B 对应法则f ：x →2|x |＋1故(1)错；(2)f ：R →{1}，对应法则f ：x →1，(2)错；(3)可以建立两个映射，(3)错；(4)正确，故选B.2[答案] A[解析] 对于选项A ，当x ＝8时，|x －8|＝0∉N *， ∴不是映射，故选A. 3[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝6时，y ＝6，当6∉P ，故选C. 4[答案] C[解析] 用树状图写出所有的映射为：a →d ⎩⎪⎨⎪⎧b →d ⎩⎨⎧ c →d c →eb →e ⎩⎨⎧c →d c →e a →e ⎩⎪⎨⎪⎧b →d ⎩⎨⎧ c →d c →eb →e ⎩⎨⎧c →d c →e 共8个．2.2函数及其表示1、函数的概念：非空数集A 到非空数集B 的映射，叫函数。

人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习圆的方程【学习目标】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【要点梳理】【圆的方程370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点三：圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E--. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 要点四：几种特殊位置的圆的方程求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.(3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标； （2）列出关于,x y 的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【典型例题】类型一：圆的标准方程例1．求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上； (3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.【答案】（1）229x y +=（2）22(2)10x y -+=（3）()()228325x y -++= 【解析】(1)229x y +=(2)线段AB 的中垂线方程为240x y --=，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为||CB =，所以圆C 的方程为22(2)10x y -+=.(3)解法一：∵圆的半径||5r CP ===，圆心在点()8,3C -∴圆的方程是()()228325x y -++=解法二：∵圆心在点()8,3C -，故设圆的方程为()()22283x y r -++=又∵点()5,1P 在圆上，∴()()2225813r -++=，∴225r =∴所求圆的方程是()()228325x y -++=.【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径r ，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r 2； （2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．举一反三：【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ） A ．(x―4)2+(y+1)2=10 B ．(x+4)2+(y―1)2=10C ．(x―4)2+(y+1)2=100D ．22(4)(1)x y -++=【答案】A例2．（2015秋 湖北宜昌月考）求下列各圆的标准方程： （1）圆心在直线y =0上，且圆过两点A （1，4），B （3，2）；（2）圆心在直线2x +y =0上，且圆与直线x +y ―1=0切于点M （2，―1）． 【思路点拨】（1）求出圆心和半径，即可求圆C 的方程；（2）设出圆心坐标，列方程组解之．其中由圆心在直线2x +y =0上得出一个方程；再由圆心到直线x +y ―1=0的距离即半径得出另一个方程．【答案】（1）22(1)20x y ++=；（2）22(1)(2)2x y -++= 【解析】（1）∵圆心在直线y =0上， ∴设圆心坐标为C （a ，0）， 则|AC |=|BC |，= 即 22(1)16(3)4a a -+=-+， 解得a =―1，即圆心为（―1，0），半径||r AC ===， 则圆的标准方程为 22(1)20x y ++=， （2）设圆心坐标为（a ，b ），则20a b +=⎧⎪=解得a =1，b =－2，∴r =∴要求圆的方程为 22(1)(2)2x y -++=． 举一反三：【圆的方程370891 典型例题1】【变式1】（1）过点(2,3),(2,5)A B ---且圆心在直线230x y --=上；（2）与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=截得的弦长为 【答案】（1）22(1)(2)10x y +++=（2）22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++= 【解析】（1）设圆的方程为：()222()x a y b r -+-=，则()()()()2222222325230a b r a b r a b ⎧-+--=⎪⎪--+--=⎨⎪--=⎪⎩，解得：21,2,10a b r =-=-= 所求圆的方程为：22(1)(2)10x y +++=（2）设圆的方程为：()222()x a y b r -+-=，则()222230142r b a b a b r ⎧=⎪⎪-=⎨⎪-+=⎪⎩解得：2139a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩或2139a b r ⎧=-⎪=-⎨⎪=⎩ 所求圆的方程为：22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=．类型二：圆的一般方程例3．已知直线x 2+y 2―2(t+3)x+2(1―4t 2)y+16t 4+9=0表示一个圆． （1）求t 的取值范围；（2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程．【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件D 2+E 2―4F ＞0，解题时，应充分利用这一隐含条件．【答案】（1）117t -<<（2）（t+3，4t 2－1）3222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）已知方程表示一个圆⇔D 2+E 2―4F ＞0，即4(t+3)2+4(1―4t 2)2―4(16t 4+9)＞0，整理得7t 2―6t―1＜0117t ⇔-<<． （2）圆的方程化为[x―(t+3)]2+[y+(1―4t 2)]2=1+6t―7t 2． ∴它的圆心坐标为（t+3，4t 2－1）．（3）由7r ===≤． ∴r的最大值为7，此时圆的标准方程为 222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结升华】 在本例中，当t 在1,17⎛⎫-⎪⎝⎭中任取一个值，它对应着一个不同的圆，它实质上是一系列的圆，因此本例中的圆的方程实质上是一个圆系方程，由2341x t y t =+⎧⎨=-⎩得y=4(x―3)2―1，再由117t -<<，知2047x <<，因此它是一个圆心在抛物线2204(3)147y x x ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的圆系方程． 举一反三：【圆的方程370891 典型例题2】【变式1】（1）求过(2,2),(5,3),(3,1)A B C -的圆的方程，及圆心坐标和半径； （2）求经过点(2,4)A --且与直线3260x y +-=相切于点（8，6）的圆的方程． 【答案】（1）()224(1)5x y -+-= （4，1）（2）22113300x y x y +-+-=【解析】（1）法一：设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则8220345301030D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩，解得：8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以所求圆的方程为：228220x y x y +--+=，即()224(1)5x y -+-=，所以圆心为（4，1），法二：线段AB 的中点为为75,22⎛⎫⎪⎝⎭，321523AB k -==-线段AB 的中垂线为57322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即3130x y --= 同理得线段BC 中垂线为260x y +-=联立2603130x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得41x y =⎧⎨=⎩所以所求圆的方程为（4，1），半径r ==所以()224(1)5x y -+-=．（2）法一：设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则2024062382100860D E F ED DEF --+=⎧⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪⎪+++=⎩，解得：11330D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以圆的方程为22113300x y x y +-+-=．法二：过点B 与直线3260x y +-=垂直的直线是3180x y --=， 线段AB 的中垂线为40x y +-=，由318040x y x y --=⎧⎨+-=⎩得：圆心坐标为113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，由两点间距离公式得半径21252r =，所以圆的方程为22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【变式2】判断方程ax 2+ay 2―4(a―1)x+4y=0（a≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．【答案】表示圆，圆心坐标2(1)2,a aa -⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径2222||a a r a -+= 【变式3】方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是 A ．2a <-或23a > B ．203a -<< C ．20a -<< D ．223a -<< 【答案】D【解析】方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0转化为2223()124a x y a a a ⎛⎫+++=--+ ⎪⎝⎭，所以若方程表示圆，则有23104a a --+>，∴ 23440a a +-<，∴ 223a -<<． 例4．（1）△ABC 的三个顶点分别为A （―1，5），B （―2，―2），C （5，5），求其外接圆的方程； （2）圆C 过点P （1，2）和Q （―2，3），且圆C 在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C 的方程． 【思路点拨】在（1）中，由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数D 、E 、F 即可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求出圆的方程．在（2）中，可用圆的一般方程，但这样做计算量较大，因此我们可以通过作图，利用图形的直观性来进行分析，从而得到圆心或半径所满足的条件．【答案】（1）x 2+y 2―4x―2y―20=0（2）(x+1)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25 【解析】（1）解法一：设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由题意有5260228055500D E F D E F D E F -+++=⎧⎪--++=⎨⎪+++=⎩，解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩． 故所求的圆的方程为x 2+y 2―4x―2y―20=0．解法二：由题意可求得AC 的中垂线的方程为x=2，BC 的中垂线方程为x+y―3=0．∴圆心是两中垂线的交点（2，1），∴半径22(21)(15)5r =++-=，∴所求的圆的方程为(x―2)2+(y―1)2=25，即x 2+y 2―4x―2y―20=0．（2）解法一：如右图所示，由于圆C 在两坐标轴上的弦长相等，即|AD|=|EG|，所以它们的一半也相等，即|AB|=|GF|，又|AC|=|GC|，∴Rt △ABC ≌Rt △GFC ，∴|BC|=|FC|． 设C （a ，b ），则|a|=|b|． ①又圆C 过点P （1，2）和Q （―2，3）， ∴圆心在PQ 的垂直平分线上，即51322y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即y=3x+4，∴b=3a+4． ②由①知a=±b ，代入②得11a b =-⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩．∴22(1)(2)5r a b =-+-=或5．故所求的圆的方程为(x+1)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25．即x 2+y 2+2x―2y―3=0或x 2+y 2+4x+4y―17=0． 解法二：设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0． ∵圆C 过点P （1，2）和Q （－2，3），∴22122049230D E F D E F ⎧++++=⎨+-++=⎩，解得38117E D F D =-⎧⎨=-⎩．∴圆C 的方程为x 2+y 2+Dx+(3D―8)y+11―7D=0，将y=0代入得x 2+Dx+11―7D=0． ∴圆C 在x 轴上截得的弦长为212||4(117)x x D D -=--．将x=0代入得y 2+(3D―8)y+11―7D=0，∴圆C 在y 轴上截得的弦长为212||(38)4(117)y y D D -=---．由题意有224(117)(38)4(117)D D D D --=---，即D 2―4(11―7D)=(3D―8)2―4(11―7D)，解得D=4或D=2．故所求的圆的方程为x 2+y 2+4x+4y―7=0或x 2+y 2+2x―2y―3=0．【总结升华】 （1）本例（1）的解法二思维迂回链过长，计算量过大，而解法一则较为简捷，因此，当所有已知的条件与圆心和半径都无直接关系，在求该圆的方程时，一般设圆的方程为一般方程，再用待定系数法来确定系数即可．（2）本例（2）中，尽管所给的条件也都与圆心和半径无直接关系，但可通过画图分析，利用平面几何知识，找到与圆心和半径相联系的蛛丝马迹，从而避免了选用圆的一般方程带来的繁琐的计算．（3）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．举一反三：【变式1】如图，等边△ABC 的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．【答案】30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，233，223433x y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭ 类型三：点与圆的位置关系例5．判断点M （6，9），N （3，3），Q （5，3）与圆(x ―5)2+(y ―6)2=10的位置关系． 【答案】M 在圆上 N 在圆外 Q 在圆内 【解析】∵圆的方程为(x ―5)2+(y ―6)2=10， 分别将M （6，9），N （3，3），Q （5，3）代入得 (6―5)2+(9―6)2=10，∴M 在圆上； (3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N 在圆外；(5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q 在圆内．【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O ，半径为r ，则点P 在圆内⇔|PQ |＜r ；点P 在圆上⇔|PQ |=r ；点P 在圆外⇔|PO |＞r ．从数的角度来看，设圆的标准方程为(x ―a )2+(y ―b )2=r 2，圆心为A （a ，b ），半径为r ，则点M （x 0，y 0）在圆上⇔(x 0―a )2+(y 0―b )2=r 2；点M （x 0，y 0）在圆外⇔(x 0―a )2+(y 0―b )2＞r 2；点M （x 0，y 0）在圆内⇔(x 0―a )2+(y 0―b )2＜r 2．举一反三：【变式1】点（a +1，a ―1）在圆22240x y ay +--=的内部，则a 的取值范围是________． 【思路点拨】直接把点（a +1，a ―1）代入圆的方程左边小于0，解不等式可得a 的范围． 【答案】（－∞，1） 【解析】∵点（a +1，a ―1）在圆22240x y ay +--=的内部（不包括边界）， ∴ 22(1)(1)2(1)40a a a a ++----<，整理得：a ＜1． 故答案为：（－∞，1）． 类型四：轨迹问题 例6．（2016 广东中山市模拟）已知曲线C 上任意一点到原点的距离与到A （3，―6）的距离之比均为12． （1）求曲线C 的方程． （2）设点P （1，―2），过点P 作两条相异直线分别与曲线C 相交于B ，C 两点，且直线PB 和直线PC 的倾斜角互补，求证：直线BC 的斜率为定值．【思路点拨】（1）利用直接法，建立方程，即可求曲线C 的方程．（2）直线与圆的方程联立，求出A ，B 的坐标，利用斜率公式，即可证明直线BC 的斜率为定值．【答案】（1）22(1)(2)20x y ++-=；（2）直线BC 的斜率为定值12-． 【解析】（1）曲线C 上的任意一点为Q （x ，y ），221(1)(2)202x y =⇒++-= （2）证明：由题意知，直线PB 和直线PC 的斜率存在，且互为相反数，P （1，―2）， 故可设P A ：y +2=k （x ―1）， 由2222222(1)(1)2(14)830(1)(2)20y k x k x k k x k k x y +=-⎧⇒++--++-=⎨++-=⎩因为点P 的横坐标x =1一定是该方程的解，故可得22831A k k x k +-=+， 同理，22831B k k x k --=+，所以(1)(1)2()12B A B A B A AB B A B A B A y y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====----故直线BC 的斜率为定值12-． 【总结升华】本例求轨迹方程的方法是直接法．用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为M （x ，y ）； （2）几何点集：写出满足题设的点M 的集合P ={M |P (M )}；（3）翻译列式：将几何条件P （M ）用坐标x 、y 表示，写出方程f (x ,y )=0； （4）化简方程：通过同解变形化简方程；（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点． 例7．已知定点A （4，0），P 点是圆x 2+y 2=4上一动点，Q 点是AP 的中点，求Q 点的轨迹方程． 【答案】(x―2)2+y 2=1【解析】 设Q 点坐标为（x ，y ），P 点坐标为（x ＇，y ＇），则4'2x x +=且0'2y y +=，即x ＇=2x―4，y ＇=2y ．又P 点在圆x 2+y 2=4上，∴x ＇2+y ＇2=4，将x ＇=2x―4且y ＇=2y 代入得(2x―4)2+(2y)2=4，即(x―2)2+y 2=1．故所求的轨迹方程为(x―2)2+y 2=1．【总结升华】 本题是求轨迹时常用的方法——代入法，对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为（x ，y ），在已知曲线上运动的点的坐标为（x ＇，y ＇），用x ，y 表示x ＇，y ＇，即x ＇=f (x,y)，y ＇=g (x,y)，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解．举一反三：【变式1】已知定点A （2，0），点Q 是圆x 2+y 2=1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程．【答案】222439x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【圆的方程370891 典型例题5】【变式2】平面内到两定点距离的比值是一个不等于1的常数的动点的轨迹是一个圆．【解析】以两定点所在的直线为x 轴，以两定点所在线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设两定点分别为()1,0,(1,0)A B -，设动点(,)P x y ，则||(1)||PA c c PB =≠，c =，整理得：()2222221(1)(22)10cxc y c x c -+-+++-=所以222222101c x y x c ++++=-，即()22222221411c c x y c c ⎛⎫+++= ⎪-⎝⎭- 所以动点的轨迹是一个圆．。

必修二第一章 空间几何体 知识点：1、空间几何体的结构⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

2、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3=3、球的体积公式：334　R V π=，球的表面积公式：24　R S π= 4、柱体h s V ⋅=，锥体h s V ⋅=31，锥体截面积比：222121h h S S =5、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；lr S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：lr S ⋅⋅=π侧面典型例题：★例1：下列命题正确的是( ) Ａ.棱柱的底面一定是平行四边形 Ｂ.棱锥的底面一定是三角形Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）A 21倍 B 42倍 C 2倍 D 2倍★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（ ） Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱 Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱★★例4：一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是A ．28cm πB 212cm π. C 216cm π． D ．220cm π二、填空题★例1：若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_______________．★例2：球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 知识点：1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

数学必修2第一章一、学习目标：1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图与直观图，能识别上述三视图与直观图所表示的立体模型。

二、重点、难点：重点：空间几何体中的棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；空间几何体的三视图与直观图的画法。

难点：柱、锥、台、球结构特征的概括；识别三视图所表示的空间几何体;几何体的侧面展开图，计算组合体的表面积和体积。

三、考点分析：三视图是新课程改革中出现的内容，是新课程高考的热点之一，几乎每年都考，同学们要予以足够的重视。

在高考中经常以选择、填空题的形式出现，属于基础或中档题，但也要关注三视图以提供信息为目的，出现在解答题中。

这部分知识主要考查学生的空间想象能力与计算求解能力。

1. 多面体棱柱、棱锥、棱台2. 旋转体圆柱、圆锥、圆台、球3. 三视图（1）正视图、侧视图、俯视图（2）三种视图间的关系4. 直观图水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面的周长，h表示高度，h′表示斜高，l 表示侧棱长。

5. 旋转体的面积和体积公式表中l、h分别表示母线长、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底面半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面的半径，R表示半径。

知识点一柱、锥、台、球的结构特征例1. 下列叙述正确的是（）①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。

②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台。

③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。

④直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥。

⑤直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫圆台。

⑥用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分是圆台。

⑦通过圆锥侧面上一点，有无数条母线。

⑧以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成球体。

4.3.1.2等比数列的性质及应用要点一 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(m ，n ∈N *)(2)若p ＋q ＝s ＋t (p 、q 、s 、t ∈N *)，则a p ·a q ＝s t a a 【重点总结】(1)在已知等比数列{a n }中任一项a m 及公比q 的前提下，可以利用a n ＝a m q n－m求等比数列中任意项a n ；(2)已知等比数列{a n }中的a m 和a n 两项，就可以使用a n a m ＝q n －m 求公比，其中m 可大于n ，也可小于n.要点二 等比数列的单调性已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则(1)当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<00<q <1时，等比数列{a n }为递增数列； (2)当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>00<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0q >1时，等比数列{a n }为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{a n }为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当1<1时，等比数列{a n }为摆动数列． 【重点总结】由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：一般地，q>0时，等比数列各项的符号相同；q<0时，等比数列各项的符号正负交替．要点三 等比数列的其它性质 若{a n }是公比为q 的等比数列，则(1)若m ，p ，n (m ，n ，p ∈N *)成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列；(2)数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q ，q 2. (3)若{b n }是公比为p 的等比数列，则{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也都是等比数列，公比分别为pq 和qp .(4)在数列{a n }中，每隔k (k ∈N *)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为q k ＋1. (5)在数列{a n }中，连续相邻k 项的和(或积)构成公比为q k (或qk 2)的等比数列． 【重点总结】若数列{a n }是各项都为正数的等比数列，则数列{lg a n }是公差为lg q 的等差数列； 若数列{b n }是等差数列，公差为d ，则数列{cb n }是以c d (c>0且c ≠1)为公比的等比数列． 【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列．( )(3)当q ＝1时，{a n }为常数列．( )(4)若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n ＋b n }是等比数列．( ) 【答案】（1）√（2）×（3）√（4）×2．等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 【答案】D【解析】∵q <0，a 1>0，∴所有奇数项为正、偶数项为负，故成摆动数列，选D. 3．(多选题)若数列{a n }为等比数列，则下列式子一定成立的是( ) A ．a 2＋a 5＝a 1＋a 6 B ．a 1a 9＝a 25 C ．a 1a 9＝a 3a 7 D ．a 1a 2a 7＝a 4a 6 【答案】BC【解析】根据等比数列的性质知BC 正确．4．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为________． 【答案】25【解析】∵a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，∴a 8a 9a 10a 11＝25.题型一 等比数列性质的应用 【例1】已知{a n }为等比数列．(1)等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，求a 1a 23a 5； (2)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(3)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．【解析】(1)等比数列{a n }中，因为a 2a 4＝12，所以a 23＝a 1a 5＝a 2a 4＝12，所以a 1a 23a 5＝14. (2)由等比中项，化简条件得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，即(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.(3)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10) ＝log 3[(a 1a 10)(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)] ＝log 395＝10. 【方法归纳】有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组，先解出a 1和q ，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项“下标”的指导作用．【跟踪训练1】(1)已知数列{a n }为等比数列，a 3＝3，a 11＝27，求a 7. (2)已知{a n }为等比数列，a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q .【解析】(1)法一：⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝3，a 1q 10＝27相除得q 8＝9.所以q 4＝3，所以a 7＝a 3·q 4＝9.法二：因为a 27＝a 3a 11＝81，所以a 7＝±9， 又a 7＝a 3q 4＝3q 4>0，所以a 7＝9.(2)因为a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15， 所以a 3＝3，a 7＝12或a 3＝12，a 7＝3. 所以q 4＝a 7a 3＝4或14，所以q ＝±2或q ＝±22.题型二 灵活设项求解等比数列【例2】已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，则此4个数为________________．【解析】设此4个数为a ，aq ，aq 2，aq 3.则a 4q 6＝1，aq (1＋q )＝－32，① 所以a 2q 3＝±1，当a 2q 3＝1时，q >0，代入①式化简可得q 2－14q ＋1＝0，此方程无解；当a 2q 3＝－1时，q <0，代入①式化简可得q 2＋174q ＋1＝0，解得q ＝－4或q ＝－14.当q ＝－4时，a ＝－18；当q ＝－14时，a ＝8.所以这4个数为8，－2，12，－18或－18，12，－2,8.【变式探究】本例中的条件换为“前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80”，则这4个数为__________________．【答案】1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8【解析】由题意设此四个数为bq ，b ，bq ，a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝－8，2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.所以这四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.【方法归纳】巧设等差数列、等比数列的方法(1)若三数成等差数列，常设成a －d ，a ，a ＋d .若三数成等比数列，常设成aq ，a ，aq 或a ，aq ，aq 2.(2)若四个数成等比数列，可设为a q ，a ，aq ，aq 2.若四个正数成等比数列，可设为a q 3，aq ，aq ，aq 3.题型三 等比数列与等差数列的综合应用【例3】在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }和公比为q 的等比数列{b n }中，已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3. (1)求d ，q 的值；(2)是否存在常数a ，b ，使得对任意n ∈N *，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由a 2＝b 2，a 8＝b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝b 1q ，a 1＋7d ＝b 1q 2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q ，1＋7d ＝q 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝5，q ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝0，q ＝1，(舍去)．(2)由(1)知a n ＝1＋(n －1)·5＝5n －4， b n ＝b 1q n －1＝6n －1.假设存在常数a ，b ，使得对任意n ∈N *，都有a n ＝log a b n ＋b 成立，则5n －4＝log a 6n －1＋b ， 即5n －4＝n log a 6＋b －log a 6.比较系数，得⎩⎪⎨⎪⎧log a 6＝5，b －log a 6＝－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝615，b ＝1.故存在a ＝615，b ＝1，使得对任意n ∈N *，都有a n ＝log a b n ＋b 成立．【解题关键】 (1)联立方程组可求．(2)假设存在，由(1)得出方程，注意比较系数可求a ，b. 【方法归纳】求解等差、等比数列综合问题的技巧(1)理清各数列的基本特征量，明确两个数列间各量的关系．(2)发挥两个数列的基本量a 1，d 或b 1，q 的作用，并用好方程这一工具． (3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验．【跟踪训练2】已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n, 若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值。

标准文档立体几何题型归类总结一、考点解析基本图形1．棱柱——有两个面互相平行，其他各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

斜棱柱① 棱柱底面是正多形正棱柱★棱垂直于底面直棱柱其他棱柱②四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体E'D'F'C'侧面A'B'l底面侧棱高S极点侧面侧棱E D底面F C斜高AB D CO HA B2.棱锥棱锥——有一个面是多边形，其他各面是有一个公共极点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

★正棱锥——若是有一个棱锥的底面是正多边形，并且极点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3．球球面球的性质：球心轴①球心与截面圆心的连线垂直于截面；半径★② r R2 d 2（其中，球心到截面的距离为d、O球的半径为R、截面的半径为 r）★球与多面体的组合体：球与正周围体，球与长方体，R d球与正方体等的内接与外切.D'C'A'C'A'B'rAO1BO OD CA BA c注：球的有关问题转变成圆的问题解决.球面积、体积公式： S球 4 R2 ,V球4R3（其中R为球的半径）平行垂直基础知识网络★★★平行与垂直关系可互相转变平行关系垂直关系1. a,b a // b2. a,a // b b平面几何知识平面几何知识3. a,a//4.//,a a5.//,线线平行线线垂直判断判断推论判断性质性质性质面面垂直定义判断判断线面平行面面平行线面垂直面面垂直异面直线所成的角，线面角，二面角的求法★★★1．求异面直线所成的角0 ,90：解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其订交；（ 2）可将两条一面直线同时平移至某一特别地址。

第1讲空间几何体一、空间几何体1、空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。

如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而2、多面体和旋转体多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转几何体。

这条定直线叫做旋转体的轴。

二、柱、锥、台、球的结构特征1.棱柱2.棱锥三棱台4.圆锥7.球的结构特征1、球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球。

（1）半圆的半径叫做球的半径。

（2）半圆的圆心叫做球心。

（3）半圆的直径叫做球的直径。

2、球的表示：用表示球心的字母表示，如球O3、球的性质（1）用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆。

大圆---截面过圆心，半径等于球半径；小圆---截面不过圆心。

（2）球心和截面的圆心的连线垂直于截面。

（3）球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r ，有下面的关系：r =解题方法：将立体中相关问题转化为平面几何问题棱锥内由某些线段组成的直角三角形，在计算有关问题时很重要，它是将立体中相关问题转化为平面几何问题的根据，如图2-7中的△AOE，△AOC，△ACE及△OCE．这四个直角三角形中，若知道AE、AC、AO、OE、OC及CE 这六条线段中的若干条时，则可以通过这些直角三角形间的关系求出其他线段．总结三、空间几何体的三视图和直观图1、中心投影与平行投影2、三视图正视图——从正面看到的图侧视图——从左面看到的图俯视图——从上面看到的图画物体的三视图时，要符合如下原则:位置：正视图侧视图俯视图大小：长对正，高平齐，宽相等.3、直观图-----斜二测画法重点：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，步骤如下：⑴在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O' ，且使∠x'O'y' ＝45º（或135º），它们确定的平面表示水平面.⑵已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段；⑶已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.说明：1. 保持平行关系不变．2.水平长度保持不变；纵向长度取其一半．例3 用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.四、 空间几何体的表面积与体积（一 ）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2Srl r ππ=+4 圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++5 球的表面积24SR π=6扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径）（二）空间几何体的体积 1柱体的体积 VS h =⨯底2锥体的体积 13V S h =⨯底 3台体的体积1)3V S S h =++⨯下上（4球体的体积343V R π= 222rrl S ππ+=第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面1、平面及其表示2、平面的基本性质 ①公理1：②公理2：不共线的三点确定一个平面③公理3：A lB l l A B ααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭P l P l P ααββ∈⎫⇒⋂=∈⎬∈⎭则二、点与面、直线位置关系1、点与平面有2种位置关系2、点与直线有2种位置关系三、空间中直线与直线之间的位置关系1、异面直线2、直线与直线的位置关系⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪⎩相交共面平行异面3、公理4和定理 公理4：定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型(常考知识点)巩固练习平面【学习目标】1 .利用生活中的实物对平面进行描述；理解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.2 .重点掌握平面的基本性质.3 .能利用平面的性质解决有关问题.【要点梳理】［空间点线面之间的位置关系知识讲解】要点一、平面的基本概念1 .平面的概念：“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的.要点诠释：(1) “平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据)；(2) “平面”无厚薄之分；(3) “平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据.2 .平面的画法：通常画平行四边形表示平面.要点诠释：(1)表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成45 ,横边长是其邻边的两倍；(2)两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画：3 .平面的表示法：(1)用一个希腊字母表示一个平面，如平面a、平面0、平面7等；(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD ；(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面AC或者平面BD ；4 .点、直线、平面的位置关系：(1)点A在直线a上，记作Awa；点A在直线a外，记作Ac a ；⑵点A在平面a上，记作Asa ；点A在平面a外，记作A氏a ；(3)直线I在平面a内，记作lua：直线I不在平面a内，记作l(za.要点二、平面的基本性质平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础.1 .公理1：(1)文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内;⑵符号语言表述：AeI , B G I , Awa, Bea =>I ca ；(3)图形语言表述：要点诠释：公理1是判断直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”2 .公理2：(1)文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面：(2)符号语言表述：A、B、C三点不共线=有且只有一个平面a ,使得Awa, Bea, Cea；(3)图形语言表述：要点诠释：公理2的作用是确定平面，是把^间问题化归成平面问题的重要依据.它还可用来证明“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件.“有且只有一个”的含义可以分开来理解.“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义.(4)公理2的推论：①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面：②过两条相交直线，有且只有一个平面；③过两条平行直线，有且只有一个平面.(5)作用：确定一个平面的依据.3 .公理3：(1)文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线:(2)符号语言表述：Pwa nPnanP = l且P E I；（3）图形语言表述:要点诠释：公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据.要点三、点线共面的证明所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题.1 .证明点线共面的主要依据：（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）:②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及期隹论）.2 .证明点线共面的常用方法：（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；20辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面。