中考数学总复习第四章图形的初步认识与三角形第六节锐角三角函数及其应用课件

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第1题图
第六节 锐角三角函数及其应用
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改编条件：题干改变“测量点的高度”；“两个非特殊角”改为“两个 特殊角” 2．(2020 贺州)如图，小丽站在电子显示屏正前方 5 m 远的 A1 处看“防溺 水六不准”，她看显示屏顶端 B 的仰角为 60°，显示屏底端 C 的仰角为 45°，已知小丽的眼睛与地面距离 AA1＝1.6 m， 3．求电子显示屏高 BC 的值．(结果保留一位小数． 4．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)．
第 6 题图
第六节 锐角三角函数及其应用
解：如解图，延长 BC 交 MN 于点 F， 由题意得 AD＝BE＝3.5 米，AB＝DE＝FN＝1.6 米，
在 Rt△MFE 中，∠MEF＝45°，∴MF＝EF，
在 Rt△MFB 中，∠MBF＝33°，
∴MF＝BF·tan33°＝(MF＋3.5)·tan33°，
第六节 锐角三角函数及其应用
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3. ．如图，为测量电视塔观景台 A 处的高度，某数学兴趣小组在电视塔 附近一建筑物楼顶 D 处测得塔 A 处的仰角为 45°，塔底部 B 处的俯角为 22°.已知建筑物的高 CD 约为 61 米，请计算观景台的高 AB 的值．(结果 精确到 1 米，参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
形的边角 1. 三边关系：a2＋b2＝c2
关系
2. 两锐角关系：∠A＋∠B＝90° 3. 边角关系：sinA＝cosB＝ a ；cosA＝sinB＝ b；
tanA＝
a
c
；tanB＝
b
c
图②用
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1.仰角、俯角：如图③，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 锐角三角 所成的锐角称为__仰__角____，当从高处观测低处的目标时，视线与水平 函数的实 线所成的锐角称为___俯__角___ 际应用 2．坡度(坡比)、坡角：如图④，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡

(1)求两位市民甲、乙之间的距离CD；
解：∵斜坡CF的坡比i＝1∶3，DG＝30 m， DG 1
∴GC＝3， ∴GC＝3DG＝90 m， 在Rt△DGC中， DC＝ DG2＋GC2＝30 10 m. 答：两位市民甲、乙之间的距离CD为30 10 m.
(2)求此时飞机的高度AB.(结果保留根号) 过点D作DH⊥AB，垂足为点H，则DG＝BH＝30 m，DH＝BG，设BC＝x m， 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， ∴AB＝BC＝x m，∴AH＝AB－BH＝(x－30) m， 在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，
AH x－30 3 ∴tan 30°＝DH＝x＋90＝ 3 ，∴x＝60 3＋90， 经检验，x＝60 3＋90是原分式方程的根， ∴AB＝(60 3＋90) m.答：此时飞机的高度AB为(60 3＋90) m.
的树影BC长为m，则大树AB的高为
(A )
A．mcos
α－sincos
α－tan
α
D.sinm α－cosm α
4．★(2022·随州第9题3分)如图，已知点B，D，C在同一直线的水平地
面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物
AB的顶端A的仰角为β，若CD＝a，则建筑物AB的高度为
解：过点B作BC⊥AD，交DA的延长线于点C，设AC＝x m，∵AD＝50 m， ∴CD＝AC＋AD＝(x＋50) m，在Rt△ABC中，∠CAB＝60°， ∴BC＝AC·tan 60°＝ 3x m， 在Rt△BCD中，∠BDC＝45°， ∴tan 45°＝BCCD＝1，∴BC＝CD， ∴ 3x＝x＋50，∴x＝25 3＋25， ∴AC＝(25 3＋25) m，∴AB＝2AC＝50 3＋50≈137(m)， 答：古亭与古柳之间的距离AB的长约为137 m.

练习3题解图
练习3题解图
练习3题解图
方法指导
常用的方法有两类：
类型1 三角形做高法： 图形
关系式 AB＝AD－BD
方法指导
图形
关系式 AB＝AD－BD
方法指导
图形
关系式
BC＝BD＋CD
方法指导
类型2 梯形做高法 图形
关系式
AC＝AE－CE
方法指导
图形
关系式
AB＝BE＋AE ＝CD＋AE
b sin(90°－A)＝④__c____；
a cos(90°－A)＝⑤___c___．
2．特殊角的三角函数值
角度α 三角 函数值
sinα
30°
1 2
45°
2 2
cosα ⑦____
2 2
tanα
3 ⑧_1____
3
60°
⑥_____
1 2
3
基础点 2 直角三角形的边角关系
类型 解法 已知条件
解法步骤
两直角边
（a，b）
斜边c，直 角边a
类型
解法 已知条件
锐角∠A,
计算边的口诀： 锐角∠A
有斜求对乘正弦； 的邻边b
有斜求邻乘余弦； 无斜求对乘正切； 无斜求邻除正切
锐角∠A, 锐角∠A 的对边a
解法步骤
类型
解法 已知条件
计算边的口诀： 有斜求对乘正弦； 斜边c， 有斜求邻乘余弦； 锐角∠A 无斜求对乘正切； 无斜求邻除正切
第一部分 夯实基础 提分多
第四单元 三角形
第21课时 锐角三角函数及其应用
基础点巧练妙记 基础点 1 锐角三角函数
1．三角函数的概念 如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A为△ABC中的a一锐角，则有∠A的正 弦：sinA＝①___c___；

【详解】解：∵ tan − 3 + 2cos − 3 ＝0，
∴ tan − 3 = 0， 2cos − 3
2
= 0，
∴ tan = 3，2cos − 3 = 0，
∴ ∠ = 60°，cos =
3
，∠
2
= 30°，
在△ 中，∠ = 180° − 60° − 30° = 90°，且∠ ≠ ∠，
−2
．
考点一 锐角三角函数
题型09 求特殊角的三角函数值
3
【例9】（2023·山东淄博·统考一模）在实数 2，x0（x≠0），cos30°， 8中，有理数的个数是（
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【变式9-1】（2023·广东潮州·二模）计算|1 − tan60°|的值为（
A．1 − 3
B．0
C． 3 − 1
3
∴tan∠ABE＝tan30°＝ 3 ，
3
故答案为： 3 ．
．
考点一 锐角三角函数
题型05 已知正弦值求边长
3
【例5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ 中，∠ = 90°，若 = 100, sin = 5，则的长是
（
）
500
3
A．
503
5
B．
C．60
D．80
【变式5-1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，
∠A的邻边
斜边
cos A =
b
c
正切
tanA =
∠A的对边
∠A的邻边
tan A =
a
b
3. 锐角三角函数的关系：

3 应用
锐角三角函数广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
三角函数的定义及分类
定义பைடு நூலகம்
正弦、余弦、正切、正割和 余割是根据三角形的边长关 系定义的函数。
分类
三角函数可分为基本三角函 数和带角的三角函数，每个 函数都有不同的性质和应用。
图像
不同函数在坐标系上的图像 展示了它们的周期性、对称 性和变化规律。
角度制与弧度制的转换
1 角度制
2 弧度制
常用角度单位，用度数表示。
另一种角度单位，用弧长与半径的比值表示。
3 转换方法
角度制与弧度制之间可通过一定的换算公式进行转换。
正弦函数的图像及基本性质
图像
正弦函数在坐标系中呈现出一条 连续变化的波浪线。
性质
正弦函数的定义域是全体实数， 值域是[-1, 1]，具有周期性和对 称性。
正切函数的图像及基本性质
1
图像
正切函数在坐标系中形成一系列连续交叉的直线。
2
性质
正切函数的定义域是所有切点的横坐标全体，值域是所有实数。
3
特性
无定义点、无界性和奇偶性是正切函数的特别性质。
正割函数、余割函数的图像及基本性质
1 正割函数
正割函数形成一组连续的 曲线，与余弦函数图像对 称。
2 余割函数
余割函数形成一组连续的 曲线，与正弦函数图像对 称。
3 性质
正割和余割函数分别是余 弦和正弦函数的倒数。
三角函数的周期性质
周期
三角函数的图像在一定范围内 呈现出重复的模式，这个范围 称为函数的周期。
周期公式
不同三角函数的周期可通过一 定的公式进行计算。
变化规律
周期性质决定了三角函数的重 复模式和增减变化规律。

是点 E，点 F.由题意得，∠CDE＝37°.
CE
DE
在 Rt△CDE 中，sin 37°＝CD，cos 37°＝CD，
CD＝200，
∴CE＝200·sin 37°≈120，DE＝200·cos 37°≈160.
∵AB⊥BC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠B＝∠DEB＝∠DFB＝90°.
∴四边形 BEDF 是矩形，∴BE＝DF，BF＝DE＝160， ∴AF＝AB－BF＝300－160＝140.
DF 在 Rt△ADF 中，tan 65°＝AF， ∴DF＝AF·tan 65°≈140×2.14＝299.60. ∴BC＝BE＋CE＝299.60＋120≈420. 答：革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420 米．
2．(2021·丹东)如图，一架无人机在空中 A 处观测到山顶 B 的仰角为 36.87°，山顶 B 在水中的倒影 C 的俯角为 63.44°，此时无 人机距水面的距离 AD＝50 米，求点 B 到水面距离 BM 的高 度．(参考数据：sin 36.87°≈0.60，cos 36.87°≈0.80， tan 36.87°≈0.75，sin 63.44°≈0.89，cos 63.44°≈0.45， tan 63.44°≈2.00)
1．(2020·安徽第 8 题 4 分)如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 AC
上，∠DBC＝∠A.若 AC＝4，cos A＝45，则 BD 的长度为
( C)
A.94
B.152
C.145
D．4
命题点 2：解直角三角形的实际应用(必考) 2．(2021·安徽第 17 题 8 分)学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零 件的截面如图阴影部分所示，已知四边形 AEFD 为矩形，点 B， C 分别在 EF，DF 上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10 cm， BC＝6 cm.求零件的截面面积．(参考数据：sin 53°≈0.80， cos 53°≈0.60)

基本作图与证明
例 1：如图 Z2-1，在▱ABCD 中，已知 AD＞AB.
图 Z2-1 (1)实践与操作：作∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，在 AD 上截取 AF＝AB，连接 EF；(要求：尺规作图，保留作图痕迹， 不写作法) (2)猜想并证明：猜想四边形 ABEF 的形状，并给予证明.
[思路分析](1)由角平分线的作法容易得出结果，在AD 上
∴∠DAE＝∠AEB. ∵AE 平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB. ∴BE＝AB. 由(1)，得 AF＝AB. ∴BE＝AF. 又∵BE∥AF， ∴四边形 ABEF 是平行四边形. ∵AF＝AB， ∴四边形 ABEF 是菱形.
尺规作图与证明是每年中考必考内容，一般考查学生对基 本作图的掌握情况和实践操作能力，并且在作图的基础上进一 步证明结论的成立.此类题目属于基础题，难度不大，一般与特 殊三角形、特殊四边形和圆有着密切联系.所以掌握 5 种基本作 图的方法至关重要.
在基本作图的基础上，掌握较复杂的尺规作图，即利用基 本作图作三角形、作三角形的外接圆、内切圆等是中考常考的 内容.难度稍有提高，需要结合其他几何图形的性质灵活运用尺 规作图.另外，注意在作图过程中，保留作图痕迹.
截取 AF＝AB，连接 EF；画出图形即可.
(2)由平行四边形的性质和角平分线性质得出∠BAE＝
∠AEB，证出BE＝AB，由(1)，得AF＝AB，得出BE＝AF，即
可得出结论.
解：(1)作图如图 Z2-2.
(2)四边边形，
∴AD∥BC.
图 Z2-2

/
/
)
间接
sin45°，cos30°
解答题(三
求值 2020 25(3)
4 30°，45° ，cos45°，
/
/
)
tan30°
解答题(三
第六节 锐角三角函数及其实际应用
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命题点2 锐角三角函数的实际应用(6年2考) 课标要求 1.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际 问题； 2.在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置．(2022年版课 标将“能用”改为“运用”)
题情境 海等，该考法试题详见练习册.
第六节 锐角三角函数及其实际应用
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教材改编题课前测
1. [北师九下P25习题改编]如图为东西
流向且河岸平行的一段河道，A，B分别
为两岸上一点，且点B在点A的正北方向，
由点A向正东方向走a米到达点C，此时测
第1题图
得点B在点C的北偏西55°方向上，则河道AB的宽为( D )
背靠背 、俯
实验楼
角
30°， 45°
结果保 留根号
教学楼 的高度
人教九下 P75例4( 改变角度
背景)
第六节 锐角三角函数及其实际应用
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命题趋势·新考法分析 新考法— 《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》和《课程标准(2022年版)》中均指出： —真实问 情境创设的真实性．近两年真实问题情境全国新增考查较多，如河南、陕西、武汉、威
第六节 锐角三角函数及其实际应用
考点 4 锐角三角函数的实际应用(6年2考)
在视线与水平线所成的锐角中，视线 仰角、
在水平线上方的角叫仰角，视线在水 俯角
平线下方的角叫俯角，如图

前或后退多少？
(sin80°≈0.98，cos80≈0.17， ≈1.41，结果精确到0.1)
思路分析：(1)过点F作FN⊥DK于点N，过点E作EM⊥FN于点M.求 出MF，FN的值即可解决问题；(2)过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交 MN于点H，求出OH，PH的值即可判断．
自主解答：(1)如图，过点F作FN⊥DK于点N，过点E作EM⊥FN于点M. ∵EF＋FG＝166，FG＝100， ∴EF＝66. ∵∠FGK＝80°，∴FN＝100·sin80°≈98. ∵∠EFG＝125°， ∴∠EFM＝180°－125°－10°＝45°. ∴FM＝66·cos45°＝33 ≈46.53. ∴MN＝FN＋FM≈144.5. ∴此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5cm. (2)如图，过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H. ∵AB＝48，O为AB中点， ∴AO＝BO＝24. ∵EM＝66·sin45°≈46.53， ∴PH≈46.53. ∵GN＝100·cos80°≈17，CG＝15， ∴OH＝24＋15＋17＝56，∴OP＝OH－PH＝56－46.53＝9.47≈9.5. ∴他应向前9.5 cm.
166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°(∠FGK＝
80°)，身体前倾成125°(∠EFG＝125°)，脚与洗漱台距离GC＝ 15cm(点D，C，G，K在同一直线上)． (1)此时小强头部E点与地面DK相距多少？ (2)小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向
第四章
图形的初步认识与三角形
第20讲
锐角三角函数及其应用
考点梳理过关
考点1 锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a， b，c.

∴ 3x- x=30,∴x=15 3≈25.98(米).
30°,且 D,B,C 在同一水平线上,已知桥
答:无人机飞行高度 AD 约为 25.98 米.


3
,得 BD= x.
3
3
3
BC=30 米,求无人机飞行高度 AD.(精
确到 0.01 米,参考数据: 2≈1.414, 3≈1.732)

图22-6
在实际测量竖直高度、水平宽度、距离等问题时,常结合(jiéhé)视角知识构造直角三角形,利用三角函数或相似三角形来解决
问题.常见的构造的基本图形有如下几种:
①不同地点看同一点,如图22-8;
②同一地点看不同点,如图22-9;
③利用反射构造相似,如图22-10.
图22-8
图22-9
第二十页，共二十一页。
3
[解析] 原式=2× -1-( 3-1)= 3-1- 3
2
A.2 3-2
B.0
C.2 3
D.2
+1=0.故选 B.
1
1 2
2
2
2.[2018·青海] 在△ ABC 中,若 - + 度数是
)
2.90°
=0,则∠C 的
.
第十三页，共二十一页。
课堂考点探究
探究(tànjiū)二
解直角三角形
斜边
中,∠C=90°
∠的邻边
斜边
∠的对边
∠的邻边

sinA=


cosA=

tanA=
第二页，共二十一页。


取值范围
0<sinA<1(∠A 为锐角)
0<cosA<1(∠A 为锐角)