人教版初三数学《锐角三角函数》公开课课件

A
斜边
45°
45°的对边
斜边
2 2
C
B
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大 小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值．
（三）形成概念
（三）形成概念
对于正弦概念的几点说明： ①前提是直角三角形
②sinA是一个整体符号，如果是三个字母表示一 个角，则sin∠ACD，如果用一个数字表示一个角， 则sin∠1，用希腊字母表示角度， sin
教学目标
探究并认识锐角三角函数的正弦函数 （sinA）的含义和记法；会求在直角三 角形中锐角的正弦值.
经历有特殊到一般的猜想探究过程，初 步体会研究锐角三角函数的必要性.
在新概念的生成过程中，培养学生发现、 提出问题的能力，提升数学学习兴趣.
教学重点与难点
教学重点： 探究并认识锐角三角函数的正弦
28.1 锐角三角函数 （第一课时
）
教学内容分析
在已经研究了直角三角形的三边之间的关 系——勾股定理、两个锐角之间关系的基 础上，利用相似三角形的性质进一步讨论 直角三角形边角之间的关系．
引入锐角的正弦概念的过程，体现了从特 殊到一般的思想方法．先讨论直角三角形 中锐角的对边与斜边的比的不变性，进而 给出锐角的正弦概念，这种定义方式为后 续研究其他锐角三角函数提供了范例.
函数（sinA）的含义和记法；会求在 直角三角形中锐角的正弦值. 教学难点：
在探究活动中，研究问题的提出 过程以及在锐角的正弦定义前，先研 究直角三角形中锐角的对边与斜边的 比为定值的必要性.
教学过程
（一）引入新课
（二）探究新知
A 30°
30°的对边 1
斜边
2
T

BC AC
= 12 =
AC
34，所以AC=9.故填9.
随堂训练
AB 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC
17 15
,则tan
15 A＝_8__．
由正切定义可知tan A＝BACC , 因为 AB 17 , 可设BC＝15a，AB＝17a，从而可
BC 15
用勾股定理表示出第三边AC＝8a，再用正切的定义求解得 tan A＝ BC 15 .
由勾股定理可得 AB= BC2 AC2 122 162 =20.
∴AB的长为20.
课堂小结
1.正切的定义： 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻
边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作tan A， 即tan A＝ A的对边
A的邻边
2.tanA的值越大，梯子（坡）越陡
图①
图②
新课导入
问题引入
如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它 的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km 到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮 船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)
该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?
(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知 ∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)
C,C'.
BC AC
与BACC
具有怎样的关系?
在两个直角三角形中,当一对锐角相等
时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直
角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以 ∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 BC
AC
是确定的.
知识讲解
1.正切的定义
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫

(C) 0＜cosA＜ 3 2
(D) 3＜cosA＜1 2
3.特殊角300,450,600角的三角函数值.
锐角a 三角 函数
sin a
cos a
tan a
30° 45° 60°
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
3
1
3
练一练
求下列各式的值： (1) sin230°+ cos230°－tan45°.
（2）3tan 30 tan 45 2sin 60；
求sin∠ABC的值。
构建直角三角形求三角函数值
求sin∠ABC的值。
解:过点A作AD⊥BC于D.
等腰三角形常作底边上的高线。
归纳：已知值，求角 求cosB 及tanB 的值.
(C) 0＜cosA＜
(D) ＜cosA＜1
求锐角三角函数值的四种常用方法
方法
1
直接用锐角三角函数的定义求 三角函数值
1.如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
那么 cosA 的值等于 ( D )
A. 3 4
B. 4 3
C. 3 5
D. 4 5
方法 2 巧设参数求三角函数值
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，且sinB=
12 13
，
5
则tanA= 12 .
方法
3 利用等角转化法求三角函数值
3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是 斜边AB的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD， CB相交于点H，E且AH＝2CH，求sin B的值．
17
E

正12弦．是一在直直角角三三角角形形的中两定边义长的分，别反为映6和了8直，角求三该角三形角边形与中角较的小关锐系角. 的正弦值． 正由弦勾是 股在定直理角得三AB角2形=A中C定2+义B的C2，=反2B映C了2.直角三角形边与角的关系.
第例2如8，章当锐∠A角＝三3角0°函时数，我们有
行喷灌. 现测得斜坡的坡角(∠A )为 30°，为使出水口的高度 由人勾教股 版定· 数理学得· A九B年2=级A（C2下+）BC2=2BC2.
例现1测得如斜图坡，的在坡R角t△(∠AABC)为中3，0∠°，C=为9使0°出，水求口si的nA高和度为sin3B5的m值，. 需要准备多长的水管？
为 35 m，需要准备多长的水管？ 所正以弦是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系.
A例．如s，in当A∠＝A3＝sin30A°′时，B我．们sin有A＝sin A′ 现能测根得 据斜正坡弦的概坡念角正确(∠进A 行)为计3算0°。，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
由勾股定理得 AB2=AC2+BC2=2BC2.
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时， 在 Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =4，则 sinA =
．
理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变)。
从上述情境中，你可以发现一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
现测得斜坡的坡角(∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
A．sin A＝3sin A′ B．sin A＝sin A′
正弦是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系.

• 四级
• 五级
试着求一求的值．
A ＝


课堂小结
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，
B
∠A的对边
A
┌
∠A的邻边
C
那么∠A的对边与邻边的比随之
确定，这个比叫做∠A的正切.
记作：tanA
∠A的对边
tan A
∠A的邻边
tanA越大，梯子越陡， ∠A越大.
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随堂练习
1. 如图，△ABC是等腰三角形，你能根据图中所给数据求
，


∴CE=

tan∠EFC＝ =


．
拓展提升
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随堂练习
(1
). tan60°＝
，tan30°＝
．发现：2tanA
tan2A
（填“＝”或“≠”）
• 单击此处编辑母版文本样式
• 二级
• 三级 中 ， ∠C ＝ 90° ， AC ＝ 3 ， tan
在 Rt△ABC
二级
• 三级
吗？
B
• 四级
• 五级
解：由图可知，D为AC的中点，
则DC=2.
1.5 3
tan C
= .
2 4
1.5
A
D
4
C
如何变化？
倾斜角越大——梯子越陡
1
2
梯子AB和EF哪个更陡？你是如何判断的？
当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡.
当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡.
梯子AB和EF哪个更陡？你是如何判断的？
如图，小明想通过测量B1C1及AC1 ，
算出它们的比，来说明梯子AB1的倾斜

第二十八单元 第1课
锐角三角函数
问题引入
问题1 ⑴相似三角形的对应边之间有什么关系？ ⑵在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有什么关系？ ⑶在直角三角形中，斜边与两条直角边之间有什么关系？ 问题2 据研究，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°度左右时， 人脚的感觉最舒适。假设美女脚前掌到脚后跟长为15厘米，不难 算出鞋跟在3厘米左右高度为最佳。你知道专家是如何算出鞋跟的 最佳高度的吗？
追问2：由此你能得出什么结论？
新知探究
追问3：在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么它的对边与 斜边比值又是怎样的呢？ 追问4：在直角三角形中，通过对30°和45°的对边与斜边比值的研究， 你能得出什么结论？
新知探究
问题4 一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否 也是一个固定值？
在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与 斜边的比也是一个固定值。
正弦函数概念：
新知探究
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做 ∠A的正弦（sine），记住sinA，即
新知探究
问题5 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A确定时，∠A的对边与斜边的 比值随之确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？
因此
sin A BC 6 3
AB 10 5
cos A AC 8 4 AB 10 5
tan A BC 6 3 AC 8 4
应ห้องสมุดไป่ตู้新知
例3：求下列各式的值：
（1） cos2 60 sin2 60
； （2）
cos 45 tan 45 sin 45
。
解：（1）

锐角三角函数图像与性质
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数运算规则
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02

根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即 ∠A斜的边对边＝ABCB＝21， 可得 AB＝2BC＝70 m，即需要准备 70 m 长的水管． 思考 1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50 m，那么需要准备 多长的水管？ 学生按与上面相似的过程，自主解决． 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么不管三角形
sinB＝∠B斜的边对边＝bc.
思考 3：一般地，当∠A 取一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否 也是一个固定值？
探究：如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠ A＝∠A′＝α，那么AACB与AA′′CB′′有什么关系？
教师用类比的方法引导学生思考、讨论． 结论：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如 何改变，∠A 的邻边与斜边的比是一个固定值． 余弦的概念： 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余 弦，记作 cosA，即 cosA＝∠A斜的边邻边＝bc.
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于12.

已知∠A为锐角，且 ＜cosA＜ ，则∠A的取值范围是( )
利用计算器求sin30°时，依次按键
，则计算器上显示的结果是( )
∵在Rt△ACH中，sinA＝ ，∴CH＝AC·sinA＝9sin48°≈6.
60°＜∠A＜90°
D.
利用计算器求值：（保留4位小数）
第二十八章 锐角三角函数
求sin30°的按键顺序是 (2)sin23°5′+cos66°55′； (1)sin67°38′24″; 如图，在△ABC中，AB=8，AC=9，∠A=48°.
9sin 48 8 9 cos 48
≈3.382，∴∠B≈73°32′.
上一页 下一页
，则计算器上显示的结果是( )
下列说法正确的是( )
7014）6，则锐角∠B≈______________.
5（2）∠BB的.度数.
(∵2在)∵R在t△RtA△CAHC中H，中s，incAo＝sA＝，∴C，H∴＝AAHC＝·sAiCnA·c＝os9As＝in498c°os≈468.°.
5求sin30°B的. 按键顺序是
3第0二9 0十，八则章α的锐度角数三约角为函(数 )
在用R计t△ 算B器C求Hs中in，24ta°n3B7＝′18″＝的值，以下按≈键3.顺序正确的是( )
(第2)二sin十2八3°章5′锐+c角os三66角°函55数′；
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5.
上一页 下一页
利用计算器求值：（保留4位小数）
如图，在△ABC中，AB=8，AC=9，∠A=48°.
5
B.
下列说法正确的是( )
在Rt△BCH中，tanB＝ ＝
≈3.

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九年级数学下册（RJ）
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