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2019年广东省深圳市招生入学数学试卷一、比眼力，你能把每题中正确答案的序号都写在（）里（14分）1. 一个三角形，三个内角度数的比为2:5:3，则此三角形为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定2. 一批水泥，用去49，剩下的是用去的（）A.5 9B.45C.54D.1093. 一台电冰箱的原价是2400元，现在按七折出售，求便宜了多少元？列式是（）A.2400÷70%B.2400×70%C.2400×(1−70%)D.2400÷(1−70%)4. 已知：a×23=a×135=a÷23，且a、a、a都不等于0，则a、a、a中最小的数是（）A.aB.aC.a5. 用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且每盒不空，那么至少要用（）杯子。
A.100B.500C.1000D.50506. 一个小数的小数点向右移动一位，比原数大5.4，原来的这个小数是（）A.0.6B.5.4C.0.54D.0、457. 张师傅以1元钱4个苹果的价格买进苹果若干个，又以2元钱5个苹果的价格把这些苹果卖出，如果他要赚得15元钱的利润，那么他必须卖出苹果（）个。
A.10B.100C.20D.160二、细心填一填，你一定行（共22分，每小题2分）8. 四川汶川特大地震发生以来，全国共接收国内外社会各界捐赠款物（截至2008年9月25日12时）总计（五百九十四亿六千万零八十元），括号里的数写作________，省略亿后面的尾数约是________．9. 水是由氢气和氧气按1:8的质量比反应生成的。
如果要生成54千克的水，需要氢气________千克。
10. 一个正方形的边长增加2aa，面积增加20aa2，扩大后正方形面积为36aa2．11. 工地上有a吨水泥，每天用去a吨，用了2天。
用式子表示剩下的吨数是________．如果a＝20，a＝4，那么剩下的是________吨。
G1入学二次函数01（填空）一．填空题（共30小题）1．（2015•肥城市一模）已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为．2．（2015•杭州模拟）已知点P（5，n），点Q（m，n）是抛物线y=2x2+4x﹣c的两个不同的点，则m=．3．（2015•和平区一模）某飞机着陆滑行的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为：s=60t ﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行米才能停止．4．（2015•杭州模拟）已知正整数a满足不等式组（x为未知数）无解，则a的值为；函数y=（3﹣a）x2﹣x﹣3图象与x轴的交点坐标为．5．（2015秋•潮州期末）抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解为．6．（2014•涪城区校级自主招生）一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数y=x2+bx﹣4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP的面积是．7．（2014•杨浦区二模）抛物线y=2x2+4x﹣2的顶点坐标是．8．（2014•上海一模）已知一个二次函数的图象具有以下特征：（1）经过原点；（2）在直线x=1左侧的部分，图象下降，在直线x=1右侧的部分，图象上升．试写出一个符合要求的二次函数解析式．．9．（2014•丹东校级二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列4个结论正确的有个①ac＜0；②2a+b=0；③4a+2b+c＞0；④对于任意x均有ax2+bx≥a+b．10．（2014•老河口市模拟）抛物线y=2x2+3上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1=y2，当x=x1+x2时，y=．11．（2014•独山县模拟）如图，抛物线y=x2沿直线y=x向上平移个单位后，顶点在直线y=x上的M处，则平移后抛物线的解析式为．12．（2014•工业园区一模）二次函数y=（x+3）（2﹣x）取得最大值时，x=．13．（2014•牡丹江一模）已知抛物线y=ax2+bx+c经过三个点（0，5），（4，5）（3，0）并且与x轴另一个交点为点P，若将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则点P 的对应点的坐标为．14．（2014•天门模拟）抛物线y=kx2﹣5x+2的图象和x轴有交点，则k的取值范围是．15．（2014•乳山市二模）抛物线y=x2﹣（2m﹣1）x﹣2m与x轴的两交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0），且||=1，则m的值为．16．（2013秋•龙口市期末）已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2012的值为．17．（2013秋•开封县期末）将抛物线y=3x2﹣6x+4先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是．18．（2013秋•文登市期末）已知下列函数：①y=﹣（x﹣1）2；②y=x2+1；③y=﹣x2﹣1．其中，图象通过平移可以得到函数y=﹣（x﹣2）2﹣1的图象的有（填写所有正确选项的序号）．19．（2013秋•日照期末）二次函数y=x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的最大值和最小值分别是．20．（2014春•永定县校级期末）不论x取何值，二次函数y=﹣x2+6x+c的函数值总为负数，则c的取值范围为．21．（2013秋•南京期末）某公园草坪的防护栏形状是抛物线形．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则其中防护栏支柱A3B3的长度为m．22．（2013秋•宜城市期末）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为ym，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则炮弹飞行第秒时高度是最高的．23．（2013秋•宝安区期末）某服装店销售童装平均每天售出20件，每件赢利50元，根据销售经验：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可以多售出4件．则每件童装应降价元时，每天能获得最大利润．24．（2013•鞍山一模）若二次函数y=（a+1）x2+2x+a2﹣1的图象经过原点，则a的值是．25．（2013•大港区一模）已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下则该二次函数的关系式为．26．（2013•黄陂区模拟）已知y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是．27．（2013•灌云县模拟）根据下列表格中y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判228．（2013•黄冈二模）如图，是y=x2、y=x、y=在同一直角坐标系中图象，请根据图象写出＜x＜x2时x的取值范围是．29．（2013秋•如皋市期中）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=﹣（x﹣1）2+1的图象上，若﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4，则y1y2（填“＞”、“＜”或“=”）．30．（2013秋•工业园区期中）若二次函数y=（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点，则m=．。
二次函数的性质01（选择题）一．选择题（共30小题）1．（2015•益阳）若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜02．（2015•常州）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣13．（2015•南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧4．（2015•梅州）对于二次函数y=﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2015•甘孜州）二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（）A．x=4 B．x=﹣4 C．x=2 D．x=﹣26．（2015•新疆）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）7．（2016•重庆模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线的图象如图所示，当y1≠y2时，取y1，y2中的较大值记为N；当y1=y2时，N=y1=y2．则下列说法：①当0＜x＜2时，N=y1；②N随x的增大而增大的取值范围是x＜0；③取y1，y2中的较小值记为M，则使得M大于4的x值不存在；④若N=2，则x=2﹣或x=1．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2015•台州）设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）9．（2015•贵阳）已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是（）A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜310．（2015•福州）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A．正比例函数B．一次函数 C．反比例函数D．二次函数11．（2015•玉林）如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（）A．a=b+2k B．a=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜012．（2015•南开区二模）二次函数y=x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x=a时，y ＜0；那么当x=a﹣1时，函数值（）A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y=m13．（2015•深圳模拟）若（2，5）、（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（）A．x=﹣B．x=1 C．x=2 D．x=314．（2015•潍坊模拟）若函数y=的自变量x的取值范围是全体实数，则c的取值范围是（）A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤115．（2015•巴中模拟）抛物线y=x2﹣8x+m的顶点在x轴上，则m等于（）A．﹣16 B．﹣4 C．8 D．1616．（2015•大庆模拟）若点A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线y=x2﹣4x﹣m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y22时，y随x的增大而增大；⑤方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．其中正确的是（）A．①②③ B．①③⑤ C．①③④ D．①④⑤18．（2015•巴中模拟）若直线y=ax+b（a≠0）在第二、四象限都无图象，则抛物线y=ax2+bx+c （）A．开口向上，对称轴是y轴B．开口向下，对称轴平行于y轴C．开口向上，对称轴平行于y轴D．开口向下，对称轴是y轴19．（2015•鄄城县三模）关于二次函数y=3x2﹣kx+k﹣3，以下结论：①抛物线交x轴有两个不同的交点；②不论k取何值，抛物线总是经过一个定点；③设抛物线交x轴于A、B两点，若AB=1，则k=9；④抛物线的顶点在y=﹣3（x﹣1）2图象上．中正确的序号是（）A．①②③④B．②③C．②④D．①②④20．（2015•山西模拟）已知二次函数y1=﹣3x2，，，它们的图象开口由小到大的顺序是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y3＜y121．（2015•亭湖区校级模拟）若二次函数y=（x﹣k）2+m，当x≤2时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k=2 B．k＞2 C．k≥2 D．k≤222．（2015•平阴县二模）下列函数中，在0≤x≤2上y随x的增大而增大的是（）A．y=﹣x+1 B．y=x2﹣4x+5 C．y=x2D．y=23．（2015•石家庄校级模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如表：则该二）y 5 1 ﹣1 ﹣1 1A．y轴B．直线x= C．直线x=2 D．直线x=﹣224．（2015•海宁市模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部+（b ﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个25．（2015•岱岳区二模）已知Y1，Y2，Y3分别表示二次函数、反比例函数和一次函数的三个函数值，它们的交点分别是A（﹣1，﹣2）、B（2，1）和C（，3），规定M={Y1，Y2，Y3中最小的函数值}，则下列结论错误的是（）A．当x＜﹣1时，M=Y1B．当﹣1＜x＜0时，Y2＜Y3＜Y1C．当0≤x≤2时，M的最大值是1，无最小值D．当x≥2时，M最大值是1，无最小值26．（2015•牡丹江二模）抛物线y=ax2+bx+c经过点（4，﹣5）且对称轴是直线x=2，则代数式c﹣2的值为（）A．25 B．﹣25 C．D．﹣27．（2015•彭州市校级模拟）已知二次函数y=x2+bx+c过点（0，﹣3）和（﹣1，2m﹣2）对于该二次函数有如下说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②若存在一个正数x0，使得当x＜x0时，函数值y随x的增大而减小，则m＞0；若存在一个负数x0，使得当x＞x0时，函数值y随x的增大而增大，则m＜0；③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=﹣1；④若当x=2时的函数值与x=2012时的函数值相等，则当x=20时的函数值为﹣3．其中正确的说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．428．（2015•杭州模拟）如图，已知二次函数的解析式为y=x2﹣1，其图象上有一个动点P，连接OP（O为坐标原点），并以OP为半径作圆，则该圆的最小面积是（）A．πB．πC．πD．π29．（2015•杭州模拟）如图，已知点A（﹣1，0），B（7，0），P是线段AB上任意一点（不含端点A，B），过A、P两点的二次函数y1和过P、B两点的二次函数y2的图象开口均向上，它们的顶点分别为C、D，射线BD与AC相交于点E．当AE=BE=5时，这两个二次函数的最小值之和等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣430．（2015•岱岳区二模）若不等式组（x为未知数）无解，则对二次函数y=ax2﹣2x+1的图象的下列叙述：（1）开口向上；（2）与x轴没有交点；（3）顶点在第二象限；（4）当x＞﹣时，y随x的增大而增大．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个。
G1入学三角函数/概率/规律题（解答题）一．解答题（共30小题）1．（2015•济宁）阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，==，利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．解：在△ABC中，∵=∴b====3．理解应用：如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．（1）判断△A1A2B2的形状，并给出证明；（2）求乙船每小时航行多少海里？2．（2015•湘西州）如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60千米的地方有一城市A．（1）问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？（2）在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．3．（2014•佛山）我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）．如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题．等等．（1）如图，若B1B=30米，∠B1=22°，∠ABC=30°，求AC（精确到1）；（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40，≈1.73）（2）如图2，若∠ABC=30°，B1B=AB，计算tan15°的值（保留准确值）；（3）直接写出tan7.5°的值．（注：若出现双重根式，则无需化简）4．（2013•郴州）我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC=5km．轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）．5．（2013•遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）6．（2013•万州区校级模拟）已知在△ABC中，∠B=30°，tanC=2，AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）7．（2009•咸宁）如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，边长为5的正三角形OAB 的OA边在x轴的正半轴上．点C、D同时从点O出发，点C以1单位长/秒的速度向点A 运动，点D为2个单位长/秒的速度沿折线OBA运动．设运动时间为t秒，0＜t＜5．（1）当0＜t＜时，证明DC⊥OA；（2）若△OCD的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）以点C为中心，将CD所在的直线顺时针旋转60°交AB边于点E，若以O、C、D、E 为顶点的四边形是梯形，求点E的坐标．8．（2010•赤峰）关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan（α+β）=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105°=tan（45°+60°）====﹣（2+）．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．9．（2013•武汉模拟）中国籍作家莫言获2012年诺贝尔文学奖后，国内掀起了一股购阅莫言作品的热潮．小明的语文老师是莫言的忠实读者，家中现有：A．《透明的红萝卜》，B．《红高粱家族》，C．《生死疲劳》，D．《蛙》等四部作品．（1）若老师随机拿来一本给小明阅读，拿到《蛙》的概率是多少？（2）若小明想向老师同时借阅两本，请用树形法或列表法的一种，列举出老师随机抽取两本时所有可能的结果（用A、B、C、D表示相应的作品），并求出小明恰好借到《蛙》和《透明的红萝卜》的概率．10．（2012•江西）如图，大小、质地相同，仅颜色不同的两双拖鞋（分左、右脚）共四只，放置在地板上[可表示为（A1，A2），（B1，B2）]．（1）若先将两只左脚拖鞋中取出一只，再从两只右脚拖鞋中随机取出一只，求恰好匹配成相同颜色的一双拖鞋的概率；（2）若从这四只拖鞋中随机的取出两只，利用树形（状）图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好匹配成相同颜色的一双拖鞋的概率．11．（2011•营口）如图，甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为m，乙转盘中指针所指区域内的数字为n（若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针都指向一个区域为止）．（1）请你用画树状图或列表格的方法求出|m+n|＞1的概率；（2）直接写出点（m，n）落在函数y=﹣图象上的概率．12．（2011•宁夏）有一个均匀的正六面体，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机地抛掷一次，把朝上一面的数字记为x；另有三张背面完全相同，正面分布写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后计算出S=x+y的值．（1）用树状图或列表法表示出S的所有可能情况；（2）求出当S＜2时的概率．13．（2012•济宁）有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D，正面分别写有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．（1）请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果；（2）如果在（1）中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率；（3）若两种正多边形构成平面镶嵌，p、q表示这两种正多边形的个数，x、y表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程px+qy=360，求每种平面镶嵌中p、q的值．14．（2009•南充）甲口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有1和2；乙口袋中装有三个相同的小球，它们分别写有3，4和5；丙口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有6和7．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．（1）取出的3个小球上恰好有两个偶数的概率是多少？（2）取出的3个小球上全是奇数的概率是多少？15．（2011•汕头校级二模）在9年级毕业前，团支部进行“送赠言”活动，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发赠言条数的情况进行了统计，并制成了如图两幅不完整的统计图：（1）求该班团员共有多少？该班团员在这一个月内所发赠言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；（2）如果发了3条赠言的同学中有两位男同学，发了4条赠言的同学中有三位女同学．现要从发了3条赠言和4条赠言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“送赠言”活动总结会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．16．（2008•庐阳区）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．又快到农历五月初五端午节了，小明奶奶包了6个粽子，其中有3个是枣豆馅的，有2个是鲜肉馅的，有1个是咸蛋黄馅的（这些粽子除馅料不同外其他外观均相同．小明随手拿了两只来吃．（1）求小明第一个就吃到了喜欢的鲜肉馅粽子的概率．（2）求小明所吃两只粽子馅料相同的概率．（3）若在吃粽子之前，小明准备用一枚均匀的正六面体骰子进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数1，2，3向上代表吃枣豆馅的，点数4，5向上代表吃鲜肉馅的，点数6向上代表吃咸蛋黄馅的，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是枣豆馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由．17．（2006•芜湖）抛掷红、蓝两枚六面编号分别为1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，将红色和蓝色骰子正面朝上的编号分别作为二次函数y=x2+mx+n的一次项系数m和常数项n的值．（1）问这样可以得到多少个不同形式的二次函数？（只需写出结果）（2）请求出抛掷红、蓝骰子各一次，得到的二次函数图象顶点恰好在x轴上的概率是多少并说明理由．18．（2008•青岛）实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人．为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：在不透明的口袋中装有红，黄，白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3=4（如图①）；（2）若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7（如图②）（3）若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×3=10（如图③）：…（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？我们只需在（9）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×（10﹣1）=28（如图⑩）模型拓展一：在不透明的口袋中装有红，黄，白，蓝，绿五种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是；（2）若要确保摸出的小球至少有10个同色，则最少需摸出小球的个数是；（3）若要确保摸出的小球至少有n个同色（n＜20），则最少需摸出小球的个数是．模型拓展二：在不透明口袋中装有m种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是．（2）若要确保摸出的小球至少有n个同色（n＜20），则最少需摸出小球的个数是．问题解决：（1）请把本题中的“实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型；（2）根据（1）中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生？19．（2005•芜湖）在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下．（1）试问小球通过第二层A位置的概率是多少？（2）请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C位置处的概率各是多少？20．（2012•灌南县校级模拟）有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，继续依次操作下去．问：从数串3，9，8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？21．（2011•凉山州）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．22．（2010•东莞）阅读下列材料：1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3），3×4=（3×4×5﹣2×3×4），由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20．读完以上材料，请你计算下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）；（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=．23．（2008•湛江）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．┅┅（1）计算=；（2）探究=；（用含有n的式子表示）（3）若的值为，求n的值．24．（2005•恩施州）下图的数阵是由全体奇数排成：（1）图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？（2）在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由；（3）这九个数之和能等于1998吗？2005，1017呢？若能，请写出这九个数中最小的一个；若不能，请说出理由．25．（2005•峨眉山市模拟）先看数列：1，2，4，8，…，263．从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于2，象这样，一个数列：a1，a2，a3，…，a n﹣1，a n；从它的第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数q，那么这个数列就叫等比数列，q叫做等比数列的公比．根据你的阅读，回答下列问题：（1）请你写出一个等比数列，并说明公比是多少？（2）请你判断下列数列是否是等比数列，并说明理由；，，，，…；（3）有一个等比数列a1，a2，a3，…，a n﹣1，a n；已知a1=5，q=﹣2；请求出它的第5项a5．26．（2006•佛山）在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：22×23=25，23×24=27，22×26=28，…⇒2m×2n=2m+n，…⇒a m×a n=a m+n（m、n都是正整数）．我们亦知：，，，，…（1）请你根据上面的材料归纳出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之间的一个数学关系式；（2）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”；（3）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=a，CA=b，AD=BE=c（a＞b），能否根据这个图形提炼出与（1）中相同的关系式并给予证明．27．有三堆石子的个数分别为20、10、12，现进行如下操作：每次从三堆的任意两堆中分别取出1粒石子，然后把这2粒石子都加到另一堆上去．问：能否经过若干次这样的操作，使得（1）三堆石子的石子数分别为4、14、24；（2）三堆石子的石子数均为14．如能满足要求，请用最少的操作次数完成；如不能满足，请说明理由．28．（2007•镇江）探索、研究：仪器箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、…），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数a n与层数n之间满足关系式a n=n2﹣32n+247，1≤n＜16，n为整数．（1）例如，当n=2时，a2=22﹣32×2+247=187，则a5=，a6=；（2）第n层比第（n+1）层多堆放多少个仪器箱；（用含n的代数式表示）（3）如果不考虑仪器箱堆放所承受的压力，请根据题设条件判断仪器箱最多可以堆放几层？并说明理由；（4）设每个仪器箱重54N（牛顿），每个仪器箱能承受的最大压力为160N，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层？为什么？29．（2004•吉林）如图，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格．将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n﹣1）×（n﹣1）的正方形．如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形ABCD 的右下角为止．请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2．①当n=2时，求S1：S2的值；②是否存在使得S1=S2的n值，若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由．30．（2006•青岛）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．例如：求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整数．对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即1+2+3+4+…+n=．（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1+3+5+7+…+（2n﹣1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1+3+5+7+…+（2n﹣1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）。
2019年深国交G1入学考试复习专题：二次函数的最值一．选择题（共15小题）22或C或或2．已知二次函数的图象y=ax2+bx+c（0≤x≤3）如图．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）22﹣D﹣22225．二次函数y=﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y最大值=﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范27．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）C210．小聪、小明、小伶、小俐四人共同探究代数式2x2﹣4x+6的值的情况．他们作了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小俐负11．y=x2+（1﹣a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x=1时取22222C15．正实数x，y满足xy=1，那么的最小值为（）C二．填空题（共8小题）16．二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为．17．已知实数x、y满足x2﹣2x+4y=5，则x+2y的最大值为．18．若的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为．19．正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=时，四边形ABCN的面积最大．20．如图，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是．21．若二次函数y=x2+2x﹣3（0≤x≤3）的最小值为，最大值为．22．函数y=﹣+的最大值为．23．已知二次函数y=（x﹣1）2+（x﹣3）2，当x=时，函数达到最小值．。
2019年深国交G1入学考试复习专题：相似三角形以及锐角三角函数一．填空题（共30小题）1．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．2．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．3．如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．4．如图，圆柱底面半径为2cm，高为9πcm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为cm．5．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m．（结果不取近似值）6．如图，将等腰直角△ABC沿斜边BC方向平移得到△A1B1C1．若AB=3，图中阴影部分面积为2，则BB1=．7．在直角坐标系中，已知点P（﹣3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是．8．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，OP n（n为正整数），则点P6的坐标是；△P5OP6的面积是．9．如图，△DEF是由△ABC绕某点旋转得到的，则这点的坐标是．10．如图，边长为6的正方形ABCD绕点B按顺时针方向旋转30°后得到正方形EBGF，EF 交CD于点H，则FH的长为（结果保留根号）．11．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且∠AOB=90°，则tan∠OAB的值为．12．如图，从点A（0，2）发出一束光，经x轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过的路径的长为．13．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S n=（用含n的式子表示）．14．如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为．15．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影长度在A处为米，在B处为米．16．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，且AD=AB，则△ADE的周长与△ABC的周长的比为．17．小亮和他弟弟在阳光下散步，小亮的身高为1.75米，他的影子长2米．若此时他的弟弟的影子长为1.6米，则弟弟的身高为米．18．李老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的，均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是．19．如图，在△ABC中DE∥BC，若DE=2，BC=3，则S三角形ADE：S四边形DBEC．20．将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为．21．若，则=．22．如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么=．23．在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，，则AC 的长是．24．观察下列等式①sin30°=cos60°=②sin45°=cos45°=③sin60°=cos30°=…根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=．25．因为cos30°=，cos210°=﹣，所以cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣；因为cos45°=，cos225°=﹣，所以cos225°=cos（180°+45°）=﹣cos45°=﹣；猜想：一般地，当a为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，由此可知cos240°的值等于．26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，，则tan∠B 的值为．27．如图，∠AOB=30°，过OA上到点O的距离为1，3，5，7，…的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到如图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S1，S2，S3，…．则：（1）S1=；（2）通过计算可得S2009=．28．如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是．29．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为海里（结果保留根号）．30．⊙O的半径OA=2，弦AB、AC的长分别为一元二次方程x2﹣（2+2）x+4=0的两个根，则∠BAC的度数为．。
2019年深国交G1入学考试数学复习资料：1平行四边形一．选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1．(2018呼和浩特)已知一个多边形的内角和为1 080°，则这个多边形是()A．九边形B．八边形C．七边形D．六边形2．如图1所示，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是() A．OA＝OC B．AB＝CDC．AC＝BD D．∠ABC＝∠ADC图13．如图2，矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝2，则AC的长为()图2A．2 B．4C．2 3 D．4 34．(2018宿迁)如图3，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点，连接OE，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是()图3A． 3 B．2C．2 3 D．45．如图4，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E为边BC上的点，以DE为边向外作矩形DEFG，使FG过点A，若DE＝8，那么DG的长为()图4A ．3B ．4C ．92D ．56．(2018临沂)如图5，点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．则下列说法：图5①若AC ＝BD ，则四边形EFGH 为矩形； ②若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分； ④若四边形EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等． 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．如图6，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于点H ，则DH ＝__________.图68.如图7，正方形CFGE 的顶点E ，F 在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，且AB ＝5，CE ＝3，连接AG ，BG ，DG ，则图中阴影部分的面积是__________．图79.如图8，将四根木条钉成的长方形木框ABCD 变形为平行四边形ABC ′D ′的形状，并使其面积变为原长方形面积的22倍(木条宽度忽略不计)，则▱ABC ′D ′的最小内角为__________°.图810．如图9，在边长为3的正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，M 是BC 上的任意一点，过点M 作ME ⊥BD 于点E ，MF ⊥AC 于点F ，则ME ＋MF 的值为__________．图911.(2018株洲)如图10，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，且BD ＝CD ，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，且DN ＝32，在DB 的延长线上取一点P ，连接AP ，满足∠ABD ＝∠MAP ＋∠P AB ，则AP ＝________.图1012．如图11，在菱形ABCD 中，sin D ＝45，E ，F 分别是AB 和CD 上的点，BC ＝5，AE＝CF ＝2，点P 是线段EF 上一点，连接BP ，CP ，则当△BPC 是直角三角形时，CP 的长为__________．图11三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．(2018大连)如图12，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在AC 上，且AF ＝CE ，连接BE ，DF .求证：BE ＝DF .图1214．如图13，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D是AB的中点，分别过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F.求证：四边形CEDF是正方形．图1315．(2018张家界)如图14，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.(1)求证：DF＝AB；(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD．图1416．(2018曲靖)如图15，在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF ＝CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM＝FN，连接AN，CM.(1)求证：△AFN≌△CEM；(2)若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．图1517．如图16，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE 的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF.(1)求证：AF＝CE；(2)如果AC＝EF，且∠ACB＝135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．图16四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(2018广西)如图17，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE ＝DF.(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．图1719．(2018潍坊)如图18，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE.(1)求证：AE＝BF；(2)已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．图1820．如图19，AD是等腰三角形ABC底边BC上的高，点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE.(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)①若AB＝17，BC＝16，则四边形ADCE的面积＝__________；②若AB＝10，则BC＝__________时，四边形ADCE是正方形．图19五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．(2018吉林)如图20①，在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC 于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F.(1)求证：四边形ADEF为平行四边形；(2)当点D为AB中点时，▱ADEF的形状为__________；(3)延长图20①中的DE到点G，使EG＝DE，连接AE，AG，FG，得到图20②，若AD ＝AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．图2022．(2018长春)在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C，D重合)，连接BE.【感知】如图21①，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明) 【探究】如图21②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.(1)求证：BE＝FG；(2)连接CM，若CM＝1，则FG的长为__________；【应用】如图21③，取BE的中点M，连接CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连接EG，MG.若CM＝3，则四边形GMCE的面积为__________．图21六、(本大题共12分)23．(2018菏泽)问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图22①，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD，并且量得AB＝2 cm，AC ＝4 cm.操作发现：(1)将图22①中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图22②所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是__________；(2)创新小组将图22①中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D 三点在同一条直线上，得到如图22③所示的△AC′D，连接CC′，取CC′的中点F，连接AF并延长至点G，使FG＝AF，连接CG，C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论；实践探究：(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H，如图22④所示，连接CC′，试求tan∠C′CH的值．图22参考答案：1．B 2.C 3.B 4.A 5.C 6.A7.245 8.8 9.45 10.322 11.6 12.5或4或201113．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OD ＝OB . ∵AF ＝CE ，∴OE ＝OF .在△BEO 和△DFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，OE ＝OF ，∴△BEO ≌△DFO (SAS)．∴BE ＝DF . 14．证明：如图1，连接CD . ∵DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，图1∴∠CED ＝90°，∠CFD ＝90°.又∠ACB ＝90°，∴四边形CEDF 是矩形． ∵AC ＝BC ，D 是AB 中点，∴DC 平分∠ACB . ∵DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF . ∴四边形CEDF 是正方形．15．(1)证明：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠DAF . 又DF ⊥AE ，∴∠DF A ＝90°.∴∠DF A ＝∠B . 又AD ＝AE ，∴△ADF ≌△EAB . ∴DF ＝AB .(2)解：∵∠ADF ＋∠FDC ＝90°，∠DAF ＋∠ADF ＝90°， ∴∠FDC ＝∠DAF ＝30°.∴AD ＝2DF . ∵DF ＝AB ，∴AD ＝2AB ＝8.16．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB .∴∠AFN ＝∠CEM .∵FN ＝EM ，AF ＝CE ，∴△AFN ≌△CEM (SAS)． (2)解：∵△AFN ≌△CEM ，∴∠NAF ＝∠ECM . ∵∠CMF ＝∠CEM ＋∠ECM ，∴107°＝72°＋∠ECM . ∴∠ECM ＝35°.∴∠NAF ＝35°.17．(1)证明：∵AF ∥EC ，∴∠DF A ＝∠DEC ，∠DAF ＝∠DCE .∵D 是AC 的中点，∴DA ＝DC . ∴△DAF ≌△DCE (AAS)．∴AF ＝CE . (2)解：四边形AFCE 是正方形．证明如下：∵AF ∥EC ，AF ＝CE ，∴四边形AFCE 是平行四边形．又AC ＝EF ，∴平行四边形AFCE 是矩形．∴∠FCE ＝∠CF A ＝90°. ∵∠ACB ＝135°，∴∠FCA ＝135°－90°＝45°. ∴∠F AC ＝45°.∴FC ＝AF .∴矩形AFCE 是正方形． 18．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B ＝∠D . ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°. 又BE ＝DF ，图2∴△AEB ≌△AFD (ASA)． ∴AB ＝AD .∴▱ABCD 是菱形． (2)解：如图2，连接BD 交AC 于点O . ∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝6， ∴AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ＝3.∵AB ＝5，AO ＝3，∴BO ＝AB 2－AO 2＝52－32＝4. ∴BD ＝2BO ＝8.∴S ▱ABCD ＝12AC ·BD ＝24.19.(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°. ∵DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，∴∠AFB ＝90°，∠DEA ＝90°. ∵∠ABF ＋∠BAF ＝90°，∠EAD ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABF ＝∠EAD . 在△ABF 和△DAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠DEA ，∠ABF ＝∠DAE ，AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE (AAS)．∴AE ＝BF . (2)解：设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝2. ∵四边形ABED 的面积为24，∴12x ·x ＋12x ×2＝24，解得x 1＝6，x 2＝－8(舍去)． ∴EF ＝x －2＝4.在Rt △BEF 中，BE ＝42＋62＝213，∴sin ∠EBF ＝EF BE ＝4213＝21313. 20．(1)证明：∵点O 是AC 中点，∴AO ＝OC .∵OE ＝OD ，∴四边形ADCE 是平行四边形．∵AD 是等腰三角形ABC 底边BC 上的高，∴∠ADC ＝90°.∴四边形ADCE 是矩形．(2)解：①120；②10 2.21．(1)证明：∵DE ∥AC ，∴∠BDE ＝∠A .∵∠DEF ＝∠A ，∴∠DEF ＝∠BDE .∴AD ∥EF .又DE ∥AC ，∴四边形ADEF 为平行四边形．(2)解：菱形．(3)解：四边形AEGF 是矩形．理由如下：由(1)得，四边形ADEF 为平行四边形，∴AF ∥DE ，AF ＝DE . ∵EG ＝DE ，∴AF ∥GE ，AF ＝GE .∴四边形AEGF 是平行四边形．∵AD ＝AG ，EG ＝DE ，∴AE ⊥EG .∴四边形AEGF 是矩形．22．探究：(1)证明：如图3，图3过点G 作GP ⊥BC 于点P .∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠ABC ＝90°.∵∠FPG ＝90°，∴四边形ABPG 是矩形．∴PG ＝AB .∴PG ＝BC .同感知的方法得，∠PGF ＝∠CBE ，在△PGF 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠PGF ＝∠CBE ，PG ＝CB ，∠FPG ＝∠ECB ＝90°，∴△PGF ≌△CBE (ASA)．∴BE ＝FG .(2)解：2.应用：解：9.23．(1)解：菱形．(2)证明：在题图22①中，由四边形ABCD 为矩形，得∠BAC ＋∠BCA ＝90°，∠DAC ＝∠BCA .则在题图22③中，∠DAC ′＝∠BCA ，∴∠BAC ＋∠DAC ′＝90°.∵点D ，A ，B 在同一条直线上，∴∠CAC ′＝90°.由旋转知，AC ＝AC ′.∵CF ＝C ′F ，FG ＝AF ，∴四边形ACGC ′是平行四边形． 又AC ＝AC ′，∴四边形ACGC ′是菱形．又∠CAC ′＝90°，∴四边形ACGC ′是正方形．(3)解：如题图22①，在Rt △ABC 中，AB ＝2 cm ，AC ＝4 cm ，∴AD ＝BC ＝2 3 cm ，sin ∠ACB ＝AB AC ＝12.∴∠ACB ＝30°. 如题图22④，由(2)结合平移知，∠CHC ′＝90°，BC ′＝AC ＝4 cm. 在Rt △BCH 中，∠HCB ＝30°，BC ＝2 3 cm ，∴BH ＝BC ·sin 30°＝ 3 cm ，CH ＝BC ·cos 30°＝3 cm.∴C ′H ＝BC ′－BH ＝(4－3)cm.∴在Rt △CHC ′中，tan ∠C ′CH ＝C ′H CH ＝4－33.。
分式与分式方程一.选择题1. （2019•海南•3分）分式方程＝1的解是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2【分析】根据分式方程的求解方法解题，注意检验根的情况；【解答】解：＝1，两侧同时乘以（x+2），可得x+2＝1，解得x＝﹣1；经检验x＝﹣1是原方程的根；故选：B．【点评】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的方法是解题的关键．2. （2019•河北•2分）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【解答】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝又∵x为正整数，∴≤x＜1故表示﹣的值的点落在②故选：B．【考点】：分式的化简【解析】：分式的分母整体提取负号，则每一个都要变号【答案】：故选B.4. （2019•甘肃省庆阳市•3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：﹣＝﹣＝＝．故从第②步开始出现错误． 故选：B ．【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【考点】：分式的化简【解析】：分式的分母整体提取负号，则每一个都要变号 【答案】：故选B. 6.（2019•天津•3分）计算1212+++a a a 的结果是 A. 2 B. 22+a C. 1 D.14+a a【答案】A 【解析】21221212=++=+++a a a a a ，故选A.7.（2019•浙江湖州•3分）计算+，正确的结果是（）A．1 B．C．a D．【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝＝1．故选：A．【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．8. （2019•广东省广州市•3分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可．【解答】解：设甲每小时做x个零件，可得：，故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．二.填空题1.（2019•贵阳•4分）若分式的值为0，则x的值是 2 ．【分析】直接利用分式为零的条件分析得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣2x＝0，且x≠0，解得：x＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．2. （2019•铜仁•4分）分式方程＝的解为y＝．【解答】解：去分母得：5y＝3y﹣6，解得：y＝﹣3，经检验y＝﹣3是分式方程的解，则分式方程的解为y＝﹣3．故答案为：﹣33. （2019•江苏宿迁•3分）关于x的分式方程+＝1的解为正数，则a的取值范围是a＜5且a≠3 ．【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．【解答】解：去分母得：1﹣a+2＝x﹣2，解得：x＝5﹣a，5﹣a＞0，解得：a＜5，当x＝5﹣a＝2时，a＝3不合题意，故a＜5且a≠3．故答案为：a＜5且a≠3．【点评】此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．4. （2019•贵州省安顺市•4分）某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克，根据题意列方程为．【解答】解：设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，依题意，得：﹣＝20．故答案为：﹣＝20．5. （2019•广西贺州•3分）要使分式有意义，则x的取值范围是x≠﹣1 ．【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，即x≠﹣﹣1故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．6. （2019•广东省广州市•3分）代数式有意义时，x应满足的条件是x＞8 ．【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围．【解答】解：代数式有意义时，x﹣8＞0，解得：x＞8．故答案为：x＞8．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．三.解答题1. （2019•铜仁•10分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣2【解答】解：（2）（﹣）÷＝＝＝＝，当x＝﹣2时，原式＝．2. （2019•江苏无锡•8分）解方程：（1）x2﹣2x﹣5＝0；（2）＝．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）两边都乘以（x+1）（x﹣2）化为整式方程，解之求得x的值，继而检验即可得．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5，∴△＝4﹣4×1×（﹣5）＝24＞0，则x＝＝1±，∴；（2）两边都乘以（x+1）（x﹣2），得：x+1＝4（x﹣2），解得x＝3，经检验x＝3是方程的解．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3. （2019•江苏宿迁•8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣2．【分析】直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝×＝，当a＝﹣2时，原式＝＝﹣．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握运算法则是解题关键．4. （2019•贵州省安顺市•10分）先化简（1+）÷，再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代入求值．【解答】解：原式＝×＝，解不等式组得﹣2＜x＜4，∴其整数解为﹣1，0，1，2，3，∵要使原分式有意义，∴x可取0，2．∴当x＝0 时，原式＝﹣3，（或当x＝2 时，原式＝﹣）．5. （2019•广西北部湾经济区）某校喜迎中华人民共和国成立70周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知毎袋贴纸有50张，毎袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同．（1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？（2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面．设购买国旗图案贴纸a袋（a为正整数），则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含a的代数式表示．（3）在文具店累计购物超过800元后，超出800元的部分可享受8折优惠．学校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于a的函数关系式．现全校有1200名学生参加演出，需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？【答案】解：（1）设每袋国旗图案贴纸为x元，则有，解得x=15，经检验x=15时方程的解，∴每袋小红旗为15+5=20元；答：每袋国旗图案贴纸为15元，每袋小红旗为20元；（2）设购买b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套，则有50a：20b=2：1，解得b=a，答：购买小红旗a袋恰好配套；（3）如果没有折扣，则W=15a+20×a=40a，依题意得40a≤800，解得a≤20，当a＞20时，则W=800+0.8（40a-800）=32a+160，即W=，国旗贴纸需要：1200×2=2400张，小红旗需要：1200×1=1200面，则a==48袋，b==60袋，总费用W=32×48+160=1696元．【解析】（1）设每袋国旗图案贴纸为x元，则有，解得x=15，检验后即可求解；（2）设购买b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套，则有50a：20b=2：1，解得b=a；（3）如果没有折扣，W=，国旗贴纸需要：1200×2=2400张，小红旗需要：1200×1=1200面，则a==48袋，b==60袋，总费用W=32×48+160=1696元．本题考查分式方程，一次函数的应用；能够根据题意列出准确的分式方程，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键．12.6. （2019•河南•8分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝•＝，当x＝时，原式＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．7.（2019•四川自贡•8分）解方程：﹣＝1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，解得：x＝2，检验：当x＝2时，方程左右两边相等，所以x＝2是原方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．8.（2019•浙江杭州•6分）化简：﹣﹣1圆圆的解答如下：﹣﹣1＝4x﹣2（x+2）﹣（x2﹣4）＝﹣x2+2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．【分析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案．【解答】解：圆圆的解答错误，正确解法：﹣﹣1＝﹣﹣＝＝＝﹣．【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．9. （2019•广东省广州市•10分）已知P＝﹣（a≠±b）（1）化简P；（2）若点（a，b）在一次函数y＝x﹣的图象上，求P的值．【分析】（1）P＝﹣＝＝＝；（2）将点（a，b）代入y＝x﹣得到a﹣b＝，再将a﹣b＝代入化简后的P，即可求解；【解答】解：（1）P＝﹣＝＝＝；（2）∵点（a，b）在一次函数y＝x﹣的图象上，∴b＝a﹣，∴a﹣b＝，∴P＝；【点评】本题考查分式的化简，一次函数图象上点的特征；熟练掌握分式的化简，理解点与函数解析式的关系是解题的关键．。
