格波的相速度和群速度 2

波速、相速、群速、能量传输速度1、定义波速（wave celerity）：单位时间内波形传播的距离，以波长与波周期之比表示.V=入/T.相速(phase velocity)：相速度,单一频率的正弦电磁波波的等相面（例如波峰面或波谷面）在介质中传播的速度v=c/n，c为自由空间中的光速，n为介质对该频率电磁波的折射指数。

在理想介质中，电磁波的相速仅与介质参数有关.群速(group velocity)：（1）、波列作为整体的传播速度（2）波群传播的速度。

波的群速度，简称群速，是指波的包络传播的速度。

实际上就是波实际前进的速度。

群速是一个代表能量的传播速度。

概念引入原因：实用系统的信号总是由许多频率分量组成，在色散介质中，各单色分量将以不同的相速传播，因此要确定信号在色散介质中的传播速度就发生困难，为此引入群速的概念，它描述信号的能量传播速度。

能量传播速度：群速是波群的能量传播速度.2、相互关系（1）相关概念非色散介质：无线电波在介质中传播时，介电常数ε与频率无关，波的传播速度也与频率无关的介质；色散介质：与此相反，如果介电常数ε或传播速度v与频率有关的介质.正常色散：一切无色透明介质在可见光区域均表现为正常色散。

特点：波长变大时，由v=λf,频率不变，则V增大。

而n=c/v，则折射率值n变小，角色散率D变小。

反常色散：在某些波段会出现，波长变大时折射率值增大的现象，这称为反常色散。

反常色散同样是物质的普遍性质。

反常色散与选择吸收密切相关，即在发生物质的选择吸收波段附近出现反常色散。

角色散率：由夫琅和费衍射理论知，产生衍射亮条纹的条件（光栅方程）：dsinθ=kλ（k＝ 1， 2，…， n）光栅方程对λ微分，就可得到光栅的角色散率：ψ=Δθ/Δλ=k/dcos.角色散率是光栅、棱镜等分光元件的重要参数，随着k的增大，色散率也就越大。

它表示单位波长间隔内两单色谱线之间的角间距，当光栅常数d愈小时，角色散愈大；光谱的级次愈高，角色散也愈大。

群速度和相速度公式好的，以下是为您生成的文章：咱来聊聊群速度和相速度公式，这俩概念在物理学里可有着重要的地位。

先说说啥是群速度。

想象一下你在海边看波浪，那些一波一波往前涌的整体移动速度，就可以近似理解为群速度。

它反映的是能量或者信息的传播速度。

相速度呢，就好比波浪里某个特定的点，比如浪尖，移动的速度。

咱拿光来举个例子。

光在真空中传播的时候，群速度和相速度是一样的。

但在一些特殊的介质里，情况可就不一样啦。

我记得有一次给学生们上课，讲到这个知识点的时候，有个调皮的小家伙举手问我：“老师，这群速度和相速度到底有啥用啊，能让我打游戏更厉害吗？”全班同学都哄堂大笑。

我笑着回答他：“这可不能直接帮你打游戏更厉害，但能让你更明白世界的奇妙呀。

”群速度和相速度的公式呢，其实也不是那么可怕。

群速度的公式可以简单表示为：$v_g = \frac{d\omega}{dk}$ ，这里的$\omega$ 是角频率，$k$ 是波数。

相速度的公式是 $v_p = \frac{\omega}{k}$ 。

在实际应用中，比如在通信领域，对群速度和相速度的理解就特别重要。

要是搞不清楚，那信号传输可能就会出大问题。

再比如说在研究等离子体物理的时候，这两个速度的概念能帮助科学家们更好地理解等离子体中的波动现象。

对于咱们普通人来说，理解群速度和相速度虽然不会马上带来什么实际的好处，但能让我们对世界的运行规律多一份了解。

就像我们在生活中，有时候看似复杂的事情，其实只要找到了关键的规律，也就不那么难理解了。

学习群速度和相速度公式的过程，可能会有点头疼，但只要坚持，一点点去琢磨，总会搞明白的。

就像爬山一样，一开始觉得累，等爬到山顶，看到那美丽的风景，就会觉得一切都值得啦！总之，群速度和相速度公式虽然有点抽象，但它们是打开物理学神秘大门的钥匙之一，值得我们去探索和理解。

推导过程
从波动方程出发，结合相位的概念，可以推导出相速度的计算公式。
群速度计算公式及推导
群速度定义
群速度是指波包（由多个频率成分组成的波）在空间中传 播的速度，用$v_g$表示。
群速度计算公式
群速度$v_g$与相速度$v_p$和频率$f$的关系为$v_g = frac{domega}{dk} = frac{d(2pi f)}{d(2pi/lambda)} = frac{d(lambda f)}{dlambda}$。
推导过程
从波动方程出发，结合波包的概念和傅里叶分析，可以推 导出群速度的计算公式。
数值计算方法介绍
1 2转化为差分 方程进行求解，可以得到相速度和群速度的数值 解。
有限元法
将连续的物理问题离散化为有限个单元进行求解 ，适用于复杂结构和边界条件的波动问题。
3
物质波的相速度与群速度
在量子力学中，粒子具有波动性，其相速度和群速度对应于物质波的相应速度。 这对于理解粒子的运动状态和相互作用具有重要意义。
量子隧穿效应
在量子隧穿过程中，粒子能够穿越经典力学中无法逾越的势垒。此时，相速度和 群速度的概念有助于描述粒子在隧穿过程中的行为。
05
相速度与群速度在工程学中应 用
光学领域应用举例
光的折射与色散
在光学中，相速度与群速度的概念对于理解光的折射和色散现象至关重要。不 同频率的光在介质中的折射率不同，导致相速度和群速度发生变化。
脉冲光的传播
在脉冲光传播过程中，群速度决定了脉冲光的整体传播速度，而相速度则与脉 冲光中各个频率分量的传播速度有关。
量子力学领域应用举例
机械工程
在机械工程中，相速度和群速度的概念对于机械波的传播和控制具有指导意义。例如，在振动分析中 ，通过分析机械波的相速度和群速度，可以了解振动在结构中的传播特性，为减振降噪设计提供依据 。

信号速度，相速度及群速度的区别胡良深圳市宏源清实业有限公司摘要：光子具有波粒二象性，粒子具有波粒二象性，任何孤立量子体系都具有波粒二象性关键词：信号速度，相速度，群速度作者：总工，高工，硕士，副董事长1信号速度的内涵光子具有波粒二象性，粒子具有波粒二象性，任何孤立量子体系都具有波粒二象性；对于光子，粒子及孤立量子体系来说，其内禀的速度可表达为：p E p E k f V n ∂∂=∂∂=∂∂=)/()/( ，其中，n V ，孤立量子体系内禀的一维空间速度，或粒子内禀的一维空间速度或光子内禀的一维空间速度（光速），量纲是，[L^(1)T^(-1)]；E ，能量，量纲是，[L^(3)T^(-1)]*[L^(2)T^(-2)]；p ，动量，量纲是，[L^(3)T^(-1)]*[L^(1)T^(-1)]；，约化普朗克常数（或，固有的普朗克常数），量纲是，[L^(3)T^(0)]*[L^(2)T^(-2)]；f ，频率，量纲是，[L^(0)T^(-1)]；k ，波数，量纲是，[L^(-1)T^(0)]。

值得一提的是，最大的信号速度是真空中的光速，这意味着超光速通信是不可能实现的。

2群速度的内涵信号速度，相速度及群速度的内涵是有所不同的；但是，在绝对的真空中，则，信号速度，相速度及群速度是不可能区分的。

群速度（与选择的参考系相关），即，波的群速度，是指波振幅外形上的变化（波包）在空间中所传递的速度。

群速度可表达为：k f V g ∂∂= ，其中，g V ，群速度，量纲是，[L^(1)T^(-1)]；f ，波的角频率，量纲是，[L^(0)T^(-1)]；k ，波数（波矢），量纲是，[L^(-1)T^(0)]。

第一，如果波的角频率（f ）正比于波数（k ），即，k V f * =；则群速度等于相速度，波形在传播过程中不会被扭曲。

第二，如果波的角频率（f ）与波数（k ）体现为线性关系；此时，群速度及相速度不同；波包以群速度传播，而波包里的波峰及波谷以相速度传播。

§6-4 光的相速度和群速度折射率是光在真空中和介质中传播速度的比值，即v c n /=，通常可以通过测定光线方向的改变并应用折射定律()21sin /sin i i n =来求它，但原则上也可分别实测c 和v 来求它们的比值，用近代实验室方法，不难以任何介质中的光速进行精确的测定，例如水的折射率为，用这两种方法测得的结果是符合的，但对二硫化碳，用光线方向的改变的折射法测得的折射率为，而1885年迈克耳孙用实测光速求得的比值则为，其间差别很大，这绝不是由实验误差所造成的，瑞利找到了这种差别的原因，他对光速概念的复杂性进行了说明，从而引出了相速度和群速度的概念。

按照波动理论，这种通常的光速测定法相当于测定由下列方程所决定的波速的数值： ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v r t A E ωcos 不难看出，这里v 所代表的是单色平面波的一定的位相向前移动的速度，因为位相不变的条件为 常量=-vr t 由此得到 01=-dr vdt 或 dt dr v = (6-1) 所以这个速度称为位相速度（简称相速），这速度的量值可用波长和频率来计算。

波的表达式部是t 和r 的函数,可以写成下列形式：()kr t A E -=ωcos式中v πω2= 和λπ/2=k 都是不随 t 和 r 而改变的量，故位相不变的条件为kr t -ω=常量0=-kdr dt ω由此得或 λωv kv dt dr === (6-2) （6-2）式表示的位相速度乃是严格的单色波地(ω有单一的确定值)所特有的一种速度，单色波以t 和r 的余弦函数表达,ω为常量，这种严格的单色波的空间延续和时间延续都是无穷无尽的余弦（或正弦）波，但是这种波仅是理想的极限情况，实际所到的永远是形式不同的脉动，这种脉动仅在空间某一有限范围内、在一定的时间间隔内发生，在时间和空间上都是有起点和终点的，任何形式的脉动都可看成是由无限多个不同频率、不同振幅的单色正弦波或余弦波叠加而成的，即可将任何脉动写成傅里叶级数或傅里叶积分的形式，在无色散介质中所有这些组成脉动的单色平面波都以同一相速度传播，那么该脉动在传播过程中将永远保持形状不变，整个脉动也永远以这一速度向前传播，但是除真空以外，任何介质通常都具有色散的特征，就是说，各个单色平面波各以不同的相速传播，其大小随频率而变，所以由它们叠加而成的脉动在传播过程中将不断改变其形状，在这种情况下，关于脉动的传播速度问题就变得比较复杂了，观察种脉动时，可以先认定它上面的某一特殊点，例如振幅最在大的一点，而把这一点在空间的传播速度看作是代表整个脉动的传播速度，但是由于脉动形状的改变，所选定的这一特殊点在脉动范围内也将不断改变其位置，因而该点的传播速度和任何一个作为组成部分的单针平面波的相速都将有所不同，按照瑞利的说法，这脉动称为波群，因而脉动的传播速度称为群速度，简称群速，现在仅就一个简化的例子来讨论两种速度的关系。

(r)
(70)
ds =
d t r0
该 (r) 就是等相位面的传播速度，简称为相速度。
2020/8/20
r0r0 cos
由于等相位面的梯度平
行于 r0，因此 ＝0。则
r0 /
2020/8/20
1. 单色光波的速度 对于波矢量为 k 的平面单色光波，其空间相位项为
因此
(r)=kr0
k
(k1
k 2 )=
1 2
k
=
1 2
( 1
2)
k
=
1 2
(k1
k2)
2. 复色波的速度 该式表明：这个二色波是如图所示的、频率为 、 振幅随时间和空间在 0 到 2E0 之间缓慢变化的光波。 这种复色波可以叫做波群或振幅调制波。
x
振动的合成.exe
2020/8/20
2. 复色波的速度 对于上述复色波，其传播速度包含两种含义：
g
d
dk
(75)
由波数 k＝ / ，g 可表示为
g
dz dt
=m
km
=
k
gd(d kk)
+kd
dk
(76)
2020/8/202)复色波 Nhomakorabea群速度由 k=2 / ，有dk＝－(2 / 2)d ，可将上式变为
g=dd
(77)
2020/8/20
gd(d kk)
+kd
dk
k=2 /
dk＝－(2 / 2)d
式中， ( r 是) 随距离变化的相位项，相应于 t(r)=常数
的空间曲面为该单色光波的等相位面，满足该式的 r 是这个相位状态在不同时刻的位置。

它并不等于波的能量 或信息传播的速度， 这是群速度的概念。
相速度的物理意义
相速度决定了波在介质中的传 播速度，即波峰和波谷的运动 速度。
它决定了波的相位变化和干涉 、衍射等物理现象的发生。
在某些情况下，相速度可以接 近无穷大，例如在无损介质中 传播的波。
相速度的计算方法
根据波动方程和介质的物理性质，可以求解波的相速度。
影响因素不同
相速度只与介质性质有关，而群速度不仅与介质性质有关，还与频 率有关。
在某些介质中的行为不同
在色散介质中，相速度可以超过光速，而群速度不能超过光速。
相速度与群速度的联系
在某些情况下，两者可能相等
01
在无色散介质中，波的相速度和群速度是相等的。
两者都是描述波动现象的重要参数
02
相速度和群速度分别从不同的角度描述了波动现象，对于理解
展望
未来研究方向
随着科技的发展，相速度和群速 度的研究将更加深入，未来可以 进一步探索其在不同领域的应用
，如量子力学、生物医学等。
技术发展与挑战
随着通信、信号处理等技术的快速 发展，对相速度和群速度的研究将 面临更多挑战，需要不断探索新的 理论和方法。
跨学科合作与交流
相速度和群速度的研究涉及到多个 学科领域，未来需要加强跨学科的 合作与交流，促进相关领域的发展 。
波动现象的本质和传播规律具有重要意义。
两者都是波动方程的解
03
无论是相速度还是群速度，都是波动方程的解，用于描述波动
在介质中的传播行为。
PART 04
相速度和群速度的应用
REPORTING
通信领域的应用
相速度的应用
在通信领域中，相速度控制着信号的相位信息传递。通过调 整相速度，可以实现对信号的相位调制，如调相（PM）和调 频（FM）等，从而实现更高效、更可靠的数据传输。

（4）
由（4）式 vg vp/(1 / n dn / d)
分析：
当 dn/ d o时，有 vg vp 当 dn/ d o时，有 vg vp 当 dn/ d o时，有 vg vp
无色散 正常色散 反常色散
因此，一般情况下（正常色散），群速度小 于相速度。
吸收带
1.在吸收带附近长波一边的折射率比短波的大. 2.在吸收带内，n是无法测量的.
群速度与波长的关系
vg
( c ) /(1
n
n
dn )
d
dn dn d d d d
2c /
dn 2c 2c 2 d 2 (2c / )2 2c
d 2k d 2

d d
dk d

d [1 d vg
]
2 2c
d [1 (n d c
dn )] d
2 2c2
d [n d
dn ] d
2 [ dn d 2n dn )] 3 d 2n 2c d d2 d 2c2 d2
（10）
GVD
k '' ()

3 2c2
d 2n
d2
单位：s2 m
LOGO
Add your company slogan

人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。

相速度与群速度群速度和相速度是导波理论中的重要概念，也是导波的主要参数。

群速度（c g ）是指脉冲波的包络上具有某种特性(如幅值最大)的点的传播速度，它是波群的能量传播速度。

通俗的说，群速度是关于一族频率相近的波的传播速度。

而相速度（c p ）是波上相位固定的一点传播方向的传播速度。

值得注意的是，导波以其群速度向前传播。

Lord Rayleigh 曾说过：“群速度的概念常用下面这个例子说明，即当一族波列到达一个静止水面时，波群的速度比它所包含的每一个子波的速度都要小；这些子波仿佛通过波群前进，当达到其内部极限时而消失。

”群速度和相速度的意义可以通过波的叠加引出。

谐波是最简单的波，一个谐波的振动方程可以表示成式（2.1）的形式。

()t kx Acos u ω-=（2.1）式中： u----质点振动的位移A----振幅k----波数，k=2π/λ，λ为波长 ω---振动的角频率 x----波传播的位置矢量 t----时间变量最简单的分析法是考虑两个振幅相同，频率ω1和ω2略有差异的谐波的传播问题，有)()t x k Acos t x k Acos u 2211ωω-+-=（2.2）式中，k 1=ω1/c 1；k 2=ω2/c 2。

通过三角变换和如下代换 △ω=ω2-ω1 △k=k 2-k 1 ωA V =1/2(ω2+ω1) k A V =1/2(k 2+k 1) c A V =ωA V /k A V则()t x k cos t21kx 212Acos uAV AV ωω-⎪⎭⎫⎝⎛∆-∆=注意到低频项有一传播速度，群速度定义为 C g =△ω/△k 取极限为C g =d ω/dk 。

高频项同样有一传播速度，相速度定义为 C p =ω/k频率相近的一族波的叠加导致了图 2.2中的典型结果。

不同的谐波以不同的相速度C p 传播，但叠加起来之后的波群以群速度C g 传播。

超声导波总是以群速度传播的，但由于实际应用中往往只能得到导波的相速度，群速度C g 可以由相速度C p ，利用公式dkd c g ω=得到，将k=ω/c p 代入上式，得图2-2 群速度、相速度示意图)fd (d dc)fd (c c d dcc c c dc cd d c d d c p2p 2ppp 2p2ppppg -=-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ωωωωωωω因此)fd (d dc)fd (c c c p2p 2pg -=(2.3)此时就可以通过式 2.3得到导波的群速度[51]。

关于相速度、群速度、信号速度作者：自出洞来读了"对《这是编译还是胡编？--评新浪科技的一则新闻》的说明"一文后，觉得有些内容，特别是文中故儒的附文"误解可能来自一些量子力学课本"的描述，给广大读者造成了混乱。

在此觉得有必要澄清一下概念。

首先声明本人是著名（或曾经很著名）重点大学物理系毕业，如所言有错，欢迎广大新语丝网友批评指正。

关于到底是相速度还是群速度可以超过真空中的光速（以下简称c），正确答案是复杂的，这里涉及到反常色散（和介质的吸收带有关）的问题。

所谓相速度，指的是单一频率的波的传播速度，在正常色散的情况下它不可能超过c。

但是实际存在的波不是单频的，媒质对这个（或这些）波必然是色散的，那么，传播中的波由于各不同频率的成分运动快慢不一致，会出现扩散，但假若（注意这个假设）这个波是由一群频率差别不大的简谐波组成，这时在相当长的传播途程中总的波仍将维持为一个整体，以一个固定的速度运行。

这个特殊的波群称为"波包"，这个速度称为群速度。

与相速度不同，群速度的值比波包的中心相速度要小，并且二者的差值同中心相速度随波长而变化的平均率成正比。

群速度是波包的能量传播速度，也是波包所表达信号的传播速度（这是在上述假设的基础上）。

这也是Bohm的《量子理论》中写的（见故儒的附文）：In general, the phase velocity has little physical significance; for example, the speed of transmission of a signal through a dielectric is given by the group velocity, as is also the speed of transport of energy.Bohm写得没错，在一般情况下确实如此，他并没有混淆群速度与信号传送速度。

相速度与群速度群速度和相速度是导波理论中的重要概念，也是导波的主要参数。

群速度（c g ）是指脉冲波的包络上具有某种特性(如幅值最大)的点的传播速度，它是波群的能量传播速度。

通俗的说，群速度是关于一族频率相近的波的传播速度。

而相速度（c p ）是波上相位固定的一点传播方向的传播速度。

值得注意的是，导波以其群速度向前传播。

Lord Rayleigh 曾说过：“群速度的概念常用下面这个例子说明，即当一族波列到达一个静止水面时，波群的速度比它所包含的每一个子波的速度都要小；这些子波仿佛通过波群前进，当达到其内部极限时而消失。

”群速度和相速度的意义可以通过波的叠加引出。

谐波是最简单的波，一个谐波的振动方程可以表示成式（2.1）的形式。

()t kx Acos u ω-= （2.1）式中： u----质点振动的位移A----振幅k----波数，k=2π/λ，λ为波长ω---振动的角频率x----波传播的位置矢量t----时间变量最简单的分析法是考虑两个振幅相同，频率ω1和ω2略有差异的谐波的传播问题，有()()t x k Acos t x k Acos u 2211ωω-+-= （2.2）式中，k 1=ω1/c 1；k 2=ω2/c 2。

通过三角变换和如下代换△ω=ω2-ω1△k=k 2-k 1ωA V =1/2(ω2+ω1)k A V =1/2(k 2+k 1)c A V =ωA V /k A V则()t x k cos t21kx 212Acos uAV AV ωω-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆=注意到低频项有一传播速度，群速度定义为C g =△ω/△k 取极限为C g =d ω/dk 。

高频项同样有一传播速度，相速度定义为C p =ω/k频率相近的一族波的叠加导致了图2.2中的典型结果。

不同的谐波以不同的相速度C p 传播，但叠加起来之后的波群以群速度C g 传播。

超声导波总是以群速度传播的，但由于实际应用中往往只能得到导波的相速度，群速度C g 可以由相速度C p ，利用公式dkd c g ω= 得到，将k=ω/c p 代入上式，得图2-2 群速度、相速度示意图)fd (d dc )fd (c c d dc c c c dc c d d c d d c p 2p 2p p p 2p 2p p p pg -=-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ωωωωωωω因此 )fd (d dc )fd (c c c p2p 2pg -= (2.3)此时就可以通过式2.3得到导波的群速度[51]。

第三章 晶格振动与晶体的热学性质1。

什么是简谐近似？解:当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。

这个近似即称为简谐近似。

2.试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线，并简要说明其意义.解：由一维单原子链的色散关系2sin2qamβω= ，可求得一维单原子链中振动格波的相速度为22sinqa qamaqv p βω== (1)2cos qam a dq d v g βω==. 由（1）式及结合上图3。

1中可以看出，由于原子的不连续性，相速度不再是常数。

但当0→q 时，mav p β=为一常数。

这是因为当波长很长时，一个波长范围含有若干个原子，相邻原子的位相差很小，原子的不连续效应很小，格波接近与连续媒质中的弹性波。

由（2）式及结合上图3。

1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度.但当0→q ，mav v p g β==，体现出弹性波的特征，当q 处于第一布区边界上，即aq π=时，0=g v ,而mav p βπ2=，这表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波不能在晶体中传播，实际上它是一种驻波。

3。

周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果?如果晶体是无限大,q 的取值将会怎样？解：由于实际晶体的大小总是有限的,总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。

考虑到边界对内部原子振动状态的影响,波恩和卡门引入了周期性边界条件.其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第j tN +个原子的运动情况一样，其中t ＝1,2，3…。

引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。

如果晶体是无限大,波矢q 的取值将趋于连续。

相速度与群速度振动状态在空间的传播速度称为波速，又称相速度。

如沿x轴正方向传播的平面简谐波，其表达式为式中（ωt-kx）称为波相，当（ωt-kx）一定时，则ξ值一定。

当t增大时，x必须增大，才能保持（ωt-kx）不变。

这意味着用（ωt-kx）描述的振动状态随着时间的推移向x的正方向传播。

相速度即波相传播的速度，等于x对t的变化率，令ωt-kx＝常量将上式两边微分，经整理可得（1）u即所求相速度。

这里ω=2πv，，代入则得此即大家熟悉的相速度的公式。

从根本上讲，相速度的大小取决于媒质的性质。

弹性波由弹性媒质的力学性质决定，电磁波由媒质的折射率决定。

实验和理论证明，相速度的大小还与波的频率有关。

光的色散现象就是波速与频率有关的明显例证。

通常把相速度与频率无关的媒质称为无色散媒质；把相速度随频率而变的媒质称为色散媒质。

在无色散媒质中，只要用相速度描述波的传播即可，但是在色散媒质中，要描述任意一种波(如图1所示的非简谐波)的传播只有相速度就不够了，需要引入群速度的概念。

p/dλ≠0，vg≠vp），并且在正常色散区域（dvp/dλ＞0，dn/d λ＜0），群速度小于相速度（vg＜vp）；在反常色散区域（dvp/dλ＜0，dn/d λ＞0），群速度则大于相速度（vg＞vp）。

只有在无色散介质或真空中（dvp/dλ=0，dn/d λ=0），群速度才等于相速度（vg=vp）。

根据付里叶分析，任何一个复杂的波，都可以分解成许多不同频率成分的简谐波的叠加。

在色散媒质中，不同频率的简谐波传播速度不同，那么这许多简谐波合成的波是以什么速度传播呢？为了方便，以两个频率相近的等振幅简谐波的合成波的传播为例说明群速度的概念。

设合成波为（2）式（2）中或，或k2,所以变化缓慢，如图中虚线所示的包络线；而表示图中一个个小的波形。

令，，，，则式（2）可改写为在波传播过程中，一个个小的波形在向前传播的同时，整个波形即包络也在向前移动，二者移动速度可如下求得：令＝常量等式两边微分，可求得小波形移动的速度为（3）同样可求得包络移动的速度或称波群移动的速度为一般表示为：（4）U g即群速度。

群速度与相速度的关系
群速度和相速度是两个不同的概念，它们之间的关系取决于介质的性质。

在介质中传播的波被视为由许多不同的波形成的复合波。

群速度是这个组合波所具有的速度，也可以被视为在介质中能量传输的速度。

群速度可以通过波包（波的集合）的移动来测量。

相速度是单个波传播的速度，它可以被视为振动在介质中的波长移动的速度。

相速度可以通过测量单个波的传播速度来确定。

在一些情况下，群速度和相速度是相等的。

这发生在线性介质中，其中所有波的速度都相同。

然而，在非线性介质中，波的速度可能因振幅而有所改变，导致群速度和相速度之间的不同。

此外，介质中可能同时存在许多不同频率的波，这些波的相速度和群速度可能都不同。

总之，群速度和相速度的关系取决于介质的性质和波的性质。

在某些情况下，它们相等，但在其他情况下它们可能不同。

电磁波中的相速、群速、波速、光速电磁波中的相速、群速、波速、光速波速，指的是波在空间中传递的速度，依照波不同特征所定义而有不同的意涵:相速度、群速度、波前速度、讯号速度。

一般不特别指定时，所提的波速是指相速度。

波的相速度或相位速度，或简称相速，是指波的相位在空间中传递的速度，换句话说，波的任一频率成分所具有的相位即以此速度传递。

可以挑选波的任一特定相位来观察(例如波峰)，则此处会以相速度前行。

相速度可借由波的频率f与波长λ，或者是角频率ω与波数k的关系式表示:注意到波的相速度不必然与波的群速度相同;群速度代表的是"振幅变化"(或说波包)的传递速度。

电磁辐射的相速度可能在一些特定情况下(例如:出现异常色散的情形)超过真空中光速，但这不表示任何超光速的信息或者是能量移转。

物理学家阿诺索末菲与里昂布里于因(Léon Brillouin)对此皆有理论性描述。

波的群速度，或简称群速，是指波幅度外形上的变化(称为波的"调制"或"波包")，其在空间中所传递的速度。

想象一下我们将一块石头投入一个平静的池塘中激起一个波浪，随即变成一个中心平静呈环形扩展的波环。

这个正在扩展的波环为一组由不同传播速度的独立子波组成。

波长较长的子波传播速度较快并消失在整组波的前缘。

波长较短传播较慢的波随着整组波内缘的推进而消失。

群速度常被认为是能量或信息顺着波动传播的速度。

多数情况下这是正确的，也因此群速度可被视为波形所带有的信号速度。

然而，如果波行经过吸收性介质(absorptivemedium)，这种情况就不一定成立。

举例而言，可以设计实验将雷射光脉冲送过特殊准备的物质，使得其群速度大大地超过真空中光速。

然而信号速度总是低于或等于光速，因此超光速通信是不可能。

此外也可以将群速度减少到零，将脉冲停住，或者是得到负值的群速度，因为脉冲是以相反方向行进。

群速和相速的物理意义及其应用相速度是光的等相位面传播的速度，也就是相同震动形式的传播速度。

∂E p = 。 ∂p m
。根 光学色散关系：光波（电磁波）的能量正比于波的频率（或波数动量） 据麦克斯韦方程组，真空中电磁波的色散关系应是线性的： ω = ck ，可得波速 为： v =
∂E ∂ω 】 = = c ，这便是光速。 ∂p ∂k
格波解的物理意义： 上式所描述的是在晶体中传播的振幅为 A，频率为 ω 的行波，是晶体的一 种集体运动形式。这种波称为格波。可以看出，每一解均由一特定波矢 q 标记， q 称为晶格振动的波矢。 (1)相邻原子的振动位相差相等：q(n+1)a-qna=qa。
。n 可取任意整数，上式实际 示偏移平衡位置后的回复力，因此 β 称为力常数】 上代表 n 个联立的线性齐次方程。 由于原子之间的关联，上述方程的解应该具有波的形式；由于运动方程具 有平移不变性，解应该满足布洛赫定理 (布洛赫定理在后续章节会讲到)。因此 方程的试探解为： X n 振幅、频率和相位。 将试探解 X n
U'= 1 2 β ∑ ( X n − X n +1 ) ， β = u "( a ) ， u ( x ) 表示一维原子链中距离为x的两原子 2 n
的相互作用能。 根 据 牛 顿 定 理 ， 第
F =M
n
个 原 子 所 受 的 力 为 ：
∂U ' d2 ∂U ' = − β (2 X n − X n +1 − X n −1 ) 表 Xn = − = − β (2 X n − X n +1 − X n −1 ) 【其中 − 2 ∂X n dt ∂X n
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《固体物理学》
第二章 晶格振动和固体比热
利用欧拉公式： eiθ + e −iθ = 2 cos θ 和 1 − cos θ = 2sin 2

弧线为 ω = 2(
β
M
1
) 2 sin
qa ；直线为 ω=Vq。 2
长波极限和短波极限下的原子位移示意图：
q 趋于 0, λ>>a
q 趋于 π/a, λ=2a
两种极限情况下，相邻原子的相对运动情况不同。
(3)格波的相速度(Vp)和群速度(Vg)。 两种速度存在不同的物理含义： 相速度(Vp)是特定频率为ω， 波矢为q的纯波 (单色波)的传播速度；而群速度(Vg)描述平均频率为ω，平均波矢为q的波包(复色
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《固体物理学》
第二章 晶格振动和固体比热
利用欧拉公式： eiθ + e −iθ = 2 cos θ 和 1 − cos θ = 2sin 2
θ
2
ω2 =
2β 4β qa (1 − cos aq ) = sin 2 ( ) M M 2 1 β qa ⇒ ω = 2( ) 2 sin M 2
可以看出上式与n无关，表明n个联立方程都归结为同一个方程。只要ω和q 之间满足上式，就表示上式为联立方程的解。通常把之间的关系称为色散关系。 一维单原子链的色散曲线：
X m = Aei ( qma −ωt )
(2)格波波长：
= Aei ( qma + 2π −ωt ) = Aei ( qna −ωt ) = X n ; λ = 2π q
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《固体物理学》 格波与连续介质波的差别：
第二章 晶格振动和固体比热
X = Aei ( qx −ωt ) ，式中，连续介质波中 x 表示空间的任一点，而在格波中只
U'= 1 2 β ∑ ( X n − X n +1 ) ， β = u "( a ) ， u ( x ) 表示一维原子链中距离为x的两原子 2 n