相速度和群速度
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8.4 光的相速度与群速度
E1
E2
合成波和波包
合成波的速度，即波包上任一点的前移速度，也就是 波包上等振幅面向前推进的速度。它代表着波包具有 的能量传播速度。 物理科学与信息工程学院 6
定义：复色光在色散介质中，整个波包传播的速度， 称为群速度。
振幅不变的条件为：
dt dkr constant
因d，dk都是不随t和r改变的量，微分上式得：
则这两列单色光波可分别表示为：
E1 a cos(1t k1r ) E2 a cos(2t k2 r )
可以推得其合成波为： 其中
E A0 cos(0t k0 r )
A0 2a cos(dt dkr)
即合成波的振幅A0不是常数，而是随r和t缓慢变化 的余弦函数。如图 物理科学与信息工程学院 5
在色散介质中，各单色光以不同的相速度传播， 因而，复色光在色散介质中的传播问题也随之复 杂化。
二. 群速度
为简单起见，假设复色光由两列单色光波组成， 其振幅均为a，频率分别为：
1 0 d
2 0 d
物理科学与信息工程学院 4
波数分别为：
k1 k0 dk
k2 k0 dk
物理科学与信息工程学院 10
讨论： （1）当 （2）当 （3）当
g p
d p d
d p d d p
d d p d
0
时，则
g P
g P g P
正常色散
0 时，则 0 时，则
为相速之比，
反常色散
无色散
c n n
折射定律
sinቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi1 1 sin i2 2
§8.4 光的相速度与群速度
光的相速度和群速度
二.群速
E E1 E2 E0 cos(1t k1r ) E0 cos(2t k2r ) 2E0 cos(t kr )cos(0t k0r )
1
2
2
,k
k1
k2 2
,0
1
2
2
,k0
k1
k2 2
E A(r,t )cos(0t k0r )
实部 : n 1
N
(q2 /2m0)(02 (02 2)2 ()2
2
)
.
实部 : n
1
N
(q2 /2m0)(02 (02 2)2 ()2
2
)
.n~
n
i,
虚部 :
N (q2
(02
/2m 0 )( ) 2)2 ()2
在色散介质中测量光速：
1.脉冲,有限长波列,复色光 2.各单色光相速不同,“波包”的传播速度?
二.群速
简化讨论,并不失一般性. 在色散介质中,设有两束频率非常相近、振幅 相同的单色平行光沿r 方向传播.
E E1 E2 E0 cos(1t k1r ) E0 cos(2t k2r )
§7.1.3. 光的相速度和群速度
•“单色平面波”——沿传播方向的无限长波列
E E0 cos(t kr ),
2 ,k 2 2 ,v c c .
T
n n v
n r
n : 介质中波长, v : 位相传播速度 . 一.相速
由: t-kr =常数,即 dt-kdr =0
得
v dr c .
波动中的相速度与群速度
推导过程
从波动方程出发，结合相位的概念，可以推导出相速度的计算公式。
群速度计算公式及推导
群速度定义
群速度是指波包（由多个频率成分组成的波）在空间中传 播的速度，用$v_g$表示。
群速度计算公式
群速度$v_g$与相速度$v_p$和频率$f$的关系为$v_g = frac{domega}{dk} = frac{d(2pi f)}{d(2pi/lambda)} = frac{d(lambda f)}{dlambda}$。
推导过程
从波动方程出发，结合波包的概念和傅里叶分析，可以推 导出群速度的计算公式。
数值计算方法介绍
1 2转化为差分 方程进行求解，可以得到相速度和群速度的数值 解。
有限元法
将连续的物理问题离散化为有限个单元进行求解 ，适用于复杂结构和边界条件的波动问题。
3
物质波的相速度与群速度
在量子力学中，粒子具有波动性，其相速度和群速度对应于物质波的相应速度。 这对于理解粒子的运动状态和相互作用具有重要意义。
量子隧穿效应
在量子隧穿过程中，粒子能够穿越经典力学中无法逾越的势垒。此时，相速度和 群速度的概念有助于描述粒子在隧穿过程中的行为。
05
相速度与群速度在工程学中应 用
光学领域应用举例
光的折射与色散
在光学中，相速度与群速度的概念对于理解光的折射和色散现象至关重要。不 同频率的光在介质中的折射率不同，导致相速度和群速度发生变化。
脉冲光的传播
在脉冲光传播过程中，群速度决定了脉冲光的整体传播速度，而相速度则与脉 冲光中各个频率分量的传播速度有关。
量子力学领域应用举例
机械工程
在机械工程中，相速度和群速度的概念对于机械波的传播和控制具有指导意义。例如，在振动分析中 ，通过分析机械波的相速度和群速度，可以了解振动在结构中的传播特性，为减振降噪设计提供依据 。
从波动方程出发，结合相位的概念，可以推导出相速度的计算公式。
群速度计算公式及推导
群速度定义
群速度是指波包（由多个频率成分组成的波）在空间中传 播的速度，用$v_g$表示。
群速度计算公式
群速度$v_g$与相速度$v_p$和频率$f$的关系为$v_g = frac{domega}{dk} = frac{d(2pi f)}{d(2pi/lambda)} = frac{d(lambda f)}{dlambda}$。
推导过程
从波动方程出发，结合波包的概念和傅里叶分析，可以推 导出群速度的计算公式。
数值计算方法介绍
1 2转化为差分 方程进行求解，可以得到相速度和群速度的数值 解。
有限元法
将连续的物理问题离散化为有限个单元进行求解 ，适用于复杂结构和边界条件的波动问题。
3
物质波的相速度与群速度
在量子力学中，粒子具有波动性，其相速度和群速度对应于物质波的相应速度。 这对于理解粒子的运动状态和相互作用具有重要意义。
量子隧穿效应
在量子隧穿过程中，粒子能够穿越经典力学中无法逾越的势垒。此时，相速度和 群速度的概念有助于描述粒子在隧穿过程中的行为。
05
相速度与群速度在工程学中应 用
光学领域应用举例
光的折射与色散
在光学中，相速度与群速度的概念对于理解光的折射和色散现象至关重要。不 同频率的光在介质中的折射率不同，导致相速度和群速度发生变化。
脉冲光的传播
在脉冲光传播过程中，群速度决定了脉冲光的整体传播速度，而相速度则与脉 冲光中各个频率分量的传播速度有关。
量子力学领域应用举例
机械工程
在机械工程中，相速度和群速度的概念对于机械波的传播和控制具有指导意义。例如，在振动分析中 ，通过分析机械波的相速度和群速度，可以了解振动在结构中的传播特性，为减振降噪设计提供依据 。
相速度和群速度
相速度和群速度
在现代物理学中，相速度和群速度是常见的概念。
它们都是由抽象概念所构建出来的，二者之间又存在着某种关联。
下面就来探讨一下相速度和群速度之间的关系。
首先，相速度是指一个特定物质（例如光或电磁波）在某一物理介质中传播时的速度。
这一速度完全取决于传播介质的特性，例如厚度、密度或熵等，在不同的介质中面对的相速度也不尽相同。
其次，群速度指的是一组基本粒子，比如电子或原子，在特定的物理环境中移动时的绝对速度。
由于基本粒子可以在不同的介质中传播，所以其群速度也会因介质而有所不同。
相速度和群速度之间的关系可以概括为：群速度受到相速度的约束，也就是说群速度不能超过相速度的最大速度限制。
这表明，群速度和相速度的最大值存在一定的关联，相速度越大，群速度就越大。
这是因为群速度是基于相速度的，并且会受到相速度的限制，而物理介质特性也会影响群速度的最大值以及物理介质中物体的移动方式。
由此可见，相速度和群速度之间有一定的联系，它们都成为现代物理学中不可分割的概念。
通过循环反馈机制，传播介质和物体的特性可以共同影响相速度与群速度的值，这也是它们的实际应用。
比如在电磁波传播中，物体的大小以及如何介入传输环境决定了相速度的取值；再比如激光传输，由于它具有极大的进度传播能力，有助于群速度取得更高的值。
同样，这些概念也可用来解释宇宙早期的物理现象，如宇宙加速扩展等。
从上面可以看出，相速度与群速度二者之间有着某种关联，不仅可以用来描述宇宙大爆炸中空间的变化，还能帮助我们理解一些比较复杂的物理现象。
因此，对这些概念的理解和研究对于物理学的发展具有重要的意义。
8.4 光的相速度与群速度
一. 相速度
迄今为止，对于各向同性介质在提到波速时，都指的是 波面（等位相面）传播的速度，即相速度p，在惠更斯 原理中如此，在波函数的表达式中也如此。
物理科学与信息工程学院 2
理想的单色平面波的波动方程可表示为：
E A cos(t kr)
上式＝2，k＝2/都是不随t和r改变的量。 因此，相位不变的条件为： 两边微分得： 即
ddt dkdr 0
因此，群速度可表示为：
dr d g dt dk
物理科学与信息工程学院 7
物理科学与信息工程学院 8
三. 群速与相速的关系
d p d d ( p k ) g p k dk dk dk
因
(1)
k
2
2
所以
dk
2
d
d dk 2
dr p dt k
dt kdr 0
t kr 常数
可见，相速度是严格单色光所特有的一种速度。严格 的单色光在空间延续和时间延续都是无穷无尽的余弦 或正弦波。但这种波是理想的极限情况。 物理科学与信息工程学院 3
在真空中所有波长的电磁以同一相速c传播，复色 光可视为若干单色波列的叠加，所以复色光在真 空中传播的相速度就等于单色光在真空中传播的 相速度。
§8.4 光的相速度与群速度
Phase Velocity and Group Velocity
根据光的微粒说，光在两种媒质界面上折射时， sini1/sini2=υ2/υ1，而根据光波动说sini1/sini2=1/2. 傅科做实验测定空气和水中光速之比近于4:3，此数 值与空气到水的折射率相符，从而判定光的波动说 的正确性。 虽然在傅科实验完成之前，光的波动说已为大量事实 （如干涉、衍射、偏振等）所证明，但傅科的实验仍被 认为是对惠斯原理最直接和最有力的支持。 物理科学与信息工程学院 1
相速度和群速度 (Phase velocity and group velocity )
2. 复色波的速度 该式表明：这个二色波是如图所示的、频率为 、 振幅随时间和空间在 0 到 2E0 之间缓慢变化的光波。 这种复色波可以叫做波群或振幅调制波。 x
振动的合成.exe
2. 复色波的速度
对于上述复色波，其传播速度包含两种含义： 等相位面的传播速度，称为相速度； 等振幅面的传播速度，称为群速度。 形象一点说，你拿电钻在一个很坚固的墙上钻洞， 你会觉得电钻的钻头的螺纹在旋转时似乎以高速前 进，但这只是你的错觉，因为你看到的是螺纹的 “相速度”，虽然很快，但是你的电钻却很慢很慢 地向墙内推进，也就是说电钻的总的向前推进的速 度就是“群速度”。
n
折射率随着波长 增加(或光频率的 减少)而减小的色 散叫正常色散。
由 k=2 / ，有dk＝－(2 / 2)d ，可将上式变为
d g = d (77)
d(k ) d g +k dk dk
k=2 / dk＝－(2 / 2)d
(76)
2)复色波的群速度
由＝c／n，有d ＝－ (c／n2)dn，上式还可表示为
dz m g = = dt km k
EE （z, t )cos （t kz）
E （z,t )=2E0 cos （mt km z）
(73)
m t km z =常数
dz m k m 0 dt dz m dt km
1 1 m = (1 2 )= 2 2 1 1 km = (k1 k2 )= k 2 2 dz m
2. 复色波的速度
2，则 若 E01 E02 E0 且 1 2 1、
EE （z, t )cos （t kz） (73)
式中
E （z ,t )=2E0 cos （m t km z） 1 1 m = (1 2 )= 2 2 1 1 km = (k1 k2 )= k 2 2 1 = (1 2 ) 2 1 k = (k1 k2 ) 2
相速度和群速度
λ3 d 2 n d 2 n dn − λ2 dn [ − λ 2 − )] = = 2πc dλ dλ dλ 2πc 2 dλ2
（10）
λ3 d 2 n GVD = k (ω ) = 2πc 2 dλ2
''
s 单位： 单位：
2
m
LOGO
Add your company slogan
v
g
=
d ω dk
群速度和相速度的示意图
包络面
图中， 图中，包络面的移动速度为群 速度
图中， 图中，波形传播的速度为群速 度。
群速度的计算
群速度与频率的关系
v
g
=
d ω dk
= [ dk
/ d ω ]
−1
（1）
k = ω ⋅n /c
（2） 2 （3） （4）
v g = c /( n + ω ⋅ dn / d ω ) = ( c / n ) /( 1 + ω / n ⋅ dn / d ω ) = v p /( 1 + ω / n ⋅ dn / d ω )
相速度色散是色散的一阶效应，而群速度色散是色散的二阶效应。 相速度色散是色散的一阶效应，而群速度色散是色散的二阶效应。
群速度色散效应
early time late time
v g ( yellow) < v g (red )
由（7）式，不同的波长会有不同的群速度，波长 越大，群速度越大。
群速度色散的计算
相速度和群速度
相速度
相速度：单一频率的波的位相面在介质中的传播速度。 相速度：单一频率的波的位相面在介质中的传播速度。
v
p
=
ω
《相速度和群速度》课件
它并不等于波的能量 或信息传播的速度， 这是群速度的概念。
相速度的物理意义
相速度决定了波在介质中的传 播速度，即波峰和波谷的运动 速度。
它决定了波的相位变化和干涉 、衍射等物理现象的发生。
在某些情况下，相速度可以接 近无穷大，例如在无损介质中 传播的波。
相速度的计算方法
根据波动方程和介质的物理性质，可以求解波的相速度。
影响因素不同
相速度只与介质性质有关，而群速度不仅与介质性质有关，还与频 率有关。
在某些介质中的行为不同
在色散介质中，相速度可以超过光速，而群速度不能超过光速。
相速度与群速度的联系
在某些情况下，两者可能相等
01
在无色散介质中，波的相速度和群速度是相等的。
两者都是描述波动现象的重要参数
02
相速度和群速度分别从不同的角度描述了波动现象，对于理解
展望
未来研究方向
随着科技的发展，相速度和群速 度的研究将更加深入，未来可以 进一步探索其在不同领域的应用
，如量子力学、生物医学等。
技术发展与挑战
随着通信、信号处理等技术的快速 发展，对相速度和群速度的研究将 面临更多挑战，需要不断探索新的 理论和方法。
跨学科合作与交流
相速度和群速度的研究涉及到多个 学科领域，未来需要加强跨学科的 合作与交流，促进相关领域的发展 。
波动现象的本质和传播规律具有重要意义。
两者都是波动方程的解
03
无论是相速度还是群速度，都是波动方程的解，用于描述波动
在介质中的传播行为。
PART 04
相速度和群速度的应用
REPORTING
通信领域的应用
相速度的应用
在通信领域中，相速度控制着信号的相位信息传递。通过调 整相速度，可以实现对信号的相位调制，如调相（PM）和调 频（FM）等，从而实现更高效、更可靠的数据传输。
相速度和群速度方案
（4）
由（4）式 vg vp/(1 / n dn / d)
分析：
当 dn/ d o时，有 vg vp 当 dn/ d o时，有 vg vp 当 dn/ d o时，有 vg vp
无色散 正常色散 反常色散
因此，一般情况下（正常色散），群速度小 于相速度。
吸收带
1.在吸收带附近长波一边的折射率比短波的大. 2.在吸收带内，n是无法测量的.
群速度与波长的关系
vg
( c ) /(1
n
n
dn )
d
dn dn d d d d
2c /
dn 2c 2c 2 d 2 (2c / )2 2c
d 2k d 2
d d
dk d
d [1 d vg
]
2 2c
d [1 (n d c
dn )] d
2 2c2
d [n d
dn ] d
2 [ dn d 2n dn )] 3 d 2n 2c d d2 d 2c2 d2
（10）
GVD
k '' ()
3 2c2
d 2n
d2
单位：s2 m
LOGO
Add your company slogan
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
相速度和群速度的定义
相速度和群速度：你真正了解它们吗？
我们都知道物体在空间中移动是有速度的，而我们可以将速
度分为许多种。
其中，最常见的包括如下三种：
1. 位移速度：物体在空间中移动的距离与时间的比值。
2. 平均速度：物体在一个时间段内移动的总距离与总时间的
比值。
3. 瞬时速度：物体某个时间点的移动速度。
其中，位移速度和平均速度都是我们平常接触比较多的速度。
但是，当涉及到波动传播时，我们就需要了解另外两种速度：相速度
和群速度。
相速度：
相速度是指相对参考点的波峰或者波谷的传播速度。
简单来说，就是波的“前沿”传播速度，它的大小只和波的频率和介质的性
质有关。
相速度通常又称作局部速度，因为它反映了波在局部的传播
特性。
群速度：
群速度是指相对参考点的波包的传播速度。
波包是由许多不
同频率的小波组成的，而群速度表示的是这些小波传播形成的波包的
移动速度。
换句话说，群速度是指波包整体传播的速度，它的大小和波包形状、波长、频率都有关系。
相速度和群速度有区别，也有联系。
相速度与频率和介质的性质有关，群速度与波包的构成和形状有关，但是在某些情况下，群速度和相速度是相等的。
当波包的形状对称、波长分布较为连续时，群速度与相速度就变得相等。
在实际应用中，我们需要根据具体的情况来选择使用相速度还是群速度。
在需要研究波的局部特性时，我们可以使用相速度；而当我们需要研究波包整体的移动时，我们需要使用群速度。
同时，群速度还有着广泛的应用，如电磁波通讯等。
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(r)
(70)
ds =
d t r0
该 (r) 就是等相位面的传播速度，简称为相速度。
2020/8/20
r0r0 cos
由于等相位面的梯度平
行于 r0，因此 ＝0。则
r0 /
2020/8/20
1. 单色光波的速度 对于波矢量为 k 的平面单色光波，其空间相位项为
因此
(r)=kr0
k
(k1
k 2 )=
1 2
k
=
1 2
( 1
2)
k
=
1 2
(k1
k2)
2. 复色波的速度 该式表明：这个二色波是如图所示的、频率为 、 振幅随时间和空间在 0 到 2E0 之间缓慢变化的光波。 这种复色波可以叫做波群或振幅调制波。
x
振动的合成.exe
2020/8/20
2. 复色波的速度 对于上述复色波，其传播速度包含两种含义：
g
d
dk
(75)
由波数 k＝ / ，g 可表示为
g
dz dt
=m
km
=
k
gd(d kk)
+kd
dk
(76)
2020/8/202)复色波 Nhomakorabea群速度由 k=2 / ，有dk＝－(2 / 2)d ，可将上式变为
g=dd
(77)
2020/8/20
gd(d kk)
+kd
dk
k=2 /
dk＝－(2 / 2)d
式中， ( r 是) 随距离变化的相位项，相应于 t(r)=常数
的空间曲面为该单色光波的等相位面，满足该式的 r 是这个相位状态在不同时刻的位置。
2020/8/20
1. 单色光波的速度 将上式两边对时间求导数，得
dtdr0
设 r0 为 dr 方向上的单位矢量，并写成 dr＝ r0 ds，则
ds =
2)复色波的群速度
应当指出：（1）复色波是由许多单色光波组成的，
只有复色波的频谱宽度Δ 很窄，各个频率集中在
某一“中心”频率附近时，才能构成（73）式所示 的波，上述关于复色波速度的讨论才有意义。如果
Δ 较大，得不到稳定的波群，则复色波群速度的
概念没有意义。
E E （ z,t)c o （ s t k z ） (7 3 )
2020/8/20
2. 复色波的速度
若 E01E0且2 E0 1，2则1、 2
E E （ z,t)c o （ s t k z ） (7 3 )
式中
2020/8/20
E（ z , t ) = 2 E 0 c o （s m t k m z ）
1
1
m = 2 ( 1 2 )= 2
km
=
1 2
背相对论的结论。
c
(71)
k rr
2020/8/20
2. 复色波的速度
如前所述，实际上的光波都不是严格的单色光波，而 是复色波，它的光电场是所包含各个单色光波电场的 叠加，即
N
E E0lcos(ltklz) l=1
(72)
二色波的光电场为
E E 0 1 c o s (1 t k 1 z ) + E 0 2 c o s (2 t k 2 z )
由复色波表示式（73）可见，它的振幅是时间和
空间的余弦函数，在任一时刻，满足 mtkmz常 数
的 z 值，代表了某等振幅面的位置，该等振幅面位 置对时间的变化率即为等振幅面的传播速度—— 复色波的群速度，且
2020/8/20
g
dz dt
=m
km
=
k
E E （ z,t)c o （ s t k z ） (7 3 )
1.4 相速度和群速度 (Phase velocity and group velocity )
在前面的讨论中，提到了光波速 这个物理量，下 面讨论它的具体含义。
1. 单色光波的速度 2. 复色波的速度
2020/8/20
1. 单色光波的速度 假设单色光波电场的表示式为
E E 0 c o s [ (t(r ) ] （ 6 9 ）
(76)
2)复色波的群速度
由＝c／n，有d ＝－ (c／n2)dn，上式还可表示为
g=1+nddn
(78)
g=dd
(77)
该式表明，在折射率 n 随波长变化的色散介质中， 复色波的相速度不等于群速度。
2020/8/20
2)复色波的群速度
对于正常色散介质(dn／d＜0)，＞g； 对于反常色散介质(dn／d＞0)， <g ；
在无色散介质(dn／d ＝0)中，复色波的相速度等 于群速度，实际上，只有真空才属于这种情况。
折射率随着波长 增加(或光频率的 减少)而减小的色 散叫正常色散。
2020/8/20
n
1.025 1.000
0.975 0.997 0.998 0.999 1.000 1.0011.002 1.003
/0
所以，平面单色光波的相速度为
c k rr
(71)
2020/8/20
(r)
(70)
n c
rr
1. 单色光波的速度
应当注意，相速度是单色光波所特有的一种速度， 由于它表示的不是光波能量的传播速度，所以当
n rr 1 时，例如在色散介质的反常色散区，
就有相速度大于真空中光速度 的情况，这并不违
等相位面的传播速度，称为相速度； 等振幅面的传播速度，称为群速度。
形象一点说，你拿电钻在一个很坚固的墙上钻洞， 你会觉得电钻的钻头的螺纹在旋转时似乎以高速前 进，但这只是你的错觉，因为你看到的是螺纹的 “相速度”，虽然很快，但是你的电钻却很慢很慢 地向墙内推进，也就是说电钻的总的向前推进的速 度就是“群速度”。
d t r0
2020/8/20
t (r)= 常 数
d dr 0 dr dt
dr 0 dt
dt dr 0
dtdr0
dr＝ r0 ds
ds =
d t r0
2020/8/20
1. 单色光波的速度
当 r0 垂直于等相位面，即 r0 / 时，上式值 最小，其值为
2020/8/20
1)复色波的相速度
若令（73）式的复色波相位为常数( tkz)常 ，数 则某时
刻等相位面的位置 z 对时间的变化率即为等相位的传 播速度——复色波的相速度，且
dz=
(74)
dt k
E E （ z,t)c o （ s t k z ） (7 3 )
2020/8/20
2）复色波的群速度
E （ z,t)= 2 E 0c o （ s m t k m z ）
mt kmz=常 数 dz
m km dt 0 dz m dt km
m
=
1 2
(1
2
)=
1 2
km
=
1 2
(k1
k
2
)=
1 2
k
dz m dt km
2020/8/20
g
dz dt
=m
km
=
k
2）复色波的群速度
当Δ 很小时，可以写成