【第5讲】常用小波函数

常用小波基函数目前主要通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，并由此选定小波基。

根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，标准通常有：1）小波函数和尺度函数的支撑长度。

2）对称性。

在图像处理中对于避免移相是非常有用的。

3）小波函数和尺度函数的消失矩阶数。

4）正则性。

对于信号或图像的重构以获得较好的平滑效果是非常有用的。

可以通过waveinfo函数获得工具箱中小波函数的主要性质。

小波函数和尺度函数可以通过wavefun函数计算，滤波器可以通过wfilters函数产生。

1、haar函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波基函数，同时也是最简单的一个函数。

2、morlet函数的尺度函数不存在，其本身不具有正交性。

3、墨西哥草帽函数在时域和频域有很好的局部化，不具有正交性。

4、Meyer小波的小波函数和尺度函数都是在频域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。

5、Daubechies小波系，简称dbN，它的db1是haar小波，其他小波没有明确的表达式，dbN函数是紧支撑标准正交小波，它的出现使离散小波分析成为可能。

dbN大多不具有对称性，对于正交小波函数，不对称性是非常明显的。

正则性随着N的增加而增加。

6、Biorthogonal小波系，简称biorNr.Nd。

它主要应用在信号与图像的重构中，通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构，可以解决分解与重构，对称性和重构的精确性成为一对矛盾的问题。

Nr为重构，Nd为分解。

7、Coiflet小波系，简称coifN，是由db构造的一个小波函数，具有比dbN更好的对称性。

从支撑长度的角度看，coifN具有和db3N、sym3N相同的支撑长度，从消失矩的数目来看，具有和db2N、sym2N相同的消失矩数目。

8、Symlets小波系，简称symN，是由db改进的一种函数，是金丝对称的。

小波的几个术语及常见的小波基介绍本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。

一、小波基选择标准小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。

现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点：1、支撑长度小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。

支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。

大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。

这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。

总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。

2、对称性具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。

3、消失矩在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。

消失矩越大，就使更多的小波系数为零。

但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。

所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。

小波的消失矩的定义为，若其中，Ψ(t)为基本小波，0<=p<N。

则称小波函数具有N阶消失矩。

从上式还可以得出，同任意n-1阶多项式正交。

在频域内表示就是Ψ(ω)在ω=0处有高阶零点（一阶零点就是容许条件）。

小波的几个术语及常见的小波基介绍Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】小波的几个术语及常见的小波基介绍本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。

一、小波基选择标准小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。

现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点：1、支撑长度小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。

支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。

大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。

这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。

总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。

2、对称性具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。

3、消失矩在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。

消失矩越大，就使更多的小波系数为零。

但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。

所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。

小波的消失矩的定义为，若其中，Ψ(t)为基本小波，0<=p<N。

则称小波函数具有N阶消失矩。

小波的几个术语及常见的小波基介绍本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。

一、小波基选择标准小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。

现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点：1、支撑长度小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。

支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。

大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。

这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。

总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。

2、对称性具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。

3、消失矩在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。

消失矩越大，就使更多的小波系数为零。

但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。

所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。

小波的消失矩的定义为，若其中，Ψ(t)为基本小波，0<=p<N。

则称小波函数具有N阶消失矩。

从上式还可以得出，同任意n-1阶多项式正交。

在频域内表示就是Ψ(ω)在ω=0处有高阶零点（一阶零点就是容许条件）。

小波的几个术语及常见的小波基介绍本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾,了解一下常见的小波函数,混个脸熟,知道一下常见的几个术语,有个印象即可,这里就当是先作一个备忘录,以后若有需要再深入研究;一、小波基选择标准小波变换不同于傅里叶变换,根据小波母函数的不同,小波变换的结果也不尽相同;现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点：1、支撑长度小波函数Ψt、Ψω、尺度函数φt和φω的支撑区间,是当时间或频率趋向于无穷大时,Ψt、Ψω、φt和φω从一个有限值收敛到0的长度;支撑长度越长,一般需要耗费更多的计算时间,且产生更多高幅值的小波系数;大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波,因为支撑长度太长会产生边界问题,支撑长度太短消失矩太低,不利于信号能量的集中;这里常常见到“紧支撑”的概念,通俗来讲,对于函数fx,如果自变量x在0附近的取值范围内,fx能取到值；而在此之外,fx取值为0,那么这个函数fx就是紧支撑函数,而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集;总结为一句话就是“除在一个很小的区域外,函数为零,即函数有速降性”;2、对称性具有对称性的小波,在图像处理中可以很有效地避免相位畸变,因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点;3、消失矩在实际中,对基本小波往往不仅要求满足容许条件,对还要施加所谓的消失矩Vanishing Moments条件,使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数,这样有利于数据压缩和消除噪声;消失矩越大,就使更多的小波系数为零;但在一般情况下,消失矩越高,支撑长度也越长;所以在支撑长度和消失矩上,我们必须要折衷处理;小波的消失矩的定义为,若其中,Ψt为基本小波,0<=p<N;则称小波函数具有N阶消失矩;从上式还可以得出,同任意n-1阶多项式正交;在频域内表示就是Ψω在ω=0处有高阶零点一阶零点就是容许条件;4、正则性在量化或者舍入小波系数时,为了减小重构误差对人眼的影响,我们必须尽量增大小波的光滑性或者连续可微性;因为人眼对“不规则”irregular误差比“平滑”误差更加敏感;换句话说,我们需要强加“正则性”regularity条件;也就是说正则性好的小波,能在信号或图像的重构中获得较好的平滑效果,减小量化或舍入误差的视觉影响;但在一般情况下,正则性好,支撑长度就长,计算时间也就越大;因此正则性和支撑长度上,我们也要有所权衡;消失矩和正则性之间有很大关系,对很多重要的小波比如,样条小波,Daubechies小波等来说,随着消失矩的增加,小波的正则性变大,但是,并不能说随着小波消失矩的增加,小波的正则性一定增加,有的反而变小;5、相似性选择和信号波形相似的小波,这对于压缩和消噪是有参考价值的;二、常见的小波基以下列出的15种小波基是Matlab中支持的15种;1、Haar小波Haar,一般音译为“哈尔”;Haar函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数,也是最简单的一个小波函数,它是支撑域在t∈0,1范围内的单个矩形波;Haar小波在时域上是不连续的,所以作为基本小波性能不是特别好;在Matlab中输入命令waveinfo'haar'可得到如下信息：General characteristics: Compactlysupportedwavelet, the oldest and the simplestwavelet.scaling function phi = 1 on 0 1 and 0otherwise.wavelet function psi = 1 on 0 , = -1on 1 and 0 otherwise.Family HaarShort name haarExamples haar is the same as db1Orthogonal yesBiorthogonal yesCompact support yesDWT possibleCWT possibleSupport width 1Filters length 2Regularity haar is not continuousSymmetry yesNumber of vanishingmoments for psi 12、Daubechiesdb N小波紧支集正交小波Daubechies,一般音译为“多贝西”;Daubechies小波是由世界着明的小波分析学者Ingrid Daubechies一般音译为英格丽·多贝西构造的小波函数,我们一般简写成dbN,N是小波的阶数;小波函数Ψt和尺度函数φt中的支撑区为2N-1,Ψt的消失矩为N;dbN小波具有较好的正则性,即该小波作为稀疏基所引入的光滑误差不容易被察觉,使得信号重构过程比较光滑;dbN小波的特点是随着阶次序列N的增大消失矩阶数越大,其中消失矩越高光滑性就越好,频域的局部化能力就越强,频带的划分效果越好,但是会使时域紧支撑性减弱,同时计算量大大增加,实时性变差;另外,除N=1外,dbN小波不具有对称性即非线性相位,即在对信号进行分析和重构时会产生一定的相位失真;dbN没有明确的表达式除了N=1外,N=1时即为Haar小波;在Matlab中输入命令waveinfo'db'可得到如下信息：General characteristics: Compactlysupportedwavelets with extremal phase and highestnumber of vanishing moments for a givensupport width. Associated scaling filtersareminimum-phase filters.Family DaubechiesShort name dbOrder N N strictly positive integerExamples db1 or haar, db4, db15Orthogonal yesBiorthogonal yesCompact support yesDWT possibleCWT possibleSupport width 2N-1Filters length 2NRegularity about N for large NSymmetry far fromNumber of vanishingmoments for psi N3、Symletsym N小波近似对称的紧支集正交小波Symlet小波函数是IngridDaubechies提出的近似对称的小波函数,它是对db函数的一种改进;Symlet小波系通常表示为symN N=2,3,…,8;sym N小波的支撑范围为2N-1,消失矩为N,同时也具备较好的正则性;该小波与dbN小波相比,在连续性、支集长度、滤波器长度等方面与dbN小波一致,但symN小波具有更好的对称性,即一定程度上能够减少对信号进行分析和重构时的相位失真;在Matlab中输入命令waveinfo'sym'可得到如下信息：General characteristics: Compactlysupported wavelets withleast asymmetry and highest number ofvanishing momentsfor a given support width.Associated scaling filters are nearlinear-phase filters.Family SymletsShort name symOrder N N = 2, 3, ...Examples sym2, sym8Orthogonal yesBiorthogonal yesCompact support yesDWT possibleCWT possibleSupport width 2N-1Filters length 2NRegularitySymmetry near fromNumber of vanishingmoments for psi N4、Coifletcoif N小波根据的要求,Daubechies构造了Coiflet小波,它具有coifNN=1,2,3,4,5这一系列;Coiflet的小波函数Ψt的2N阶矩为零,尺度函数φt的2N-1阶矩为零;Ψt和φt的支撑长度为6N-1;Coiflet 的Ψt和φt具有比dbN更好的对称性;在Matlab中输入命令waveinfo'coif'可得到如下信息：General characteristics: Compactlysupportedwavelets with highest number of vanishingmoments for both phi and psi for a givensupport width.Family CoifletsShort name coifOrder N N = 1, 2, ..., 5Examples coif2, coif4Orthogonal yesBiorthogonal yesCompact support yesDWT possibleCWT possibleSupport width 6N-1Filters length 6NRegularitySymmetry near fromNumber of vanishingmoments for psi 2NNumber of vanishingmoments for phi 2N-15、Biorthogonal小波为了解决对称性和精确信号重构的不相容性,引入了双正交小波,称为对偶的两个小波分别用于信号的分解和重构;双正交小波解决了线性相位和正交性要求的矛盾;由于它有线性相位特性,所以主要应用在信号与图像的重构中;通常的用法是采用一个函数进行分解,用另外一个小波函娄进行重构;双正交小波与正交小波的区别在于正交小波满足<Ψj,k,Ψl,m>=δj,kδl,m,也就是对小波函数的伸缩和平移构成的基函数完全正交,而双正交小波满足的正交性为<Ψj,k,Ψl,m>=δj,k,也就是对不同尺度伸缩下的小波函数之间有正交性,而同尺度之间通过平移得到的小波函数系之间没有正交性,所以用于分解与重构的小波不是同一个函数,相应的滤波器也不能由同一个小波生成;该小波虽然不是正交小波,但却是双正交小波,具备正则性,同时也是紧支撑的,其重构支撑范围为2Nr+1,分解支撑范围为2Nd+1;小波的主要特征表现在具有线性相位特性;一般来说为了获得线性相位,需要降低对于正交性的局限,为此该双正交小波降低了对于正交性的要求,保留了正交小波的一部分正交性,使小波攻得了线性相位和较短支集的特性;在Matlab中输入命令waveinfo'bior'可得到如下信息：General characteristics: Compactly supportedbiorthogonal spline wavelets for whichsymmetry and exact reconstruction are possiblewithFIR filters in orthogonal case it isimpossible except for Haar.FamilyBiorthogonalShortname biorOrderNr,Nd Nr = 1 , Nd = 1, 3, 5r forreconstruction Nr = 2 , Nd = 2, 4, 6,8d fordecomposition Nr = 3 , Nd = 1, 3, 5,7, 9Nr = 4 , Nd = 4Nr = 5 , Nd = 5Nr = 6 , Nd = 8Examples ,Orthogonal noBiorthogonal yesCompact support yesDWT possibleCWT possibleSupport width 2Nr+1 forrec., 2Nd+1 for dec. Filters lengthmax2Nr,2Nd+2 but essentially ld lreffective length effective lengthof Lo_D of Hi_D2 26 210 25 39 313 317 34 48 412 416 420 4bior 9 79 1117 11Regularity forpsirec. Nr-1 and Nr-2 at theknotsSymmetry yesNumberof vanishingmoments for psi dec. NrRemark: bior , and are such that reconstruction and decomposition functions and filters are close in value. 6、ReverseBior小波由Biorthogonal而来,因此两者形式很类似;在Matlab中输入命令waveinfo'bior'可得到如下信息：General characteristics: Compactly supported biorthogonal spline wavelets for whichsymmetry and exact reconstruction are possiblewithFIR filters in orthogonal case it isimpossible except for Haar.FamilyBiorthogonalShortname rbioOrderNd,Nr Nd = 1 , Nr = 1, 3, 5r forreconstruction Nd = 2 , Nr = 2, 4, 6,8d fordecomposition Nd = 3 , Nr = 1, 3, 5,7, 9 Nd = 4 , Nr = 4Nd = 5 , Nr = 5Nd = 6 , Nr = 8Examples ,Orthogonal noBiorthogonal yesCompact support yesDWT possibleCWT possibleSupport width 2Nd+1 forrec., 2Nr+1 for dec. Filters lengthmax2Nd,2Nr+2 but essentially lr ldeffective length effective lengthof Hi_D of Lo_D2 26 210 25 39 313 317 34 48 412 416 420 49 79 1117 11Regularity forpsirec. Nd-1 and Nd-2 at theknotsSymmetry yesNumberof vanishingmoments for psi dec. NdRemark: rbio , and are such that reconstruction anddecomposition functions and filters are close in value.7、Meyer小波Meyer小波的小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的,它不是紧支撑的,但它的收敛速度很快;在Matlab中输入命令waveinfo'meyr'可得到如下信息：General characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet.Family MeyerShortname meyrOrthogonal yesBiorthogonal yesCompact support noDWT possiblebut without FWTFIR based approximation provides FWTCWT possibleSupport width infiniteEffective support -8 8Regularityindefinitely derivableSymmetry yes8、Dmeyer小波Dmeyer即离散的Meyer小波,它是Meyer小波基于FIR的近似,用于快速离散小波变换的计算;在Matlab中输入命令waveinfo'dmey'可得到如下信息：Definition: FIR based approximation of theMeyer Wavelet.Family DMeyerShort name dmeyOrthogonal yesBiorthogonal yesCompact support yesDWT possibleCWT possible9、Gaussian小波Gaussian小波是高斯密度函数的微分形式,它是一种非正交与非双正交的小波,没有尺度函数;在Matlab中输入命令waveinfo'gaus'可得到如下信息：Definition: derivatives of the Gaussianprobability density function.gausx,n = Cn diffexp-x^2,n wherediff denotesthe symbolic derivative and where Cn issuch thatthe 2-norm of gausx,n = 1.Family GaussianShort name gausWavelet name gaus"n"Orthogonal noBiorthogonal noCompact support noDWTnoSupport width infiniteEffective support -5 5Symmetry yesn even ==> Symmetryn odd ==> Anti-Symmetry10、MexicanHatmexh小波Mexican Hat函数为Gauss函数的二阶导数;因数它的形状像墨西哥帽的截面,所以我们称这个函数为墨西哥草帽函数;它在时域和频率都有很好的局部化,但不存在尺度函数,所以此小波函数不具有正交性;在Matlab中输入命令waveinfo'mexh'可得到如下信息：Definition: second derivative of theGaussianprobability density functionmexhx = c exp-x^2/2 1-x^2where c = 2/sqrt3pi^{1/4}Family Mexican hatShort name mexhOrthogonalnoBiorthogonal noCompact support noDWT noSupport width infiniteEffective support -5 5Symmetry yes11、Morlet小波Morlet小波是高斯包络下的单频率正弦函数,没有尺度函数,是非正交分解;在Matlab中输入命令waveinfo'morl'可得到如下信息：Definition:morlx = exp-x^2/2 cos5xFamily MorletShort name morlOrthogonal noBiorthogonal noCompact support noDWT noCWT possibleSupport width infiniteEffective support -4 4Symmetry yes12、ComplexGaussian小波属于一类复小波,没有尺度函数;在Matlab中输入命令waveinfo'cgau'可得到如下信息：Definition: derivatives of the complexGaussianfunctioncgaux = Cn diffexp-ixexp-x^2,nwhere diff denotesthe symbolic derivative and where Cn is aconstantFamily Complex GaussianShort name cgauWavelet name cgau"n"Orthogonal noBiorthogonal noCompact support noDWT noComplex CWT possibleSupport width infiniteSymmetry yesn even ==> Symmetryn odd ==> Anti-Symmetry13、ComplexShannon Wavelets：shan在Matlab中输入命令waveinfo'shan'可得到如下信息：Definition: a complex Shannon wavelet isshanx =Fb^{}sincFbxexp2ipiFcxdepending on two parameters:Fb is a bandwidth parameterFc is a wavelet center frequencyThe condition Fc > Fb/2 is sufficient toensure thatzero is not in the frequency supportinterval.Family Complex ShannonShort name shanWavelet name shan"Fb"-"Fc"Orthogonal noBiorthogonal noCompact support noDWT nocomplex CWT possibleSupport width infinite14、ComplexFrequency B-Spline Wavelets 复高斯B样条小波样条函数splinefunction指一类分段片光滑、并且在各段交接处也有一定光滑性的函数,简称样条;在Matlab中输入命令waveinfo'fbsp'可得到如下信息：Definition: a complex Frequency B-Splinewavelet isfbspx = Fb^{}sincFbx/M^Mexp2ipiFcxdepending on three parameters:M is an integer order parameter>=1Fb is a bandwidth parameterFc is a wavelet center frequencyFor M = 1, the condition Fc > Fb/2 issufficient to ensurethat zero is not in the frequency supportinterval.Family Complex Frequency B-SplineShort name fbspWavelet namefbsp"M"-"Fb"-"Fc"Orthogonal noBiorthogonal noCompact support noDWT nocomplex CWT possibleSupport width infinite15、ComplexMorlet小波Morlet小波是一种单频复正弦调制高斯波,也是最常用的复值小波该小波,在时频两域均具有良好的分辨率,将此小波加以改造特别适用于地震资料的分析;在Matlab中输入命令waveinfo'cmor'可得到如下信息：Definition: a complex Morlet wavelet is cmorx =piFb^{}exp2ipiFcxexp-x^2/Fb depending on two parameters:Fb is a bandwidth parameterFc is a wavelet center frequency Family Complex MorletShort name cmorWavelet name cmor"Fb"-"Fc" Orthogonal noBiorthogonal noCompact support noDWT nocomplex CWT possibleSupport width infinite。

Allnodes 计算树结点appcoef 提取一维小波变换低频系数appcoef2 提取二维小波分解低频系数bestlevt 计算完整最佳小波包树besttree 计算最佳(优)树biorfill 双正交样条小波滤波器组biorwavf 双正交样条小波滤波器centfrq 求小波中心频率cgauwavf Complex Gaussian小波cmorwavf coiflets小波滤波器cwt 一维连续小波变换dbaux Daubechies小波滤波器计算dbwavf Daubechies小波滤波器dbwavf(W) W='dbN' N=1,2,3,...,50 ddencmp 获取默认值阈值(软或硬)熵标准depo2ind 将深度-位置结点形式转化成索引结点形式detcoef 提取一维小波变换高频系数detcoef2 提取二维小波分解高频系数disp 显示文本或矩阵drawtree 画小波包分解树(GUI)dtree 构造DTREE类dwt 单尺度一维离散小波变换dwt2 单尺度二维离散小波变换dwtmode 离散小波变换拓展模式dyaddown 二元取样dyadup 二元插值entrupd 更新小波包的熵值fbspwavf B样条小波gauswavf Gaussian小波get 获取对象属性值idwt 单尺度一维离散小波逆变换idwt2 单尺度二维离散小波逆变换ind2depo 将索引结点形式转化成深度—位置结点形式intwave 积分小波数isnode 判断结点是否存在函数指含义istnode 判断结点是否是终结点并返回排列值iswt 一维逆SWT(Stationary Wavelet Transform)变换iswt2 二维逆SWT变换leavesmexihat 墨西哥帽小波meyer Meyer小波meyeraux Meyer小波辅助函数morlet Morlet小波nodease 计算上溯结点nodedesc 计算下溯结点(子结点)nodejoin 重组结点nodepar 寻找父结点nodesplt 分割(分解)结点noleavesntnodentreeorthfill 正交小波滤波器组plot 绘制向量或矩阵的图形qmf 镜像二次滤波器rbiowavfread 读取二进制数据readtree 读取小波包分解树scal2frqsetshanwavfswt 一维SWT(Stationary Wavelet Transform)变换swt2 二维SWT变换symauxsymwavf Symlets小波滤波器thselect 信号消噪的阈值选择thodestreedpth 求树的深度treeord 求树结构的叉数函数指令含义upcoef 一维小波分解系数的直接重构upcoef2 二维小波分解系数的直接重构upwlev 单尺度一维小波分解的重构upwlev2 单尺度二维小波分解的重构wavedec 单尺度一维小波分解wavedec2 多尺度二维小波分解wavedemo 小波工具箱函数demowavefun 小波函数和尺度函数wavefun2 二维小波函数和尺度函数wavemenu 小波工具箱函数menu图形界面调用函数wavemngr 小波管理函数waverec 多尺度一维小波重构waverec2 多尺度二维小波重构wbmpenwcodemat 对矩阵进行量化编码wdcbmwdcbm2wden 用小波进行一维信号的消噪或压缩wdencmpwentropy 计算小波包的熵wextendwfilters 小波滤波器wkeep 提取向量或矩阵中的一部分wmaxlev 计算小波分解的最大尺度wnoise 产生含噪声的测试函数数据wnoisest 估计一维小波的系数的标准偏差wp2wtree 从小波包树中提取小波树spbmpenwpcoef 计算小波包系数wpcutree 剪切小波包分解树wpdec 一维小波包的分解wpdec2 二维小波包的分解wpdencmp 用小波包进行信号的消噪或压缩wpfun 小波包函数wpjoinwprcoef 小波包分解系数的重构wprec 一维小波包分解的重构wprec2 二维小波包分解的重构wpsplt 分割（分解）小波包wpthcoef 进行小波包分解系数的阈值处理wptreewpviewcfwrcoef 对一维小波系数进行单支重构wrcoef2 对二维小波系数进行单支重构wrev 向量逆序write 向缓冲区内存写进数据wtbowthcoef 一维信号的小波系数阈值处理wthcoef2 二维信号的小波系数阈值处理wthresh 进行软阈值或硬阈值处理wthrmngr 阈值设置管理wtreemgr 管理树结构。

morlet小波函数Morlet小波函数是一种广泛应用于信号分析与图像处理领域的小波函数，具有良好的时频局部性质和较高的分辨率。

下面将详细介绍Morlet小波函数的定义、特点、应用等方面。

一、Morlet小波函数的定义Morlet小波函数是一种带有固定频率的小波函数，它是通过将高斯分布函数与余弦函数进行复合得到的。

具体地说，Morlet小波函数可以表示为如下的公式：$$\psi(t)=\pi^{-\frac{1}{4}} e^{i\omega_0 t} e^{-\frac{t^2}{2}}$$$\omega_0$是小波函数的中心频率，是一个正实数；$t$是一个实数，代表时间轴上的位置；$e^{i\omega_0 t}$是余弦函数，表示小波函数的振荡部分；$e^{-\frac{t^2}{2}}$是高斯分布函数，表示小波函数的幅度部分。

Morlet小波函数是一个复数函数，具有实部和虚部两个部分。

在实际应用中，为了计算方便，通常将其实部作为小波函数的主要部分，即：$$\text{Re}(\psi(t))=\pi^{-\frac{1}{4}} e^{-\frac{t^2}{2}} \cos(\omega_0t)$$二、Morlet小波函数的特点Morlet小波函数具有以下几个特点：1. 时频局部性：Morlet小波函数在时域和频域的局部集中性很高，即小波函数在某个时间段内的振荡和幅度变化特征能够被相对准确地捕捉到。

这种时频局部性对于信号处理和图像分析非常重要，特别是在非平稳信号和图像领域。

2. 高分辨率：Morlet小波函数在频域中的带宽非常窄，因此具有很高的频率分辨率。

这也使得它在处理高频信号和图像时能够达到很好的效果。

3. 对称性：Morlet小波函数在时域中具有对称性，而在频域中则不具有对称性。

这种对称性使得小波分析可以更好地处理实数信号。

4. 可调参数：Morlet小波函数的中心频率可以调节，因此可以使用不同的中心频率来分析不同频段的信号和图像。

小波变换公式推导
1、定义小波函数：小波函数ψ(t)是一个具有零平均值的振荡函数，它在时间域和频率域都是局部化的。

2、小波变换的积分形式：对于信号f(t)，其连续小波变换（CWT）定义为
其中，a是尺度参数，控制小波的宽度；b是平移参数，控制小波的位置。

3、小波函数的性质：小波函数需要满足一定的条件，如可容许性条件，以确保小波变换的存在性和唯一性。

4、逆变换：连续小波变换的逆变换为
其中，Cψ是一个与ψ有关的常数。

5、离散小波变换：在实际应用中，常常使用离散小波变换（DWT），它是对连续小波变换的尺度和平移参数进行离散化得到的。

6、多分辨率分析：小波变换的一个重要特性是多分辨率分析，它允许我们在不同的尺度上观察信号，从而揭示信号的局部特征。

7、小波基的选择：在实际应用中，需要选择适合信号特点的小波基函数，如Haar小波、Daubechies小波等。

8、快速小波变换：为了提高计算效率，可以使用快速小波变换（FWT）算法，它利用了小波变换的某些性质来减
少计算量。

小波的几个术语及常见的小波基介绍本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。

一、小波基选择标准小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。

现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点：1、支撑长度小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。

支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。

大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。

这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。

总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。

2、对称性具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。

3、消失矩在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。

消失矩越大，就使更多的小波系数为零。

但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。

所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。

小波的消失矩的定义为，若其中，Ψ(t)为基本小波，0<=p<N。

则称小波函数具有N阶消失矩。

从上式还可以得出，同任意n-1阶多项式正交。

在频域内表示就是Ψ(ω)在ω=0处有高阶零点（一阶零点就是容许条件）。

小波变换函数小波变换(Wavelet Transform)是一种在信号分析领域中常用的数学工具。

它可以将信号分解成一系列不同频率的小波组成的子信号。

小波变换具有良好的时频局部性，可以捕捉到信号中的瞬时特征和频率特征。

小波变换的基本思想是将原始信号与不同尺度和位置的小波函数进行内积运算，得到对应尺度与位置的小波系数。

小波函数是一种局部化的基函数，具有有限时间和频率集中的特性。

小波函数的尺度和位置可以通过变换参数进行调节，从而可以对信号的不同频率成分进行分析。

小波变换有两种常见的方式：连续小波变换(Continuous Wavelet Transform, CWT)和离散小波变换(Discrete Wavelet Transform, DWT)。

连续小波变换是在时间上连续变化的小波函数和原始信号进行内积运算，得到一个连续的小波系数函数。

连续小波变换具有较好的分析性质，可以提供连续的频谱信息，但是计算复杂度较高。

离散小波变换是在时间上离散采样的小波函数和原始信号进行内积运算，得到一个离散的小波系数序列。

离散小波变换通过递归地对小波系数进行迭代分解和合成，实现了信号的多尺度分解和重建。

离散小波变换可以通过快速算法，如Mallat算法或者FWT算法，实现高效的计算。

小波变换的具体实现可以使用不同的小波基函数，常见的小波基函数有Daubechies小波函数、Haar小波函数、Symlets小波函数等。

选择合适的小波基函数可以根据信号的特点进行调整，在时频分析中取得更好的效果。

小波变换在信号处理领域具有广泛的应用。

它可以用于信号去噪、边缘检测、信号压缩、特征提取等方面。

小波变换还可以用于图像处理、语音识别、视频编码等领域，在实际中具有很高的实用价值。

总之，小波变换是一种在信号分析和处理中常用的数学工具，通过对信号进行尺度和位置的变换，可以提取信号的时频特征。

它具有较好的局部性和多尺度分析能力，被广泛应用于各个领域。

与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数具有多样性。

小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。

目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。

常用小波基有Haar 小波、Daubechies(dbN)小波、MexicanHat(mexh)小波、Morlet 小波、Meyer 小波等。

Haar 小波Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t 范围内的单个矩形波。

Haar 函数的定义如下：Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。

但它也有自己的优点:1. 计算简单。

2. (t)ψ不但与j (t)[j z]2ψ∈正交，而且与自己的整数位移正交，因此，在2j a =的多分辨率系统中，Haar小波构成一组最简单的正交归一的小波族。

()t ψ的傅里叶变换是：Haar 小波的时域和频域波形Daubechies(dbN)小波Daubechies 小波是世界着名的小波分析学者Inrid ·Daubechies 构造的小波函数，简写为dbN ，N 是小波的阶数。

小波(t)ψ和尺度函数(t)φ中的支撑区为12-N ，(t)ψ的消失矩为N 。

除1=N （Harr 小波）外，dbN 不具有对称性（即非线性相位）。

除1=N （Harr 小波）外，dbN 没有明确的表达式，但转换函数h 的平方模是明确的:令k N k k N k y p C ∑-=+=101-(y)，其中C k N k +1-为二项式的系数，则有其中：Daubechies 小波具有以下特点：1. 在时域是有限支撑的，即(t)ψ长度有限。

2. 在频域)(ωψ在=0ω处有N 阶零点。

3. (t)ψ和它的整数位移正交归一，即⎰=δψψkk)dt -(t (t)。

与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数 具有多样性。

小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。

目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。

常用小波基有Haar 小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet 小波、Meyer 小波等。

Haar 小波Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t 范围内的单个矩形波。

Haar 函数的定义如下：1021121(t)-1t t ≤≤≤≤ψ=⎧⎪⎨⎪⎩其他Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。

但它也有自己的优点:1. 计算简单。

2.(t)ψ不但与j (t)[j z]2ψ∈正交，而且与自己的整数位移正交，因此，在2j a=的多分辨率系统中，Haar 小波构成一组最简单的正交归一的小波族。

()t ψ的傅里叶变换是：2/24=sin ()j e aψ-ΩΩΩΩ（）jHaar 小波的时域和频域波形Daubechies(dbN)小波Daubechies 小波是世界著名的小波分析学者Inrid ·Daubechies 构造的小波函数，简写为dbN ，N 是小波的阶数。

小波(t)ψ和尺度函数(t)φ中的支撑区为12-N，(t)ψ的消失矩为N 。

除1=N （Harr小波）外，dbN 不具有对称性（即非线性相位）。

除1=N （Harr 小波）外，dbN 没有明确的表达式，但转换函数h 的平方模是明确的:令kN k kN kyp C∑-=+=101-(y)，其中C kN k+1-为二项式的系数，则有)2)p(sin2(cos)(2220ωωω=m其中：e h jk N k kωω-12021)(m ∑-==Daubechies 小波具有以下特点：1. 在时域是有限支撑的，即(t)ψ长度有限。

常用小波基函数目前主要通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，并由此选定小波基。

根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，标准通常有：1）小波函数和尺度函数的支撑长度。

2）对称性。

在图像处理中对于避免移相是非常有用的。

3）小波函数和尺度函数的消失矩阶数。

4）正则性。

对于信号或图像的重构以获得较好的平滑效果是非常有用的。

可以通过waveinfo函数获得工具箱中小波函数的主要性质。

小波函数和尺度函数可以通过wavefun函数计算，滤波器可以通过wfilters函数产生。

1、haar函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波基函数，同时也是最简单的一个函数。

2、morlet函数的尺度函数不存在，其本身不具有正交性。

3、墨西哥草帽函数在时域和频域有很好的局部化，不具有正交性。

4、Meyer小波的小波函数和尺度函数都是在频域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。

5、Daubechies小波系，简称dbN，它的db1是haar小波，其他小波没有明确的表达式，dbN函数是紧支撑标准正交小波，它的出现使离散小波分析成为可能。

dbN大多不具有对称性，对于正交小波函数，不对称性是非常明显的。

正则性随着N的增加而增加。

6、Biorthogonal小波系，简称biorNr.Nd。

它主要应用在信号与图像的重构中，通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构，可以解决分解与重构，对称性和重构的精确性成为一对矛盾的问题。

Nr为重构，Nd为分解。

7、Coiflet小波系，简称coifN，是由db构造的一个小波函数，具有比dbN更好的对称性。

从支撑长度的角度看，coifN具有和db3N、sym3N相同的支撑长度，从消失矩的数目来看，具有和db2N、sym2N相同的消失矩数目。

8、Symlets小波系，简称symN，是由db改进的一种函数，是金丝对称的。

Matlab中常用小波函数matlab小波变换Matlab 1. 离散傅立叶变换的Matlab实现Matlab 函数fft、fft2 和fftn 分别可以实现一维、二维和N 维DFT 算法；而函数ifft、ifft2 和ifftn 则用来计算反DFT 。

这些函数的调用格式如下：A＝fft(X,N,DIM)其中，X 表示输入图像；N 表示采样间隔点，如果X 小于该数值，那么Matlab 将会对X 进行零填充，否则将进行截取，使之长度为N ；DIM 表示要进行离散傅立叶变换。

A＝fft2(X,MROWS,NCOLS)其中，MROWS 和NCOLS 指定对X 进行零填充后的X 大小。

别可以实现一维、二维和N 维DFTA＝fftn(X,SIZE)其中，SIZE 是一个向量，它们每一个元素都将指定X 相应维进行零填充后的长度。

函数ifft、ifft2 和ifftn的调用格式于对应的离散傅立叶变换函数一致。

别可以实现一维、二维和N 维DFT例子：图像的二维傅立叶频谱1. 离散傅立叶变换的Matlab实现% 读入原始图像I＝imread('lena.bmp');函数fft、fft2 和fftn 分imshow(I)% 求离散傅立叶频谱J=fftshift(fft2(I));figure;别可以实现一维、二维和N 维DFTimshow(log(abs(J)),[8,10])2. 离散余弦变换的Matlab 实现Matlab2.1. dct2 函数功能：二维DCT 变换Matlab格式：B=dct2(A)B=dct2(A,m,n)B=dct2(A,[m,n])函数fft、fft2 和fftn 分说明：B＝dct2(A) 计算A 的DCT 变换B ，A 与B 的大小相同；B＝dct2(A,m,n) 和B=dct2(A,[m,n]) 通过对A 补0 或剪裁，使B 的大小为m×n。

2.2. dict2 函数功能：DCT 反变换格式：B=idct2(A)B=idct2(A,m,n)别可以实现一维、二维和N 维DFTB=idct2(A,[m,n])说明：B＝idct2(A) 计算A 的DCT 反变换B ，A 与B 的大小相同；B＝idct2(A,m,n) 和B=idct2(A,[m,n]) 通过对A 补0 或剪裁，使B 的大小为m×n。

与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数 具有多样性。

小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。

目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。

常用小波基有Haar 小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet 小波、Meyer 小波等。

Haar 小波Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t 围的单个矩形波。

Haar函数的定义如下：1021121(t)-10t t ≤≤≤≤ψ=⎧⎪⎨⎪⎩其他Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为根本小波性能不是特别好。

但它也有自己的优点:1. 计算简单。

2.(t)ψ不但与j (t)[j z]2ψ∈正交，而且与自己的整数位移正交，因此，在2j a=的多分辨率系统中，Haar 小波构成一组最简单的正交归一的小波族。

()t ψ的傅里叶变换是：2/24=sin ()j e aψ-ΩΩΩΩ（）jHaar 小波的时域和频域波形title('haar 时域'); g2=fft(g1); g3=abs(g2); subplot(2,1,2);plot(g3,'LineWidth',2); xlabel('f') title('haar 频域')Daubechies(dbN)小波Daubechies 小波是世界著名的小波分析学者Inrid ·Daubechies 构造的小波函数，简写为dbN ，N 是小波的阶数。

小波(t)ψ和尺度函数(t)φ中的支撑区为12-N ，(t)ψ的消失矩为N 。

除1=N 〔Harr 小波〕外，dbN 不具有对称性〔即非线性相位〕。

小波函数傅里叶
小波函数是一种基于突变和局部振荡的数学函数，可以用于信号处理、图像压缩等领域。

它与傅里叶变换一样，可以将信号从时域转换到频域，但在频域中，小波函数的表示更加灵活和精细。

小波函数可以用于多尺度分析，即将原始信号分解成多个尺度的子信号，从而更好地分析和处理信号的局部特征。

小波函数和傅里叶变换都是基于函数的正交性质，但小波函数在频域中的表示更加紧凑和局部化。

在实际应用中，小波变换可以用于信号去噪、图像压缩、特征提取等领域。

此外，小波函数还可以作为一种基础工具，被用于其他数学领域的研究。

总之，小波函数是一种非常有用的数学工具，可以在信号处理、图像分析等领域发挥重要作用，是值得学习和掌握的一种数学方法。

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