广义逆矩阵与线性方程组的求解The solution of linear equations by the generalized inverse matrix专业: 数学与应用数学作者:指导老师:学校二○一摘要本文首先对矩阵的广义逆进行定义及其分类, 然后主要对一些重要的广义逆的性质和求解进行详细的讨论, 其中包括对减号逆的求解、Moore-Penrose 逆的存在性与唯一性的证明、左逆与右逆的性质与求解等等. 通过对这些重要的广义逆矩阵的性质和求解方法的研究, 最后探讨矩阵的广义逆在解线形方程组中的应用.关键词: 广义逆矩阵；线性方程组；相容方程组；通解AbstractThis article first to define the generalized inverse matrix and its classification, and then mainly on some important properties of generalized inverses and solution of a detailed discussion, including a minus sign for solving inverse, Moore-Penrose inverse of the existence and uniqueness of proof, the left inverse and right inverse of the nature of and solution and so on. On these important properties of generalized inverse matrix of the theory and method, the last of the generalized inverse matrix in the solution of linear equations.Keywords: generalized inverse matrix；linear equations；compatibility equations；general solution目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (2)1 矩阵的几种广义逆 (1)1.1)1(A的定义与计算 (3)1.5加号逆+A的性质及计算 (4)1.6左逆与右逆的定义 (5)2 用广义逆矩阵求解线性方程组 (7)2.1左右逆的应用 (7)2.2相容方程组的通解与-A的应用 (8)2.3+A的应用 (11)参考文献 (14)0 引言广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广, 推广的必要性, 首先是从线性方程组的求解问题出发的, 设有线性方程组b Ax = （0.1）当A 是n 阶方阵, 且0det ≠A 时, 则方程组（0.1）的解存在, 并唯一. 1x A b -= （0.2）但是, 在许多实际问题中所遇到的矩阵A 往往是奇异方阵或是任意的n m ⨯矩阵 （一般n m ≠）, 显然不存在通常的逆矩阵1-A , 这就促使人们去想象能否推广逆的概念, 引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵G , 使得其解仍可以表示为类似于式（0.2）的紧凑形式? 即Gb x = （0.3）1920年摩尔（E.H.Moor ）首先引进了广义逆矩阵这一概念, 其后三十年未能引起人们的重视, 指直到1955年, 彭诺斯（R.Penrose ）以更明确的形式给出了Moore 的广义逆矩阵的定义后, 广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期, 由于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识,因而大大推动了对广义逆矩阵的研究, 使得这一学科得到迅速的发展, 已成为矩阵的一个重要分支. (见参考文献[1][2])1 矩阵的几种广义逆1955年, 彭诺斯（R.Penrose ）指出, 对任意复数矩阵n m A ⨯, 如果存在复矩阵m n A ⨯,满足A AXA = (1.1) X XAX = (1.2)AX AX H =)( (1.3)XA XA H =)( (1.4)则称X 为A 的一个 Moore —Penrose 广义逆, 并把上面四个方程叫做 Moore —Penrose 方程, 简称 M —P 方程.由于 M —P 的四个方程都各有一定的解释, 并且应用起来各有方便之处， 所以出于不同的目的, 常常考虑满足部分方程的 X , 叫做弱逆, 为引用的方便, 我们给出如下的广义逆矩阵的定义.定义1.1 设n m C A ⨯∈, 若有某个m n C X ⨯∈, 满足 M —P 方程（1.1）～（1.4）中的全部或其中的一部分, 则称X 为A 的广义逆矩阵.(见参考文献[3])例如有某个X , 只要满足式（1.1） , 则X 为A 的{}1广义逆, 记为{}1A X ∈； 如果另一个Y , 满足式(1.1), (1.2)则Y 为A 的{}2,1广义逆, 记为{}2,1A Y ∈； 如果{}4,3,2,1A X ∈, 则X 同时满足四个方程, 它就是 Moore —Penrose 广义逆, 等等. 总之, 按照定义 1.1可推得, 满足1个, 2个, 3个, 4个Moore —Penrose 方程的广义逆矩阵共有1544342414=+++C C C C 种, 但应用较多的事一下五种{}1A , {}2,1A , {}3,1A , {}4,1A , {}4,3,2,1A .其中每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵, 分述如下:1．{}1A : 其中任意一个确定的广义逆, 称作减号逆, 或g 逆, 记为-A ； 2．{}2,1A : 其中任意一个确定的广义逆, 称作自反广义逆, 记为r A ； 3．{}3,1A : 其中任意一个确定的广义逆, 称作最小范数广义逆, 记为m A ； 4．{}4,1A : 其中任意一个确定的广义逆, 称作最小二乘广义逆, 记为i A ；5．{}4,3,2,1A : 唯一，称作加号逆, 或伪逆, 或 Moore-Penrose 逆, 记为+A .为叙述简单起见, 下面我们以n R 及实矩阵为例进行讨论, 对于n C 及复的矩阵也有相应结果.本文着重介绍减号逆-A 和加号逆+A 以及左逆与右逆的性质及计算, 并讨论它们在解线性方程组中的应用.1.1 (1)A 的定义与计算定义 1.1.1 设m n A C ⨯∈, 若m n C G ⨯∈满足AGA A =, 则称G 为A 的{1}-逆记为(1)A ,由定义可知{}{}m n C G A AGA G A ⨯∈==,|1.例如设1100A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则100a G ⎛⎫= ⎪⎝⎭就是A 的{1}-逆, 这里a 可以任取. 不难看出A 的{1}-逆并不唯一.定理 1.1.1 设m n r A C ⨯∈, P , Q 分别为m 阶与n 阶非奇异方阵, 且000rIPAQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭则 122122{1}(,1,2)r ijI G A Q P G i j G G ⎧⎫⎛⎫⎪⎪==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为任意阶数的矩阵. （证明见参考文献[7]） 例1 求矩阵101002221453A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的广义逆)1(A .解 构造分块矩阵340AI B I ⎛⎫=⎪⎝⎭, 通过适当变化, 将A 进行行列变换化为000rI ⎛⎫⎪⎝⎭形式, 并求出变换P , Q .31314110111001000100022201002220101453001044400110000001011000010000001000000010000001000000010000001000r r c c c c ++--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪−−−→- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭323242221/21000100010012000001211011000011100000100000001000r r c c c c r ---⎛⎫⎪⎪⎪- ⎪−−−→- ⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭,因此有10001/20121P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 1011011100100001Q -⎛⎫⎪--⎪= ⎪⎪⎝⎭.于是我们取12G , 21G , 22G 均为0得()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000002100010000000100011P Q A .1.2 加号逆+A 的性质及计算定义1.2.1设n m R A ⨯∈, 若存在m n ⨯ 阶矩阵 X , 它同时满足： 1) A AXA = 2）X XAX = 3）()AX AX T= 4）()XA XA T=则称X 为 A 的加号逆, 或伪逆, 或 M oore-Penrose 逆, 记为+A .从定义中可看出, 加号逆必同时是减号逆、自反广义逆、最小范数广义逆和最小二乘广义逆, 在四个条件中, X 与A 完全处于对称地位. 因此A 也是+A 的加号逆, 即有()A A =++; 另外可见, 加号逆很类似于通常的逆阵, 因为通常的逆1-A 也有下列四个类似的性质:1.A A AA =-12. 111---=A AA A3. I AA=-14. I A A =-1由定义1.2.1 中的条件 3）和 4）还可看出, +AA 与A A +都是对称矩阵.前面已经介绍了什么样的矩阵称为M P -广义逆矩阵, 下面将讨论M P -广义逆矩阵的唯一性.定理1.2.1对任意m n A C ⨯∈, A +存在且唯一.证明 设()rank A r =, 若0r =则A 是m n ⨯阶零矩阵, 显然n m ⨯阶零矩阵满足条件.若0r >则A 的满秩分解为A FG =, 其中m r r F C ⨯∈, r n r G C ⨯∈, 于是11()()H H H H B G GG F F F --=即为所求的A +. 因为(1) ()11()()H H H H ABA FG G GG F F F FG FG A --===； (2) 1111()()()()H H H H H H H H BAB G GG F F F FGG GG F F F ----=11()()H H H H G GG F F F B --==；(3) 111()(()())(())H H H H H H H H H AB FGG GG F F F F F F F ---== 1()H H F F F F AB -==；(4) 111()(()())(())H H H H H H H H H BA G GG F F F FG G GG G ---== 1()H H G GG G BA -==. 由此说明了P M -广义逆的存在性.又设,{1,2,3,4}X Y A ∈则有()()()()H H H H H X XAX X AX XX AYA X AX AY XAY =====()()()()H H H H H H H XA YAY XA YA Y A X A Y Y YAY Y =====. 这便说明了A +的唯一性.定理 1.2.2 设A 为秩为r 的m n ⨯矩阵, 其满秩分解为A FG =, 其中m rr F C ⨯∈,r nr G C ⨯∈, 则11()()H H H H A G GG F F F +--=.A +的唯一性前面已经作出了说明, 此定理的证明见参考文献[7]1.3 左逆与右逆的定义定义 1.3.1 设A 是m n ⨯矩阵, 若有n m ⨯矩阵G 满足m AG I =(或n GA I =), 则称G 为A 的右逆(或左逆), 记为1R A -(或1L A -).定理1.3.1 设A 是m n ⨯的矩阵, A 有右(左)逆1R A -(1L A -)的充要条件是()rank A m =(()rank A n =).若A 有右(左)逆, 则其中一个右(左)逆是11()H H R A A AA --=(11()H H L A A A A --=), 通式为11()H H R A VA AVA --=(11()H H L A A VA A V --=)其中V 是任意满足()()()()()H H rank A rank AVA rank A rank A VA ==的矩阵.证明 充分性: 已知()rank A m =, 则()H rank AA m =, H AA 是可逆矩阵, 若记1()H H G A AA -=, 则1()H H m AG AA AA I -==, 因此G 是A 的右逆.必要性: 设G 是A 的一个右逆, 则AG =m I . 由于()()()m m rank I rank AG rank A m ==≤≤,因此()rank A m =.设V 是任意满足()()H rank A rank AVA =的矩阵, 最后证明右逆的通式可以表示成为11()H H R A VA AVA --=的形式.由于1()H H m AVA AVA I -=, 因此1()H H VA AVA -是A 的右逆. 设G 是A 的任意右逆,记H V GG =, 则H H H m AVA AGG A I ==因此()()H rank A rank AVA m ==. 又因为1()H H VA AVA -=H H m m GG A I GI G ==,由上分析可知A 的任意右逆G 都可找到V 使其表示为1()H H G VA AVA -=的形式.因此矩阵A 的右逆的通式为11()H H R A VA AVA --=.对于左逆同理证明.例2求矩阵111000A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的左逆1L A -. 解 由于1111021101001100H A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭, 所以我们有11121110010()11100110H HL A A A A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭例3 设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=210121A ,试求其右逆. 解 易知rank 2=A ,即A 是最大秩矩阵，有11210121210121210121--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=R A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡824365141.2 用广义逆矩阵求解线性方程组考虑非齐次线性方程b Ax = （2.1） 其中n m C A ⨯∈, m C b ∈给定, 而m C x ∈为待定向量. 若()rankA b A rank =, 则方程（2.1）有解, 或称方程组相容, 否则, ()rankA b A rank ≠, 则方程（2.1）无解, 或称方程组不相容或矛盾方程组.2.1 左右逆的应用定理2.1.1 设Ax b =是相容性线形方程组, A 是行满秩矩阵, 1R A -是它的一个右逆.显然11()R R A A b AA b b --==, 因此1R A b -是线形方程组的解. 又若A 为列满秩矩阵, 1L A -是它的一个左逆, 则1L A b -是线形方程组的解.例4 求方程组Ax b =的解其中111000A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭, 210b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 解 显然方程组是相容的. 由于从前面已经知道1010110L A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,因此方程组的解为120101111010L x A b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭.2.2 相容方程组的通解与-A 的应用线性方程组相容时, 若系数矩阵n m C A ⨯∈, 且非奇异（即0det ≠A ）, 则有唯一的解b A X 1-= （2.2） 但当A 为奇异方阵或长方矩阵时, 它的解不是唯一的, 此时1-A 不存在或无意义，那么我们自然会想到, 这时是否能用某个矩阵G 把一般解（无穷多）表示成 Gb X = （2.3） 的形式呢? 这个问题是肯定的. 我们将会发现A 的减号逆A 充当了这一小角色.对于一个m n ⨯阶相容的线性方程组, 不论系数矩阵A 是方阵还是长方矩阵, 是满秩的还是降秩的, 我们都有一个标准的求解方法, 并且能把它的解表达成非常简洁的形式. 下面定理形式给出.定理2.2.1 如果线性方程组（2.1）是相容的, -A 是A 的任一个减号逆, 则线性方程组（2.1）的一个特解可表示成b A X -= 而通解可以表示成()z A A I b A X ---+= （2.4）其中z 是与X 同维的任意向量.(见参考文献[6])证 因为b AX =相容, 所以必有一个n 维向量, 使 b AW = 成立, 又由于是-A 是A 的一个减号逆, 所以A A AA =-,则有AW AW AA =-.亦即b b AA =-.由此得出b A X -= （2.5） 是方程组（2.1）的一个特解.其次, 在式子（2.4）两端左乘A . 则有b AA Z A A I A b AA AX ---=-+=)(由于b b A A =-)(, 所以式（2.4）确定的X 是方程组（2.1）的解, 且当x ~为任意一个解时, 令b A X Z --=~, 有)~)(()(b A X A A I Z A A I -----=- =Ab A X A A b A X ---+--~~ =b A b A b A X ---+--~=b A X --~从而得()Z A A I b A X ---+=~证毕.这表明由式（2.4）确定的解时方程组（2.1）的通解. 例5 求解⎩⎨⎧=+-=-+221232321x x x x x解 将方程组写成矩阵形式 b AX = 其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=210121A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21b 由于()rankA b A rank ==2, 所以方程组是相容的, 现在只要要求得A 的一个减号就可以了, 由例1.3.2知矩阵A 的一个减号逆为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-8326451411RA 利用公式（2.4）, 我们就可立即求得方程组的通解：()Z A A I b A X R R 11---+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-++---+=321321321213192461036913141z z z z z z z z z 也即()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++-=++-=--+=32133212321123191412461014136913141z z z x z z z x z z z x其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321z z z Z 为任一向量. 例6 求方程组Ax b =其中101102221453A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 101b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的解.解 不难看出, 该方程组是相容的, 由于前面已经求得(1)1000120000000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以方程组的通解为1342343344110010001011011012001000120002220000010000114530000001000y y y y y y x y y y y +-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦其中3y , 4y 为任意实数.2.3 +A 的应用（一）判别线性方程组有解.普通线性代数中判别方程组b AX =有解的方法是用矩阵的秩，即()rankA b A rank =时有解;而有了广义逆矩阵理论之后, 便可用广义逆矩阵的方法判别, 并可同时求出解.结论1: 线性方程组b AX =有解b AA b +=⇔． 证 若线性方程组b AX =有解．不妨设其解为a ，则()()b AA Aa AA a A AA Aa b +++====反之, 若有b AA b +=, 则()()b A X A b A X b A X A b AA b AX ++++=⇒≠=-⇒=-⇒==000即b A X +=为线性方程组的一个解． （二）求齐次线性方程组的解空间利用广义逆矩阵可以求出齐次方程组的一切解结论2: 齐次线性方程组0=AX 的解空间=W {()Y Y A A E +-为任意列向量} 证 任取()W A A E a ∈-=+β, 有()()0=-=-=++ββA AA A A A E A Aa , 则a 为齐次线性方程组的解. 反之.若a 为方程组的解, 即0=Aa (2.3.1)两边左乘以A A +, 得0=+AAa A (2.3.2 )联立以上两式有()0=-+a A A E A (2.3.3)由（2.3.3）知: ()a A A E +-为方程组的解, 且()W a A A E ∈-+.(三) 判别齐次线性方程组有唯一解一般由个方程以及个未知数组成的齐次线性方程组0=AX 有唯一解的充分必要条件是0≠A . 但是当方程组的个数与未知数的个数不相等时, 不是方阵, 不能有用行列式判别. 可以用广义逆矩阵的方法判别如下：结论3: 齐次线性方程组0=AX 有唯一解E A A =⇔+证 ⇒ 若齐次线性方程组有唯一解, 则唯一解即为零解. 若E A A ≠+, 则0≠-+A A E由结论2知, 0≠∃Y , 使得()0≠-=+Y A A E a , 为方程组的解, 这与方程组有唯一零 解矛盾. 所以E A A =+.⇐ 若E A A =+, 则0=-+A A E , 由结论2知此时解空间有唯一零解. （四）求非齐次线性方程组的解空间结论4: 非齐次线性方程组b AX =的解空间=H {()Y Y A A E b A ++-+为任意 列向量}.事实上, 由线性方程组的一般理论知, 非齐次方程组的通解应该为对应齐次 的通解和自身的一个特解之和. 结论1、2告诉我们: b A +为其自身的一个特解； 而()Y Y A A E +-为对应齐次的通解(Y 取任意列向量). 显然即为其解空间.例7 求b AX =的通解. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201,420021b A解 因为 ()2,1201⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==FG A , 5=H GG , 5=F F H ,所以()b b AA A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+--+2012012001000010052512014022012514200214022012512,0,1552111 通解为()Y Y A A E X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+12245121512151. 其中Y 为任意列向量．致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对汪教授表示衷心的感谢!参考文献[1] 姜同松编. 高等代数解题方法[M]. 石油大学出版社. 2001.[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编. 高等代数[M]. 北京：高等教育出版社，1988．[3] 蔡剑芳. 高等代数综合题解[M]. 湖北科学技术出版社. 1986.[4] 王品超. 高等代数新方法[M]. 济南：山东教育出版社. 1989.[5] 黄有度, 狄成恩, 朱士信. 矩阵理论及其应用[M]. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 1995.[6] 林升旭. 矩阵论学习辅导与典型题解析[M]. 武汉: 华中科技大学出版社, 2003.[7] 苏育才, 姜翠波, 张跃辉. 矩阵理论[M]. 北京: 科学出版社, 2006.[8] 李新, 何传江. 矩阵理论及其应用[M]. 重庆: 重庆大学出版社, 2005.[9]Verler.W.J.Vectors Structures and Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl；1975.180-187．[10] Dai Hua.On the symmetric Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl.1990(131)1-7．。
