逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。

第五章 向量组与解空间 p.100~1045. 设 α1, α2, α3线性无关， β1 = 3α1 – α2 + α3， β2 = 2α1 + 3α2 – α3， β3 = 5α1 + 6α2 + 2α3， 证明: β1, β2, β3也线性无关.证 考虑齐次线性方程组 k 1β1 + k 2β2 + k 3β3 = 0，即 k 1(3α1 – α2 + α3) + k 2(2α1 + 3α2 – α3) + k 3(5α1 + 6α2 + 2α3) = 0 也即 ( 3k 1 + 2k 2 + 5k 3)α1 + (–k 1 + 3k 2 + 6k 3)α2 + ( k 1 – k 2 + 2k 3)α3 = 0 (2) 因为α1, α2, α3线性无关，所以(2)式中3个括号都必须为0， 即 3k 1 + 2k 2 + 5k 3 = 0 –k 1 + 3k 2 + 5k 3 = 0 k 1 – k 2 + 2k 3 = 0此齐次线性方程组的系数行列式 | A | = 211631523--= 42 ≠ 0,所以，k 1, k 2, k 3必全为0，故 β1, β2, β3线性无关.证2 记 A = ( α1 α2 α3 ), B = ( β1 β2 β3 ), C = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--211631523由题意 ( β1 β2 β3 ) = ( α1 α2 α3 )C ，因为 | C | = 42 ≠ 0, 所以C 可逆，所以 ( α1 α2 α3 ) = ( β1 β2 β3 )C –1即 α1, α2, α3可以由 β1, β2, β3线性表出，(所以两个向量组等价.) 由p.89命题5.3.2，rank(α1, α2, α3) ≤ rank(β1, β2, β3)因为α1, α2, α3线性无关，所以，rank(α1, α2, α3) = 3, 所以rank(β1, β2, β3) ≥ 3, 而 β1, β2, β3只有3个向量，秩最大为3，所以rank(β1, β2, β3) = 3， 故 β1, β2, β3线性无关.6. 假设 α1, α2, α3线性无关，问λ为何值时， α1 + 2α2，3α1 – λα2，α1 + α2 + λα3， 也线性无关.解 考虑齐次线性方程组k 1(α1 + 2α2) + k 2(3α1 – λα2) + k 3(α1 + α2 + λα) = 0，即 ( k 1 + 3k 2 + k 3)α1 + (2k 1 – λk 2 + k 3)α2 + (λk 3)α3 = 0 (2) 因为α1, α2, α3线性无关，所以(2)式中3个括号都必须为0， 即 k 1 + 3k 2 + k 3 = 0 2k 1 – λk 2 + k 3 = 0 λk 3 = 0此齐次线性方程组的系数行列式 | A | = λλ0012131-= λ(–λ – 6),因为 α1 + 2α2，3α1 – λα2，α1 + α2 + λα3 线性无关 ⇔ | A | ≠ 0， 所以，λ ≠ 0且 λ ≠ –6时α1 + 2α2，3α1 – λα2，α1 + α2 + λα3 线性无关.7. 已知向量组(I) α1 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011, α2 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110, α3=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101; (II) β1 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001, β2 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011, β3=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111; 证明：向量组(I)与(II)等价. 证1 易知 β1 = (α1 – α2 + α3)/2, β2 = α1,β3 = (α1 + α2 + α3)/2; 且 α1 = β2, α2 = –β1 + β3, α3 = β1 – β2 + β3;即向量组(I)与(II)可以相互线性表出，所以向量组(I)与(II)等价. 证2 记 A = ( α1 α2 α3 ), B = ( β1 β2 β3 ),则3个线性方程组 x 1α1 + x 2α2 + x 3α3 = βk , k = 1, 2, 3,的系数行列式都是 | A | =110011101= 2 ≠ 0, 所以方程组都有(唯一)解，即方程组(II)可以由(I)线性表出;而3个线性方程组 x 1β1 + x 2β2 + x 3β3 = αk , k = 1, 2, 3,的系数行列式都是 | B | =100110111= 1 ≠ 0, 所以方程组也都有(唯一)解，即方程组(I)可以由(II)线性表出;综上，向量组(I)与(II)可以相互线性表出，所以向量组(I)与(II)等价. 证3 记 A = ( α1 α2 α3 ), B = ( β1 β2 β3 ),则 | A | =110011101= 2 ≠ 0, 且 | B | =100110111= 1 ≠ 0,所以向量组(I)与(II)都是线性无关的;因为dim(R 3) = 3, 而向量组(I)与(II)中的向量都是3维向量， 所以向量组(I)与(II)都是的R 3基，所以向量组(I)与(II)等价.13. 证明：向量组 α1, α2, , αs 可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出的充要条件是向量组 β1, β2, , βt 的秩与向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的秩相等. 进而证明：向量组 α1, α2, , αs 与向量组 β1, β2, , βt 等价的充要条件是这两个向量组的秩都与向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的秩相等.证 必要性: 向量组 α1, α2, , αs 可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出 ==>向量组 β1, β2, , βt 的秩与向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的秩相等. 若向量组 α1, α2, , αs 可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出，则向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 也可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出 由p.89命题5.3.2，rank(α1, α2, , αs , β1, β2, , βt ) ≤ rank(β1, β2, , βt ) 而则向量组β1, β2, , βt 是α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的部分组 所以 rank(β1, β2, , βt ) ≤ rank(α1, α2, , αs , β1, β2, , βt ) 所以 rank(β1, β2, , βt ) = rank(α1, α2, , αs , β1, β2, , βt )充分性: 向量组 β1, β2, , βt 的秩与向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的秩相等 ==> 向量组 α1, α2, , αs 可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出设向量组 β1, β2, , βt 的秩为r ，前r 个向量 β1, β2, , βr 是它的极大线性无关组。

线性方程组的解法与矩阵求逆线性方程组是数学中的重要概念，它可以描述多个线性方程的关系。

解线性方程组的方法有很多种，其中一种常用的方法是矩阵求逆。

本文将介绍线性方程组的解法以及矩阵求逆的原理和步骤。

一、线性方程组的解法线性方程组可以用矩阵形式表示。

比如，我们有如下的线性方程组：```2x + 3y = 74x - 2y = 2```可以看出，这是一个二元一次线性方程组，其中未知数是x和y，常数项分别是7和2。

我们可以将方程组的系数写成一个矩阵A，未知数写成一个矩阵X，常数项写成一个矩阵B。

那么，上述线性方程组可以表示为下面的形式：```A*X = B```要求解这个线性方程组，可以使用消元法、代入法、剩余定理等多种方法。

在这里，我们将重点介绍矩阵求逆法。

二、矩阵求逆要使用矩阵求逆法解线性方程组，首先需要知道矩阵的逆。

一个n阶方阵A的逆矩阵记作A^-1，具有以下性质：```A * A^-1 = I```其中，I是n阶单位矩阵。

如果我们将线性方程组的系数矩阵A进行求逆操作，再将方程组的常数项矩阵B乘以矩阵A的逆矩阵，就可以得到未知数矩阵X的值。

具体求解步骤如下：1. 计算系数矩阵A的行列式D。

如果D=0，则矩阵A没有逆矩阵，线性方程组无解。

2. 计算A的伴随矩阵Adj(A)，即将A的每个元素的代数余子式组成的矩阵取转置。

3. 计算A的逆矩阵A^-1，使用如下公式：```A^-1 = (1/D) * Adj(A)```其中，D为A的行列式。

4. 将矩阵B乘以矩阵A的逆矩阵A^-1，即得到未知数矩阵X：```X = A^-1 * B```通过以上步骤，我们可以求解出线性方程组的未知数矩阵X。

需要注意的是，如果A的行列式D为0，则方程组无解或者有无穷解。

三、示例我们以一个三元一次线性方程组为例，来演示矩阵求逆法的求解过程：```2x + y - z = 7x - 3y + 2z = -113x + y - 4z = 5```首先，将系数矩阵A和常数项矩阵B写成矩阵形式：```A = | 2 1 -1 || 1 -3 2 || 3 1 -4 |B = | 7 ||-11 || 5 |```然后，按照矩阵求逆法的步骤进行计算：1. 计算A的行列式D，有D = -42。

求逆矩阵的方法总结
求逆矩阵是线性代数中常用的一种技术，可以帮助我们快速求解线性方程组，并解决很多实际问题。

下面我们就来总结一下求逆矩阵的方法。

首先，我们要判断矩阵是否可逆，也就是看它是否可秩为n（n为矩阵的阶数）。

只有当矩阵可秩为n时，才能求出它
的逆矩阵。

其次，我们要用行列式法求解矩阵的逆矩阵。

即求出矩阵的行列式，如果行列式的值不为
0，则此矩阵可逆，我们就可以继续求解其逆矩阵。

行列
式的值为0时，表示此矩阵不可逆，此时无法求解矩阵的逆矩阵。

接下来，我们要用逐元分解法求解矩阵的逆矩阵。

将矩阵A分解为n个方程，其中每一个方程由矩阵A的某一列（列
向量）和某一列（行向量）组成。

把n个方程分别转换成n个线性方程组，求解出n个未知数，将这些未知数按行组成新的矩阵，此矩阵即为矩阵A的逆矩阵。

最后，我们还要使用矩阵的乘法法求解矩阵的逆矩阵。

即用矩阵A乘以它的逆矩阵，得到单位矩阵。

根据乘法的性质，如果A乘以B得到单位矩阵，则B就是A的逆矩阵。

以上就是求逆矩阵的方法总结。

求逆矩阵是一种常用的技术，它可以帮助我们快速求解线性方程组，解决实际问题。

不过，在求逆矩阵的时候，我们要注意矩阵的可逆性，因为只有可逆矩阵才能求出逆矩阵。

此外，还要注意矩阵的计算过程，确保结果的准确性。

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逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法。

1。

利用定义求逆矩阵定义： 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E ， 则称A 为可逆矩阵， 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证： 如果方阵A 满足A k= 0， 那么EA 是可逆矩阵， 且（E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换， 所以(E — A ）(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E —A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ，同理可得(E + A + A 2+…+A 1-K ）（E —A ）=E ，因此E-A 是可逆矩阵，且(E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明（E+ A)也可逆，且（E+ A ）1-= E —A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K 。

求逆矩阵简单方法嘿，朋友们！今天咱就来聊聊求逆矩阵这个事儿。

你说这逆矩阵啊，就像是一个神秘的宝藏，得用对方法才能找到它。

咱先打个比方哈，求逆矩阵就好比是在一个迷宫里找出口。

你要是瞎转悠，那可就费劲了，说不定还在里面绕晕了呢！那怎么找这个出口呢？这就得有一些小窍门啦。

首先呢，咱得知道矩阵是啥玩意儿。

它就像是一个整齐排列的数字方阵，每个数字都有它的位置和作用。

那逆矩阵呢，就是和它对着干的家伙，就像是它的“冤家”。

有一种方法呢，就是通过行列式来求。

行列式就像是一把钥匙，能打开求逆矩阵的大门。

你得仔细算算这个行列式的值，可不能马虎哦！要是算错了，那可就找不到正确的路啦。

然后呢，再根据一些公式和规则，一步一步地去求解。

你想想，这是不是有点像在解一道谜题呀？还有一种方法呢，是通过初等变换。

这就好比是给矩阵来个大变身，把它变成我们想要的样子。

通过一系列的变换操作，让它乖乖地露出逆矩阵的真面目。

你可别小看这些方法哦，它们可是很厉害的呢！就像武林高手的绝招一样，用好了就能轻松搞定逆矩阵。

比如说，在一些实际问题中，咱就得求出逆矩阵来解决。

要是没有这些简单方法，那可真是让人头疼啊！咱再举个例子吧，就好比你要去一个陌生的地方，没有地图和导航，那得多难走啊！但有了求逆矩阵的方法，就像是有了地图和导航，能让你快速准确地找到目标。

哎呀呀，学会了这些求逆矩阵的简单方法，是不是感觉自己就像掌握了一门神奇的技艺呀？以后再遇到逆矩阵，就不会再害怕啦，反而会有一种跃跃欲试的感觉呢！总之呢，求逆矩阵虽然有点小复杂，但只要咱掌握了方法，就一定能把它拿下！加油吧，朋友们！让我们在数学的海洋里畅游，把逆矩阵这个小怪兽打得落花流水！。

广义逆矩阵与线性方程组的求解The solution of linear equations by the generalized inverse matrix专业: 数学与应用数学作者:指导老师:学校二○一摘要本文首先对矩阵的广义逆进行定义及其分类, 然后主要对一些重要的广义逆的性质和求解进行详细的讨论, 其中包括对减号逆的求解、Moore-Penrose 逆的存在性与唯一性的证明、左逆与右逆的性质与求解等等. 通过对这些重要的广义逆矩阵的性质和求解方法的研究, 最后探讨矩阵的广义逆在解线形方程组中的应用.关键词: 广义逆矩阵；线性方程组；相容方程组；通解AbstractThis article first to define the generalized inverse matrix and its classification, and then mainly on some important properties of generalized inverses and solution of a detailed discussion, including a minus sign for solving inverse, Moore-Penrose inverse of the existence and uniqueness of proof, the left inverse and right inverse of the nature of and solution and so on. On these important properties of generalized inverse matrix of the theory and method, the last of the generalized inverse matrix in the solution of linear equations.Keywords: generalized inverse matrix；linear equations；compatibility equations；general solution目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (2)1 矩阵的几种广义逆 (1)1.1)1(A的定义与计算 (3)1.5加号逆+A的性质及计算 (4)1.6左逆与右逆的定义 (5)2 用广义逆矩阵求解线性方程组 (7)2.1左右逆的应用 (7)2.2相容方程组的通解与-A的应用 (8)2.3+A的应用 (11)参考文献 (14)0 引言广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广, 推广的必要性, 首先是从线性方程组的求解问题出发的, 设有线性方程组b Ax = （0.1）当A 是n 阶方阵, 且0det ≠A 时, 则方程组（0.1）的解存在, 并唯一. 1x A b -= （0.2）但是, 在许多实际问题中所遇到的矩阵A 往往是奇异方阵或是任意的n m ⨯矩阵 （一般n m ≠）, 显然不存在通常的逆矩阵1-A , 这就促使人们去想象能否推广逆的概念, 引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵G , 使得其解仍可以表示为类似于式（0.2）的紧凑形式? 即Gb x = （0.3）1920年摩尔（E.H.Moor ）首先引进了广义逆矩阵这一概念, 其后三十年未能引起人们的重视, 指直到1955年, 彭诺斯（R.Penrose ）以更明确的形式给出了Moore 的广义逆矩阵的定义后, 广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期, 由于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识,因而大大推动了对广义逆矩阵的研究, 使得这一学科得到迅速的发展, 已成为矩阵的一个重要分支. (见参考文献[1][2])1 矩阵的几种广义逆1955年, 彭诺斯（R.Penrose ）指出, 对任意复数矩阵n m A ⨯, 如果存在复矩阵m n A ⨯,满足A AXA = (1.1) X XAX = (1.2)AX AX H =)( (1.3)XA XA H =)( (1.4)则称X 为A 的一个 Moore —Penrose 广义逆, 并把上面四个方程叫做 Moore —Penrose 方程, 简称 M —P 方程.由于 M —P 的四个方程都各有一定的解释, 并且应用起来各有方便之处， 所以出于不同的目的, 常常考虑满足部分方程的 X , 叫做弱逆, 为引用的方便, 我们给出如下的广义逆矩阵的定义.定义1.1 设n m C A ⨯∈, 若有某个m n C X ⨯∈, 满足 M —P 方程（1.1）～（1.4）中的全部或其中的一部分, 则称X 为A 的广义逆矩阵.(见参考文献[3])例如有某个X , 只要满足式（1.1） , 则X 为A 的{}1广义逆, 记为{}1A X ∈； 如果另一个Y , 满足式(1.1), (1.2)则Y 为A 的{}2,1广义逆, 记为{}2,1A Y ∈； 如果{}4,3,2,1A X ∈, 则X 同时满足四个方程, 它就是 Moore —Penrose 广义逆, 等等. 总之, 按照定义 1.1可推得, 满足1个, 2个, 3个, 4个Moore —Penrose 方程的广义逆矩阵共有1544342414=+++C C C C 种, 但应用较多的事一下五种{}1A , {}2,1A , {}3,1A , {}4,1A , {}4,3,2,1A .其中每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵, 分述如下:1．{}1A : 其中任意一个确定的广义逆, 称作减号逆, 或g 逆, 记为-A ； 2．{}2,1A : 其中任意一个确定的广义逆, 称作自反广义逆, 记为r A ； 3．{}3,1A : 其中任意一个确定的广义逆, 称作最小范数广义逆, 记为m A ； 4．{}4,1A : 其中任意一个确定的广义逆, 称作最小二乘广义逆, 记为i A ；5．{}4,3,2,1A : 唯一，称作加号逆, 或伪逆, 或 Moore-Penrose 逆, 记为+A .为叙述简单起见, 下面我们以n R 及实矩阵为例进行讨论, 对于n C 及复的矩阵也有相应结果.本文着重介绍减号逆-A 和加号逆+A 以及左逆与右逆的性质及计算, 并讨论它们在解线性方程组中的应用.1.1 (1)A 的定义与计算定义 1.1.1 设m n A C ⨯∈, 若m n C G ⨯∈满足AGA A =, 则称G 为A 的{1}-逆记为(1)A ,由定义可知{}{}m n C G A AGA G A ⨯∈==,|1.例如设1100A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则100a G ⎛⎫= ⎪⎝⎭就是A 的{1}-逆, 这里a 可以任取. 不难看出A 的{1}-逆并不唯一.定理 1.1.1 设m n r A C ⨯∈, P , Q 分别为m 阶与n 阶非奇异方阵, 且000rIPAQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭则 122122{1}(,1,2)r ijI G A Q P G i j G G ⎧⎫⎛⎫⎪⎪==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为任意阶数的矩阵. （证明见参考文献[7]） 例1 求矩阵101002221453A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的广义逆)1(A .解 构造分块矩阵340AI B I ⎛⎫=⎪⎝⎭, 通过适当变化, 将A 进行行列变换化为000rI ⎛⎫⎪⎝⎭形式, 并求出变换P , Q .31314110111001000100022201002220101453001044400110000001011000010000001000000010000001000000010000001000r r c c c c ++--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪−−−→- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭323242221/21000100010012000001211011000011100000100000001000r r c c c c r ---⎛⎫⎪⎪⎪- ⎪−−−→- ⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭,因此有10001/20121P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 1011011100100001Q -⎛⎫⎪--⎪= ⎪⎪⎝⎭.于是我们取12G , 21G , 22G 均为0得()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000002100010000000100011P Q A .1.2 加号逆+A 的性质及计算定义1.2.1设n m R A ⨯∈, 若存在m n ⨯ 阶矩阵 X , 它同时满足： 1) A AXA = 2）X XAX = 3）()AX AX T= 4）()XA XA T=则称X 为 A 的加号逆, 或伪逆, 或 M oore-Penrose 逆, 记为+A .从定义中可看出, 加号逆必同时是减号逆、自反广义逆、最小范数广义逆和最小二乘广义逆, 在四个条件中, X 与A 完全处于对称地位. 因此A 也是+A 的加号逆, 即有()A A =++; 另外可见, 加号逆很类似于通常的逆阵, 因为通常的逆1-A 也有下列四个类似的性质:1.A A AA =-12. 111---=A AA A3. I AA=-14. I A A =-1由定义1.2.1 中的条件 3）和 4）还可看出, +AA 与A A +都是对称矩阵.前面已经介绍了什么样的矩阵称为M P -广义逆矩阵, 下面将讨论M P -广义逆矩阵的唯一性.定理1.2.1对任意m n A C ⨯∈, A +存在且唯一.证明 设()rank A r =, 若0r =则A 是m n ⨯阶零矩阵, 显然n m ⨯阶零矩阵满足条件.若0r >则A 的满秩分解为A FG =, 其中m r r F C ⨯∈, r n r G C ⨯∈, 于是11()()H H H H B G GG F F F --=即为所求的A +. 因为(1) ()11()()H H H H ABA FG G GG F F F FG FG A --===； (2) 1111()()()()H H H H H H H H BAB G GG F F F FGG GG F F F ----=11()()H H H H G GG F F F B --==；(3) 111()(()())(())H H H H H H H H H AB FGG GG F F F F F F F ---== 1()H H F F F F AB -==；(4) 111()(()())(())H H H H H H H H H BA G GG F F F FG G GG G ---== 1()H H G GG G BA -==. 由此说明了P M -广义逆的存在性.又设,{1,2,3,4}X Y A ∈则有()()()()H H H H H X XAX X AX XX AYA X AX AY XAY =====()()()()H H H H H H H XA YAY XA YA Y A X A Y Y YAY Y =====. 这便说明了A +的唯一性.定理 1.2.2 设A 为秩为r 的m n ⨯矩阵, 其满秩分解为A FG =, 其中m rr F C ⨯∈,r nr G C ⨯∈, 则11()()H H H H A G GG F F F +--=.A +的唯一性前面已经作出了说明, 此定理的证明见参考文献[7]1.3 左逆与右逆的定义定义 1.3.1 设A 是m n ⨯矩阵, 若有n m ⨯矩阵G 满足m AG I =(或n GA I =), 则称G 为A 的右逆(或左逆), 记为1R A -(或1L A -).定理1.3.1 设A 是m n ⨯的矩阵, A 有右(左)逆1R A -(1L A -)的充要条件是()rank A m =(()rank A n =).若A 有右(左)逆, 则其中一个右(左)逆是11()H H R A A AA --=(11()H H L A A A A --=), 通式为11()H H R A VA AVA --=(11()H H L A A VA A V --=)其中V 是任意满足()()()()()H H rank A rank AVA rank A rank A VA ==的矩阵.证明 充分性: 已知()rank A m =, 则()H rank AA m =, H AA 是可逆矩阵, 若记1()H H G A AA -=, 则1()H H m AG AA AA I -==, 因此G 是A 的右逆.必要性: 设G 是A 的一个右逆, 则AG =m I . 由于()()()m m rank I rank AG rank A m ==≤≤,因此()rank A m =.设V 是任意满足()()H rank A rank AVA =的矩阵, 最后证明右逆的通式可以表示成为11()H H R A VA AVA --=的形式.由于1()H H m AVA AVA I -=, 因此1()H H VA AVA -是A 的右逆. 设G 是A 的任意右逆,记H V GG =, 则H H H m AVA AGG A I ==因此()()H rank A rank AVA m ==. 又因为1()H H VA AVA -=H H m m GG A I GI G ==,由上分析可知A 的任意右逆G 都可找到V 使其表示为1()H H G VA AVA -=的形式.因此矩阵A 的右逆的通式为11()H H R A VA AVA --=.对于左逆同理证明.例2求矩阵111000A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的左逆1L A -. 解 由于1111021101001100H A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭, 所以我们有11121110010()11100110H HL A A A A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭例3 设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=210121A ,试求其右逆. 解 易知rank 2=A ,即A 是最大秩矩阵，有11210121210121210121--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=R A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡824365141.2 用广义逆矩阵求解线性方程组考虑非齐次线性方程b Ax = （2.1） 其中n m C A ⨯∈, m C b ∈给定, 而m C x ∈为待定向量. 若()rankA b A rank =, 则方程（2.1）有解, 或称方程组相容, 否则, ()rankA b A rank ≠, 则方程（2.1）无解, 或称方程组不相容或矛盾方程组.2.1 左右逆的应用定理2.1.1 设Ax b =是相容性线形方程组, A 是行满秩矩阵, 1R A -是它的一个右逆.显然11()R R A A b AA b b --==, 因此1R A b -是线形方程组的解. 又若A 为列满秩矩阵, 1L A -是它的一个左逆, 则1L A b -是线形方程组的解.例4 求方程组Ax b =的解其中111000A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭, 210b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 解 显然方程组是相容的. 由于从前面已经知道1010110L A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,因此方程组的解为120101111010L x A b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭.2.2 相容方程组的通解与-A 的应用线性方程组相容时, 若系数矩阵n m C A ⨯∈, 且非奇异（即0det ≠A ）, 则有唯一的解b A X 1-= （2.2） 但当A 为奇异方阵或长方矩阵时, 它的解不是唯一的, 此时1-A 不存在或无意义，那么我们自然会想到, 这时是否能用某个矩阵G 把一般解（无穷多）表示成 Gb X = （2.3） 的形式呢? 这个问题是肯定的. 我们将会发现A 的减号逆A 充当了这一小角色.对于一个m n ⨯阶相容的线性方程组, 不论系数矩阵A 是方阵还是长方矩阵, 是满秩的还是降秩的, 我们都有一个标准的求解方法, 并且能把它的解表达成非常简洁的形式. 下面定理形式给出.定理2.2.1 如果线性方程组（2.1）是相容的, -A 是A 的任一个减号逆, 则线性方程组（2.1）的一个特解可表示成b A X -= 而通解可以表示成()z A A I b A X ---+= （2.4）其中z 是与X 同维的任意向量.(见参考文献[6])证 因为b AX =相容, 所以必有一个n 维向量, 使 b AW = 成立, 又由于是-A 是A 的一个减号逆, 所以A A AA =-,则有AW AW AA =-.亦即b b AA =-.由此得出b A X -= （2.5） 是方程组（2.1）的一个特解.其次, 在式子（2.4）两端左乘A . 则有b AA Z A A I A b AA AX ---=-+=)(由于b b A A =-)(, 所以式（2.4）确定的X 是方程组（2.1）的解, 且当x ~为任意一个解时, 令b A X Z --=~, 有)~)(()(b A X A A I Z A A I -----=- =Ab A X A A b A X ---+--~~ =b A b A b A X ---+--~=b A X --~从而得()Z A A I b A X ---+=~证毕.这表明由式（2.4）确定的解时方程组（2.1）的通解. 例5 求解⎩⎨⎧=+-=-+221232321x x x x x解 将方程组写成矩阵形式 b AX = 其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=210121A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21b 由于()rankA b A rank ==2, 所以方程组是相容的, 现在只要要求得A 的一个减号就可以了, 由例1.3.2知矩阵A 的一个减号逆为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-8326451411RA 利用公式（2.4）, 我们就可立即求得方程组的通解：()Z A A I b A X R R 11---+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-++---+=321321321213192461036913141z z z z z z z z z 也即()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++-=++-=--+=32133212321123191412461014136913141z z z x z z z x z z z x其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321z z z Z 为任一向量. 例6 求方程组Ax b =其中101102221453A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 101b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的解.解 不难看出, 该方程组是相容的, 由于前面已经求得(1)1000120000000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以方程组的通解为1342343344110010001011011012001000120002220000010000114530000001000y y y y y y x y y y y +-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦其中3y , 4y 为任意实数.2.3 +A 的应用（一）判别线性方程组有解.普通线性代数中判别方程组b AX =有解的方法是用矩阵的秩，即()rankA b A rank =时有解;而有了广义逆矩阵理论之后, 便可用广义逆矩阵的方法判别, 并可同时求出解.结论1: 线性方程组b AX =有解b AA b +=⇔． 证 若线性方程组b AX =有解．不妨设其解为a ，则()()b AA Aa AA a A AA Aa b +++====反之, 若有b AA b +=, 则()()b A X A b A X b A X A b AA b AX ++++=⇒≠=-⇒=-⇒==000即b A X +=为线性方程组的一个解． （二）求齐次线性方程组的解空间利用广义逆矩阵可以求出齐次方程组的一切解结论2: 齐次线性方程组0=AX 的解空间=W {()Y Y A A E +-为任意列向量} 证 任取()W A A E a ∈-=+β, 有()()0=-=-=++ββA AA A A A E A Aa , 则a 为齐次线性方程组的解. 反之.若a 为方程组的解, 即0=Aa (2.3.1)两边左乘以A A +, 得0=+AAa A (2.3.2 )联立以上两式有()0=-+a A A E A (2.3.3)由（2.3.3）知: ()a A A E +-为方程组的解, 且()W a A A E ∈-+.(三) 判别齐次线性方程组有唯一解一般由个方程以及个未知数组成的齐次线性方程组0=AX 有唯一解的充分必要条件是0≠A . 但是当方程组的个数与未知数的个数不相等时, 不是方阵, 不能有用行列式判别. 可以用广义逆矩阵的方法判别如下：结论3: 齐次线性方程组0=AX 有唯一解E A A =⇔+证 ⇒ 若齐次线性方程组有唯一解, 则唯一解即为零解. 若E A A ≠+, 则0≠-+A A E由结论2知, 0≠∃Y , 使得()0≠-=+Y A A E a , 为方程组的解, 这与方程组有唯一零 解矛盾. 所以E A A =+.⇐ 若E A A =+, 则0=-+A A E , 由结论2知此时解空间有唯一零解. （四）求非齐次线性方程组的解空间结论4: 非齐次线性方程组b AX =的解空间=H {()Y Y A A E b A ++-+为任意 列向量}.事实上, 由线性方程组的一般理论知, 非齐次方程组的通解应该为对应齐次 的通解和自身的一个特解之和. 结论1、2告诉我们: b A +为其自身的一个特解； 而()Y Y A A E +-为对应齐次的通解(Y 取任意列向量). 显然即为其解空间.例7 求b AX =的通解. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201,420021b A解 因为 ()2,1201⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==FG A , 5=H GG , 5=F F H ,所以()b b AA A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+--+2012012001000010052512014022012514200214022012512,0,1552111 通解为()Y Y A A E X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+12245121512151. 其中Y 为任意列向量．致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对汪教授表示衷心的感谢!参考文献[1] 姜同松编. 高等代数解题方法[M]. 石油大学出版社. 2001.[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编. 高等代数[M]. 北京：高等教育出版社，1988．[3] 蔡剑芳. 高等代数综合题解[M]. 湖北科学技术出版社. 1986.[4] 王品超. 高等代数新方法[M]. 济南：山东教育出版社. 1989.[5] 黄有度, 狄成恩, 朱士信. 矩阵理论及其应用[M]. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 1995.[6] 林升旭. 矩阵论学习辅导与典型题解析[M]. 武汉: 华中科技大学出版社, 2003.[7] 苏育才, 姜翠波, 张跃辉. 矩阵理论[M]. 北京: 科学出版社, 2006.[8] 李新, 何传江. 矩阵理论及其应用[M]. 重庆: 重庆大学出版社, 2005.[9]Verler.W.J.Vectors Structures and Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl；1975.180-187．[10] Dai Hua.On the symmetric Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl.1990(131)1-7．。

第五章 向量组与解空间 p.100~1045. 设 α1, α2, α3线性无关， β1 = 3α1 – α2 + α3， β2 = 2α1 + 3α2 – α3， β3 = 5α1 + 6α2 + 2α3， 证明: β1, β2, β3也线性无关.证 考虑齐次线性方程组 k 1β1 + k 2β2 + k 3β3 = 0，即 k 1(3α1 – α2 + α3) + k 2(2α1 + 3α2 – α3) + k 3(5α1 + 6α2 + 2α3) = 0 也即 ( 3k 1 + 2k 2 + 5k 3)α1 + (–k 1 + 3k 2 + 6k 3)α2 + ( k 1 – k 2 + 2k 3)α3 = 0 (2) 因为α1, α2, α3线性无关，所以(2)式中3个括号都必须为0， 即 3k 1 + 2k 2 + 5k 3 = 0 –k 1 + 3k 2 + 5k 3 = 0 k 1 – k 2 + 2k 3 = 0此齐次线性方程组的系数行列式 | A | = 211631523--= 42 ≠ 0,所以，k 1, k 2, k 3必全为0，故 β1, β2, β3线性无关.证2 记 A = ( α1 α2 α3 ), B = ( β1 β2 β3 ), C = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--211631523由题意 ( β1 β2 β3 ) = ( α1 α2 α3 )C ，因为 | C | = 42 ≠ 0, 所以C 可逆，所以 ( α1 α2 α3 ) = ( β1 β2 β3 )C –1即 α1, α2, α3可以由 β1, β2, β3线性表出，(所以两个向量组等价.) 由p.89命题5.3.2，rank(α1, α2, α3) ≤ rank(β1, β2, β3)因为α1, α2, α3线性无关，所以，rank(α1, α2, α3) = 3, 所以rank(β1, β2, β3) ≥ 3, 而 β1, β2, β3只有3个向量，秩最大为3，所以rank(β1, β2, β3) = 3， 故 β1, β2, β3线性无关.6. 假设 α1, α2, α3线性无关，问λ为何值时， α1 + 2α2，3α1 – λα2，α1 + α2 + λα3， 也线性无关.解 考虑齐次线性方程组k 1(α1 + 2α2) + k 2(3α1 – λα2) + k 3(α1 + α2 + λα) = 0，即 ( k 1 + 3k 2 + k 3)α1 + (2k 1 – λk 2 + k 3)α2 + (λk 3)α3 = 0 (2) 因为α1, α2, α3线性无关，所以(2)式中3个括号都必须为0， 即 k 1 + 3k 2 + k 3 = 0 2k 1 – λk 2 + k 3 = 0 λk 3 = 0此齐次线性方程组的系数行列式 | A | = λλ0012131-= λ(–λ – 6),因为 α1 + 2α2，3α1 – λα2，α1 + α2 + λα3 线性无关 ⇔ | A | ≠ 0， 所以，λ ≠ 0且 λ ≠ –6时α1 + 2α2，3α1 – λα2，α1 + α2 + λα3 线性无关.7. 已知向量组(I) α1 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011, α2 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110, α3=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101; (II) β1 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001, β2 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011, β3=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111; 证明：向量组(I)与(II)等价. 证1 易知 β1 = (α1 – α2 + α3)/2, β2 = α1,β3 = (α1 + α2 + α3)/2; 且 α1 = β2, α2 = –β1 + β3, α3 = β1 – β2 + β3;即向量组(I)与(II)可以相互线性表出，所以向量组(I)与(II)等价. 证2 记 A = ( α1 α2 α3 ), B = ( β1 β2 β3 ),则3个线性方程组 x 1α1 + x 2α2 + x 3α3 = βk , k = 1, 2, 3,的系数行列式都是 | A | =110011101= 2 ≠ 0, 所以方程组都有(唯一)解，即方程组(II)可以由(I)线性表出;而3个线性方程组 x 1β1 + x 2β2 + x 3β3 = αk , k = 1, 2, 3,的系数行列式都是 | B | =100110111= 1 ≠ 0, 所以方程组也都有(唯一)解，即方程组(I)可以由(II)线性表出;综上，向量组(I)与(II)可以相互线性表出，所以向量组(I)与(II)等价. 证3 记 A = ( α1 α2 α3 ), B = ( β1 β2 β3 ),则 | A | =110011101= 2 ≠ 0, 且 | B | =100110111= 1 ≠ 0,所以向量组(I)与(II)都是线性无关的;因为dim(R 3) = 3, 而向量组(I)与(II)中的向量都是3维向量， 所以向量组(I)与(II)都是的R 3基，所以向量组(I)与(II)等价.13. 证明：向量组 α1, α2, , αs 可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出的充要条件是向量组 β1, β2, , βt 的秩与向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的秩相等. 进而证明：向量组 α1, α2, , αs 与向量组 β1, β2, , βt 等价的充要条件是这两个向量组的秩都与向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的秩相等.证 必要性: 向量组 α1, α2, , αs 可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出 ==>向量组 β1, β2, , βt 的秩与向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的秩相等. 若向量组 α1, α2, , αs 可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出，则向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 也可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出 由p.89命题5.3.2，rank(α1, α2, , αs , β1, β2, , βt ) ≤ rank(β1, β2, , βt ) 而则向量组β1, β2, , βt 是α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的部分组 所以 rank(β1, β2, , βt ) ≤ rank(α1, α2, , αs , β1, β2, , βt ) 所以 rank(β1, β2, , βt ) = rank(α1, α2, , αs , β1, β2, , βt )充分性: 向量组 β1, β2, , βt 的秩与向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的秩相等 ==> 向量组 α1, α2, , αs 可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出设向量组 β1, β2, , βt 的秩为r ，前r 个向量 β1, β2, , βr 是它的极大线性无关组。

线性方程组的矩阵求解算法摘要 线性方程组的矩阵求解算法,只需在约当消元法的基础上,再对方程组的增广矩阵的行最简形进行行(列)删除和增加行,交换行等运算即可得到方程组的解,并且这种方法既可求解有唯一解的方程组.因而算法简单,易于实现.关键词 线性方程组;解向量;解法;约当消元法1 矩阵求解算法设有线性方程组m n A X b ⨯=,其增广矩阵())(1,m n A A b ⨯+=,算法的步骤如下: 第一步:利用约当消元法,把增广矩阵A 化为行最简形,设行最简形为()1m n B ⨯+.若()t i (),r A r =则方程组无解;否则设(),r A R =并执行以下步骤;第二步:删除B 中的所有零行和每一行第一个非零元素(这个非零元素一定是1)所在的列,得到矩阵()1,r n r D ⨯-+并记录每行的第一个非零元所在的列标,放在一维数组()1,,t r L 中,如第i 行的第一个非零元在第j 列,则()t i j =;第三步:构造矩阵()1m n r D H F ⨯-+⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中 ()()1100001000010n r n r F -⨯-+-⎛⎫⎪-⎪= ⎪⎪-⎝⎭L L L L L L L L第四步:对矩阵H 中的行作交换运算:把H 中的第i 行(,1,1,i r r =-L 即从第r 行开始直到第一行)依次与其下一行交换,使之成为第()t i 行,交换运算结果后的矩阵记为G ,则G 中的前n r -个n 维列向量即为方程组的一个基础解系,最后一列向量即为方程组的一个特解; 第五步:写出方程组的通解.2 算法证明先证一个特殊情形,增广矩阵A 的行最简形矩阵B 的左上角为一r 阶的单位矩阵,即第i 行的第一个非零元的列标为i ,即()()1t i i i r =≤≤,所以设B 为1,1112,122,1100010001000r n r n r r rn r c c d c c d B c c d +++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L LL L L L L L L L L L L L L L L L L LL则1,1112,122,1r n r n r r rnr c c d c c d D c c d +++⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L由上述算法可得H 为1,11,1112,12,222,1,2100001000010r r nr r n r r r r rn r c c c d c c c d c c c d H ++++++⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪=⎪-⎪- ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭L L L L L L L L L L L L L L L L由于()()1t i i i r =≤≤,故从H 得到G 时,H 中的行不需交换位置,即.G H = 那么矩阵B 的增广矩阵的线性方程组为111,111,222,112,1,.r r n n r r n nr r r r rn n x d c x c x x d c x c x x d c c x +++++=--⎧⎪=--⎪⎨⎪⎪=---⎩L L L L L L L L L L L令1,12,11,1100r r c c cr r α++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M , 1,22,22,2011r r c c cr r α++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭M M , ,L 12,001n n rn n r c c c α-⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭M M 12000r d d d η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M可以验证1,2,n r ααα-L 是方程组(1)所对应的齐次线性方程组的解,η是方程组(1)的特解,又12,,n r ααα-L 的后n r -个分量构成的向量组100-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ,0010,,.01⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭LM M 线性无关,把它扩充成维向量组后也线性无关,所以12,,,n r ααα-L 线性无关,又因为()r A r =,所以方程组(1)的基础解系中有()n r A n r -=-个向量,因此12,,,n r ααα-L 即为方程组(1)的基础解系,特殊情形得证.对于行最简形矩阵B 为一般情形时,可以通过若干次列交换把它变形为上述特殊情形,但是,列交换将会导致最后结果中对应未知数的次序混乱,即在进行第i 列与第j 列的交换后,最后结果中i x 与j x 次序也就被交换了,因此,在这过程中,必须记住所进行的一切列交换,以便在最后结果中恢复,但若使用本矩阵求解算法,则可避免上述麻烦,为了叙述方便,还是只证一种特殊情形.设 121,2112,222,210000100010*******0r n r n r r rn r c c c d c c d B c c d +++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L O L L L L L L L LL L L L L L L L L L L L LLL即()()()11,12,t t i i i r ==+≤≤则121,2112,222,20r n r n r r rnr c c c d c c d D c c d +++⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L L,121,2112,222,200100001000010r nr n r r rn r c c c d c c d c c d H +++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪= ⎪-⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭L L L L L L L L L L L L L L L L, 121,2112,222,210000001000010r nr n r r rn r c c c d c c d G c c d +++⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪⎪= ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭L L L L LL L L L L L LL L L L现在证明G 的前n r -个列向量是B 所对应的方程的基础解系,G 的最后一列是该方程组的特解,把矩阵B 的第2列依次与第3列,第4列,第列交换,得到矩阵'B121,2112,222',21000100001r n r n r r rnr c c c d c c d B c c d +++⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L L L L L L L LL设矩阵所对应的方程组的解向量为12(,,,)T n x x x K ,'B 所对应的方程组的解向量为12(,,,)T n y y y K ,则有112132122,,,,,,,r r r r r n n x y x y x y x y x y x y ++++======L L即若1,2(,,)T n y y y L 是'B 所对应的方程组的解向量,则112,,2(,,,,,)T r r r n y y y y y y ++L L 是矩阵C 所对应的方程组的解向量,而由上述所证的特殊情形,'B 所对应的方程组的基础解系和一个特解分别为12'100,100c α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M 1,22,2,2'2010r r r r c c c α+++⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭M M , ,L 12'001n n rn n rc c c α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭M M , 2000rd d d η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M 由此可得矩阵所对应的方程组的基础解系和特解为110000c α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M , 1,22,22,2010r r r r c c c α+++⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭M M , L , 12001n n n rrn c c c α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭M M , 12000r d d d η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M 而12,,,n r ααα-L ,η即为G 的列向量组,这一情形得证若B 为起它任意情形,只要重复上上述证明过程,即可得到证明.3 举例例 设有线性方程组12456712345671234567123456712345672322232612422436292551062411242x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+-=⎧⎪--+-++=⎪⎪-+-++-=⎨⎪--+-+-=⎪--+-+-=⎪⎩求其通解.解方程组的增广矩阵A 为1201312212321611241121243629255106121411242A ---⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪=--- ⎪---- ⎪ ⎪----⎝⎭A 的行最简形矩阵B 为1201312200138120139100010448000000000000000B ---⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭划掉B 中的最后两个零行和每行的第一个非零元所在的第一列,第三列,第四列,得矩阵D ,并且()()()11,23,34t t t ===2312208120139100448D ⎛⎫---⎪⎪=-⎪ ⎪--⎝⎭构造矩阵H23122081201391004481000010000010000010H ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎪= ⎪-⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭由于()34t =,所以应把中第3行依次与其后的行交换,使之成为第4行,然后因为()23t =,所以把H 中第2行依次与其后的行交换,使之成为第3行最后因()11t =,故第1行不需与任何行交换,这样变得到矩阵G ,23122100000812013910044810000010000010G ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪=-- ⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以方程组的通解为1234231220001028100913100484000100010000001k k k k ξ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4.算法分析事实上,本算法是约当消元法的推广,因为若()()r A r A n ==时,最简形矩阵n⨯矩阵,且为B的最后一列B的前n列为n阶单位矩阵,所以由B得D时,D为1所构造成的矩阵,由D构造H时,不断增加行,由H得到G时,不需交换行,即G H D==,因而方程组的解向量为G,这也是约当消元法的结果也就是说约当()()==消元法是本r A r A n算法当时的特殊情形,由于本算法的所有加法和乘法都在把增广矩阵化为行最简形矩阵的着一过程中,所以有以下结论:1)算法的计算量与约当消元法的计算量相等;2)算法所需的存贮空间略多于约当消元法所需的存贮空间;3)在求方程组的通解时,其稳定性与精度和约当消元法的完全一致.另外,由于本算法从输入方程组到输出通解(或唯一解),中间的所有运算都是对矩阵进行的,所以算法简单,容易在计算机上实现,当然,由于本算法包含约当消元法,因而它除了有与约当消元法相同的缺点以外,它还有一个缺点:有时需要移动大量的元素,特别是当未知数的个数与方程的个数都很大时,元素的移动量可能更大.总之,本算法在约当消元法的基础上,不需增加乘法和加法运算,即可得到方程组的通解,因而本算法有一定的适用价值.参考文献[1]徐士良计算机常用算法[M] 北京: 清华大学出版社,1995.12[2]同济大学线性代数[M] 北京: 高等教育出版社, 2019.1[3]邓建中等计算方法[M] 西安: 西安交通大学出版社,2019.8[4]刘仲奎高等代数[M] 北京: 高等教育出版社,2019.8[5]浙江大学线性代数[M] 北京: 科学出版社,2019作者简介:王雪娇(1984.10.03) ,女,现就读于陇东学院数学系04级专科(1)班。