高一数学等比数列的前n项和1

等比数列的前n 项和一．等比数列前n 项和公式1．在等比数列 {a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 2．在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【例1】 在等比数列{a n }的前n 项和为S n ， (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； [解] 由题意知⎩⎨⎧ a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155，解得⎩⎨⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1 080×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.(2) a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5； [解]法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝312.法二：由(a 1＋a 3)q 3＝a 4＋a 6，得q 3＝18，从而q ＝12.又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10，所以a 1＝8，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝312.(3) a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求q . [解]因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，所以a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根． 从而⎩⎨⎧ a 1＝2，a n ＝64或⎩⎨⎧a n ＝2，a 1＝64.又S n ＝a 1－a n q 1－q ＝126，所以q 为2或12.(4) a 1＝1，S 3＝34，求S 4.[解] ∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝34， ∴q ≠1，1－q 31－q ＝34，整理可得，q 2＋q ＋14＝0，解得，q ＝－12，则S 4＝1－q 41－q＝1－1161＋12＝58.跟踪训练1．(1) 在等比数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ；[解] 由S n ＝a 1－a n q 1－q 得112＝2－162q1－q ，∴q ＝－2，又由a n ＝a 1q n －1得162＝2(－2)n －1，∴n ＝5. (2) 在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝17，求a n . [解] 若q ＝1，则S 8＝2S 4，不合题意，∴q ≠1， ∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1，S 8＝a 1(1－q 8)1－q＝17，两式相除得1－q 81－q 4＝17＝1＋q 4，∴q ＝2或q ＝－2，∴a 1＝115或a 1＝－15， ∴a n ＝115·2n －1或－15·(－2)n －1.(3) 在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则这个数列的前8项之和S 8＝________.[解] [a 1＋a 4＝a 1(1＋q 3)＝18，a 2＋a 3＝a 1(q ＋q 2)＝12，两式联立解得q ＝2或12，而q 为整数，所以q ＝2，a 1＝2，代入公式求得S 8＝2(1－28)1－2＝510.](4) 等比数列1，x ，x 2，x 3，…(x ≠0)的前n 项和S n 为________. [解] 当x ＝1时，数列为常数列，又a 1＝1，所以S n ＝n . 当x ≠1时，q ＝x ，S n ＝a 1(1－x n )1－x ＝1－x n1－x .二．错位相减法1. 推导等比数列前n 项和的方法一般地，等比数列{a n }的前n 项和可写为： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① 用公比q 乘①的两边，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ，② 由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， 整理得S n ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1)．2. 我们把上述方法叫错位相减法，(1)适用范围：一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1. (2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出S n 与qS n 的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q )S n 的表达式.②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况.【例2】 已知等比数列{a n }满足：a 1＝12，a 1，a 2，a 3－18成等差数列，公比q ∈(0,1)， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . [解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝12，因为a 1，a 2，a 3－18成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－18，即得4q 2－8q ＋3＝0， 解得q ＝12或q ＝32，又因为q ∈(0,1)，所以q ＝12，所以a n ＝12·（12）n －1＝12n . (2)根据题意得b n ＝na n ＝n 2n ， S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ， ①12S n ＝122＋223＋324＋…＋n 2n ＋1，② 作差得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1，跟踪训练2(1)本例题中设c n ＝na n，求数列{c n }的前n 项和S n ′.[解] 由题意知c n ＝n ·2n ，所以S n ′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n －2)×2n －2＋(n －1)×2n －1＋n ·2n ， 2S n ′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －2)×2n －1＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1， 两式相减得：－S n ′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n －1＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2，所以S n ′＝(n －1)·2n ＋1＋2.(2)本例题中设d n ＝(2n －1)a n ，求数列{d n }的前n 项和T n . [解] 由题意可得：T n ＝1×12＋3×122＋…＋(2n －1)×12n ，12T n ＝1×122＋3×123＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1， 两式相减得12T n ＝1×12＋2×122＋…＋2×12n －(2n －1)×12n ＋1＝12＋12×1－12n －11－12－(2n －1)×12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1，所以T n ＝3－42n －2n －12n ＝3－2n ＋32n .三：等比数列前n 项和的性质 1．等比数列前n 项和的变式当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q ，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 2．等比数列前n 项和的性质(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . (2)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …成等比数列(其中S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …均不为0)．(3)若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔数列{a n }为等比数列． (4)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n +m ＝S n ＋q n S m【例3】(1) 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且不等于1的常数)，则数列{a n }( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．是等差数列或等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列 [解] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1； 当n ＝1时，a 1＝a －1，满足上式． ∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *.∴a n ＋1a n ＝a ，∴数列{a n }是等比数列．(2) 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( )A ．28B ．32C ．21D ．28或－21 [解] [∵{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7，S 4－7,91－S 4成等比数列， ∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21.∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2， ∴S 4＝28.(3) 等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________. [解]设S 1＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80，S 2＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79.则S 1S 2＝q ＝3，即S 1＝3S 2.又S 1＋S 2＝S 80＝32，∴43S 1＝32，解得S 1＝24. 即a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝24.](4) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，求S 40 解：S 20＝S 10＋q 10S 10 ， S 30＝S 10＋q 10S 20＝S 10＋q 10（S 10＋q 10S 10） 即70=10+q 10（10＋10q 10）解得q 10＝2或q 10＝－3 所以S 40＝S 10＋q 10S 30＝150 跟踪训练3(1) 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________. [解]－13 [显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.](2) 正数等比数列中S n ＝2，S 3n ＝14”求S 4n 的值．[解] 设S 2n ＝x ，S 4n ＝y ，则2，x －2,14－x ，y －14成等比数列，所以⎩⎨⎧ (x －2)2＝2(14－x )，(14－x )2＝(x －2)(y －14)， 所以⎩⎨⎧x ＝6，y ＝30或⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－40(舍去)，所以S 4n ＝30.(3) 项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间两项的和为3128求此等比数列的项数．[解] 设等比数列为{a n }，项数为2n ，一个项数为2n 的等比数列中，S 偶S 奇＝q .则q ＝12，又a n 和a n ＋1为中间两项，则a n ＋a n ＋1＝3128，即a 1q n －1＋a 1q n ＝3128，又a 1＝12，q ＝12，∴12·（12）n －1＋12·（12）n ＝3128⇒12·（12）n －1·（1+12）＝3128⇒n ＝6. ∴项数为2n ＝12.则此等比数列的项数为12.(4)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝2，S 8＝6，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值．[解] 因为S 8＝S 4＋q 4S 4即6=2+2q 4，所以q 4=2 S 16＝S 8＋q 8S 8＝30 ，S 20＝S 4＋q 4S 16＝62 所以a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝32. 四．分组转化求和一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．【例4】 已知数列{a n }构成一个新数列：a 1，(a 2－a 1)，…，(a n －a n －1)，…此数列是首项为1，公比为13的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .[解] (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋13＋（13）2＋…＋（13）n-1＝32[1-（13）n ](2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝32n －34⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝34(2n －1)＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.跟踪训练4．求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1，…的前n 项和S n .[解]S n ＝214＋418＋6116＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12n ＋1＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋18＋…＋12n ＋1＝n (2n ＋2)2＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n (n ＋1)＋12－12n ＋1.五：等比数列前n 项和公式的实际应用 解数列应用题的具体方法步骤(1)明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求a n ，还是求S n ？特别要注意准确弄清项数是多少.(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.【例5】 某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________.解析 设每天植树的棵数构成的数列为{a n }，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，可得2（1－2n ）1－2≥100，即2n ≥51.而25＝32，26＝64，n ∈N *，所以最少天数n ＝6. 答案 6跟踪训练5．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．[解]去年产值为a ，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a .所以1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝a ·1.1－1.161－1.1＝11(1.15－1)a .课后作业1.等比数列12，14，18，…的前10项和等于A.11 024B.511512C.1 0231 024D.1512解析 因为数列12，14，18，…是首项为12，公比为12的等比数列，所以S 10＝21-121-12110⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛＝1 0231 024. 答案 C2.等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是A.179B.211C.243D.275解析 因为q 4＝a 5a 1＝1681＝（23）4，各项都是正数，所以q ＝23， 因此S 5＝a 1－a 5q1－q ＝81－16×231－23＝211.答案 B3.等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝A.13B.－13C.19D.－19解析 由题意知公比q ≠1，则S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19. 答案 C4.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于A.11B.5C.－8D.－11解析 设{a n }的公比为q .因为8a 2＋a 5＝0.所以8a 2＋a 2·q 3＝0.所以a 2(8＋q 3)＝0. 因为a 2≠0，所以q 3＝－8.所以q ＝－2.所以S 5S 2＝a 1（1－q 5）1－q a 1（1－q 2）1－q ＝1－q 51－q2＝1＋321－4＝33－3＝－11. 答案 D5.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和为A.158或5B.3116或5C.3116D.158解析 由题意，q ≠1，由9S 3＝S 6，得9×a 1（1－q 3）1－q ＝a 1（1－q 6）1－q ，解得q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1，1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案 C6.在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝A.(2n －1)2B.13(4n －1)C.13(2n －1)D.4n －1解析 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，得a 1＝1，a 2＝2，所以{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以{a 2n }是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×（1－4n ）1－4＝13(4n－1).答案 B7.在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项和为778，则数列的项数为A.4B.5C.6D.7解析 ∵a 1＝14，a n ＋2＝78，∴S n ＋2＝14－78q1－q＝778，∴q ＝－12，∴a n ＋2＝14（－12）n ＋1＝78，∴n ＝3，∴数列共5项. 答案 B8.已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)，则实数k 为A.0B.1C.－1D.2解析 由数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －(3n －1＋k )＝2×3n －1. 因为数列{a n }是公比为3的等比数列， 所以a 1＝2×31－1＝3＋k ， 解得k ＝－1. 答案 C9.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝________. 解析 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列， 因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A. 答案 A10.等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.解析 设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，偶数项之和与奇数项之和分别为S 偶，S 奇， 由题意S 偶＋S 奇＝3S 奇，即S 偶＝2S 奇， 因为数列{a n }的项数为偶数，所以q ＝S 偶S 奇＝2.答案 211.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S 3＝3a 1，S 6＝6a 1＝2S 3，不符合题意，∴q ≠1，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q ＝74，a 1（1－q 6）1－q ＝634， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，∴a 8＝a 1q 7＝14×27＝32. 答案 3212.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若有S 3＋S 6＝2S 9，则公比q 的值为________. 解析 若q ＝1，则S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1≠2S 9，∴q ≠1.由已知可得：a 1·（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝2a 1（1－q 9）1－q .∴q 3(2q 6－q 3－1)＝0.∵q ≠0，∴2q 6－q 3－1＝0，∴(q 3－1)(2q 3＋1)＝0. 又∵q ≠1，∴q 3＝－12，∴q ＝－342.13.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.解析 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则a 2＋a 4＝2a 3＝10，即a 3＝5. 故a 3－a 1＝2d ＝5－1＝4，即d ＝2. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1(n ∈N *).(2)由(1)知a 5＝9，即b 2b 4＝9，则b 21q 4＝9，q 2＝3.∵{b n }是公比为q 的等比数列，∴b 1，b 3，b 5，…，b 2n －1构成首项为1，公比为q 2＝3的等比数列， ∴b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1×（1－3n ）1－3＝3n －12(n ∈N *).14.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n.求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式. 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d .由⎩⎨⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎨⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)·2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)·2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)·2n ＋2] ＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n ）1－2－（n ＋1）·2n ＋2＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.15 已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q >1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设{b n ＋13a n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式和前n 项和S n .解析 (1)∵3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0，∴3(a n q 2＋a n )－10a n q ＝0，即3q 2－10q ＋3＝0. ∵公比q >1，∴q ＝3.又首项a 1＝3，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n . (2)∵{b n ＋13a n }是首项为1，公差为2的等差数列，∴b n ＋13a n ＝1＋2(n －1).即数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1－3n －1，S n ＝－(1＋3＋32＋…＋3n －1)＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝－12(3n －1)＋n 2.等比数列的前n 项和一．等比数列前n 项和公式1．在等比数列 {a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 2．在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【例1】 在等比数列{a n }的前n 项和为S n ，(1) S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5；(4) a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求q . (4)a 1＝1，S 3＝34，求S 4.跟踪训练1．(1) 在等比数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ；(2)在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝17，求a n .(3)在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则这个数列的前8项之和S 8＝________.(4)等比数列1，x ，x 2，x 3，…(x ≠0)的前n 项和S n 为________.二．错位相减法1. 推导等比数列前n 项和的方法一般地，等比数列{a n }的前n 项和可写为： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① 用公比q 乘①的两边，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ，② 由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， 整理得S n ＝a 1(1－q n )1－q(q ≠1)．3. 我们把上述方法叫错位相减法，(1)适用范围：一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1. (2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出S n 与qS n 的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q )S n 的表达式.②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况.【例2】 已知等比数列{a n }满足：a 1＝12，a 1，a 2，a 3－18成等差数列，公比q ∈(0,1)， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .跟踪训练2(1)本例题中设c n ＝na n，求数列{c n }的前n 项和S n ′.(2) 本例题中设d n ＝(2n －1)a n ，求数列{d n }的前n 项和T n .三：等比数列前n 项和的性质 1．等比数列前n 项和的变式当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q ，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 2．等比数列前n 项和的性质(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . (2)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …成等比数列(其中S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …均不为0)．(3)若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔数列{a n }为等比数列． (4)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n +m ＝S n ＋q n S m【例3】(1) 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且不等于1的常数)，则数列{a n }( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．是等差数列或等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列 (2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( )A ．28B ．32C ．21D ．28或－21(3)等比数列{a n}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________.(4) 设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10＝10，S30＝70，求S40跟踪训练3(1)若{a n}是等比数列，且前n项和为S n＝3n－1＋t，则t＝________.(2) 正数等比数列中S n＝2，S3n＝14”求S4n的值．(3) 项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间两项的和为3128求此等比数列的项数．(4)设等比数列{a n}的前n项和为S n ，已知S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20的值．四．分组转化求和一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．【例4】已知数列{a n}构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(a n－a n－1)，…此数列是首项为1，公比为13的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .跟踪训练4．求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1，…的前n 项和S n .五：等比数列前n 项和公式的实际应用 解数列应用题的具体方法步骤(1)明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求a n ，还是求S n ？特别要注意准确弄清项数是多少.(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.【例5】 某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________.跟踪训练5．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．课后作业1.等比数列12，14，18，…的前10项和等于A.11 024B.511512C.1 0231 024D.15122.等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是A.179B.211C.243D.2753.等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝A.13B.－13C.19D.－194.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于A.11B.5C.－8D.－115.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和为A.158或5B.3116或5C.3116D.1586.在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝A.(2n－1)2B.13(4n－1)C.13(2n－1) D.4n －17.在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项和为778，则数列的项数为A.4B.5C.6D.78.已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)，则实数k 为A.0B.1C.－1D.29.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝________. 10.等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.11.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.12.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若有S 3＋S 6＝2S 9，则公比q 的值为________.13.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.14.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n.求数列{c n }的前n 项和T n .15 已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q >1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设{b n＋13a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n}的通项公式和前n项和S n.。

等比数列的前n 项和（一）青州五中 侯文山 262500 教学目标1、知识目标：理解等比数列的前n 项和公式的推导过程，体会转化的思想；用方程的思想认识式，利用求和公式知三求一，与通项公式结合知三求二；通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.2、能力目标：通过公式的推导，培养学生观察、分析、类比、猜想、综合的能力.3、情感和态度：进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养实事求是的科学态度.教学重点和难点 重点是公式的推导及运用,难点是公式的推导思路. 教学用具 多媒体课件 教学方法 引导发现法 教学过程 一、故事引入故事一：/view/75ec9255ad02de80d4d840ae.html（这是第三章《数列》序言中的内容，虽然对老师来说它是老故事，但对大部分学生来说是新故事.它能引发学生的认识冲突，诱发学生对过去的表面认知产生怀疑，并且急切想知道结果，有利于促进知识的迁移.）故事二/GuoPeiAdmin/TeachingIntrospection/TeachingIntrospe ctionView.aspx?tiID=9051二、公式推导问题1：大臣所得的麦粒数为636264228421+++++= S ，怎样求64S ？假设小麦1000粒重40克，那么国王要给发明者大约多少吨小麦？ （预案1）从简单开始：11=S32=S73=S154=S猜得：12-=n n S（预案2）6263641(11)24822S +=++++++6263(22)4822=+++++= 636322=+642=所以646421S =-估算：64106619642116(2)11610241 1.610S =-=⨯-=⨯->⨯， 196111.610100040106.410-⨯÷⨯⨯=⨯国王要给发明者的小麦超过6400亿吨.（预案，是对学生的思考的一些估计，根据学生的回答来确定教学的流程.国王给发明者的小麦吨数放在课堂内估算，有利于改进原有的认识结构，进一步提高其学习本节内容的兴趣.）问题2：13332793112-=+++++=--nn n n S 吗？ (预案)反例：取1n =，左右两边不相等.从简单开始：21311-==S213422-==S2131333-==S猜得：213-=nn S（首先由问题1、2中的两条和式的相似性“类比”得出结果的相似性，但类比是一种主观的不充分的似真推理，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证。

【等比数列前n项和】教学设计【教材分析】1.《等比数列的前n项和》是高中数学北师大版《必修5》第一章《数列》第3节的内容。

2.《等比数列的前n项和》是在学生学习了有关数列的知识如等差数列概念及通项公式和等差数列的前n项和公式以及等比数列的概念，本课是为了进一步学习数列知识并且能够解决一类求和问题。

教材从设计情境问题开始展开，使得学生从解决实际问题体会错位相减的数学思想从而推广到等比数列前n项和公式的推导，在公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．教材由“知识传授”的传统模式转变成“以学生为主体”的参与模式，注重数学思想的渗透。

这一部分的知识在生活中有着广泛的应用，是解决理论和实际问题的数学工具，在数学学科中占据着重要的位置，也是学生学习专业知识必备的基础。

【学情分析】1.在之前，学生已经学习了等差数列及等比数列的相关知识，也学习了累加法，错位相减法，图像法等相关的推导方法，具备了一定的探究能力。

2.高一学生具有初步的自主探究能力，思维活跃，敢于猜想，在老师的引导下能够独立解决问题。

但学生缺乏冷静容易片面不严谨，不如丢掉q=1的特殊情况。

并且在推导过程中学生容易将等比数列前n项和的推导方法与之进行类比，要将此点突破。

【教学目标】1.知识与技能：通过情境设计引出等比数列求和问题，使学生理解用错位相减的推导方法推导出等比数列前n项和公式的过程，能活学活用，掌握公式的特点，并能在此基础上利用公式解决一些简单问题2.过程与方法：通过创设情景提出问题，鼓励学生合作讨论，自主解决问题，激发深入学习的欲望；通过组织学生分组探索，使得学生最大程度上灵活动脑，积极配合；通过例题讲解加强学生理解，巩固学习。

3.情感态度价值观：通过故事引入使学生自主探索，增加积极性，激发求知欲。

通过对公式推导方法的发现，让学生感受数学的博大精深，体验数学的乐趣并能树立学好数学的信心。

等比数列的前n 项和 一、等比数列的前n 项和公式 1．乘法运算公式法∵S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝a 1·1－q 1＋q ＋q 2＋…＋q n －11－q ＝a 11－q n1－q， ∴S n ＝a 11－q n1－q. 2．方程法 ∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1－a 1q n －1)＝a 1＋q (S n －a 1q n －1)，∴(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 11－q n1－q. 3．等比性质法∵{a n }是等比数列，∴a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . ∴a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ， 即S n －a 1S n －a n ＝q 于是S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q. 二、等比数列前n 项和公式的理解(1)在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．(2)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q n 1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．等比数列前n 项和性质（1）在等比数列{a n }中，连续相同项数和也成等比数列，即：S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…仍成等比数列．（2）当n 为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S 偶S 奇＝q . （3）若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝－Aq n ＋A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝－Aq n ＋A ⇔数列{a n }为等比数列．题型一 等比数列前n 项和公式的基本运算（在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1和q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用；在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．）1、在等比数列{a n}中，(1)若S n＝189，q＝2，a n＝96，求a1和n；(2)若q＝2，S4＝1，求S8.2、设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.题型二等比数列前n项和性质的应用3、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．4、等比数列{a n}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.题型三等比数列前n项和的实际应用5、借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)[规范解答] 方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a n元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，……a6＝1.01a5－a＝……＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝1.016×1021.016－1.因为1.016＝1.061，所以a＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1. 以下解法同法一，得a≈1 739.故每月应支付1 739元．方法技巧错位相减法求数列的和若数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以公比q，并向后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．6、已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .数列归纳整合一、数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．(4)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2. 等差数列 等比数列性质 ①设{a n }是等差数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s＋a t ＝a m ＋a n ；②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列；③等差数列中连续m 项的和组成的新数列是等差数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等差数列 ①设{a n }是等比数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s ·a t ＝a m ·a n ； ②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列； ③等比数列中连续m 项的和组成的新数列是等比数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等比数列(注意：当q ＝－1且m 为偶数时，不是等比数列)函数特性 ①等差数列{an}的通项公式是n 的一次函数，即an ＝an ＋b(a≠0，a ＝d ，b ＝a1－d)； ②等差数列{an}的前n 项和公式是一个不含常数项的n 的二次函数，即Sn ＝an2＋bn(d≠0) ①等比数列{an}的通项公式是n 的指数型函数，即an ＝c·qn ，其中c≠0，c ＝a1q ； ②等比数列{an}的前n 项和公式是一个关于n 的指数型函数，即Sn ＝aqn －a(a≠0，q≠0，q≠1)三、等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列． (2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a n ＋12＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．专题一 数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n 项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种：(1)观察归纳法求数列的通项公式就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n 的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．(2)利用公式法求数列的通项公式数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a 1与d 或a 1与q ，再代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a 1q n －1中即可．(3)利用a n 与S n 的关系求数列的通项公式如果给出的条件是a n 与S n 的关系式，可利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，先求出a 1＝S 1，再通过计算求出a n (n ≥2)的关系式，检验当n ＝1时，a 1是否满足该式，若不满足该式，则a n 要分段表示．(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式形如：已知a 1，且a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法；形如：已知a 1，且a n ＋1a n＝f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法． (5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)若由已知条件直接求a n 较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．1、已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2且a 1＝2，求a n .2、数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n (n ∈N *)，求通项公式a n . 3、已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，求通项公式．4、设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． 专题二 数列求和求数列的前n 项和S n 通常要掌握以下方法：1、公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列q ≠1的讨论．2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列再求和．4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．1、求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1的前n 项和S n . 2、在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项的和． 3、求和S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n .专题三 数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．1、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且 a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围． 2、数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n 2·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。

《等比数列的前n项和》一、教材分析1、地位和作用《等比数列的前n项和》是一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

《等比数列前n项和公式》是高中数学二年级第二学期第十三章第五节内容。

教学对象为高二学生，教学课时为2课时。

本节课为第一课时。

在此之前，学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础。

本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点。

从高中数学的整体内容来看，《数列与数学归纳法》这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也起着关键性的作用。

首先：数列有着广泛的实际应用。

例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等。

其次：数列有着承前启后的作用。

数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础。

再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材。

学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高。

2、学情分析学生在学习本节内容之前已经学习等差、等比数列的概念和通项公式，等差数列的前Ｎ项和的公式，具备一定的数学思想方法，能够就接下来的内容展开思考，而且在情感上也具备了学习新知识的渴求。

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．二、教学目标的确定作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。

课题：等比数列的前n项和（第一课时）北京市顺义一中刘世明一、教材分析●教学内容本节课选自普通高中课程标准实验教科书必修5第二章第5节，课标安排本节课为两课时，本节课为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征及公式的简单应用．●地位与作用《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：本节课教学对象为示范高中普通班学生，学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生的思维来说是一个难点，另外，对于1q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错．三、目标分析依据新课标的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标●知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．●过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．●情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验。

4.3.2 等比数列的前n 项和公式 第一课时 等比数列的前n 项和公式课标要求素养要求1.探索并掌握等比数列的前n 项和公式.2.理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系.在探索等比数列的前n 项和公式的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.新知探究在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息.在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任.你知道这其中的缘由吗？如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友(称为第1轮传播)，每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友(称为第2轮传播)……，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列问题 如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？提示 1＋3＋9＋…＋320＝1－3211－3＝12(321－1).1.等比数列的前n 项和公式应用公式求和，首先要判断公比是否为1，再选择公式已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比公式S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1a 1－a n q 1－q ，q ≠12.当公比q ≠1时，设A ＝a 1q －1，等比数列的前n 项和公式是S n ＝A (q n －1).即S n 是n 的指数型函数.当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，S n 是n 的正比例函数. 3.错位相减法(1)推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法；(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和，即若{b n }是公差d ≠0的等差数列，{c n }是公比q ≠1的等比数列，求数列{b n ·c n }的前n 项和S n 时，可以用这种方法.拓展深化[微判断]1.求等比数列的前n 项和可以直接套用公式S n ＝a 1（1－q n ）1－q .(×)提示 当q ＝1时，S n ＝na 1.2.等比数列的前n 项和不可以为0.(×)提示 可以为0，比如1，－1，1，－1，1，－1的和.3.数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n ＋b (a ≠0，a ≠1)，则数列{a n }一定是等比数列.(×) 提示 由于等比数列的前n 项和为S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－q q n.可以发现b ＝－1时，数列{a n }才为等比数列.4.求数列{n ·2n }的前n 项和可用错位相减法.(√)[微训练]1.在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和S 10＝( ) A.2－128 B.2－129 C.2－1210D.2－1211解析 易知公比q ＝12，则S 10＝1－12101－12＝2－129. 答案 B2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则公比q ＝( ) A.1或－1 B.1 C.－1D.12解析 由S 3＋S 6＝S 9得S 3＝S 9－S 6，即a 1＋a 2＋a 3＝a 7＋a 8＋a 9＝q 6(a 1＋a 2＋a 3)，则q 6＝1，q ＝±1. 答案 A [微思考]1.若等比数列{a n }的公比q 不为1，其前n 项和为S n ＝Aq n ＋B ，则A 与B 有什么关系？ 提示 A ＝－B .2.等比数列{a n }的前n 项和公式中涉及a 1，a n ，n ，S n ，q 五个量，已知几个量方可以求其它量？ 提示 三个.题型一 等比数列前n 项和公式的直接应用 【例1】 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12， 所以S 8＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1281－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8. 又由q <0，可得q ＝－13，所以S 8＝a 1－a 8q 1－q ＝a 1－a 91－q ＝27－12431－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1 64081. 规律方法 求等比数列的前n 项和，要确定首项，公比或首项、末项、公比，应注意公比q ＝1是否成立.【训练1】 (1)求数列{(－1)n ＋2}的前100项的和；(2)在14与78之间插入n 个数，组成所有项的和为778的等比数列，求此数列的项数. 解 (1)法一 a 1＝(－1)3＝－1，q ＝－1. ∴S 100＝－1[1－（－1）100]1－（－1）＝0.法二 数列{(－1)n ＋2}为－1，1，－1，1，…， ∴S 100＝50×(－1＋1)＝0.(2)设此数列的公比为q (易知q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧78＝14q n ＋1，778＝14－78q 1－q，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－12，n ＝3，故此数列共有5项. 题型二 等比数列前n 项和公式的综合应用【例2】 已知一个等比数列{a n }，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5. 解 设等比数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q 2）＝10， ①a 1q 3（1＋q 2）＝54. ② ∵a 1≠0，1＋q 2≠0，②÷①得q 3＝18， ∴q ＝12，∴a 1＝8，∴a 4＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1，∴S 5＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝312.【迁移1】 设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，且S 3＝3a 3，求此数列的公比q .解 当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3，符合题目条件. 当q ≠1时，a 1（1－q 3）1－q＝3a 1q 2.因为a 1≠0，所以1＋q ＋q 2＝3q 2，2q 2－q －1＝0， 解得q ＝－12.所以此数列的公比q ＝1或－12.【迁移2】 在等比数列{a n }中，S 2＝30，S 3＝155，求S n . 解 若q ＝1，则S 3∶S 2＝3∶2， 而事实上，S 3∶S 2＝31∶6，故q ≠1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 2）1－q ＝30， ①a 1（1－q 3）1－q ＝155， ②两式作比，得1＋q 1＋q ＋q 2＝631，解得⎩⎨⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56，从而S n ＝5（1－5n ）1－5＝54(5n－1)或S n ＝180⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＝1 080⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.规律方法 等比数列前n 项和公式的运算(1)应用等比数列的前n 项和公式时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.(2)当q ＝1时，等比数列是常数列，所以S n ＝na 1；当q ≠1时，等比数列的前n 项和S n 有两个公式.当已知a 1，q 与n 时，用S n ＝a 1（1－q n ）1－q 比较方便；当已知a 1，q 与a n 时，用S n ＝a 1－a n q1－q比较方便.【训练2】 (1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ≠1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋2＋a n ＋1＝2a n ，则S 5＝( ) A.12 B.20 C.11D.21(2)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( ) A.－2 B.2 C.－3D.3解析 (1)a n ＋2＋a n ＋1＝2a n 等价于a n q 2＋a n q ＝2a n . 因a n ≠0，故q 2＋q －2＝0，即(q ＋2)(q －1)＝0.因为q ≠1，所以q ＝－2，故S 5＝1×[1－（－2）5]1－（－2）＝11，故选C.(2)设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1. ∵S 2mS m＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m）1－q＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8. ∵a 2m a m＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.答案 (1)C (2)B题型三 等比数列前n 项和公式的函数特征应用【例3】 数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2.求{a n }的通项公式，并判断{a n }是否是等比数列.解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n －1－2)＝2·3n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1不适合上式. ∴a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2×3n －1，n ≥2. 法一 由于a 1＝1，a 2＝6，a 3＝18，显然a 1，a 2，a 3，不是等比数列， 即{a n }不是等比数列.法二 由等比数列{b n }的公比q ≠1时的前n 项和S n ＝A ·q n ＋B 满足的条件为A ＝－B ，对比可知S n ＝3n －2，－2≠－1，故{a n }不是等比数列.规律方法 已知S n ，通过a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列.【训练3】 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________. 解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)， 又S n ＝13×3n ＋t ，∴t ＝－13. 答案 －13题型四 利用错位相减法求数列的前n 项和【例4】 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0). 解 当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2；当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x （1－x n ）1－x －nx n ＋1，∴S n ＝x （1－x n ）（1－x ）2－nx n ＋11－x.综上可得，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）2，x ＝1，x （1－x n ）（1－x ）2－nx n ＋11－x ，x ≠1且x ≠0.规律方法 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是公比不为1的等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法. 【训练4】求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和.解 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ， 则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1，即12S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n－n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n (n ∈N *).一、素养落地1.通过学习等比数列前n 项和公式及其应用，提升数学运算和逻辑推理素养.2.在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”.3.前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况.二、素养训练1.数列1，5，52，53，54，…的前10项和为( ) A.15()510－1 B.14()510－1 C.14()59－1D.14()511－1解析 S 10＝1－5101－5＝14(510－1).答案 B2.设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A.2B.4C.152D.172解析 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152.答案 C3.等比数列{a n }中，a 3＝8，a 6＝64，则{a n }的前5项的和是________.解析 ∵q 3＝a 6a 3＝8，∴q ＝2，从而a 1＝2.∴S 5＝2（1－25）1－2＝62.答案 624.已知等比数列{a n }中，a 1＝2，q ＝2，前n 项和S n ＝126，则n ＝________. 解析 S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，即2n ＋1＝128，故n ＋1＝7，n ＝6.答案 65.在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q . 解 由题意，得若q ＝1， 则S 3＝3a 1＝6，符合题意. 此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式， 得S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝2（1－q 3）1－q＝6，解得q ＝－2.此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8.基础达标一、选择题1.设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [（－1）n －1]2B.（－1）n ＋1＋12C.（－1）n ＋12D.（－1）n －12解析 S n ＝（－1）[1－（－1）n ]1－（－1）＝（－1）n －12.答案 D2.在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A.33 B.72 C.84D.189解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3， 得q 2＋q －6＝0.∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3＝22×21＝84. 答案 C3.等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝1，a 4＝4，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝( ) A.2n －1 B.4n －13 C.1－（－4）n3D.1－（－2）n 3解析 由a 1a 2a 3＝1得a 2＝1，又a 4＝4，故q 2＝4，a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝4n －13. 答案 B4.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4－a 1＝78，S 3＝39，设b n ＝log 3a n ，那么数列{b n }的前10项和为( )A.log 371B.692C.50D.55解析 由a 4－a 1＝78得a 1(q 3－1)＝78，又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝39，解得a 1＝q ＝3，故a n ＝3n ，b n ＝n ，所以数列{b n }的前10项和为55.答案 D5.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和等于( )A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158解析 设数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由已知得9（1－q 3）1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案 C二、填空题6.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 由题意设数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 327.已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0.∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n .又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴S n ＝2（1－3n ）1－3＝3n －1. 答案 3n －18.若等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝m ·4n －1＋t (其中m ，t 是常数)，则m t ＝________.解析 法一 a 1＝S 1＝m ＋t ，a 2＝S 2－S 1＝3m ，a 3＝S 3－S 2＝12m ，则a 22＝a 1a 3，所以9m 2＝12m (m ＋t )，即m ＝－4t ，故m t ＝－4.法二 S n ＝m ·4n －1＋t ＝14m ·4n ＋t ，因为{a n }是等比数列，故14m ＝－t ，则m t ＝－4.答案 －4三、解答题9.在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和.解 设数列{a n }的公比为q (q ≠0).由已知可得⎩⎨⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2， 所以⎩⎨⎧a 1（q －1）＝2， ①q 2－4q ＋3＝0， ② 解②得q ＝3或q ＝1.由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去.故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－3n ）1－3＝3n －12(n ∈N *). 10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，∴S n n ＝a 1＋n －1，可得S n ＝n (a 1＋n －1)，∴a 1＋a 2＝2(a 1＋1)，a 1＋a 2＋a 3＝3(a 1＋2)，且a 2＝3，a 3＝5.解得a 1＝1.∴S n ＝n 2.∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n ＝1时也成立).∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝a n ·3n ＝(2n －1)·3n ，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)×3n ，∴3T n ＝32＋3×33＋…＋(2n －3)×3n ＋(2n －1)×3n ＋1，∴－2T n ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1＝3＋2×9（3n －1－1）3－1－(2n －1)×3n ＋1，可得T n ＝3＋(n －1)×3n ＋1.能力提升11.数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1， 即⎩⎨⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n －a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1(n ∈N *).答案 2n －112.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上.(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 4a n ＋1，c n ＝a n ＋b n ，T n 是数列{c n }的前n 项和，求T n . 解 (1)因为点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上， 所以a n ＋1＝3S n ＋1，当n ≥2时，a n ＝3S n －1＋1.于是a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)⇒a n ＋1－a n ＝3a n ⇒a n ＋1＝4a n . 又当n ＝1时，a 2＝3S 1＋1⇒a 2＝3a 1＋1＝3t ＋1， 所以当t ＝1时，a 2＝4a 1，此时，数列{a n }是等比数列.(2)由(1)，可得a n ＝4n －1，a n ＋1＝4n ， 所以b n ＝log 4a n ＋1＝n ，c n ＝4n －1＋n ，那么T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n )＝(40＋41＋…＋4n －1)＋(1＋2＋…＋n ) ＝4n －13＋n （n ＋1）2.创新猜想13.(多选题)已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，则下列说法一定成立的是() A.若a 3>0，则a 2 021>0B.若a 4>0，则a 2 020>0C.若a 3>0，则S 2 021>0D.若a 3>0，则S 2 021<0解析 设数列{a n }的公比为q ，当a 3>0时，a 2 021＝a 3q 2 018>0，A 正确； 当a 4>0时，a 2 020＝a 4·q 2 016>0，B 正确.又当q ≠1时，S 2 021＝a 1（1－q 2 021）1－q ，当q <0时，1－q >0，1－q 2 021>0，∴S 2 021>0， 当0<q <1时，1－q >0，1－q 2 021>0，∴S 2 021>0， 当q >1时，1－q <0，1－q 2 021<0，∴S 2 021>0. 当q ＝1时，S 2 021＝2 021a 1>0，故C 正确，D 不正确. 答案 ABC14.(多空题)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且公比q >1，若a 2＝2，S 3＝7.则数列{a n }的通项公式a n ＝________，a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.解析 ∵a 2＝2，S 3＝7，由S 3＝2q ＋2＋2q ＝7，解得q ＝2或q ＝12，又∵q >1，∴q ＝2，故a 1＝1，所以a n ＝2n －1∴a 2n ＝4n －1， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1（1－4n ）1－4＝4n －13. 答案 2n －1 4n －13。