高考物理万有引力专题复习讲义

第4讲 万有引力定律及应用一、开普勒三定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等a 3T 2＝k ,k 是一个与行星无关的常量自测1 (2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律,下列说法符合史实的是( ) A ．开普勒在牛顿定律的基础上,导出了行星运动的规律 B ．开普勒在天文观测数据的基础上,总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律,找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律,发现了万有引力定律 答案 B解析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律,但没有找出行星按照这些规律运动的原因,牛顿发现了万有引力定律． 二、万有引力定律 1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比,与它们之间距离r 的二次方成反比． 2．表达式F ＝G m 1m 2r 2,G 为引力常量,G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2.3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用,当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时,物体可视为质点．(2)质量分布均匀的球体可视为质点,r是两球心间的距离．4．天体运动问题分析(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动,其所需向心力由万有引力提供．(2)基本公式:GMmr2＝ma＝⎩⎪⎨⎪⎧m v2r→v＝GM rmrω2→ω＝GMr3mr⎝⎛⎭⎫2πT2→T＝2πr3GMm vω自测2(2019·全国卷Ⅱ·14)2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引力,能够描述F随h变化关系的图像是()答案D解析在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中,根据万有引力定律,可知随着h的增大,探测器所受的地球引力逐渐减小,但不是均匀减小的,故能够描述F随h变化关系的图像是D.三、宇宙速度1．第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫环绕速度,其数值为7.9 km/s.(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度,也是人造卫星的最大环绕速度．(4)第一宇宙速度的计算方法．由GMmR2＝mv2R得v＝GMR;由mg＝mv2R得v＝gR.2．第二宇宙速度使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度,其数值为11.2 km/s.3．第三宇宙速度使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度,其数值为16.7 km/s.自测3(2019·北京卷·18)2019年5月17日,我国成功发射第45颗北斗导航卫星,该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)．该卫星()A ．入轨后可以位于北京正上方B ．入轨后的速度大于第一宇宙速度C ．发射速度大于第二宇宙速度D ．若发射到近地圆轨道所需能量较少 答案 D解析 同步卫星只能位于赤道正上方,A 项错误;由GMm r 2＝m v 2r 知,卫星的轨道半径越大,卫星做匀速圆周运动的线速度越小,因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度),B 项错误;同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度,小于第二宇宙速度,C 项错误;若发射到近地圆轨道,所需发射速度较小,所需能量较少,D 正确.1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体,例如月球、卫星绕地球的运动．3．开普勒第三定律a 3T 2＝k 中,k 值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体k 值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．例1 (多选)(2019·四川绵阳市第三次诊断)2019年1月3日10时26分,我国嫦娥四号探测器完成了“人类探测器首次实现月球背面软着陆”的壮举．嫦娥四号近月制动后环月飞行时先在月球上空半径为R 的轨道上做匀速圆周运动,后贴近月球表面做匀速圆周运动,线速度大小分别是v R 和v 0,周期分别是T R 和T 0,已知月球半径为r ,则( ) A.v R v 0＝r R B.v R v 0＝r RC ．T R >T 0D ．T R <T 0答案 BC解析 根据万有引力提供向心力有:G Mmr 2＝m v 2r,所以v ＝GMr ,所以v R v 0＝rR,A 错误,B 正确;根据开普勒第三定律可知:绕同一中心天体运动,半径越大,周期越长,所以T R >T 0,C 正确,D 错误．变式1 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律可知( ) A ．太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案 C解析 由开普勒第一定律(轨道定律)可知,太阳位于木星运行轨道的一个焦点上,故A 错误．火星和木星绕太阳运行的轨道不同,运行速度的大小不可能始终相等,故B 错误．根据开普勒第三定律(周期定律)知太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数,故C 正确．对于太阳系某一个行星来说,其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等,不同行星在相同时间内扫过的面积不相等,故D 错误．1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果:一是重力mg ,二是提供物体随地球自转的向心力F向．(1)在赤道上:G MmR 2＝mg 1＋mω2R .(2)在两极上:G MmR2＝mg 0.(3)在一般位置:万有引力G MmR2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近南、北两极,g 值越大,由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即GMmR2＝mg .2．星球上空的重力加速度g ′星球上空距离星体中心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′,mg ′＝GMm (R ＋h )2,得g ′＝GM(R ＋h )2.所以g g ′＝(R ＋h )2R 2.3．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力． (2)两个推论①推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即∑F 引＝0. ②推论2:在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对其的万有引力,即F ＝G M ′mr2.例2 若地球半径为R ,把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”号下潜深度为d ,“天宫一号”轨道距离地面高度为h ,“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为( ) A.R －d R ＋hB.(R －d )2(R ＋h )2 C.(R －d )(R ＋h )2R 3D.(R －d )(R ＋h )R 2答案 C解析 设地球的密度为ρ,则在地球表面,重力和地球的万有引力大小相等,有:g ＝G MR 2.由于地球的质量为:M ＝ρ·43πR 3,所以重力加速度的表达式可写成:g ＝GM R 2＝G ·ρ43πR 3R 2＝43πGρR .根据题意有,质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,故在深度为d 的地球内部,受到地球的万有引力即为半径等于(R －d )的球体在其表面产生的万有引力,故“蛟龙”号的重力加速度g ′＝43πGρ(R －d ),所以有g ′g ＝R －d R .根据万有引力提供向心力G Mm(R ＋h )2＝ma ,“天宫一号”所在处的重力加速度为a ＝GM (R ＋h )2,所以a g ＝R 2(R ＋h )2,g ′a ＝(R －d )(R ＋h )2R 3,故C 正确,A 、B 、D 错误．变式2 (2020·广东东莞市调研)“神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射,对接“天宫二号”．若飞船质量为m ,距地面高度为h ,地球质量为M ,半径为R ,引力常量为G ,则飞船所在处的重力加速度大小为( ) A ．0 B.GM (R ＋h )2 C.GMm (R ＋h )2 D.GMh 2 答案 B天体质量、密度的计算使用方法已知量 利用公式 表达式 备注质量的计算利用运行天体r 、T G Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝4π2r 3GT 2只能得到中心天体的质量 r 、vG Mmr 2＝m v 2r M ＝r v 2Gv 、TG Mmr 2＝m v 2r G Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝v 3T 2πG利用天体表面重力加速度 g 、Rmg ＝GMm R2M ＝gR 2G密度的计算利用运行天体r 、T 、RG Mm r 2＝mr 4π2T 2 M ＝ρ·43πR 3ρ＝3πr 3GT 2R3 当r ＝R 时ρ＝3πGT2利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g 、R mg ＝GMm R 2M ＝ρ·43πR 3ρ＝3g 4πGR例3 (2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月,我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”,其自转周期T ＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体,已知万有引力常量为6.67×10－11N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3答案 C解析 脉冲星自转,边缘物体m 恰对球体无压力时万有引力提供向心力,则有G Mm r 2＝mr 4π2T 2,又知M ＝ρ·43πr 3整理得密度ρ＝3πGT 2＝3×3.146.67×10－11×(5.19×10－3)2kg/m 3≈5.2×1015 kg/m 3. 变式3 (2019·河南安阳市下学期二模)半径为R 的某均匀球形天体上,两“极点”处的重力加速度大小为g ,“赤道”处的重力加速度大小为“极点”处的1k .已知引力常量为G ,则下列说法正确的是( ) A ．该天体的质量为gR 2kGB ．该天体的平均密度为4g3πGRC ．该天体的第一宇宙速度为gR kD ．该天体的自转周期为2πkR(k －1)g答案 D解析 在两“极点”处:G Mm R 2＝mg ;在赤道处:G Mm R 2－m g k ＝m 4π2T 2R ,解得天体的质量为M ＝gR 2G ,T＝2πkR (k －1)g,选项A 错误,D 正确;该天体的平均密度为ρ＝M V ＝gR 2G ·43πR 3＝3g4πGR ,选项B 错误;由G MmR 2＝m v 2R＝mg 可知该天体的第一宇宙速度为v ＝gR ,选项C 错误．变式4 (2020·山东临沂市质检)2018年7月25日消息称,科学家们在火星上发现了第一个液态水湖,这表明火星上很可能存在生命．美国的“洞察”号火星探测器曾在2018年11月降落到火星表面．假设该探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T ,已知火星的半径为R 1,地球的半径为R 2,地球的质量为M ,地球表面的重力加速度为g ,引力常量为G ,则火星的质量为( )A.4π2R 13M gR 22T 2B.gR 22T 2M 4π2R 13C.gR 12GD.gR 22G 答案 A解析 绕地球表面运动的天体由牛顿第二定律可知: G MmR 22＝mg 同理,对绕火星表面运动的天体有: GM 火m R 12＝m (2πT)2R 1 结合两个公式可解得:M 火＝4π2R 13M gR 22T 2,故A 对．1．线速度:G Mmr 2＝m v 2r ⇒v ＝GMr 2．角速度:G Mmr2＝mω2r ⇒ω＝GMr 33．周期:G Mmr 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ⇒T ＝2πr 3GM4．向心加速度:G Mm r 2＝ma ⇒a ＝GM r 2结论:r 越大,v 、ω、a 越小,T 越大．例4 (2019·全国卷Ⅲ·15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加速度大小分别为a 金、a 地、a 火,它们沿轨道运行的速率分别为v 金、v 地、v 火．已知它们的轨道半径R 金<R 地<R 火,由此可以判定( ) A ．a 金>a 地>a 火 B ．a 火>a 地>a 金 C ．v 地>v 火>v 金 D ．v 火>v 地>v 金答案 A解析 金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力,则有G Mm R 2＝ma ,解得a ＝G MR2,结合题中R 金<R 地<R 火,可得a 金>a 地>a 火,选项A 正确,B 错误;同理,有G MmR 2＝m v 2R ,解得v ＝GMR,再结合题中R 金<R 地<R 火,可得v 金>v 地>v 火,选项C 、D 错误．变式5 (2019·天津卷·1)2018年12月8日,肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射,“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测,率先在月背刻上了中国足迹”,如图1.已知月球的质量为M 、半径为R .探测器的质量为m ,引力常量为G ,嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r 的匀速圆周运动时,探测器的( )图1A ．周期为4π2r 3GM B ．动能为GMm2RC ．角速度为Gm r 3D ．向心加速度为GMR2答案 A解析 嫦娥四号探测器环绕月球做匀速圆周运动时,万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力,由GMm r 2＝mω2r ＝m v 2r ＝m 4π2T2r ＝ma ,解得ω＝GMr 3、v ＝GMr、T ＝4π2r 3GM 、a ＝GMr2,则嫦娥四号探测器的动能为E k ＝12m v 2＝GMm2r,由以上可知A 正确,B 、C 、D 错误．变式6 (2019·江苏卷·4)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星,该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图2所示,设卫星在近地点、远地点的速度分别为v 1、v 2,近地点到地心的距离为r ,地球质量为M ,引力常量为G .则图2A ．v 1＞v 2,v 1＝GMr B ．v 1＞v 2,v 1＞GMr C ．v 1＜v 2,v 1＝GMrD ．v 1＜v 2,v 1＞GMr答案 B解析 “东方红一号”环绕地球在椭圆轨道上运动的过程中,只有万有引力做功,因而机械能守恒,其由近地点向远地点运动时,万有引力做负功,卫星的势能增加,动能减小,因此v 1＞v 2;“东方红一号”离开近地点开始做离心运动,则由离心运动的条件可知G Mmr 2＜m v 12r,解得v 1＞GMr,B 正确,A 、C 、D 错误．1．(2018·全国卷Ⅲ·15)为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星P ,其轨道半径约为地球半径的16倍;另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( ) A ．2∶1 B ．4∶1 C ．8∶1 D ．16∶1答案 C解析 由G Mm r 2＝mr 4π2T 2知,T 2r 3＝4π2GM ,则两卫星T P 2T Q 2＝r P 3r Q 3.因为r P ∶r Q ＝4∶1,故T P ∶T Q ＝8∶1.2．(2019·陕西榆林市第三次测试)2019年3月10日我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功将“中星6C ”卫星发射升空,卫星进入预定轨道,它是一颗用于广播和通信的地球静止轨道通信卫星,假设该卫星在距地面高度为h 的同步轨道做圆周运动．已知地球的半径为R ,地球表面的重力加速度为g ,万有引力常量为G .下列说法正确的是( ) A ．同步卫星运动的周期为2πRgB ．同步卫星运行的线速度大小为g (R ＋h )C ．同步轨道处的重力加速度大小为(R R ＋h )2gD ．地球的平均密度为3g 4πGR 2答案 C解析 地球同步卫星在距地面高度为h 的同步轨道做圆周运动,万有引力提供向心力,有:GMm (R ＋h )2＝m 4π2(R ＋h )T 2,在地球表面附近,重力等于万有引力,有:mg ＝GMmR 2,故同步卫星运动的周期为:T ＝2π(R ＋h )3gR 2,故A 错误;根据万有引力提供向心力,有:GMm(R ＋h )2＝m v 2R ＋h,解得同步卫星运行的线速度大小为:v ＝gR 2R ＋h ,故B 错误;根据万有引力提供向心力,有:G Mm(R ＋h )2＝mg ′,解得g ′＝(R R ＋h)2g ,故C 正确;由mg ＝GMm R 2得:M ＝gR 2G ,故地球的平均密度为:ρ＝M4πR 33＝3g4πGR,故D 错误． 3．(2019·山东泰安市第二轮复习质量检测)2019年1月3日,嫦娥四号月球探测器成功软着陆在月球背面,成为人类历史上第一个在月球背面成功实施软着陆的人类探测器．如图1所示,已关闭动力的探月卫星在月球引力作用下沿椭圆轨道(图中只画了一部分)向月球靠近,并在B 处变轨进入半径为r 、周期为T 的环月圆轨道运行．已知引力常量为G ,下列说法正确的是( )图1A ．图中探月卫星飞向B 处的过程中速度越来越小 B ．图中探月卫星飞向B 处的过程中加速度越来越小C ．由题中条件可以计算出探月卫星受到月球的引力大小D ．由题中条件可以计算出月球的质量 答案 D解析 探月卫星飞向B 处时,万有引力增大,做正功,探月卫星动能增大,加速度增大,A 、B 选项错误;由于探月卫星质量未知,无法计算出探月卫星受到月球的引力大小,C 选项错误;由GMmr 2＝m (2πT )2r 可得:M ＝4π2r 3GT2,D 选项正确．4．(2019·广西钦州市4月综测)2018年5月,我国成功发射首颗高光谱分辨率对地观测卫星——“高分五号”．“高分五号”轨道离地面的高度约7.0×102 km,质量约2.8×103 kg.已知地球半径约6.4×103 km,重力加速度取9.8 m/s 2.则“高分五号”卫星( ) A ．运行的速度小于7.9 km/s B ．运行的加速度大于9.8 m/s 2C ．运行的线速度小于同步卫星的线速度D ．运行的角速度小于地球自转的角速度 答案 A解析 第一宇宙速度是卫星的最大环绕速度,是发射卫星的最小速度,所以卫星的运行速度小于7.9 km/s,故A 正确;由G MmR 2＝ma 可知,运行的加速度随着高度的增大而减小,故运行的加速度小于地面的重力加速度,即小于9.8 m/s 2,故B 错误;“高分五号”轨道离地面的高度约7.0×102 km,小于同步卫星的高度(同步卫星的高度约为地球半径的6倍),根据GMmR 2＝m v 2R得:v＝GMR,故运行的线速度大于同步卫星的线速度,故C 错误;地球的自转角速度与同步卫星相同,根据GMmR2＝mω2R 解得ω＝GMR 3,轨道越高,角速度越小,故“高分五号”卫星运行的角速度大于地球自转的角速度,故D 错误．5．(2019·西藏山南二中一模)为了观测地球表面的植被覆盖情况,中国发射了一颗人造卫星,卫星的轨道半径约为地球同步卫星轨道半径的14,那么这个卫星绕地球一圈需要多长时间( )A ．12小时B ．1小时C ．6小时D ．3小时答案 D解析 地球同步卫星的周期为24小时,根据开普勒第三定律:r 同3T 同2＝r 卫3T 卫2,代入数据可得:T卫＝3小时,故D 正确,A 、B 、C 错误．6．(2019·云南昆明市4月教学质量检测)已知地球质量为木星质量的p 倍,地球半径为木星半径的q 倍,下列说法正确的是( )A ．地球表面的重力加速度为木星表面的重力加速度的pq 2倍B ．地球的第一宇宙速度是木星“第一宇宙速度”的pq倍C ．地球近地圆轨道卫星的角速度为木星“近木”圆轨道卫星角速度的p 3q倍 D ．地球近地圆轨道卫星运行的周期为木星“近木”圆轨道卫星运行的周期的q 3p 倍答案 A解析 万有引力提供向心力,则有:G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r ＝ma解得:v ＝GMr,T ＝2πr 3GM,ω＝GM r 3,a ＝GMr2 星球表面重力加速度为:g ＝GM R 2;由g ＝GMR2可知地球表面的重力加速度为木星表面的重力加速度的pq 2,故A 正确;由v ＝GMr可知第一宇宙速度为:v ＝GMR,则地球的第一宇宙速度是木星的“第一宇宙速度”的pq,故B 错误;由ω＝GMr 3可知近地卫星的角速度ω＝GMR 3,地球近地卫星的角速度为木星“近木”卫星角速度的pq 3,故C 错误;由T ＝2πr 3GM可知近地卫星的周期T ＝2πR 3GM,所以地球近地卫星的周期为木星的“近木”卫星周期的q 3p,故D 错误．7．(2019·河南郑州市第一次模拟)“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人“奔月”的伟大梦想．“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落试验,测得物体从静止自由下落h 高度的时间为t ,已知月球半径为R ,自转周期为T ,引力常量为G .求:(1)月球表面重力加速度;(2)月球的质量和月球的第一宇宙速度; (3)月球同步卫星离月球表面高度． 答案 (1)2h t 2 (2)2R 2h Gt22hRt 2(3)3T 2R 2h2π2t 2－R 解析 (1)由自由落体运动规律有:h ＝12gt 2,所以有:g ＝2ht2.(2)月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度,根据重力提供向心力mg ＝m v 12R ,所以:v 1＝gR ＝2hRt 2在月球表面的物体受到的重力等于万有引力,则有: mg ＝GMm R 2所以M ＝2R 2hGt2.(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力有:GMm(R ＋h ′)2＝m v 2R ＋h ′＝m (R ＋h ′)4π2T 2解得h ′＝3T 2R 2h2π2t 2－R .。

一、极地卫星和近地卫星1．极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

2．近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行的线速度约为7.9 km/s 。

二、同步卫星同步卫星是指相对地球“静止不动”的卫星。

同步卫星的六个“一定”： 1．地球赤道上的物体，静止在地面上与地球相对静止，随地球的自转绕地轴做匀速圆周运动。

地球赤道上的物体受到的地球的万有引力，其中的一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，产生向心加速度a ，另一个分力为重力，有G2MmR －mg =ma （其中R 为地球半径）。

2．近地卫星的轨道高度约等于地球的半径，其所受万有引力完全提供卫星做圆周运动的向心力，即G2MmR =ma 。

3．同步卫星与赤道上的物体具有与地球自转相同的运转周期和运转角速度，始终与地球保持相对静止状态，共同绕地轴做匀速圆周运动。

4．区别：（1）同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期。

（2近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球的半径，而不等于同步卫星运动的半径。

（3）三者的线速度各不相同。

四、求解此类试题的关键1．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角速度相同的特点，运用公式a =ω2r 而不能运用公式a =2GMr。

2．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度的比例关系时，仍要依据二者角速度相同的特点，运用公式v =ωr 而不能运用公式v =GMr。

3．在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因都是由万有引力提供的向心力，故要运用公式v =GMr，而不能运用公式v =ωr 或v =gr 。

【典例1】有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 在地球赤道上未发射，b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有A ．a 的向心加速度等于重力加速度gB ．c 在4 h 内转过的圆心角是π/6C ．b 在相同时间内转过的弧长最长D ．d 的运动周期有可能是20 h 【答案】C【解析】对于卫星a ，根据万有引力定律、牛顿第二定律可得2-GMm N ma r =向，而2GMmmg r =，故a 的向心加速度小于重力加速度g ，A 项错；由c 是地球同步卫星可知卫星c 在4 h 内转过的圆心角是π3，B 项错；由22GMm v m r r =得，GMv r=，故轨道半径越大，线速度越小，故卫星b 的线速度大于卫星c 的线速度，卫星c 的线速度大于卫星d 的线速度，而卫星a 与同步卫星c 的周期相同，故卫星c 的线速度大于卫星a 的线速度，C 项对；由22π()Mm G m r r T =得，32πr T GM=，轨道半径r 越大，周期越长，故卫星d 的周期大于同步卫星c 的周期，D 项错。

考点19 万有引力定律及其应用1. 高考真题考点分布题型考点考查考题统计选择题开普勒三定律2024年山东卷选择题估算天体质量和密度2024年海南卷、辽宁卷2. 命题规律及备考策略【命题规律】高考对万有引力定律应用的考查各地几乎每年都考，大多以选择题的形式考查，最近几年对这部分内容考查的难度不大。

【备考策略】1.掌握开普勒定律和万有引力定律。

2.能够应用万有引力定律估算天体的质量密度。

【命题预测】重点关注利用万有引力定律估算天体质量和密度。

一、开普勒行星运动定律内容图示或公式在　它与太阳的连线在相等的时间内所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。

2．表达式F ＝Gm 1m 2r 2，G 是比例系数，叫作引力常量，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2。

3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用。

当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。

考点一开普勒行星运动定律特别提醒：1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。

2．由开普勒第二定律可得12v1·Δt·r1＝12v2·Δt·r2，解得v1v2＝r2r1，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。

3．在开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。

但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。

1．2024年3月20日，我国“鹊桥二号”卫星发射成功，多次调整后进入周期为24h的环月椭圆轨道运行，并与在月球上开展探测任务的“嫦娥四号”进行通讯测试。

已知月球自转周期27.3天，下列说法正确的是（ ）A．月球处于“鹊桥二号”椭圆轨道的中心位置B．“鹊桥二号”在近月点和远月点的加速度大小相同C．“鹊桥二号”在远月点的运行速度小于月球第一宇宙速度D．“鹊桥二号”与月心连线和“嫦娥四号”与月心连线在相等时间内分别扫过的面积相等【答案】C【详解】A．由开普勒第一定律可知，月球处于“鹊桥二号”椭圆轨道的一个焦点上，A错误；B．“鹊桥二号”在近月点距离月球最近，受到的万有引力最大，加速度最大；在远月点距离月球最远，受到的万有引力最小，加速度最小，故“鹊桥二号”在近月点和远月点的加速度大小不相同，B错误；C．“鹊桥二号”在远月点的速度小于轨道与远月点相切的卫星的线速度，轨道与远月点相切的卫星的线速度小于第一宇宙速度，故“鹊桥二号”在远月点的运行速度小于月球第一宇宙速度，C正确；D．由开普勒第二定律可知，同一颗卫星与月球的连线在相同时间扫过的面积相等，但是“鹊桥二号”与“嫦娥四号”是两颗轨道不同的卫星，相同时间扫过的面积不相等，D错误。

避躲市安闲阳光实验学校第五单元 万有引力定律 人造地球卫星『夯实基础知识』1．开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值） 2．万有引力定律及其应用(1) 内容：(2)定律的适用条件： (3) 地球自转对地表物体重力的影响。

地面附近：G2R Mm= mg ⇒GM=gR 2 (黄金代换式) （1）天体表面重力加速度问题 （2）计算中心天体的质量 （3）计算中心天体的密度 （4）发现未知天体 3、人造地球卫星。

1、卫星的轨道平面：由于地球卫星做圆周运动的向心力是由万有引力提供的，所以卫星的轨道平面一定过地球球心，球球心一定在卫星的轨道平面内。

2、原理：由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，于是有实际是牛顿第二定律的具体体现3、表征卫星运动的物理量：线速度、角速度、周期等： 应该熟记常识：地球公转周期1年， 自转周期1天=24小时=86400s ， 地球表面半径6.4ｘ103km 表面重力加速度g=9.8 m/s 2月球公转周期30天4．宇宙速度及其意义(1)三个宇宙速度的值分别为(2)当发射速度v 与宇宙速度分别有如下关系时，被发射物体的运动情况将有所不同5．同步卫星（所有的通迅卫星都为同步卫星） ⑴同步卫星。

⑵特点 『题型解析』【例题1】下列关于万有引力公式221r m m GF =的说法中正确的是（ ）A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B ．当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D ．公式中万有引力常量G 的值是牛顿规定的【例题2】设想把质量为m 的物体，放到地球的中心，地球的质量为M ，半径为R ，则物体与地球间的万有引力是（ ）A ．2R GMmB ．无穷大C ．零D ．无法确定【例题3】设想人类开发月球，不断地把月球上的矿藏搬运到地球上．假如经过长时间开采后，地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动则与开采前比较A ．地球与月球间的万有引力将变大B ．地球与月球间的万有引力将减小C ．月球绕地球运动的周期将变长D ．月球绕地球运动的周期将变短表面重力加速度：轨道重力加速度：【例题4】设地球表面的重力加速度为g ，物体在距地心4R （R 是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g ，，则g/g ，为（ ）A 、1；B 、1/9；C 、1/4；D 、1/16。

第4讲 万有引力定律及其应用对应学生用书P841.物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比．2．表达式：F ＝Gm 1m 2r 2，G 为引力常量：G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2. 3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)1.推导过程为：由mg ＝m v 2R ＝GMmR2得：v ＝ GMR＝gR ＝7.9 km/s.2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度． 3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．2＝11.2 km/s ，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度． 2．第三宇宙速度(逃逸速度)：v 3＝16.7 km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度． ●特别提醒(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大的环绕速度等于最小的发射速度(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的．(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．2．相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m ＝m 01－v 2c2.(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．1．人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期跟轨道半径的关系GMmr2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ma ―→a ＝GM r 2―→a ∝1r2m v 2r ―→v ＝GM r ―→v ∝1rmω2r ―→ω＝ GM r 3―→ω∝1r3m 4π2T 2r ―→T ＝4π2r3GM―→T ∝r 3越高越 慢2．同步卫星的五个“一定”轨道平面与赤道平面共面.与地球自转周期相同，即T ＝24h.与地球自转的角速度相同.由G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )得同步卫星离地面的高度h ＝ 3GMT 24π2－R .v ＝GMR ＋h.1．关于万有引力公式F ＝G m 1m 2r2，以下说法中正确的是( )．A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的解析 万有引力公式F ＝G m 1m 2r 2，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G 的值，是卡文迪许在实验室里实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C.答案 C2．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是( )． A ．第一宇宙速度又叫脱离速度 B ．第一宇宙速度又叫环绕速度 C ．第一宇宙速度跟地球的质量无关 D ．第一宇宙速度跟地球的半径无关解析 由于对第一宇宙速度与环绕速度两个概念识记不准，造成误解，其实第一宇宙速度是指最大的环绕速度．答案 B 3.图5－4－1三颗人造地球卫星A 、B 、C 在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，已知R A ＜R B ＜R C .若在某一时刻，它们正好运行到同一条直线上，如图5－4－1所示．那么再经过卫星A 的四分之一周期时，卫星A 、B 、C 的位置可能是( )．解析 由G Mm r2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2知，T 2∝r 3，卫星离地面越远运行周期越大，则有T A ＜T B ＜T C ，又经T A 4后，A 运动过14圆周，且B 、C 依次在其后，故只有C 正确．答案 C4．苹果自由落向地面时加速度的大小为g ，在离地面高度等于地球半径处做匀速圆周运动的人造卫星的向心加速度为( )．A ．g B.12gC.14g D ．无法确定 解析 地面处：mg ＝G Mm R 2，所以g ＝GMR2离地面高R 处：mg ′＝G Mm (2R )2，所以g ′＝GM4R 2 所以g ′g ＝14，即g ′＝14g .答案 C5．一物体静止在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )．A.⎝⎛⎭⎫4π3Gρ12B.⎝⎛⎭⎫34πGρ12C.⎝⎛⎭⎫πGρ12D.⎝⎛⎭⎫3πGρ12解析 物体对天体表面压力恰好为零，说明天体对物体的万有引力提供向心力：G MmR2＝m 4π2T 2R ，解得T ＝2π R 3GM ①，又因为密度ρ＝M 43πR 3＝3M 4πR 3 ②，①②两式联立得T ＝ 3πGρ. 答案 D对应学生用书P85考点一 万有引力定律在天体运动中的应用(小专题) 利用万有引力定律解决天体运动的一般思路 1．一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． 2．两组公式G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2·r ＝ma mg ＝GMmR2(g 为星体表面处的重力加速度)．【典例1】 (2010·海南卷，10改编)火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍．根据以上数据，以下说法正确的是( )．A ．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小B ．火星公转的周期比地球的小C ．火星公转的线速度比地球的大D ．火星公转的向心加速度比地球的大解析 本题考查万有引力定律和有关天体运动的问题，意在考查考生对天体运动中各物理量之间的相互关系的掌握情况和分析比较能力．由mg ＝GmMR 2得：g 火g 地＝M 火M 地·R 地2R 火2＝110×⎝⎛⎭⎫212＝25，所以选项A 正确；由G M 太M r 2＝M 4π2T2r ，得T ＝4π2r 3GM 太，T 火T 地＝r 火3r 地3＝ 1.53＞1，所以选项B 错误；由G M 太M r 2＝M v 2r ，得v ＝ GM 太r ，a ＝v 2r ＝GM 太r2，所以选项C 、D 都不对．答案 A 【变式1】“嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束．其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行．若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的16，月球半径为地球半径的14，根据以上信息，下列说法错误的是( )．A ．绕月与绕地飞行周期之比为3∶ 2B ．绕月与绕地飞行周期之比为2∶ 3C ．绕月与绕地飞行向心加速度之比为1∶6D ．月球与地球质量之比为1∶96 解析 由G MmR 2＝mg 可得月球与地球质量之比：M 月M 地＝g 月g 地×R 月2R 地2＝196，D 正确．由于在近地及近月轨道中，“嫦娥一号”运行的半径分别可近似等于地球的半径与月球的半径，由G MmR 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ，可得：T 月T 地＝ R 月3M 地R 地3M 月＝32，A 正确．由G MmR 2＝ma 可得：a 月a 地＝M 月R 地2M 地R 月2＝16，C 正确．答案 B 【变式2】 (2011·广西模拟)天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，由此估算该行星的平均密度约为( )． A ．1.8×103 kg/m 3 B ．5.6×103 kg/m 3 C ．1.1×104 kg/m 3 D ．2.9×104 kg/m 3 解析 近地卫星绕地球做圆周运动时，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，即：G Mm R 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ①，由密度、质量和体积关系有M ＝ρ·43πR 3 ②，由①②两式得：ρ＝3πGT 2≈5.56×103 kg/m 3.由已知条件可知该行星密度是地球密度的254.7倍，即ρ1＝5.56×103×254.7kg/m 3＝2.9×104 kg/m 3，D 正确．答案 D考点二 天体表面重力加速度的求解星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法设天体表面的重力加速度为g ，天体半径为R ，则mg ＝G Mm R 2，即g ＝GMR2(或GM ＝gR 2)若物体距星体表面高度为h ，则重力mg ′＝G Mm (R ＋h )2，即g ′＝GM (R ＋h )2＝R 2(R ＋h )2g .【典例2】 英国《新科学家(New Scientist)》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650－500双星系统中发现的最小黑洞位列其中．若某黑洞的半径R 约45 km ，质量M 和半径R的关系满足M R ＝c 22G(其中c 为光速，G 为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为( )．A ．108 m/s 2B ．1010 m/s 2C ．1012 m/s 2D ．1014 m/s 2解析 星球表面的物体满足mg ＝G Mm R 2，即GM ＝R 2g ，由题中所给条件M R ＝c 22G推出GM ＝12Rc 2，则GM ＝R 2g ＝12Rc 2，代入数据解得g ＝1012 m/s 2，C 正确． 答案 C 【变式3】近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T 1和T 2.设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g 1、g 2，则( )．A.g 1g 2＝⎝⎛⎭⎫T 1T 243B.g 1g 2＝⎝⎛⎭⎫T 2T 143C.g 1g 2＝⎝⎛⎭⎫T 1T 22D.g 1g 2＝⎝⎛⎭⎫T 2T 12 解析 由GMm r 2＝m 4π2T 2r 知：r 13r 23＝T 12T 22，又卫星所在处重力提供向心力mg ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ，可得：g 1g 2＝⎝⎛⎭⎫T 2T 143，故B 正确． 答案 B考点三 卫星的在轨运行和变轨问题 (1)圆轨道上的稳定运行G Mmr 2＝m v 2r＝mrω2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2 (2)变轨运行分析当卫星由于某种原因速度v 突然改变时，受到的万有引力G Mmr 2和需要的向心力m v 2r不再相等，卫星将偏离原轨道运动．当G Mmr 2＞m v 2r时，卫星做近心运动，其轨道半径r 变小，由于万有引力做正功，因而速度越来越大；反之，当G Mmr 2＜m v 2r时，卫星做离心运动，其轨道半径r 变大，由于万有引力做负功，因而速度越来越小．【典例3】如图5－4－2所示，图5－4－2北京飞控中心对“天宫一号”的对接机构进行测试，确保满足交会对接要求，在“神舟八号”发射之前20天，北京飞控中心将通过3至4次轨道控制，对“天宫一号”进行轨道相位调整，使其进入预定的交会对接轨道，等待“神舟八号”到来，要使“神舟八号”与“天宫一号”交会，并最终实施对接，“神舟八号”为了追上“天宫一号”( )．A ．应从较低轨道上加速B ．应从较高轨道上加速C ．应在从同空间站同一轨道上加速D ．无论在什么轨道上只要加速就行解析 “神舟八号”要追上“天宫一号”，不能像汽车或飞机那样，对准目标加速飞去，因为在同一轨道上，“神舟八号”一旦加速，它就离开原来轨道，进入另外一条较高的椭圆轨道，为了缩短距离，“神舟八号”应该从较低轨道加速，加速后轨道高度升高，才能与“天宫一号”在同一轨道上完成对接．据G Mmr2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ，得T ＝2πr 3GM，先让“神舟八号”在低轨上运行，“天宫一号”在高轨道上的运动周期大、“神舟八号”在低轨道上的运行周期小，然后“神舟八号”适时加速后做离心运动，使之与“天宫一号”在高轨道上实现对接，故选项A 对B 错．若“神舟八号”在同一轨道上只加速，将要离开原轨道向外，所以只加速不减速是不可能进行对接的，因此选项C 、D 都错．答案 A【变式4】“天宫一号”被长征二号火箭发射后，图5－4－3准确进入预定轨道，如图5－4－3所示，“天宫一号”在轨道1上运行4周后，在Q点开启发动机短时间加速，关闭发动机后，“天宫一号”沿椭圆轨道2运行到达P点，开启发动机再次加速，进入轨道3绕地球做圆周运动，“天宫一号”在图示轨道1、2、3上正常运行时，下列说法正确的是()．A．“天宫一号”在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B．“天宫一号”在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度C．“天宫一号”在轨道1上经过Q点的加速度大于它在轨道2上经过Q点的加速度D．“天宫一号”在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度解析据v＝GMr，可知v3<v1，选项A错误；据ω＝GMr3可知ω3<ω1，选项B错误；加速度与万有引力大小有关，r相同，则a相同，与轨道无关，选项C错误，选项D正确．答案 D对应学生用书P868.双星模型R 1和R 2，如图所示．对两天体，由万有引力定律可分别列出G m 1m 2L 2＝m m m对应学生用书P871．(2010·重庆理综，16)月球与地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O 做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O 点运动的线速度大小之比约为( )．A ．1∶6 400B ．1∶80C ．80∶1D ．6 400∶1解析 双星系统中的向心力大小相等，角速度相同．据此可得M v 12r 1＝m v 22r 2，Mω2r 1＝mω2r 2，联立得v 2v 1＝M m ＝801，故C 项正确．答案 C 2．(2010·天津理综，6)探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( )．A ．轨道半径变小B ．向心加速度变小C ．线速度变小D ．角速度变小解析 探测器做匀速圆周运动由万有引力充当向心力，G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，G Mm r 2＝m v 2r ，G Mmr2＝mω2r ，G Mmr2＝ma .由以上四式可知，T 减小则r 减小，a 、v 、ω均增大，故仅A 正确．答案 A 3.图5－4－4(2010·山东理综，18改编)1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元．如图5－4－4所示，“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M 和远地点N 的高度分别为439 km 和2 384 km ，则( )．A ．卫星在M 点的势能大于N 点的势能B ．卫星在M 点的角速度大于N 点的角速度C ．卫星在M 点的加速度小于N 点的加速度D ．卫星在N 点的速度大于7.9 km/s解析 卫星从M 点到N 点，万有引力做负功，势能增大，A 项错误；由开普勒第二定律知，M 点的角速度大于N 点的角速度，B 项正确；由于卫星在M 点所受万有引力较大，因而加速度较大，C 项错误；卫星在远地点N 的速度小于其在该点做圆周运动的线速度，而第一宇宙速度7.9 km/s 是线速度的最大值，D 项错误．答案 B 4．(2010·全国Ⅱ，21)已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍．若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为( )．A ．6小时B ．12小时C ．24小时D ．36小时 解析 设地球半径为R ，平均密度为ρ，同步卫星的周期为T 1，另一行星的半径为r 1，其同步卫星的周期为T 2，对于地球的同步卫星，由GMm r 2＝m 4π2T2·r 得：G ρ·43πR 3m (R ＋6R )2＝4π2m (R ＋6R )T 12，① 对于行星的同步卫星：G 12ρ·43πr 13m (2.5r 1＋r 1)2＝4π2m (2.5r 1＋r 1)T 22，②由①②两式得：T 2T 1＝12，T 2＝12T 1＝12小时，B 项正确．答案 B 5．(2011·江苏卷，7改编)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T ，速度为v .引力常量为G ，则下列说法错误的是( )．A ．恒星的质量为v 3T2πGB ．行星的质量为4π2v 3GT 2C ．行星运动的轨道半径为v T2πD ．行星运动的加速度为2πvT解析 由GMm r 2＝m v 2r ＝m 4π2T 2r 得M ＝v 2r G ＝v 3T 2πG ，A 对；无法计算行星的质量，B 错；r ＝v ω＝v 2πT＝v T 2π，C 对；a ＝ω2r ＝ωv ＝2πT v ，D 对． 答案 B6．(2011·课标全国卷，19)卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送．如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于(可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105 km ，运行周期约为27天，地球半径约为6 400km ，无线电信号的传播速度为3×108m/s.)( )．A ．0.1 sB ．0.25 sC ．0.5 sD ．1 s解析 根据GMm 同(R ＋h )2＝m 同(R ＋h )4π2T 同2，GMm 月r 2＝m 月r 4π2T 月2，结合已知数据，解得地球同步卫星距地面的高度h ≈3.6×107 m ，再根据电磁波的反射及直线传播得：2h ＝ct ，得t ≈0.24 s ，故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．答案 B 7．(2011·大纲全国卷，19)我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)，然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球．如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比( )．A ．卫星动能增大，引力势能减小B ．卫星动能增大，引力势能增大C ．卫星动能减小，引力势能减小D ．卫星动能减小，引力势能增大解析 由GMm r 2＝m v 2r 知，E k ＝12m v 2＝GMm2r ，r 越大，E k 越小．r 增大，卫星在升高过程中要克服万有引力做功，引力势能增大．综上所述D 对，A 、B 、C 错．答案 D 8．(2011·山东卷)甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是( )．①甲的周期大于乙的周期 ②乙的速度大于第一宇宙速度③甲的加速度小于乙的加速度 ④甲在运行时能经过北极的正上方 A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④解析 地球卫星绕地球做圆周运动时，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律知G Mmr2＝m 4π2r T 2，得T ＝2π r 3GM .r 甲>r 乙，故T 甲>T 乙，选项①正确；贴近地表运行的卫星的速度称为第一宇宙速度，由G Mm r 2＝m v 2r 知v ＝ GMr，r 乙>R 地，故v 乙比第一宇宙速度小，选项②错误；由G Mm r 2＝ma ，知a ＝GMr 2，r 甲>r 乙，故a 甲<a 乙，选项③正确；同步卫星只能在赤道正上方运行，故不能通过北极正上方．选项④错误． 答案 C。

万有引力定律及其应用一、开普勒三定律的理解1. 开普勒第一定律中不同行星绕太阳运行时的椭圆轨道是不同的。

2. 开普勒第二定律中行星在近日点的速率大于在远日点的速率，从近日点向远日点运动时速率变小，从远日点向近日点运动时速率变大。

3. 开普勒第三定律的表达式k Tr =23中，k 是与太阳有关而与行星无关的常量，如果认为行星的轨道是圆的，式中半长轴r 代表圆的半径。

4. 开普勒三定律不仅适用于行星，也适用于卫星。

适用于卫星时,23k Tr =，常量k ’是由行星决定的另一常量，与卫星无关。

【例题1】太阳系中有一颗绕太阳公转的行星，距太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的4倍，则该行星绕太阳公转的周期是多少年？解析：行星和地球都绕着太阳公转，他们的中心天体是太阳，所以开普勒第三定律kTr =23中k 值是相同的。

即：k T r T r ==2323地地行行，可得：T 行=地地行T r r 3⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8 T 地=8年答案：8年【变式训练】已知地球半径约为R=6.4⨯106m,又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约 m.(结果只保留一位有效数字)。

二、万有引力定律：1、万有引力定律公式 221r m m GF = 适用条件：适用于两个质点或均匀球体；r 为两质点或球心间的距离；G 为万有引力恒量（1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=- 2、重力与万有引力的关系（1）地球对物体的吸引力就是万有引力，重力只是万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力是物体随地球自转所需的向心力。

如图6-1-1所示。

（2）物体在地球上不同的纬度处随地球自转所需的向心力的大小不同，重力大小也不同： 两极处：物体所受重力最大，大小等于万有引力，即2RMmGmg =。

赤道上：物体所受重力最小，22自ωmR RMm Gmg -= 自赤道向两极，同一物体的重力逐渐增大，即g 逐渐增大。

高考物理万有引力复习讲义【导语】高考是千军万马过独木桥，也想不被高考所剔除，就必须掌控好高考物理考试常用公式。

下面是作者为大家整理的高考必备物理公式，期望对大家有所帮助!1.开普勒第三定律：T2/R3=K(=4π2/GM){R:轨道半径，T:周期，K:常量(与行星质量无关，取决于中心天体的质量)｝2.万有引力定律：F=Gm1m2/r2 (G=6.67×10-11N m2/kg2，方向在它们的连线上)3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2=mg;g=GM/R2 {R:天体半径(m)，M：天体质量(kg)｝4.卫星绕行速度、角速度、周期：V=(GM/r)1/2;ω=(GM/r3)1/2;T=2π(r3/GM)1/2{M：中心天体质量｝5.第一(二、三)宇宙速度V1=(g地r地)1/2=(GM/r地)1/2=7.9km/s;V2=11.2km/s;V3=16.7km/s6.地球同步卫星GMm/(r地+h)2=m4π2(r地+h)/T2{h≈36000km，h:距地球表面的高度，r地:地球的半径｝注:(1)天体运动所需的向心力由万有引力提供,F向=F万;(2)运用万有引力定律可估算天体的质量密度等;(3)地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同;(4)卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变大、周期变小(一同三反);(5)地球卫星的环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。

匀速圆周运动公式总结1.线速度V=s/t=2πr/T2.角速度ω=Φ/t=2π/T=2πf3.向心加速度a=V2/r=ω2r=(2π/T)2r4.向心力F心=mV2/r=mω2r=mr(2π/T)2=mωv=F合5.周期与频率：T=1/f6.角速度与线速度的关系：V=ωr7.角速度与转速的关系ω=2πn(此处频率与转速意义相同)8.主要物理量及单位：弧长(s):米(m);角度(Φ)：弧度(rad);频率(f)：赫(Hz);周期(T)：秒(s);转速(n)：r/s;半径(r):米(m);线速度(V)：m/s;角速度(ω)：rad/s;向心加速度：m/s2。

2021届高考物理一轮复习讲义：万有引力（人教版）第五章：万有引力定律人造地球卫星“巩固基础知识”1．开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）开普勒是丹麦加尔文主义者，信奉日心说，他对天文学家和杰出的数学天才非常感兴趣。

开普勒在导师迪古连续20年观测行星位置所记录的数据基础上，经过四年多的艰苦计算，终于找到了三条定律。

第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上；第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等；第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．即r3？根据丹麦天文学家迪古的大量观测数据，总结了Kt2开普勒行星运动定律，给出了行星运动定律。

2.万有引力定律及其应用(1)内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。

FGMM（1687）R2G？6.67? 10? 11n？M2/kg2被称为引力常数，它在数值上等于两个质量为1kg的物体相距1m时的相互作用力，1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。

万有引力常量的测定――卡文迪许扭秤实验原理是力矩平衡。

实验方法包括机械放大（借助扭矩放大万有引力效应）和光学放大（借助平面环境放大小运动效应）。

对万有引力常数的测定使卡文迪什成为“一个能称量地球质量的人”：对于接近地面的物体，mmgre有mg?ge2（式中re为地球半径或物体到地球球心间的距离），可得到me?。

GRE（2）定律的适用条件：严格来说，该公式仅适用于两个物体之间距离较远的粒子之间的相互作用远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体，r是两球心间的距离．当两个物体之间的距离无限接近时，它就不能再被视为一个粒子，万有引力定律不再适用，根据公式F也不能被计算为无穷大。

高考物理万有引力专题辅导讲义略。

(2)任何两个物体间都存在着万有引力,只有质点间或能看成质点的物体间的引力才能够应用公式F ＝G 错误!未定义书签。

计算其大小。

(３)万有引力定律是牛顿发现的,但引力常量却是大约百年后卡文迪许用扭秤测出的、 万有引力和重力的关系１、在地球表面上的物体重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的;万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力、如图所示,万有引力Ｆ产生两个效果:一是提供物体随地球自转所需的向心力Ｆ向;二是产生物体的重力mｇ,其中Ｆ=ＧMmR 2,F 向=m ｒω２(r 为地面上某点到地轴的距离),则可知:(1)当物体在赤道上时,F 、mg 、F 向三力同向,此时F 向达到最大值,F 向max =ｍRω2,重力达到最小值,G min ＝F －F 向=G 错误!未定义书签。

—mRω2,重力加速度达到最小值,g mi ｎ＝F -F 向m＝错误!－Rω2。

(2)当物体在两极点时,F向＝０,F =ｍg ,此时重力等于万有引力,重力达到最大值,G ｍａx ＝G 错误!,重力加速度达到最大值,g max ＝＼ｆ(GM,Ｒ2)。

(3)在物体由赤道向两极移动的过程中,向心力减小,重力增大,重力加速度增大。

2、地球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力物体在地球表面附近(脱离地面)时,物体所受的重力等于地球表面处的万有引力,即mg ＝错误!未定义书签。

,R 为地球半径,ｇ为地球表面附近的重力加速度,此处也有GM =gR 2。

(4)绕行方向一定:与地球自转的方向一致。

一、卫星的运动规律1、卫星的轨道特点:一切卫星轨道的圆心与地心重合。

因为万有引力提供向心力,故地心和轨道的圆心重合。

２、卫星的动力学特点:卫星绕地球的运动近似看成圆周运动,万有引力提供向心力,类比行星绕太阳的运动规律,同样可得:G 错误!未定义书签。

=m v ２r ＝mω2r ＝m 4π２T2ｒ＝ma ,可推导出:错误!未定义书签。

万有引力定律1.估算中心天体的质量和密度的常见思路(1)利用中心天体表面的重力加速度g 和天体半径R ，质量为m 的物体在天体表面受到的重力近似等于万有引力，即G Mm R 2＝mg 可得天体质量M ＝gR 2G ，进而求得ρ＝M V ＝M 43πR3＝3g 4πGR.(2)利用环绕天体的轨道半径r 、周期T ，G Mm r 2＝m 4π2T 2r 即M ＝4π2r3GT 2.若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径r ＝R ，则ρ＝M 43πR 3＝3πGT 2.2．计算时应注意的问题(1)由于环绕天体的质量m 被约分，因此不能求出它的质量和密度．(2)环绕天体的轨道半径r 等于中心天体的半径R 加上环绕天体离中心天体表面的高度h ，即r ＝R ＋h. (3)当环绕天体在中心天体表面绕行时，轨道半径r ＝R.例一、 (2012·北京四中模拟)已知下列数据： (1)地面附近物体的重力加速度g ； (2)地球半径R ；(3)月球与地球的两球心间的距离r ； (4)卫星环绕地球运动的第一宇宙速度v1；(5)月球绕地球运动的周期T1；(6)地球绕太阳运动的周期T2；(7)万有引力常量G.试选取适当的数据估算地球的质量．(要求给出三种方法)1．(2012·青岛模拟)美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、能适合居住的行星——“开普勒­22b”，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一周．若万有引力常量已知，下列选项中的信息能求出该行星的轨道半径的是( )A．该行星表面的重力加速度B．该行星的密度C．该行星的线速度D．被该行星环绕的恒星的质量2.如图2－2－1所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道，若“卡西尼”号探测器在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t ，已知引力常量为G ，则下列关于土星质量M 和平均密度ρ的表达式正确的是( )A ．M＝4π2R ＋h 3Gt 2，ρ＝3πR ＋h 3Gt 2R 3B ．M ＝4π2R ＋h 2Gt 2，ρ＝3πR ＋h 2Gt 2R 3C ．M ＝4π2t 2R ＋h 3Gn 2，ρ＝3πt 2R ＋h 3Gn 2R 3D ．M ＝4π2n 2R ＋h 3Gt 2，ρ＝3πn 2R ＋h 3Gt 2R33．(2012·新课标全国高考)假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－d RB ．1＋d R221.人造卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系做匀速圆周运动的卫星所受的万有引力完全提供所需向心力，即F 引＝F 向，即G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2T2r ＝ma n ，可推导出：⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫v ＝GM rω＝ GM r 3T ＝2π r3GM a n ＝G Mr2⇒当r 增大时⎩⎪⎨⎪⎧v 减小ω减小T 增大a n减小2．同步卫星 (1)同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期．(2)由GMmR ＋h2＝m4π2T 2(R ＋h )，同步卫星都在赤道上空相同的高度上．所有地球同步卫星r 、v 、ω、T 、a大小均相同．3．宇宙速度1．(2012·石家庄模拟)当卫星绕地球运动的轨道半径为R 时，线速度为v ，周期为T .下列变换符合物理规律的是( )A ．若轨道半径从R 变为2R ，则运行周期从T 变为22TB ．若运行周期从T 变为8T ，则轨道半径从R 变为4RC ．若轨道半径从R 变为2R ，则运行线速度从v 变为v2D ．若运行线速度从v 变为v2，则运行周期从T 变为2T3．(2012·洛阳模拟)我国正在建立的北斗导航系统建成后，将有助于减少我国对GPS 导航系统的依赖．北斗导航系统中有几颗卫星是地球同步卫星，GPS 导航系统是由周期约为12 h 的卫星群组成．则北斗导航系统中的同步卫星与GPS 导航卫星相比( ) A ．同步卫星的角速度大 B ．同步卫星的轨道半径大 C ．同步卫星的线速度大 D ．同步卫星的向心加速度大。