高考模拟测试数学试题

高考模拟测试数学试题（理科）一、选择题：1.i 是虚数单位,则复数21=i z i-在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.函数()243x f x x =+-的零点所在区间是（ ） A ．11(,42 B ．1(,0)4- C ．1(0,)4 D ．13(,243. 在钝角ABC ∆中，1,3==AC AB ，30=B ，则ABC ∆的面积为（ ） A ．14 B C D ．12 4. 某个几何体的三视图如右上图（其中正视图中的圆 弧是半圆）所示,则该几何体的表面积为（ ）A ．9214π+B ．8214π+C ．9224π+D ．8214π+5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是16,则判断框内 的条件（ ）A ．6n >?B ．7n ≥?C ．8n >?D ．9n >?6. 给出下列四个命题，其中假．命题是（ ） A ．从匀速传递的新产品生产流水线上，质检员每10新产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； B ．样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度；C D ．设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，若(1),P x p >=则1(10)2P x p -<<=-. 7. 给出如下四个判断：①00,e 0xx ∃∈≤R ；②2,2xx x ∀∈>+R ；③设集合101x A xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,{}1B x x a =-<,则“1a =”是“A B ≠∅”的必要不充分条件; ④a ,b 为单位向量1a b ->，则πθπ<≤.其中正确的判断个数是：（ ）9. 若直角坐标平面内的两不同点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()y f x =的图像上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对[,]P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”（注：点对[,]P Q 与[,]Q P 看作同一对“友好点对”）．已知函数()f x =21(),024,0xx x x x ⎧>⎪⎨⎪--≤⎩，则此函数的“友好点对”有（ ）对．二、填空题：11. 已知两条平行直线1:3440l x y +-=与2:820l ax y ++=之间的距离是 12. 抛物线2y x =在(1,1)A 处的切线与x 轴及该抛物线所围成的图形面积为 . 13.已知1122log (4)log (32)x y x y ++<+-,若x y λ-<恒成立, 则λ的取值范围是14.若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为：06s i n 4c o s 42=+--θρθρρ上的点到曲线2C 的参数方程为：⎩⎨⎧+=--=ty t x 2322（t 为参数）的距离的最小值为 .15.设M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数t 和向量M a ∈ ,都有M a t ∈,则称M 为“点射域”.现有下列平面向量的集合:①2{(,)|}x y x y ≥；②0(,)|0x y x y x y ⎧-≥⎫⎧⎨⎨⎬+≤⎩⎩⎭；③22{(,)|20}x y x y x +-≥；④22{(,)|3260}x y x y +-<； 上述为“点射域”的集合的有 （写正确的标号）三、解答题:（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数()f x 在[0,2]π上的单调递增区间．17.袋中装有大小和形状相同的小球若干个黑球和白球，且黑球和白球的个数比为４:３,从中任取2个球都是白球的概率为1,7现不放回从袋中摸取球，每次摸一球，直到取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数. （1）求袋中原有白球、黑球的个数； （2）求随机变量ξ的分布列和数学期望.18.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，2AB AD ==，4CD =，M 为CE 的中点． （1）求证：BM ∥平面ADEF ； （2）求证：平面BDE ⊥平面BEC ；（3）求平面BEC 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值.19．已知点A ，B 的坐标分别为(2,0)-，(2,0).直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是14-，记动点P 的轨迹为曲线C . CA（1）求曲线C 的方程；（2）设Q 是曲线C 上的动点，直线AQ ，BQ 分别交直线:4l x =于点,M N ，线段MN 的中点为D ，求直线QB 与直线BD 的斜率之积的取值范围；（3）在（2）的条件下，记直线BM 与AN 的交点为T ，试探究点T 与曲线C 的位置关系，并说明理由.20．已知正项数列{}n a 中，其前n 项和为n S，且1n a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T是数列⎧⎫的前n 项和，nR 是数列1212(1)(1)(1)n n a a a a a a ⎧⎫⎨⎬+++⎩⎭的前n 项和，求证：n n R T <.21.已知函数1()ln+)f x x ax a=-（，其中a R ∈且0a ≠. （1）讨论()f x 的单调性；(2) 若不等式()f x ax <恒成立，求实数a 取值范围；（3）若方程()0f x =存在两个异号实根1x ，2x ，求证：120x x +>2014届高考模拟测试数学试题(理科)参考答案和评分标准一．选择题： AACAC AAB 1. 解析：21=2,i z i i-=+z 对应点在第一象限 , 选A ２. 解析：141()2204f =-<，121()2102f =->,选A 3. 解析：由B AC C AB sin sin =得23sin =C ， 120=C ，或 60=C （舍去），则30=A .43sin 21=⋅=∆A AC AB S ABC 选C 4. 解析： 三视图表示的几何体是由长方体和“半圆柱”组成的几何体，其中，长方体的上底面与“半圆柱”轴截面重合.21(1620)220222592142S πππ=+⨯++⨯+⨯⨯⨯⨯=+,选A5. 解析：第一次循环，1,3S n ==，不满足条件，循环。

第二次循环，134,5S n =+==，不满足条件，循环。

第三次循环，459,7S n =+==，不满足条件，循环。

第四次循环，9716,9S n =+==，满足条件，输出。

所以判断框内的条件是8n >，选C6. 解析：A.选项A 中的抽样为系统抽样，故此命题为假命题.其它选项为真命题.故选A7. 解析：,0x x R e ∀∈>，①不正确；当2x =时，22x x =，②不正确；(1,1)A =-,(1,1)B a a =-+ ，当1a =时，(0,2)B =，A B ≠∅,反之，若A B ≠∅，不一定有1a =，③不正确；由1a b ->得，1cos 2θ<，[0,]θπ∈，所以3πθπ<≤，④正确．选A8. 解析: 根据题意可知只须作出函数1()2xy =(0)x >图象，确定它与函数24(0)y x x x =--≤交点个数即可,由图象可知，只有一个交点．选B二.填空题：9.(3,2)-； 10.23-； 11. 1, ； 12.112； 13. [)10,+∞； 14.2； 15.6π .9.解析: 260x x --> 得32x -<<10.解析: 2tan 3θ=-11.解析：两条直线1:3440l x y+-=与2:820l ax y ++=平行可得，6a =，2l 的方程为，3410x y ++=两直线距离：1d ===12.解析:函数2y x =的导数为'2y x =,即切线斜率为2k =,所以切线方程为12(1)y x -=-,即21y x =-,令0y =，得12x =，作图可知，围成的图形是曲边梯形去掉一个直角三角形， 所求面积为12011((21))122x x dx ---⨯⨯⎰1113412=-=.13. 解析:要使不等式成立,则有40320432x y x y x y x y ++>⎧⎪+->⎨⎪++>+-⎩,即403203x y x y x ++>⎧⎪+->⎨⎪<⎩,设z x y =-,则y x z =-.ODCBAP平面区域如图,平移直线y x z =-,由图象可知当直线y x z =-经过点B 时,直线的截距最小,此时z 最大,由403x y x ++=⎧⎨=⎩,解得73y x =-⎧⎨=⎩,代入z x y =-得3710z x y =-=+=,所以要使x y λ-<恒成立,则λ的取值范围是10λ≥,即[)10,+∞,14.解析：曲线C 直角坐标方程22(2)(2)2x y -+-=，直线l ：10x y +-=圆心到直线距离d =C 上点到l的距离的最小值215. 解析：由割线定理知8PA PB PC PD PC ⋅=⋅⇒=，∴3=CD ，COD ∆为正三角形，3π=∠COD ，由圆的性质，圆周角等于圆心角的一半，得.6CBD π∠=三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分12分)解：（1）12cos 2sin 3cos 22sin 3)(2++=+=x x x x x f 1)62sin(2++=πx ….2分∴1617sin 21)638sin(2)34(+=++=ππππf 165sin 2+=π4分 216s i n 2=+=π6分（2）12cos 2sin 3cos 22sin 3)(2++=+=x x x x x f 1)62sin(2++=πx⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+67,662πππx 8分∴1)62sin(21≤+≤-πx ， 10分 ∴31)62sin(20≤++≤πx ，即)(x f 的值域是[].3,0 12分17．(本题满分12分)（1）依题意设袋中原有3n 个白球,则有4n 个黑球. 由题意知()()23273(31)13(31)277177712n nn n Cn n n Cn --===--， 4分 即7193n n -=-，解得1n =，即袋中原有3个白球和4个黑球. 5分 （2）依题意，ξ的取值是1,2,3,4,5.1ξ=，即第1次取到白球，3(1);7P ξ==2ξ=，即第2次取到白球432(2);767P ξ==⨯=同理可得，4336(3);76535P ξ==⨯⨯=43233(4);765435P ξ==⨯⨯⨯= 432131(5)7654335P ξ==⨯⨯⨯⨯= 10分ξ分布列为3263112345277353535EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………12分18. (本题满分14分)（1）证明：取DE 中点N ，连结,MN AN ．在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点，所以MN ∥CD ，且 12MN CD =．由已知AB ∥CD ，12AB CD =，所以 MN ∥AB ，且MN AB =．所以四边形ABMN 为平行四边形，所以BM ∥AN ．又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，所以BM ∥平面ADEF ．…………………………………………………………4分 （2）证明：在正方形ADEF 中，ED AD ⊥．又因为 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF平面ABCD AD =，所以ED ⊥平面ABCD ．所以ED BC ⊥．…………………………………6分 在直角梯形ABCD 中，2AB AD ==，4CD =，可得BC =在△BCD中，4BD BC CD ===，所以BC BD ⊥．………………………7分 所以BC ⊥平面BDE ．…………………………………8分又因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BDE ⊥平面BEC ．……………………9分（3）（方法一）延长DA 和CB 交于G ．在平面ADEF35CFCA内过A 作AK EG ⊥于K ,连结BK ．由平面ADEF ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AD CD ⊥，平面ADEF 平面ABCD =AD ，得ADEF 平面⊥AB ，于是EG ⊥AB ．又A AK = AB ，EG⊥平面ABK ，所以EG K ⊥B ， 于是BKA ∠就是平面BEC 与平面ADEF 所成锐二面角的平面角.……………………………………………………………………………12分 由,,2,AK AG Rt AKGRt EDG ED AG GE DE GE ∆∆====552=AK . 又2=AB ，于是有530222=+=AB AK KB . 在AKB Rt ∆中，665302552cos ===∠BK AK BKA . 所以平面BEC 与平面ADEF 14分 （方法二）由（2）知ED ⊥平面ABCD ，且AD CD ⊥．以D 为原点，,,DA DC DE 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系．易得(2,2,0),(0,4,0),(0,0,2)B C E .平面A D E F 的一个法向(0,1,0)=m .设(,,)x y z =n 为平面BEC 的一个法向量，因为(2,2,0),BC =-，(0,4,2)CE =-所以220420x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =得1,2y z ==．所以(1,1,2)=n 为平面BEC 的一个法向量． ……１２分 设平面BEC 与平面ADEF 所成锐二面角为θ． 则cos ||||6||θ⋅===⋅m n m n ．所以平面BEC 与平面ADEF 所成锐二面角的14分 19. (本题满分14分) 解：(1)设动点(,)M x y ，则001224y y x x --⨯=-+-(2x ≠±且0y ≠)所以曲线C 的方程为2214x y +=(2x ≠±).……………………………………………4分 （2）法一：设00(,)Q x y ，则直线AQ 的方程为00(2)2y y x x =++，令4x =，则得006(4,)2y M x +，直线BQ 的方程为00(2)2yy x x =--，令4x =，则得002(4,)2y N x -，…………………………6分 ∵0062y x +0022y x +-=000200044312()2224x y y x x x -+=⨯+--000200441224x x y y y --=⨯=⨯- ∴01(4,)x D y -，∴ 000101422BD x y x k y ---==-…………………………………………8分 故0000122QB BD y x k k x y -=⨯-0012(2)x x -=-01122(2)x =--- ∵ 022x -<<，∴0420x -<-<，01124x <-- ∴，01111322(2)288x -->-+=-- ∴38QB BD k k >-，∴直线QB 与直线BD 的斜率之积的取值范围为3(,)8-+∞……………………………10分 法二：设直线AQ 的斜率为(0)k k ≠，则由题可得直线BQ 的斜率为14k-， 所以直线AQ 的方程为(2)y k x =+，令4x =，则得(4,6)M k ， 直线BQ 的方程为1(2)4y x k =--，令4x =，则得1(4,)2N k-， ∴1(4,3)4D k k -， ∴ 1303144228BDk k k k k--==--………………………………………………………8分故131()428QB BD k k k k k =-⨯-231832k =-+38>- ∴直线QB 与直线BD 的斜率之积的取值范围为3(,)8-+∞……………………………10分（3）法一：由（2）得006(4,)2y M x +，002(4,)2y N x -， 则直线AN 的方程为00(2)3(2)y y x x =+-，直线BM 的方程为003(2)2y y x x =-+，…12分由0000(2)3(2)3(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪-⎪⎨⎪=-⎪+⎩，解得00005825325x x x y x x -⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩即 0000583(,)2525x y T x x ---……………12分∴20200058()253()425x x y x --+-220020(58)494(25)x y x -+⨯=-220020(58)9(4)4(25)x x x -+-=- 2002016801004(25)x x x -+=-1= ∴ 点T 在曲线C 上. ………………………………………………………………………14分 法二：由（2）得006(4,)2y M x +，002(4,)2y N x - ∴ 00006023422BMy x y k x -+==-+ ，0000202423(2)AN y x y k x --==+-……………………12分 ∴20002000323(2)4BM ANy y y k k x x x ⨯=⨯=+--202011444x x -==-- ∴ 点T 在曲线C 上. …………………………………………………………14分法三：由（2）得，(4,6)M k ，1(4,)2N k-， ∴ 60342BM k k k -==- ，10124212AN k k k--==-+……………………………12分 ∴113()124BM AN k k k k ⨯=⨯-=- ∴ 点T 在曲线C 上. ……………………14分 20. (本题满分14分)解：（1）法一：由1n a =得当1n =时，11a S =，且11a =，故11a =………………………………………1分当2n ≥时，1n n n a S S -=-，故11n n S S --=，得211)n S -=， ∵正项数列{}n a ，1=………………………………………………………………………4分∴是首项为1，公差为1的等差数列.∴n = ，2n S n =∴ 121n a n ==-.……………………………………………………………6分 法二：当1n =时，11a S =，且11a =，故11a =……………………………………1分由1n a =得2(1)4n n a S +=，……………………………………………2分当2n ≥时，211(1)4n n a S --+=∴ 1n n n a S S -=-2(1)4n a +=21(1)4n a -+-， 整理得11()(2)0n n n n a a a a --+--=∵正项数列{}n a ，10n n a a -+>，∴ 12n n a a --=，………………………………………………………………………5分 ∴{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴ 21n a n =-.………………………………………………………………………6分 （2）证明：先证：135(21)246(2)n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅7分.21n >-+故只需证135(21)246(2)n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅9分因为[135(21)246(2)n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅]22222133557(21)(21)11,246(2)2121n n n n n ⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅⋅++＜ 所以135(21)246(2)n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅………………………………………………12分所以135(21)246(2)n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅＜当n 取1,2,3,....n 得到n 不等式，113135(21)224246(2)n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<<<⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 相加得：113135135(21)224246246(2)n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 即：n n R T <………………………………………………………………………14分 2１. (本题满分14分) 解:(１)()f x 的定义域为),1(+∞-a. 其导数2'()a xf x a ax x a=-=-++111…………………………………………………2分①当0a <时,'()0f x >,函数在),1(+∞-a上是增函数; ②当0a >时,在区间(,)a-10上,'()0f x >;在区间(0,+∞)上,'()0f x <． 所以,()f x 在(,)a-10是增函数,在(0,+∞)是减函数. ………………………………4分 (２)当0a <时, 则x 取适当的数能使()f x ax ≥，比如取1x e a=-，能使11()1()2()011f e a e a ae e e a a a a-=--=->-=->, 所以0a <不合题意…6分当0a >时，令()()h x ax f x =-,则1()2ln()h x ax x a=-+问题化为求()0h x >恒成立时a 的取值范围.由于'12()12()2a x a h x a x x aa+=-=++ ∴在区间(,)a a --112上,0)('<x h ;在区间),21(+∞-a 上,0)('>x h . …………8分 ()h x ∴的最小值为1()2h a -,所以只需1()02h a->即1112()ln()022a a a a ⋅---+>,1ln 12a ∴<-,2e a ∴>………………………………10分 (３)由于()0f x =存在两个异号根12,x x ，不仿设10x <，因为110x a-<<,所以0a >……………………………………………………………………………………11分构造函数:()()()g x f x f x =--(10x a-<<) 11()ln()ln()2g x x x axa a ∴=--++2'22112()20ax g x a x x x a a a=-+=<-+-所以函数)(x g 在区间1(,0)a-上为减函数. 110x a-<<,则1()(0)0g x g >=, 于是()()f x f x -->110,又1()0f x =,()0()f x f x ->=12,由()f x 在,)+∞（0上为减函数可知21x x >-.即120x x +>……………………………………………14分。