分段函数(高中数学必修一课件)

跟踪训练2
(1)函数f(x)＝x＋
x x
的图象是(
)
答案：B
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，在区间[0，4]上是抛物线的一段， 求f(x)的解析式．
题型 3 分段函数的实际应用 例3 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特
点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每 尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)表示为养殖密度x(单位：尾/立 方米)的函数．当0<x≤4时，v的值为2；当4<x≤20时，v是关于x的一 次函数．当x＝20时，因缺氧等原因，v的值为0.
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)分段函数由几个函数构成．( × )
(2)分段函数有多个定义域．( × )
(3)函数f(x)＝ቊ−xx，，xx
≤ ≥
00，是分段函数．(
×
)
2．已知f(x)＝ቊ−x2x，，xx
≤ >
00，则f(－3)＝(
A．－3
B．3
C．－9
答案：B
第2课时 分段函数
预学案
共学案
预学案
分段函数❶ 1．分段函数的定义 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应 关系，这样的函数通常叫做分段函数． 2．分段函数的定义域、值域 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、 值域的___并_集____；各段函数的定义域的交集是___空_集____． 3．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系 中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的 端点是空心点还是实心点，将每段图象组合到一起就得到整个分段函 数的图象．

分段函数-【新教材】人教A版高中数 学必修 第一册 优秀课 件-ppt 分段函数-【新教材】人教A版高中数 学必修 第一册 优秀课 件-ppt
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第 分三 段章 函数-3【.1新.2教材第】2课人时教分A版段高函中数数-【学新必教修材第】一人册教优A秀版课（2件01-9p） pt 高中数 学必修 第一册 课件(共 74张PP T) 第 分三 段章 函数-3【.1新.2教材第】2课人时教分A版段高函中数数-【学新必教修材第】一人册教优A秀版课（2件01-9p） pt 高中数 学必修 第一册 课件(共 74张PP T)
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误区警示
分段函数概念的理解错误
例 4 求函数 f(x)＝x2－1x≥0 的定义域． xx<0
• [错解] ∵x≥0时，f(x)＝x2－1，x<0时， f(x)＝x， • ∴当x≥0时，f(x)的定义域为[0，＋∞)， • 当x<0时，f(x)的定义域为(－∞，0)．
3.1.2 第2课时分段函数-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件 (共34 张PPT)
3分.1段.2函数第【2课新时教分材段】函人数教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）高 ppt中课数件学必 修第一 册课件 (共34 张PPT)
关键能力·攻重难
3分.1段.2函数第【2课新时教分材段】函人数教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）高 ppt中课数件学必 修第一 册课件 (共34 张PPT)
题型二 分段函数的图象及应用 例 2 已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)．
(1)用分段函数的形式表示函数 f(x)； (2)画出函数 f(x)的图象； (3)写出函数 f(x)的值域． • [分析] 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数， 再利用描点法作出函数图象．
当 x∈[1，＋∞)时，得 f(x)＝x2－2x＝1，解得 x＝1＋ 2或 x＝1－ 2 (舍去)．
综上可知 x 的值为 0 或 1＋ 2 .
题型三 分段函数的应用问题
• BCDA由例点3B(起如点图)，向在点边A(长终为点4)运的动正，方设形点ABPC运D的动边的上路有程一为点x，P，△沿AP折B的线面积 为y.
[解析] 由函数解析式得xx＋ －11≥ ≠00， ， 解得 x≥－1，且 x≠1. 故函数的定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选 A．

()
解析：∵f(x)＝|x－1|＝x1－ －1x， ，xx≥ ＜11， ， 当 x＝1 时，f(1)＝0，可排除 A、C. 又 x＝－1 时，f(－1)＝2，排除 D. 答案：B
3．函数 y＝x－2，2，x＞x＜0，0 的定义域为__________，值域为____________． 答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(02]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]， 知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2×(－ 3)＝3－2 3. ∵f－52＝－52＋1＝－32，且－2<－32<2， ∴ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34. (2)当 a≤－2 时，a＋1＝3，即 a＝2>－2，不合题意，舍去； 当－2<a<2 时，a2＋2a＝3，即 a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0，得 a＝1 或 a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1 符合题意；
答案：(－3,1)∪(3，＋∞)
题型二 分段函数的图象 【学透用活】
[典例 2] (1)已知 f(x)的图象如图所示，求 f(x)的解析式． (2)已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． ①用分段函数的形式表示函数 f(x)； ②画出函数 f(x)的图象； ③写出函数 f(x)的值域．
x＋2，x＜0. 根据函数解析式作出函数图象，如图所示． 由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}． 答案：{y|y≤2}
3．作出函数 f(x)＝－ x2－x－x－1，2，x≤－－1＜1，x≤2， x－2，x＞2
的图象．
解：画出一次函数 y＝－x－1 的图象，取(－∞，－1]上的一段；画出二次 函数 y＝x2－x－2 的图象，取(－1,2]上的一段；画出一次函数 y＝x－2 的图 象，取(2，＋∞)上的一段，如图所示．

并集
1.6x, 0≤x≤10 f ( x) = 2.8x 12， x 10.
求分段函数 的函数值时,首 先判断自变量 所属的取值范 围,再把自变量 的值代入相应 取值范围的表 达式中进行计 算．
追加任务2 求出某户用水12m3应交的 水费f(12)．
因为12＞10, 所以利用 f ( x) 2.8 x 12 计算，得
追加任务2 求出某户用水12m3应交的 水费f(12)．
因为12＞10, 所以利用 f ( x) 2.8 x 12 计算，得
函 数 值
f (12) 2.8 12 12 21.6 （元）．
1.6x, 0≤x≤10 f ( x) = 2.8x 12， x 10.
1.6x, 0≤x≤10 f ( x) = 2.8x 12， x 10.
追加任务2 追加任务1 求出某户用水12m3应交的 该函数的定义域是什么？ 水费f(12)．
分段函数的 定义域是自变 量的各个不同 取值范围的并 集．
该函数的定义域为
定 义 域
． 0， 0，10 ∪ 10，
函 数 值
f (12) 2.8 12 12 21.6 （元）．
1.6x, 0≤x≤10 f ( x) = 2.8x 12， x 10.
求分段函数 的函数值时,首 先判断自变量 所属的取值范 围,再把自变量 的值代入相应 取值范围的表 达式中进行计 算．
追加任务2 求出某户用水12m3应交的 水费f(12)．
用水量 用水费(元/m3) 污水处理费(元/m3) 不超过10m3 部分 1．30 0．30 超过10 m3部分 2．00 0．80
试写出每户每月用水量x(m3 )与应交水费 y(元) 之间的函数解析式． 综合以上两种情况，函数写作

2
2
一坐标系下的图象：
(2)∀x∈R，令M(x)表示f(x)，g(x)，h(x)中的最大者，记作M(x)＝{f(x)，
g(x)，h(x)}，请分别利用图象法和解析法表示函数M(x)，并求M(x)的
值域．
解析：(2)由图中函数的取值情况，结合函数M(x)的定义，可得M(x)的图象为：
结合图象得函数M(x)＝
3
当a≥2时，有2a＝3，∴a＝ ，与a≥2矛盾．
综上可知a＝ 3.
2
易错警示
易错原因
忽视对a的讨论致误．
纠错心得
涉及自变量为参数的分段函数求参数问题，
应根据参数与分段函数的定义域的关系分
类讨论．
1．f(x)＝|x－1|的图象是(
课堂十分钟
)
答案：B
x − 1，x ≥ 1，
解析：因为f(x)＝|x－1|＝ቊ
3x，x ≥ 4，
(－∞，－3)
围为___________．
解析：(1)当x>1时，－x＋1＝－1，解得x＝2；当x≤1时，x2－1＝－1，解得x＝
0.综上，x＝0或x＝2.
(2)当a≤－2时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集为(－∞，－3)；
当－2<a<4时，f(a)＝a＋1<－3，此时不等式无解；
x 2 + 1，x ≤ 1
解析：∵f(x)＝ቊ 2
，
x + x − 2，x > 1
∴f(－1)＝(－1)2＋1＝2，
∴f(f(－1))＝f(2)＝22＋2－2＝4.
2 − 2x，x ≥ 1，
3x
5．已知函数f(x)＝ቊ
求使f(x)＜2成立的x的值组成
2

释
业
疑 难
义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
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12/12/2021
第十七页，共五十页。
情
[跟进训练]
课 堂
景
小
导 学 探 新
1．函数 f(x)＝xf－fx3＋，5x≥，1x0<，10， 则 f(7)＝________.
结 提 素
知
养
合 作 探
8 [∵函数 f(x)＝xf－fx3＋，5x≥，1x0<，10，
作 业
疑
难
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课
情
堂
景
小
导
结
学 提
探
新
素
知
养
把本例条件改为“f(x)＝|x|－2”，再求本例的3个问题．
综上可得，当 f(a)＝3 时，a＝1 或 a＝2.
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课
情
堂
景
小
导
结
学 探
1．分段函数求函数值的方法：
提
新
素
知
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
养
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的 课
合
时
作 探
形式时，应从内到外依次求值．
小 结
学
探 新
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2×(－ 3)＝3－2 3.
提 素
知
养
∵f－25＝－25＋1＝－32，
课
合
时
作 探 究
而－2<－32<2，

关键能力探究
探究点一 分段函数的定义域、值域
【典例1】(1)已知函数f(x)= |x| ,则其定义域为 ( )
x
A.R
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,0)∪(0,+∞)
－x2＋1，0 x 1，
(2)函数f(x)= 0, x＝0，
的定义域为________,值域为________.
x2－1,－1 x 0
2
22
2
2
f ( 3) 1 ( 3)2 13.
2
24
所以 f (f (1)) 13.
24
答案: 13
4
x 1，x 0,
2.已知函数f(x)=
|
1 x
，x＜0， |
若f(x)=2,则x=________.
【解析】若x≥0,由x+1=2,得x=1;
若x<0,由 1 =2,得x=± ,1由于 >01,舍x= , 1
提示:有函数关系.
②函数的解析式是什么?
提示:y=
2，0 x 5， 3，5 x 10.
③x与y之间有何特点?
提示:x在不同区间内取值时,与y对应的关系不同.
【知识生成】 分段函数 在函数的定义域内,对于自变量x的_不__同__取__值__区__间__,有着_不__同__的__对__应__关__系__,这样 的函数通常叫做分段函数.
|x|
2
2
2
所以x= 1.故x=1或 .1
2
2
答案:1或 1
2
【补偿训练】
对a,b∈R,记max(a,b)=
a,a b， b, a＜b,
函数f(x)=max(|x+1|,-x2+1)的值域是

月份
1
2
3
合计
计费金额/元 114 75
45.6
234.6
问：小赵家第一季度共用电多少？
[解] (1)当0≤x≤100时，月电费＝月用电量×标准电价，可得y＝ 0.57x； 当x>100时，月电费＝100 kW·h的电费＋超过100 kW·h部分的电费， 可得y＝0.57×100＋1.5×(x－100)＝1.5x－93．
×
(2)分段函数有多个定义域． ( )
×
(3)分段函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线 ．
()
×
(4)函数f (x)＝|x|可以用分段函数表示．( )
√
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 分段函数的求值问题 类型2 分段函数的图象及应用 类型3 分段函数的实际应用
◆ 类型1 分段函数的求值问题
√ √
BD [由题意知函数f (x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1
时，f (x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f (x)的取值范围是
[0，4)，因此f (x)的值域为(－∞，4)，故B正确；当x＝1时，f (1)＝
12＝1，故C错误；当x≤－1时，f (x)＝x＋2＝1⇒x＝－1，当－1<x<2

发现规律 分段函数的建模 (1) 当 目 标 在 不 同 区 间 有 不 同 的 计 算 表 达 方 式 时 ， 往 往 需 要 用 _分__段__函__数__模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需 要分__段__画__． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的_各__分__界__点_，即明确自变量 的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解 析式．

例3 某城市出租汽车收费标准为：当行程不超过3km时，收费7元； 行程超过3km，但不超过10km时，在收费7元的基础上，超过3km 的部分每公里收费1.0元；超过10km时，超过部分除每公里收费1.0 元外，再加收50﹪的回程空驶费．试求车费y（元）与x（公里）之 间的函数解析式，并作出函数图像．
应用知识 强化练习
教材练习3.3
1.设函数
y
f
x
2x 1,
1
x2
,
（１）求函数的定义域；
2 x 0, 0 x 3.
（２）求 f 2, f 0, f 1 的值．
高教社
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
再见
高教社
应用知识 强化练习
教材练习3.3
2. 我国国内平信计费标准是：投寄外埠平信， 每封信的质量不超过 20g，付邮资 0.80 元；质 量超过 20g 后，每增加 20g（不足 20g 按照 20 g 计算）增加 0.80 元．试建立每封平信应付的 邮资 y （元）与信的质量 x （g）之间的函数关 系（设 0 x 60 ），并作出函数图像．
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
创设情景 兴趣导入
加强节水意识 某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理费）标准：

第三章 3.1.2 第2课时分段函数-【新教材】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 74张PP T) 第三章 3.1.2 第2课时分段函数-【新教材】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 74张PP T)
第 分三 段章 函数【3.新1.教2 材第】2人课教时A分版段高函中数数-学【必新修教第材一】册人课教 件A版2（ 优2秀01p9pt）课高件中数 学必修 第一册 课件(共 74张PP T) 第 分三 段章 函数【3.新1.教2 材第】2人课教时A分版段高函中数数-学【必新修教第材一】册人课教 件A版2（ 优2秀01p9pt）课高件中数 学必修 第一册 课件(共 74张PP T)
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第三章 3.1.2 第2课时分段函数-【新教材】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 74张PP T) 第三章 3.1.2 第2课时分段函数-【新教材】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 74张PP T)
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பைடு நூலகம்

(1) 设 在 A 俱 乐 部 租 一 块 场 地 开 展 活 动 x 小 时 的 收 费 为 f(x) 元 (12≤x≤30) , 在 B 俱 乐 部 租 一 块 场 地 开 展 活 动 x 小 时 的 收 费 为 g(x) 元 (12≤x≤30),试求f(x)与g(x)的解析式；
[归纳提升] 求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止． 当出现f[f(x0)]的形式时,应从内到外依次求值．
【对点练习】❶ 已知 f(x)＝xf[＋f(x3＋(x5＞)]1(x0≤)，10)，则 f(5)的值是
(A)
A．24
4．已知 f(x)＝xx＋ －44((xx＜ ＞00))，则 f[f(－3)]的值为___－__3__． [解析] ∵f(x)＝xx＋ －44((xx＜ ＞00))， ∴f(－3)＝1， ∴f[f(－3)]＝f(1)＝－3．
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
分段函数的求值问题
x＋2(x≤－1)，
例 1 已知函数 f(x)＝x2(－1＜x＜2)， 2x(x≥2).
段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数而不是几个函数．
基础自测
1．函数 f(x)＝ xx－＋11的定义域为
A．[－1，1)∪(1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－1，＋∞)
D．(－1，1)∪(1，＋∞)
( A)
[解析] 由函数解析式得xx＋－11≥≠00，，解得 x≥－1，且 x≠1． 故函数的定义域为[－1，1)∪(1，＋∞)，选 A．
[分析] 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函 数,再利用描点法作出函数图象．

5
－5
3
∵ f 2＝ －＋ 1＝ －，
2
2
3 而 － 2<－<2，
2
5
33
3
－
∴ ff 2
－ －2
－9
3
＝ f 2＝ 2 ＋ 2× 2＝－ 3＝ －.
4
4
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(2)当a≤－2时，a＋1＝3， 即a＝2>－2，不合题意，舍去． 当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3 (－2,2)，∴a＝1符合题意． 当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
－x＋3，x>1，
0 [∵ f(4)＝ － 4＋ 3＝ － 1， f(－ 1)＝ － 1＋ 1＝ 0， ∴ f(f(4))＝ f(－ 1)＝ 0.]
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2x，0≤x≤1，
4．函数f(x)＝2，1<x<2，
的值域是( )
3，x≥2
A．R
B．[0,2]∪{3}
2． f(x)＝ |x－ 1|的 图 象 是 ( )
x－1，x≥1， B [∵f(x)＝|x－1|＝1－x，x<1， 当x＝1时， f(1)＝0， 可排除A， C.又x＝－1时， f(－1)＝2， 排除
D.]
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x＋1，x≤1，
3．函数f(x)＝
则f(f(4))＝________.
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