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§1-5多项式的因式分解定理多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分？平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的.如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =，的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数.反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f有非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约.由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的.不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约.2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x).3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除.Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法当s=1时,显然成立;假设s=n-1 时,结论成立;当s=n 时,令)()()()(),()(32211x f x f x f x g x f x g n ==, 如果)(|)(),(|)(11x f x p x g x p 则命题成立,如果1))(),((),(|)(11=/x g x p x g x p 则,从而)(|)(2x g x p ,即)(,),(),()(32x f x f x f x p n 整除 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设)(x p 整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证. 因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个)0(>n n 次多项式)(x f 都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；)()()()(21x p x p x p x f s =所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有),2,1()()(s i x cq x p i i ==标准分解式（典型分解式）：)()()()(2121x p x p x cp x f s r s rr =其中c 是f(x)的首项系数，)(),(),(21x p x p x p s 是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,21正整数.例1：在有理数域上分解多项式， 22)(23--+=x x x x f . )2)(1)(1()2)(1(22)(223+-+=-++=--+=x x x x x x x x x x f例2：求 的典型分解式内在][122)(2345x Q x x x x x x f -++--=. 23242345)1()1()12)(1(122)(+-=+--=-++--=x x x x x x x x x x x f 例3.求 的典型内在][6141616102)(2345x R x x x x x x f -+-+-= 分解式. )3()1)(1(2)(22--+=x x x x f例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式 15-x 和16-x 为不可约多项式的乘积.解:)1)(1()1(2345++++-=-x x x x x x Q[x]][)154cos 2)(152cos 2)(1()1)(1()1(222345x R x x x x x x x x x +-+--=++++-=-ππ][)52sin 52cos ()1()1)(1()1(412345x C k i k x x x x x x x x k ππ---=++++-=-=在Q[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在R[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在C[x]上)2321)(2321)(1)(2321)(2321)(1(16i x i x x i x i x x x -++++--+--=-。
爱森斯坦判别法是目前为止用来判断[]Z x 内一个多项式可约与否的最好结果。
爱森斯坦判别法 设给定n 次本原多项式01()[](1)Z n n f x a a x a x x n =+++∈≥L如果存在一个素数p ，使|(0,1,...,1)i p a i n =-，但20|,|n p a p a //，则()f x 在[]Z x 内不可约。
证明：用反证法。
设()f x 在[]Z x 内可约，即()()()f x g x h x =， 其中0101()[],()[].Z Z m m l l g x b b x b x x h x c c x c x x =+++∈=+++∈L L这里0deg ()deg ()g x f x <<。
为方便计，下面式子中多项式(),(),()f x g x h x 的系数,,i i i a b c 的下标大于其对应多项式的次数时，均认为等于零。
因为n m l a b c =，而|n p a /，故|,|m l p b p c //。
另一方面，0|p a ，而000a b c =，故0|p b 或0|p c ；不妨设0|p b ，此时因20|p a /，故0|p c /。
设|(0,...,1)i p b i r =-，但|(0)r p b r m <</。
此时|r p a ，而 011110()r r r r r a b c b c b c b c --=++++L括号中各项均含有因子p ，故0|r p b c 。
但0|,|r p b p c //，p 为素数，矛盾。
由此，()f x 在[]Z x 内不可约。
爱森斯坦判别法是目前为止用来判断Z[x]内一个多项式可约与否的最好结果。
艾森斯坦判别法是代数的定理，给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。
由高斯定理，这判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。
艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式如果存在素数p ，使得p 不整除an ，但整除其他ai ； p^2 不整除a0 ， 那么f (x ) 是不可约的。
11.实数集与复数集内的分解．因式分解应当分解到“底”，也就是应当把多项式分解为既约（不可约）多项式的乘积．什么是既约多项式呢？这要看在什么数集内分解．例如，2x 3-没有有理根，因而不能分解为两个有理系数的一次因式的乘积．换句话说，在有理数集内32-x 是既约多项式，但是在实数集内，因为),3)(3(32-+=-x x x 所以32-x 不是实数集内的既约多项式，到目前为止，我们的讨论都是在有理数集内进行的，本单元介绍一元多项式在实数集与复数集内的分解．11.1 求 根 公 式一次多项式永远是既约的.x 的二次三项式c bx ax ++2在复数集内的因式分解非常简单，可以用求根公式求得,242aac b b x -±-= )1( 从而 C bx ax ++2 ⋅-----+--=)24)(24(22aac b b x a ac b b x a )2( 在实数集内，当042≥-ac b 时，c bx ax ++2也可以用(2)式分解．如果,042<-ac b 那么 c bx ax ++2是实数集内的既约多项式．如果ac b 42-不是有理数的平方，那么C bx ax ++2就是有理数集内的既约多项式．如果ac b 42-是有理数的平方，那么c bx ax ++2可以用(2)分解，其实，用十字相乘更为方便：例1 分解因式：.7322--x x解 由于 ,7,3,2-=-==c b a ,065)7(24)3(422>=-⨯⨯--=-ac b65不是有理数的平方，所以在有理数集内7322--x x 是既约多项式．在实数集与复数集内可得 7322--x x⋅--+-=)4653)(4653(2x x 例2 分解因式：.7322+-x x解 由于 ,7,3,2=-==c b a,047724)3(422<-=⨯⨯--=-ac b所以在实数集内7322+-x x 是既约多项式（当然也是有理数集内的既约多项式）．在复数集内可得7322--x x),4473)(4473(2i x i x --+-= 其中i 称为虚数单位，满足等式 .12-=i例3 分解因式：⋅+-89322x x 解 由于 ,89,3,2=-==c b a ,08924)3(422=⨯⨯--=-ac b 所以在有理数集内可得.)43(2893222-=+-x x x 这也是89322+-x x 在实数集与复数集内的分解式， 例4 分解因式：.2322--x x解 由于 ,2,3,2-=-==c b a,525)2(24)3(4222==-⨯⨯--=-ac b所以2322--x x 在有理数集内可以分解．事实上，由十字相乘可得 ).2)(12(2322-+=--x x x x当然，这式子也可以用(2)来分解．11.2 代 数 基 本 定 理在复数集内，每一个x 的（不是常数的）多项式至少有一个根．即对于多项式0111)(a x a x a x a x f n n n ++++=-- （n 是正整数）．一定有复数c 使得.0)(=c f这个结论称为代数基本定理．根据代数基本定理，每个x 的次数大于1的多项式f (x)都有一次因式x-c ，因此在复数集内，只有一次多项式是既约多项式．由代数基本定理容易推出：n 次多项式f(x)恰好有n 个根，如果n x x x ,,,21 是0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 的n 个根，那么)3).(())(()(21n n x x x x x x a x f ---=每一个复数都可以写成a+bi 的形式，其中a 、b 为实数，i 是上面已经说过的虚数单位，在b≠0时，a+bi 称为虚数．虚数a+bi 与a- bi 称为共轭复数，它们的和为,2)()(a bi a bi a =-++它们的积为22222))((b a i b a bi a bi a +=-=-+（因为)12-=i即共轭复数的和与积都是实数．如果bi a x +=1与bi a x -=2是一对共轭复数，那么两个共轭的一次因式1x x -与2x x -的积为))((21x x x x --)]()][([bi a x bi a x --+-=),(2222b a ax x ++-=是实系数的多项式，对于实系数多项式f(x)，我们可以用(3)式把它分解为复数集内的一次因式的积．有一条定理告诉我们：实系数多项式的虚数根是两两共轭的．于是，对每一对共轭的复数根（例如上面所说的21x x 、)，我们把相应的两个共轭的一次因式（例如 1x x -与2x x -)乘起来，产生一个实系数的二次因式，这样就得到了f(x)在实数集内的分解．因此，在实数集内，每个多项式可以分解为一次因式与二次因式的积．换句话说，在实数集内，既约多项式一定是一次多项式或二次多项式．从理论上说，在实数集或复数集内，只要求出f(x)的根，就可以把f(x)分解，三次多项式与四次多项式虽然有求根公式，但是，公式的形状比二次多项式复杂得多．次数大于4的多项式没有求根公式，往往只能求出根的近似值．因此，对于具体问题，仍然需要用一些特殊的方法来分解．例5 分解因式：.124+-x x解 由第9单元例3，我们知道124+-x x 不能分解为两个有理系数的二次因式的积，它没有有理根（易验证±1都不是它的根），因而也没有有理系数的一次因式，所以，在有理数集内，124+-x x 是既约多项式．在实数集内，可以用拆项后配方的方法，得到 124+-x x2243)12(x x x -++=2223)1(x x -+=).13)(13(22+-++=x x x x在复数集内，还可以利用求根公式，进一步得到124+-x x)13)(13(22+-++=x x x x⋅--+--+++=)23)(23)(23)(23(i x i x i x i x 11.3 单 位 根．多项式1-n x 的根称为n 次单位根．一次单位根只有1．二次单位根有两个，即±1．由于 14-x )1)(1(22+-=x x),)()(1)(1(i x i x x x -+-+=所以四次单位根有4个，即±1，±i，前两个是实数，后两个是虚数，例6 分解因式：.13-x 解 在有理数集内，熟知),1)(1(123++-=-x x x x这也是13-x 在实数集内的分解式． 在复数集内，13++x x 还可用(2)进一步分解为),231)(231(12i x i x x x ---+--=++ 所以 ⋅+--+---=-)231)(231)(1(13i x i x x x 231i +-与231i --是两个三次（虚）单位根（1是实三次单位根），我们把231i +-记为w ，容易看出,2312i --=ω 并且 .1,1,1223ωωωωω-=+-=+= (4)一般地，在复数集内有n 个n 次单位根，它们是),,,2,1(2sin 2cosn k nk i n k =+ππ (5) 其中 .12sin 2cos =+n n i n n ππ例7 分解因式：.15-x 解 在复数集中，15-x 的根为,54sin 54cos ,52sin 52cosππππi i ++ ,1,58sin 58cos ,56sin 56cos ππππi i ++ 由(3)，得 15-x ⋅-----=)54sin 54cos )(52sin 52cos)(1(ππππi x i x x ⋅----)58sin 58cos )(56sin 56cos (ππππi x i x 因为 ,52sin 52cos 58sin 58cos ππππi i -=+ 与52sin 52cos ππi +共轭，又 ,54sin 54cos 56sin 56cos ππππi i -=+ 与54sin 54cos ππi +共轭，并且 ,1cos sin 22=+αα 所以 )52sin 52cos )(52sin 52cos (ππππi x i x +--- 22)52(sin )52cos (ππ+-=x ,1)52cos 2(2+-=x x π )54sin 54cos )(54sin 54cos (ππππi x i x +--- .1)54cos 2(2+-=x x π 所以在实数集内，可得15-x⋅+-+--=]1)54cos 2(][1)52cos 2()[1(22x x x x x ππ 在有理数集内，由第2单元例13，得),1)(1(12345++++-=-x x x x x x1234++++x x x x 在有理数集内是既约多项式，这将在第12单元中证明．在(5)中，如果k 与n 互质（最大公约数为1），那么nk i n k ππ2sin 2cos +称为本原单位根．例如，对于n-15，与15互质的是1，2，4，7，8，11，13，14，共有8个，也就是说有8个15次本原单位根，可以证明，与n 饮本原单位根对应的一次因式的积是一个整系数的多项式．它称为分圆多项式，例如34x x +12+++x x 就是一个分圆多项式．11.4 攻 玉 之 石“他山之石，可以攻玉”，三次虚单位根w 可以帮助我们在有理数集内分解因式，例8 分解因式：.2245++++x x x x解 w 是多项式2245++++x x x x 的一个根．事实上，利用(4)，可知 2245++++ωωωω222++++=ωωωω)122++=ωω（,0=于是ω-x 是2245++++x x x x 在复数集内的因式，它的共轭因式2ω-x 也是2245++++x x x x 的因式，又 ,1))((22++=--x x x x ωω从而12++x x 是2245++++x x x x 的因式．所以 2245++++x x x x)222()()(223345+++++-++=x x x x x x x x).2)(1(32+-++=x x x x这里，23+-x x 没有有理根，因此是有理数集内的既约多项式．从例1可以知道：如果实系数多项式f(x)有虚根w(即f(w ) =O ），那么f(x)就有因式.12++x x 例9 证明：在m 、n 为自然数时，多项式11323++++n m x x有因式+2x .1+x 证明 因为 11323++++n m ωω12++=ωω,0=所以，12++x x 是11323++++n n x x 的因式．例10 分解因式：.1510++x x解 12++x x 是1510++x x 的因式，所以把1510++x x 分组分解，得1510++x x)()()()(4565677898910x x x x x x x x x x x x ++-+++++-++=-+++)(345x x x)1()(223+++++x x x x x).1)(1(345782+-+-+-++=x x x x x x x x134578+-+-+-x x x x x x 是有理数集内的既约多项式，这一点将在12单元予以证明． 例11 分解因式：.115-x解 115-x1)(35-=x)1)(1(5105++-=x x x+-+-++++++-=45782234)(1)(1)(1x x x x x x x x x x x （).13+-x x )6((最后一步利用了例7及例10).如果沿另一途径分解：115-x1)(53-=x]1)()()())[(1(32333433++++-=x x x x x [根据例7]).1)(1)(1(369122++++++-=x x x x x x x )7(比较(6)、(7)，我们知道136912++++x x x x 不是有理数集内的既约多项式，它可分解为136912++++x x x x).1)(1(34578234+-+-+-++++=x x x x x x x x x x例12 分解因式：.)(444y x y x +++ 解 w 是多项式44)1(1++⋅+x x 的根．事实上，利用(4)，可得44)1(1+++ωω42)(1ωω++=21ωω++=,0=因此，12++x x 是44)1(1+++x x 的因式，22y xy x ++是x y x （++444)y +的因式（这个判断对解444)(y x y x +++)464(43223444y xy y x y x x y x ++++++=)232(2432234y xy y x y x x ++++=)]()()[(2432232232234y xy y x xy y x y x y x y x x ++++++++=.)(2222y xy x ++=小 结在复数集内，)1(≥n n 次多项式。
§1-5多项式的因式分解定理多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的.如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =，的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数.反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f有非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约.由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的.不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约.2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x).3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除.Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法当s=1时,显然成立;假设s=n-1 时,结论成立;当s=n 时,令)()()()(),()(32211x f x f x f x g x f x g n ==, 如果)(|)(),(|)(11x f x p x g x p 则命题成立,如果1))(),((),(|)(11=/x g x p x g x p 则,从而)(|)(2x g x p ,即)(,),(),()(32x f x f x f x p n 整除 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设)(x p 整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证. 因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个)0(>n n 次多项式)(x f 都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；)()()()(21x p x p x p x f s =所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有),2,1()()(s i x cq x p i i ==标准分解式（典型分解式）：)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r = 其中c 是f(x)的首项系数，)(),(),(21x p x p x p s 是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,21正整数.例1：在有理数域上分解多项式， 22)(23--+=x x x x f . )2)(1)(1()2)(1(22)(223+-+=-++=--+=x x x x x x x x x x f例2：求 的典型分解式内在][122)(2345x Q x x x x x x f -++--=. 23242345)1()1()12)(1(122)(+-=+--=-++--=x x x x x x x x x x x f 例3.求 的典型内在][6141616102)(2345x R x x x x x x f -+-+-= 分解式. )3()1)(1(2)(22--+=x x x x f例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式 15-x 和16-x 为不可约多项式的乘积.解:)1)(1()1(2345++++-=-x x x x x x Q[x]][)154cos 2)(152cos 2)(1()1)(1()1(222345x R x x x x x x x x x +-+--=++++-=-ππ][)52sin 52cos ()1()1)(1()1(412345x C k i k x x x x x x x x k ππ---=++++-=-=在Q[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在R[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在C[x]上)2321)(2321)(1)(2321)(2321)(1(16i x i x x i x i x x x -++++--+--=-。
多项式的因式分解知识点总结多项式的因式分解是数学中的重要内容之一。
通过将多项式分解为较简单的因子，我们可以更好地理解和运用多项式在代数运算中的性质。
本文将对多项式的因式分解进行知识点总结。
一、因式分解的基本概念多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个较简单的因式相乘的形式的过程。
常见的多项式的因式分解包括线性因式、二次因式和高次多项式的因式分解。
二、线性因式分解线性因式是指次数为1的因式，其表达形式为$(x-a)$，其中a为常数。
对于形如$f(x)=ax+b$的一次多项式，若存在一个实数a使得$f(a)=0$，则多项式$f(x)$可被$(x-a)$整除，即$f(x)$可以写成$(x-a)$与一个次数较低的多项式的乘积形式。
三、二次因式分解二次因式是指次数为2的因式，其表达形式为$(x-a)(x-b)$，其中a 和b为常数。
对于形如$f(x)=ax^2+bx+c$的二次多项式，若其可以被二次因式$(x-a)(x-b)$整除，则多项式$f(x)$可以进行二次因式分解。
四、高次多项式的因式分解高次多项式的因式分解相对较为复杂，在一般情况下需要通过观察多项式的类型和使用适当的方法进行分解。
常见的高次多项式的因式分解方法包括公因式提取法、配方法、短除法和因式定理等。
1. 公因式提取法：当多项式中存在公因式时，可以通过提取公因式的方式进行因式分解。
例如，对于多项式$f(x)=3x^3+9x^2+6x$，可以提取公因式得到$f(x)=3x(x^2+3x+2)$，然后再对$(x^2+3x+2)$进行二次因式分解。
2. 配方法：对于特定形式的多项式，可以通过选取合适的配方方式将其因式分解。
例如，对于多项式$f(x)=x^2+5x+6$，可以使用常见的配方法$(x+2)(x+3)$进行因式分解。
3. 短除法：短除法是一种用于高次多项式的因式分解的方法。
通过逐步将多项式除以已知的因式，从而逐步缩小多项式的次数，最终得到完整的因式分解。
11 实数集与复数集内的分解因式分解应当分解到“底”，也就是应当把多项式分解为既约（不可约）多项式的乘积．什么是既约多项式呢？这要看在什么数集内分解．例如，23x -没有有理根，因而不能分解为两个有理系数的一次因式的乘积．换句话说，在有理数集内23x -是既约多项式，但是在实数集内，因为23(x x x -=，所以23x -不是实数集内的既约多项式．到目前为止，我们的讨论都是在有理数集内进行的，本单元介绍一元多项式在实数集与复数集内的分解．11.1 求根公式一次多项式永远是既约的．x 的二次三项式2ax bx c ++在复数集内的因式分解非常简单，可以用求根公式求得2b x a-±=，（1）从而2ax bx ca x x ++⎛=- ⎝⎭⎝⎭． （2）在实数集内，当240b ac -≥时，2ax bx c ++也可以用（2）式分解．如果240b ac -<，那么2ax bx c ++是实数集内的既约多项式．如果24b ac -不是有理数的平方，那么2ax bx c ++就是有理数集内的既约多项式．如果24b ac -是有理数的平方，那么2ax bx c ++可以有（2）分解，其实，用十字相乘更为方便． 例1．分解因式：2237x x --． 解：由于237a b c ==-=-，，，224(3)42(7)650b ac -=--⨯⨯-=>，65不是有理数的平方，所以在有理数集内2237x x --是既约多项式．在实数集与复数集内可得223733244x x x x --⎛=-- ⎝⎭⎝⎭． 例2．分解因式：2237x x -+．解：由于237a b c ==-=，，，224(3)427470b ac -=--⨯⨯=-<，所以在实数集内2237x x -+是既约多项式（当然也是有理数集内的既约多项式）．在复数集内可得22372x x x x --⎛= ⎝⎭⎝⎭，其中i 称为虚数单位，满足等式2i 1=-．例3．分解因式：29238x x -+． 解：由于9238a b c ==-=，，，2294(3)4208b ac -=--⨯⨯=，所以在有理数集内可得229323284x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭．这也是29238x x -+在实数集与复数集内的分解式． 例4．分解因式：2232x x --． 解：由于232a b c ==-=-，，，2224(3)42(2)255b ac -=--⨯⨯-==，所以2232x x --在有理数集内可以分解，事实上，由十字相乘可得2232(21)(2)x x x x --=+-．当然，这式子也可以用（2）来分解．11.2 代数基本定理在复数集内，每一个x 的（不是常数的）多项式至少有一个根．即对于多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++（n 是正整数），一定有复数c 使得()0f c =．这个结论称为代数基本定理．根据代数基本定理，每个x 的次数大于1的多项式()f x 都有一次因式x c -，因此在复数集内，只有一次多项式是既约多项式．由代数基本定理容易推出：n 次多项式()f x 恰好有n 个根．如果12n x x x ，，，是1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++的n 个根，那么12()()()()n n f x a x x x x x x =---．（3）这就是()f x 在复数集内的分解式．每一个复数都可以写成i a b +的形式，其中a 、b 为实数，i 是上面已经说过的虚数单位．在0b ≠时，i a b +称为虚数．虚数i a b +与i a b -称为共轭复数，它们的和为(i)(i)2a b a b a ++-=，它们的积为222222(i)(i)i 1a b a b a b a b +-=-=+=-（因为i ），即共轭复数的和与积都是实数．如果1i x a b =+与2i x a b =-是一对共轭复数，那么两个共轭的一次因式1x x -与2x x -的积为12222()()[(i)][(i)]2()x x x x x a b x a b x ax a b --=-+--=-++，是实系数的多项式．对于实系数多项式()f x ，我们可以用（3）式把它分解为复数集内的一次因式的积，有一条定理告诉我们：实系数多项式的虚数根是两两共轭的．于是，对每一对共轭的复数根（例如上面所说的12x x 、），我们把相应的两个共轭的一次因式（例如1x x -与2x x -）乘起来，产生一个实系数的二次因式，这样就得到了()f x 在实数集内的分解．因此，在实数集内，每个多项式可以分解为一次因式与二次因式的积．换句话说，在实数集内，既约多项式一定是一次多项式或二次多项式．从理论上说，在实数集或复数集内，只要求出()f x 的根，就可以把()f x 分解．三次多项式与四次多项式虽然有求根公式，但是，公式的形状比二次多项式复杂得多．次数大于4的多项式没有求根公式，往往只能求出根的近似值．因此，对于具体问题，仍然需要用一些特殊的方法来分解． 例5．分解因式：421x x -+．解：由第9单元例3，我们知道421x x -+不能分解为两个有理系数的二次因式的积．它没有有理根（易验证±1都不是它的根），因而也没有有理系数的一次因式，所以，在有理数集内，421x x -+是既约多项式．在实数集内，可以用拆项后配方的方法，得到42422222221(21)3(1)3(1)(1)x x x x x x xx x -+=++-=+-=+++．在复数集内，还可以利用求根公式，进一步得到42221(1)(1)x x x x x x x x -+=++-+⎛=++- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．11.3 单位根多项式1n x -的根称为n 次单位根．一次单位根只有1．二次单位根有两个，即±1． 由于4221(1)(1)(1)(1)(i)(i)x x x x x x x -=-+=+-+-，所以四次单位根有4个，即±1，±i ，前两个是实数，后两个是虚数． 例6．分解因式：31x -． 解：在有理数集内，熟知321(1)(1)x x x x -=-++，这也是31x -在实数集内的分解式．在复数集内，21x x ++还可用（2）进一步分解为21x x x x ⎛++= ⎝⎭⎝⎭，所以31(1)x x x x ⎛-=- ⎝⎭⎝⎭．是两个三次（虚）单位根（1是实三次单位根）记为ω，容易看出212ω-=， 并且322111ωωωωω=+=-+=-，，．（4）一般地，在复数集内有n 个n 次单位根，它们是22cosisin (12)k k k n n nππ+=，，，， （5）其中22cosisin 1n n n nππ+=． 例7．分解因式：51x -． 解：在复数集中，51x -的根为2244cosisin cos isin 55556688cos isin cos isin 5555ππππππππ++++，，，，1，由（3），得512244(1)cos isin cos isin 55556688cos isin cosisin 5555x x x x x x ππππππππ-⎛⎫⎛⎫=----- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⋅---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 因为8822cosisin cos isin5555ππππ+=-， 与22cosisin55ππ+共轭，又 6644cosisin cos isin5555ππππ+=-， 与44cosisin55ππ+共轭，并且 22sin cos 1αα+=，所以22222222cos isin cos isin 555522cos sin 5522cos 154444cos isin cos isin 555542cos 15x x x x x x x x x ππππππππππππ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，．所以在实数集内，可得522124(1)2cos12cos 155x x x x x x ππ-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦． 在有理数集内，由第2单元例13，得54321(1)(1)x x x x x x -=-++++，4321x x x x ++++在有理数集内是既约多项式，这将在第12单元中证明．在（5）中，如果k 与n 互质（最大公约数为1），那么22cosisink k n nππ+称为本原单位根．例如，对于15n =，与15互质的是1，2，4，7，8，11，13，14，共有8个，也就是说有8个15次本原单位根．可以证明，与n 次本原单位根对应的一次因式的积是一个整系数的多项式．它称为分圆多项式．例如4321x x x x ++++就是一个分圆多项式．11.4 攻玉之石“他山之石，可以攻玉”．三次虚单位根ω可以帮助我们在有理数集内分解因式． 例8．分解因式：5422x x x x ++++．解：ω是多项式5422x x x x ++++的一个根．事实上，利用（4），可知542222222(1)0ωωωωωωωωωω++++=++++=++=，于是x ω-是5422x x x x ++++在复数集内的因式，它的共轭因式2x ω-也是5422x x x x ++++的因式，又22()()1x x x x ωω--=++,从而21x x ++是5422x x x x ++++的因式．所以542543322232()()(222)(1)(2)x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++-+++++=++-+．这里，32x x -+没有有理根，因此是有理数集内的既约多项式．从例1可以知道：如果实系数多项式()f x 有虚根ω（即()0f ω=），那么()f x 就有因式21x x ++． 例9．证明：在m 、n 为自然数时，多项式32311m n x x ++++有因式21x x ++． 证明：因为32312110m n ωωωω+++=++=，所以，21x x ++是32311m n x x ++++的因式． 例10．分解因式：1051x x ++．解：21x x ++是1051x x ++的因式，所以把1051x x ++分组分解，得10510989877656545433222875431()()()()()()(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=++-+++++-+++++-+++++=++-+-+-+．875431x x x x x x -+-+-+是有理数集内的既约多项式，这一点将在12单元予以证明．例11．分解因式：151x -． 解：155351054322875431()1(1)(1)(1)(1)(1)(1).x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=-++=-++++++-+-+-+ （6）（最后一步利用了例7及例10）． 如果沿另一途径分解：1535334333232129631()1(1)[()()()()1](1)(1)(1).x x x x x x x x x x x x x x -=-=-++++=-++++++ [根据例7]（7）比较（6）、（7），我们知道129631x x x x ++++不是有理数集内的既约多项式，它可分解为12963432875431(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++-+-+-+．例12．分解因式：444()x y x y +++．解：ω是多项式441(1)x x +++的根．事实上，利用（4），可得442421(1)1()10ωωωωωω+++=++=++=，因此，21x x ++是441(1)x x +++的因式，22x xy y ++是444()x y x y +++的因式（这个判断对解决这个问题是十分重要的）．44444432234432234432232232234222()(464)2(232)2[()()()]2()x y x y x y x x y x y xy y x x y x y xy y x x y x y x y x y xy x y xy y x xy y +++=++++++=++++=++++++++=++．小结在复数集内，(1)n n ≥次多项式1110()n x n n f x a x a x a x a --=++++．可以分解为一次因式的积：12()()()()n n f x a x x x x x x =---．（3）其中，12n x x x ，，，是()f x 的n 个根．在实数集内，多项式()f x 可以分解为一次因式与二次因式的积．把（3）中的共轭因式两两相乘就得到它在实数集内的分解式．二次三项式2ax bx c ++在复数集内可以分解为a x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 如果240b ac -≥，这个式子也是2ax bx c ++在实数集内的分解式．在有理数集内，如果24b ac -是平方数，2ax bx c ++也可以用上述公式分解，但是不如用十字相乘简单．1的立方虚根12ω-+=很有用处．如果ω是实系数多项式()f x 的根，那么21x x ++就是()f x 的因式．习题111．用求根公式分解因式：235x x -+； 2．用求根公式分解因式：227x x --； 3．用求根公式分解因式：2352x x --； 4．用求根公式分解因式：2251x x -+； 5．22x xy y ++是不是777()x y x y +++的因式？ 6．分解因式：432422x x x x +++-．习题111． x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭；2． (11x x -+--；3． ()()312x x +-；4． 2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭； 5．是；6． ()()22132x x x x +++-．。
因式分解技巧——实数域与复数域上的分解因式分解应当分解到“底”，即应当把多项式分解为既约（不可约）多项式的乘积。
怎样算“既约”，这要由分解所在的数域决定。
例如， x 2−3没有有理根，因⽽不能分解为两个有理系数的⼀次因式的乘积，即在有理数域上 x 2−3 是既约多项式。
若将其放在实数域内考虑，因为 x 2−3=(x −√3)(x +√3), 所以 x 2−3 不是实数域上的既约多项式。
前⾯我们的讨论都是在有理数域上进⾏的。
下⾯我们看看实数域和复数域上的分解。
求根公式⼀次多项式永远是既约的。
关于 x 的⼆次三项式 ax 2+bx +c 在复数域上的因式分解⾮常简单：根据求根公式x =−b ±√b 2−4ac 2a我们就得到⼀个分解 $$ax^2+bx+c=a\left(x-\frac{-b+ \sqrt{b 2-4ac}}{2a}\right)\left(x-\frac{-b-\sqrt{b 2-4ac}}{2a}\right). \qquad (1)$$在实数域上，若 b 2−4ac ≥0, (1) 就是⼀个分解；若 b 2−4ac <0, 那么 ax 2+bx +c 就是实数域上的⼀个既约多项式。
如果 b 2−4ac 不是有理数的平⽅，那么 ax 2+bx +c 就是有理数域上既约多项式。
如果 b 2−4ac 是有理数的平⽅，那么 ax 2+bx +c 就可以分解。
当然，这时候⽤⼗字相乘法更⽅便。
分解因式：2x 2−3x −7.因为 b 2−4ac =65>0, 65 不是有理数的平⽅，所以 2x 2−3x −7 是有理数域上的既约多项式。
但在实数域和复数域上，它是可以分解的：2x 2−3x −7=2x −3+√654x −3−√654.分解因式：2x 2−3x +7.因为 b 2−4ac =−47<0, 所以 2x 2−3x +7 是实数域上的既约多项式。
在复数域上它可分解为2x 2−3x +7=2x −3+√47i 4x −3−√47i 4.分解因式：2x 2−3x −2.因为 b 2−4ac =25 是有理数的平⽅，所以原式可在有理数域上分解。
