第五章动态电路的分析
5．2．1 动态电路初始条件的确立
一、初始条件
动态电路中，一般将换路时刻记为t=0，换路前的一瞬间记为t=0_，换路后的一瞬间记为t=0+，则电路变量在t=0+的值，称为初始值，也称初始条件。
二、换路定则
如果在换路前后，电容电流或电感电压为有限值，则换路时刻电容电压和电
感电流不跃变，即u
C (0_)=u
C
(0+)，i
L
(0_)=i
L
(0+)。
三、初始条件的计算
(1)由换路前最终时刻即t=0_时的电路，求出电路的独立状态变量u
C
(0_)
和i
L (0_)。
从而根据换路定则得到u
C
(0+)和i
L
(0+)；
(2)画出t=0+时的等效电路。
在这一等效电路中，将电容用电压为u
C
(0+)
的直流电压源代替，将电感用电流为i
L
(0+)的直流电流源代替；
(3)由上述等效电路，用直流电路分析方法，求其他非状态变量的各初始值。
5．2．2 动态电路的时域分析法
5．2．2．1一阶电路的响应
一阶电路是指只含有一个独立储能元件的动态电路。
一、一阶电路的零输入响应
零输入响应是指动态电路无输入激励情况下，仅由动态元件初始储能所产生的响应，它取决于电路的初始状态和电路的特性。
因此在求解这一响应时，首先必须掌握电容电压或电感电流的初始值，至于电路的特性，对一阶电路来说，则是通过时间常数τ来体现的。
零输入响应都是随时间按指数规律衰减的，这是因为在没有外施激励的条件下，原有的储能总是要衰减到零的。
在RC电路中，电
容电压总是从u
C (0+)单调地衰减到零的，其时间常数τ=RC，即u
C
(t)=u
C
(0+)e-t/
τ；在RL电路中电感电流总是从i
L
，(0+)单调地衰减到零的，其时间常数τ=L
／R，即i
L (t)=i
L
(0+)e-t/τ，掌握了u
C
(t)和i
L
(t)后，就可以用置换定理将电
容用电压值为u
C (t)的电压源置换，将电感用电流值为i
L
(t)的电流源置换，再
求电路中其他支路的电压或电流即可。
二、一阶电路的零状态响应
零状态响应是动态电路在动态元件初始储能的零为情况下，仅由输入激励所引起的响应。
随着时间的增加，动态元件储能由零开始按指数规律上升至稳态值，即电容电压和电感电流都是从它的零值开始按指数规律上升到达它的稳态值的，时间常数r仍与零输入响应时相同。
在直流电路中，当电路到达稳态时，电容相
当于开路，电感相当于短路，由此可以确定电容或电感的稳态值，则可得u
C (t)=u
C
(∞)(1-e-t/τ)，i
L (t)=i
L
(∞)(1-e-t/τ)，掌握了u
C
(t)和i
L
(t)后，就可以用置换
定理将电容用电压值为u
C (t)的电压源置换，将电感用电流值为i
L
(t)的电流源
置换，再求电路中其他支路的电压或电流即可。
三、一阶电路的全响应
由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应，称为全响应。
1．全响应及其分解
(1)全响应分解为强制响应和自由响应之和，或稳态响应和瞬态响应之和即
u
C (t)=(U
-U
S
)e
-t/τ
+U
S
(t≥0)
=固有响应+强制响应
=瞬态响应+稳态响应
式中第一项是对应微分方程的通解，称为电路的自由响应或固有响应，其变化规律取决于电路结构和参数，与输入无关，其系数需由初始状态与输入共同确定。
自由响应将随时间增长而按指数规律衰减到零，所以又称为瞬态响应。
全响应的第二项是微分方程的特解，称为强制响应，其变化规律一般与输入相同。
如果外施激励是直流量或周期量强制响应也是直流量或周期量。
当自由响应衰减到零时电路进入新的稳态，所以，强制响应又叫稳态响应。
(2)全响应又可分解为零输入响应与零状态响应之和
u C(t)=U0e-t/τ+US(1-e-t/τ)=零输入响应+零状态响应
第一项是U
S =0V时的零输入响应，第二项是U
=0V时的零状态响应。
这是叠
加定理在线性动态电路中的体现。
2．三要素法
直流输入下的一阶电路的全响应为
y(t)=y(∞)+[y(0+)-y(∞)]e-t/τ t>O
式中，y(t)为电路响应；y(0+)是y(t)换路后最初时刻的值，即初始值；y(∞)是y(t)在换路后达到稳态时的值，称为稳态值；τ为电路的时间常数。
上式表明：在直流激励下，一阶电路的响应由初始值、稳态值和时间常数三个要素确定，利用上式求解直流激励下一阶电路响应的方法称为三要素法。
四、一阶电路的阶跃响应
1．阶跃函数
单位阶跃函数为
阶跃函数可用来描述开关动作，可用来表示时间上分段恒定的信号，还可用来起始任意函数，或表示任意函数的作用区间。
2．阶跃响应
电路在单位阶跃函数激励下产生的零状态响应称为单位阶跃响应，用S(t)
表示。
一般阶跃函数作用下，电路的零状态响应称为阶跃响应。
单位阶跃函数ε(t)作用于电路，相当于单位直流电源在t=0时接入电路，因此单位阶跃响应与直流激励的响应相同。
对于线性时不变电路，如果单位阶跃函数下的零状态响应为S(t)，则在阶跃函数Aε(t)激励下的零状态响应(即阶跃
响应)是AS(t)，而在延迟阶跃函数Aε(t-t
0)激励下的响应是AS(t-t
)，即阶跃
响应满足齐次性和延迟性。
五、一阶电路的冲激响应
1．冲激函数
冲激函数在电路理论中用来描述快速变化的电压和电流。
单位冲激函数为
2．冲激响应
电路在单位冲激函数激励下产生的零状态响应称为单位冲激响应，用h(t)表示，根据冲激函数的特点，仅含有冲激电源的电路，在t>0以后是一零输入电路。
在冲激电压或电流的作用下，动态元件将建立初始储能，故冲激响应可视为由冲激函数电源建立的初始状态所引起的零输入响应。
因而求冲激响应，关键在于求出电路的初始状态。
求解方法为：
①首先将动态元件之外的电路进行戴维南等效或是诺顿等效，得到如图
5．2．1所示电路。
5．2．2．2 二阶电路的响应
二阶电路是指含有两个独立储能元件、用二阶微分方程描述的动态电路。
一、RLC串联电路的零输入响应
二、RLC串联电路的零状态晌应
根据元件的伏安关系，以及KVL可得二阶方程为
三、RLC串联电路的全响应
二阶电路的全响应与零状态响应形式相同，只是用来确定A
1、A
2
(或A，φ)
的初始值u
C (0_)和i
L
，(0_)不再为零。
四、二阶电路的阶跃响应与冲激响应
1．阶跃响应
二阶电路在阶跃函数激励下的零状态响应称为二阶电路的阶跃响应。
阶跃响应可视为直流电源激励下的零状态响应，故其解法与零状态响应求解方法相同。
2．冲激响应
可按下述两种常用方法计算：
(1)可将电路的单位阶跃响应对时间求一阶导数，即得电路的单位冲激响应。
(2)先求在冲激函数激励作用下，电路的初始状态，即计算u
C (0+)和i
L
(0+)
之值，然后计算电路的零输入响应。
5．2．3 动态电路的复频域分析法
复频域分析法的数学基础是拉普拉斯变换，利用拉普拉斯变换及其基本性质，可以得到电路基本定律及元件伏安关系的复频域形式，从而把时域问题变换成复频域问题，当求出待求响应的象函数后，再经拉普拉斯反变换，即可得到待
求响应的时域形式。
一、拉普拉斯变换定义
二、拉普拉斯变换的基本性质
三、拉普拉斯反变换
用部分分式展开法，并设F(S)为有理真分式，即
五、暂态过程的复频域分析
具体分析步骤如下：
(1)根据换路前的电路，求出电感电流和电容电压在t=0_时的值；
(2)将激励函数进行拉普拉斯正变换；
(3)将换路后的时域电路变换为复频域电路；
(4)利用电路定理和分析方法，建立响应的象函数的方程，并求出响应的象函数；
(5)利用拉普拉斯反变换，将所求得的响应象函数变为原函数。
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