北师大九年级上册数学《第四章图形的相似》检测卷含答案

第四章图形的相似数学九年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，▱ABCD中，AE∶ED=1∶2，S△AEF=6 cm2，则S△CBF等于( )A.12 cm 2B.24 cm 2C.54 cm 2D.15 cm 22、如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=4：9，则AE：EC为（）A.2：1B.2：3C.4：9D.5：43、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，P是AD边上一动点(不含端点A，D)，连接PC，E是AB边上一点，设BE=a，若存在唯一点P，使∠EPC=90°，则a的值是( )A. B. C.3 D.64、如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（）A.24mB.25mC.28mD.30m5、如图，△ABC是边长为6的等边三角形，AD=2，AE∥BC，直线BD交AE于点E，则BE的长为（）A.3B.4C.3D.56、如图，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC：OA=1：2，量得CD=10，则零件的内孔直径AB长为（）A.30B.20C.10D.57、在图（1）、（2）所示的△ABC中，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开裁剪办法已在图上标注，对于各图中剪下的两个阴影三角形而言，下列说法正确的是（）A.只有（1）中的与△ABC相似B.只有（2）中的与△ABC相似C.都与△ABC相似D.都与△ABC不相似8、如图所示，图中共有相似三角形( )A.2对B.3对C.4对D.5对9、如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）A. =BC•BDB. =AC•BDC.AB•AD=BC•BDD.AB•AC=AD•CD10、如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米 , CA=1米, 则树的高度为（）A.4.5米B.6米C.3米D.4米11、如图，在中，点D，E分别是，的中点，与交于点O，连接．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的个数有（）A.4B.3C.2D.112、如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= .其中正确的结论有（）A.4个B.3个C.2个D.1个13、若＝，则的值为（）A. B. C. D.14、如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（）A. B. C.AC 2=AD•AB D.CD 2=AD•BD15、下列命题中，是真命题的为( )A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似二、填空题(共10题，共计30分)16、如图：ΔABC中，AB=AC,D,E是ΔABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E= ,若BE=6,DE=2,则BC=________17、如图，已知△ABC∽△DEF，且相似比为k，则k=________，直线y=kx+k的图象必经过________象限．18、在中，D、E分别在AB.AC的反向延长线上，，若，，则________.19、已知△ABC中，∠C=90°，AB=9，，把△ABC 绕着点C旋转，使得点A落在点A′，点B落在点B′．若点A′在边AB上，则点B、B′的距离为________．20、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC=________．21、如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD=________．22、如图所示，D，E分别在△ABC的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足________条件时，有△ABC∽△AED．23、如图，在▱ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为________．24、位似图形上任意一对对应点到________ 的距离之比等于位似比．25、如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知＝，若DF＝10，则DE＝________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知，求．27、如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，AD与HG的交点为M. 求矩形的长与宽．28、正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在图中正方形网格（每个小正方形边长为1）中有一格点△ABC和一线段DE（1）以DE为一边做格点△DEF与△ABC相似；（2）直接写出△DEF的面积．29、如图，在中，，，，点P由点A出发沿方向向终点B以每秒的速度匀速移动，点Q由点B出发沿方向向终点C以每秒的速度匀速移动，速度为.如果动点同时从点A，B出发，当点P或点Q到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q，B，P为顶点的三角形与相似？30、如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线y=（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F.（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，请证明△EGD∽△DCF，并求出k的值.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A3、B4、D5、A6、B7、B8、C9、A11、A12、B13、A14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、29、30、。

第四章测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各 边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。

2019下学期九年级数学第四章图形的相似复习测试题一、选择题1、如图4-2-6所示，已知直线a∥b∥c，直线m分别交a,b,c于点A,C,E,直线n分别交a,b,c于点B,D,F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF的长为（）A. B. C.6 D.2、若图4-3-4中的两个四边形相似，则的∠α度数是（)A.87°B.60°C.75°D.120°二、填空题3、在比例尺为1 ：5 000的地图上，量得中、乙两地的图上距离是3.2 cm，把它画在新的比例尺是1：8000的地图上，应画 cm.5、如图4-2-11所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC.若DE=2AD，AE= 2,则 EC = .6、如图4-4-8所示，在△ABC中，AB= 9, AC=6,点M在AB边上,且AM=3,点N在AC边上，当AN= 时, △AMN与原三角形相似.7、如图4-8-8所示，在平面直角坐标系中，点A，B，E，D，F的坐标分别是A（4，3），B（4，0），E（5，0），D（13，6），F（13，0），△DEF是由△AOB经过位似变换得到的，则位似中心的坐标是。

三、解答题8、如图4-1-2所示，点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上，9、已知1，，2三个数，请再添上一个数，写出一个比例式.10、如图4-2-8所示，在△ABC中，线段AD平分∠BAC，求证:.11、如图4-3-2所示，把矩形ABCD对折，折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似，己知AB = 4.(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.12、如图4-3-6所示，点E为矩形ABCD的边AB上一点且满足A EA B =B EA E，当四边形ADFE为正方形时，矩形ABCD和矩形EFCB相似吗？为什么？13、某机械厂承接了一批焊制矩形钢板的任务，已知这种矩形钢板在图纸上（比例尺为1 : 400)的长和宽分别为3 cm和2 cm,该厂所用原料是边长为4 m的正方形钢板，那么焊制一块这样的矩形至少要用几块边长为4 m的正方形钢板(焊制损耗不汁)？14、根据下列各组条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似,并说明理由.(1)AB=3.5,BC=2.5,CA=4, A′B′=24.5, B′C′=17.5, C′A′=28;(2)∠A=35°,∠B=104°, ∠C′=44°, ∠A′=35° ；(3)AB=3,BC=2.6, ∠B=48°,A′B′=1.5, B′C′=1.3, ∠B′=48°.15、如图4-4-11所示，已知DE∥BC,DF∥AC,AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm,求线段BF的长.16、如图4-4-13所示，在边长为1的正方形网格中有△ABC和△DEF,试说明这两个三角形相似.17、在人体脚底到肚脐的高度与身高的比例上，理想的肚胳的位置是黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的高度与身高的比为0.60,她的身高为1.60 m,她选择穿多高的高跟鞋看起来会更美？18、如图4-5-4所示，△A BC为等边三角形，D,E分別是AC,BC上的点（不与顶点重合），∠BDE =60° .(1)求证：△DEC ∽△BDA;(2)若△ABC的边长为 4,并设DC=x，BE=y，试求y与x之间的函数关系式.19、如图4-5-6所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE丄BC，垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.(1)求证：△ADF ∽△DEC;(2)若AB=8,AD=63,AF=43,求AE的长.20、如图4-5-8所示，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°,∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3.试在边AB上确定点P的位置，使得以P,A,D 为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.21、如图4-5-10所示，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，直线l∥BD且与AB,DC,BC,AD及AC的延长线分别相交于点M,N,R,S和P.求证：PM•PN=PR•PS.22、小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一幢楼下，发现对面墙上有这幢楼的影子.针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：示意图如图4-6-7①所示，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这幢楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同.此时，测得小明落在墙上的影子的高度CD=1.2m，且测得CE=0.8m，CA=30m（点A,E,C在同一直线上）.已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1m).23、周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C,A共线.已知：CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m，DE=1.5m，BC=8.5m.测量示意图如图4-6-9所示.请根据相关测量信息，求河宽AB.24、如图4-6-11①所示，小华在测量电线杆AB的高度时，发现电线杆的影子恰好落在坡面CD和水平地面BC上，影子CD=4m，BC=10m，CD与地面成30°角，且此时测得1m长的标杆的影长为2m，求电线杆的高度（结果精确到0.1m，取1.41，取1.73）.25、如图4-7-5所示，在△ABC中,D,E分别为BC, AC边的中点，AD, BE相交于点G,若S△DEG = 1,求S△ABC.26、如图4-7-7所示，路边的两根电线杆(AB，CD)相距4 m,分别在离地面高3 m的A处和高6m的C处用铁丝将两电线杆固定,求铁丝AD与铁丝BC的交点M离地面的高度.27、如图4-7-9所示，已知△ABC中, AB= 5, BC= 3,AC=4,PQ∥AB,点P在AC上(与点A,C不重合),点Q在BC上.(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长.图4-7-9(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长，(3)试问:在AB上是否存在一点M,使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长.28、如图4-8-11所示，已知点O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3，-1），（2，1）。

北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 单元测试题一、选择题（每小题3分，共24分）1．如图，一组互相平行的直线a ，b ，c 分别与直线l 1，l 2交于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，直线l 1，l 2交于点O ，则下列各式不正确的是( )A.AB BC ＝DEEFB.AB AC ＝DE DFC.EF BC ＝DEABD.OE EF ＝EB FC2．如图，E 是矩形ABCD 的AB 边上任意一点，F 是AD 边上一点，∠EFC ＝90°，图中一定相似的三角形是( )A ．①与②B ．③与④C ．②与③D ．①与④3.在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点A(2，2)，B(4，0)，C(6，4)以坐标原点为中心，将△ABC 缩小，相似比为1∶2，则线段AC 的中点P 变换后对应点的坐标是（ ） A.(2，32)或(－2，－32)． B.(-2，32)或(－2，－32)．C.(2，32)或(2，－32)．D.(2，32)或(－2，32)．4．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，则DE ∶EC ＝( )A ．2∶3B ．2∶5C ．3∶5D ．3∶25．如图，△ABE 和△CDE 是以点E 为位似中心的位似图形，已知点A(2，2)，B(3，1)，D(5，2)，则点A 的对应点C 的坐标是( )A ．(2，3)B ．(2，4)C ．(3，3)D ．(3，4)6.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD ·CE.若∠BAC ＝40°，则∠DAE ＝（ ）A.110°.B.115°.C.120°.D. 125°.7.如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB 等于( )A.23B.14C.13D.358.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S△COA＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( ) A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶25二、填空题（每小题3分，共18分）9．若a 6＝b 5＝c4≠0，且a ＋b －2c ＝3，则a ＝_____．10．已知线段MN 的长为2 cm ，点P 是线段MN 的黄金分割点，那么较长的线段MP 的长是_____．11．如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 的中点，AE ，AF 分别交BD 于点G ，H ，设△AGH 的面积为S 1，▱ABCD 的面积为S 2，则S 1∶S 2的值为_____．12．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，长方形城池ABCD ，南边城墙AD 长7里，东边城墙AB 长9里，东门点E ，南门点F 分别是AB ，AD 的中点，GE ⊥AB ，FH ⊥AD ，EG ＝15里，HG 过点A ，则FH ＝_____里．13．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF.已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4.若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF 的长度是_____．14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是_____．三、解答题（共80分）15.如图，在形状和大小不确定的△ABC 中，BC ＝5，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，P 在EF 或EF 的延长线上，BP 交CE 于D ，Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP ＝y ，PE ＝x.(1)当x ＝14EF 时，求S △DPE ∶S △DBC 的值；(2)当CQ ＝13CE 时，求y 与x 之间的函数关系式．16．如图，在▱ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B.(1)求证：△ADF ∽△DEC ；(2)若AB ＝4，AD ＝33，AE ＝3，求AF 的长．17.如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，过点A 作AG ⊥BD 分别交BD ，BC 于点G ，E.(1)求证：BE 2＝EG ·EA ；(2)连接CG ，若BE ＝CE ，求证：∠ECG ＝∠EAC.18.已知：如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，连接AD ，使得∠CAD ＝∠B ，DC ＝3且S △ACD ∶S △ADB ＝1∶2.(1)求AC 的值；(2)若将△ADC 沿着直线AD 翻折，使点C 落在点E 处，AE 交边BC 于点F ，且AB ∥DE ，求S △EFD S △ADC的值．19．如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，M 是CD 上一点，DH ⊥BM 于点H ，DH 交AC 的延长线于点E ，交BC 于点K.(1)求证：△AED ∽△CBM ； (2)求证：AE ·CM ＝AC ·CD.20．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是中线，AC ＝BC ，一个以点D 为顶点的45°角绕点D 旋转，使角的两边分别与AC ，BC 的延长线相交，交点分别为点E ，F ，DF 与AC 交于点M ，DE 与BC 交于点N.(1)如图1，若CE ＝CF ，求证：DE ＝DF ；(2)如图2，在∠EDF 绕点D 旋转的过程中，探究三条线段AB ，CE ，CF 之间的数量关系，并说明理由．21．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 是BC 上的一个动点，连接DE ，交AC 于点F.(1)如图1，当CE EB ＝13时，求S △CEFS △CDF的值；(2)如图2，当DE 平分∠CDB 时，求证：AF ＝2OA ；(3)如图3，当点E 是BC 的中点时，过点F 作FG ⊥BC 于点G ，求证：CG ＝12BG.参考答案 一、选择题1-5、DAAAD 6-8、ABB 二、填空题9、6．10、(5－1) 11、16．12、1.05 13、127或2． 14、3105．三、解答题15、解：(1)∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点，PE ＝x ＝14EF ，∴EF ∥BC ，EF ＝12BC.∴△EDP ∽△CDB.∴EP BC ＝18.∴S △DPE ∶S △DBC ＝1∶64.(2)延长BQ 交EF 的延长线于点H. ∵EF ∥BC ，∴△QEH ∽△QCB.∴BC EH ＝CQQE .∵CQ ＝13CE ，∴CQ QE ＝12.又∵BC ＝5，∴EH ＝2BC ＝10. ∵△QEH ∽△QCB ，∴∠PHQ ＝∠CBQ. 又∵BQ 平分∠CBP ，∴∠CBQ ＝∠PBQ. ∴∠PHB ＝∠PBH.∴PB ＝PH.∴EH ＝PE ＋PH ＝PE ＋PB ＝x ＋y ＝2BC ＝10. ∴y ＝－x ＋10(0＜x ＜10)．16、解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC.∴∠B ＋∠C ＝180°，∠ADF ＝∠DEC. ∵∠AFD ＋∠AFE ＝180°，∠AFE ＝∠B ， ∴∠AFD ＝∠C.∴△ADF ∽△DEC. (2)∵AE ⊥BC ，AD ＝33，AE ＝3， ∴在Rt △DAE 中，DE ＝AD 2＋AE 2＝（33）2＋32＝6. 由(1)知△ADF ∽△DEC ，得AF DC ＝ADDE ，∴AF ＝DC ·AD DE ＝4×336＝2 3.17、证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC ＝90°. ∵AE ⊥BD ，∴∠ABC ＝∠BGE ＝90°. ∵∠AEB ＝∠BEG ， ∴△ABE ∽△BGE. ∴AE BE ＝BEEG . ∴BE 2＝EG ·EA.(2)由(1)得BE 2＝EG ·EA. ∵BE ＝CE ，∴CE2＝EG·EA.∴CEEG＝AECE.∵∠CEG＝∠AEC，∴△CEG∽△AEC.∴∠ECG＝∠EAC.18、解：(1)∵S△ACD∶S△ADB＝1∶2，∴BD＝2CD.∵DC＝3，∴BD＝6.∴BC＝BD＋DC＝9. ∵∠B＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC.∴ACCD＝BCAC，即AC3＝9AC，解得AC＝3 3.(2)由折叠的性质，得∠E＝∠C，DE＝CD＝3. ∵AB∥DE，∴∠B＝∠EDF.∵∠CAD＝∠B，∴∠EDF＝∠CAD.∴△EFD∽△CDA.∴S△EFDS△ADC＝(DEAC)2＝(333)2＝13.19、证明：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°. ∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠MCB＋∠ABC＝90°，∠DBM＋∠DMB＝90°.∴∠A＝∠MCB.∵DH⊥BM，∠BCE＝90°，∠CKE＝∠HKB，∴∠E＝∠CBM.∴△AED∽△CBM.(2)∵△AED ∽△CBM ， ∴AE ∶AD ＝CB ∶CM ， 即AE ·CM ＝AD ·CB. 在Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，∴△ACD ∽△CBD.∴AC ∶CB ＝AD ∶CD ， 即AC ·CD ＝AD ·CB. ∴AE ·CM ＝AC ·CD.20、解：(1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ＝BD ， ∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠BCE ＝∠ACF ＝90°. ∴∠DCE ＝∠DCF ＝135°.在△DCE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ，∠DCE ＝∠DCF ，CD ＝CD ，∴△DCE ≌△DCF.∴DE ＝DF. (2)∵∠DCF ＝∠DCE ＝135°， ∴∠CDF ＋∠F ＝180°－135°＝45°. ∵∠CDF ＋∠CDE ＝45°， ∴∠F ＝∠CDE.∴△CDF ∽△CED. ∴CD CE ＝CFCD . ∴CD 2＝CE ·CF.∵∠ACB ＝90°，AD ＝BD ， ∴CD ＝12AB.∴AB 2＝4CE ·CF.21、解：(1)∵CE EB ＝13，∴CE CB ＝14.∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∴EF FD ＝CE AD ＝CE CB ＝14.∴S △CEF S △CDF ＝14. (2)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ADB ＝∠ACD ＝45°，AD ＝2OA. ∵DE 平分∠CDB ， ∴∠BDE ＝∠CDE.∵∠ADF ＝∠ADB ＋∠BDE ，∠AFD ＝∠ACD ＋∠CDE ， ∴∠ADF ＝∠AFD.∴AF ＝AD.∴AF ＝2OA. (3)设BC ＝4x ，CG ＝y ，则CE ＝2x ，FG ＝y ， ∵FG ∥CD ，∴△EGF ∽△ECD. ∴EG EC ＝FG CD ，即2x －y 2x ＝y 4x ， 整理，得y ＝43x ，即CG ＝43x.∴EG ＝2x －y ＝23x.∴BG ＝2x ＋23x ＝83x.∴CG ＝12BG.。