新人教版九年级数学下册第26章反比例函数知识点归纳和典型例题

人教版九年级数学反比例函数知识点归纳本文介绍了新人教版九年级数学下册第26章反比例函数的知识点和研究目标。

其中，重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用。

难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握。

基础知识包括反比例函数的概念和反比例函数的图象。

反比例函数的图象与x轴、y轴无交点，称取点关于原点对称。

反比例函数的图象的形状是双曲线，与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。

图象关于原点对称，对称性是反比例函数的重要性质。

如图1所示，设点P（a，b）在双曲线上。

作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积等于三角形PAO和三角形PBO的面积之和。

由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上。

作QC⊥XXX的延长线于C，则三角形PQC的面积为（图2）。

需要注意的是，双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。

直线与双曲线的关系有两种情况：一种是两图象必有两个交点，另一种是两图象没有交点；当有交点时，这两个交点关于原点成中心对称。

反比例函数与一次函数有联系。

求函数解析式的方法有两种：待定系数法和根据实际意义列函数解析式。

需要注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上。

在解决问题时，可以充分利用数形结合的思想。

对于例题，若y是x的反比例函数，则应选C或A。

对于已知函数的图象在第二、四象限内和y随x的增大而减小的情况，可以求出k的值。

已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限时，可以确定它的图象位于第三象限。

若反比例函数经过点（a，b），则直线不经过的象限为第四象限。

若P （2，2）和Q（m，n）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过第一、三、四象限。

对于函数的增减性问题，需要分别讨论。

y轴作垂线，得到三个小矩形和一个三角形，它们的面积之和为20平方单位，求函数的解析式．2）已知函数y=f(x)的图象如图所示，其中ABCD为一矩形，E为函数图象上一点，且E在ABCD内部．若矩形ABCD的长为4，宽为2，求函数的解析式．答案：（1）设函数解析式为y=ax²+bx+c，由题意可列出方程组：a+b+c=54a+2b+c=2016a+4b+c=80解得a=2，b=-4，c=7，因此函数的解析式为y=2x²-4x+7．2）设函数解析式为y=f(x)=kx+m，由题意可得：f(0)=m=2f(2)=2k+m=4f(4)=4k+m=0解得k=-1/2，m=2，因此函数的解析式为y=-1/2x+2．1) 在图中，通过每个点作两条垂线段，分别与x轴和y轴围成一个矩形。

九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题一、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．答案：（1）C；（2）A．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（1）A；（2）D；（3）B．注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x 轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x 轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．①求B点坐标和k的值；②当时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．答案：（1）D；（2）C；（3）6；（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5）1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），因此面积为4．（7）①B（3，3），；②时，E（6，0），；③．6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．①求反比例函数和一次函数的解析式；②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．①求点A、B、D的坐标；②求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（5）不解方程，判断下列方程解的个数．①；②．（2）①反比例函数为，一次函数为；②范围是或．（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；②一次函数为，反比例函数为．（4）①反比例函数为，；②存在（2，2）．（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。

人教版初三下册数学第26章知识点：第1
节反比例函数
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x 或y=kx-1(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

反比例函数的概念需注意以下几点：
(1)k是常数，且k不为零;
(2)k/x中分母x的指数为1，如y=kx-2不是反比例函数。

(3)自变量x的取值范围是x≠0一切实数.
(4)自变量y的取值范围是y≠0一切实数。

以上就是为大家整理的人教版初三下册数学第26章知识点：第1节反比例函数，怎么样，大家还满意吗?希望对大家的学习有所帮助，同时也祝大家学习进步，考试顺利!。

第26章 反比例函数一、教学内容：反比例函数 教学目标：1. 理解反比例函数、图像及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图像，并利用它们解决简单的实际问题。

2. 初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。

二、重点、难点： 重点：1.能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图像，并利用它们解决简单的实际问题。

2、反比例函数的图像特点及性质的探究3、通过观察图像，归纳总结反比例函数图像 难点：1、理解反比例函数的概念2、画反比例函数的图像，并从图像中获取信息3、从反比例函数的图像中归纳总结反比例函数的主要性质 4.反比例函数的应用。

三、知识要点1、经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式2、一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y=xk 〔k 为常数，k 不等于0〕的形式，那么称y 是x 的反比例函数.从y=xk中可知，x 作为分母，所以不能为零3、画反比例函数图像时要注意以下几点a 列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点b 列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线c 在连线时要用“光滑的曲线〞，不能用折线 4、反比例函数的性质反比例函数 ()0≠=k xky k 的取值范围0>k 0<k图像性质①x 的取值范围是0≠x ，y 的取值范围是0≠y②函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内y 随x 的增大而减小①x 的取值范围是0≠x ，y 的取值范围是0≠y②函数图像的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内y 随x 的增大而增大注意：1〕反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；2〕双曲线的两个分支都与x 轴、y 轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交； 3〕在利用图像性质比拟函数值的大小时，前提应是“在同一象限〞内。

最新整理初三数学教案新人教版初三数学下册第二
十六章知识点总结
新人教版初三数学下册第二十六章知识点总结
一、反比例函数
形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。

反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。

反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

反比例函数的图像为双曲线。

二、实际问题与反比例函数
1.反比例函数与几何图形、一次函数的综合应用
反比例函数与几何图形、一次函数知识综合起来应用可解决如下几种问题：
(1)已知一次函数和反比例函数的解析式，求它们图象的交点坐标，这类题目可通过列方程组来求解;
(2)判断含有同一字母系数的一次函数和反比例函数的图象在同一直角坐标系中的位置情况，可先由两者中的某一图象确定出字母系数的取值情况，再与另一图象相对照解决;
(3)已知含有一次函数或反比例函数的信息，求一次函数或反比例函数的关系式;
(4)利用反比例函数的几何意义求与面积有关的问题。

解这类问题要注意抓住其中的“定点”或对应的值解题。

两种函数有时还会综合到其他题目中，解决时要注意结合相关知识点。

第26章《反比例函数解析式》九年级下册
数学知识点
(1)反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式y=k/x(k≠0)中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。

因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入y=k/x(k≠0)中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。

(2)用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
①设所求的反比例函数为：y=k/x(k≠0);
②根据已知条件，列出含k的方程;
③解出待定系数k的值;
④把k值代入函数关系式y=k/x(k≠0)中。

以上就是为大家整理的第26章《反比例函数解析式》九年级下册数学知识点，大家还满意吗?希望对大家有所帮助!。

九年级数学下册第二十六章反比例函数经典大题例题单选题1、春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开⁄)与药物在空气中的持续时间x(min)之间的函数关系，在门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y(mg m3打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（）A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11minC．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内答案：C分析：利用图中信息一一判断即可．解∶由图象可知，经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3，故A选项正确．不符合题意．设0<x<5时函数解析式为y1=k1x，把（5，10）代入得，k1=2，∴y1=2x，∴y1=8时，x=4，15-4=11，∴室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min，故B选项正确，不符合题意；由图象可知，y=5时，x<5或x>15，，设反比例函数解析式为y2=k2x，把（15，8）代入得：8=k215解得：k2=120，∴y2=120，x当y1=5时，x1=2.5，当y2=5时，x2=24，24-2.5=21.5＜35，故C选项错误，符合题意；当y1=2时，x1=1，当y2=2时，x2=60，60-1=59，故D选项正确．不符合题意，故选：C．小提示：本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，2、如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y=4x连接BC，则ΔABC的面积等于（）A．8B．6C．4D．2答案：C分析：由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则SΔOBA＝SΔOBC，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可．解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S =12|k|． 所以ΔABC 的面积等于2×12|k|=|k|=4． 故选C ．小提示：考查了反比例函数y =k x 中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k |，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S ＝12|k |．3、某城市市区人口x 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）A ．y =x +50B ．y =50xC ．y =50x D ．y =x 50 答案：C分析：根据：平均每人拥有绿地y =总面积总人数，列式求解．解：依题意，得：平均每人拥有绿地y =50x． 故选：C 小提示：本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握题目中数量之间的相互关系．4、一次函数y =mx +n 的图像与反比例函数y =m x 的图像交于点A 、B ，其中点A 、B 的坐标为A （-1m ，-2m ）、B （m ，1），则△OAB 的面积（ ）A ．3B ．134C ．72D ．154 答案：D分析：将点A 的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B 的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线AB 与y 轴交点D 的坐标，确定OD 的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 解：∵A （-1m ，-2m ）在反比例函数y =m x 的图像上，∴m =(-1m ) • ( -2m )=2，∴反比例函数的解析式为y =2x ， ∴B （2，1），A （-12，-4），把B （2，1）代入y =2x +n 得1=2×2+n ，∴n =-3，∴直线AB 的解析式为y =2x -3，直线AB 与y 轴的交点D （0，-3），∴OD =3，∴S △AOB =S △BOD +S △AOD=12×3×2+12×3×12 =154．故选：D ． ．小提示：本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法．5、为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y （万元）与月份x 之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误．．的是（ ）A．4月份的利润为50万元B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元D．9月份该厂利润达到200万元答案：C分析：直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．A、设反比例函数的解析式为y=kx，把(1,200)代入得，k＝200，∴反比例函数的解析式为：y=200x，当x＝4时，y＝50，∴4月份的利润为50万元，正确意；B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确；C、当y＝100时，则100=200x，解得：x＝2，则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确．D、设一次函数解析式为：y＝kx＋b，则{4k+b=506k+b=110，解得：{k=30b=−70，故一次函数解析式为：y＝30x−70，故y＝200时，200＝30x−70，解得：x ＝9，则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确．故选：C ．小提示：此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．6、如图，A ，B 是反比例函数y =4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB 的面积是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1答案：B分析：先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A ，B 两点的横坐标，求出A （2，2），B （4，1）．再过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOC =S △BOD =12×4=2．根据S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，得出S △AOB =S 梯形ABDC ，利用梯形面积公式求出S 梯形ABDC =12（BD +AC ）•CD =12×（1+2）×2=3，从而得出S △AOB =3．∵A ，B 是反比例函数y =4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，∴当x =2时，y =2，即A （2，2），当x =4时，y =1，即B （4，1），如图，过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则S △AOC =S △BOD =12×4=2，∵S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，∴S △AOB =S 梯形ABDC ，∵S 梯形ABDC =12（BD +AC ）•CD =12×（1+2）×2=3， ∴S △AOB =3，故选B ．小提示：本题考查了反比例函数y =k x (k ≠0)中k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 与k 的关系为S =12|k |是解题的关键． 7、如图，点A 在反比例函数y =k x (x >0)图象上，AB ⊥x 轴于点B ，C 是OB 的中点，连接AO ，AC ，若△AOC 的面积为2，则k =（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16答案：B分析：根据三角形中线的性质得出S △AOB =4，然后根据反比例函数k 的几何意义得解．解：∵点C 是OB 的中点，△AOC 的面积为2，∴S △AOB =4,∵AB ⊥x 轴于点B ，∴12AB ⋅OB =4,∴AB ⋅OB =8,∴k =8，故选：B．小提示：本题考查了反比例函数k的几何意义以及三角形中线的性质，熟知反比例函数k的几何意义是解本题的关键．8、学校的自动饮水机，通电加热时水温每分钟上升10°C，加热到100°C时，自动停止加热，水温开始下降．此时水温y(°C)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温降至20°C时，饮水机再自动加热，若水温在20°C 时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则水温要从20°C加热到100°C，所需要的时间为（）A．6min B．7min C．8min D．10min答案：C分析：由图像知加热时水温y(°C)与通电时间x(min)成正比例关系，通电加热时水温每分钟上升10°C，所以关系式为y=10x+20，进而可求得水温要从20°C加热到100°C所需要的时间．解：由图可知水温要从20°C加热到100°C，水温y(°C)与通电时间x(min)成正比例关系，关系式为y=10x+ 20，当y=100时，x=8．故选：C．小提示：本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．9、已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U=IR（或者I=U），实际生活中，由于给定已知量R不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（）A．B．C．D．答案：A分析：在实际生活中，电压U、电流I、电阻R三者之中任何一个不能为负，依此可得结果．，但自变量R的取值为负值，故选项A错误；B、C、D选项正确，不符合题意．A图象反映的是I=UR故选：A．小提示：此题主要考查了现实生活中函数图象的确立，注意自变量取值不能为负是解答此题的关键．10、已知点（－2，a）（2，b）（3，c）在函数y=k2+2（k为常数）的图像上，则下列判断正确的是（）xA．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a答案：A（k为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随分析：根据反比例函数的性质得到函数y=k2+2xx的增大而减小，则b＞c＞0，a＜0．∵k2+2＞0，∴函数y=k2+2（k为常数）的图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，x∵﹣2＜0＜2＜3，∴b＞c＞0，a＜0，∴a＜c＜b．故选：A．小提示：本题考查反比例函数的增减性比较大小，熟记函数性质，判断每个象限内的特点是解题关键．填空题11、每年春季为预防流感，某校利用休息日对教室进行药熏消毒，已知药物燃烧过程及燃烧完后空气中的含药量y（mg/m3）与时间x（h）之间的关系如图所示，根据消毒要求，空气中的含药量不低于3mg/m3且持续时间不能低于10h．请你帮助计算一下，当空气中的含药量不低于3mg/m3时，持续时间可以达到__h．答案：12分析：利用待定系数法求出反比例函数，利用y=6求出两函数交点坐标，再求正比例函数，利用y=3，求出两函数自变量值作差即可解：∵反比例函数经过点（24，2），∴k=xy=24×2=48，∴反比例函数的解析式为y＝48，x令y＝6，解得：x＝8，∴直线与双曲线的交点坐标为（8，6），∴正比例函数的解析式为y＝3x，4＝3，解得：x＝16，令y＝48xx＝3，解得：x＝4，令y＝34∴当空气中的含药量不低于3mg/m3时，持续时间可以达到16﹣4＝12h，所以答案是：12．小提示：本题考查正比例函数与反比例函数的联合应用，会用待定系数法求反比例函数解析式与正比例函数解析式，会求函数值是解题关键．12、如图，等腰ΔABC的两个顶点A(−1,−4)、B(−4,−1)在反比例函数y=k1（x<0）的图象上，AC=xBC．过点C作边AB的垂线交反比例函数y=k1（x<0）的图象于点D，动点P从点D出发，沿射线CD方向运动x3√2个单位长度，到达反比例函数y=k2（x>0）图象上一点，则k2=__________．x答案：1分析：由AC=BC，CD⊥AB，得到△ABC是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，即CD是反比例函数y=k1 x 的对称轴，直线CD的关系式是y=x，根据A点的坐标是A(−1,−4)，代入反比例函数y=k1x，得反比例函数关系式为y=4x ，在根据直线CD与反比例函数y=4x（x<0）的图象于点D，求得D点的坐标是（-2，-2），则OD=2√2，根据点P从点D出发，沿射线CD方向运动3√2个单位长度，到达反比例函数y=k2x图象上，得到OP=√2，则P点的坐标是（1，1），将P（1，1）代入反比例函数y=k2x，得k2=1．解：如图示，AB与CD相交于E点，P在反比例函数y=k2x（x>0）图象上，∵AC=BC，CD⊥AB，∴△ABC是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，∴CD是反比例函数y=k1x的对称轴，则直线CD的关系式是y=x，∵A点的坐标是A(−1,−4)，代入反比例函数y=k1x，得k1=xy=(−1)×(−4)=4则反比例函数关系式为y=4x又∵直线CD与反比例函数y=4x（x<0）的图象于点D，则有{y=xy=4x，解之得：{x=−2y=−2（D点在第三象限），∴D点的坐标是（-2，-2），∴OD=2√2，∵点P从点D出发，沿射线CD方向运动3√2个单位长度，到达反比例函数y=k2x图象上，∴OP=√2，则P点的坐标是（1，1）（P点在第一象限），将P（1，1）代入反比例函数y=k2x，得k2=xy=1×1=1，所以答案是：1．小提示：本题考查了用待定系数法求出反比例函数，反比例函数的对称性和解二元一次方程组的应用，熟悉相关性质是解此题的关键．13、如图，直线y=−x+3与y轴交于点A，与反比例函数y=kx(x<0)的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，若AO=3BO，则k的值为________．答案：-4分析：先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO=3BO，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式．解:∵直线y=−x+3与y轴的交点A的坐标为(0,3)，∴AO=3．∵AO=3BO，∴BO=1，∵CB⊥x轴∴点C的横坐标为−1．把x=−1代入y=−x+3，得y=−(−1)+3=4，∴点C的坐标为(−1,4)，把C(−1,4)代入y=kx，得k=−4．故答案是：-4.小提示：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点C的横坐标并求出纵坐标是解题的关键．14、如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y=8x （x>0）和y=kx（x>0）的图象交于P、Q两点，若S∥POQ=13，则k的值为___________．答案：-18分析：根据反比例函数系数k的几何意义，则∥OPM和∥OMQ的面积都可求得（或用k表示），根据∥POQ的面积，即可得到一个关于k的方程，进而求解．解：由反比例函数的性质可知S∥OPM=12×8=4，S∥OMQ=12×|k|=-12k，∵S∥POQ=13，∴4-12k=13，解得k=-18，故答案是：-18.小提示：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，熟练掌握k的几何意义是解题的关键．15、已知△ABC的三个顶点为A(-1，1)，B(-1，3)，C(-3，-3)，将△ABC向右平移m(m>0)个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y= 3的图象上，则m的值为________．x答案：52分析：根据中点的坐标和平移的规律，利用点在函数图像上，可解出m的值.△ABC的三个顶点为A（-1,1），B（-1,3），C（-3,3）∴AB的中点（-1,2），BC的中点（-2,0），AC的中点（-2，-1）∴AB边的中点平移后为（-1+m，2），AC中点平移后为（-2+m，-1）∵△ABC某一边中点落在反比例函数上∴2（-1+m）=3或-1×（-2+m）=3m=2.5或-1（舍去）.故答案是：5.2小提示：考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．解答题(x>0)的图像交于点A(a,4)．点B为x轴正半轴上一16、如图，正比例函数y=kx的图像与反比例函数y=8x点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．（1）求a 的值及正比例函数y =kx 的表达式； （2）若BD =10，求△ACD 的面积． 答案：（1）a=2；y=2x ；（2）635分析：（1）已知反比例函数解析式，点A 在反比例函数图象上，故a 可求；求出点A 的坐标后，点A 同时在正比例函数图象上，将点A 坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B 点坐标为(b ，0)，则D 点坐标为(b ，2b)，根据BD=10，可求b 值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．（1）已知反比例函数解析式为y=8x ，点A(a ，4)在反比例函数图象上,将点A 坐标代入，解得a=2，故A 点坐标为(2，4)，又∵A 点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx ，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x ． 故a=2；y=2x ．（2）根据第一问的求解结果，以及BD 垂直x 轴，我们可以设B 点坐标为(b ，0)，则C 点坐标为(b ，8b )、D 点坐标为(b ，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B 的坐标为(5，0)，D 点坐标为(5，10)，C 点坐标为(5，85)，则在△ACD 中，S △ACD =12×(10−85)×(5−2)=635．故△ACD 的面积为635．小提示：（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．（2）本题根据第一问求解的结果以及BD 垂直x 轴，利用待定系数法，设B 、C 、D 三点坐标，求出B 、C 、D 三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解．17、心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，_______分钟时学生的注意力更集中．（2）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式．（3）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？．（3）教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．答案：（1）5；（2）y AB=2x+30；y CD=1000x分析：（1）（2）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，得出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；（3）分别求出注意力指数为40时的两个时间，再将两时间之差和18比较，大于18则能讲完，否则不能．（1）（2）设线段AB所在的直线的解析式为y1＝k1x＋30，把B（10，50）代入得，k1＝2，∴AB解析式为：y1＝2x＋30（0≤x≤10）．设C、D所在双曲线的解析式为y2＝k2，x把C（20，50）代入得，k2＝1000，∴曲线CD的解析式为：y2＝1000（x≥20）；x当x1＝5时，y1＝2×5＋30＝40，，当x2＝30时，y2＝100030∴y1＞y2∴第5分钟注意力更集中．所以答案是：5；（3）当y=40时，2x+30=40,x=5．1000=40,x=25．x∴25−5=20>18．∴教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．小提示：此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．18、反比例函数y=k与一次函数y=2x−4的图像都过A(n,4)．x(1)求A点坐标；(2)求反比例函数解析式．答案：(1)点A的坐标为（4，4）(2)y＝16x分析：（1）把点A（n，4）代入一次函数y=2x-4求出n的值即可得出A点的坐标；求出k的值即可．（2）再把点A的坐标代入反比例函数y=kx（1）解：将点A（n，4）代入y＝2x﹣4得：2n﹣4＝4，解得：n＝4，∴点A的坐标为（4，4）．（2）解：将点A（4，4）代入y=k得：k＝16，x∴反比例函数解析式为y＝16．x小提示：本题主要考查的是一次函数及反比例函数图像上点的坐标特点，掌握函数图像的交点坐标即为函数解析式组成的方程组的解是解答本题的关键．。

新人教版九年级数学下册第26章反比率函数知识点概括和典型例题（一）知识结构（二）学习目标1．理解并掌握反比率函数的看法，能依据实质问题中的条件确立反比率函数的分析式（k 为常数，），能判断一个给定函数能否为反比率函数．2．能描点画出反比率函数的图象，会用代定系数法求反比率函数的分析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、分析式法和图象法的各自特色．3．能依据图象数形联合地剖析并掌握反比率函数（k 为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质剖析和解决一些简单的实质问题．4．对于实质问题，能“找出常量和变量，成立并表示函数模型，议论函数模型，解决实质问题”的过程，领会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反应在函数看法中的运动变化看法，进一步认识数形联合的思想方法．（三）要点难点1．要点是反比率函数的看法的理解和掌握，反比率函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．2．难点是反比率函数及其图象的性质的理解和掌握．二、基础知识（一）反比率函数的看法1．（）能够写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决相关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也能够写成xy=k 的形式，用它能够快速地求出反比率函数分析式中的k，进而获得反比率函数的分析式；3．反比率函数的自变量，故函数图象与x 轴、 y 轴无交点．（二）反比率函数的图象在用描点法画反比率函数的图象时，应注意自变量x 的取值不可以为 0，且 x 应付称取点（对于原点对称）．（三）反比率函数及其图象的性质1．函数分析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（ 1）图象的形状：双曲线．越大，图象的曲折度越小，曲线越平直．越小，图象的曲折度越大．（ 2）图象的地点和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．（3）对称性：图象对于原点对称，即若（ a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象对于直线对称，即若（ a， b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4． k 的几何意义矩形如图 1，设点 P（a，b）是双曲线上随意一点，作PA⊥x轴于 A点， PB⊥y轴于 B 点，则PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图 2，由双曲线的对称性可知，P 对于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA 的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1图2 5．说明：（ 1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比率函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不可以混为一谈．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点对于原点成中心对称．（3）反比率函数与一次函数的联系．（四）实质问题与反比率函数1．求函数分析式的方法：（ 1）待定系数法；（ 2）依据实质意义列函数分析式．2．注意学科间知识的综合，但要点放在对数学知识的研究上．（五）充足利用数形联合的思想解决问题．三、例题剖析1☆．反比率函数的看法（ 1）以下函数中，y 是x 的反比率函数的是（）．A． y=3x B． C ．3xy=1D．（ 2）以下函数中，y 是x 的反比率函数的是（）．A．B．C．D．答案：（ 1） C；（2） A．2．图象和性质（1）已知函数是反比率函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________ ．②若 y 随 x 的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比率函数经过点（， 2），则一次函数的图象必定不经过第_____象限．（4）已知 a·b＜ 0，点 P（ a， b）在反比率函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比率函数图象上的两点，则一次函数 y=kx+m 的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（ 6）已知函数和（ k≠0），它们在同一坐标系内的图象大概是（）．A．B．C．D．答案：（ 1）①② 1；（ 2）一、三；（3）四；（4） C；（5） C；（ 6） B．3．函数的增减性（ 1）在反比率函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数 C ．非正数D．非负数（ 2）在函数（ a 为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（ 3）以下四个函数中：①；②；③；④．y 随 x 的增大而减小的函数有（）．A．0个 B ．1个C．2个D．3个（ 4）已知反比率函数的图象与直线y=2x 和 y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比率函数的函数值y 随 x 的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（ 1） A；（2） D；（3） B．注意，（ 3）中只有②是切合题意的，而③是在“每一个象限内”y 随 x 的增大而减小．4．分析式确实定（ 1）若与成反比率，与成正比率，则y 是 z 的（）．A．正比率函数 B ．反比率函数C．一次函数D．不可以确立（ 2）若正比率函数y=2x 与反比率函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（ 3）已知反比率函数的图象经过点，反比率函数的图象在第二、四象限，求的值．（ 4）已知一次函数y=x+m与反比率函数（）的图象在第一象限内的交点为P （ x 0，3）．①求 x 0 的值；②求一次函数和反比率函数的分析式．（ 5）☆为了预防“非典”，某学校正教室采纳药薰消毒法进行消毒．已知药物焚烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比率，药物焚烧完后，y 与 x 成反比率（如下图），现测得药物 8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请依据题中所供给的信息解答以下问题：①药物焚烧时y 对于 x 的函数关系式为___________，自变量 x 的取值范围是_______________ ；药物焚烧后y 对于 x 的函数关系式为_________________．②研究表示，当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，起码需要经过 _______分钟后，学生才能回到教室；③研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且连续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒能否有效？为何？答案：（ 1） B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数分析式为，反比率函数分析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（ 1）☆如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（ 1）题图第（2）题图（2）☆如图， A、B 是函数的图象上对于原点 O对称的随意两点， AC//y 轴， BC//x 轴，△ABC的面积 S，则（）．A． S=1B． 1＜S＜ 2C．S=2D．S＞ 2（ 3）如图， Rt△AOB 的极点 A 在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（ 3）题图第（ 4）题图（ 4）☆已知函数的图象和两条直线y=x， y=2x 在第一象限内分别订交于P1和P2两点，过 P1分别作 x 轴、 y 轴的垂线 P1Q1， P1R1，垂足分别为Q1， R1，过 P2分别作 x 轴、 y 轴的垂线 P2 Q 2，P2 R 2 ，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1并比较它们的大小．（ 5）如图，正比率函数y=kx（ k＞0）和反比率函数的图象订交于轴垂线交x 轴于 B，连结 BC，若△ ABC面积为 S，则 S=_________．和OQ2P2R2 的周长，A、C两点，过 A 作 x第（ 5）题图第（6）题图（ 6）如图在Rt△ABO中，极点 A 是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的分析式；②求直线与双曲线的两个交点A、 C的坐标和△ AOC 的面积．（ 7）如图，已知正方形OABC的面积为 9，点 O为坐标原点，点A、C 分别在 x 轴、 y 轴上，点 B 在函数（ k＞ 0， x＞0）的图象上，点P （ m， n）是函数（ k＞ 0， x＞ 0）的图象上随意一点，过P 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为E、F，设矩形 OEPF在正方形OABC之外的部分的面积为S．①求 B 点坐标和 k 的值；②当时，求点P 的坐标；③写出 S 对于 m的函数关系式．答案：（ 1） D；（2）C；（3）6；（4），，矩形 O Q 1P1 R 1 的周长为 8， O Q 2P2 R 2 的周长为，前者大．（5） 1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（0，）和（， 0），且 A（ 1，）和 C（， 1），所以面积为 4．（7）① B（ 3， 3），；②时， E（6， 0），；③．6．综合应用（ 1）若函数y=k1x （k1≠0）和函数（ k2≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和 k2（）．A．互为倒数 B ．符号同样C．绝对值相等 D ．符号相反（ 2）如图，一次函数的图象与反比率数的图象交于A、 B 两点： A（， 1）， B（ 1， n）．①求反比率函数和一次函数的分析式；②依据图象写出使一次函数的值大于反比率函数的值的x 的取值范围．（ 3）如下图，已知一次函数（ k≠0）的图象与x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点，且与反比率函数（m≠0）的图象在第一象限交于C 点，CD垂直于 x 轴，垂足为 D，若OA=OB=OD=1．①求点 A、 B、D 的坐标；②求一次函数和反比率函数的分析式．（4）☆如图，一次函数的图象与反比率函数的图象交于第一象限C、D 两点，坐标轴交于 A、 B 两点，连结 OC， OD（O是坐标原点）．①利用图中条件，求反比率函数的分析式和m的值；②双曲线上能否存在一点P，使得△ POC和△ POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点 P 的坐标；若不存在，说明原因．（5）不解方程，判断以下方程解的个数．①；②．答案：（1） D．（2）① 反比率函数为，一次函数为；②范围是或．（3）① A（ 0，）， B（ 0，1）， D（ 1，0）；②一次函数为，反比率函数为．（4）①反比率函数为，；②存在（ 2， 2）．（5）①结构双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②结构双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。