第二讲：函数的单调性
一、定义：
1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：0)
()(0)]()()[(2
1212121>--⇔>--x x x f x f x f x f x x ;
难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？
（2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？
2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间.
注意：(1)减函数的等价式子：0)
()(0)]()()[(21212121<--⇔
<--x x x f x f x f x f x x ；
(2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明
例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有
.0)
()(2
121>--x x x f x f 则（ ）
A.)(x f 在这个区间上为增函数
B.)(x f 在这个区间上为减函数
C.)(x f 在这个区间上的增减性不变
D.)(x f 在这个区间上为常函数
变式训练：定义在R 上的函数)(x f 对任意120x x <<都有
1)
()(2
121<--x x x f x f ，且函
数)(x f y =的图象关于原点对称，若,2)2(=f 则不等式0)(>-x x f 的解集为___.
例3.证明：函数x x x f +=3)(在R 上是增函数.
变式训练：讨论)0()(>+=a x
a
x x f 的单调性.并作出当1=a 时函数的图象.
变式训练：已知上的单调性，
在判断函数)1,0()
()(,2)1(2x
x f x g x x x f =-=+并用定义证明.
题型二：函数的单调区间
难点突破：（1）函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单调函数吗？ （2）函数x x f 1
)(=的单调减区间是),0()0,(+∞-∞Y 上吗？
例1.（图像法）求下列函数的单调区间
（1）|2||1|)(-++=x x x f . (2)3||2)(2++-=x x x f .
（3）|54|)(2+--=x x x f .
例2.（直接法）求函数x
x
x f +-=
11)(的单调区间.
例3.（复合函数）（2017全国二）函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是( )
A.)2,(--∞
B. )1,(--∞
C.),1(+∞
D. ),4(+∞
变式训练：求下列函数的单调区间.
（1）3
1
2+-=x x y （2）652+-=x x y
（3）2
2311x
x y ---
=
题型三：抽象函数的单调性问题
例1.设函数)(x f 是实数集R 上的增函数，令)2()()(x f x f x F --=. (1) 证明：)(x F 是R 上的增函数； (2) 若,0)()(21>+x F x F 求证：221>+x x .
例2定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足下面三个条件： ①对任意正数b a ,，都有)()()(ab f b f a f =+； ②当1>x 时，0)(<x f ； ③1)2(-=f . （1）求)1(f 的值；
（2）使用单调性的定义证明：函数)(x f 在),0(+∞上是减函数； （3）求满足2)13(>+x f 的x 的取值集合.
题型四：函数单调性的应用
（1）利用函数的单调性比较大小
在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. ①正向应用：
②逆向应用：
例1.()x f 在()+∞,0上单调递减，那么()12+-a a f 与⎪⎭
⎫
⎝⎛43f 的大小关系是__________.
变式训练：已知函数),1()1()(x f x f x f -=+满足且对任意的)(1,2121x x x x ≠>，有
.0)()(2121>--x x x f x f 设),3(),2(),2
1
(f c f b f a ==-=则c b a ,,的大小关系_________.
（2）利用函数的单调性解不等式
例2.设)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数，且)1()2(x f x f -<-成立，求x 的取值范围.
变式训练.①设)(x f 是定义在]3,3[-上的偶函数，当30≤≤x 时，)(x f 单调递减，若)()21(m f m f <-成立，求m 的取值范围.
②（2015全国二）设函数)12()(,11
)1ln()(2
->+-
+=x f x f x x x f 则使得成立的x 的取值范围是（ ）
A. )1,31(
B. ),1()31,(+∞-∞Y
C. )31,31(-
D. ),31
()31,(+∞--∞Y
③（2018全国一）设函数()20
1 0
x x f x x -⎧=⎨
>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围 是（ ） A ．(]1-∞-，
B ．()0+∞，
C ．()10-，
D ．()0-∞，
（3）根据函数的单调性求参数的取值范围
例1.如果函数1)1(42)(2+--=x a x x f 在区间),3[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A.（1,2）
B.（0，2）
C.（0，1）
D.[)+∞-,2
变式训练：如果函数2)1(2)(2+--=x a x x f 在区间)4,[-∞上是减函数，求实数a 的取值范围.
例2.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(,
0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，则实数b 的取值范围
是__________.
例3.若函数||a x y -=在区间]4,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范围.
第三节：函数的奇偶性
一、知识梳理
1.函数的奇偶性 例1（2014全国二）偶函数)(x f y =的图象关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则
=-)1(f ___________．
例2（2017全国二） 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时， 32()2f x x x =+，则(2)f =__________.
例3（2012全国二）设函数1
sin )1()(2
2+++=x x
x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =______.
2. 函数的图象
(1)平移变换：“上加下减，左加右减”
例4（2010全国二）设偶函数)(x f 满足)0(42)(≥-=x x f x ，则=>-}0)2(|{x f x （ ）
A.}42|{>-<x x x 或
B.}40|{><x x x 或
C.}22|{>-<x x x 或
D.}42|{>-<x x x 或 (2)对称变换
①)()(x f y x f y x -=−−−−→−=轴对称关于
； ②)()(x f y x f y y -=−−−−→−=轴对称关于
； ③)()(x f y x f y --=−−−−→−=关于原点对称
； ④)10(log )10(≠>=−−−−→−≠>==a a x y a a a y a x y x 且且对称
关于;
⑤奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的额图象关于y 轴对称. (3)翻折变换
★★①|)(|)(x f y x f y x x =−−−−−−−−−−−→−=轴下方图象翻折上去
轴上方图象，将保留
. 例5（2010全国二）已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧+-≤<=62
110
0|,lg |)(x x x x f , 若c b a ,,均不相等，且
),()()(c f b f a f ==则c b a ⋅⋅的取值范围是( )
A.)10,1(
B.)6,5( C )12,10( D.)24,20(
例6（2011全国二）已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那 么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有（ ） A ．10个 B ．9个 C ．8个
D ．1个
★★★②)||()()(x f y x f y y x f y y =−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→−=轴左侧的图象）
在轴对称的图象（去掉原于轴右边图象，并作其关保留
. 例7（2011全国二）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ） A. 3y x =
B ．||1y x =+
C ．21y x =-+
D ．||2x y -=
例8（2010大纲）直线1=y 与曲线a x x y +-=||2有四个交点，则a 的取值范围
是____________.
(4)函数图象的几种对称关系
★①R x x f ∈),(满足)()()(x f y x a f x a f =⇔-=+图象关于直线a x =为轴对称； 例9（2018全国二）已知)(x f 是定义域为),(+∞-∞的奇函数，满足
)1()1(x f x f +=-，若)1(f =2，则=++++)50(...)3()2()1(f f f f （ ）
A ．﹣50
B ．0
C ．2
D ．50
②)()()(x f x b f x a f ⇔-=+图象关于2
b
a x +=
为轴对称； ③函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2
a
b x -=对称.
如：)(x f y =和)1(x f y -=的图象，关于直线21
=x 为轴对称.
例10（2015全国二）已知函数），的图像过点（4,1-2)(3x ax x f -=则a =________.
二、真题演练
1.（2014全国一）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. )()(x g x f 是偶函数
B. )(|)(|x g x f 是奇函数
C. |)(|)(x g x f 是奇函数
D. |)()(|x g x f 是奇函数
2.（2015全国一）已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=-1
),1(log 1,22)(21x x x x f x 错误!未找到引用源。
，且
3)(-=a f ，则)6(a f -=( )
A.-
74 B.-54 C.-34 D.-14
3.（2015全国一）设函数)(x f y =的图像关于直线x y -=对称，且
1)4()2(=-+-f f ,则=a （ ）
A.-1
B.1
C.2
D.4
4.（2017全国一）函数x
x
y cos 12sin -=
的部分图像大致为（ ）
5.（2017全国一）已知函数)2ln(ln )(x x x f -+=，则（ ）
A. ）单调递增在（2,0)(x f
B.）单调递减在（2,0)(x f
C.对称的图像关于直线1)(==x x f y
D.）对称的图像关于点（0,1)(x f y = 6.(2017全国三)函数2sin 1x
y x x
=++
的部分图像大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
二、课后作业
1.若奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在[]3,7--上是（ ） A.增函数且最小值是5- B.增函数且最大值是5- C.减函数且最大值是5- D.减函数且最小值是5-
2.若32)1()(2++-=mx x m x f 是偶函数，则)(x f 在()1,4--上（ ）
A.是增函数
B.是减函数
C.不具有单调性
D.单调性由m 的值确定
3.已知函数()1
,21
x
f x a =-+若()f x 为奇函数，则a =________.
4.函数2
1x b ax x f ++=）（是定义在)1,1(-上的奇函数，且5221=）（f ,求函数)(x f 的解析式___________.
第四节：函数的零点
一、知识梳理
★零点：方程0)(=x f 的解；函数)(x f 图象与x 轴交点的横坐标.
函数)()()(x g x f x F -=的零点是函数)(x f 与函数)(x g 图象交点的横坐标.
零点存在定理：函数)(x f 在定义域[]b a ,上连续，若0)()(<⋅b f a f ，则)(x f 在定义域[]b a ,上一定存在零点.
例（2011全国二）在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为 （ ）
A ．1(,0)4-
B ．1(0,)4
C ．11(,)42
D ．13(,)24
二、真题演练
1.（2017全国三）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ）
A ．12-
B ．13
C ．12
D ．1
2.(2018全国一)已知函数⎩⎨⎧>≤=0
,ln 0,)(x x x e x f x ，a x x f x g ++=)()(，若)(x g 存在两个零点，则a 的取值范围是__________.
三、课后作业
1.关于x 的方程015=--x x 的根所在大致区间为（ ）
A.)1,0(
B.)2,1(
C.)4,3(
D.)5,4(
2.已知）为常数（其中）（R x c b cx bx x x f ∈-++=,,735，若，
）（102=-f 则）（2f =________.。
