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1 / 24习题一一．填空题一．填空题1．ABC 2、50× 3、20× 4、60× 二．单项选择题二．单项选择题 1、B 2、C 3、C 4、A 5、B 三．计算题三．计算题 1．（1）略）略 （2）A 、321A A AB 、321A A A ÈÈC 、321321321A A A A A A A A A ÈÈD 、321321321321A A A A A A A A A A A A ÈÈÈ 2．解．解)()()()(AB P B P A P B A P -+=È=85812141=-+83)()()()(=-=-=AB P B P AB B P B A P87)(1)(=-=AB P AB P21)()()])([(=-È=ÈAB P B A P AB B A P3．解：最多只有一位陈姓候选人当选的概率为531462422=-C C C 4．)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=ÈÈ=855．解：（1）n Nn A P !)(=（2）nn NNn C B P !)(=、 （3）nmn m n N N C C P --=)1()(习题二一．填空题一．填空题1．0．8 2、50× 3、32 4、735、43 二．单项选择题二．单项选择题 1、D 2、B 3、D 4、B 三．计算题三．计算题1． 解：设i A ：分别表示甲、乙、丙厂的产品（i =1，2，3） B ：顾客买到正品：顾客买到正品)/()()(11A B P A P B P =)/()(22A B P A P +)/()(33A B P A P +=83.065.05185.0529.052=´+´+´ 8334)()/()()/(222==B P A B P A P B A P2．解：设iA ：表示第i 箱产品（i =1，2）i B ：第i 次取到一等品（i =1，2） （1）)/()()(1111A B P A P B P =)/()(212A B P A P +=4.0301821501021=´+´ （2）同理4.0)(2=B P（3）)/()()(121121A B B P A P B B P =)/()(2212A B B P A P +=19423.02917301821499501021=´´+´´ 4856.04.019423.0)()()/(12112===B P B B P B B P （4）4856.04.019423.0)()()/(212121===B P B B P B B P 3． 解：设i A ：表示第i 次电话接通（i =1，2，3）101)(1=A P 10191109)(21=´=A A P1018198109)(321=´´=A A A P所以拨号不超过三次接通电话的概率为3.0101101101=++如已知最后一位是奇数，则如已知最后一位是奇数，则51)(1=A P 514154)(21=´=A A P51314354)(321=´´=A A A P 所以拨号不超过三次接通电话的概率为60515151=++ 4．解：)()()(1)(1)(C P B P A P C B A P C B A P -=ÈÈ-=ÈÈ=6.04332541=-5．解：设21,B B 分别表示发出信号“A ”及“B ” 21,A A 分别表示收到信号“A ”及“B ”)/()()(1111B A P B P A P =)/()(212A A P B P +=30019701.031)02.01(32=+- 197196)()/()()()()/(111111111===A P B A P B P A P B A P A B P第一章 复习题一．填空题一．填空题1．0.3，0.5 2、0.2 3、2120 4、153，1535、158，32，31 6．4)1(1p --二．单项选择题二．单项选择题1、B2、B3、 D4、D5、A 三．计算题三．计算题1． 解：设i A ：i 个人击中飞机（i =0，1，2，3） 则09.0)(0=A P 36.0)(1=A P 41.0)(2=A P 14.0)(3=A PB ：飞机被击落：飞机被击落)/()()(11A B P A P B P =)/()(22A B P A P +)/()(33A B P A P ++)/()(00A B P A P +=458.0009.0114.06.041.02.036.0=´+´+´+´ 2．解：设i A ： i 局甲胜（i =0，1，2，3）（1）甲胜有下面几种情况：）甲胜有下面几种情况： 打三局，概率36.0打四局，概率12136.06.04.0××C打五局，概率122246.06.04.0××CP （甲胜）=36.0+11221136.06.04.0××C +1122222246.06.04.0××C =0.68256 （2）93606.06.0*4.0*6.06.0*4.0*6.06.0)()()()()/(2222321321212121=++===A A P A A A P A A P A AA P A A A P3．解：设A ：知道答案：知道答案 B ：填对：填对)/()()(A B P A P B P =475.0417.013.0)/()(=´+´=+A B P A P197475.0417.0)()/()()()()/(=´===B P A B P A P B P B A P B A P 4．解：设iA ：分别表示乘火车、轮船、汽车、飞机（i =1，2，3，4）B ：迟到：迟到)/()()(11A B P A P B P =)/()(22A B P A P +)/()(33A B P A P ++)/()(44A B P A P +=203052121101315141103=´+´+´+´2120341103)()/()()()()/(11111=´===B P A B P A P B P B A P B A P同理94)/(2=B A P 181)/(3=B A P5．解：A ：甲袋中取红球；B ：乙袋中取红球：乙袋中取红球)()()()()()()(B P A P B P A P B A P AB P B A AB P +=+=È =40211610106166104=´+´习题三 第二章 随机变量及其分布一、填空题一、填空题1、19272、23、134、0.85、010.212()0.52313x x F x x x <ìï£<ï=í£<ïï³î6、113~0.40.40.2X -éùêúëû二、单项选择题二、单项选择题1、B2、A3、B4、B 三、计算题三、计算题1、解：由已知~(15,0.2)X B ，其分布律为：1515()0.20.8(0,1,2,...,15)kk kP X k C k -===至少有两人的概率：(2)1(2)1(0)(1)0.833P X P X P X P X ³=-<=-=-==多于13人的概率：(13)(14)(15)P X P X P X >==+==02、解、解 设击中的概率为p ，则X 的分布率为的分布率为 X123456k p p （p p )1- （p p 2)1- （p p 3)1- （p p 4)1- （p p 5)1-+（6)1p -3、解：X 的分布律为：的分布律为：X34 5 k p0.10.30.6X 的分布函数为：0,30.1,34()0.4,451,5x x F x x x <ìï£<ï=í£<ïï³î4、解：由已知，X 的密度函数为：1,33()60,x f x ì-££ï=íïî其它此二次方程的22(4)44(2)16(2)x x x x D =-××+=--（1）当0D ³时，有实根，即2(2)021x x x x --³Þ³£-或 所以{}{21}{2}{1}P P X X P X P X =³£-=³+£-方程有实根或3123111662dx dx --=+=òò（2）当0D =时，有重根，即2(2)021x x x x --=Þ==-或所以{}{21}{2}{1}0P P X X P X P X ===-==+=-=方程有重根或 （3）当0D <时，无实根，1{}1{}2P P =-=方程有实根无实根 5、解：设X 为元件寿命，Y 为寿命不超过150小时的元件寿命。
习题答案1一、判断题1．× 2．× 3．× 4．× 5．√ 二、选择题1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．A. 7．A. 三、填空题 1．1；2．2k π，()k z ∈； 3．1，2π-， i ；4．12, 12;5．2, 3π-, 1;6．1- 7．1i erθ-8．cos sin 22i ππαα⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．810．0四、计算题1（1）解：i i2332++-2sin2cosππi i +==（2）解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ2．i i z i z ii z k k i k z z 232135sin 35cos1sin cos 23213sin 3cos 2,1,032sin 32cos1:3213-=+=-=+=+=+==+++=⇒-=ππππππππππ解3．解 令z a bi =+, 则222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a b i a b w z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b-=+++. 4．解（1）()ln 34i -+()()4ln 5arg tan 234ln 5arg tan 210,1,2,3i n i n n πππ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+-++=±±⎢⎥⎣⎦（2）1611cos sin 662i i iei e e πππ-+⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（3）()()()()1211ln 141i i k ii i i e eππ⎡⎤⎛⎫+-+ ⎪⎢⎥++-⎝⎭⎣⎦-==2244k i k l eππππ⎛⎫⎛+-+-++ ⎪ ⎝⎭⎝==24cos sin 44k ei ππππ-⎡⎤⎛⎛=-++-+ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦ 5．（1）解：i ii i 524321---- =i 2582516+ zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos3336．（1）解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）解：i i+12)4sin4(cos21ππi i +=+=习题答案2一、判断题1．× 2．√ 3．√ 4．√ 5．× 6．√ 7．√ 8．× 9．√ 10．× 二、选择题1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．A 10．A 11．C 三、填空题1．2101i n n π=⎧⎨≠⎩；2．整函数；3．{},z z i z C ≠±∈且; 4．2()k ik z π∈;5．(21)z k i π=+; 6．2π 7．1, 8．i 2π- 9．（2π ）或 （ 2π- ）10．1四、计算题1．解：31cos()sin()(1).332i ei πππ-=-+-=2．解：(1)由方程 240z -=得2z =±，故)(z f 的解析区域为\{2,2}C -.(2)222(42)()sin .(4)z e z z f z z z -+'=--3．解：由柯西－黎曼方程得2,v uy x y ∂∂=-=∂∂ 所以0(,)2()2().x v x y ydx C y xy C y =+=+⎰2()22,v ux C y x y x∂∂'=+==+∂∂所以0()()2.y C y C y dx C y C '=+=+⎰所以(,)22.v x y xy y C =++从而2()2(22).f z x y x xy y C i =-++++又(0) 2.f Ci i ==所以 2.C = 所以2()2(222).f z x y x xy y i =-++++ 4．解：由R C -条件可知： lxynxy 22=所以 l n =又222233ly x nx my --=+所以 3,3-=-=n l m 且即 ⎩⎨⎧-===31l n m5．（1）解：),(),(1)(2222y x iv y x u yx yi iy x x z z z z f +=+++===2222222222222222)()(2)(2)(y x y x v y x xyv y x xy u y x x y u y x y x +-=+-=+-=+-=当且仅当y x =时， )(z f 满足R C -条件，故当y x =时)(z f 可导，但在复平面不解析。
班级学号姓名考试科目高等数学[经管2] A 卷闭卷共3 页································································································密························封························线··································································································学生答题不得超过此线班级学号姓名考试科目高等数学[经管2] A 卷闭卷共3 页································································································密························封························线··································································································学生答题不得超过此线重庆理工大学考试试卷2013 ～ 2014 学年第 二 学期班级 学号 姓名 考试科目 高等数学 [经管2] A 卷 闭卷 共 3 页 ································································································ 密························封························线··································································································学生答题不得超过此线 5、计算二重积分3(e )d d x Dy x y +⎰⎰，其中积分区域D 是由x y =和1x =所围成。
习题一 定积分的概念与性质，微积分的基本公式一、单项选择题1、D2、B3、C4、C*5、D二、填空题1． 0 22x e dx -<<． 0 4．1x - 6．()()f b f a -7． 4π8．>三、求解题1．求下列函数的导数（1）解：()2x x ϕ'=（2）解：2324262()cos 2cos 3x x x e x x e x x ϕ'=⋅-⋅2．求下列极限：*(1)3x 0x x dt t 22⎰→arcsin lim*(2))2(1lim22n n n nn +++∞→解：230arcsin limx x x→+⎰解：221lim)n n n →∞+202arcsin 2lim3x x x x →+=1lim )n nn n→∞=+02arcsin 24lim 33x x x →+==11lim nn in →∞== 230arcsinlimx x x →-⎰0=⎰20arcsin 22lim 3x x x x →-⋅=23= 02arcsin 24lim33x x x →--==-故极限不存在。
3．证明：)(x φ=dt t f t x xa2)()(⎰-=22(2)()xax xt t f t dt -+⎰=22()2()()x x xaaax f t dt x tf t dt t f t dt -+⎰⎰⎰222()2()()2()2()()xxaax x f t dt x f x tf t dt x f x x f x ϕ'=+--+⎰⎰=2⎰-xadt t f t x )()(4．解：(1)x y e x '=-，令0y '=，得1x =，当1x <时，0y '<；当1x >时，0y '>，所以，函数y 在(,1)-∞内单调递减，在(1,)+∞单调递增，在1x =点处取得极小值1(1)(1)t y e t dt =-⎰=2e -.习题二 定积分的换元积分法，分部积分法一、计算题1．计算下列定积分(1)⎰--323)1(dx x (2)⎰-1212dt tet解：原式=332(1)(1)x d x ---⎰解：原式=2112201()2t ed t ---⎰=4321(1)4x --=654-2112t e -=-121e -=-(3)⎰-π3)sin 1(dx x (4)41⎰解：原式30sin dx xdx ππ=-⎰⎰解：原式41=⎰20(1cos )cos x d x ππ=+-⎰412=⎰301(cos cos )3x x ππ=+-411)= 43π=-32ln 2= (5)⎰+312211dx xx(6)⎰20xdx 2x πsin解：令tan x t =解：原式201cos 22xd x π=-⎰原式234ππ=⎰2201(cos 2cos 2)2x x xdx ππ=--⎰ 324sec tan t dt t ππ=⎰324cos sin t dt tππ=⎰2011(sin 2)222x ππ=---3241sin sin d t tππ=⎰341sin t ππ=-4π==(7)⎰230arccos xdx (8)⎰exdx 1ln sin解：原式0arccos x =-解：原式111sin ln cosln e ex x x x dx x =-⋅⎰0162π=-111sin1cosln sin ln e ee x x x x dx x=--⋅⎰12=-⋅1sin1cos11sin ln ee e xdx =-+-⎰1122=+故11sin ln (1sin1cos1)2e xdx e e =+-⎰2．解：令1x t -=，则⎰-2)1(dx x f 11()f t dt -=⎰01101111t dt dt e t -=+++⎰⎰ 令t e u =，则1011111(1)t e dt du e u u --=++⎰⎰1111()1e du u u -=-+⎰11ln 1e u u-=+ln 2ln(1)e =-++11001ln(1)ln 21dt t t=+=+⎰ ⎰-2)1(dx x f ln(1)e =+二、证明题1．证明：令1x t =-，则()111(1)nm m n x x dx t t dt -=--⎰⎰1(1)m n t t dt =-⎰1(1)m n x x dx =-⎰2．证明：令x t =-，则()()bbbbf x dx f t dt --=--⎰⎰()bbf x dx-=-⎰3．证明：令1x t=，则111222111()11x x dx dt x t t -=-++⎰⎰12111x dt t =+⎰12111xdx x =+⎰ 4．证明：0()()xx f t dt ϕ--=⎰，令t u =-，则0()()()xx x f t dt f u du ϕ--==--⎰⎰又()f u 是奇函数()xf u du =⎰)x ϕ=（即⎰=xdt t f x 0)()(ϕ是偶函数.习题三 广义积分，定积分的几何应用一、选择题1.B2.C3.D 二、填空题1．1≤， >1,11α-；1≥， <1 ，11α-6，(1)r -. 三、计算题1．判断下列反常积分是否收敛，若收敛计算其值(1)dx x x 1e2⎰+∞ln (2)()dx x 1x 11002⎰∞++ 解：原式21ln ln ed x x +∞=⎰解：原式()21001(1)2(1)11x x dx x +∞+-++=+⎰ 11ln ex+∞=-=()()()98991001121()(1)111d x x x x +∞=-+++++⎰97111()29798994-=-+⨯ (3)⎰-111dx x(4)⎰1ln xdx解：原式1(1)x =--⎰解：原式10(ln 1)x x =-11202(1)x =--2=1=-2．解：⎰∞+2)(ln 1dx x x k 21ln (ln )k d x x +∞=⎰212ln ln 11(ln ) 11k x k x k k+∞-+∞⎧=⎪=⎨≠⎪-⎩ 11ln 211k k k k -≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩发散 令1(ln 2)()1x f x x -=-，则112(ln 2)ln ln 2(1)(ln 2)()(1)x xx f x x ---⋅--'=- 11ln ln 2x =-为驻点，且111ln ln 2x <<-时，()0f x '<；11ln ln 2x >-时，()0f x '>， 所以11ln ln 2k =-时，⎰∞+2)(ln 1dx x x k 1(ln 2)1k k -=-取得最小值。
习题一一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. × 7. ×二、 1. A 2. D3. B4. A三、1. 直线y x =2. [ -1，3 ）3. 1[,0]2- 4.奇 5. 2log 1x y x =- 6.3,,sin u y e u v v x === 四、1(2)3f x x +=+，221()1f x x=+， 11(())1211xf f x x x+==+++，11()()2f f x x =+习题二一、 1. ∨ 2. × 3. × 4. ∨ 5. ∨ 6. × 二、 1. B 2. B3. A4. C三、 （1）22110n n ε-=<取N =即可（3）sin 10n n nε-≤< 取1[]N ε=即可四、根据条件，0ε∀>，N ∃，当n N >时，有0n n x y M ε-≤即证。
习 题 三一、 1. × 2. × 3. × 二、 1. C2. D3. C4. C四、（1）证明：0ε∀>，要32832x x ε+-=-< 取3εδ=即可（2）0ε∀>，要242x x ε+-=-< 取δε=即可 （3）0ε∀>，要213211x x x ε---=<++ 只要31x ε>+即可五、 1)lim 1x x x-→=-，0lim 1x x x+→=limx x x→不存在2)1lim ()2x f x +→=，1lim ()2x f x -→= 1lim ()2x f x →=2lim ()5, lim ()0x x f x f x →→==习题四一、1. ∨2. ×3. ∨4. ∨5. ×6. ×7. × 8. ∨ 9. ×10. × 11. ∨ 12. ×二、 1. D 2. C 3. B 4. D5. D三、 (1) 2131lim11x x x →-+=-+(2) 2211112lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 202lim2h hx h I x h→+== (4) 23I =(5) 0I =(6) 422lim13x x I x →-==-(7) 11133lim 1213n n I +→∞-==-(8) 111lim (1)2212n n →∞-=+(9) 23211132limlim 111x x x x x I x x x →→++-+==-=--++ (10) 15I =(11) I =+∞ (12) 0I =(13) 由于lim 1lim1x x ==-，故原极限不存在。
1、级数为( )•A、发散•B、条件收敛但不绝对收敛•C、绝对收敛但不条件收敛•2、曲线在t=2处的切向量是（）。
•A、(2,1, 4)•B、(4,3, 4)•C、0•3、在)处均存在是在处连续的（）条件。
•A、充分•B、必要•C、充分必要•4、设a为常数，则级数( )•A、绝对收敛•B、条件收敛•C、发散•5、二元函数的定义域是（）。
•A、•B、•C、•D、6、方程表示的曲面是（）。
•A、圆•B、椭球•C、抛物面•D、球面7、有且仅有一个间断点的函数是（）。
•A、•B、•C、•D、8、下列级数中,收敛级数是()•A、•B、•C、•D、9、按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体的温度和空气的温度之差成正比。
已知空气温度为300C,而物体在15分钟内从1000C冷却到700C，求物体冷却到400C所需的时间为（）分钟。
•A、50•B、51•C、52••A、平行于z轴•B、垂直于x轴•C、平行于y轴•11、若满足，则交错级数。
•A、一定发散•B、一定收敛•C、可收敛也可发散•12、下列无穷级数中发散的是（）。
•A、•B、•C、•D、13、下列说法正确的是（）。
•A、两直线之间的夹角范围在•B、两平面之间的夹角范围在•C、两向量之间的夹角范围在•D、直线和平面之间的夹角范围在14、级数收敛，则参数a满足条件（）•A、 a>e•B、a<e•C、 a=e•15、下列方程中( )是表示母线平行于y轴的双曲柱面。
•A、•B、•C、•D、16、求点(1,2,3)到平面的距离是（）。
•A、0•B、1•C、•17、以下各方程以为解的是（）。
•A、•B、•C、•D、18、，且收敛，则( )。
•A、绝对收敛•B、条件收敛•C、收敛•20、设，u=cos x, v=sin x,则=（）。
•A、0•B、 -1•C、1•19、当k =（）时,平面与互相垂直。
•A、0•B、1•C、-1•D、321、二元函数的定义域是( )。
重庆理工大学考试试题卷2011～2012学年第二学期班级学号姓名考试科目概率论与数理统计【理工】A卷闭卷共 2 页,,X是来自正态总体6重庆理工大学考试试题卷2011～2012学年第二学期班级学号姓名考试科目概率论与数理统计【理工】A卷闭卷共 2 页X为来自总体,,n2011～2012学年第二学期班级学号姓名考试科目概率论与数理统计【理工】A卷闭卷共 2 页····································密························封························线································学生答题不得超过此线重庆理工大学考试答题卷2011～2012学年第二学期班级学号姓名考试科目概率论与数理统计【理工】A卷闭卷共 2 页····································密························封························线································。
班级学号姓名考试科目高等数学2（机电）A卷闭卷共 2 页····································密························封························线································学生答题不得超过此线处沿l=（B.（）B.2,)，则级数、发散 C到点(1,1)的一段弧，则曲线积分班级 学号 姓名 考试科目 高等数学2（机电） A 卷 闭卷 共 2 页 ···································· 密························封························线································学生答题不得超过此线计算(24)Lx y dx -+⎰求()(x y dydz y ∑++-⎰⎰22x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中求微分方程23y y '''+-四、应用题（本题6分）得分 评卷人高等数学2（机电）（A 卷）参考答案与评分标准一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。
重庆大学理工考试真题及答案在追求知识的道路上，每一次考试都是一次检验和挑战。
对于重庆大学理工专业的学子们来说，历年的考试真题更是宝贵的学习资源。
接下来，让我们一同深入探讨一些重庆大学理工考试的真题以及对应的答案。
首先，我们来看一道物理学方面的真题。
题目是：“一个质量为 m 的物体在光滑水平面上，受到一个水平恒力 F 的作用，经过时间 t 后，物体的速度变为 v，求力 F 的大小。
”这道题考查了牛顿第二定律的知识点。
答案：根据牛顿第二定律 F ＝ ma ，而加速度 a ＝（v 0) ／ t ＝ v ／ t ，所以 F ＝ m （v ／ t) 。
再看一道化学真题：“在一定温度下，将 2 mol A 气体和 3 mol B 气体通入一固定容积的密闭容器中，发生反应：2A(g) ＋ 3B(g) ⇌ xC(g) ＋ yD(g)，反应进行到 5 分钟时达到平衡，此时容器内压强是起始时的08 倍。
已知 A 的平均反应速率为 02 mol/（L·min)，求 x 和 y 的值。
”答案：因为压强之比等于物质的量之比，起始时气体总物质的量为5 mol，平衡时为 4 mol。
2A(g) ＋ 3B(g) ⇌ xC(g) ＋ yD(g)起始（mol） 2 3 0 0变化（mol） 1 15 05x 05y平衡（mol） 1 15 05x 05y所以 1 ＋ 15 ＋ 05x ＋ 05y ＝ 4 ，又因为 A 的平均反应速率为 02mol/（L·min)，所以 02×5×V ＝ 1 ，解得 V ＝ 1 L 。
将 V ＝ 1 L 代入上式，解得 x ＋ y ＝ 4 。
接着是一道数学真题：“已知函数 f(x) ＝ x³ 3x²＋ 2，求函数的极值。
”答案：对函数求导得 f'（x) ＝ 3x² 6x ，令 f'（x) ＝ 0 ，解得 x ＝ 0或 x ＝ 2 。
习题一一．⨯⨯⨯ √√√√ 二．A D C三．xoy 面 (-2,3,0) -2a a b + a b - 坐标面四．11cos ,cos 222αβγ-=== （11,222-）五． （1）（－1，3，3） （2） （3）cos αβγ=== 习题二一．⨯⨯⨯⨯√二．C D 三．1．（－4，2，－4） 2. －10, 23. 74. 4π5. 四．152S = 五．5，－8，2） 习题三一．⨯√⨯ 二．CDDCC三．1．2± 2. 2223x y z ++= 3. 225y z x += 4.3π 四．1．由xoz 面上的曲线22z x =绕z 轴旋转得到的2．由xoy 面上的曲线22194x y +=绕x 轴旋转得到的习题四一．⨯√⨯二．BD 三．1．点（417,33--），过点（417,,033--）平行于z 轴的直线 2．221,(0,0,3),13x y z ⎧+=⎨=⎩ 3． 2(1)21y x z x ⎧=-⎨=-⎩四．3sin x y z ααα⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩五．在xoy 平面的投影曲线2210x y x y z ⎧+++=⎨=⎩在yoz 平面的投影曲线22(1)0x y z zx ⎧+--=⎨=⎩在xoz 平面的投影曲线22(1)0x x z zy ⎧+--=⎨=⎩习题五一． D CC二． 1. 375140x y z -+-= 2.（1，－1,3） 3. 1034. －4, 3 三．78120x y z +++=四．93160x y z -+-=五． 面方程：330y x x y =+= 或 习题六一． D B A C二．1．123010x y z ---== 2. 111213x y z ---==-，参数方程：12,1,13x t y t z t =-=+=+ 3．－1 三．直线方程：111925x y z ---==- 四．510x y z ++-=第八章 复习题一．⨯√√⨯⨯ 二．BBB三．1． 0 2. 222(3)(1)(1)21x y z -+++-= 3. 22()(1)3/2x y z +++= 4. 2 5. 22422,x z y z x y =+=+ 6．231122023x y z ---==四． (1,6,3)-arcsin133α== 163132x y z +--== 五．(2,9,6) 六．222(1)(2)(1)49x y z ++-+-=习题七一．⨯ √ ⨯二、D C 三、1、 (,)f x y xy =2、 03、 22{(,)sin()10}x y x y +-= 四、 1、 13 2、 6 3、 124五、由于2422(,)(0,0)0limlim 01x y x y xx y xx y x →→===++，2244244(,)(0,0)01lim lim 2x y x y xx y x x y x x →→===++ 所以极限不存在习题八一．⨯ ⨯二、D B 三、1、 8-2、 0 四、1、222334323cot ; cot z x x z x x x y y y y y∂∂==-∂∂2、z z x y ∂∂==∂∂4、2222222212232ln 2ln ;; y y y z z z u y u y x u y x x x x x z y z z z -∂∂∂===-∂∂∂ 五、1、21ln ;(1ln )xx z z y y y x y x x y-∂∂==+∂∂∂ 2、322222222ln();()z x z xy x x y x x y x y x y ∂∂=++=∂+∂∂+ 习题九一．⨯ ⨯二、D C三、1、2dz dt =2、1ln ln yz yz yz du yzx dx zx xdy yx xdz -=++3、22322321()xx dz x e dx x e +=++四、 1、5(,)(,);420.125z f x x y y f x y dz ∆=+∆+∆-=-=-2、2121221; 2z z x f y f f xyf x y y y∂∂''''=+=-+∂∂ 3、222;6z zxf yg xy f g yg x x y∂∂'''''''=+=++∂∂∂ 4、令2, 32u x y v x y =+=-则13213223ln 2(32)(2)3(2)ln(2)v v x y x y z z u z vvu u ux u x v xx y x y x y x y ----∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂=-++++ 五、证明：[()()][()] ()()() z z yxy x y F u F u y x F u x y xxy xF u yF u xy yF u z xy∂∂''+=+-++∂∂''=+-++=+ 习题十一、 1.×2. × 二、 D B C 三、 1. 3 2.1uye+ 四、 1.223363cos 4xx y e y x y--a) x yz x=-y z xz z e xy =-b) 222222xy x z z y e z x ye --+=-+ 2242z xyy ze xye z x ye----=+ c)习题十一一、 × × 二、 C C三、 1． 2．(3,12.6)-- 3．1(1,2,3)18-四、 1 2461)e --+3．32- 4．0习题十二一、 × × 二、 B A三、 1．23140x y z +-+= 四、 2．610170x y z ++-= 五、 1．3412412y z x ---==- 1141202x y z +--=六、 2．112x y π-+=-=402x y π++--=七、 3．1218300x y z ++-= 1112181x y z--==习题十三一、 × ∨二、 B A D 三、 1．36 2．18四、 1．(1,3)为极大值点，极大值为10 2．14e --- 3． 6, 2-极大值极大小值 五、 6,6,3x y z ===复习题一、 ∨ × 二、 D C三、 1．xy 2．22sin()10x y +-= 3．{}2222(,)165x y x y x y ≤+<+≠且 4．0 四、 1．312322uxy zf yf xf x∂'''=++∂ 五、 2．3222221d [(22)d (43)d 34z x xz z yz y y x z y z=--++六、 3516)e --七、习题十四一、 1．323R π 2．0 3．6π 二、 A B 三、 1．20I π≤≤ 2．36100I ππ≤≤习题十五一、 1. 2340 2．916 3. 24320- 4．8(1cos1)3- 二、 1．22d (,)d yy f x y x ⎰⎰习题十六一、 1．1(1)e π-- 2．322()323R π- 二、 1．414a 2．332()3b a π- 三、 (1cos1)π- 四、 4332a π习题 十七一、 1．22a π 2．0二、 1．d (,,)d Rx y f x y z z ⎰三、 2．2221212d (,,)d x x y x y f x y z z --+⎰⎰四、 1．15(ln 2)28- 2．1445五、 64π习题十八一、1、211(cos sin )d d dz πρθρρθρθρ+⎰⎰⎰ 2、2320sin ad d r dr ππθϕϕ⎰⎰⎰二、1、原式=2cos 122202169z d d dz d d z dz πθπρρθθρρ-Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2、原式=222233102163d d dz d d dz πρπρρθθρρΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 三、原式=422cos 33408sin sin (15a a r drd d d d r dr ππϕπϕϕθθϕϕΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、1、原式=2cos 332000sin sin 10r drd d d d r dr ππϕπϕϕθθϕϕΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2、原式=22212283z d d dz d d z dz πρπρρθθρρΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 习题十九一、DD DA d d ρθ===⎰⎰⎰⎰=21)6d d ππθρ=-⎰⎰二、112cos 33301922cos sin 2cos sin 8DD D M x y dxdy xydxdy d d d d πθρθθρθθρθθρ=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、将扇形顶点放在坐标原点，取y 轴为中心轴，则质心为(0,)y2232220211,222sin sin sin 3D aDDy ydxdy A a a A aydxdy d d z d d dz d d παπαααρθρθρρθθρθρα+-Ω==⨯=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2sin 3a y αα=， 质心为2sin (0, )3a αα四、42cos 232322025cos cos 4R y DD R I x dxdy d d d d πθππρθρθθρθρ-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰五、（1）422228()()3aaa a Da V x y dxdy dx x y dy --=+=+=⎰⎰⎰⎰（2）22201170,0,15a a x y a a a x y z zdv dx dy zdz V V +--Ω=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 质心为27(0,0, )15a （3）2222226112()()45a ax y z aaI x y dv dx dy x y dz a ρρρ+--Ω=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰第十章 复习题一、 1、1102(,)ydy f x y dx -⎰⎰2、12e e -+- 3、5415R π 4、34R π 二、B C A三、原式=2340116Dd d d d ππθρθθθρ==⎰⎰⎰⎰四、原式=2524833100243d d dz d d dz πρρρθθρρπΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰五、DDA ===六、原式=4242404sin cos sin sin cos sin 15r drd d d d dr ππϕϕθϕθθϕϕϕθΩ==⎰⎰⎰⎰⎰习题二十一、1、2320(1)a t t dt π+⎰ 2二、B A三、1、原式112+= 2、 原式=222001)22tt dt e e==-⎰⎰ 3、原式=11()()()1OAABOBx y ds x y ds x y ds xdx ydy +++++=+=+⎰⎰⎰⎰⎰4、原式=22212n n n LR ds R s R π+==⎰5、AB 的方程为001x y z==，即参数方程为0,0,x y z t === 同理可得,BC CD 的参数方程分别为,0,2x t y z === 1,,2x y t z ===322200029ABBCCDI x yzds x yzds x yzds tdt =++=++=⎰⎰⎰⎰习题二十一一、1、394-2、1320(10592)t t t dt +++⎰，323二、BC三、1、（1）原式=1021xdx =⎰ （2）原式=1220()()21x x x x x dx ⎡⎤++-⋅=⎣⎦⎰ （3）原式=11(0)(1)1y dy x dx -++=⎰⎰2、圆弧的参数方程为：cos ,sin x t y t ==原式=220cos sin cos cos sin (sin )4t t t t t t dt ππ⎡⎤--=⎣⎦⎰ 3、圆的参数方程为：cos ,sin x a a t y a t =+= 原式=230(1cos )sin (sin )a t a t a t dt a ππ-+-=⎰习题二十二一、1、(3)(2)24LDx y dx y x dydxdyπ++---⎰⎰⎰2、F Fxy y x∂∂=∂∂ 二、D D三、1、22,P x y Q y x ==22322()()(sin cos )DD DQ PI d y x d d d x y σσρθθρθ∂∂=-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2cos 322202(sin cos )d d πθπθρθθρπ-=-=-⎰⎰2、222211222LDI xdy ydx d R R R Rσππ=-==⨯=⎰⎰⎰ 3、24,356P x y Q x y =-+=+-()4412DDQ PI d d x y σσσ∂∂=-===∂∂⎰⎰⎰⎰ 四、222cos sin ,2cos sin P x y y x Q y x x y =-=-2sin 2sin ,2sin 2sin P Q x y y x y x x y y x ∂∂=--=--∂∂ P Qy x∂∂=∂∂，∴积分与路径无关 原式=232(2cos24sin )9cos24cos3xdx y y dy +-=+⎰⎰习题二十三三、1、2、∑的方程为：224z x y =--ds ==原式=2237(210xyD x y π--=⎰⎰ 3、∑的方程为：z =ds ==原式=2223300(xyxy D D x y d d d d πρρθθρ+===⎰⎰⎰⎰3、:z ∑=ds ==原式=3(xyxyxyxyD D D D x y adxdy a a σπ+=--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题二十四一、1、(cos cos cos )P Q R r ds αβ∑++⎰⎰ 2、0二、1、C 2、C三、1、原式=220082(2)2(2)3xyx D x y dxdy dx x y dy ---=--=⎰⎰⎰⎰2、:z ∑=原式=22522(cos sin xyxyD D x y dxdy d ρθρθ-=⎰⎰⎰⎰72522002cos sin105a adππθρθρ==⎰⎰3、原式=18四、（1）32(3,2,23)(,,(cos,cos,cos)555nnn enαβγ====原式=3255R P Q ds∑⎤++⎥⎣⎦⎰⎰（2）(2,2,1)n x y'=---外侧法向量(2,2,1)n x y=((cos,cos,cos)14nnenαβγ===+原式=ds∑⎡⎤⎰⎰习题二十五一、1、108π 2、2sin2cos()xyye x xy z xz--3、(2,4,6)二、1、原式=2224()sinz x y dv r drd dϕθϕΩΩ++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=52420002sin5a ad d r drπππθϕϕ=⎰⎰⎰2、原式=(111)381dv VπΩ++==⎰⎰⎰3、原式=1110003(42)(4)2z y y dv dx dy z y dzΩ-+=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、1、20π-2、03、9π第十一章复习题一、 1、32 2、π- 3、 VP dv x ∂∂⎰⎰⎰ 4、 343a π 二、 B三、 1、 π 2、 3ab π- 3、 288π四、2I R = 五、152I =习题二十六 常数项级数的概念与性质一、× × √ × 二 D B A 三1、 12、11n u u +- 1u ;3、1(21)(21)n n +-4、 2四 发散; 发散; 发散; 发散; 发散 五 级数∑∞=+-+11))(1(n n n u un 收敛1132112312)1()())(1()(3)(2lim u u n u u u u u u n u u u u s n n n n n n -++++++-=-+++-+-=++∞→ 存在而0lim =∞→n n nu ,得到级数∑∞=1n nu的部分和收敛,得到此级数收敛.习题二十七 正项级数及审敛法一 × √ √ 二 1、p<-2; 2、+∞ 3、21>α三 1、 1111lim 32=++∞→nn n n ,此级数发散;2 、122sinlim=∞→nn n ππ,此级数收敛;3、 111tanlim33=++++∞→n n n n n ππ,此级数收敛;4、 1α>时收敛, 1α≤时发散 四、 1 发散; 2 收敛; 3 收敛 五、 收敛六 、级数e n n n n n u u n n n n n n n n nn n n n 2)111(])111[(2lim )1()1(2lim lim ,!211)1(111=+-+-=++=--+-∞=∞→+∞→+∞→∑ 此级数收敛,得0!2lim =∞→n n n nn习题 二十八 交错级数,绝对收敛与条件收敛一 C D C C二 1 绝对收敛; 2 发散; 3 1≤a 时绝对收敛,1>a 发散;4 绝对收敛;5 条件收敛;6 条件收敛三 )(2)(,222222n n n n n nn n v u v u v u v u +≤++≤,即可得到级数收敛. 习题二十九 幂级数一B D D A B 二1、 )3,3[-; 2 、)2,2(-; 3、 )6,4[三 122 (1,1),();(1)xs xx-=-2 、11(1,1),()ln,212xs xxx+-=-=习题三十函数展开成泰勒级数一 1、∑∞=-+11)!1(nnxn;2、222)1(+-=nnna;3 、∑∞=++-14)!2)(14()1(nnnnnx;4、∑∞=0!)(lnnnnxna5 、∑∞=-+11)!1(nnnnx，1二 1、2111(1)4,2(2)!nn nnxx Rn∞-=-∈∑;2、]1,1(,)2)(1(1)1(2-∈++-++∞=∑xxnnx nnn三、1111(1)(3),(10,6)333(1)3n nnnx xxx∞+===--∈--+∑四、211111114432123(1)2(1)3211()(4),(6,2)23nn nnx xx x x xx x∞++==-=-+++++++--=-+∈--∑五∑∑∞=∞=--===--+=-=11112)(212ln ,1,)2(21)1(2ln ln ,21)1(!)(ln n nn nn n n n x n n x x n x n n x 习题三十一 傅里叶级数一、 B B A 二 、21)2197(,1)2(,1)(,21)23(ππππππ+===+=-s s s s 三、),()sin 4cos 22(21)(,4)1(sin 1cos 2sin 2cos 1cos 2]cos )1(cos [111])1([1...4,2,2...3,1,22cos 1sin 2cos 2sin 1sin 2]sin )1(sin [121)(,)12(,21)(,22200200000200ππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππk x R x x n x x f n n nx nx n nx x n nxdxnxdx x nxdx x dx nx x a dx dx x dx x a n nn n n nxnx n nx x n nxdxnxdx x nxdx x dx nx x b x f k x x f k x n n n ≠∈+-++=-=++=+=++===++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-+-=+=++==+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---四、22002122sin 4cos cos []sin 4(1)n nnx a x nxdx x nxdx x nxdxn n n πππππππππ-===-=-⎰⎰⎰2201230n a x dx b ππππ-===⎰ 2214()(1)cos ,[,]3nn f x nx x n πππ∞==+-∈-∑2214()(1)cos ,[,]3n n f x nx x nπππ∞==+-∈-∑2222222110,4(1)0321,4(1)321(21)8n x x n πππππ∞==+-++==+++==-∑ 第十二章 复习题一 √ √ × × × 二C C D 三 1、 )1,1[-; 2 、a>1; 3 、 2;4、 1 2;5、 ],0[),3cos 31(cos 422πππ∈++-=x x x x ; 6、∑∞=++0122221n n n x四、 1 发散; 2 收敛; 3 收敛; 4 发散 五、 1 条件收敛;2 条件收敛六、 )51,51[,51,515353lim lim111-==+++=++∞→+∞→R n n u u n n n n n nn n 七、 ]1,1(,arctan )(-∈=x x x s 八、 2e。
