重庆理工大学大一高等数学C1练习册答案

高等数学c1期末考试试卷和答案**高等数学C1期末考试试卷**一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 极限lim(x→0) (1-cosx)/x的值为（）。

A. 0B. 1C. -1D. 23. 以下哪个函数是偶函数（）。

A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = x^2 + xD. f(x) = x^2 - x4. 以下哪个积分是发散的（）。

A. ∫(0,1) 1/x dxB. ∫(0,1) x dxC. ∫(0,1) 1/√x dxD. ∫(0,1) x^2 dx5. 以下哪个级数是收敛的（）。

A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x)=x^3-3x的导数为______。

7. 函数f(x)=e^x的不定积分为______。

8. 函数f(x)=ln(x)的不定积分为______。

9. 函数f(x)=x^2+3x+2的极值点为______。

10. 函数f(x)=x^3-3x的拐点为______。

三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^2+x-2)。

12. 计算定积分∫(0,2) (x^2-2x+1) dx。

13. 计算二重积分∬(D) x^2+y^2 dA，其中D是由x^2+y^2≤1所定义的区域。

四、证明题（每题10分，共20分）14. 证明函数f(x)=x^3在(-∞,+∞)上是增函数。

15. 证明对于任意x∈(0,1)，有ln(x)<x-1。

**高等数学C1期末考试试卷答案**一、选择题1. C2. B3. B4. A5. C二、填空题6. 3x^2-37. e^x + C8. x*ln(x) - x + C9. x=-3/2 或 x=110. x=0 或x=±√3三、计算题11. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^2+x-2) = 1。

高等数学c1教材答案一、选择题答案1. D2. B3. A4. C5. D6. B7. A8. C9. A10. B二、填空题答案1. -12. 1203. 24. π/45. 1/26. 47. 38. 09. 2/310. -2π三、解答题答案1. (a) 首先，我们要找到函数f(x)=x^2-4x+3的极值点。

对该函数求导可得f'(x)=2x-4，令f'(x)=0解得x=2。

其次，我们求得f''(x)=2，由f''(x)>0可知2为极小值点。

因此，函数f(x)在x=2处取得极小值，极小值为f(2)=(2)^2-4(2)+3=-1。

所以，函数f(x)=x^2-4x+3在x=2处取得极小值-1。

(b) 接下来，我们来求函数f(x)=x^3-3x+2的极值点。

对该函数求导可得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0解得x=1或x=-1。

然后，对f''(x)=6x进行求导，得到f''(x)=6。

由f''(x)>0可知1和-1均为极小值点。

所以，函数f(x)=x^3-3x+2在x=1和x=-1处都取得极小值，极小值分别为f(1)=0和f(-1)=4。

2. 首先，我们要求解方程组：x^2+y^2=25 ---(1)x+y=7 ---(2)然后，将方程(2)代入方程(1)中，得到2x^2+14x+24=0。

求解该二次方程可得x=-3和x=-4。

当x=-3时，由方程(2)可得y=10；当x=-4时，由方程(2)可得y=11。

所以，方程组的解为(-3, 10)和(-4, 11)。

四、证明题答案1. 设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2。

根据题意，直线l1过点A(1, -2)，且与直线l2垂直，因此l1的斜率为-k2/k1。

根据直线l1和直线l2的斜率相乘得-1的性质，我们可以得到：k1 * (-k2/k1) = -1。

习题一一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. × 7. ×二、 1. A 2. D3. B4. A三、1. 直线y x =2. [ -1，3 ）3. 1[,0]2- 4.奇5. 2log 1x y x =- 6.3,,sin u y e u v v x ===四、1(2)3f x x+=+，221()1f x x=+，11(())1211x f f x xx+==+++，11()()2f f x x=+习题二一、 1. ∨ 2. × 3. × 4.∨5. ∨6. × 二、 1. B 2. B3. A4. C三、 （1）22110nnε-=<取1N =即可（3）sin 10n n nε-≤<取1[]N ε=即可四、根据条件，0ε∀>，N ∃，当n N >时，有0n n x y M ε-≤即证。

习 题 三一、 1. × 2. × 3. × 二、 1. C2. D3. C4. C四、（1）证明：0ε∀>，要32832x x ε+-=-< 取3εδ=即可（2）0ε∀>，要242x x ε+-=-< 取δε=即可 （3）0ε∀>，要213211x x x ε---=<++只要31x ε>+即可五、 1)lim 1x x x-→=-，0lim 1x x x+→=limx x x→不存在2)1lim ()2x f x +→=，1lim ()2x f x -→=1lim ()2x f x →=2lim ()5, lim ()0x x f x f x →→==习题四一、 1. ∨ 2. × 3.∨4. ∨5. ×6. ×7. × 8. ∨ 9. ×10. × 11. ∨ 12. ×二、 1. D 2. C 3. B 4. D5. D三、 (1) 2131lim11x x x →-+=-+(2) 2211112limlim21213x x x x x x x →→-+==--+(3) 22lim 2h hx hI x h→+==(4) 23I =(5) 0I =(6) 422lim13x x I x →-==-(7) 11133lim1213n n I +→∞-==-(8) 111lim(1)2212n n →∞-=+(9) 23211132limlim111x x x x x I xx x→→++-+==-=--++(10) 15I =(11) I =+∞ (12) 0I =(13) 由于2lim 1lim1x x x→+∞→-∞==-，故原极限不存在。

大一高等数学教材习题答案《大一高等数学教材习题答案》第一章：函数与极限1.1 函数的概念1.1.1 实数集与数轴实数集是指所有有理数和无理数的集合。

数轴是以0为原点，正负数按照一定间隔排列的直线。

1.1.2 函数的定义与性质函数是指具有一对一对应关系的集合间映射关系。

函数具有唯一性和确界性。

1.1.3 函数的表示与运算函数可以用表格、图像、公式等形式来表示。

常见的函数运算有加减乘除、复合运算等。

1.2 极限的概念1.2.1 数列极限数列极限是指随着自变量趋于无穷大时，函数值趋于某个确定的常数。

常见的数列极限有等差数列、等比数列等。

1.2.2 函数极限函数极限是指当自变量趋于某一点时，函数值趋于某个确定的常数。

常见的函数极限有常数函数、多项式函数等。

1.3 极限运算法则1.3.1 四则运算法则对于函数的加减乘除运算，可以通过对函数的极限进行运算得到最终结果。

1.3.2 复合函数的极限运算对于复合函数，可以先求内层函数的极限，再将结果代入外层函数中求解最终结果。

1.3.3 连续函数的极限运算对于连续函数，可以直接将自变量的极限带入函数中得到函数的极限。

第二章：导数与微分2.1 导数的概念2.1.1 导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，可以用极限的形式表示。

导数的存在性意味着函数在一点上可导。

2.1.2 导数的几何意义导数的几何意义是函数曲线在某一点上的切线斜率。

切线斜率越大，函数曲线越陡峭。

2.2 导数的基本性质2.2.1 可导函数的连续性可导函数一定是连续函数，但连续函数不一定可导。

2.2.2 导数的四则运算法则对于函数的加减乘除运算，可以通过对函数的导数进行运算得到最终结果。

2.2.3 复合函数的导数运算对于复合函数，可以利用链式法则求导数，先求内层函数的导数，再将结果代入外层函数的导数中。

2.2.4 反函数的导数如果函数在某一区间上单调可导，那么它的反函数也存在导数。

2.3 微分的概念2.3.1 微分的定义微分是函数在某一点上的近似线性变化量，可以用导数与自变量的乘积表示。

1、函数，若在处连续，则＝______
正确答案是：0
2、设曲线过，且其上任意点的切线斜率为，则该曲线的方程是__________ 正确答案是：
3、设则 __________。

正确答案是：36
4、设,则______
正确答案是：
5、已知在区间上单调递减，则的单调递减区间是______ 。

正确答案是：
6、=______
正确答案是：1
四、计算题(共 2 题、0 / 16 分 )
1、利用基本积分公式及性质求积分。

正确答案是：原式=
2、求。

正确答案是：=ln 1-ln 2=-ln 2.
牛顿-莱布尼兹公式
1、验证拉格朗日定理对函数在区间[0，1]上的正确性.
正确答案是：
因为在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，满足拉格朗日定理的条件. 由得
解得，即存在使得拉格朗日定理的结论成立.
六、证明题(共 1 题、0 / 20 分 )
1、利用极限存在准则证明：。

正确答案是：∵
且，，由夹逼定理知
用夹逼准则。

高等数学1C 习题解答习题一一．单项选择题1、A2、D3、C 二．填空题1、22)1(133-+-x x x 2、（－9，1）三．计算题 1、（1）解 函数要有意义，必须满足⎩⎨⎧≥-≠0102x x 即⎩⎨⎧≤≤-≠110x x 定义域为]1,0()0,1(⋃- （2）解 函数要有意义，必须满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≠≥-111003x x x 解得1-≤x 或31≤≤x 3．（1）解 由1-=x e y 得 1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y（2）解 由11+-=x x y 得 yyx -+=11 交换x 、y 得反函数为x x y -+=11 4．（1）解 只有t=0时，能；t 取其它值时，因为 112>+t ，x arcsin 无定义（2）解 不能，因为11≤≤-x ，此时121-=x y 无意义 5．解（1）12arccos 2-====x w w v v u ey u(2) 令22y y y += 则11ln 21+=+==x u u v v y x w e m m x v v u ey wu2)sin(32==+===6．解 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤+≤<-+->-=1101)1(0)]([22x x x x x x x f g7．解 设c bx ax x f ++=2)(所以⎪⎩⎪⎨⎧==++=++41242c c b a c b a 解得 25214-===b a c习题二一．单项选择题1、A2、B3、D 二．填空题1、>12、单调增加 三．计算题1、（1）解 因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数 （2）解 因为)()1ln(11ln )1ln()(222x f x x xx x x x f -=-+-=-+=++=-所以函数是奇函数（3）解 )(0)1(000)1(010001)(x f x x x x x x x x x x x f -=⎪⎩⎪⎨⎧>+-=<--=⎪⎩⎪⎨⎧<---=->-+-=- 所以函数是奇函数 2．解 因为 x x y 2cos 2121sin 2-== 而x 2cos 的周期为π，所以x y 2sin =是周期函数，周期为π 3．解 由h r V 231π=得23rv h π= 表面积： )0(919221226224222222≥++=++=+⋅+=r r v r r r r v r r r r h r s πππππππ四 证明 )()1()1(11)(x f e e e e e e x f xx x x x x -=+-=+-=--- 习题三一．单项选择题1、C2、C3、B4、C 二．填空题1、12、a3、≥4、2，05、1 三．判断正误1、对；2、对；3、错 四．（1） 证明 令12+=n nx n ε<=<+=-n nn n n x n 11022 只要ε1>n ，取]1[ε=N当N n >时，恒有ε<-0n x所以01lim2=+∞→n nn（2）证明 因为)0()(lim >=+∞→A A x f x ，对取定的2A=ε，存在M>0，当x>M 时，有 2)()(A A x f A x f <-<- 故当x>M 时，2)(A x f > 习题四一．单项选择题1、B2、B3、B4、D 二．填空题1、ae 2、0，6 3、6 4、2，－2 三．判断正误1、错；2、错；3、错； 四．计算题 1、原式＝2112lim )1)(1()1)(2(lim11=+--=+---→→x x x x x x x x2、原式＝01111lim11lim=++=+++∞→+∞→x xxx x x 3、原式＝2311lim)1)(1()1)(1(lim32313231=+++=-+++-→→xx x x x x x x x x 4、原式＝31)32(131)32(31lim )32(13233lim 1111=-⋅+=-++∞→++++∞→n n n n n n n n n 5、原式＝]21)121121(21)5131(21)311[(lim ⋅+--++⋅-+⋅-+∞→n n n21)2112121(lim =⋅+-=∞→n n 6、、原式＝23232223)12)(1(21lim 3)21(3lim n n n n n n nn n n -++=-+++∞→+∞→ 2132123lim 22=+=∞→n n n n 7、因为 0lim =-+∞→xx e1s i n ≤x 所以 0s i n lim =-+∞→x exx习题五一、1.B ， 2.A, 3. B二、1.sin tan x x x << 2．０ 三、1.（1）0sin 77lim tan 55x x x →=解：（2）0lim sin0x x xπ→=解：这是有界函数乘无穷小量，故（3）000sin 5sin 5115sin 55lim lim lim 1sin 3sin 3sin 31133x x x x x x x x x x xx x x x→→→---===-+++解： （4）00sin 1lim lim sin 1()x x x x x x++→→+=解：原式=后一项是无穷小量乘有界函数 2．（1）22222222222lim(1)lim[(1)]lim(1)1n nn n n e e n n n⨯+→∞→∞→∞=+=++==原式 （2）()1()1111lim(1)lim 1x x x x xx e ---∙-→∞→∞⎡⎤⎛⎫-=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦原式= （3）22322(3)3332233lim(1)lim(1)22x x x x e x x -++-∙---→∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦原式＝ (4)13330lim(13)xx x e ∙→=+=原式(中间思维过程同前)（5）222222lim ln()lim ln(1)lim ln(1)lim ln(1)1nn n n n n nn n n n nn∙→∞→∞→∞→∞+==+=+=+=原式 四．1.证明：2......n n π<+<+1,,.n n ==而故由夹逼准则知原式成立2.证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的()()2211112,110,0,.n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-+-=-=-->->>n 即而0<x <1,故即故数列单调递增且有界,极限存在.22212(21)11(1)1lim 1n n n n n n n n x x x x x x x +→∞=-+=--++=--<∴=习题六一、1．B，2．B，3．B，4．B，5。

练习一一、选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填入题后的括号内。

（每小题3分，共24分 ） 1. 函数xx f -=11arctan )(当1→x 时的极限是( C ). (A)2π (B) 2π- (C) 0 (D) 不存在. 2. 若c x F dx x f +=⎰)()(，若0a ≠，则=+⎰xdx b ax f )(2( ). (A)cb ax F ++)(2(B))(212b ax F a+ (C)c b ax F a++)(212 (D)c b ax aF ++)(22.3. 若函数 ()⎩⎨⎧>-≤=0)1(02x x b x e x f ax 在x =0处可导，则( ). (A) 1==b a (B) 0,1==b a (C) 1,0==b a (D) 1,2-=-=b a .4. 函数11x x e y e +=- 是( ).(A)偶函数 (B)奇函数 (C)非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数.5. 设函数)(x f 在点a x =处可导，则=--+→xx a f x a f x )()(lim( ).(A) )(2a f ' (B) )(a f ' (C) )2(a f ' (D) 0. 6. 已知x y sin =，则=)10(y( )。

(A) x sin (B) x cos (C) x sin - (D) x cos -. 7. 若()f x 和()g x 均为区间I 内的可导函数,则在I 内,下列结论中正确的是( ). （A ）若'()'()f x g x =,则 ()()f x g x = （B ）若()()f x g x >,则'()'()f x g x > （C ）若'()'()f x g x =,则 ()()f x g x c =+ （D ）若'()'()f x g x >,则()()f x g x >. 8.若()(1)(2)(3)f x x x x x =---,则方程'()0f x =根的个数为( ). （A ） 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个.二、填空题（每题3分，共18分。

重庆大学 高等数学I-I （理工综合班）（ 课程试卷2006 ~2007 学年 第 一 学期开课学院： 数理学院 考试日期： 2008年1月9日考试方式：考试时间： 120 分钟注：1.大标题用四号宋体、小标题及正文用小四号宋体；2.按A4纸缩小打印一．每小题6分，共60分1．求极限 2)1ln(limxx x x +-→解：2)1ln(lim xx x x +-→=+-=→x xx 2111lim21)1(21lim 0=+→x x2．求极限 +∞→x lim )2(arctan π-x x解：+∞→x lim )2(arctan π-x x xx x 12arctan limπ-=+∞→1111l i m 22-=-+=+∞→x xx3．设)1ln()1(22x x x y +++=，求'y4．求曲线2x e y -=的凹凸区间与拐点。

解：22'x xe y --=22242''x x e x e y --+-=)12(222-=-x e x令0''=y ，得22±=x当)22,(--∞∈x 时，0''>y ，曲线为凹；当)22,22(-∈x 时，0''<y ，曲线为凸；当),22(+∞∈x 时，0''>y ，曲线为凹。

从而拐点为),22(21--e，),22(21-e5．求函数3231)6()3(--=x x y 在区间]6,0[上的最大值和最小值。

解：313231313232)6()3(4)6()3(32)6()3(31'---=--+--=--x x x x x x x y令 0'=y 得4=x ，又)3('y 不存在。

而 332314)4(,0)3(,0)6(,63)0(===⋅-=y y y y 。

故最小值为323163)0(⋅-=y ，最大值为34)4(=y6．求不定积分：dx x x ⎰2sin ； 解：=⎰dx x x 2sin dx x x ⎰-)2cos 1(21dx x ⎰=21dx x x ⎰-2cos 21⎰-=x xd x 2sin 41412dxx x x x ⎰+-=2sin 412sin 41412Cx x x x +--=2cos 812sin 41412命题人：组题人：审题人：命题时间：学院 专业 年级 学号 姓名封线密7．求不定积分：dx x⎰+211解：令t x tan =，则C x x C t t dt tt dx x+++=++==+⎰⎰)1ln(tan sec ln sec sec 112228．计算定积分dx x ⎰-π2sin 1解：dx x ⎰-π02sin 1=-=⎰dx x x πcos sin+-⎰dx x x 4)sin (cosπdx x x ⎰-ππ4)cos (sin122)s i n (c o s )c o s (s i n 44+=+-+=πππx x x x9．求由方程 0cos 02=+⎰⎰yxttdt dt e 所确定的隐函数)(x y y =的导数。

重庆大学 高等数学I-I （理工综合班）（ 课程试卷2006 ~2007 学年 第 一 学期开课学院： 数理学院 考试日期： 2008年1月9日考试方式：考试时间： 120 分钟注：1.大标题用四号宋体、小标题及正文用小四号宋体；2.按A4纸缩小打印一．每小题6分，共60分1．求极限3tan sin limx x x x -→解：3sin sin limxx x x -→613cos 1limsin lim23=-=-=→→xx xxx x x2． 设000,2sin ,,)(2>=<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=x x x x xb x a x f 在0=x处连续，求常数ba ,的值。

解： a x a x =+-→)(lim 2，22sin lim=+→xxx ，b f =)0(，所以当2,2==b a 时，)(x f 在0=x 处连续。

3．设xx yarctan)1(2+=，求'y ，''y解：x y 2'=2211)1(arctan xx x +⋅++x 2=1arctan +x''y 2=212arctan xx x ++4．证明当1>x 时，exex>证： ex e x f x-=)(，)1(0)('>>-=x e e x f x，所以当1>x 时，)(x f 单调增加，从而 0)1()(=>f x f故当 1>x 时，ex ex>5．计算定积分 dxx x ⎰-π3sinsin解：dx x x ⎰-π03sinsin =-=⎰dx x x π2)sin1(sin dx x x cos sin 0⎰π-=⎰xdx x cos sin 2πxdx x cos sin 2⎰ππ-=⎰x d x sin sin 2πx d x sin sin 2⎰ππ2023s i n 32πx=34s i n 32223=-ππx6．已知xx ln 是函数)(x f 的一个原函数，求dxx xf)('⎰解：2'ln 1ln )(x x x x x f -=⎪⎭⎫⎝⎛=， ⎰⎰⎰-==dx x f x xf x xdfdx x xf)()()()('CxxC xx xx +-=+--=ln 21ln ln 17．求不定积分：dxx ⎰arctan解：dxxx x x dx x ⎰⎰+-=21arctan arctanCx x x ++-=)1l n (21a r c t a n 2命题人：组题人：审题人：命题时间：学院 专业 年级 学号 姓名封线密8．设0,,11)(<≥⎪⎩⎪⎨⎧+=x x e xx f x求⎰-2)1(dxx f解：令1-=x t ，则1+=t x⎰-2)1(dx x f ⎰⎰⎰--++==111111)(dt t dt edt t f t2ln 11+-=-e9．设dt t tx x F x⎰+-=1)(，求)('x F解：dt ttx x F x⎰+-=1)(-+=⎰dt t x x11dtttx⎰+01=)('x F xxxx dt tx+-+++⎰1111)1ln(11x dtt x+=+=⎰10．设)(x y y=是由方程1=+yexy所确定的隐函数，求)0('y 。

参考答案一、填空题：1.∞2. 533. 04. 1arctan x c a a+ 二、单项选择题1.(C)2.(B)3.(C)4.(C)三、解答题：1、20lim(1sin )x x x →- 2、0tan lim sin x x x x x →-- 解：原式=12sin ( )sin 0lim(1sin )x x x x x --→- 解：原式=20sec 1lim 1cos x x x →-- =2e - 220tan lim 2x x x →= =23、2tan 1x y x =+，求y ' 解：2222(tan )(1)tan (1)(1)x x x x y x ''+-+'=+ = 2222sec (1)2tan (1)x x x x x +-+4、试求函数2cos y x x =在0x =处的微分解：由222cos 2sin y xx x '=- 得22200|(cos 2sin )|1x x y x x x =='=-= 故0|x dyy dx dx ='== 5、设()y y x =是由方程221ln()arctan 2y x y x +=确定的隐函数，求dy dx. 解： 222212221()y x yx yy x y x y x'-'+=++ 化简得x y y x y+'=- 6、设函数()y f x =由参数方程(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩所确定，求dy dx . 解：dydy dt dxdx dt= sin sin (1cos )1cos a t t a t t==-- 7、 解：原式=2⎰=C -8、2ln(1)x x dx +⎰ 解：原式=31ln(1)3x dx +⎰ =33ln(1)1331x x x dx x+-+⎰ =32ln(1)11(1)331x x x x dx x+--+-+⎰ =332ln(1)1(ln(1))3332x x x x x x C +--+-++ 9、已知2 0() 0x x f x x x >⎧=⎨≤⎩，求11()f x dx -⎰ 10、⎰ 解：11()f x dx -⎰01210x dx xdx -=+⎰⎰ 解：原式=0(1)x -⎰ =32011032x x -+=0-⎰ =56 =4π四、解答题1、求3,2,0y x x y ===所围成的图形，分别绕x 轴和y 轴旋转所得旋转体的体积.解：2320()x V x dx π=⎰ 1分 28230(2)y V y dy π=-⎰ =7207x π =58303(32)5y π- =1287π 1分 =645π五、应用题 边长为(0)a a >米的正方形铁皮各角剪去同样大小的小方块，做成无盖的长方体盒子，问怎样剪法才使盒子的容积最大？解：设各角剪去的小方块的边长为x ，做成无盖的长方体盒子的容积为()v x依题意有：2()(2)v x x a x =-令()(2)(6)0v x a x a x '=--=得16a x = ,22a x =(舍去) 又()406a v a ''=-< 故当6a x =，做成无盖的长方体盒子的容积为最大32()627a v a =六、证明题：设函数()f x 的导函数()f x '在[,]a b 上单调增加，且()()0f a f b ==.求证：()0,(,)f x x a b <∀∈证明：∵()f x 在[,]a b 上可导. ∴()f x 在[,]a b 上连续.又()()0f a f b ==，由罗尔定理知：(,)a b ξ∃∈，使得()0f ξ'=.再由()f x '在[,]a b 上单调增加，可知：当a x ξ<≤时，()()0f x f ξ''≤=，即()f x 单调递减，故()()0f x f a <=.当x b ξ<<时，()()0f x f ξ''>=，即()f x 单调递增，故()()0f x f b <=. 综上所述，当a x b <<时，有()0f x <.。

高等数学C1半期试题参考答案及评分标准2009~2010第一学期二、填空题（每空2分，共30分）1、222+-x x 。

2、)2,1[。

3、 1 。

4、≥。

5、 0 ， 3 。

6、 -1 ， 0 。

7、x e -。

8、 0 。

9、)ln 1(x x x +。

10、x e 32-。

11、 0 ， 1 。

12、 6 。

三、解答题（每小题5分，共8题，总分40分）1．解：由已知，⎩⎨⎧≤-≤≤+≤310310x x ……2分，解得：⎩⎨⎧≤≤≤≤-4121x x ……1分 故)1()1(-++x f x f 的定义域为]2,1[……2分2. 解：原式3)31(1)32(lim +-=+∞→n n n （……3分）31-=（……2分） 3. 解：原式33)31(lim ⋅∞→+=xx x（……3分）3e =（……2分）。

4. 解：由已知0)2(lim 21=++→bx x x ，即 3021-=⇒=++b b （……3分） 所以有a x x x x =-+-→123lim 21，即a x x x x =---→1)2)(1(lim 1，解得：1-=a （……2分） 5. 解：令2π-=x t ，原式tt t )2cos(lim 0+=→π（……2分）1sin lim 0-=-=→t t t 。

（……3分） 6. 解：143)('-+++=e x e x x e x e x f （……5分）。

7. 解：对022=-+xy y x 两边求x 的导数，可得：0''22=--+xy y y x （……3分）解得，xx y y --=22'（……2分）。

8. 解：设切点为),(00y x ，则有：⎪⎩⎪⎨⎧=--=2000300320x x y x y ，解得，⎩⎨⎧==27300y x 或者⎩⎨⎧==0000y x （……3分） 故曲线3x y =过点（2，0）的切线方程为5427-=x y 以及0=y （……2分）。

大一高数c期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=x^2+2x+1的导数是（）。

A. 2x+1B. 2x+2C. 2x+3D. x^2+2x+12. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. πD. 23. 函数y=e^x的不定积分是（）。

A. e^x+CB. e^x-CC. ln(e^x)+CD. ln(x)+C4. 曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -2D. 25. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是（）。

A. 1/3C. 2/3D. 16. 函数y=ln(x)的反函数是（）。

A. e^xB. ln(x)C. x^eD. e^x7. 函数y=x^3的二阶导数是（）。

A. 3x^2B. 6xC. 9x^2D. 18x8. 曲线y=x^2在x=2处的法线方程是（）。

A. y=-1/4x+9/2B. y=1/4x+9/2C. y=-1/2x+2D. y=1/2x+29. 函数y=x^2-4x+4的极值点是（）。

A. x=2B. x=-2C. x=4D. x=-410. 函数y=x^3-3x的拐点是（）。

A. x=0B. x=1D. x=3二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y=x^3的一阶导数是 y'=3x^2 。

2. 函数y=x^2+2x+1的二阶导数是 y''=6x 。

3. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是 0 。

4. 函数y=e^x的反函数是 y=ln(x) 。

5. 函数y=x^2-4x+4的最小值是 y_min=0 。

三、计算题（每题10分，共50分）1. 求函数y=x^3-3x^2+2的导数。

解：y'=3x^2-6x。

2. 求极限lim(x→0) (x^2/sin(x))。

解：lim(x→0) (x^2/sin(x)) = lim(x→0) (x/sin(x)) * x = 1 * 0 = 0。

高数C1（经管上）半期试题参考答案和评分标准2013-2014学年第一学期（会计学院）一、单项选择题（每题2分，共20分）1．x x x x 424234++-。

2. A 。

3.)1(ln 22+x x x 。

4. 1 。

5. 0 。

6.x 3sin 。

7． =a 1 ，=b -3。

8. =)()(x fn !)1(n n -。

9． < 。

10. )1(427,0-==x y y 。

11. (1,2) 。

12. =)3(f 0 ，=)3('f 2 。

13. 2 。

7.若f(u)可导，)(2x f y =，求'y ，''y 。

解：)('2'2x xf y = ……2分)(''4)('2''222x f x x f y +=……3分 8．试确定a ，b 之值，使函数⎩⎨⎧≥<-+=111)(2x x x bx ax x f 在1=x 可导。

解：因在1=x 可导，所以在1=x 连续，有：)1()(lim 1f x f x =-→，即1)1(lim 21=-+-→bx ax x得到：b a b a -=⇒=-+211（1） ……2分由在1=x 可导，有1)1()(lim 1)1()(lim 11--=--+-→→x f x f x f x f x x即：111lim 111lim 121=--=---++-→→x x x bx ax x x 将（1）式代入，有：1221)22(lim 1=-+⇒=-+-→b bx x x （2）联立（1），（2），解得：3,1=-=b a……3分四、证明题（共2小题，每小题5分，共10分） 1． 证明：方程0254=--x x 至少有一个小于1的正根。

证明：设25)(4--=x x x f ，在[0，1]连续， 且02)1(,02)0(>=<-=f f ……3分 由零点定理，至少有一个)1,0(∈c ， 使得0)(=c f即方程0254=--x x 至少有一个小于1的正根 ……2分2.若0>>a x n ,且n n ax x =+1,证明：n n x +∞→lim 存在，并求此极限值。

习题十九 不定积分总习题一．选择题：1．若()()df x dg x =⎰⎰，则有（ A 、B 、C ） A ．()()f x g x = B ．'()'()f x g x =C ．()()df x dg x =D ．'()'()d f x dx d g x dx =⎰⎰2．下列等式正确的是（ A ） A ．⎰=)()(x f dx x f dxdB ．⎰=')()(x f dx x fC ．⎰=)()(x f x dfD ．⎰=)()(x f dx x f d 3．若()f x 的导函数是sin x ，则()f x 有一个原函数为（ D ） A ．1sin x + B ．1sin x - C ．1cos x + D ．1cos x - *4．若)(x f 连续，)(x F 是)(x f 的一个原函数，则（ A ）A ．当)(x f 是奇函数时)(x F 必为偶函数B ．当)(x f 是偶函数时)(x F 必为奇函数C ．当)(x f 是周期函数时)(x F 必为周期函数D ．当)(x f 是单调函数时)(x F 必为单调函数二．填空题：1．设3x是()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰3x C +。

2．设'(ln )1f x x =+，则()f x =xx e C ++ 3．设)(t f 连续,()sin ()cos df t d t f t t dt =⎰4*．222(1)ln 2x f x x -=-，且：[()]ln f g x x =，则()g x dx =⎰2ln 1x x C +-+三．计算题：1．求下列不定积分：(1)(2)3(1)x dx x -⎰解：2=⎰ 解：3(1)x dx x -⎰311(1)(1)x d x x -+=---⎰C =- 2311(1)(1)(1)(1)d x d x x x =-----⎰⎰ 211112(1)C x x =-+⋅+-- (3)4sin cos 1sin x x dx x+⎰(4)742(1)x dx x +⎰解：4sin cos 1sin x x dx x+⎰ 解：742(1)x dx x +⎰444214(1)x dx x =+⎰ 4sin sin 1sin xd x x=+⎰ 44421(1)1(1)4(1)x d x x +-=++⎰ 2411sin 21sin d x x=+⎰ 444421111(1)(1)4(1)4(1)d x d x x x =+-+++⎰⎰ 21arctan(sin )2x C =+ 44111ln(1)44(1)x C x =++++ (5) ⎰xdx x 3cos 2(6) 224x x dx x -+⎰ 解：⎰xdx x 3cos 221sin 33x d x =⎰ 解：原式22244x x dx dx x x =-++⎰⎰ 212sin 3sin 333x x x xdx =-⎰ 222211(4)4(4)244x d x dx x x +-=+-++⎰⎰ 212sin 3cos339x x xd x =+⎰ 2214ln(4)24x x dx x =+-++⎰ 2122sin 3cos3cos3399x x x x xdx =+-⎰ 2211ln(4)21()2x x dx x =+-++⎰2122sin 3cos3sin 33927x x x x x C =+++ 21ln(4)2arctan 22xx x C =+-++ （7）221(1)dx x x +⎰ （8）215dx x x --⎰解：原式22111dx dx x x =-+⎰⎰ 解：原式211()1212()24d x x =---⎰1arctan x C x =--+x C -=2．设22'(sin )cos ,(0)1f x x f ==，求()f x 。

高等数学1C 习题解答习题一一．单项选择题1、A2、D3、C 二．填空题1、22)1(133-+-x x x 2、（－9，1） 三．计算题 1、（1）解 函数要有意义，必须满足⎩⎨⎧≥-≠0102x x 即⎩⎨⎧≤≤-≠110x x 定义域为]1,0()0,1(⋃- （2）解 函数要有意义，必须满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≠≥-111003x x x 解得1-≤x 或31≤≤x 3．（1）解 由1-=x e y 得 1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y （2）解 由11+-=x x y 得 yyx -+=11 交换x 、y 得反函数为x x y -+=11 4．（1）解 只有t=0时，能；t 取其它值时，因为 112>+t ，x arcsin 无定义（2）解 不能，因为11≤≤-x ，此时121-=x y 无意义 5．解（1）12arccos 2-====x w w v v u ey u(2) 令22y y y += 则11ln 21+=+==x u u v v y x w e m m x v v u ey wu2)sin(32==+===6．解 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤+≤<-+->-=1101)1(0)]([22x x x x x x x f g7．解 设c bx ax x f ++=2)(所以⎪⎩⎪⎨⎧==++=++41242c c b a c b a 解得 25214-===b a c习题二一．单项选择题1、A2、B3、D 二．填空题1、>12、单调增加 三．计算题1、（1）解 因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数 （2）解 因为)()1ln(11ln )1ln()(222x f x x xx x x x f -=-+-=-+=++=-所以函数是奇函数（3）解 )(0)1(000)1(010001)(x f x x x x x x x x x x x f -=⎪⎩⎪⎨⎧>+-=<--=⎪⎩⎪⎨⎧<---=->-+-=- 所以函数是奇函数 2．解 因为 x x y 2cos 2121sin 2-== 而x 2cos 的周期为π，所以x y 2sin =是周期函数，周期为π 3．解 由h r V 231π= 得23rv h π= 表面积：)0(919221226224222222≥++=++=+⋅+=r r v r r r r v r r r r h r s πππππππ四 证明 )()1()1(11)(x f e e e e e e x f xx x x x x -=+-=+-=--- 习题三一．单项选择题1、C2、C3、B4、C 二．填空题1、12、a3、≥4、2，05、1 三．判断正误1、对；2、对；3、错 四．（1） 证明 令12+=n nx nε<=<+=-n nn n n x n 11022 只要ε1>n ，取]1[ε=N当N n >时，恒有ε<-0n x 所以01lim2=+∞→n nn（2）证明 因为)0()(lim >=+∞→A A x f x ，对取定的2A=ε，存在M>0，当x>M 时，有2)()(A A x f A x f <-<- 故当x>M 时，2)(A x f > 习题四一．单项选择题1、B2、B3、B4、D 二．填空题1、ae 2、0，6 3、6 4、2，－2 三．判断正误1、错；2、错；3、错； 四．计算题 1、原式＝2112lim )1)(1()1)(2(lim11=+--=+---→→x x x x x x x x2、原式＝01111lim11lim=++=+++∞→+∞→x xxx x x 3、原式＝2311lim)1)(1()1)(1(lim32313231=+++=-+++-→→xx x x x x x x x x 4、原式＝31)32(131)32(31lim )32(13233lim 1111=-⋅+=-++∞→++++∞→n n n n n n n n n 5、原式＝]21)121121(21)5131(21)311[(lim ⋅+--++⋅-+⋅-+∞→n n n21)2112121(lim =⋅+-=∞→n n6、、原式＝23232223)12)(1(21lim 3)21(3lim n n n n n n n n n n -++=-+++∞→+∞→ 2132123lim 22=+=∞→n nn n 7、因为 0lim =-+∞→xx e1sin ≤x 所以 0sin lim =-+∞→x exx习题五一、1.B ， 2.A, 3. B二、1.sin tan x x x << 2．０ 三、1.（1）0sin 77lim tan 55x x x →=解：（2）0lim sin0x x xπ→=解：这是有界函数乘无穷小量，故（3）000sin 5sin 5115sin 55lim lim lim 1sin 3sin 3sin 31133x x x x x x x x x x xx x x x→→→---===-+++解： （4）00sin 1limlim sin 1()x x x x x x++→→+=解：原式=后一项是无穷小量乘有界函数 2．（1）22222222222lim(1)lim[(1)]lim(1)1n n n n n e e n n n⨯+→∞→∞→∞=+=++==原式 （2）()1()1111lim(1)lim 1x x x x xx e ---•-→∞→∞⎡⎤⎛⎫-=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦原式=（3）22322(3)3332233lim(1)lim(1)22x x x x e x x -++-•---→∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦原式＝ (4)13330lim(13)xx x e •→=+=原式(中间思维过程同前)（5）222222lim ln()lim ln(1)lim ln(1)lim ln(1)1nn n n n n n n n n n n n•→∞→∞→∞→∞+==+=+=+=原式 四．1.证明：2......n n nπ<+<+1,,.n n ==而故由夹逼准则知原式成立2.证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的()()2211112,110,0,.n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-+-=-=-->->>n 即而0<x <1,故即故数列单调递增且有界,极限存在.22212(21)11(1)1lim 1n n n n n n n n x x x x x x x +→∞=-+=--++=--<∴=习题六一、1．B ，2．B ，3．B ，4．B ，5。

高等数学1C 习题解答习题一一．单项选择题1、A2、D3、C 二．填空题1、22)1(133-+-x x x 2、（－9，1）三．计算题 1、（1）解 函数要有意义，必须满足⎩⎨⎧≥-≠0102x x 即⎩⎨⎧≤≤-≠110x x 定义域为]1,0()0,1(⋃- （2）解 函数要有意义，必须满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≠≥-111003x x x 解得1-≤x 或31≤≤x 3．（1）解 由1-=x e y 得 1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y （2）解 由11+-=x x y 得 yyx -+=11 交换x 、y 得反函数为x x y -+=11 4．（1）解 只有t=0时，能；t 取其它值时，因为 112>+t ，x arcsin 无定义（2）解 不能，因为11≤≤-x ，此时121-=x y 无意义 5．解（1）12arccos 2-====x w w v v u ey u(2) 令22y y y += 则11ln 21+=+==x u u v v y x w e m m x v v u ey wu2)sin(32==+===6．解 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤+≤<-+->-=1101)1(0)]([22x x x x x x x f g7．解 设c bx ax x f ++=2)(所以⎪⎩⎪⎨⎧==++=++41242c c b a c b a 解得 25214-===b a c习题二一．单项选择题1、A2、B3、D 二．填空题1、>12、单调增加 三．计算题1、（1）解 因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数 （2）解 因为)()1ln(11ln )1ln()(222x f x x xx x x x f -=-+-=-+=++=-所以函数是奇函数（3）解 )(0)1(000)1(010001)(x f x x x x x x x x x x x f -=⎪⎩⎪⎨⎧>+-=<--=⎪⎩⎪⎨⎧<---=->-+-=- 所以函数是奇函数 2．解 因为 x x y 2cos 2121sin 2-== 而x 2cos 的周期为π，所以x y 2sin =是周期函数，周期为π 3．解 由h r V 231π=得23rv h π= 表面积： )0(919221226224222222≥++=++=+⋅+=r r v r r r r v r r r r h r s πππππππ四 证明 )()1()1(11)(x f e e e e e e x f x x x x x x -=+-=+-=---习题三一．单项选择题1、C2、C3、B4、C 二．填空题1、12、a3、≥4、2，05、1 三．判断正误1、对；2、对；3、错 四．（1） 证明 令12+=n nx n ε<=<+=-nn n n n x n 11022只要ε1>n ，取]1[ε=N当N n >时，恒有ε<-0n x 所以01lim2=+∞→n nn（2）证明 因为)0()(lim >=+∞→A A x f x ，对取定的2A=ε，存在M>0，当x>M 时，有 2)()(A A x f A x f <-<- 故当x>M 时，2)(A x f > 习题四一．单项选择题1、B2、B3、B4、D 二．填空题1、ae 2、0，6 3、6 4、2，－2 三．判断正误1、错；2、错；3、错； 四．计算题 1、原式＝2112lim )1)(1()1)(2(lim11=+--=+---→→x x x x x x x x2、原式＝01111lim11lim=++=+++∞→+∞→x xxx x x 3、原式＝2311lim)1)(1()1)(1(lim32313231=+++=-+++-→→xx x x x x x x x x 4、原式＝31)32(131)32(31lim )32(13233lim 1111=-⋅+=-++∞→++++∞→n n n n n n n n n 5、原式＝]21)121121(21)5131(21)311[(lim ⋅+--++⋅-+⋅-+∞→n n n21)2112121(lim =⋅+-=∞→n n 6、、原式＝23232223)12)(1(21lim 3)21(3lim n n n n n n n n n n -++=-+++∞→+∞→ 2132123lim 22=+=∞→n nn n 7、因为 0lim =-+∞→xx e1s i n ≤x 所以 0s i n lim =-+∞→x exx习题五一、1.B ， 2.A, 3. B二、1.sin tan x x x << 2．０ 三、1.（1）0sin 77lim tan 55x x x →=解：（2）0lim sin0x x xπ→=解：这是有界函数乘无穷小量，故（3）000sin 5sin 5115sin 55lim lim lim 1sin 3sin 3sin 31133x x x x x x x x x x xx x x x→→→---===-+++ 解： （4）00sin 1limlim sin 1()x x x x x x++→→+=解：原式=后一项是无穷小量乘有界函数 2．（1）22222222222lim(1)lim[(1)]lim(1)1n n n n n e e n n n⨯+→∞→∞→∞=+=++== 原式 （2）()1()1111lim(1)lim 1xx x x xx e ---∙-→∞→∞⎡⎤⎛⎫-=-=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦原式= （3）22322(3)3332233lim(1)lim(1)22x x x x e x x -++-∙---→∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦原式＝ (4)13330lim(13)xx x e ∙→=+=原式(中间思维过程同前)（5）222222lim ln()lim ln(1)lim ln(1)lim ln(1)1nn n n n n n n n n n n n∙→∞→∞→∞→∞+==+=+=+=原式 四．1.证明：......<+<1,,.n n ==而故由夹逼准则知原式成立2.证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的()()2211112,110,0,.n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-+-=-=-->->> n 即而0<x <1,故即故数列单调递增且有界,极限存在.22212(21)11(1)1lim 1n n n n n n n n x x x x x x x +→∞=-+=--++=--<∴=习题六一、1．B，2．B，3．B，4．B，5。

习题一一、1. ×2. \/3. ×4. ×5. ×6. \/7. ×二、1. A2. D3.4. A三、1. 直线y x =2. [-1，3]3. 1[,0]2- 4. 奇 5.2log 1x y x =- 6.3,,sin u y e u v v x ===四、 1(2)3f x x +=+，221()1f x x =+， 11(())1211x f f x x x+==+++，11()()2f f x x =+习题二一、1. ∨2. ×3. ×4. ∨5. ∨6. ×二、1. B2. B3. A4. C三、（1）22110n n ε-=< 取N=即可 （3）sin 10n n nε-≤< 取1[]N ε=即可 四、根据条件，0ε∀>，N ∃，当n N >时，有0n n x y M ε-≤即证。

习 题 三一、1. ×2. ×3. ×二、1. C2. D3. C4. C四、（1）证明：0ε∀>，要32832x x ε+-=-< 取3εδ=即可（2）0ε∀>，要242x x ε+-=-<取δε=即可（3）0ε∀>，要213211x x x ε---=<++ 只要31x ε>+即可五、1) 0lim 1x xx -→=-，0lim 1x xx +→=0lim x xx →不存在2) 1lim ()2x f x +→=，1lim ()2x f x -→=1lim ()2x f x →=20lim ()5, lim ()0x x f x f x →→==习题四一、1. ∨2. ×3. ∨4. ∨5. ×6. ×7. ×8. ∨9. ×10. ×11. ∨12. ×二、1. D2. C3. B4. D5. D三、(1) 2131lim 11x x x →-+=-+ (2) 2211112lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 202lim 2h hx h I x h→+== (4) 23I =(5) 0I = (6) 422lim13x x I x →-==- (7) 11133lim 1213n n I +→∞-==- (8) 111lim (1)2212n n →∞-=+ (9) 23211132lim lim 111x x x x x I x x x→→++-+==-=--++ (10) 15I =(11) I =+∞(12) 0I = (13) 由于lim1lim 1x x ==-，故原极限不存在。