NCS20210607项目第一次模拟测试卷理科数学本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效．4.考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}220,{sin }A xx x B y y x =->==∣∣，则()R C A B ⋂=（）A.[]0,1 B.[]1,1- C.[]0,2 D.[]0,12.复数z 满足i 23i z =+，则z =（）A.B.C.D.3.已知椭圆223412x y +=的左顶点为A ，上顶点为B ，则AB ＝（）A. B.2 C.4 D.4.如图，,,,E F G H分别为菱形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，且2,2,2,2,BE AE DH HA CF FB CG GD ====现将∆ABD 沿BD 折起，得到空间四边形ABCD ，在折起过程中，下列说法正确的是（）A.直线,EF HG 有可能平行B.直线,EF HG 一之定异面C.直线,EF HG 一定相交，且交点一定在直线AC 上D.直线,EF HG 一定相交，但交点不一定在直线AC 上5.ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足a =，45B = ，75C = ，则b =（）A.2B.C. D.6.如图，将框图输出的y 看成输入的x 的函数，得到函数()y f x =，则()y f x =的图像（）A.关于直线1x =对称B.关于直线1x =-对称C.关于y 轴对称D.关于点()0,0对称7.已知直线l 的方程是20x y m ++=，则“原点O 在直线l 的右上方”是“点()2,1A -”在直线l 的右上方的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知正数,,a b c 满足222log (416)ab c k k ===<<，则（）A.a b c<< B.b a c<< C.c a b<< D.a c b<<9.许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知右侧左图是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，右图是其中截面最细附近处的部分图像，上、下底面与地面平行．现测得下底直径AB =米，上底直径CD =米，AB 与CD 间的距离为80米，与上下底面等距离的G 处的直径等于CD ，则最细部分处的直径为（）A.10米B.20米C.103D.10510.已知5sin 2cos 66x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2sin 3x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.12-或1 B.12或－1C.32-或1 D.32或－111.如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d ，截面半径为r （,d r 为常量），油面高度为h ，油面宽度为w ，储油量为v （,,h w v 为变量），则下列说法：①w 是v 的函数②v 是w 的函数③h 是w 的函数④w 是h 的函数其中正确的个数是（）1个B.2个C.3个D.4个12.已知()||sin 23f x x a x π⎛⎫=+-+⎪⎝⎭的最小值为0，则正实数a 的最小值是（）A.12B.33C.32 D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(1,2),||5,10a b a b ==⋅=，则向量,a b夹角的余弦值为．14.(2)n x -的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中3x 的系数为．15.2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：调查人数x 300400500600700感染人数y33667并求得y 与x 的回归方程为0ˆ0.11yx a =+，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为N ；注射疫苗后仍被感染的人数记为n ，则估计该疫苗的有效率为．（疫苗的有效率为1nN-；参考数据：1109.50.009132-≈；结果保留3位有效数字）16.如图，ABCD 是圆台的轴截面，36,AB CD AD ===，过点D 与AD 垂直的平面交下底圆周于,E F 两点，则四面体CDEF 的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（12分）已知{}n a 为公差不为0的等差数列，且114133,,,a a a a =成等比数列．（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设1(21)n nb n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18.（12分）如图三棱柱111ABC A B C -中，2,CA CB AC BC ==⊥，侧面11AAC C 是矩形，侧面11BB C C 是菱形，160B BC ∠=，D 是棱1BB 的中点．（）求证：1BB ⊥平面ACD ；（2）设E 是11A B 的中点，求二面角E CD A --的余弦值．19.（12分）已知函数2()()e (1)(0,R,e 2xaf x x b x b a b =---+>∈为自然对数的底数）．（1）当2b =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在R 上单调递增，求证：1e a b -≥．20.（12分）为加强防疫宣传，某学校举行防疫知识问答竞赛，竞赛共有两类题，第一类是5个中等难度题，每答对一个得10分，答错得0分，第二类是数量较多、难度相当的难题，每答对一个得20分，答错一个扣5分．每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4个回答（每个题抽后不放回），要求第二类题中至少抽2个．学生小明第一类5题中有4个答对，第二类题中答对每个问题的概率都是34．（1）若小明选择从第一类题中抽两个题，求这次竞赛中，小明共答对3个题的概率；（2）若小明第一个题是从第一类题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，后面三个题应该选择从第二类题中抽出多少个题回答？21.（12分）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为(0)k k ≠的动直线l 与抛物线交于,A B 两点，直线l '过点()11,A x y ，且点F 关于直线l '的对称点()1,1R x -．（1）求抛物线E 的方程，并证明直线l '是抛物线E 的切线；（2）过点A 且垂直于l '的直线交y 轴于点G ，,AG BG 与抛物线E 的另一个交点分别为,C D ，记AGB 的面积为1S ，CGD 的面积为2S ，求21S S的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分．22.（10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点与极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为：sin 2cos cos 2sin x y αααα=+⎧⎨=-⎩（a 为参数），直线l 的极坐标方程为：sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；设,A B 是曲线C 与直线l 的公共点，点P 的坐标为（2，0），求||PA PB - 的值．23.（10分）选修4－5：不等式选讲已知()|1||2|(0)f x x ax a =-++>．当2a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若不等式5()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．— 高三理科数学（模拟一）答案第1页—A NCS20210607项目第一次模拟测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一13．5 14．160 15．0.817 16．3三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答． 17.【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为1413,,a a a 成等比数列， 所以23(312)(33)d d ，即220d d ， ………………………2分 解得0d （舍去）或2d ， ………………………4分 所以21n a n ； ………………………6分（Ⅱ）1111()(21)(21)22121n b n n n n， ………………………8分所以111111(1...)23352121n S n n ……………………10分11(122121n n n . ……………………12分 18.【解析】（Ⅰ）因为侧面11AAC C 是矩形，所以1AC CC ，........................1分 又由条件AC BC ，1BC CC C ，所以AC 平面11CC B B ， 1BB 平面11CC B B ，所以1AC BB ， ........................3分 又因为侧面11BB C C 是菱形，160B BC ， D 是1BB 的中点，所以1BB CD ， ........................5分 且AC CD C ，所以1BB 平面ACD . (6)分 （Ⅱ）因为AC 平面11CC B B ，所以平面11BB C C 平面ABC ，如图以C 为原点，,CA CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，过点C 在平面内11BB C C 且垂直CB 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz ，则(2,0,0)A ， 11(0,2,0),(0,B B C，3(0,,22D ，11(2,CA CA CC，所以E …8分平面ACD 的一个法向量为1(0,BB ，设平面ECD 的法向量(,,)n x y z， (,,)00n CE x y z x，— 高三理科数学（模拟一）答案第2页—3(,,)(0,0022n CD x y z z ，令13(3,1,y z x n，（两平面法向量各一分） ……………11分所以1cos ,13n BB ，所以所求二面角的余弦值为13． ……………………12分19. 【解析】（Ⅰ）2b 时，2()(2)e (1)2xaf x x x， ()(1)e (1)(1)(e )x x f x x a x x a ， ……………………2分 因为0a ，所以：①若ln 1a 即0e a 时，由()0f x 得ln 1a x ， 由()0f x 得1x 或ln x a ；②若ln 1a 即e a 时，()0f x 得1ln x a ， ()0f x 得1x 或ln x a ；③若ln 1a 即e a 时，()0f x 恒成立， （每步讨论各1分）……………………5分 故当0e a 时，()f x 的单调减区间为(ln ,1)a ，单调增区间为(,ln ),(1,)a ； 当e a 时，()f x 的单调减区间为(1,ln )a ，单调增区间为(,1),(ln ,)a ； 当e a 时，()f x 在R 上单调递增； ……………………6分 （Ⅱ）()(1)()x f x x b e a ，由已知()f x 在R 上单调递增，则(1)()0x x b e a 恒成立，由讨论可知1ln b a ，即ln 1b a ， ………8分 而待证不等式为1a b e ，故只需证明1ln 1a a e ．证明：设1()ln 1a g a e a ，则11()a g a ea， ……………………9分 因为()g a 单调递增，且(1)0g ，故当()0g a 时01a ；当()0g a 时1a ，即()g a 在(0,1)单调递增，在(1,) 单调递减， 则()(1)0g a g ， 得1ln 1a a e ，即不等式得证． ……………………12分20.【解析】（Ⅰ）该同学答对3个题有两种情况，第一种情况是第一类题对1个，第二类题对2个；12412539(440C P C ， …… 2分第二种情况是第一类题对2个，第二类题对1个，21422253194440C P C C ， ……5分所以概率为：12214422255331(444C C P C C C 920； ……………………6分（Ⅱ）若小明后三题选择从第一类题中抽取1道，从第二类题中抽取2道进行作答， 设后三题得分为X 分，则X 的所有可能取值为：10,0,15,25,40,50 ，则— 高三理科数学（模拟一）答案第3页—2111(10)(4464P X ； 2313(0)()4464P X ；121136(15)44464P X C ； 1231318(25)44464P X C ；1339(40)44464P X ； 33327(50)44464P X ；（每个概率0.5分）1618927(10)15254050356464646464EX ； ………9分若小明后三题选择从第二类题中抽取3道进行作答，设后三题答对Z 道，得分为Y 分，则3(3,)4Z B ， 20532515,Y Z Z Z 所以91652515251544EY EZ ， ……………………11分所以EX EY ，即后三题应都从第二类题中抽取作答，得分期望会高. ………12分（另解）若后面三个题都选择难题：记这三个题答对的个数为X ，则3~(3,4X B ，39344EX ，总得分期望是9320510205444分， ……………………8分若后面三个题选择一个中等题、两个难题：则中等题总得分期望是：335101042分， 记两个难题答对题数为Y ，则3~(2,)4Y B ，则33242EY ，则两个难题得分期望是3155205222 ，此时，总得分期望是35554522分， ……………………11分因为205454，所以后面三个题应该都选择难题. ……………………12分21.【解析】（Ⅰ）由点11(,)A x y ，1(,1)R x 坐标，知AR 与直线1y 垂直，,F R 关于过点A 的直线'l 对称，可得||||AF AR ，…………………………2分所以直线1y 为抛物线准线，所以4p ，抛物线方程为24x y ，………4分因此点(0,1)F ，所以12FR k x，从而直线'l 的斜率为12x， 又抛物线方程为24x y ，得'2x y ，所以过点A 的切线斜率为12x，所以'l 为抛物线切线得证; …………………………6分 （Ⅱ）设(,),(,),(,)B B C C D D B x y C x y D x y ，(0,)G t ．— 高三理科数学（模拟一）答案第4页—由题意RF AG k k ，1112t y x x ，得12t y ， …………………………7分因为10y ,所以2t ，令直线AB 方程为 10y kx k ，联立241x y y kx ，并化简得2440x kx ，得到14B x x ，即14B x x ， ……8分设直线AC 方程：1y k x t ,联立214x y y k x t ，得21440x k x t ，则14C x x t ，即14C t x x ， ……9分同理可得4B D x x t ，因此14D Btx tx x ， …………………………10分 由12211111||||sin |4|||||2414||||||sin ||||2C D A B tx CG DG CGD x x S t S x x AG BG A x x t GB x ， 所以21S S 的取值范围是(4,) ． …………………………12分22. 【解析】（Ⅰ）由已知，2sin 52cos 5x y x y，消参可得22:5C x y ， (3)分π:sin(cos sin 20422l x y . …………5分（Ⅱ）P 在直线l 上，且l 的斜率为1 ，故设l的参数方程为：222x t y t （t 为参数）将其代入C的普通方程可得：210t，则12t t 121t t ……8分故1212||||||||||||||PA PB t t t t 分23.【解析】（Ⅰ）当2a 时，不等式()3f x 为|1||22|3x x ，当1x 时，(1)(22)3x x ,此时43x； 当11x 时，(1)(22)3x x ,此时01x ；当1x 时，2(1)(22)33x x x ，此时1x ; (每步讨论各一分)— 高三理科数学（模拟一）答案第5页— 所以，当2a 时，不等式()3f x 的解集为4{|3x x或0}x . …………5分 （Ⅱ）由0a ，知21a，讨论如下： 当2x a ，()12(1)1f x x ax a x ，由(1)0a ，知2()()f x f a， 则5()2f x 恒成立等价于25(2f a ，解得403a ； 当21x a， 1213f x x ax a x ， 则5()2f x 恒成立等价于25()25(1)2f a f ，解得1423a ； 当1x ，()12(1)1f x x ax a x ，(1)0a ，故()(1)f x f ， 则5()2f x 恒成立等价于5(1)2f ，解得12a ； （每步讨论1.5分） 综上，14[,23a . …………………………10分 （另解）由性质可知，函数()f x 的最小值在1x 或2x a取到， …………7分 故5(1)225(2f f a ，即5222512a a，解得1423a . …………………………10分。
