(精选3份合集)2020届四川省绵阳中学高考数学模拟试卷

2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模模拟理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第1题5分集合A={x∣x(x−2)>0}，B={x∣x−1>0}，则A∩B=（）．A. {x∣x>2}B. {x∣1<x<2}C. {x∣x<0或x>1}D. {x∣x>1}2、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第2题5分若复数z满足z−√3(1+z)i=1，复数z的共轭复数是z，则z+z=（）．A. 1B. 0C. −1D. −12+√32i3、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第3题5分在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a=3，b=4，∠C=120°，则c=（）．A. 37B. 13C. √13D. √374、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第4题5分直线ax+by+√2ab=0(ab>0)与圆x2+y2=1的位置关系是（）．A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切5、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第5题5分在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE→=2EO→，则ED→=（）．A. 23AD→−13AB→B. 23AD→+13AB→C. 13AD→−23AB→D. 13AD→+23AB→6、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第6题5分若a∈[1,6]，则函数y=x 2+ax在区间[2,+∞)上单调递增的概率是（）．A. 15B. 25C. 35D. 457、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第7题5分2020年安徽合肥高三零模理科第10题5分函数f(x)=ln⁡x⋅(e x−1)e x+1的图象大致为（）．A.B.C.D.8、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第8题5分一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）．A. 24πB. 8√6πC. 4√33πD. 12π9、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第9题5分(x−1x +1)5展开项中的常数项为（）．A. 1B. 11C. −19D. 5110、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第10题5分△ABC中，lg⁡cos⁡A=lg⁡sin⁡C−lg⁡sin⁡B=−lg⁡2，则△ABC的形状是（）．A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形11、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第11题5分 点A ，B ，C 是单位圆O 上的不同三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若OC →=mOA →+nOB →（m >0，n >0），m +n =2，则∠AOB 的最小值为（ ）．A. π6B. π3C. π2D. 2π312、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第12题5分 直线y =kx +1与抛物线C ：x 2=4y 交于A ，B 两点，直线l//AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记△PAB 的面积为S ，则S −|AB|的最小值为（ ）．A. −94B. −274C. −3227D. −6427二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第13题5分已知f(x)=sin⁡[π3(x+1)]−√3cos⁡[π3(x+1)]，则f(1)+f(2)+⋯+f(2020)=．14、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第14题5分已知x，y满足{x⩾1 x+y⩽4ax+by+c⩽0，且目标函数z=2x+y的最大值为7，最小值为1，则a+b+ca=．15、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第15题5分若f(x)=13kx3+(k−2)x2−5k+7在(0,2)上单调递减，则k的取值范围是．16、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第16题5分2020年安徽合肥高三零模理科第15题5分若函数f(x)=2|x−2a|−4|x+a|在区间(−2,+∞)上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共60分）17、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第17题12分a n+1，n∈N∗．在数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+⋯+na n=n+12(1) 求数列{a n}的通项a n．(2) 若存在n∈N∗，使得a n⩽(n+1)λ成立，求实数λ的最小值．18、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第18题12分绵阳市为了激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作．市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）统计结果如下表所示．(1) 根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ,210)，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求P(36<Z⩽79.5)．(2) 在（1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：(i)得分不低于μ的可以获得2次抽奖机会，得分低于μ的可以获得1次抽奖机会．(ii)每次抽奖所获奖券和对应的概率为：现有市民甲要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和，求X的分布列与数学期望．附：参考数据与公式，√210≈14.5．若X∼N(μ,σ2)，则①P(μ−σ<X⩽μ+σ)=0.6827；②P(μ−2σ<X⩽μ+2σ)=0.9545；③P(μ−3σ<X⩽μ+3σ)=0.9973．19、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第19题12分如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．(1) 求证：AB 1⊥CC 1．(2) 若AB 1=√6，求平面A 1B 1C 1和平面ACB 1所成锐二面角的余弦值．20、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第20题12分 2020年安徽合肥高三零模理科第22题12分已知f (x )=e x −mx ．(1) 若曲线y =ln⁡x 在点(e 2,2)处的切线也与曲线y =f (x )相切，求实数m 的值．(2) 试讨论函数f (x )零点的个数．21、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第21题12分已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P (1,32)在椭圆C 上，满足PF 1→⋅PF 2→=94．(1) 求椭圆C 的标准方程．(2) 直线l 1过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线l 2与l 1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两点M ，N ，与直线x =1交于点K （K 介于M ，N 两点之间）．① 求证：|PM |⋅|KN |=|PN |⋅|KM |．②是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出l2的方程，若不能，请说明理由．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，选做1小题）【选修4-4：坐标系与参数方程】22、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第22题10分2017~2018学年4月四川成都双流区高三下学期月考理科第22题10分2018年四川宜宾高三二模文科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosαy=2sinα(α为参数)．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsinθ=√3．(1) 求曲线C1的极坐标方程．(2) 设C1和C2交点的交点为A，B，求△AOB的面积．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第23题10分已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x．(1) 解关于x的不等式g(x)⩾f(x)−|x−1|．(2) 如果对任意的x∈R，不等式g(x)+c⩽f(x)−|x−1|恒成立，求实数c的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 C;3 、【答案】 D;4 、【答案】 D;5 、【答案】 A;6 、【答案】 C;7 、【答案】 B;8 、【答案】 A;9 、【答案】 B;10 、【答案】 B;11 、【答案】 D;12 、【答案】 D;13 、【答案】√3;14 、【答案】−2;15 、【答案】(−∞,1];16 、【答案】a=0或a⩾12;17 、【答案】 (1) a n={1,(n=1)2n×3n−2,(n⩾2)．;(2) 13．;18 、【答案】 (1) 0.8186．;(2)EX=36．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 35．;20 、【答案】 (1) m=1−e−2．;(2) 0⩽m<e时，f(x)无零点；m<0或m=e时，f(x)有一个零点；m>e时，f(x)有两个零点．;21 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2)①证明见解析．②不存在直线l2,证明见解析．;22 、【答案】 (1) C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．;(2) △ABO的面积为√3．;23 、【答案】 (1) [−1,12]．;(2) (−∞,−98]．;。

2020年四川绵阳高三三模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合，，则中元素的个数是（ ）．A. B. C. D.2.已知复数满足，则（ ）．A. B. C. D.3.已知，则（ ）．A. B. C. D.4.有报道称，据南方科技大学，上海交大等家单位的最新研究显示：、、、血型与易感性存在关联，具体调查数据统计如下：武汉市名正常人血型占比武汉市名患者血型占比型型型型A.与非型血相比，型血人群对相对不易感，风险较低B.与非型血相比，型血人群对相对易感，风险较高C.与型血相比，非型血人群对都不易感，没有风险D.与型血相比，型，型血人群对的易感性要高5.在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（ ）．A.B.C.D.6.已知在中，，则一定是（ ）．A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形7.已知两个单位向量，的夹角为，若向量，则（ ）．A.B.C.D.8.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图，若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在轴上的双曲线 )上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为，到渐近线距离为 ，则此双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.9.设函数，则下列结论错误的是（ ）．A.函数的值域为B.函数为偶函数C.函数为奇函数D.函数是定义域上的单调函数10.已知函数 的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是（ ）．A.B.C.D.11.已知为实数，表示不超过的最大整数，若函数，则函数的零点个数为（ ）．A.B.C.D.12.在中，，，，为上的一点（不含端点），将沿直线折起，使点在平面上的射影在线段上，则线段的取值范围是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知 ，则 ．14.若曲线，在点处的切线的倾斜角为，则实数 ．15.已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，若，且的面积为，则 ．16.在一个半径为的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.若数列的前项和为，已知，．求．设，求证：．（1）（2）18.如图，已知点为正方形所在平面外一点，是边长为的等边三角形，点为线段的中点．证明：平面．若侧面底面，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．（1）（2）19.年月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期天内每天配送的蔬菜量，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装)，并分组统计得到表格如下：蔬菜量天数若将频率视为概率，试解答如下问题：该物流公司负责人决定随机抽出天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这天配送的蔬菜量中至多有天小于件的概率；该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损元．为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁几辆货车?（1）20.已知函数，其中．当时，求函数的极值．【答案】解析:∵，∴表示点在上，∵，∴表示点在上，和，（2）试讨论函数在上的零点个数．（1）（2）21.已知动直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，且点在轴上方．若线段的垂直平分线交轴于点，若，求直线的斜率．设点，若点恒在以为直径的圆外，求的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线、都过极点．分别写出半圆、圆的极坐标方程．直线与曲线，分别交于、两点（异于极点），为上的动点，求面积的最大值．（1）（2）23.已知函数．解关于的不等式．若函数的最小值记为，设，，均为正实数，且，求的最小值．C 1.∴中元素个数为，故选：．解析:∵，∴．故选．解析:∵，∴，∴．故选．解析:∵展开式中，仅第四项的系数最大，∴，，令，，∴．故选．解析:∵，∴，B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.，∴一定为等腰三角形，故选：．解析:因为，为单位向量，所以，又因为，的夹角为，所以，又因为，所以．故．故选．解析:∵上焦点到上顶点的距离为，∴，又到渐近线距离为，而倾斜角的正切值为，∴，又，∴，∴，即，∴，，A 7.C 8.故选．解析:∵,对于：令，则，∴，而，∴，∵为奇函数，故选项正确；对于：令，则，∴，令，则，∴，∴时，∴为偶函数，故选项正确；对于：当时，为单增函数，当时，，也为单增函数，∴是定义域上的单调函数，故选项正确；对于：时，没有定义，故值域不为，故选项错．故选．解析:∵最小正周期为，，，又关于中心对称，∴，，A 9.D 10.∴，，，，，令，∴，，∴，=，∴，∴，选．解析:令，∴，∴的零点个数即为函数与函数的交点个数．时，，时，，时，，∴的图象为∴，又∵，B 11.∴，∴时，，时，，∴在单减，在单增，时，又时，∴的图象为又时，∴与图象只有两个交点，即零点个数为．故选．解析:由题知：，，，∴，，现分析将在线段上移动时变化情况（移动方向从到），①当在线段上移动很小时，沿折叠后不会出现在平面上投影点在线段上的情况 ;A 12.②继续移动，会出现沿折叠后恰好在线段上，此时也就是出现点在平面上的投影点在线段上的临界情况，此时，，即线段临界情况为 ;③继续移动，会出现平面且点在向点方向移动，∴ ;④再移动点，直到至点时，为另一临界情况，，，∴，∴ .故选．13.解析:∵，∴，即，∴．14.解析:∵，∴，，∴．解析:设，，，则由椭圆的定义可得：①，在中，，由余弦定理得：②，则得，又因为，∴．故答案为：．解析:设正四棱柱高为，钢球球心为，为在正四棱柱底面投影．∴，，．∴．∴体积．∴．当时，．当时，．∴当时，正四棱柱体积最大．故答案为．15.①②16.（1）（2）（1）（2）解析:由，得，∴，即．∵，∴数列是一个首项为，公比为的等比数列，故．由，得．解析:连接交于，连接．∵正方形，为中点，又为中点，∴ ．又平面， 平面，∴平面．取的中点为，连接并延长，显然．在等边三角形中，易得，（1）．（2）证明见解析．17.（1）证明见解析．（2）．18.（1）（2）∵侧面 底面，且侧面底面，∴ 平面．∴，，于是可以为原点，分别以、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图．得，，，，，∴ ，，，，设平面的一个法向量为，则 ，解得，令，则，所以 ．设平面的法向量为．∴ ，令 ，则， ，所以 ．∴ ，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．解析:记事件为“在天随机抽取天，其蔬菜量小于件”．则．∴随机抽取的天中配送的蔬菜量中至多有天的蔬菜量小于件的概率为．由题意得每天配送蔬菜量在，，，的概率分别为．设物流公司每天的营业利润为．（1）．（2）辆车．19.（1）（2）若租赁辆车，则的值为元；若租赁辆车，则的可能取值为，．其分布列为：故元；若租赁辆车，则的可能取值为，，，其分布列为：故元；若租赁辆车，则的可能取值为，，，，其分布列为：故元；因为．所以为使该物流公司每天的营业利润最大，该公式应租赁辆车．解析:当时，，，得．∴函数在和上单调递增，在上单调递减，∴当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值．（1）极大值，极小值．（2）当，在上有唯一零点；当或时，在上有没有零点．20.，当时，得在上递减，，故在上没有零点；当时，得在上递增，，故在上没有零点：当，即，得在上递减，要使在上有零点，则解得：，当，即时，得在上递减，在上递增，由于，，令，令，则，∴在上递减，故，即 ，∴在上递增，故，即，∴在上没有零点．综上所述，当，在上有唯一零点；当或时，在上没有零点．（1）．21.（2）．（1）（2）解析:设直线的方程为，若，则的垂直平分线与轴重合，与题意不合，若，设，，线段的中点，联立方程，整理得，由韦达定理得，，∴，，即，故线段的垂直平分线的方程为，令，则，即，解得，综上所述，直线的斜率．故答案为：直线的斜率．点恒在以为直径的圆外，则为锐角，等价于，设，，，则，，故恒成立，令，则，原式等价于对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，①，解得，（1）（2）（1）②，解得，又，故，综上所述，的取值范围是．故答案为：．解析:由题意得，半圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为．由()得，，显然当点到直线的距离最大时，面积最大．此时点为过且与直线垂直的直线与圆的一个交点，如图，设与直线垂直于点，在中，，∴点到直线的最大距离为，∴面积的最大值为．解析:当时，，解得，当时，，满足题意；当时，，解得．（1）半圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为．（2）面积的最大值为．22.（1）．（2）．23.（2）综上所述，不等式的解集为．由，即的最小值为，即．．当且仅当时等号成立，所以最小值为．。

2020届绵阳南山中学高考（理科）数学三诊模拟试卷一、选择题（共12小题）1．若焦合A＝{x|x（x﹣2）＞0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x＞1}2．若复数z满足，复数z的共轭复数是，则z+＝（）A．1 B．0 C．﹣1 D．3．在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝120°，则c＝（）A．37 B．13 C．D．4．直线与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切5．如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则＝（）A．B．C．D．6．若a∈[1，6]，则函数在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．8．一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A．24πB．C．D．12π9．（x﹣+1）5展开式中的常数项为（）A．1 B．11 C．﹣19 D．5110．△ABC中，如果lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形11．如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m+n，（m＞0，n＞0），m+n＝2，则∠AOB的最小值为（）A．B．C．D．12．直线y＝kx+1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，直线l∥AB，且l与C相切，切点为P，记△PAB 的面积为S，则S﹣|AB|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13．已知，则f（1）+f（2）+…+f（2020）＝．14．已知x，y满足且目标函数z＝2x+y的最大值为7，最小值为1，则＝．15．若f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，则k的取值范围是．16．若函数f（x）＝2|x﹣2a|﹣4|x+a|在区间（﹣2，+∞）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在数列{a n}中，a1＝1，a1+2a2+3a3+…+na n＝．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若存在n∈N*，使得a n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．18．为创建文明城市，我市从2017年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作．为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）统计结果如表所示．组别[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数25 150 200 250 225 100 50（1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210）μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求P（36＜Z≤79.50）；（2）在（1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：（ⅰ）得分不低于μ的可以获得2次抽奖机会，得分低于μ的可以获得1次抽奖机会；（ⅱ）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：中奖的奖券面值（单元：元）20 40概率0.8 0.2现有市民甲要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和，求X的分布列与数学期望．附：参考数据与公式≈14.5，若X～N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ≤σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2．（I）求证：AB1⊥CC1；（II）若，求平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值．20．已知f（x）＝e x﹣mx．（Ⅰ）若曲线y＝lnx在点（e2，2）处的切线也与曲线y＝f（x）相切，求实数m的值；（Ⅱ）试讨论函数f（x）零点的个数．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（1，）在椭圆C上，满足＝．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M，N，与直线x＝1交于点K（K介于M，N两点之间）．（i）求证：|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|；（ii）是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN 的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出l2的方程；若不能，请说明理由．请考生在[22]、[23]题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsinθ＝．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）设C1和C2交点的交点为A，B，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．若焦合A＝{x|x（x﹣2）＞0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x＞1}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＜0，或x＞2}，B＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|x＞2}．故选：C．2．若复数z满足，复数z的共轭复数是，则z+＝（）A．1 B．0 C．﹣1 D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由，得z＝＝，∴，则z+＝﹣1．故选：C．3．在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝120°，则c＝（）A．37 B．13 C．D．【分析】由已知结合余弦定理即可求解．解：因为a＝3，b＝4，∠C＝120°，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝9＝37．故c＝．故选：D．4．直线与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【分析】根据点到直线的距离得到d＝，结合基本不等式a2+b2≥2ab（ab＞0），可得d的取值范围，即可得到与原的位置关系．解：圆心（0，0）到直线的距离d＝，因为a2+b2≥2ab（ab＞0），代入可得d≤1，故选：D．5．如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则＝（）A．B．C．D．【分析】由平面向量的基本定理得：＝＝﹣＝（）＝，得解解：＝＝﹣＝（）＝，故选：C．6．若a∈[1，6]，则函数在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（）A．B．C．D．【分析】求出函数y＝在区间[2，+∞）内单调递增时，a的范围，以长度为测度，即可求出概率．解：∵函数y＝在区间[2，+∞）内单调递增，∴y′＝1﹣＝≥0，在[2，+∞）恒成立，∴a≤x2在[2，+∞）恒成立，∴a≤4∵a∈[1，6]，∴a∈[1，4]，∴函数y＝在区间[2，+∞）内单调递增的概率是＝，故选：C．7．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数且在（0，+∞）上为增函数，据此分析选项即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣x）＝ln＝＝f（x），即函数f（x）为偶函数，排除A、D；对于f（x）＝，设t＝，则y＝lnt；在（0，+∞）上，t＝＝x（1﹣），易得t在（0，+∞）上为增函数，又由y＝lnt在（0，+∞）上为增函数，则f（x）＝在（0，+∞）为增函数，排除C；故选：B．8．一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A．24πB．C．D．12π【分析】由四面体A﹣BCD所有棱长都为4，求出边长CD＝4，CD边上的高BE＝2，侧棱AB 在底面上的射影BG＝，三棱锥的高AG＝，由此求出球O的半径r，由此能求出球的表面积．解：∵四面体A﹣BCD所有棱长都为4，如图，∴边长CD＝4，CD边上的高BE＝2，侧棱AB在底面上的射影BG＝，三棱锥的高AG＝，设OA＝OB＝r，则r2＝（﹣r）2+（）2，解得r＝，∴球的表面积S球＝4πr2＝24π．故选：A．9．（x﹣+1）5展开式中的常数项为（）A．1 B．11 C．﹣19 D．51【分析】类比二项展开式的通项处理即可．解：依题意，（x﹣+1）5展开式中r个因式选择x，s个因式选择﹣，则展开项为：T＝＝，要使该项为常数，则r＝1，①当r＝s＝0时，对应常数为1；②当r＝s＝1时，对应常数为＝﹣20；③当r＝s＝2时，对应常数为＝30；所以展开式的常数项为1﹣20+30＝11．故选：B．10．△ABC中，如果lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】由lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2可得lg cos A＝lg＝﹣lg2可得结合0＜A＜π 可求，，代入sin C＝sin B＝＝，从而可求C，B，进而可判断解：由lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2可得lg cos A＝lg＝﹣lg2∴∵0＜A＜π∴，∴sin C＝sin B＝＝∴tan C＝，C＝，B＝故选：B．11．如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m+n，（m＞0，n＞0），m+n＝2，则∠AOB的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设圆O的半径为1，对＝m+n，两边平方可得1＝m2+2mn cos∠AOB+n2，根据已知条件可知m，n∈（0，2），所以将m＝2﹣n带入上式并求出cos∠AOB的表达式，进而得到答案．解：由已知条件知，m，n∈（0，2），设圆O的半径为1；2＝（m+n）2；∴1＝m2+2mn cos∠AOB+n2；将m＝2﹣n带入并整理得﹣2n2+4n﹣3＝（﹣2n2+4n）cos∠AOB；∴cos∠AOB＝1+；∵n∈（0，2）时，2n2﹣4n＜0；且n＝1时，2n2﹣4n取最小值﹣2，1+取最大值﹣；此时，∠AOB＝，即为最小值．故选：A．12．直线y＝kx+1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，直线l∥AB，且l与C相切，切点为P，记△PAB 的面积为S，则S﹣|AB|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设出A，B的坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求得P到AB的距离，得到△PAB的面积为S，作差后利用导数求最值．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，．则|AB|＝．由x2＝4y，得，，设P（x0，y0），则，x0＝2k，．则点P到直线y＝kx+1的距离d＝，从而S＝．S﹣|AB|＝（d≥1）．令f（x）＝2x3﹣4x2，f′（x）＝6x2﹣8x（x≥1）．当1≤x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，故，即S﹣|AB|的最小值为．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13．已知，则f（1）+f（2）+…+f（2020）＝．【分析】根据题意，函数的解析式变形可得f（x）＝2sin，分析可得其周期，进而可得f（1）+f（2）+…+f（2020）＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2sin+2sin+2sinπ+2sin，进而计算可得答案．解：根据题意，＝2[sin（+）﹣cos （+）]＝2sin，其周期T＝＝6，f（1）+f（2）+…+f（2020）＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2sin+2sin+2sinπ+2sin＝；故答案为：．14．已知x，y满足且目标函数z＝2x+y的最大值为7，最小值为1，则＝﹣2．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．解：由题意得：目标函数z＝2x+y在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，∴A（1，﹣1），B（3，1），∴直线AB的方程是：x﹣y﹣2＝0，∴则＝﹣2．故填：﹣2．15．若f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，则k的取值范围是（﹣∞，1]．【分析】f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减⇔f′（x）＝kx2+2（k﹣2）x≤0在x∈（0，2）恒成立，分①当k＜0，②当k＝0，③当k＞0时，三类讨论，利用对应的函数的性质分析解决即可．解：∵f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，∴f′（x）＝kx2+2（k﹣2）x≤0在x∈（0，2）恒成立，①当k＜0，f′（x）＝kx2+2（k﹣2）x的图象开口向下，对称轴方程为x＝﹣＝﹣1+＜0，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0恒成立，故f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，满足题意；②当k＝0时，f（x）＝﹣2x2+7的图象开口向下，在（0，2）上单调递减，满足题意；③当k＞0时，由f′（x）≤0对∀x∈（0，2）恒成立得：，解得0＜k≤1；综上所述，k∈（﹣∞，1]故答案为：（﹣∞，1]．16．若函数f（x）＝2|x﹣2a|﹣4|x+a|在区间（﹣2，+∞）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是a ＝0或a≥【分析】利用转化思想，将函数的零点转化为y＝2|x﹣2a，y＝22|x+a|图象的交点．解：若函数f（x）＝2|x﹣2a|﹣4|x+a|在区间（﹣2，+∞）上有且仅有一个零点，令g（x）＝2|x﹣2a|，h（x）＝4|x+a|＝22|x+a|，即g（x）与h（x）图象在（﹣2，+∞）有且只有一个交点．∵g（x），h（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，所以①2（x+a）＝x﹣2a在（﹣2，+∞）恒成立，即a≥；②2（x+a）＝﹣（x﹣2a）在（﹣2，+∞）恒成立，即a＝0．故a的取值范围是a＝0或a≥．故答案为：a＝0或a≥．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在数列{a n}中，a1＝1，a1+2a2+3a3+…+na n＝．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若存在n∈N*，使得a n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．【分析】（1）把已知等式中的n换成n﹣1，再得到一个式子，两式相减可得＝，求得a2＝1，累乘化简可得数列{a n}的通项a n．（2），由（1）可知当n≥2时，，，可证{}是递增数列，又及，可得λ≥，由此求得实数λ的最小值．解：（1）当n≥2时，由a1＝1 及①可得②．两式相减可得na n＝﹣，化简可得＝，∴a2＝1．∴••…＝＝×××…×＝＝．综上可得，．…（2），由（1）可知当n≥2时，，设，…则，∴，故当n≥2时，{}是递增数列．又及，可得λ≥，所以所求实数λ的最小值为．…18．为创建文明城市，我市从2017年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作．为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）统计结果如表所示．组别[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数25 150 200 250 225 100 50（1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210）μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求P （36＜Z≤79.50）；（2）在（1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：（ⅰ）得分不低于μ的可以获得2次抽奖机会，得分低于μ的可以获得1次抽奖机会；（ⅱ）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：中奖的奖券面值（单元：元）20 40概率0.8 0.2现有市民甲要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和，求X的分布列与数学期望．附：参考数据与公式≈14.5，若X～N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ≤σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．【分析】（1）由题意求出Ez＝65，从而μ＝65，进而P（50.5＜z≤79.5）≈0.6287，p（36＜Z≤94）≈0.9545．由此能求出p（36＜Z≤79.5）．（2）由题意知P（z＜μ）＝P（Z≥μ）＝，获奖券面值X的可能取值为20，40，60，80．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．解：（1）由题意得Ez＝35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05＝65．∴μ＝65，∵＝14.5，∴P（50.5＜z≤79.5）≈0.6287，p（36＜Z≤94）≈0.9545．∴p（36＜Z≤50.5）≈＝0.1359，综上，p（36＜Z≤79.5）＝p（36＜Z≤50.5）+p（50.5＜Z≤79.5）≈0.1359+0.6287＝0.8186．（2）由题意知P（z＜μ）＝P（Z≥μ）＝，获奖券面值X的可能取值为20，40，60，80．P（X＝20）＝，P（X＝40）＝＝，P（X＝60）＝＝，P（X＝80）＝＝．∴X的分布列为：X20 40 60 80P∴EX＝+＝36．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2．（I）求证：AB1⊥CC1；（II）若，求平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值．【分析】（I）取CC1中点为O，连结AC1，CB1，OA，OB1，推导出CC1⊥OA，CC1⊥OB1，从而CC1⊥平面AOB1，由此能证明AB1⊥CC1．（II）以，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用同量法能求出平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（I）取CC1中点为O，连结AC1，CB1，OA，OB1，．解：（II）由（I）及AC＝2知，，又∴AO⊥OB1，∴以，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，C1（0，1，0），，，C（0，﹣1，0）∴，，，，设平面A1B1C1的法向量为＝（a1，b1，c1），平面ACB1的法向量为＝（a2，b2，c2），则，取＝（1，，﹣1）＝（﹣1，，﹣1），设平面A1B1C1与平面ACB1所成锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值为．20．已知f（x）＝e x﹣mx．（Ⅰ）若曲线y＝lnx在点（e2，2）处的切线也与曲线y＝f（x）相切，求实数m的值；（Ⅱ）试讨论函数f（x）零点的个数．【分析】（Ⅰ）求得y＝lnx的导数，可得切线的斜率和方程，求y＝f（x）的导数，设切点为（s，t），求得切线的斜率，可得m的方程，解方程，结合构造函数，即可得到所求值；（Ⅱ）求得f（x）的导数，讨论m＜0，m＝0，m＝e，0＜m＜e，m＞e，判断f（x）的单调性和函数值的变化，以及最值的符号，可得所求零点个数．解：（Ⅰ）y＝lnx的导数为y′＝，可得曲线y＝lnx在点（e2，2）处的切线斜率为e﹣2，切线方程为y﹣2＝e﹣2（x﹣e2），f（x）＝e x﹣mx的导数为f′（x）＝e x﹣m，设与曲线y＝f（x）相切的切点为（s，t），可得切线的斜率为e s﹣m，则e s﹣m＝e﹣2，t＝e s﹣ms＝2+se﹣2﹣1，化为e s﹣se s＝1，设y＝e x﹣xe x，可得y′＝﹣xe x，当x＞0时函数y递减，x＜0时函数y递增，可得x＝0处函数y取得最大值1，解得s＝0，m＝1﹣e﹣2；（Ⅱ）f（x）＝e x﹣mx的导数为f′（x）＝e x﹣m，当m≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上递增，当m＝0时，f（x）＝e x无零点；当m＜0时，x→﹣∞，f（x）→﹣∞，可得f（x）有一个零点；当m＞0时，由x＞lnm，f′（x）＞0，f（x）递增，由x＜lnm，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x＝lnm处取得极小值，且为最小值m﹣mlnm，当m﹣mlnm＞0，即0＜m＜e时，f（x）无零点；当m﹣mlnm＝0，即m＝e时，f（x）有一个零点；当m﹣mlnm＜0即m＞e时，f（x）有两个零点．综上可得，0≤m＜e时，f（x）无零点；m＜0或m＝e时，f（x）有一个零点；m＞e时，f（x）有两个零点．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（1，）在椭圆C上，满足＝．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M，N，与直线x＝1交于点K（K介于M，N两点之间）．（i）求证：|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|；（ii）是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出l2的方程；若不能，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据题意，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则有•＝（﹣c﹣1，﹣）•（c ﹣1，﹣），解可得题意可得c的值，进而由椭圆的定义可得a的值，计算可得b的值，将a、b 的值代入椭圆的方程可得答案；（Ⅱ）（ⅰ）设l1方程为y﹣＝k（x﹣1），与＝1联立，可得关于x的一元二次方程，令△＝0解可得k的值，结合题意可以设直线l2方程，联立两直线方程，整理可得x2+tx+t2﹣3＝0，由根与系数的关系分析可得PM、PN关于直线x＝1对称，即∠MPK＝∠NPK，进而由正弦定理分析可得，即可得证明；（ⅱ）由（ⅰ）知，k PM+k PN＝0，k l1＝﹣，k l2＝，假设存在直线l2，满足题意．不妨设k PM＝﹣k，k PN＝k，（k＞0），由等比数列的性质分析可得q＝﹣1，进而分析可得结论．解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，则•＝（﹣c﹣1，﹣）•（c﹣1，﹣）＝1﹣c2+，所以c＝1，因为2a＝|PF1|+|PF2|＝4，所以a＝2，又由c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，故椭圆C的标准方程为＝1；（Ⅱ）（ⅰ）证明：设l1方程为y﹣＝k（x﹣1），与＝1联立，消y得（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（3﹣2k）2﹣12＝0由题意知△＝0，解得k＝﹣，因为直线l2与l1的倾斜角互补，所以l2的斜率是．设直线l2方程：y＝x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得x2+tx+t2﹣3＝0，由△＞0，得t2＜4，x1+x2＝﹣t，x1•x2＝t2﹣3；直线PM、PN的斜率之和k PM+k PN＝＝＝＝0所以PM、PN关于直线x＝1对称，即∠MPK＝∠NPK，在△PMK和△PNK中，由正弦定理得，，又因为∠MPK＝∠NPK，∠PKM+∠PKN＝180°所以故|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|成立；（ⅱ）由（ⅰ）知，k PM+k PN＝0，k l1＝﹣，k l2＝，假设存在直线l2，满足题意．不妨设k PM＝﹣k，k PN＝k，（k＞0）若﹣，﹣k，k按某种排序构成等比数列，设公比为q，则q＝﹣1或q2＝﹣1或q3＝﹣1．所以q＝﹣1，则k＝，此时直线PN与l2平行或重合，与题意不符，故不存在直线l2，满足题意．请考生在[22]、[23]题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsinθ＝．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）设C1和C2交点的交点为A，B，求△AOB的面积．【分析】（1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用方程组求出交点坐标，进一步求出三角形面积．解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数的C1的直角坐标方程为：x2﹣4x+y2＝0．所以：C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ（2）解方程组，得到：4sinθcosθ＝．所以：，则：（k∈Z）．当（k∈Z）时，，当（k∈Z）时，ρ＝2．所以：C1和C2的交点极坐标为：A（），B（）．所以：．故△ABO的面积为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．【分析】先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（x2﹣2x），∴g（x）＝﹣x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2﹣|x﹣1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，由①得，而②无解．∴原不等式的解集为．（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|可化为：c≤2x2﹣|x﹣1|．作出函数F（x）＝2x2﹣|x﹣1|的图象（这里略）．由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是．。

数学试卷一、选择题1.已知复数z 满足1i z =+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 的虚部为( ) A ．1-B ．1C ．i -D ．i2.设{}{}24,4P x x Q x x =<=<，则( ) A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R P Q ⊆ðD ．R Q P ⊆ð3.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为4,n S a 是3a 与7a 的等比中项，832S =，则10S 等于( ) A ．18B ．24C ．60D ．904.函数3e e x xy x x--=-的图像大致是( )A ．B ．C ．D ．5.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布()210,0.1N （单位：kg ）现抽取500袋样本，x 表示抽取的面粉质量在()10,10.2kg 的袋数，则x 的数学期望约为( )附：若()2,Z N μσ-，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+≈，()220.9544P Z μσμσ-<≤+≈A ．171B ．239C ．341D ．4776.已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，只需将()y f x =的图象( )A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度7.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积 （单位：3cm ）是( )A ．8B ．8πC ．16D ．16π8.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当他们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9.我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为 ( ) A ．1415B ．15C ．29D ．7910.若抛物线24y x =上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则OFP △的面积为( ) A ．12B ．1C ．32D ．211.设2018log a =2019log b =，120192018c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>12.如图，直角梯形ABCD ，90ABC ∠=︒，2CD =，1AB BC ==，E 是边CD 中点，ADE △沿AE 翻折成四棱锥D ABCE '-，则点C 到平面ABD '距离的最大值为( )A ．12B C D ．1二、填空题13.双曲线2221x y -=的渐近线方程为_____________. 14.若1234,,,a a a a 成等比数列，且12323a a =-，2324a a =-，则公比q =_____________. 15.若函数(),021,01x x f x x mx m ⎧≥+⎪=⎨<+-⎪⎩在(),-∞+∞上单调递增，则m 的取值范围是__________．16.已知函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点()1,1--为中心的中心对称图形，2()e x g x ax bx =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线互相垂直，则a b +=__________． 三、解答题17.已知数列{}n a 为等差数列，7210a a -=，且1621,,a a a 依次成等比数列. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若225n S =，求n 的值. 18.“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友(女20人，男20人)在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0～2000步，(说明：“0～2000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理)，B 、2000～5000步，C 、5000～8000步，D 、8000～10000步，E 、10000～12000步，且A B C 、、三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”．(Ⅰ)若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000～8000的人数；(Ⅱ)若在大学生M 该天抽取的步数在8000～12000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；(Ⅲ)请根据抽取的样本数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95％的把握认为“认定类别”与“性别”有关？19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，面ADP ⊥面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．（I ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得//AF 面PCE ，并说明理由； （II ）当二面角D FC B --的余弦值为14时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角． 20.已知椭圆22:1189x y C +=的短轴端点为12,B B ，点M 是椭圆C 上的动点，且不与12,B B 重合，点N 满足1122,NB MB NB MB ⊥⊥.（Ⅰ）求动点N 的轨迹方程； （Ⅱ）求四边形21MB NB 面积的最大值. 21.已知设函数()ln(2)(1)e ax f x x x =+-+. （I ）若0a =，求()f x 极值；（II ）证明：当1,0a a >-≠时，函数()f x 在()1,-+∞上存在零点.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，且0t >，π(0,)2α∈），曲线2C 的参数方程为cos 1x y sin ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数，且ππ(,)22β∈-）.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为π1cos ((0,))2ρθθ=+∈，曲线4C 的极坐标方程为cos 1ρθ=.（I ）求3C 与4C 的交点到极点的距离；（II ）设1C 与2C 交于P 点，1C 与3C 交于Q 点，当α在π(0,)2上变化时，求||||OP OQ +的最大值.23.设0a b >>，且2ab =，记22a b a b+-的最小值为M .（I ）求M 的值，并写出此时,a b 的值；（II ）解关于的不等式：332x x M ++->.参考答案1.答案：A解析：∵1i z =-+∴1i z =-则复数z 的共轭复数z 的虚部为1-故选：A 2.答案：B解析：{}22Q x x =-<<,所以Q P ⊆.选B 3.答案：C解析：4a ∵是3a 与7a 的等比中项，2437a a a =∴，即()()()2111326a d a d a d +=++， 又因为0d ≠，所以1230a d +=①， 又81568322S a d ===∵， 整理得1278a d +=②，由①②联立，解得12,3d a ==-， 1019010602S a d =+=∴. 4.答案：A解析：由()3e e x xf x x x --=-,得()()33e e e e x x x xf x f x x x x x -----===-+-， 可得()f x 为偶函数，排除C ；当x →+∞时, 3e ,e 0,x x x x -→+∞→-→+∞，结合“指数爆炸”可得()3e e x xf x x x --=→+∞-，排除B ，D. 故选：A. 5.答案：B解析：∵()220.9544P Z μσμσ-<≤+≈，且10,0.1μσ==， ∴()9.810.20.9545P X <<≈,∴()0.95451010.20.477252P X <<==， 则面粉质量在()10,10.2kg 的袋数Y 服从二项分布,即()500,0.47752Y B ~， 则()5000.47752239E Y =⨯≈. 故选：B. 6.答案：D解析：因为函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，所以22T π=， 所以T π=， 所以22πωπ==，即()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又()sin 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即为了得到函数()sin 2g x x =的图象,只需将()y f x =的图象向右平移12π个单位长度， 故选：D. 7.答案：B解析：由三视图可知：该几何体为底面半径为2cm ，高为4cm 的圆柱截去12， 其体积为整个圆柱体积的12，即()()231248cm 2ππ⨯⨯=.故选：B. 8.答案：B解析：①当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，②当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，③当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，④当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁， 综合①②③④得： 读了该篇文章的学生是乙， 故选：B. 9.答案：A解析：从10部名著中选择2部名著的方法数为9+8+7+6+5+4+3+2+1=45种， 2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为6+5+4+3+2+1=21种， 只有1部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为7×3=21种， ∴事件“所选两部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著”的概率：42144515P ==. 10.答案：B解析：由抛物线定义, 12p PF x =+=,所以1,2p p x y ==，所以, PFO △的面积1112122p S OF y ==⨯⨯=. 故选：B 11.答案：C解析：∵函数2018log y x =在()0,+∞是增函数，且2201820192018<<，220182018218log 2018log 2019log 2018<<∴，即20181log 20192<<， 201811log 2019122<<∴，20181log log 20192a ==∵，112a <<∴. 2019log y x =∵在()0,+∞是增函数，且20182019<，20192019log 2018log 20191<=∴，201911log 201822<∴，20191log log 20182b ==∵，12b <∴∵函数2018x y =在R 上是增函数，且102019>， 102019201820181c =>=∴，c a b >>∴.故选：C. 12.答案：B解析：直角梯形,//,90,2,1ABCD AB CD ABC CD AB BC ∠=︒===, E 是边CD 中点,ADE △沿AE 翻折成四棱锥D ABCE '-， 当D E CE '⊥时,点C 到平面ABD 距离取最大值， ∵,D E AE CE AE E '⊥=I ,∴D E '⊥平面ABCE ，以E 为原点,EC 为x 轴,EA 为y 轴,ED '为z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()()()0,1,0,1,0,0,0,0,1,1,1,0A C D B '， ()()()1,0,0,1,1,0,0,1,1AB AC AD ==-=-u u u r u u u r u u u r，设平面ABD '的法向量(),,n x y z =r ，则00n AB x n AD y z ⎧⋅==⎪⎨'⋅=-+=⎪⎩r u u u r r u u u u r ,取1y =,得()0,1,1n =r ，∴点C到平面ABD'距离的最大值为：AC ndn⋅===u u u r rr.故选：B.13.答案：y=解析：由双曲线的方程知1,a b==by xa=±= 14.答案：32-解析：∵122332,243a a a a=-=-，∴1212332149a a aa a a q===∴32q=-故答案为：32-15.答案：(]0,3解析：∵函数(),021,01x xf xxmx m⎧≥+⎪=⎨<+-⎪⎩在().-∞+∞上单调递增，∴函数1y mx m=+-在区间(),0-∞上为增函数，∴1212mm>⎧⎪⎨-≤+=⎪⎩，解得03m<≤，∴实数m的取值范围是(]0,3.故答案为：(]0,316.答案：43-解析： 由1y x x =+的图象关于()0,0对称,()y f x =的图象可由1y x x=+平移可得。

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2+2x −3<0}，B ={x|2x ≥1}，则A ∩B =( )A. (−∞,−3]B. (−∞,1]C. (−3,0]D. [0,1)2. 设不等式组{x −y ≤2√2x +y ≥−2√2y ≤0所表示的区域为M ，函数y =−√4−x 2的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为( )A. π4B. π8C. π16D. 2π 3. 如图所示的程序框图是为了求出满足1+12+13+⋯+1n <100的最大正整数n的值，那么在“◇”和“▱”两个空白框中，可以分别填入( )A. “S <100？”和“输出i −1”B. “S <100？”和“输出i −2”C. “S ≥100？”和“输出i −1”D. “S ≥100？”和“输出i −2”4. 已知i 是虚数单位，则|2i1+i |=( ) A. 1 B. 2√2 C. 2 D. √25. “|b|≤√2”是“直线y =x +b 与圆x 2+y 2=1有公共点”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 数列{a n }中，已知a 61=2 000，且a n+1=a n +n ，则a 1等于( )A. 168B. 169C. 170D. 1717. 某组合体的三视图如图所示(其中侧视图中的弧线为半圆)，则该几何体的体积为( )A. 2π+2B. π+43C. 43π+43D. 2π+438. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 39. 若“0≤x ≤4”是“(x −a)[x −(a +2)]≤0”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. (0,2)B. [0,2]C. [−2,0]D. (−2,0)10. 已知奇函数f(x)在[−1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且α>β，则下列结论正确的是( )A. f(cos α)>f(cos β)B. f(sin α)>f(sin β)C. f(sin α)>f(cos β)D. f(sin α)<f(cos β) 11. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为( )A. √52B. √102C. √152D. √512. 已知函数f(x)={x −2lnx,x ⩾1−x 2+2x,x <1，若关于x 的方程f(x)=k 有3个不相等的实根，则实数k 的取值范围为( )A. (2−2ln 2,1)B. (−∞,2−2ln 2)C. (2−2ln 2,+∞)D. (1,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的两个焦点且F 1，F 2到直线x a +y b =1的距离之和为√3b ，则离心率e = ______ ．14. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=______．15. 小明、小刚、小红等5个人排成一排照相合影，若小明与小刚相邻，且小明与小红不相邻，则不同的排法有______ 种．16. 在△ABC 中，∠A 为钝角，AB =2，AC =3，AO⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且2λ+3μ=1，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |(其中x 为实数)的最小值为1，则|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在平面四边形ABCD中，已知∠ABC=3π，AB⊥AD,AB=1．4(1)若AC=√5，求ΔABC的面积；(2)若，求CD的长．18.某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组[40,50)，第二组[50,60)，…，第六组[90,100]，作出频率分布直方图，如图所示：(1)用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差(精确到个位)；(2)以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50名考生，记其中“优”的人数为Y，是估算Y的数学期望．19.如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，AA1⊥AB，AB=3,BC=5.(1)求证：AA1⊥BC；(2)求二面角A1−BC1−B1的余弦值.20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点P1(−2,0)、P2(−1,32)、P3(1,1)、P4(1,32)中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)过定点P(−2,t)(t≠0)作直线l、与椭圆C相交于不同的两点M、N，过点M作x轴的垂线分别与直线P1P2、P1N交于点A、B，若点A为线段MN的中点，求t的值．21.已知函数f(x)=e x−ax2−bx−1，其中a,b∈R，e=2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；(2)若f(1)=0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e−2<a<1．22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：{x=2+2cosθy=2sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α(ρ>0)．(1)将圆C的参数方程化为极坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,√3)，射线l与圆C交于点B不同于点O)，求△OAB面积的最大值．23.已知函数f(x)=|x−a|+|2x−2|(a∈R)．(1)当a=2时，求不等式f(x)>2的解集；(2)若x∈[−2,1]时不等式f(x)≤3−2x成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：A ={x|−3<x <1}，B ={x|x ≥0}；∴A ∩B =[0,1)．故选：D ．可解出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算． 2.答案：A解析：解：不等式组{x −y ≤2√2x +y ≥−2√2y ≤0所表示的区域为M ，作出可行域，得M 是如图所示的阴影三角形，该三角形的面积S =12×4√2×2√2=8，函数y =−√4−x 2的图象与x 轴所围成的区域为N ，N 是以O(0,0)为圆心，以2为半径的下半圆，该下半圆的面积S 半圆=12π×22=2π，∴由几何概型得：向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为S 半圆S =2π8=π4．故选：A ．作出可行域，得M 是等腰直角三角形，该三角形的面积S =12×4√2×2√2=8，N 是以O(0,0)为圆心，以2为半径的下半圆，由几何概型能求出向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率． 本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．3.答案：D解析：本题考查循环结构的程序框图，属于基础题．由题意程序循环至1+12+...+1i≥100时，退出循环，则判断框应填S≥1 00，由于满足1+12+13+⋯+1n≥1000后，又执行了一次i=i+1，故输出的应为i−2的值．解：求满足1+12+13+⋯+1n<1 00的最大正整数n 的值，初始值i=1，S=0，则S=1，i=2，...循环至1+12+...+1i≥100时，退出循环，所以在应填“S≥1 00”，因为当1+12+...+1i≥100时，i变为i+1，且应输出1+12+13+⋯+1n<1 00的最大n值，故输出“i−2”.故选D．4.答案：D解析：本题考查复数的运算及复数的模，直接计算即可，属基础题．解：2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i2=1+i，所以|2i1+i|=|1+i|=√2．故选D．5.答案：C解析：根据题意，求出圆x2+y2=1的圆心到直线y=x+b的距离d，由直线与圆的位置关系分析可得“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的充分必要条件；即可得答案．本题考查直线与圆位置关系的判断，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．解：根据题意，圆x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径r=1，圆心(0,0)到直线y=x+b的距离d=√2，若“|b|≤√2”，则d≤r，直线与圆相交或相切，直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点；则“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的充分条件；若“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”，则有d≤r，即√2≤1，解可得“|b|≤√2”，则“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的必要条件；故“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的充分必要条件；故选：C．6.答案：C解析：本题考查了数列的递推关系，累加法的应用，属于基础题．解：∵a61=2000,a n+1−a n=n，则a61=(a61−a60)+(a60−a59)+⋯+(a2−a1)+a1=60+59+⋯+1+a1=60×(60+1)2+a1=2000，∴a1=170．故选C．7.答案：B解析：解：几何体为半圆柱与正四棱锥的组合体，其中，半圆柱的底面半径为1，高为2，正四棱锥的底面边长为2，高为1，∴几何体的体积为V =π×12×2×12+13×22×1=π+43．故选：B ．几何体上部分半圆柱，下部分为正四棱锥，代入数据计算即可．本题考查了常见几何体及其简单组合体的三视图，结构特征与体积计算，属于中档题． 8.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z =x +2y 得y =−12x +12z ，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)，z =x +2y ，则y =−12x +12z ，当直线y =−12x +12z 过点B(−2,−2)时z 取到最小值，所以z =x +2y 的最小值是−2+2×(−2)=−6，故选：B ． 9.答案：B解析：解：由(x −a)[x −(a +2)]≤0，解得：a ≤x ≤a +2，由集合的包含关系知：{a ≥0a +2≤4(其中等号不同时成立)， ∴a ∈[0,2]，故选：B ．先解出不等式(x −a)[x −(a +2)]≤0，结合集合之间的关系，从而得到答案． 本题考查了充分必要条件，考查了集合之间的关系，是一道基础题．。

2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数A. B. C. i D.2.设集合，，则中元素的个数是A. 0B. 1C. 2D. 33.已知单位向量，满足，则A. 0B.C. 1D. 24.有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是A. 与非O型血相比，O型血人群对相对不易感，风险较低B. 与非A型血相比，A型血人群对相对易感，风险较高C. 与O型血相比，B型、AB型血人群对的易感性要高D. 与A型血相比，非A型血人群对都不易感，没有风险5.已知，则A. 4B. 6C.D. 96.在中，若，那么一定是A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形7.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为A. 2B. 3C.D.8.已知定义在R上的奇函数满足，若，，则实数a的取值范围为A. B. C. D.9.某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为A. B. C. D.10.已知函数的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是A. B.C. D.11.如图，教室里悬挂着日光灯管AB，，灯线，将灯管AB绕着过AB中点O的铅垂线顺时针旋转至，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了15cm，则AC的长为A. 30cmB. 40cmC. 60cmD.75cm12.已知x为实数，表示不超过x的最大整数，若函数，则函数的零点个数为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则______．14.曲线在的处的切线方程为______．15.已知，是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆上的一点，，且的面积为，则______．16.在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值等级频数频率三等品10二等品30b一等品a特等品20合计n1求a，b，n；从质量指标值在的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．18.若数列的前n项和为，已知，求；设，求使得成立的最小自然数n．19.如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，点E、点F分别是线段AD、PB的中点，．证明：平面PCD；求三棱锥的体积．20.已知动直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M在x轴上方，O为坐标原点，线段MN的中点为G．若直线OG的斜率为，求直线l的方程；设点，若恒为锐角，求的取值范围．21.已知函数，其中．当时，求函数的极值；试讨论函数在上的零点个数．22.如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线、都过极点O．分别写出半圆，的极坐标方程；直线l：与曲线，分别交于M、N两点异于极点，P为上的动点，求面积的最大值．23.已知函数．解关于x的不等式；若函数的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：C解析：解：画出和的图象如下：可看出圆和直线有两个交点，的元素个数为2．故选：C．可画出圆和直线的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出中的元素个数．考查了描述法的定义，交集的定义及运算，数形结合解题的方法，考查了计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：因为单位向量，满足，则．故选：C．直接把已知代入数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．4.答案：D解析：解：根据A、B、O、AB血型与易感性存在关联，患者占有比例可知：A型最高，所以风险最大值，比其它血型相对易感；故而D选项明显不对．故选：D．根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，患者占有比例即可解答．本题考查由频数直方图，看频数、频率，判断问题的关联性，属于基础题5.答案：D解析：解：，，，故选：D．利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用．解析：解：，，即，，为等腰三角形．故选B．由三角形的内角和定理得到，代入已知等式左侧，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值得到，由此可得到三角形为等腰三角形．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7.答案：B解析：解：双曲线的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，可得：，解得，，，所以双曲线的离心率为：．故选：B．利用已知条件求出方程组，得到a，c，即可求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，是基本知识的考查，基础题．8.答案：D解析：解：根据题意，函数满足，则有，函数是周期为4的周期函数，则，又由且，则有，变形可得，解可得：；故a的取值范围为；故选：D．根据题意，分析可得，即函数是周期为4的周期函数，据此可得，进而可得，变形可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．9.答案：A解析：解：某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，基本事件总数，这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数，则这两位居民参加不同服务队的概率．基本事件总数，这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数，由此能求出这两位居民参加不同服务队的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：D解析：解：函数的最小周期是，，得，则，关于中心对称，，，即，，，当时，，即，则函数在上递增，在上递减，，，，即，故选：D．根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可．本题主要考查三角函数值的大小比较，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的单调性进行判断是解决本题的关键．难度中等．11.答案：D解析：解：设与交于点N，过点作于M，连接MN，如图所示；则，中，，，，所以；在中，由勾股定理得，，解得．故选：D．设与交于点N，过点作于M，连接MN，由等边三角形求出，由勾股定理求得AC的值．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．12.答案：B解析：解：函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数与的交点个数．由，得．可知当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增．作出两函数与的图象如图：由图可知，函数的零点个数为2个．故选：B．函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数与的图象的交点个数，画出图象，数形结合得答案．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．13.答案：解析：解：，两边平方可得：，可得，．故答案为：．将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：解析：【分析】根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．【解答】解：而切点的坐标为曲线在的处的切线方程为故答案为：15.答案：2解析：解：的面积，则，又根据余弦定理可得，即，所以，解得，故答案为：2．根据正余弦定理可得且，解出b即可．本题考查椭圆性质，考查正、余弦定理的应用，属于中档题．16.答案：解析：解：设正四棱柱的高为h，底面边长为a，如图所示；则，所以，所以正四棱柱容器的容积为，；求导数得，令，解得，所以时，，单调递增；时，，单调递减；所以时，V取得最大值．所以要使该容器所盛液体尽可能多，容器的高应为．故答案为：．设正四棱柱的高为h，底面边长为a，用h表示出a，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V取最大值时对应的h值．本题考查了球内接正四棱柱的体积的最值问题，也考查了利用导数求函数的最值问题，是中档题．17.答案：解：由，即，，．设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得，，在抽取的6件中，有特等品2件，记为，，有一等品4件，记为，，，，则所有的抽样情况有15种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，其中至少有1件特等品被抽到包含的基本事件有9种，分别为：，，，，，，，，，至少有1件特等品被抽到的概率为：．解析：由，得，由此能求出a，b．设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得，，在抽取的6件中，有特等品2件，记为，，有一等品4件，记为，，，，由此利用列举法能求出至少有1件特等品被抽到的概率．本题考查概率的求法，考查分层抽样、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：数列的前n项和为，已知，所以，所以是等比数列，首项为1，公比为3等比数列．．，，成立，即，解得，所以最小自然数n为100．解析：利用数列的递推关系式，推出数列是等比数列，然后求解即可．化简数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和，结合不等式推出n的范围，然后求解即可．本题考查数列与不等式相结合，数列求和以及数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.答案：证明：取PC的中点G，连接DG，四边形ABCD为正方形，且，，且．，且．四边形DEFG为平行四边形，，平面PCD，平面PCD，平面PCD．解：平面PCD，到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，．平面ABCD，．．解析：取PC的中点G，连接DG，利用正方形的性质、三角形中位线定理可得：，且于是四边形DEFG为平行四边形，可得，即可证明平面PCD．根据平面PCD，可得F到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，可得由平面ABCD，可得，即可得出．本题考查了空间位置关系、三棱锥的体积、转化方法、平行四边形与正方形的性质、三角形中位线定理，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：由题意得，设直线l的方程为：，设，，线段MN的中点，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，可得，，所以，，即，所以，由题意可得，解得或，所以直线l的方程为：，或；恒为锐角，等价于，设，，，，，则恒成立，令，则，原式等价于，对任意的恒成立，令，，解得，，解得：，又，故，综上所述：的取值范围．解析：由抛物线的方程可得焦点F的坐标，设直线l的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而可得中点G的坐标，求出直线OG的斜率，再由题意可得直线中参数的值，进而求出直线方程；恒为锐角，等价于，设M的坐标，求出向量的代数式，使其大于0恒成立，令函数，分两种情况讨论函数大于0时的的范围．本题考查直线与抛物线的综合及角为锐角与数量积的关系，考查函数大于0恒成立的条件，属于中难题．21.答案：解：当时，，，，易得在，上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，，当时，在上单调递减，，此时函数在上没有零点；当时，在上单调递增，，此时函数在上没有零点；当即时，在上单调递减，由题意可得，，解可得，，当即时，在上单调递减，在上单调递增，由于，，令，令，则，所以在上递减，，即，所以在上递增，，即，所以在上没有零点，综上，当时，在上有唯一零点，当或时，在上没有零点．解析：把代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．本题综合考查了导数与函数性质的应用，体现了转化思想与分类讨论思想的应用．22.答案：解：曲线是以为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为，曲线是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为．由得：．显然当点P到直线MN的距离最大时，的面积最大．此时点P为过且与直线MN垂直的直线与的一个交点，设与直线MN垂直于点H，如图所示：在中，，所以点P到直线MN的最大距离，所以．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：．，或或，，不等式的解集为．的最小值为1，即，．，当且仅当时等号成立，最小值为3．解析：将写为分段函数的形式，然后根据，利用零点分段法解不等式即可；利用绝对值三角不等式求出的最小值m，然后由，根据，利用基本不等式求出的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合M ={x|x >0,x ∈R}，N ={x||x −1|≤2,x ∈Z}，则M ∩N =( )A. {x|0<x ≤2,x ∈R}B. {x|0<x ≤2,x ∈Z}C. {−1,−2,1，2}D. {1,2，3}2. 已知a 是实数，a−i1+i 是纯虚数，则a =( )A. 1B. −1C. √2D. −√23. 若θ∈(π4,π2)，sin 2θ=4√29，则cosθ=( )A. 13B. 23C. 2√23D. 894. 下列四个结论，其中正确的是( )①命题“∃x 0∈R,sinx 0+cosx 0<1”的否定是“∀x ∈R,sinx +cosx ≥1”； ②若p ∧q 是真命题，则¬p 可能是真命题； ③“a >5且b >−5”是“a +b >0”的充要条件； ④当a <0时，幂函数y =x a 在区间(0,+∞)上单调递减．A. ②④B. ②③C. ①③D. ①④5. 设a =(34)0.5，b =(43)0.4，c =log 34(log 34)，则( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. c <b <a6. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =1，|b ⃗ |=2则(3a ⃗ −2b⃗ )⋅b ⃗ =( ) A. 5 B. −5 C. 6 D. −67. 如图所示的程序框图，若输入a =101201，则输出的b =( )A. 64B. 46C. 289D. 3078.若函数f(x)的导函数f′(x)的图像如下图所示，则下列说法正确的是()A. x1是f(x)的极大值点B. x1和x3都是f(x)的极值点C. x2和x3都是f(x)的极值点D. x2，x3都不是f(x)的极值点9.在区间[−12 ,12]上随机取一个数x，则cosπx的值介于√22与√32之间的概率为()A. 13B. 14C. 15D. 1610.直三棱柱ABC−A1B1C1底面是等腰直角三角形，AB⊥AC，BC=BB1，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. √36B. 23C. √32D. 1211.过原点O作直线l：(2m+n)x+(m−n)y−2m+2n=0的垂线，垂足为P，则点P到直线x−y+3=0的距离的最大值为()A. √2+1B. √2+2C. 2√2+1D. 2√2+212.已知函数f(x)=ax−1+ln x，若对任意的x∈(0,+∞)，不等式f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A. a≥1B. a≤1C. a>2D. a<2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.经过随机抽样获得100辆汽车经过某一雷达测速地区的时速(单位：km/ℎ)，并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中这100辆汽车时速的范围是[30,80]，数据分组为[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80].设时速达到或超过60km/ℎ的汽车有x辆，则x等于______ ．14.将函数f(x)=sin2x−√3cos2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于y轴对称，则φ的最小值为______．15.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则3|AF|+4|BF|的最小值为______ ．16.在三棱锥D−ABC中，DC⊥底面ABC，AD=6，AB⊥BC且三棱锥D−ABC的每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ADC=90°，CD=1，AD=√3，AB=4，CB=2√3.将△ADC沿AC折起，使得点D在平面ABC的正投影O恰好落在AC边上，得到几何体D−ABC，如图2所示．(1)求证：AD⊥平面BCD；(2)求点C到平面ABD的距离．18. 已知某蔬菜商店买进的土豆x(吨)与出售天数y(天)之间的关系如表所示：x 2 3 4 5 6 7 9 12 y 1 2 3 3 4 5 6 8(Ⅰ)请根据表中数据在所给网格中绘制散点图；(Ⅱ)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂(其中b ^保留2位有效数字)；(Ⅲ)根据(Ⅱ)中的计算结果，若该蔬菜商店买进土豆40吨，则预计可以销售多少天(计算结果保留整数)？附：b ^=∑x i n i=1y i −nxy ∑x i 2n i=1−nx 2，a ^=y .−b ^x .．19. 设各项均为正数的数列{a n }满足4S n =(a n +1)2(n ∈N ∗)．(Ⅰ)求a n 的通项公式； (Ⅱ)设b n =1an ⋅a n+1，n ∈N ∗，求b n 的前n 项和T n ．20.若椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(1,32)，离心率为12.过椭圆C的左焦点F的直线l交椭圆于A，B两点．(1)求实数a、b的值；(2)若AB=72，求直线AB的方程．21.已知函数g(x)=(1−a)lnx+x+ax,a∈R．(1)当a=2时，求曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程；(2)求g(x)在区间[1,e]上的最小值m(a)．22. 在直角坐标系xOy 中直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sinθ． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长度．23. 设函数f(x)=|x −a|+|x +2a |(a ≠0,a ∈R)．(1)当a =1时，解不等式f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．直接进行集合运算即可．解：集合M={x|x>0,x∈R}，N={x||x−1|≤2,x∈Z}={x|−1≤x≤3,x∈Z}={−1,0，1，2，3}，则M∩N={1,2，3}．故选D．2.答案：A解析：解：由a−i1+i =(a−i)(1−i)(1+i)(1−i)=a−12−a+12i是纯虚数，则a−12=0且a+12≠0，故a=1故选A．化简复数分母为实数，复数化为a+bi(a、b是实数)明确分类即可．本小题主要考查复数的概念．是基础题．3.答案：A解析：由已知利用同角三角函数基本关系式可求可得cos2θ，进而利用二倍角公式可求cosθ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的综合应用，属于基础题．解：由θ∈(π4,π2)，sin2θ=4√29，得2θ∈(π2,π)，可得cos2θ=−√1−sin 22θ=−79， 所以cosθ=√1+cos2θ2=13．故选：A ．4.答案：D解析：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，题目涉及的知识点较多，但大多难度不大． 解：①命题“∃x 0∈R,sinx 0+cosx 0<1”的否定是“∀x ∈R,sinx +cosx ⩾1”，正确，故①正确； ②若“p ∧q 是真命题”，则p ，q 都为真命题，则“￢p 是假命题，故②错误；③由a +b >0可得a >−b ，所以“a >5且b >−5”是“a +b >0”的充分不必要条件，故③错误；④当a <0时，幂函数y =x a 在区间(0,+∞)上单调递减，故④正确． 故正确的是①④， 故选D ．5.答案：C解析：解：∵a =(34)0.5∈(0,1)，b =(43)0.4>1，c =log 34(log 34)<0， ∴c <a <b ． 故选：C ．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：B解析：本题考查向量数量积的运算，属基础题． 根据向量数量积的运算法则化简即可． 解：因为a ⃗ ⋅b ⃗ =1，|b ⃗ |=2， 所以(3a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =3a ⃗ ·b ⃗ −2b ⃗ 2=3−8=−5． 故选B ．7.答案：B解析：解：经计算得b =1×30+0×31+2×32+1×33=46． 故选：B ．根据题意模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出b =1×30+0×31+2×32+1×33的值，从而计算得解．本题考查循环结构的程序框图的应用，模拟程序的运行进行求解即可，属于基础题．8.答案：D解析：本题考查函数图象的应用，函数的极值和单调性，属于基础题． 根据f′(x)的图像可知f(x)的单调区间，结合选项可得结果． 解：根据函数f(x)的导函数f′(x)的图像可知， 函数f(x)在(−∞,x 1)单调递减，在(x 1,+∞)单调递增，所以x 1是f(x)的极小值点，x 2，x 3都不是f(x)的极值点，结合选项可知D 正确． 故选D ．9.答案：D解析：本题考查了几何概型的概率求法；关键是求出满足条件的测度，利用公式解答．由题意，本题符合几何概型，只要分别求出满足条件的区间的长度，利用概率公式解答即可．解：区间[−12,12]的长度为1，满足则cosπx 的值介于√22与√32之间x ∈(−14,−16)∪(16,14)，区间长度为16，由几何概型的概率可求cosπx 的值介于√22与√32之间的概率为161=16． 故选D ．10.答案：A解析：本题主要考查了异面直线所成角，建立空间直角坐标系即可解得答案，属于基础题． 解：以A 为原点建立空间直角坐标系，AB 为x 轴，AC 为y 轴， 所以A(0,0，0)，B 1(a,0，√2a)，B(a,0，0)，C 1(0,a ，√2a)， 所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0，√2a)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a ，√2a)，所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√36， 故选A ．11.答案：A解析：本题考查了直线过定点问题，点到直线的距离公式，属于一般题． 根据题意，可得直线l 过定点Q(0,2)，进行求解即可．解：(2m +n)x +(m −n)y −2m +2n =0整理得(2x +y −2)m +(x −y +2)n =0， 由题意得{2x +y −2=0x −y +2=0，解得{x =0y =2，所以直线l 过定点Q(0,2)．因为OP ⊥l ，所以点P 的轨迹是以OQ 为直径的圆，圆心为(0,1)，半径为1， 因为圆心(0,1)到直线x −y +3=0的距离为d =2=√2， 所以P 到直线x −y +3=0的距离的最大值为√2+1． 故选：A ．12.答案：A解析：本题考查了函数恒成立问题，考查了分离变量法求参数的取值范围，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．根据题意不等式f(x)≥0恒成立，可转化为不等式a ≥x −xlnx 在x ∈(0,+∞)上恒成立，进而得到a ≥g(x)max ，再由导数求得其最大值，则a 的取值范围可求．解：对任意的x ∈(0,+∞)，不等式f(x)≥0恒成立，可转化为不等式a ≥x −xlnx 在x ∈(0,+∞)上恒成立，令g(x)=x −xlnx ，则问题转化为a ≥g(x)max,因为gˈ(x)=1−(1+lnx)=−lnx ，当0<x <1时，gˈ(x)>0，当x>1时，gˈ(x)<0，所以函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以g(x)max=g(1)=1，所以a≥1．故选A．13.答案：38解析：解：根据频率分布直方图，得时速达到或超过60km/ℎ的汽车的频率为：(0.028+0.010)×10=0.38；∴时速达到或超过60km/ℎ的汽车辆数为：x=100×0.38=38．故答案为：38．根据频率分布直方图，求出时速达到或超过60km/ℎ的汽车的频率，即可求出对应的汽车辆数．本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图，得出解答问题的有效数据，求出正确的解答来，是基础题．14.答案：5π12解析：解：函数f(x)=sin2x−√3cos2x，=2sin(2x−π3)，把函数的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到：g(x)=2sin(2x+2φ−π3)的图象，由于函数g(x)的图象关于y轴对称，故：g(0)=±2，即：2sin(2φ−π3)=±2，所以：2ϕ−π3=kπ+π2(k∈Z)，解得：φ=kπ2+5π12(k∈Z)，当k=0时，φ的最小值为5π12．故答案为：5π12．首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的对称性求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15.答案：7+4√3 解析：解：抛物线的焦点F(1,0)， 设直线AB 的方程为x =my +1．联立方程组{y 2=4x x =my +1，得x 2−(4m 2+2)x +1=0． 设A(y 124,y 1)，B(y 224,y 2)，则y 12y 2216=1.∴y 22=16y 12．由抛物线的性质得|AF|=y 124+1，|BF|=y 224+1=4y 12+1． ∴3|AF|+4|BF|=3y 124+3+16y 12+4=7+3y 124+16y 12≥7+2√12=7+4√3．故答案为：7+4√3．设直线方程为x =my +1，联立方程组得出A ，B 两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出3|AF|+4|BF|关于A ，B 两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．16.答案：36π解析：解：如图，∵DC ⊥底面ABC ，∴DC ⊥AB ，又AB ⊥BC ，DC ∩BC =C ，∴AB ⊥平面DBC ，则AB ⊥DB ，又DC ⊥AC ，∴AD 的中点O 为三棱锥D −ABC 的外接球的球心，则半径r =12AD =3．∴球O 的表面积为4πr 2=36π．故答案为：36π．由已知画出图形，证明AB ⊥BD ，又DC ⊥AC ，可得AD 的中点O 为三棱锥D −ABC 的外接球的球心，再由球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球的表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．17.答案：证明：(1)据题意得：DO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DO⊥BC，因为AC=2，CB=2√3，AB=4，满足AC2+CB2=AB2，所以AC⊥BC，又DO∩AC=O，DO、AC⊂平面ADC，所以BC⊥平面ADC，又AD⊂平面ADC，得BC⊥AD，又AD⊥DC，BC∩DC=C，BC、DC⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD．(2)设点C到平面ABD的距离为d，由(1)知：DO是三棱锥D−ABC的高，且DO=AD⋅CDAC =√32，S△ABC=12⋅AC⋅BC=2√3，由(1)知AD⊥平面BCD，又BD⊂平面BCD，∵AD⊥BD，∴BD=√AB2−AD2=√13，S△ABD=12⋅AD⋅BD=√392，由V C−ABD=V D−ABC，得S△ABD⋅d=S△ABC⋅DO，即√392×d=2√3×√32，解得d=2√3913，所以点C到平面ABD的距离为2√3913．解析：本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题．(1)推导出DO⊥平面ABC，从而DO⊥BC，推导出AC⊥BC，从而BC⊥平面ADC，即有BC⊥AD，再由AD⊥DC，能证明AD⊥平面BCD．(2)设点C到平面ABD的距离为d，由V C−ABD=V D−ABC，能求出点C到平面ABD的距离．18.答案：解：(Ⅰ)根据表中数据画出散点图如下所示：(Ⅱ)依题意，计算x .=18(2+3+4+5+6+7+9+12)=6，y .=18(1+2+3+3+4+5+6+8)=4，∑x 8i=1 i 2=4+9+16+25+36+49+81+144=364， ∑x i 8i=1y i =2+6+12+15+24+35+54+96=244，求回归系数为b ^=∑x i 8i=1y i −8xy ∑x 8i=1 i 2−8x 2=244−8×6×4364−8×62=5276=0.68， ∴a^=4−0.68×6=−0.08； ∴回归直线方程为y ^=0.68x −0.08．(Ⅲ)由(Ⅱ)可知当x =40时，y =0.68×40−0.08≈27，故买进土豆40吨，预计可销售27天．解析：本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，是基础题．(Ⅰ)根据表中数据画出散点图即可；(Ⅱ)依题意，计算x .、y .，求出回归系数，写出回归直线方程；(Ⅲ)由回归方程计算x =40时y 的值即可． 19.答案：解：(Ⅰ)4S n =(a n +1)2(n ∈N ∗)，n =1时，4a 1=4S 1=(a 1+1)2，解得a 1=1，当n ≥2时，有a n =S n −S n−1=(a n +1)24−(a n−1+1)24，整理可得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0，因为数列{a n }各项均为正数，a n −a n−1=2(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，所以{a n }的通项公式为a n =2n −1；(Ⅱ)由b n =1a n ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， 前n 项和T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n 2n+1．解析：(Ⅰ)由数列的递推式：n =1时，a 1=S 1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；(Ⅱ)求得b n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 20.答案：解：(1)因为椭圆离心率为12，且a 2=b 2+c 2，所以a =√3b ，又因为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(1,32)， 所以1a 2+94b 2=1，解得a =2，b =√3． (2)当直线AB 斜率为0时，AB =2a =4，不符合题意．所以可设直线AB 的方程为x =my +1，与椭圆方程联立得：(3m 2+4)y 2+6my −9=0，△=36m 2+36(3m 2+4)>0，则y A +y B =−6m 3m 2+4，y A ·y B =−93m 2+4， AB =√1+m 2·|y A −y B |=√1+m 2·√(y A +y B )2−4y A ·y B =12m 2+123m 2+4=72， 所以m 2=43，m =±2√33，故直线AB 的方程为x ±2√33y −1=0．解析：本题考查椭圆的几何性质和直线与椭圆的位置关系，属于中档题．(1)利用椭圆性质可得a2=b2+c2，所以a=√3b，然后点带入求出a，b值；(2)联立直线和椭圆然后利用韦达定理可得AB=√1+m2·|y A−y B|=√1+m2·√(y A+y B)2−4y A·y B=12m2+123m2+4=72，即可求出参数，进而求出直线方程．21.答案：解：(1)当a=2时，g(x)=−lnx+x+2x，g(1)=3，又g′(x)=−1x +1−2x2，∴g′(1)=−2，∴曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线斜率为g′(1)=−2，∴曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y−3=−2(x−1)，即2x+y−5=0．(2)定义域为(0,+∞)，∵g(x)=(1−a)lnx+x+ax，∴g′(x)=1−ax +1−ax2=x2+(1−a)x−ax2=(x+1)(x−a)x2，若a≤1，当1<x<e时，g′(x)>0，∴g(x)在区间[1,e]上是增函数，∴g(x)在区间[1,e]上的最小值为m(a)=g(1)=1+a，若1<a<e，当1<x<a时，g′(x)<0，当a<x<e时，g′(x)>0，∴g(x)在区间[1,a]上是减函数，在区间[a,e]上是增函数，∴g(x)在区间[1,e]上的最小值为m(a)=g(a)=(1−a)lna+a+1，若a≥e，当1<x<e时，g′(x)<0，∴g(x)在区间[1,e]上是减函数，∴g(x)在区间[1,e]上的最小值为m(a)=g(e)=1−a+e+ae，综上所述，m(a)={1+a,a≤1(1−a)lna+a+1,1<a<e 1−a+e+ae,a≥e．解析：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(1)当a=2时，求出函数的导数，计算g(1)，g′(1)，求出切线方程即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值m(a)．22.答案：解：(1)直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t (t 为参数)，转换为直角坐标方程为x −y +1=0．曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sinθ，整理得(ρcosθ)2=2ρsinθ，转换为直角坐标方程为x 2=2y ．(2)把直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t，代入x 2=2y ，得到：(√22t −1)2=2×√22t ， 整理得12t 2−2√2t +1=0，即：t 2−4√2t +2=0，故t 1+t 2=4√2，t 1t 2=2，所以：|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√6．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +2|，故f(x)={2x +1,x >13,−2≤x ≤1−2x −1,x <−2，①当x >1时，由2x +1≤5解得：x ≤2，故1<x ≤2，②当−2≤x ≤1时，由3≤5得x ∈R ，故−2≤x ≤1，③当x <−2时，由−2x −1≤5得x ≥−3，故−3≤x <−2，综上，不等式的解集是[−3,2]；(2)f(x)=|x −a|+|x +2a| ≥|(x −a)−(x +2a )|=|a +2a |，当且仅当(x −a)(x +2a )≤0，即−2a ≤x ≤a(a >0)或a ≤x ≤−2a (a <0)取“=”，故g(a)=|a +2a |，∵|a +2a |=|a|+|2a |≥2√|a|⋅|2a |=2√2，当且仅当|a|=|2a |，即a =±√2时取“=”，故g(x)min=g(±√2)=2√2．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．(1)求出a的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)通过讨论x的范围，得到关于a的不等式，求出g(x)的最小值即可．。

2020年四川省绵阳市高考数学一模试卷（文科）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3} B．{1，2} C．（0，3] D．（3，4]2.若b＜a＜0，则下列结论不正确的是（）A．B．ab＞a2C．|a|+|b|＞|a+b| D．3.下列函数中的定义域为R，且在R上单调递增的是（）A．f（x）＝x2B．C．f（x）＝ln|x| D．f（x）＝e2x4.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，S3＝3，则a6＝（）A．4 B．5 C．10 D．155.已知函数，若f（﹣m）＝2，则f（m）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．6.已知命题p：函数的最小值为；命题q：若向量，，满足•＝•，则＝．下列正确的是（）A．￢p∧q B．p∨q C．p∧￢q D．￢p∧￢q7.若，b＝3﹣0.8，c＝ln3，则a，b，c的大小关系（）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b8.已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+y的最小值为（）A．.4 B．.2 C．.1 D．9.设函数f（x）＝ae x﹣lnx（其中常数a≠0）的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为（）A．1 B．2 C．ae﹣1 D．1﹣2ae10.某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为定价发愁．进一步调研了解到如下信息；该经营部每天的房租，人工工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部的定价为多少才能获得最大利润？（）A．每桶8.5元B．每桶9.5元C．每桶10.5元D．每桶11.5元11.函数在上单调递增，且图象关于x＝﹣π对称，则ω的值为（）A．B．C．2 D．12.在△ABC中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则在方向上的投影是（）A．1 B．C．3 D．二、填空题（共4小题）13.已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x）＝f（x+2），当x∈[0，2]时，f（x）＝e x，则f（7）＝．14.已知向量＝（﹣2，2），向量的摸为1，且|﹣2|＝2，则与的夹角为．15.2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为（结果保留根号）．16.若函数f（x）＝x2+x+1﹣ae x有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为三、解答题（共7小题）17.已知函数f（x）＝（cos x﹣sin x）2﹣2sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）若f（x0）＝﹣1，且，求x0的值．18.已知数列{a n}满足，且a1＝1，a4＝7，数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和T n．19.已知△ABC中三个内角A，B，C满足．（1）求sin B；（2）若，b是角B的对边，，求△ABC的面积．20.已知函数．（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上的最大值是2，若存在，求出a的值；不存在，请说明理由21.已知函数f（x）＝e x﹣ax2，a∈R，x∈（0，+∞）．（1）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；（2）若f（x）的极大值为M，求证：1＜M＜．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点0为极点，x的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程．（1）求曲线C的普通方程与极坐标方程；（2）设射线OM：与曲线C交于点A，与直线l交于点B，求线段AB的长．23.设函数f（x）＝|x﹣m|+|x+1|+5（m∈R）．（1）当m＝2时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≥﹣2，求实数m的取值范围．2020年四川省绵阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】先求出集合A，解一元二次不等式x2﹣4x≤0解出集合B，从而求出A∩B．【解答】解：由题意得：A＝{x∈N*|x≤3}＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，∴所以A∩B＝{1，2，3}，故选：A．【知识点】交集及其运算2.【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法即可得出．【解答】解：∵b＜a＜0，∴＜，ab＞a2，由函数y＝在R上单调递增，可得：＜．设a＝﹣2，b＝﹣1时，|a|+|b|＝|a+b|与C矛盾．因此只有C错误．故选：C．【知识点】不等关系与不等式3.【分析】分别结合函数的定义域及函数的单调性分别对选项进行判断即可．【解答】解：由f（x）＝的定义域为[0，+∞），不符合题意，C：函数的定义域x≠0，不符合题意，A：y＝x2在（﹣∞，0]单调递减，在[0，+∞）单调递增，不符合题意，故选：D．【知识点】函数单调性的判断与证明4.【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a6．【解答】解：由题意得，解得a1＝0，d＝1，∴a6＝a1+5d＝5．故选：B．【知识点】等差数列的前n项和5.【分析】推导出f（﹣x）+f（x）＝1，由此利用f（﹣m）＝2，能求出f（m）的值．【解答】解：∵，∴f（﹣x）+f（x）＝+＝＝1，∵f（﹣m）＝2，∴f（m）＝﹣1．故选：B．【知识点】函数的值6.【分析】由基本不等式成立的条件知，可求得函数的最小值不为2，可判断命题p的真假；由向量的数量积没有约去律，可判断命题q的真假，再由复合命题真假表判断正误即可．【解答】解：由题意得：命题p：函数，由基本不等式成立的条件，y ≥2＝2，知等号取不到，所以p命题是假的；命题q：若向量，，满足＝，∴，，有可能是零向量或者，所以q是错误的．∴￢p∧q，p∨q，p∧￢q，是假命题，￢p∧￢q为真命题；故选：D．【知识点】复合命题的真假7.【分析】由指数函数y＝在R上单调递减，可得a，b大小关系，再利用对数函数的单调性可得：c＝ln3∈（1，2），即可得出大小关系．【解答】解：由指数函数y＝在R上单调递减，又，b＝3﹣0.8＝，∴1＞a＞b．c＝ln3∈（1，2）∴c＞a＞b．故选：B．【知识点】对数值大小的比较8.【分析】作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数z＝2x+y的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．【解答】解：先根据x，y满足线性约束条件画出可行域，平移直线0＝2x+y，当直线z＝2x+y过点B（0，1）时，z取最小值为1．故选：C．【知识点】简单线性规划9.【分析】求出原函数的导函数，得到f′（1），再求出f（1），利用直线方程的点斜式求切线l，取x＝0求解l在y轴上的截距．【解答】解：由f（x）＝ae x﹣lnx，得，∴f′（1）＝ae﹣1，又x＝1时，f（1）＝ae，∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（ae）＝（ae﹣1）（x﹣1），取x＝0，得在y轴上截距y＝（ae﹣1）（0﹣1）+ae＝1．故选：A．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程10.【分析】根据表格可知：销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶．设每桶水的价格为（6+x）元，公司日利润y元，则y＝（6+x﹣5）（480﹣40x）﹣200，整理后利用二次函数求最值．【解答】解：根据表格可知：销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶．设每桶水的价格为（6+x）元，公司日利润y元，则：y＝（6+x﹣5）（480﹣40x）﹣200，＝﹣40x2+440x+280（0＜x＜13），∵﹣40＜0，∴当x＝5.5时函数y有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大，故选：D．【知识点】根据实际问题选择函数类型11.【分析】根据函数递增，求出x的范围，根据题意，求出ω的范围，再根据图象关于x＝﹣π对称，确定出ω．【解答】解：要使函数的递增，则，化简得：，已知在单增，所以．又因为图象关于x＝﹣π对称，，所以，因为ω＞0，此时k＝﹣1，所以，故选：A．【知识点】正弦函数的图象12.【分析】根据B，C，D三点共线求出λ，建系计算B，C两点坐标，得出AB，再计算投影即可．【解答】解：由λ＝﹣可得：＝λ+，∵B，C，D三点共线，故λ+＝1，即λ＝．∴＝+．以A为原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系如图所示，则D（3，），设B（m，0），C（n，n），由＝+得：，解得m＝3，n＝3．故B（3，0），∴在上的投影为|AB|cos30°＝．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律二、填空题（共4小题）13.【分析】求出周期T＝2，利用当x∈[0，2]时，f（x）＝e x，f（7）＝f（1），能求出结果．【解答】解：因为f（x）＝f（x+2），周期T＝2，当x∈[0，2]时，f（x）＝e x，∴f（7）＝f（1）＝e．故答案为：e．【知识点】函数的值14.【分析】由题意利用两个平面向量的数量积的定义，求得与的夹角的余弦值，可得与的夹角．【解答】解：由已知得：||＝2，||＝1，|﹣2|＝2，2﹣4+42＝4，∴设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，＝2＝2•1•cosθ，∴cosθ＝，θ＝，故答案为：．【知识点】数量积表示两个向量的夹角15.【分析】先根据已知条件在△ABC中求出BC，再在直角△BD1C中利用正切即可求出结论．【解答】解：如图由题上条件可得线AC平行于东西方向，∠ABD＝60°，∠CBD＝75°；AC＝72；∴∠ABC＝135°；∠BAC＝30°；在△ABC中，＝⇒＝⇒BC＝＝72．如图D1C⊥平面ABC，在直角△BD1C中，tan∠D1BC＝＝⇒h＝BC•tan∠D1BC＝72×tan∠30°＝．故答案为：．【知识点】解三角形的实际应用16.【分析】先令函数等于零，剥离参数，求交点．【解答】解：令f（x）＝x2+x+1﹣ae x＝0，则a＝，令g（x）＝，则g′（x）＝，令g′（x）＝0，则x＝0，x＝1，当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；且g（0）＝1，g（1）＝，g（x）＞0，大致图象如图：可知0＜a＜1或a＞．故答案为：0＜a＜1或a＞．【知识点】函数零点的判定定理三、解答题（共7小题）17.【分析】（1）化函数f（x）余弦型函数，根据余弦函数的图象与性质求出f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）由三角函数值求角，要注意角的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝（cos x﹣sin x）2﹣2sin2x＝1﹣2sin x cos x﹣2•＝cos2x﹣sin2x＝cos（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为T＝＝π，又函数y＝cos x的单调减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z；令2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；所以f（x）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）若f（x0）＝﹣1，则cos（2x0+）＝﹣1，即cos（2x0+）＝﹣，再由，可得2x0+∈（﹣，﹣）；所以2x0+＝﹣，解得x0＝﹣．【知识点】三角函数的周期性及其求法、三角函数中的恒等变换应用18.【分析】（1）由题意可得a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n，即{a n}为等差数列，由等差数列的通项公式可得公差d，进而得到所求通项公式；由数列的递推式：b1＝S1，n≥2时，b n＝S n﹣S n﹣1，化简可得所求通项公式；（2）求得＝22n﹣1+n，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）数列{a n}满足，可得a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n，即{a n}为等差数列，a1＝1，a4＝7，可得公差d＝＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；数列{b n}的前n项和，可得b1＝S1＝4﹣2＝2；n≥2时，b n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，则b n＝2n，n∈N*；（2）＝22n﹣1+n，则前n项和T n＝（2+8+…+22n﹣1）+（1+2+…+n）＝+n（n+1）＝（4n﹣1）+（n2+n）．【知识点】数列递推式、数列的求和19.【分析】（1）由．sin（A+C）＝sin B，cos B＝sin B+1，又sin2B+cos2B＝1，化简解出．（2），又A+B+C＝π，可得：2A＝﹣B，C为钝角．可得sin2A＝cos B．又，利用正弦定理可得：a＝3sin A，c＝3sin C，代入△ABC的面积S＝ac sin B，进而得出结论．【解答】解：（1）∵．sin（A+C）＝sin B，∴cos B＝sin B+1，又sin2B+cos2B＝1，化为：3sin2B+2sin B﹣1＝0，1＞sin B＞0．联立解得sin B＝．（2），又A+B+C＝π，可得：2A＝﹣B，C为钝角．∴sin2A＝cos B．又，∴＝＝＝3，∴a＝3sin A，c＝3sin C，B为锐角，∴cos B＝．∴△ABC的面积S＝ac sin B＝×3sin A×3sin C×＝sin A sin（+A）＝sin A cos A＝sin2A＝cos B＝×＝．∴∴△ABC的面积S为．【知识点】正弦定理20.【分析】（1）对f（x）求导，分析f（x）的增减性，从而确定极值；（2）分析函数在[1，2]上的增减性，确定出取得最值的点，从而求出a值【解答】解：当a＝1时，，则f'（x）＝x2﹣1＝（x﹣1）（x+1）．由f'（x）＞0 得x＜﹣1或x＞1．由f′（x）＜0得﹣1＜x＜1．所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，（﹣1，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增．所以f（x）的极小值为，极大值为．（2）f'（x）＝（x﹣a）（x+1），当a≤1时，f（x）在[1，2]单调递增，∴，解得．当1＜a＜2时，f（x）在[1，a）上单调递减，在（a，2]上单调递增，∴f（x）最大值为f（1）或f（2），由，由．当a≥2时，f（x）在[1，2]单调递减，∴，解得．综上所述：．【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的极值21.【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系讨论函数的单调性，进而可求出满足题意的a的范围，（2）结合（1）的讨论可知M＝f（x1）＝，构造函数，结合函数的单调性可求M的取值范围，即可证明．【解答】解：（1）f（x）＝e x﹣ax2，x∈（0，+∞）．∴f′（x）＝e x﹣2ax＝2x（），设g（x）＝，x∈（0，+∞），则f′（x）＝2x•[g（x）﹣a]，且g′（x）＝，∵x∈（0，+∞），e x＞0，2x2＞0，当x∈（1，+∞）时，且g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（0，1）时，且g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）min＝g（1）＝，其大致图象如图所示，结合图象可知，①当a时，f′（x）≥0在（0，+∞）上单调递增，没有极值，不符合题意，②当a时，直线y＝a与y＝g（x）有2个不同的交点，设其横坐标分别为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，当0＜x＜x1或x＞x2时，g（x）＞a，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x1＜x＜x2时，g（x）＜a，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故函数f（x）在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，综上可得，a的范围（），（2）结合（1），若f（x）的极大值为M，则a，M＝f（x1）＝，因为a＝，所以M＝﹣＝（1﹣），令h（x）＝，x∈（0，1），则h′（x）＝＜0在x∈（0，1）时恒成立，即h（x）在（0，1）上单调递减，又h（0）＝1，h（1）＝，故h（x）），即1．【知识点】利用导数研究函数的极值22.【分析】（1）把两式平方相加可得曲线C的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化可得极坐标方程；（2）把代入，求得B点的极径，由（1）得A点的极径，则|AB|可求．【解答】解：（1）由，两边平方作和得，，∴曲线C的普通方程为x2+y2＝4．∵x2+y2＝ρ2，∴ρ2＝4，则ρ＝2；（2）把代入，可得，解得．即B点的极径为．由（1）得ρA＝2，∴|AB|＝|ρA﹣ρB|＝．【知识点】参数方程化成普通方程、简单曲线的极坐标方程23.【分析】（1）利用分类讨论思想解绝对值不等式；（2）由绝对值不等式的性质，求出m的范围．【解答】解：（1）当m＝2时，f（x）＝|x﹣2|+|x+1|＝5，当x≤﹣1，f（x）＝﹣（x﹣2）﹣（x+1）﹣5≥0，解得x≤﹣2；当﹣1＜x＜2，f（x）＝﹣（x﹣2）+x+1﹣5≥0，无解；当x≥2时，f（x）＝x﹣2+x+1﹣5≥0，解得x≥3；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．（2）由f（x）＝|x﹣m|+|x+1|﹣5≥|（x﹣m）﹣（x+1）|﹣5＝|m+1|﹣5≥﹣2，所以|m+1|≥3，即m≥2或者m≤﹣4．【知识点】绝对值不等式的解法。

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．集合A＝{x||x﹣2|＜4}，B＝{x|2x≤4}，则A∩B＝（）A．R B．（﹣2，2）C．[2，6）D．（﹣2，2]2．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示写上四个字母A，B，C，D，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是（）A．一样大B．区域A，C可能性大C．区域B，D可能性大D．由指针转动圈数决定3．如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n＝n+1B．A＞1000和n＝n+2C．A≤1000和n＝n+1D．A≤1000和n＝n+24．虚数（x﹣2）+yi中x，y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，0）∪（0，]C．[﹣，]D．[﹣，0）∪（0，]5．b是区间上的随机数，直线y＝﹣x+b与圆x2+y2＝1有公共点的概率为（）A．B．C．D．6．已知数列{a n}中，a1＝2，a2＝1，且满足+＝（n≥2），则a n＝（）A．B．2n﹣2C．3﹣n D．7．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分（看成一个简单的组合体）的体积为（）A．63πB．81πC．33πD．36π8．若且z＝2x+4y取得最小值为﹣12，则k＝（）A．2B．9C．3D．09．若|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜，则a的取值范围（）A．＜a＜2B．≤a≤2C．a≤或a≥2D．a＜或a＞2 10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）11．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+1﹣a﹣lnx＝0有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣ln4，6﹣ln2）B．（4﹣ln3，6﹣ln2）C．（1+ln3，4﹣ln3）D．（1+ln3，6﹣ln2）二、填空题13．直线y＝x+3和x、y轴分别交于A、B两点，点C在椭圆+＝1上运动，则椭圆上点C到直线AB的最大距离为．14．方程（x2﹣3||x+8）（x2﹣3||x+8）＝0的四根组成首项为1的等比数列，且，则|+|＝．15．若有7个人排成一排，现要调整其中某3个人的位置，其余4个人的位置不动，则使所要调整的某3个人互不相邻的调整方法的种数是．16．△OAB中，∠AOB角平分线交AB于点C．设＝，＝，＝，且＝λ+μ．给出下列结论：①λ+μ＝1；②λ＝，μ＝；③λ＝，μ＝；④λ＝，μ＝；⑤λ＝，μ＝．其中命题一定正确的序号是．（把你认为正确的都填上）三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在平面四边形ABCD中，已知，AB⊥AD，AB＝1．（1）若，求△ABC的面积；（2）若，AD＝4，求CD的长．18．某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R的行业标准，予以地方财政补贴，其补贴标准如下：出厂续驶里程R（公里）补贴（万元/辆）150≤R＜2503250≤R＜3504R≥350 4.52017年底随机调查该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R，得到频率分布直方图如图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年起充电站100天中各天充电车辆数，得下面的频数分布表：辆数[5500，6500）[6500，7500）[7500，8500）[8500，9500]天数20304010（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来，该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备，现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备且一辆产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润．（日利润＝日收入﹣日维护费用）19．如图，等腰直角△ABC中，∠B＝90°，平面ABEF⊥平面ABC，2AF＝AB＝BE，∠FAB＝60°，AF∥BE．（Ⅰ）求证：BC⊥BF；（Ⅱ）求二面角F﹣CE﹣B的正弦值．20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2＝0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y＝kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|＝|AN|时，求m 的取值范围．21．已知函数f（x）＝﹣a2x，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＞e，证明：函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），且x1＜x2＜2lna．请考生在[22]、[23]题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ＝φ，θ＝φ+，θ＝φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（I）求证：|OB|+|OC|＝|OA|；（Ⅱ）当φ＝时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣|2x﹣1|．（1）求f（x）＞﹣5的解集；（2）若关于x的不等式|b+2a|﹣|2b﹣a|≥|a|（|x+1|+|x﹣m|）（a，b∈R，a≠0）能成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．集合A＝{x||x﹣2|＜4}，B＝{x|2x≤4}，则A∩B＝（）A．R B．（﹣2，2）C．[2，6）D．（﹣2，2]【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣2＜x＜6}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝（﹣2，2]．故选：D．2．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示写上四个字母A，B，C，D，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是（）A．一样大B．区域A，C可能性大C．区域B，D可能性大D．由指针转动圈数决定【分析】指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，区域B，D可能性大．解：指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，区域B，D可能性大．故选：C．3．如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n＝n+1B．A＞1000和n＝n+2C．A≤1000和n＝n+1D．A≤1000和n＝n+2【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n＝n+2．解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．4．虚数（x﹣2）+yi中x，y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，0）∪（0，]C．[﹣，]D．[﹣，0）∪（0，]【分析】点（x，y）在以（2，0）为圆心，1为半径的圆上（与x轴交点除外），表示圆上的点与原点连线的斜率，数形结合可得．解：由题意可得y≠0，且（x﹣2）2+y2＝1，∴点（x，y）在以（2，0）为圆心，1为半径的圆上（与x轴交点除外），∵表示圆上的点与原点连线的斜率，易得直线OA与OB的斜率分别为，﹣数形结合可知的取值范围为：[﹣，0）∪（0，]故选：B．5．b是区间上的随机数，直线y＝﹣x+b与圆x2+y2＝1有公共点的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用圆心到直线的距离小于等半径可求出满足条件的b，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．解：b是区间上的随机数．即﹣2，区间长度为4，由直线y＝﹣x+b与圆x2+y2＝1有公共点可得，，∴﹣，区间长度为2，直线y＝﹣x+b与圆x2+y2＝1有公共点的概率P＝＝，故选：C．6．已知数列{a n}中，a1＝2，a2＝1，且满足+＝（n≥2），则a n＝（）A．B．2n﹣2C．3﹣n D．【分析】由递推关系a1＝2，a2＝1，且满足+＝（n≥2），可得数列{}是首项为，公差d＝的等差数列，从而可得答案．解：∵+＝（n≥2），∴数列{}是等差数列，其首项为＝，公差d＝﹣＝﹣＝，∴＝+（n﹣1）×＝，∴a n+1＝，∴a n＝．故选：A．7．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分（看成一个简单的组合体）的体积为（）A．63πB．81πC．33πD．36π【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：如图：由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为V＝＝63π，故选：A．8．若且z＝2x+4y取得最小值为﹣12，则k＝（）A．2B．9C．3D．0【分析】画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点A时，纵截距最大，z最大．解：画出可行域，如图．将z＝2x+4y变形为y＝﹣x+，画出直线y＝﹣x+，平移至点A时，纵截距最大，z最大，由，解A（2，﹣4），x+y+k＝0过点（2，﹣4），∴k＝2，故选：A．9．若|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜，则a的取值范围（）A．＜a＜2B．≤a≤2C．a≤或a≥2D．a＜或a＞2【分析】求解绝对值的不等式可得﹣1+a＜x＜1+a，再由|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜，得关于a的不等式组求解．解：由|x﹣a|＜1，得﹣1+a＜x＜1+a，根据题意知（等号不同时成立），解得≤a≤2．故选：B．10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）【分析】由α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°即0°＜α＜90°﹣β，从而有0＜sinα＜sin（90°﹣β）＝cosβ＜1由f（x）满足f（2﹣x）＝f（x）函数为偶函数即f（﹣x）＝f（x）可得f（2﹣x）＝f （x），即函数的周期为2，因为函数在[﹣3，﹣2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得在[2，3]单调递增，根据周期性可知在0，1]单调递增，从而可判断解：∵α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°即0°＜α＜90°﹣β∴0＜sinα＜sin（90°﹣β）＝cosβ＜1∵f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），∴函数关于x＝1对称∵函数为偶函数即f（﹣x）＝f（x）∴f（2﹣x）＝f（x），即函数的周期为2∴函数在[﹣3，﹣2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得在[2，3]单调递增，根据周期性可知在0，1]单调递增∴f（sinα）＜f（cosβ）故选：D．11．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|＝|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，由满足条件的直线只有一对，得，由此能求出双曲线的离心率的范围．解：不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|＝|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，则不可能存在|A1B1|＝|A2B2|，当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角大于60°，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，∴tan30°，即，∴，∵b2＝c2﹣a2，∴，∴，∴，∴双曲线的离心率的范围是．故选：A．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+1﹣a﹣lnx＝0有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣ln4，6﹣ln2）B．（4﹣ln3，6﹣ln2）C．（1+ln3，4﹣ln3）D．（1+ln3，6﹣ln2）【分析】关于x的方程f（x）+1﹣a﹣lnx＝0有4个不相等的实根等价于y＝f（x）的图象与y＝lnx+a﹣1的图象有4个不同的交点，作出y＝f（x）与y＝lnx+a﹣1的图象，数形结合即可解：条件等价于y＝f（x）的图象与y＝lnx+a﹣1的图象有4个不同的交点，作出y＝f （x）与y＝lnx+a﹣1的图象，如图：当y＝lnx+a﹣1经过时，a＝1+ln3，直线AB与y＝lnx+a﹣1的图象相切于A 点，此时y＝f（x）图象与y＝lnx+a﹣1图象有3个不同的交点，当y＝lnx+a﹣1经过B（2，5）时，a＝6﹣1n2，此时y＝f（x）图象与y＝lnx+a﹣1图象有3个不同的交点，观察图象不难发现，y＝f（x）的图象与y＝lnx+a﹣1的图象有4个不同的交点，a∈（1+ln3，6﹣ln2），故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13．直线y＝x+3和x、y轴分别交于A、B两点，点C在椭圆+＝1上运动，则椭圆上点C到直线AB的最大距离为4．【分析】由椭圆的方程用参数设P的坐标，利用点到直线的距离公式求出P到直线AB 的距离，由三角函数的有界性可得最大距离．解：设C（4cosθ，3sinθ），则点C到AB的距离d＝＝＝4，故答案为：．14．方程（x2﹣3||x+8）（x2﹣3||x+8）＝0的四根组成首项为1的等比数列，且，则|+|＝．【分析】可设x1，x2是两根，x3，x4是两根，然后根据题意即可设x1＝1，则得出x2＝8，x3＝2，x4＝4，然后根据韦达定理即可得出，再根据即可求出．解：设x1，x2是两根，x3，x4是两根，∵方程（x2﹣3||x+8）（x2﹣3||x+8）＝0的四根组成首项为1的等比数列，∴不妨设x1＝1，则x2＝8，x3＝2，x4＝4，∴，，∴，∵，∴．故答案为：．15．若有7个人排成一排，现要调整其中某3个人的位置，其余4个人的位置不动，则使所要调整的某3个人互不相邻的调整方法的种数是20．【分析】根据题意，分2步进行分析：①，先在位置不动的4个人所成的5个空位中任意选取3个，用来位置调整，②，分析剩下的三人位置都不能在原来位置且互不相邻的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，7个人排成一排，4个人的位置不动，位置不动的4个人所成的5个空位，从中任意选取3个，用来位置调整，有种选法，②，剩下的三人位置都不能在原来位置且互不相邻，三人乱序只有两种安排位置的方法，故调整方法种数是，故答案为：20．16．△OAB中，∠AOB角平分线交AB于点C．设＝，＝，＝，且＝λ+μ．给出下列结论：①λ+μ＝1；②λ＝，μ＝；③λ＝，μ＝；④λ＝，μ＝；⑤λ＝，μ＝．其中命题一定正确的序号是①④．（把你认为正确的都填上）【分析】根据题意，作出简图，由平面向量基本定理分析：设＝t，由加法原理分析可得①成立，②、③不一定成立，再设，结合①的结论分析可得④成立，⑤不成立，即可得答案．解：根据题意，如图：A、C、B三点共线，则设＝t，则＝+＝+t＝+t（﹣）＝（1﹣t）+t，又由＝λ+μ＝，则λ＝1﹣t，μ＝t，则必有λ+μ＝1，则①成立，②、③不一定成立；再设，则，，又由λ+μ＝1得，变形可得，，则④成立，⑤不成立；故答案为：①④．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在平面四边形ABCD中，已知，AB⊥AD，AB＝1．（1）若，求△ABC的面积；（2）若，AD＝4，求CD的长．【分析】（1）在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•COS∠ABC，解得BC，然后求解三角形的面积．（2）∵，利用两角和与差的三角函数以及正弦定理，结合余弦定理求解即可．解：（1）在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•COS∠ABC，，解得，∴．（2）∵，∴，∴＝＝在△ABC中，，∴，∴CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cos∠CAD＝，∴．18．某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R的行业标准，予以地方财政补贴，其补贴标准如下：出厂续驶里程R（公里）补贴（万元/辆）150≤R＜2503250≤R＜3504R≥350 4.52017年底随机调查该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R，得到频率分布直方图如图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年起充电站100天中各天充电车辆数，得下面的频数分布表：辆数[5500，6500）[6500，7500）[7500，8500）[8500，9500]天数20304010（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来，该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备，现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备且一辆产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润．（日利润＝日收入﹣日维护费用）【分析】（1）求出纯电动汽车地方财政补贴的分布列，由此能求出纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数．（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列，采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为6600辆，从而得到实际充电车辆数的分布列，进而求出方案一下新设备产生的日利润均值；采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数7600辆，从而求出实际充电车辆数的分布列，进而求出方案二下新设备产生的日利润利润均值．解：（1）依题意得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：补贴（万元/辆）34 4.5概率0.20.50.3纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为：3×0.2+4×0.5+4.5×0.3＝3.95（万元）．（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列为：辆数6000700080009000概率0.20.30.40.1若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为：30×100+4×900＝6600（辆），可得实际充电车辆数的分布列如下表：实际充电辆数60006600概率0.20.8于是方案一下新设备产生的日利润均值为：25×（6000×0.2+6600×0.8）﹣500×100﹣80×900＝40000（元）．若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为：30×200+4×400＝7600（辆），可得实际充电车辆数的分布列为：实际充电车辆数600070007600概率0.20.30.5于是方案二下新设备产生的日利润利润均值为：25×（6000×0.2+7000×0.3+7600×0.5）﹣500×200﹣80×400＝45500（元）．19．如图，等腰直角△ABC中，∠B＝90°，平面ABEF⊥平面ABC，2AF＝AB＝BE，∠FAB＝60°，AF∥BE．（Ⅰ）求证：BC⊥BF；（Ⅱ）求二面角F﹣CE﹣B的正弦值．【分析】（1）推导出BC⊥AB，从而BC⊥平面ABEF，由此能证明BC⊥BF．（2）由BC⊥平面ABEF，以B为原点，建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能求出二面角F﹣CE﹣B的正弦值．【解答】证明：（1）∵等腰直角△ABC中，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面ABEF，∵BF⊂平面ABEF，∴BC⊥BF．解：（2）由（1）知BC⊥平面ABEF，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，设2AF＝AB＝BE＝2，∵∠FAB＝60°，AF∥BE．∴B（0，0，0），C（0，2，0），F（），E（﹣1，0，），＝（1，2，﹣），＝（），＝（0，2，0），设平面CEF的一个法向量＝（x，y，z），则，即，令x＝，得＝（，5），设平面BCE的一个法向量＝（x，y，z），则，即，取x＝，得＝（），设二面角F﹣CE﹣B的平面角为θ．则|cosθ|＝||＝＝，∴sinθ＝，∴二面角F﹣CE﹣B的正弦值为．20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2＝0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y＝kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|＝|AN|时，求m 的取值范围．【分析】（1）依题意可设椭圆方程为，由题设解得a2＝3，故所求椭圆的方程为．（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）＝0，由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推导出m的取值范围．解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设解得a2＝3故所求椭圆的方程为；（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）＝0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①∴从而∴又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，则即2m＝3k2+1②把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得解得．故所求m的取范围是（）．21．已知函数f（x）＝﹣a2x，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＞e，证明：函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），且x1＜x2＜2lna．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）由零点定理知，f（x）在（0，1）上有一个零点x1，根据函数的单调性得f（x）取最小值f（lna）＝a2（﹣lna），设h（a）＝﹣2lna（a＞e），由零点定理知，f （x）在（lna，2lna）上有一个零点x2，求出0＜x1＜1＜lna＜x2＜2lna，得到x2﹣x1＞lna ﹣1＝ln，从而证明结论．解：（Ⅰ）f′（x）＝e2x﹣a2＝（e x+a）（e x﹣a）…（1分）①当a＜0时当x≥ln（﹣a）时，f′（x）≥0，故f（x）单调递增当x＜ln（﹣a）时，f′（x）＜0，故f（x）单调递减∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在[ln（﹣a），+∞）上单调递增…‚当a＝0时，f′（x）＝e2x＞0，故f（x）在R上单调递增…ƒ当a＞0时当x≥lna时，f′（x）≥0，故f（x）单调递增，当x＜lna时，f′（x）＜0，故f（x）单调递减，∴f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在[lna，+∞）上单调递增，∴综上所述，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在[ln（﹣a），+∞）上单调递增，当a＝0时，f′（x）＞0，故f（x）在R上单调递增当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在[lna，+∞）上单调递增…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞e时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在[lna，+∞）上单调递增∴f（x）至多有两个零点∵a＞e∴f（1）＝e2﹣a2＜0，又∵f（0）＝＞0，∴由零点定理知，f（x）在（0，1）上有一个零点x1…又∵f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在[lna，+∞）上单调递增，∴当x＝lna时，f（x）取最小值f（lna）＝a2（﹣lna），∵a＞e，∴f（lna）＜0…设h（a）＝﹣2lna（a＞e），则h′（a）＝a﹣＞0，故h（a）在（e，+∞）上单调递增，∴当a＞e时，h（a）＞h（e）＝﹣2＞0，∴f（2lna）＝a2（﹣2lna）＞0，∴由零点定理知，f（x）在（lna，2lna）上有一个零点x2，∴f（x）有且仅有两个零点x1，x2，且0＜x1＜1＜lna＜x2＜2lna…∴x2﹣x1＞lna﹣1＝ln，即x1+ln＜x2∴x1＜x2＜2lna．…请考生在[22]、[23]题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ＝φ，θ＝φ+，θ＝φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（I）求证：|OB|+|OC|＝|OA|；（Ⅱ）当φ＝时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．【分析】（Ⅰ）依题意，|OA|＝4cosφ，|OB|＝4cos（φ+），|OC|＝4cos（φ﹣），利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4cosφ，＝|OA|，命题得证．（Ⅱ）当φ＝时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．再把它们化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y＝﹣（x﹣2），由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．解：（Ⅰ）依题意，|OA|＝4cosφ，|OB|＝4cos（φ+），|OC|＝4cos（φ﹣），…则|OB|+|OC|＝4cos（φ+）+4cos（φ﹣）＝2（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）＝4cosφ，＝|OA|．…（Ⅱ）当φ＝时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．化为直角坐标为B（1，），C（3，﹣）．…C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y＝﹣（x﹣2），故直线的斜率为﹣，…所以m＝2，α＝．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣|2x﹣1|．（1）求f（x）＞﹣5的解集；（2）若关于x的不等式|b+2a|﹣|2b﹣a|≥|a|（|x+1|+|x﹣m|）（a，b∈R，a≠0）能成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用绝对值不等式，去掉绝对值符号，然后转化求解不等式即可．（2）不等式化为能成立，可得能成立，利用换元法以及绝对值不等式的几何意义，求解即可．解：（1），可得或或，解得x∈（﹣2，8），故f（x）＞﹣5的解集为（﹣2，8）．…………（2）由|b+2a|﹣|2b﹣a|≥|a|（|x+1|+|x﹣m|），（a≠0）能成立，得能成立，即能成立，令，则|t+2|﹣|2t﹣1|≥（|x+1|+|x﹣m|）能成立，由（1）知，，又∵|x+1|+|x﹣m|≥|1+m|，∴，∴实数m的取值范围：。

2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数3+2ii=()A. −2+3iB. −2−3iC. 2+3iD. 2−3i2.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N}，B={6,8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A. 5B. 4C. 3D. 23.已知单位向量a⃗，b⃗ 的夹角为π3，则a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=()A. 32B. 1+√32C. 2D. 1+√34.某企业3000名员工的工资情况统计如图所示，则下列说法错误的是()A. 有超过50%的员工能够领到1000元以上(含1000元)的工资B. 工资在2000～3999元的员工数占员工总数的39%C. 有150名员工能够领到5000元以上(含5000元)的工资D. 工资在3000元以上(含3000元)的员工不足700人5.已知a=log25，2b=3，则2a+b=()A. 15B. 6C. 10D. 56.在△ABC中，sinAsinC>cosAcosC，则△ABC一定是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定7.已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)离心率是√52，那么b等于()A. 1B. 2C. √5D. 2√58.已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称，且f(−1)=1，则f(1)+f(2)+⋯+f(2018)的值为()A. −1B. 0C. 1D. 29.某影院有三间放映厅，同时放映三部不同的电影，此时，甲、乙两位同学各自买票看其中的一场，若每位同学观看各部影片的可能性相同，则这两位同学观看同一部影片的概率为()A. 12B. 13C. 23D. 3410.若函数f(x)=√3sin(ωx−π3)(ω>0)的最小正周期为π2，则f(π3)=()A. 1B. 0C. √32D. √311.已知锐角△ABC的内角为A，B，C，点M为AB上的一点，cos∠ACM=2√77，AC=10，CM=2√7，则AB的取值范围为()A. (10,20√33)B. (4√3,10)C. (5√3,20√33)D. (5√3,+∞)12.若函数f(x)=xe x−a有两个零点，则实数a的取值范围为()A. −e<a<0B. −1e <a C. −1e<a<0 D. 0<a<e二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知α∈(π,3π2)，cosα=−45，则sinα2=______．14.曲线f(x)=sinx+x−1在x=0处的切线方程是________．15.已知F1，F2是椭圆x29+y27=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则△AF1F2的面积为________．16.将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某公司需要对所生产的A，B，C三种产品进行检测，三种产品数量(单位：件)如表所示：产品A B C数量(件)18027090采用分层抽样的方法从上产品中共抽取6件．(Ⅰ)求分别抽取三种产品的件数；(Ⅱ)将抽取的6件产品按种类A，B，C编号，分别记为A i，B i，C i，i=1，2，3….现从这6件产品中随机抽取2件．(ⅰ)用所给编号列出所有可能的结果；(ⅰ)求这两件产品来自不同种类的概率．18.设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S1=2，S n+1=3S n+2．(Ⅰ)求通项公式a n；(Ⅱ)设b n=a n，求证：b1+b2+⋯+b n<1．S n219.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，CC1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点E，F分别是AB，B1C1的中点，且∠DAB=60°，AA1=AB=2．(I)求证：EF//平面AB1D1；(II)求三棱锥A−CB1D1的体积．20.已知抛物线C：y2=2px过点A(1,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过x轴上的点M(a,0)作一直线交抛物线于A、B两点，若∠AOB为锐角时，求a的取值范围．21.已知函数f(x)=xln x．(1)求f(x)的极小值；(2)讨论关于x的方程f(x)−m=0(m∈R)的解的个数．22.在极坐标系中，曲线C1：ρ=2sinθ，曲线C2：ρcosθ=3，点P(1,π)，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．(1)求曲线C1和C2的直角坐标方程；(2)过点P的直线l交C1于点A，B，交C2于点Q，若|PA|+|PB|=λ|PQ|，求λ的最大值．23.已知函数f(x)=|2x+a|+|x+1|．(1)当a=1时，解关于x的不等式f(x)≥2；(2)当a=−1时，求f(x)的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：【试题解析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数3+2ii，则答案可求．解：3+2ii =−i(3+2i)−i2=2−3i，故选D．2.答案：D解析：本题主要考查集合的交集运算和元素个数的求解．解：由已知得A={2,5，8，11，14，17，…}，又B={6,8，10，12，14}，所以A∩B={8,14}．故选D．3.答案：C解析：本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．根据向量的数量积公式计算即可．解：单位向量a⃗,b⃗ 的夹角为，∴|a⃗|=|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |⋅cosπ3=12∴a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ =1+2×12=2，故选：C解析：本题主要考查了频率分布图，属于基础题．根据题目给出的统计图，分析各选项即可得出答案．解：A：工资为1000元以下的占40%，有60%的员工能够领到1000元以上(含1000元)的工资，正确；B：工资在2000～2999元的员工数占员工总数的24%，工资在3000～3999元的员工数占员工总数的15%，工资在2000～3999元的员工数占员工总数的39%，正确；C：工资在5000～5999元的员工数占员工总数的5%，人数为5%×3000=150，正确；D：工资在3000～5999元的员工数占员工总数的25%，人数为25%×3000=750，故错误，故选D．5.答案：A解析：本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．利用对数的运算性质即可求解．解：∵a=log25，b=log23，∴a+b=log215，∴2a+b=2log215=15，故选A．6.答案：D解析：解：∵sinAsinC>cosAcosC，∴cosAcosC−sinAsinC<0，即cos(A+C)<0，∴cosB>0，即B为锐角，但A、C不能判断．故选：D由两角差的余弦可判B为锐角，结合A，C可作出判断．本题考查三角形形状的判断，涉及两角差的余弦，属基础题．解析：本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．由双曲线x24−y2b2=1(b>0)离心率是√52，可得a=2，c=√5，即可求出b的值．解：∵双曲线双曲线x24−y2b2=1(b>0)离心率是√52，∴a=2，c=√5，∴b=√5−4=1，故选A．8.答案：A解析：本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用，注意分析函数的周期，属于中档题．根据题意，由函数的奇偶性以及对称性分析可得f(x+2)=−f(x)，进而可得f(x+4)=f(x)，即函数f(x)为周期为4的周期函数；据此分析可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，据此可得f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2018)=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×504+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)，代入计算可得答案．解：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(−x)=−f(x)，①又由f(x)的图象关于直线x=1对称，则f(−x)=f(2+x)，②由①②可得：f(x+2)=−f(x)，变形可得：f(x+4)=f(x)，即函数f(x)为周期为4的周期函数；又由f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)=0，则f(1)=−f(−1)=−1，f(2)=−f(0)=0，f(3)=f(−1)=1，f(4)=f(0)=0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=(−1)+0+1+0=0，则有f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2018)=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×504+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=−1；故选：A．解析：解：某影院有三间放映厅，同时放映三部不同的电影，此时，甲、乙两位同学各自买票看其中的一场，若每位同学观看各部影片的可能性相同，则基本事件总数为n=32=9，这两位同学观看同一部影片，包含的基本事件个数为m=C31=3，∴这两位同学观看同一部影片的概率p=mn =39=13．故选：B．由已知条件先求出基本事件总数为n=32，再求出这两位同学观看同一部影片，包含的基本事件个数为m=C31=3，由此能求出这两位同学观看同一部影片的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10.答案：B解析：本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用，属于基础题.根据周期公式求解ω的值，进而得到f(π3)的值即可．解：由题意可得2πω=π2，所以ω=4,f(x)=√3sin(4x−π3)，所以f(π3)=√3sinπ=0，故选B．11.答案：C解析：本题考查三角形的余弦定理的运用，考查化简整理的运算能力和判断能力，属于中档题．在△AMC中运用余弦定理可得AM，进而得到cos A，过C作CD⊥AB于D，过C作CE⊥AC交AB于E，结合锐角三角形ABC，即可得到AB的范围．解：在△AMC中，可得AM2=AC2+MC2−2AC⋅CM⋅cos∠ACM=100+28−2×10×2√7×2√77=48，即AM=4√3，由cosA=AM2+AC2−CM22AM⋅AC =√32，过C作CD⊥AB于D，可得AD=ACcosA=5√3；可得AB>AD=5√3；过C作CE⊥AC交AB于E，可得AC=AEcosA=10，解得AE=20√33，即有AB<AE=20√33，故5√3<AB<20√33故选：C．12.答案：C解析：本题考查了利用方程的根，函数的交点，求解函数的零点问题，利用导数求解问题，属于中档题．解析：解：函数f(x)=xe x −a有2个不同的零点．∴由函数f(x)=xe x−a=0，求得a=xe x，令g(x)=xe x，则g′(x)=(1+x)e x，令g′(x)=0，求得x=−1，在(−∞,−1)上，g′(x)<0，g(x)为减函数；在(−1,+∞)上g′(x)>0，g(x)为增函数，故g(−1)=−1e为g(x)的最小值．当x→−∞时,g(x)→0，当x→+∞时,g(x)→+∞再根据f(x)有2个不同的零点，可得−1e<a<0，故选C.13.答案：3√1010解析：解：∵α∈(π,3π2)，∴α2∈(π2,3π4)，sinα2>0，∵cosα=1−2sin2α2=−45，即sin2α2=910，∴sinα2=3√1010．故答案为：3√1010由α的范围求出α2的范围，确定出sinα2大于0，利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，整理后开方即可求出sinα2的值．此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．14.答案：2x−y−1=0解析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程有关知识.根据导数的几何意义求出函数在x=0处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．解：x=0时，f(0)=−1，f′(x)=cos x+1，所以f′(0)=2，所以所求切线方程为y+1=2x，即2x−y−1=0．故答案为2x−y−1=0．15.答案：72解析：本题给出椭圆的焦点三角形满足的条件，求三角形的面积．着重考查了椭圆的定义与标准方程、余弦定理和三角形的面积公式等知识，属于中档题．根据椭圆的方程算出a=3、b=√7，可得焦距|F1F2|=2√2，由椭圆的定义得|AF2|=6−|AF1|.由此在△AF1F2中利用余弦定理解出|AF1|长，根据正弦定理的面积公式即可算出△AF1F2的面积．解：由题意，可得∵椭圆的方程为x29+y27=1，∴a=3，b=√7，可得c=√a2−b2=√2，故焦距|F1F2|=2√2，∵根据椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|=2a=6，∴△AF1F2中，利用余弦定理得|AF1|2+|F1F2|2−2|AF1|⋅|F1F2|cos45°=|AF2|2， 所以|AF2|2=|AF1|2−4|AF1|+8，即(6−|AF1|)2=|AF1|2−4|AF1|+8，解之得|AF1|=72，故△AF1F2的面积为S=12|AF1|⋅|F1F2|sin45°=12×72×2√2×√22=72．16.答案：4+2√2解析：解：作出正四棱柱的对角面如图，∵底面边长为6，∴BC=6√2，球O的半径为3，球O1的半径为1，则OA=12BC−O1N=3√2−√2=2√2，在Rt△OAO1中，OO1=4，∴O1A=√42−(2√2)2=2√2，∴正四棱柱容器的高的最小值为4+2√2．故答案为：4+2√2．由题意画出图形，然后通过求解直角三角形得答案．本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．17.答案：(本小题满分13分)解：(I)设C产品抽取了x件，则A产品抽取了2x件，B产品抽取了3x件，…(2分)则有：x+2x+3x=6，解得x=1.…(4分)所以A、B、C三种产品分别抽取了2件、3件、1件．…(5分)(II)(i)设A产品编号为A1，A2；B产品编号为B1，B2，B3，C产品编号为C1，…(6分)则从这6件产品中随机抽取2件的所有结果是：{A1,A2}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A1,B3}，{A1,C1}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A2,B3}，{A2,C1}，{B1,B2}，{B1,B3}，{B1,C1}，{B2,B3}，{B2,C1}，{B3,C1}，共15个．…(10分)．(ii)根据题意，这些基本事件的出现是等可能的；其中这两件产品来自不同种类的有：{A1,B1}，{A1,B2}，{A1,B3}，{A1,C1}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A2,B3}，{A2,C1}，{B1,C1}，{B2,C1}，{B3,C1}，共11个…(12分).…(13分)因此这两件产品来自不同种类的概率为p=1115解析：(I)设C产品抽取了x件，则A产品抽取了2x件，B产品抽取了3x件，则x+2x+3x=6，由此能求出A、B、C三种产品分别抽取的件数．(II)(i)设A产品编号为A1，A2；B产品编号为B1，B2，B3，C产品编号为C1，从这6件产品中随机抽取2件，利用列举法能求出所有可能的结果．(ii)利用列举法求出这两件产品来自不同种类的个数，由此能求出这两件产品来自不同种类的概率．本题考查分层抽样的应用，考查概率的求法，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.答案：(Ⅰ)解：∵S n+1=3S n+2，∴S n+1+1=3(S n+1)．又∵S1+1=3，∴{S n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，∴S n=3n−1,n∈N∗．n=1时，a1=S1=2，n>1时，a n=S n−S n−1=(3n−1)−(3n−1−1)=3n−1(3−1)=2×3n−1．故a n=2×3n−1,n∈N∗．(Ⅱ)证明：∵b n=2×3n−1(3n−1)2<2×3n−1(3n−1−1)(3n−1)=13n−1−1−13n−1,(n>1)∴b1+b2+⋯+b n<12+(131−1−132−1)+(132−1−133−1)+⋯+(13n−1−1−13n−1)=12+12−13n−1<1．解析：(Ⅰ)利用S n+1=3S n+2，推出{S n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，求出通项公式，然后求解a1，n>1时，利用a n=S n−S n−1，即可求通项公式a n；(Ⅱ)化简b n=a nS n2，通过裂项法求和，得到b1+b2+⋯+b n与1的大小即可．本题考查数列的求和，裂项法的应用，数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．19.答案：证明：(I)如图，连接A1C1交B1D1于O点，连接OF，OA．∵OF//̲12C1D1，AE//̲12C1D1，∴OF//̲AE．∴AOFE是平行四边形，∴EF//OA，而EF⊄平面AB1D1，OA⊂平面AB1D1；∴EF//平面AB1D1．(II)连接AC交BD于点M，连接D1M，B1M.则V A−B1D1M =V C−B1D1M，V A−CB1D1=V A−B1D1M+V C−B1D1M=2V A−B1D1M，∵四边形BACD是菱形，∴AC⊥BD．∵BB1⊥平面ABCD，∴平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴AM⊥平面BDD1B1，∴V A−B1D1M =13AM⋅S BDD1B1=13×√3×12×2×2=2√33，∴V A−CB1D1=4√33．解析：(I)如图，连接A 1C 1交B 1D 1于O 点，连接OF ，OA.利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定可得AOFE 是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明．(II)连接AC 交BD 于点M ，连接D 1M ，B 1M.可得V A−B 1D 1M =V C−B 1D 1M ，V A−CB 1D 1=V A−B 1D 1M +V C−B 1D 1M ，由于四边形BACD 是菱形，BB 1⊥平面ABCD ，可得平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ，AM ⊥平面BDD 1B 1，即可得出V A−B 1D 1M =13AM ⋅S BDD 1B 1．本题考查了空间线面位置关系及其判定、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20.答案：解：(1)抛物线C ：y 2=2px 过点A(1,1)，可得1=2p ，即p =12，则抛物线的方程为y 2=x ；(2)由题意可得直线的斜率不为0，设过M 的直线的方程为x =my +a ，代入抛物线方程可得y 2−my −a =0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得y 1+y 2=m ，y 1y 2=−a ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)2+y 1y 2 =a 2−a >0，解得a >1或a <0．解析：本题考查抛物线的方程和运用，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．(1)代入A 的坐标，解方程可得p ，进而得到抛物线方程；(2)由题意可得直线的斜率不为0，设过M 的直线的方程为x =my +a ，代入抛物线方程，运用韦达定理和两斜率数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．21.答案：解(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=ln x +1，…(2分)令f′(x)=0，得x =1e ，当x ∈(0,+∞)时，f′(x)，f(x)的变化的情况如下：…(6分) 所以，f(x)在(0,+∞)上的极小值是f(1e )=−1e .…(7分)(2)当x ∈(0,1e )，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是(−1e ,0)；当x ∈(1e ,+∞)时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是(−1e ,+∞).…(10分)令y =f(x)，y =m ，两函数图象交点的横坐标是f(x)−m =0的解，由(1)知当m <−1e 时，原方程无解；由f(x)的单调区间上函数值的范围知，当m =−1e 或m ≥0时，原方程有唯一解；当−1e <m <0时，原方程有两解．…(13分)解析：(1)求出函数的导数，通过导数为0，判断极值点，即可求f(x)的极小值；(2)利用(1)的结果，讨论函数的单调性，然后解答关于x 的方程f(x)−m =0 (m ∈R)的解的个数． 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值点以及函数的单调性，方程的根的个数的应用，考查计算能力．22.答案：解：(1)曲线C 1：ρ=2sinθ，所以：曲线C 1的直角坐标方程为：x 2+y 2−2y =0；曲线C 2：ρcosθ=3，所以：曲线C 2的直角坐标方程为：x =3．(2)P 的直角坐标为(−1,0)，设直线l 的倾斜角为α，(0<α<π2)，则直线l 的参数方程为：{x =−1+tcosαy =tsinα(t 为参数，0<α<π2) 代入C 1的直角坐标方程整理得，t 2−2(sinα+cosα)t +1=0，t 1+t 2=2(sinα+cosα)直线l 的参数方程与x =3联立解得，t 3=4cosα，由t 的几何意义可知，|PA|+|PB|=2(sinα+cosα)=λ|PQ|=4λcosα，整理得，4λ=2(sinα+cosα)cosα=sin2α+cos2α+1=√2sin(2α+π4)+1，由0<α<π2，π4<2α+π4<5π4，所以，当2α+π4=π2，即α=π8时，λ有最大值14(√2+1)．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用一元二次方程根与系数的关系，利用三角函数的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，三角函数的关系式的恒等变换．23.答案：解：(1)a =1时，f(x)≥2，即|2x +1|+|x +1|≥2，故{x ≤−1−3x −2≥2或{−1<x ≤−12−x ≥2或{x >−123x +2≥2， 解得：x ≤−43或x ≥0，故不等式的解集是(−∞,−43]∪[0,+∞)；(2)a =−1时，f(x)={−3x,x <−12−x,−1≤x ≤123x,x >12，故f(x)min =f(12)=32．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数最值以及分类讨论思想，是一道常规题．(1)代入a 的值，得到关于x 的不等式组，解出即可；(2)代入a的值，求出f(x)的分段函数的形式，求出函数的最小值即可．。

2020年四川绵阳高三三模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.复数（ ）．A. B. C. D.2.设集合，，则中元素的个数是（ ）．A. B. C. D.3.已知单位向量，满足 ，则（ ）．A. B. C. D.4.有报道称，据南方科技大学，上海交大等家单位的最新研究显示：、、、血型与易感性存在关联，具体调查数据统计如下：武汉市名正常人血型占比武汉市名患者血型占比型型型型A.与非型血相比，型血人群对相对不易感，风险较低B.与非型血相比，型血人群对相对易感，风险较高C.与型血相比，非型血人群对都不易感，没有风险D.与型血相比，型，型血人群对的易感性要高5.若实数满足，则 （ ）．A.B.C.D.6.已知在中，，则一定是（ ）．A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形7.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在轴上的双曲线上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.8.已知定义在上的奇函数满足，若，，则实数的取值范围为（ ）．A.B.C.D.9.某社区有个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为（ ）．A.B.C.D.10.已知函数的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是（ ）．A.B.C.D.11.如图，教室里悬挂着日光灯管，，灯线，将灯管绕着过中点的铅垂线顺时针旋转至，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了，则的长为（ ）．A.B.C.D.12.已知为实数，表示不超过的最大整数，若函数，则函数的零点个数为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知 ，则 ．14.曲线在的处的切线方程为 ．15.已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，若，且的面积为，则．16.在一个半径为的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.质量是企业的生命线．某企业在一个批次产品中随机抽检件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如下：质量指标值等级频数频率三等品二等品一等品特等品合计求，，．从质量指标值在的产品中，按照等级分层抽样抽取件，再从这件中随机抽取件，求至少有件特等品被抽到的概率．（1）（2）18.若数列的前项和为，已知，．求．设，求使得成立的最小自然数．19.如图，四边形是正方形，平面，点、点分别是线段、的中点，．【答案】（1）（2）证明：平面．求三棱锥的体积．（1）（2）20.已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，且点在轴上方，为坐标原点，线段的中点为．若直线的斜率为，求直线的方程．设点，若恒为锐角，求的取值范围．（1）（2）21.已知函数，其中．当时，求函数的极值．若，试讨论函数在上的零点个数．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线、都过极点．分别写出半圆、圆的极坐标方程．直线与曲线，分别交于、两点（异于极点），为上的动点，求面积的最大值．（1）（2）23.已知函数．解关于的不等式．若函数的最小值记为，设，，均为正实数，且，求的最小值．A1.解析:，故选．解析:∵，∴表示点在上，∵，∴表示点在上，和，∴中元素个数为，故选：．解析:由，得，由均为单位向量是，，．故选．解析:实数满足，，．故选．解析:由在中，，C 2.C 3.，C 4.D 5.C 6.，，，，，，∵、、均为三角形内角，∴，故为等腰三角形．故选．解析:∵上焦点到上顶点的距离为，∴，①，∵上焦点到渐近线的距离为，∴，又，∴，②，由①②得．故选．解析:∵函数是定义在的奇函数且满足，∴，∴函数是周期函数，周期为，∵，∴，即，解得．B 7.D 8.故选．解析:∵每位同学参加各个服务队的可能性相同，∴这两位同学同时参加一个服务队的概率为：，那么这两位同学参加不同服务队的概率为：．故选．解析:∵函数的最小正周期为，∴，又∵关于中心对称，∴，，解得，，∵，∴，∴，∴，∵在上单调递减，∴，又∵，∴．故选．解析:如图，A 9.B 10.D 11.按题中要求旋转后，变为，变为，并且平行于天棚所在的平面，过作，交于，连接，平行于天棚所在的平面，∴平面，∴，在中，∵，，∴是等边三角形，∴，在中，设，则，，，∴，解得．故选：．解析:令，∴，∴的零点个数即为函数与函数的交点个数．时，，时，，时，，∴的图象为∴，B 12.又∵，∴，∴时，，时，，∴在单减，在单增，时，又时，∴的图象为又时，∴与图象只有两个交点，即零点个数为．故选．13.解析:∵，∴，即，∴．14.解析:函数的导函数为，∴时，，即时，切线斜率为，又∵时，，∴切线方程为．解析:设，，，则由椭圆的定义可得：①，在中，，由余弦定理得：②，则得，又因为，∴．故答案为：．解析:设正四棱柱高为，钢球球心为，为在正四棱柱底面投影．∴，，．∴．∴体积．∴．当时，．当时，．∴当时，正四棱柱体积最大．15.①②16.（1）（2）（1）（2）故答案为．解析:由，即，∴，．设从“特等品”产品中抽取件，从“一等品”产品中抽取件，由分层抽样得，解得，，即在抽取的件中，有特等品件，记为，，有一等品件，记为，，，．则所有的抽样情况有：，，，，，，，，，，，，，，，共种，其中至少有件特等品情况有：，，，，，，，，，共种．记事件为“至少有件特等品被抽到”，则．解析:由，得，∴，即，∵，∴数列是首项为，公比为的等比数列，故．由，∴（1），，．（2）．17.（1）．（2）使得不等式成立的最小自然数．18.（1）（2），∴由，解得．∴使得不等式成立的最小自然数．解析:取的中点为，连接，．∵四边形是正方形，，，分别是线段，，的中点，∴，且，，且，∴，且，∴四边形为平行四边形∴，∵平面，∴平面．∵平面，∴到平面的距离等于到平面距离，∴，而，∵平面，∴是三棱锥的高，∴，即三棱锥的体积为．（1）证明见解析．（2）．19.三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥（1）直线方程为或．20.（1）（2）解析:由题意得，设直线的方程为：，，，线段的中点，联立方程，整理得，由韦达定理得，，∴，，即，∵直线的斜率为，∴，解得或，∴直线方程为或．为锐角，等价于，设，，，则，，故恒成立，令，则，原式等价于对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，①，解得；②，解得，又，故，综上所述，的取值范围是．（2）的取值范围是．（1）当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值．（2）当时，在上有唯一零点；21.（1）（2）解析:当时，，，得．∴函数在和上单调递增，在上单调递减，∴当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值．．∵，当，即时，得在上递减，，要使在上有零点，则，解得；当，即时，得在上递减，在上递增，由于，．令，令，则，∴在上递减，故，即，∴在上递增，故，即，∴在上没有零点．综上所述，当时，在上有唯一零点；当时，在上没有零点．当时，在上没有零点．（1）（2）（1）（2）解析:由题意得，半圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为．由()得，，显然当点到直线的距离最大时，面积最大．此时点为过且与直线垂直的直线与圆的一个交点，如图，设与直线垂直于点，在中，，∴点到直线的最大距离为，∴面积的最大值为．解析:当时，，解得，当时，，满足题意；当时，，解得．综上所述，不等式的解集为．由，即的最小值为，即．（1）半圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为．（2）面积的最大值为．22.（1）．（2）．23.．当且仅当时等号成立，所以最小值为．。

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（ ） A ．74B ．94C ．52D ．22．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅D ．UB A ⊆3．设12F F ，是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A．12B1CD14．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则实数ω的值为（ ） A ．74B ．32C ．2D ．545．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②6．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭7．已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+．则此数列的前20项的和为（ ）A．1133902-+B．11331002-+C．1233902-+D．12331002-+8．若函数()f x的图象如图所示，则()f x的解析式可能是（）A．()xe xf xx+=B．()21xf xx-=C．()xe xf xx-=D．()21xf xx+=9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）为（）A．163B．6 C．203D．22310．已知函数31,0()(),0x xf xg x x⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f-的值为（）A．－10 B．－9 C．－7 D．111．在ABC∆中，,2,BD DC AP PD BP AB ACλμ===+，则λμ+=（）A．13-B．13C．12-D．1212．设,m n是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m n⊥，//nα，则mα⊥B．若//mβ，βα⊥，则mα⊥C．若mβ⊥，nβ⊥，nα⊥，则mα⊥D．若m n⊥，nβ⊥，βα⊥，则mα⊥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

数学试卷一、选择题1.已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,4}A =，则U A =ð（ ） A ．{5,6}B ．{1,2,3,4}C ．{2,5,6}D ．{2,3,4,5,6}2.已知i 是虚数单位，复数1(2)i m m ++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．()1,2-C ．()2,+∞D ．()(),12,-∞-+∞U3.已知向量()()2,,4,2m ==-a b ，且()()+⊥-a b a b ，则实数m =（ ） A ．-4B ．4C ．2±D ．4±4.733x ⎛ ⎝展开式中的常数项是（ ）A ．189B ．63C ．42D ．215.已知412ln33332,e ,3a bc===，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<6.函数ln ()1xf x x =+的图象大致是（ ） A. B.C. D.7.设曲线1cos ()sin x f x x +=在3x π=处的切线与直线1y ax =+平行，则实数a 等于（ ）A.-1B.23C.-2D.28.“关注夕阳，爱老敬老”，某企业从2012年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了该企业第x年（2012年是第一年）捐赠的现金数y（万元）：ˆ0.35y mx=+，则可预测2019年捐赠的现金大约是（）A．5.95万元B．5.25万元C．5.2万元D．5万元9.执行如图所示的程序框图，如果输入2019n=，则输出的=S（）A．40384039B．20194039C．20184037D．4036403710.若9人已按照一定顺序排成三行三列的方阵，从中任选3人，则至少有两人位于同行或同列的概率是（）A．1314B．47C．37D．11411.已知112ω>，函数()πsin24f x xω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间π3π(,)22内没有最值，则ω的取值范围（）A ．11[,]62B ．511,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,112⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，若两定点A,B 满足OA OB ==u u u r u u u r1OA OB ⋅=u u u r u u u r，则点集{}|,2,,R P OP OA OB λμλμλμ=++≤∈u u u r u u u r u u u r 所表示的区域的面积是（ ）.A ．B ．C ．D ．二、填空题13.在等差数列{}n a 中，若1=2a ，23+=10a a ，则7=a __________.14.若函数2()=x f x x ax e --在区间()0+∞，单调递增，则a 的取值范围是_________. 15.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ABC ∆的面积为4，4,8b BA AC =⋅=u u u r u u u r，则a =__________.16.若函数()a f x x a x=+－在区间()0,2上为减函数，则满足条件的a 的集合是________.三、解答题17.在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且满足5cos ()cos 3a Cbc A =-.（1）若1sin 5C =，10a c +=，求c ；（2）若4a =，c =ABC ∆的面积S.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n S a =-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(21)n n b n a =-,求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19.已知函数32213()242a f x x x bx a =+++.（1）若1b =，当0x >时，()f x 的图象上任意一点的切线的斜率都非负，求证： a ≥； （2）若()f x 在2x =-时取得极值0，求a b +.20.手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图：由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．（1）试计算图中的a 、b 值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值μ； （2）为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案： 记职工个人每日步行数为ω，其超过平均值μ的百分数×100ωμεμ-=，若(0,10]ε∈，职工获得一次抽奖机会；若(10,20]ε∈，职工获得二次抽奖机会；若(20,30]ε∈，职工获得三次抽奖机会；若(10,20]ε∈，职工获得四次抽奖机会；若ε超过50，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为n ．方案甲：从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的抽取n 个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；方案乙：从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的抽取n 个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；若某职工日步行数为15700步，试计算他参与甲、乙两种抽奖方案中奖次数的分布列．若是你，更喜欢哪个方案？21.已知函数()ln f x x ax =-.（1）讨论()f x 在其定义域内的单调性；（2）若1a =，且12()()f x f x =，其中120x x <<,求证：12123x x x x ++>.22.如图所示，“8”是在极坐标系Ox 中分别以1π(1,)2C 和23π(2,)2C 为圆心，外切于点O 的两个圆.过O 作两条夹角为π3的射线分别交1C O 于O 、A 两点，交2C O 于O 、B 两点.（1）写出1C O 与2C O 的极坐标方程； （2）求ΔOAB 面积最大值.23.已知函数()2,f x x t t =--∈R ，()3g x x =+. （1）x ∈R ，有()()f x g x ≥，求实数t 的取值范围；（2）若不等式()0f x ≤的解集为[]1,3，正数a 、b 满足222ab a b t --=-，求2a b +的最小值.参考答案1.答案：C解析：∵集合1,2,3,4,5,{}{}61,3,4U A ==,， ∴26}5{UA =,,ð. 2.答案：A 解析： 3.答案：D 解析： 4.答案：D 解析： 5.答案：D 解析：4111121ln3ln33333333216,3,39a be ec=======∵()133916,f x x <<=在()0,+∞上单调递增；∴1113333916<<∴b c a << 6.答案：A 解析： 7.答案：C 解析： 8.答案：A 解析： 9.答案：B解析： 10.答案：A解析： 九个人排成三行三列的方阵,从中任选三人,共有取法3984C =三行三列的方阵中取三个数位于不同行不同列的取法有6种。