2020年辽宁省丹东市中考数学一模试卷1.−(−3)的相反数是()A. −3B. 0C. 3D. ±32.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()A. 等腰三角形B. 平行四边形C. 等边三角形D. 菱形3.如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是()A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°4.若正数x的平方等于7，则下列对x的估算正确的是()A. 1<x<2B. 2<x<3C. 3<x<4D. 4<x<55.在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是()．A. 9.7m，9.9mB. 9.7m，9.8mC. 9.8m，9.7mD. 9.8m，9.9m6.若x−2y+1=0，则2x÷4y×8等于()A. 1B. 4C. 8D. −167.小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟．若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程()A. 25x −321.6x=15 B. 321.6x−25x=15 C. 321.6x−25x=14D. 25x−321.6x=148.如图，线段AB=1，点P是线段AB上一个动点(不包括A、B)在AB同侧作Rt△PAC，Rt△PBD，∠A=∠D= 30°，∠APC=∠BPD=90°，M、N分别是AC、BD的中点，连接MN，设AP=x，MN2=y，则y关于x的函数图象为()A. B.C. D.9.7x2−63分解因式为______ ．10.目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m，将0.00000004用科学记数法表示为______．11.函数y=√2x+1x−1中自变量x的取值范围是______．12.若关于x的方程(k−1)x2−2kx+k+3=0有实数根，则k的取值范围是______ ．13.如果一组数据a1，a2，…a n的方差是2，那么一组新数据3a1+1，3a2+1…3a n+1的方差是______ ．14.已知不等式组{3x+a<2(x+2)−13x<53x+2有解但没有整数解，则a的取值范围为______．15.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，点B是x轴正半轴上一点，∠OAB=45°，双曲线y=kx过点A，交AB于点C，连接OC，若OC⊥AB，则tan∠ABO的值是______．16.如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是______．17. (1)计算：(12)−1+|1−√3|−(x −3)0−√83；(2)化简：a−1a+2⋅a 2−4a 2−2a+1÷1a 2−1．18. 在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示：(每个方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC 的顶点都在格点上)．(1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；写出B 点对应点B 1的坐标；(2)将△A 1B 1C 1绕点O 逆时针旋转90°得到△A 2B 2C 2，请你求出线段OB 1旋转过程中扫过的面积．19. 某中学开展“绿化家乡、植树造林”活动，为了解全校植树情况，对该校甲、乙、丙、丁四个班级植树情况进行了调查，将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：(1)这四个班共植树______棵；(2)请你在答题卡上不全两幅统计图；(3)求图1中“甲”班级所对应的扇形圆心角的度数；(4)若四个班级植树的平均成活率是95%，全校共植树2000棵，请你估计全校种植的树中成活的树有多少棵？20. 如图，要测量一垂直于水平面的建筑物AB 的高度，小明从建筑物底端B 出发，沿水平方向向右走30米到达点C ，又经过一段坡角为30°，长为20米的斜坡CD ，然后再沿水平方向向右走了50米到达点E(A,B ，C ，D ，E 均在同一平面内).在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，求建筑物AB 的高度．(结果保留根号，参考数据：sin24°≈25，cos24°≈910，tan24°=920)21.俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售.设每天销售为y本，销售单价为x元．(1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；(2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？(3)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元．22.如图，已知点D在反比例函数y=a的图象上，过点xD作DB⊥y轴，垂足为B(0,3)，直线y=kx+b经过点A(5,0)，与y轴交于点C，且BD=OC，OC：OA=2：5．(1)求反比例函数y=a和一次函数y=kx+b的表x达式；>kx+b的解集．(2)直接写出关于x的不等式ax23.春节期间，全国爆发了新型冠状病毒传染的肺炎，对环境的治理工作迫在眉睫．某社区为了疫情防控落实到位，社区成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．(1)甲组抽到A小区的概率是______；(2)请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．24.如图，AB是⊙O的直径，点D是半圆圆周上的一点，连接AD，过点B作⊙O的切线BC交AD的延长线于点C，E为BC的中点，连接DE，延长DE交AB的延长线于点F，连接BD．(1)求证：DF为⊙O的切线；EF=2，求图中阴影部分的面积．(2)若DE=1225.如图①，四边形ABCD与四边形AEFG是共一个顶点的两个大小不同的正方形．(1)操作发现，如图②，正方形AEFG绕顶点A逆时针旋转，使点E落在边AD上时，填空：①线段BE与DG的数量关系是______；②∠ABE与∠ADG的关系是______．(2)猜想与证明：如图③正方形AEFG绕顶点A逆时针旋转某一角度α(0<α<90°)时，猜想(1)中的结论是否成立？并证明你的结论；(3)拓展应用：如图④，正方形AEFG绕点A逆时针旋转，使点F落在边AD上时，若AB=2√2，AE=1，则BE=______．26.如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1,0)，与y轴交于点C(0,−3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB=2∠ACO.求点P的坐标；(3)如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；(4)若E为抛物线上的点，F为抛物线对称轴上的点，当以点A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点E的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：−(−3)的相反数是−3．故选：A．根据相反数的定义化简即可．本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：A.等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；C.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D.菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】C【解析】解：连接OB，∵∠ACB=25°，∴∠AOB=2×25°=50°，由OA=OB，∴∠BAO=∠ABO，(180°−50°)=65°．∴∠BAO=12故选：C．连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵x2=7，∴x=√7∵4<7<9，∴2<√7<3，即2<x<3，故选：B．先估算出√7的值，进而可得出结论．本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．5.【答案】B【解析】【分析】考查中位数、算术平均数的计算方法，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数就是这组数据的中位数，平均数则是反映一组数据的集中水平．将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用算术平均数的计算公式进行计算即可．【解答】解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，平均数为：(9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2)÷7=9.8m，故选B．6.【答案】B【解析】解：原式=2x÷22y×23=2x−2y+3=22=4．故选B．先把原式化为2x÷22y×23的形式，再根据同底数幂的乘法及除法法则进行计算即可．本题考查的是同底数幂的乘法及除法运算，根据题意把原式化为2x÷22y×23的形式是解答此题的关键．7.【答案】D【解析】解：设走路线A时的平均速度为x千米/小时，15分钟=14小时，根据题意，得25x −321.6x=14．故选：D．若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，则走路线B时的平均速度为1.6x千米/小时，根据路线B的全程比路线A的全程多7千米，走路线B的全程能比走路线A少用15分钟可列出方程．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．8.【答案】B【解析】解：连接PM、PN，则PM、PN分别为Rt△PAC，Rt△PBD的中线，∵∠A=∠D=30°，则∠MAP=∠A=30°，则PM=x2cos30°=3，同理PN=1−x2cos60°=1−x，y=MN2=(PM)2+(PN)2=43x2−2x+1，函数的对称轴x=−b2a =34，故选：B．连接PM、PN，则PM、PN分别为Rt△PAC，Rt△PBD的中线，则∠A=∠D=30°，则∠MAP=∠A=30°，则PM=x2cos30°=√3，PN=1−x2cos60°=1−x，即可求解．本题考查的是动点的函数图象，主要考查的是直角三角形的中线定理、二次函数基本知识等，本题的关键是中线定理的运用．9.【答案】7(x+3)(x−3)【解析】解：7x2−63=7(x2−9)=7(x+3)(x−3)．故答案为：7(x+3)(x−3)．直接提取公因式7，再利用公式法分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．10.【答案】4×10−8【解析】解：0.00000004=4×10−8．故答案为：4×10−8．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．11.【答案】x≥−1且x≠12【解析】解：根据题意得，2x+1≥0且x−1≠0，且x≠1．解得x≥−12且x≠1．故答案为：x≥−12根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12.【答案】k≤32【解析】解：当k−1=0时，即k=1，方程化为−2x+4=0，解得x=2；，当k−1≠0时，△=4k2−4(k−1)(k+3)≥0，解得k≤32．综上所述，k的范围为k≤32．故答案为：k≤32讨论：即k=1，方程化为一元一次方程，有一个解；当k−1≠0时，根据判别式的意义得到△=4k2−4(k−1)(k+3)≥0，解得k≤32，综合两种情况可得到k的范围．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．13.【答案】18【解析】解：∵数据a1，a2，…a n的方差是2，∴新数据3a1+1，3a2+1…3a n+1的方差是32×2=18；故答案为：18．根据若在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即可得出答案．此题考查了方差的特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即数据的波动情况不变．14.【答案】4≤a<5【解析】【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．解两个不等式求得x的范围，由不等式组有解，但没有整数解可得关于a的不等式组，解之可得答案．【解答】解：解不等式3x+a<2(x+2)，得：x<4−a，解不等式−13x<53x+2，得：x>−1，则不等式组的解集为−1<x<4−a，∵有解但没有整数解，∴−1<4−a≤0，解得：4≤a<5，故答案为4≤a<5．15.【答案】1+√52【解析】解：作CE⊥x轴，AD⊥CD∵AC=OC，∠D=∠OEC，∠ACD=∠COE∴△CEO≌△ADC(AAS)∴AD=CE，CD=OE设AD=a，CD=b可知点A坐标为(b−a,b+a)，点C坐标为(b,a)可得ab=k，b2−a2=kab=b2−a2b2 a2−ba−1=0解得b a =1+√52∵∠B+∠BCE=∠BCE+∠OCE=90°∴∠B=∠OCE∴tan∠ABO=tan∠OCE=OECE=ba=1+√52故答案为1+√52设点A和C的坐标，利用k型全等求出点A、C的坐标，获得A、C坐标与k系数的关系，从而求出tan∠ABO的值．本题考查了k型全等以及待定系数法求反比例函数解析式，数形结合的数学思想，是一道很好的反比例函数问题．16.【答案】6≤MN≤4√3【解析】解：(解法一)如图1，当点P为BC的中点时，MN最短．此时E、F分别为AB、AC 的中点，∴PE=12AC，PF=12AB，EF=12BC，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；如图2，当点P和点B(或点C)重合时，此时BN(或CM)最长．此时G(H)为AB(AC)的中点，∴CG=2√3(BH=2√3)，CM=4√3(BN=4√3).故线段MN长的取值范围是6≤MN≤4√3．故答案为：6≤MN≤4√3．(解法二)连接PM交AB于点E，连接PN交AC于点F，过点M 作MD⊥PN于点D，如图3所示．设BP=x(0≤x≤4)，则PE=√32x，CP=4−x，PF=√32(4−x)，∴PM=√3x，PN=√3(4−x)．∵∠B=∠C=60°，∴∠BPE=∠CPF=30°，∴∠MPD=∠BPE+∠BPD=∠BPE+∠CPF=60°，∴DP=12PM=√32x，MD=√32PM=32x.在Rt△MDN中，MD=32x，ND=PN+PD=√3(4−x)+√32x=√32(8−x)，∴MN2=MD2+ND2=3(x−2)2+36，∴当x=2时，MN取最小值6；当x=0或x=4时，MN取最大值4√3．故答案为：6≤MN≤4√3．(解法三)连接AM、AN、AP，过点A作AD⊥MN于点D，如图所示．∵点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，∴AM=AP=AN，∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC，∴△MAN为顶角为120°的等腰三角形，∴∠AMD=30°，∴AD=12AM，MD=√32AM，MN=√3AM．∵AM=AP，2√3≤AP≤4，∴6≤MN≤4√3．故答案为：6≤MN≤4√3．(方法一)当点P为BC的中点时，MN最短，求出此时MN的长度，当点P与点B(或C)重合时，BN(或CM)最长，求出此时BN(或CM)的长度，由此即可得出MN的取值范围．(方法二)连接PM交AB于点E，连接PN交AC于点F，过点M作MD⊥PN于点D，设BP=x(0≤x≤4)，则PE=√32x，CP=4−x，PF=√32(4−x)，根据等边三角形的性质结合轴对称的性质即可得出PM、PN的长度，由角的计算可得出∠MPD=60°，进而可得出MD、PD的长度，在Rt△MDN中，利用勾股定理即可得出MN2=MD2+ND2= 3(x−2)2+36，再根据二次函数的性质即可解决最值问题．(方法三)连接AM、AN、AP，过点A作AD⊥MN于点D，由对称性可知AM=AP=AN、△MAN为顶角为120°的等腰三角形，进而即可得出MN=√3AP，再根据AP的取值范围即可得出线段MN长的取值范围．本题考查了轴对称的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是找出MN最短和最长时点P的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，确定MN取最值时，点P的位置是关键．17.【答案】解：(1)原式=2+√3−1−1−2=√3−2；(2)原式=a−1a+2⋅(a+2)(a−2)(a−1)2⋅(a+1)(a−1)=(a−2)(a+1)=a2−a−2．【解析】(1)原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用立方根定义计算即可得到结果；(2)原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；B点对应点B1的坐标为(−3,5)；(2)如图所示，线段OB1旋转过程中扫过的面积为90×π×(32+52)360=172π．【解析】(1)根据关于y轴对称的点的坐标特点画出图形，即可写出B点对应点B1的坐标；(2)根据△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°，即可得到△A2B2C2；再根据扇形面积计算公式即可得出线段OB1旋转过程中扫过的面积．本题考查的是作图−旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．19.【答案】(1)200；(2)丁所占的百分比是：70200×100%=35%，丙所占的百分比是：1−30%−20%−35%=15%，则丙植树的棵数是：200×15%=30(棵)；如图：(3)甲班级所对应的扇形圆心角的度数是：30%×360°=108°；(4)根据题意得：2000×95%=1900(棵)．答：全校种植的树中成活的树有1900棵．【解析】解：(1)四个班共植树的棵数是：40÷20%=200(棵)；故答案为：200．(2)见答案；(3)见答案；(4)见答案．【分析】(1)根据乙班植树40棵，所占比为20%，即可求出这四个班种树总棵数；(2)根据丁班植树70棵，总棵数是200，即可求出丁所占的百分比，再用整体1减去其它所占的百分比，即可得出丙所占的百分比，再乘以总棵数，即可得出丙植树的棵数，从而补全统计图；(3)根据甲班级所占的百分比，再乘以360°，即可得出答案；(4)用总棵数×平均成活率即可得到成活的树的棵数．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20.【答案】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵∠CDN=30°，CD=20米，∴CN=CD⋅sin30°=10米，DN=CD⋅cos30°=5√3米，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=10米，BC=MN=30米，EM=MN+DN+DE=(80+5√3)米，在Rt△AEM中，tan24°=AMEM，∴920=80+5√3，∴AB=104+9√34．答：建筑物AB的高度是104+9√34米．【解析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N.首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=AMEM，构建方程即可解决问题．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．21.【答案】解：(1)y=300−10(x−44)，即y=−10x+740(44≤x≤52)；(2)根据题意得(x−40)(−10x+740)=2400，解得x1=50，x2=64(舍去)，答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；(3)w=(x−40)(−10x+740)=−10x2+1140x−29600=−10(x−57)2+2890，而a=−10<0，且对称轴为直线x=57，当x<57时，w随x的增大而增大，而44≤x≤52，所以当x=52时，w有最大值，最大值为−10(52−57)2+2890=2640，答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．【解析】(1)销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则销售单价每上涨(x−44)元，每天销售量减少10(x−44)本，所以y=300−10(x−44)，然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；(2)利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到(x−40)(−10x+740)=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；(3)利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=(x−40)(−10x+740)，再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可．本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．也考查了一元二次方程的应用．22.【答案】解：(1)∵BD=OC，OC：OA=2：5，点A(5,0)，点B(0,3)，∴OA=5，OC=BD=2，OB=3，又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，∴点C的坐标为(0,−2)，点D的坐标为(−2,3)．∵点D(−2,3)在反比例函数y=ax的图象上，∴a=−2×3=−6，∴反比例函数的表达式为y=−6x．将A(5,0)、B(0,−2)代入y=kx+b，{5k+b=0b=−2，解得：{k=25b=−2，∴一次函数的表达式为y=25x−2．(2)将y=25x−2代入y=−6x，整理得：25x2−2x+6=0，∵△=(−2)2−4×25×6=−285<0，∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．观察图形，可知：当x<0时，反比例函数图象在一次函数图象上方，∴不等式ax>kx+b的解集为x<0．【解析】(1)由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标可得出点C、D的坐标，由点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a值，进而可得出反比例函数的表达式，再由点A、C的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的表达式；(2)将一次函数表达式代入反比例函数表达式中，利用根的判别式△<0可得出两函数图象无交点，再观察图形，利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式ax>kx+b的解集．本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征以及根的判别式，解题的关键是：(1)由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标找出点C、D的坐标；(2)根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．23.【答案】14【解析】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有12种结果，(1)共有12种结果，其中甲组抽到A小区的有3种结果，因此，甲组抽到A小区的概率为312=14，故答案为：14；(2)共有12种结果，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的只有1种，因此，甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为112．用列表法表示所有可能出现的结果，从中找出“甲组抽到A小区”的结果数，“甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区”的结果数，进而求出相应的概率．考查等可能事件发生的概率的计算方法，列举出所有可能出现的结果数是正确解答的前提，同时注意“不重复检查”的意义．24.【答案】(1)证明：连接OD，如图，∵AB为直径，∴∠BDC=90°，且E为BC中点，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD，又OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵BC为切线，∴∠OBE=90°，∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；(2)解：∵DE=BE，∴BE=2，EF=4，∴在Rt△BEF中，∠F=30°，又DF为切线，∴∠DOB=60°，在Rt△ODF中，DF=2+4=6，∠F=30°，∴OD=2√3，∴S扇形BOD =16π⋅OD2=2π，S△ODF=12OD⋅DF=6√3，∴S阴影=S△ODF−S扇形BOD=6√3−2π．【解析】(1)连接OD，由E为中点，AB为直径可知ED=EB，可得∠EDB=∠EBD，且∠ODB=∠OBD，又CB为切线，可知∠EBD+∠OBD=90°，可得∠ODE=90°，可得DF为切线；(2)结合(1)可得BE=DE=2，EF=4，所以可得∠F=30°，可求得OD的长和∠DOB= 60°，再利用△ODF的面积减去扇形BOD的面积可求得阴影部分面积．本题主要考查切线的性质和判定及扇形的计算，掌握切线问题中的两种辅助线的作法及扇形的面积公式是解题的关键．25.【答案】BE=DG∠ABE=∠ADG√22【解析】解：(1)∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠GAD=90°，∴△ABE≌△ADG(SAS)∴BE=DG，∠ABE=∠ADG，故答案为：BE =DG ，∠ABE =∠ADG ；(2)结论仍然成立，理由如下：∵四边形ABCD ，四边形AEFG 都是正方形，∴AE =AG ，AB =AD ，∠BAD =∠GAE =90°，∴∠GAD =∠BAE ，∴△ABE≌△ADG(SAS)∴BE =DG ，∠ABE =∠ADG ；(3)如图，过点E 作EH ⊥AB 于H ，∵F 落在边AD 上，∴∠FAE =45°，∴∠BAE =45°，且EH ⊥AB ，∴∠AEH =∠EAH =45°，∴AH =HE =√22AE =√22， ∵BH =AB −AH =2√2−√22=3√22， ∴BE =√BH 2+HE 2=√184+24=√5，故答案为：√5． (1)由“SAS ”可证△ABE≌△ADG ，可得BE =DG ，∠ABE =∠ADG ；(2)由“SAS ”可证△ABE≌△ADG ，可得BE =DG ，∠ABE =∠ADG ；(3)过点E 作EH ⊥AB 于H ，由正方形的性质和等腰三角形的性质可求AH =EH =√22，由勾股定理可求解．本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．26.【答案】解：(1)把A(1,0)、C(0,−3)代入y =x 2+bx +c 中，得{1+ b +c =0c =−3，解得{ b =2c =−3， ∴y =x 2+2x −3．(2)如答图1，作点A 关于y 轴的对称点A′，过点A 作A′C 的垂线AD ，则∠ACA′=2∠ACO ．∵点A(1,0)、C(0,−3)∴点A′(−1,0)，∴AA′=2，OC= 3，A′C=√A′02+OC2=√10．根据△AA′C的面积，得AA′⋅OC= AD⋅A′C．∴AD= AA′⋅OCA′C=3√105．在Rt△AA′D中，A′D=√A′A2−AD2=√105，∴DC=A′C−A′D=4√105．∴tan∠ACA′=ADDC =34．∵∠PAB=2∠ACO，∴∠PAB=∠ACA′，∴tan∠PAB=34．①如答图1，当点P在x轴下方时，设点P坐标为(a,a2+2a−3)．过点P作PE⊥x轴，则AE=1−a，PE=−a2−2a+3．∴tan∠PAB=PEAE =34，即−a2−2a+3．1− a=34，解得a1=1(舍去)，a2=−94．②如答图1，当点P在x轴上方时，设点P坐标为(a,a2+2a−3)．过点P作PF⊥x轴，则AF=1−a，PF=a2+2a−3．∴tan∠PAB=PEAE =34，即a2+2a−31−a=34，解得a1=1(舍去)，a2=−154．当a =−94时，得P(−94,−3916)；当a =−154时，得P(−154,5716). 综上所述，P 点坐标为(−94,−3916)或(−154,5716).(3)设点Q 坐标为(m,m 2+2m −3)．∵抛物线表达式为y =x 2+2x −3，∴对称轴为x =−1，即D(−1,0)．设AQ 表达式为y =k 1x +b 1，把点A(1,0)，点Q(m,m 2+2m −3)坐标代入y =k 1x +b 1．得{ k 1+b 1=0mk 1+b 1=m 2+2m −3， 解得{ k 1=m 2+2m−3m−1b 1=−m 2+2m−3m−1 得AQ 的表达式为y =m 2+2m−3m−1x −m 2+2m−3m−1．∵M 为直线AQ 与对称轴的交点，∴当x =−1时，y =−2(m 2+2m−3)m−1， 即M(−1,−2(m 2+2m−3)m−1).设BQ 的表达式y =k 2x +b 2把B(−3,0)、点Q(m,m 2+2m −3)代入y =k 2x +b 2，得{−3k 2+b 2=0mk 2+b 2=m 2+2m −3， 解得{k 2=m 2+2m−3m+3b 2=3(m 2+2m−3)m+3． 得BQ 的表达式为y =m 2+2m−3m+3x +3(m 2+2m−3)m+3．∵N 为直线BQ 与对称轴的交点，∴当x =−1时，y =2(m 2+2m−3)m+3， 即N(−1,2(m 2+2m−3)m+3). ∴DM =2(m 2+2m−3)m−1=2(m +3)， DN =−2(m 2+2m−3)m+3=−2(m −1)，∴DM +DN =2(m +3)−2(m −1)=8．∴DM +DN 为定值，定值为8．(4)点E 坐标为(−2,−3)或(2,5)．理由如下：设点F 坐标为(−1,t)，点E 坐标为(m,m 2+2m −3)，且点A(1,0)，点C(0,−3)．分情况讨论：Ⅰ：当AC 为平行四边形的边时．①AF 、CE 分别为对角线时，由平行四边形对角线互相平分及中点坐标公式可知，{x A +x F=x E +x C y A +y F =y E +y C，即{0=m t =m 2+2m −6， 解得{m =0t =−6． 得点E 坐标为(0,−3)，经检验，点E 与点C 重合，故舍去．②AE 、CF 分别为对角线时，由平行四边形对角线互相平分及中点坐标公式可知， {x A +x E =x C +x F y A +y E =y C +y F，即{m +1=−1t −3=m 2+2m −3， 解得{m =−2t =0． 经检验，此时四边形ACEF 为平行四边形，点E 坐标为(−2,−3).如答图2． Ⅱ：当AC 为平行四边形的对角线时，则EF 为另一条对角线．由平行四边形对角线互相平分及中点坐标公式可知，{x A +x C =x E +x F y A +y C =y E +y F，即{1=m −1−3=m 2+2m −3+t， 解得{m =2t =−8． 经检验，此时四边形AECF 为平行四边形，点E 坐标为(2,5).如答图3．综上所述，点E 坐标为(−2,−3)或(2,5)．【解析】(1)根据题意把A、C两点的坐标分别代入y=x2+bx+c中，即可求出表达式；(2)通过作对称构造出∠ACA′=2∠ACO，根据点的坐标求出相关线段长，进而得出tan∠ACA′=34，即tan∠PAB=34，然后把点P分为在x轴上方和下方两种情况，设点P坐标为(a,a2+2a−3)，根据tan∠PAB=34求出相应点P的坐标；(3)设点Q坐标为(m,m2+2m−3)，利用待定系数法分别求出AQ和BQ的表达式，利用表达式求得点M，N的坐标，进而求出线段DM和DN的长度，即可求出DM+DN的值；(4)分AC为平行四边形的边和对角线两种情形，分别求解即可．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数图象与性质，勾股定理，三角函数，用点的坐标表示线段的长度，中点坐标公式，分类讨论思想以及数形结合思想的运用．根据题意画出图形，分类讨论求出存在的点的坐标是解题的关键．。
