24.1.2_垂直于弦的直径_课件1

思考:若圆心到弦的距离用d表示,半径用r表示,弦长用a表示, 这三者之间有怎样的关系?
练习：ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为垂足，若 ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的长．
Ｃ
Ａ
Ｏ Ｅ
Ｂ
Ｄ
如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB 上的动点，则线段OM的长的最小值为____3.最大 值为_______5_____.
B
耐心填一填:
A
M
1. 如则图__A_1C_,在_=_B圆_C_O_中, _,_若_A_⌒M_N_N=_B⊥_⌒_NA__B_,M, _N__为_A_直⌒M__径=_B_, M_⌒_.
B ·CO N
2. 如图2,已知圆O的半径OA长为5,直径MN垂直于AB,AB长
M 图1
为8, 则OC的长为( A )
____2_或__8_______.
课堂小结
CD=10cm,请你帮助
工人师傅求出该破
轮的直径.
C
D
B
例２．已知⊙O的直径是５０ cm，⊙O的两条平行弦AB=４ ０ cm ，CD=４８cm， 求弦AB与CD之间的距离。
过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。
A
20 E
B
A
E
B
. 25
15
C 25 O 7
24 F
D
C
.OF
D
AB、ＣＤ在点O两侧 ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２ AB、ＣＤ在点O同侧 ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８
问 题 ？
C 赵州桥的主桥拱是圆弧形，
它的跨度（弧所对的弦的长） A
D
为37.4米，拱高（弧的中点 到弦的距离）为7.2米，你能
r

C E A
O
D
B
三 垂径定理的有关计算 例2 如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于
D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴
1 1 AD AB 8 4 (cm) 2 2
E
方程思想
A
D C
Hale Waihona Puke O ·设OC=xcm，则OD=x-2,根据 勾股定理，得 x2=42+(x-2)2， 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm.
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
7.23米
37米
解：如图，用AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC 垂足为D，与弧AB交于点C， 则D是AB的中点，C是弧AB的 中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m.
C B O A
D
定理及推论，总结： 一条直线只需满足： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述条件中的任意两个条件，就能推 出其它三个.
五 学以致用
例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造白石拱桥，距今 约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它 的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果 保留小数点后一位).
一 三 垂径定理的有关计算 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的 半径 AB 为10cm, 16 61 cm. OE=6cm,则 半径为 AB=
A
E
B
解析：连接OA， ∵ OE⊥AB， ∴∠AEO=90°，AB=2AE

∴⊙O的半径为5厘米。
解决求赵州桥拱半径的问题
AB
如图，用A⌒B表示主桥拱，设A⌒B所在圆的圆心为O，半 径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC 与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是A⌒B 的中点， C是AB的中点，CD 就是拱高．AB=48米，CD=16米
C
A
D
B
R
O
三、
A⌒D=⌒BD
Ｄ
垂径定理的推论
通过垂径定理的证明及应用，我们还可以进一步得到 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧.
例 如图所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦， AM＝ BM，OM∶OC＝3∶5，求AB的长.
解：∵圆O的直径CD=10cm， ∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm， ∵OM：OC=3：5， ∴OM= 3 OC=3cm， 连接OA，5 ∵AB⊥CD， ∴M为AB的中点，即AM=BM=1 AB，
船能过拱桥吗
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出 水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水 面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
●相信自己能独立 完成解答.
船能过拱桥吗
解 : 如 图 ,用 AB表 示 桥 拱 , AB 所 在 圆 的 圆 心 为O,半 径为 R m, 6．下列经说法过错圆误的心是O( 作) 弦 A B 的 垂 线 O D, D 为 垂 足 , 与AB 相 交 于 点 C . 根
㎝，
O
D
A
B
C
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A
B
圆心到弦的距离d、弦长a中，
D

如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ③ AM=BM,
② CD⊥AB,
④A⌒C=⌒BC, ⑤⌒AD=⌒BD.
只要具备其中任何两个条件, 就可推出其余三个结论吗？
C
A
B
M
●O
D
证明猜想
已知： ① CD是直径, ③ AM=BM,
求证： ② CD⊥AB, ④A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
垂径定理的推论
24.1.2 垂直于弦的直径
C
A
M
B
·O
D
学习目标（1分钟）
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形； 2.理解并掌握垂径定理及其逆定理； 3.能用垂径定理及其逆定理进行证明及计 算相关问题.
自学指导一（3分钟）
阅读课本P81-P82，解决下列问题:
1、圆是轴对称图形吗?
它的对称轴是什么?
图中有哪些等量关系？
EF=1cm 或7cm
5.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两 条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
N
（
）
B
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么 关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
O.
∴ AE－CE＝BE－DE
A CED B
即 AC＝BD.
常用辅助线的添法：解决有关弦的问题，有事没事垂一垂！