2015-2016高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)本章小结 新人教A版必修1

（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． ②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()nn a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈ ③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈（4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<定义域 R 值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数1、 对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O1y =（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（5）对数函数函数名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域RxyO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．[例1]已知18log 9,185,ba ==求36log 45解：∵185,b=∴18log 5b = ∴1818183621818181818log 45log 5log 9log 451818log 36log 4log 92log ()2log ()99b a b a b aa a a++++=====+-++[例2]求函数361265xxy =-⋅-的单调区间. 解：令6xt =，则6xt =为增函数，361265x x y =-⋅-＝2125t t -⋅-＝2(6)41t --∴当t ≥6,即x ≥1时，y 为关于t 的增函数， 当t ≤6,即x ≤1时，y 为关于t 的减函数∴函数361265xxy =-⋅-的单调递减区间是(,1]-∞，单调递增区间为[1,)+∞ [例3]已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0 ∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，∴a ＞1又由于x 在[0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数，∴x ＝1时，ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可， ∴a ＜2综上可知所求的取值范围是1＜a ＜2 [例4]已知函数()log (3)a f x ax =-.（1）当[0,2]x ∈时()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围.（2）是否存在这样的实数a 使得函数()f x 在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.解：（1）由假设，ax -3＞0，对一切[0,2]x ∈恒成立，0,1a a >≠显然，函数g(x)= ax -3在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a -＞0得到a ＜32∴a 的取值范围是（0，1）∪（1，32） (2)假设存在这样的实数a ，由题设知(1)1f =，即(1)log (3)a f a =-＝1 ∴a ＝32此时3()log (3)2a f x x =- 当2x =时，()f x 没有意义，故这样的实数不存在.[例5]已知函数f (x )=1421lg 2+-⋅++a a a x x , 其中a 为常数，若当x ∈(－∞, 1］时, f (x )有意义，求实数a 的取值范围.解：14212+-⋅++a a a x x >0, 且a 2－a +1=(a －21)2+43>0, ∴ 1+2x+4x·a >0, a >)2141(x x +-, 当x ∈(－∞, 1]时, y =x 41与y =x 21都是减函数，∴ y =)2141(x x +-在(－∞, 1]上是增函数，)2141(x x +-max =－43,∴ a >－43, 故a 的取值范围是(－43, +∞).[例6]若1133(1)(32)a a --+<-，试求a 的取值范围.解：∵幂函数13y x-=有两个单调区间，∴根据1a +和32a -的正、负情况，有以下关系10320.132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩① 10320.132a a a a+<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩② 10.320a a +<⎧⎨->⎩③ 解三个不等式组：①得23＜a ＜32，②无解，③a ＜－1 ∴a 的取值范围是（－∞，－1）∪（23，32）。

因为1<x1 x2 , 所以x1 1 0, x2 1 0, x1 x2 0, 2( x2 x1 ) 所以 >0，即u (x1 ) u (x2 )>0. ( x1 1)( x2 1) 2 所以u 1 在(1， +)上是减函数， x 1 又因为y log 1 在(0, )上是减函数，
logc b loga b (a 0,且a 1; c 0,且c 1; b 0) logc a
三、重点内容
（三）基本性质：
y a x (a 0,且a 1)
0<a<1
y
a>1
y
1
图象
0
1
x
0
x
定义域 值域 性质
(0, )
当x>0时0<y<1； 当x<0时y>1； 当x=0时y=1； 在R上是减函数
R
(0, )
当x>0时y>1； 当x<0时0<y<1； 当x=0时y=1； 在R上是增函数
R
三、重点内容
（三）基本性质： y loga x(a 0,且a 1)
0 a 1
y
a 1
y
图象
定义 域 值域 性质
O
1
x
O
1
x
(0, )
R
(0, )
R
( 3 )) 0过定点 x 1时， y 0; (1)(过定点 3) x 1时， y 0; (1,0) ( 1 (1,0)
四、例题分析 若f ( x) x 2 x b, 且f (log 2 a ) b, log 2 [ f (a )] 2(a 1).

第一章基本函数小结(一)教学目标1．知识与技能整合函数性质建构知识网络，以便于进一步理解和掌握函数的性质.提升综合运用函数性质的能力.2．过程与方法在整合函数性质、综合运用函数性质的过程中，培养学生分析、观察、思考的教学能力、提升学生的归纳、推理能力.3．情感、态度与价值观在学习过程中，通过知识整合，能力培养，激发学生的学习兴趣. 养成合作、交流的良好学习品质.(二)教学重点与难点重点：整合知识、构建单元知识系统.难点：提升综合应用能力.(三)教学方法动手练习与合作交流相结合. 在回顾、反思中整合知识，在综合问题探究、解答中提升能力. 加深对知识的准确、到位的理解与应用.(四)教学过程思络..求函数值域的基本方法总结(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域.(4)分离常数法：形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数也可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法：画出函数的图像，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．判断函数单调性的方法：①根据定义；②根据图像；③利用已知函数的增减性；⑤复合函数单调性判定方法：在复合函数y＝f(g(x))中，“同增异减”。

1．函数单调性的证明根据函数的单调性的定义，证明(判定)函数f(x)在其区间上的单调性，其步骤是：(1)设x1、x2是该区间上的任意两个值，且x1＜x2；(2)作差f(x1)－f(x2)，然后变形；(3)判定f(x1)－f(x2)的符号；(4)根据定义作出结论．。

数学·必修1(人教A版)一、目标解读函数是高中数学的主要内容之一，这是因为函数思想方法灵活多样，逻辑思维性强，许多数学问题都可以从函数的角度来认识、研究．函数知识与数学的其他各分支的巧妙结合容易形成综合性较强的新颖的试题，这样的试题往往成为高考中极具份量的一类解答题，综合考查考生应用函数知识分析问题、解决问题的能力．而在命题的具体设计上，总是具有从易到难、逐步设问的特点，以较隐蔽的方式给出解题思路，在考查函数内容的同时也考查应用函数的思想方法，观察问题、分析问题和解决问题的能力，同时考查学生数形结合的思想和分类讨论的思想的应用能力．函数是中学数学的重要组成部分．它所涉及的内容是升入大学继续学习的基础，因此，函数不仅是中学数学教学的重点，也是高考考查的重点．近年来，函数的分值占30%左右．函数是高中代数的主线．它体系完整，内容丰富，应用广泛．由于它描述的是自然界中量的依存关系，是对问题本身数量的制约关系的一种刻画，所以是对数量关系本质特征的一种揭示，为我们从运动、变化、联系、发展的角度认识问题打开了思路．本章主要研究的是基本初等函数：指数函数、对数函数和幂函数的概念、图象和性质．包括理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，理解对数的概念，掌握对数的运算性质，能运用函数的一般性质和指数函数、对数函数的特征性质解决某些简单的实际问题．指数函数与对数函数都是初等超越函数．在历年的高考题中出现的频率较大．出现在小题时是较基本的考查方式；出现在大题中时，往往与其他知识综合形成开放性问题，加大对开放性问题的考查力度．通过本章的学习达到以下基本目标：①了解指数函数模型的实际背景，体会指数函数是一类重要的函数模型．②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．③理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．④了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型．⑤能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．⑥理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．⑦了解指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．⑧了解幂函数的概念，结合函数y ＝x α(α＝1,2,3，12，－1)的图象，了解它们的变化情况．二、主干知识(一)指数与指数幂的运算 1．整数指数幂的概念． (1)正整数指数幂的意义：(2)零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．(3)负整数指数幂： a －n＝1a n (a ≠0，n ∈N *)．2．整数指数幂的运算性质：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(a m )n ＝a mn ；③(ab )n ＝a n b n .3．如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞0，且n ∈N *.(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时a的n次方根用符号na表示．(2)方根的性质：①当n是奇数时，na n＝a；②当n是偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a＜0).4．分数指数幂．(1)正数的分数指数幂的意义：设a＞0，m，n∈N*，n＞1，规定(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．5．有理指数幂的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．(二)指数函数及其性质1．函数y＝a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．2．指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质(见下表)：函数y＝a x(a＞1)y＝a x(0＜a＜1)图象定义域R R值域x＞0时，y＞1,x＜0时，0＜y＜1x＞0时，0＜y＜1x＜0时，y＞1定点过点(0,1)过点(0,1)单调性单调递增单调递减1．如果a x＝N(a＞0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数．记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．对数式的书写格式：(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数log10N简记为lg N；(2)以无理数e＝2.718 28……为底的对数，叫自然对数，并把自然对数log e N简记为ln N.2．指数与对数的关系：设a＞0，且a≠1，则a x＝N⇔log a N＝x.3．对数的性质．(1)在指数式中N ＞0，故0和负数没有对数，即式子log a N 中N 必须大于0；(2)设a ＞0，a ≠1，则有a 0＝1，所以log a 1＝0，即1的对数为0；(3)设a ＞0，a ≠1，则有a 1＝a ，所以log a a ＝1，即底数的对数为1.4．对数恒等式．(1)如果把a b ＝N 中的b 写成log a N 形式，则有(2)如果把x ＝log a N 中的N 写成a x 形式，则有log a a x ＝x .5．对数的运算性质．设a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，简记为：积的对数＝对数的和； (2)log a MN ＝log a M －log a N ，简记为：商的对数＝对数的差； (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)．(四)对数函数及其性质1．函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象、性质(见下表)：函数y＝log a x(a＞1)y＝log a x(0＜a＜1)图象定义域R＋R＋值域R R单调性增函数减函数过定点(1,0)(1,0)(1)当a＞1时，若x＞1，则log a x＞0，若0＜x＜1，则log a x＜0；(2)当0＜a＜1时，若0＜x＜1，则log a x＞0，若x＞1，则log a x ＜0.3．函数y＝a x与y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(五)幂函数1．形如y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中α为常数．只研究α为有理数的情形．3．幂函数的性质．(1)幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)当α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸；当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸．(3)当α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．4．图象形状：当α＞0(α≠1)时，图象为抛物线型；当α＜0时，α＝0,1时，图象为直线型．图象为双曲线型；当1．正数的分数指数幂的意义：设a>0，m，n∈N*，n>1，规定：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．2．有理指数幂的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．答案：12 011►跟踪训练解析：由平方差公式化简即得答案．答案： －27答案：－6a3．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值是________．答案：131．设a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x ；a log a N ＝N; log a a x ＝x .指数与对数运算2．设a >0，a ≠1, M >0，N >0 ，则有 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，(2)log a MN ＝log a M －log a N ，(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)．3．设a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，则log a x ＝log b xlog b a .设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100解析：由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，∴1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10，又∵m ＞0，∴m ＝10.答案：A►跟踪训练4．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3解析：α＋1＝2，故α＝1，选B. 答案：B5．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1C ．2D ．4解析：2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 答案：C6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，2x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．4 B.14C．－4 D．－147．设g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x≤0，ln x，x＞0，则g⎝⎛⎭⎪⎫g⎝⎛⎭⎪⎫12＝________.解析：答案：121．指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域是⎝⎛⎭⎫0，＋∞，过定点(0,1)．当a>1时，指数函数y＝a x是R上的增函数；当0<a<1时，指数函数y＝a x是R上的减函数．2．对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的定义域是⎝⎛⎭⎫0，＋∞，值域是R，过定点(1,0)．指数函数与对数函数的性质当a >1时，对数函数y ＝log a x 是⎝⎛⎭⎫0，＋∞上的增函数；当0<a <1时，对数函数y ＝log a x 是⎝⎛⎭⎫0，＋∞上的减函数．函数y ＝1log 0.5(4x －3)的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞) 解析：由log 0.5(4x －3)＞0且4x －3＞0可解得34＜x ＜1，故A 正确．答案：A►跟踪训练8．函数y ＝2x 的图象大致是( )答案：C9．函数f (x)＝lg(x－1)的定义域是()A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)解析：x－1＞0，得x＞1，选B.答案：B10．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)答案：A研究由基本初等函数的和与差等运算构成的新函数的性质时，必须明确各基本初等函数的相关性质．设函数的集合P＝f(x)＝log2(x＋a)＋研究基本初等函数及其组合的性质A．4个B．6个C．8个D．10个解析：当a＝0，b＝0；a＝0，b＝1；a＝12，b＝0; a＝12，b＝1；a＝1，b＝－1；a＝1，b＝1时满足题意，选B.答案：B►跟踪训练11．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．答案：BA．①②B．②③C．③④D．①④答案：B13．设函数f(x)＝x(e x＋a e－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝________.解析：由条件知，g(x)＝e x＋a e－x为奇函数，故g(0)＝0，得a＝－1.答案：－1数学思想方法的应用数形结合的思想方法是根据数量与图形的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种思想方法．转化与化归的思想方法则是将问题不断转化，直到转化为比较容易解决或已经解决的问题．而分类讨论的核心是通过增强条件来分情况逐一研究，使问题易于解决．一、数形结合思想直线y ＝1与曲线y ＝x 2－||x ＋a 有四个交点，则a 的取值范围是 _______ .解析：曲线y ＝x 2－|x |＋a 关于y 轴对称，当x ≥0时，y ＝x 2－x＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋a －14，结合图象要使直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a有四个交点，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －14＜1，解得1＜a ＜54.故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54►跟踪训练14．已知c ＜0，下列不等式中成立的一个是( )A ．c ＞2cB ．c ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12cC ．2c＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12c D ．2c＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12c解析：在同一直角坐标系下作出y ＝x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝2x 的图象，显然c ＜0时，x ＜2x＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，即c ＜0时，c ＜2c ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12c.答案：C15．下列函数图象中，正确的是( )答案：C16．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，y ＝f (x )是减函数，并且f (1)>0>f (2)，则方程f (x )＝0的实根的个数是_________个．答案：2二、转化与化归的思想设a ＝333＋1334＋1，b ＝334＋1335＋1，试比较a 、b 的大小．解析：如果比较a －b 与0或ab 与1的大小，即用作差法、作商法来做，较繁杂、不易判断．由于a 、b 两数的结构特点可构造函数f (x )＝3x ＋13x ＋1＋1，则a ＝f (33)，b ＝f (34)，若能判断出此函数的单调性，那么就可简捷地比较出a 、b 的大小．f (x )＝3x ＋13x ＋1＋1＝3x ＋1＋33(3x ＋1＋1)＝(3x ＋1＋1)＋23(3x ＋1＋1) ＝13＋23(3x ＋1＋1). ∵3x ＋1在R 上递增，∴23(3x ＋1＋1)在R 上递减．∴ f (x )＝13＋23(3x ＋1＋1)在R 上递减． ∴ f (33)＞f (34)，即a ＞b .►跟踪训练17．解方程：(lg 2x )·(lg 3x )＝lg 2·lg 3.解析：原方程可化为(lg 2＋lg x )(lg 3＋lg x )＝lg 2·lg 3，即lg 2x ＋lg 6·lg x ＝0，解得lg x ＝0或lg x ＝－lg 6.∴x ＝1或x ＝16， 经检验x ＝1，x ＝16都是原方程的解． ∴原方程的解为x 1＝1或 x 2＝16.18．比较log 0.30.1和log 0.20.1的大小．解析：log 0.30.1＝1log 0.10.3＞0，log0.20.1＝1log0.10.2＞0.∵log0.10.3＜log0.10.2，∴log0.30.1＞log0.20.1.19．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如下图所示．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3, 则有t1＋t2＝t3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有______________ (填序号)．答案：①②④三、分类讨论思想若a>0，且a≠1，p＝log a(a3＋a＋1)，q＝log a(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系为()A．p＝qB．p<qC．p>qD．a>1时，p>q；0<a<1时，p<q解析：要比较p、q的大小，只需先比较a3＋a＋1与a2＋a＋1的大小，再利用对数函数的单调性．而决定a3＋a＋1与a2＋a＋1的大小的a值的分界点为使(a3＋a＋1)－(a2＋a＋1)＝a2(a－1)＝0的a 值：a＝1，当a>1时，a3＋a＋1>a2＋a＋1，此时log a(a3＋a＋1)>log a(a2＋a＋1)，即p>q.当0<a<1时，a3＋a＋1<a2＋a＋1，此时log a(a3＋a＋1)>log a(a2＋a＋1)，即p>q.可见，不论a>1还是0<a<1，都有p>q.答案：C ►跟踪训练20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0. 若f (a )＝12，则a ＝( ) A ．－1 B. 2C ．－1或 2D ．1或－ 2解析：讨论a >0和a ≤0两种情况．答案：C21．已知函数f (x )＝log a x 在[2，π]上的最大值比最小值大1，则a 等于( )A.2πB.π2C.2π或π2D ．不同于A 、B 、C 答案解析：研究函数的最值需考查函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a 的取值有关，故应对a 进行分类讨论．(1)当a >1时，f (x )在[2，π]上是增函数，最大值是f (π)，最小值是f (2)，据题意，f (π)－f (2)＝1，即log a π－log a 2＝1，∴a ＝π2. (2)当0<a <1时，f (x )在[2，π]上是减函数，最大值是，最小值是f (π)，故f (2)－f (π)＝1，即log a 2－log a π＝1，∴a ＝2π. 由(1)(2)知，选C.答案： C22．已知f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2试比较f (x )和g (x )的大小．解析：f (x )－g (x )＝log x 3x 4. (1)当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，3x 4＞1⇒x ＞43，或⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1⇒0＜x ＜1，即x >43或0<x <1时，f (x )>g (x )． (2)当3x 4＝1即x ＝43时，f (x )＝g (x )． (3)当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，0＜3x 4＜1⇒1＜x ＜43，或⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1⇒x ∈∅，即1<x <43时，f (x )＜g (x )．综上所述：①当x ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，f (x )＞g (x )； ②当x ＝43时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43时，f (x )＜g (x )．23．已知f (x )＝log a (a x －1)(a ＞0且a ≠1)．(1)求定义域；(2)讨论函数的单调区间．解析：(1)由a x －1＞0⇒a x ＞1，当a ＞1时，函数定义域为(0，＋∞)，当0＜a ＜1时，函数定义域为(－∞，0)．点评：底数含字母a ，要进行分类讨论．。