几个特殊的数列

费波纳奇数列费波纳奇数列费波纳奇数列（Fibonacci Number Series）该数列由十三世纪意大利数学家费波纳奇（Leonardo Fibonacci）发现。

数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数、奇异数。

具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……数列的公式：A0=A1=1；An=An-1+An-2 （n=2，3，4，……）用语言来表达的话，就是：从数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和。

与费波纳奇数列有关的数字现象很多：两个连续的费波纳奇数字没有公约数；数列中任何10个数之和，均可被11整除；……。

无论是从宏观的宇宙空间到微观的分子原子，从时间到空间，从大自然到人类社会，政治、经济、军事……等等，人们都能找到费波纳奇数的踪迹。

在期货市场、股票市场的分析中，费波纳奇数字频频出现。

例如在波浪理论中，一段牛市上升行情可以用1个上升浪来表示，也可以用5个低一个层次的小浪来表示，还可继续细分为21个或89个小浪；而一段熊市行情可以用1个下降浪来表示，也可以用3个低一个层次的小浪来表示，还可以继续细分为13个或55个小浪；而一个完整的牛熊市场循环，可以用一上一下2个浪来表示，也可以用8个低一个层次的8浪来表示，还可以继续细分为34个或144个小浪。

以上这些数字均是费波纳奇数列中的数字。

人们在谈到市场的回调、延伸时，常用到0.618，0.328，0.236和1.618，2.382，4.236等数字，这些数字均可出自费波纳奇数中数与数之比例，被称之为费波纳奇比列。

如，相邻两个费波纳奇数之比趋向于0.618或1.618，间隔一个的两个相邻费波纳奇数之比趋向于0.382或2.618；间隔两个的相邻费波纳奇数之比趋向于0.236或4.236。

费波纳奇数列费波纳奇数列，又称黄金分割数列，是一种非常特殊的数列。

这个数列的每一项都是前两项之和，从而形成了1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……这样的一组数字。

这个数列的特殊之处在于，它的每一项都是前一项和前两项的和，这样的组合关系使得它具有非常神奇的性质。

这个数列的特殊性质之一，便是它的比值趋近于黄金分割比例。

黄金分割比例是一种非常美学的比例，它是指一条线段分成两段时，较长的一段与整条线段的比值等于较短一段与较长一段的比值。

这个比例的数学表达式为（a+b）/a=a/b，其中a和b分别为较长和较短的线段长度。

费波纳奇数列的比值趋近于黄金分割比例，是因为当n趋近于无穷大时，Fn+1/Fn趋近于黄金分割比例1.6180339887……。

除了黄金分割比例，费波纳奇数列还有其他非常有趣的性质。

例如，这个数列中每个数的个位数字都是以5为周期循环的。

更特别的是，它还具有非常神奇的几何性质，被称为“费波那契螺旋”。

这个螺旋是通过在一个正方形内不断绘制正方形来构建的。

每个正方形的边长都是前一个正方形的边长。

当这个螺旋不断绘制下去时，它所构成的线条和形状非常美妙，被认为是一种非常优美的图形。

费波纳奇数列的应用非常广泛。

例如，在金融领域中，费波纳奇数列被用来预测股价和市场走势。

在自然界中，很多的植物和动物都具有费波纳奇数列的特性。

例如，一些植物的叶子排列和一些动物的身体构造都具有这个数列的性质。

费波纳奇数列是一种非常特殊的数列，它具有非常神奇的性质。

这个数列的比值趋近于黄金分割比例，它的每个数的个位数字都是以5为周期循环的，它还具有非常神奇的几何性质。

费波纳奇数列的应用非常广泛，它被用来预测股价和市场走势，在自然界中，很多的植物和动物都具有这个数列的性质。

几个重要的特殊数列 基础知识 1．斐波那契数列 莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。

在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即： 假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。

年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？ 这就是非常著名的斐波那契数列问题。

其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。

现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。

特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。

（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定； （2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。

（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出） 因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为： ，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得 所以。

这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如： 它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。

斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。

为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明） （1）斐波那契数列的前项和； （2）； （3）（）； （4）（）； （5）（）； 2．分群数列 将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。

数列知识点总结中职一、数列的概念和类型1. 数列的定义数列是一串按照一定规律排列的数，数列中的每个数称为该数列的项。

数列通常用通项公式来表示，通常形式为a_n，表示第n个项。

数列可以是有限的，也可以是无限的，无限数列又分为等差数列、等比数列和其他特殊类型的无限数列。

2. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数d的数列。

通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中a_n表示第n项，a_1表示首项，d表示公差。

3. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比等于一个常数q的数列。

通项公式为a_n=a_1*q^(n-1)，其中a_n表示第n项，a_1表示首项，q表示公比。

4. 其他特殊类型数列还有一些特殊类型的数列，如斐波那契数列、幂函数数列、几何数列等。

它们各自具有独特的特点和性质。

二、数列的性质和运算1. 数列的性质数列具有许多独特的性质，如有界性、单调性、递增和递减性等。

这些性质对于数列的研究和应用具有重要的意义。

2. 数列的运算加法、减法、乘法和除法是数列中常见的运算。

在进行数列的运算时，需要考虑数列的特点和性质，以确保运算的正确性。

三、数列的求和公式和运用1. 等差数列的求和公式等差数列的部分和公式为S_n=n/2*(a_1+a_n)，其中S_n表示前n项和，a_1表示首项，a_n表示第n项。

全和公式为S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)。

通过这两个公式可以方便地计算等差数列的部分和和全和。

2. 等比数列的求和公式等比数列的部分和公式为S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)，其中S_n表示前n项和，a_1表示首项，q表示公比。

全和公式为S_n=a_1/(1-q)，在计算等比数列的和时，可以通过这两个公式来快速求解。

3. 数列的运用数列在数学中有广泛的应用，如在数学分析、离散数学、代数、微积分等各个领域都有涉及。

通过数列可以对一些复杂的问题进行简化和求解，从而达到快速解决问题的目的。

发散数列的经典例子发散数列，也被称为无穷数列，是指一个由无数个数字组成的数列，其中每个数字都比前一个数字大。

发散数列是数学中的一个重要概念，在数学、物理、化学等领域都有着广泛的应用。

下面就来介绍几个经典的发散数列。

I. 等比数列等比数列是指一个数列中每个数字都是前一个数字乘以一个常数，即a1, a2, a3, …, an, …的公比为r，即a(n+1)=r*an。

如果r>1，那么这个数列就是一个发散数列。

例如，2, 4, 8, 16, 32, … 这个数列的公比为2，无穷项趋于正无穷。

II. 斐波那契数列斐波那契数列是指一个数列中，从第3项开始，每一项都等于前两项之和，即a(1)=1, a(2)=1, a(n+1)=a(n)+a(n-1)。

这个数列的性质非常特殊，如下：1. 斐波那契数列是递增的；2. 斐波那契数列的比值随着项数的增加越来越接近黄金分割（约1.618）；3. 斐波那契数列是一个发散数列。

III. 调和级数调和级数是指一个数列中，每一项都是其前一项的倒数加1，即1,1+1/2, 1+1/2+1/3, …, 其通项公式为an = 1 + 1/2 + … + 1/n。

显然，调和级数是一个发散数列，但是其发散速度非常缓慢。

例如，调和级数前1000项的和约为7.48，而前100万项的和已经接近21。

IV. 稀疏数列稀疏数列是指一个数列中，每一项都是前一项的平方根，即a(n+1)=sqrt(an)。

这个数列的性质非常有趣，如下：1. 稀疏数列最初的几项增长迅速，但是随着项数的增加越来越慢；2. 稀疏数列是收敛数列，即其无穷项的极限存在，且为1。

V. 射线数列射线数列是指一个数列中，每一项都比前一项多2n个正整数，其中n 为项数减1，即a(1)=1, a(n+1)=a(n)+2n。

这个数列的性质如下：1. 射线数列是一个发散数列；2. 射线数列的无穷项是完全平方数，即a(n)=n^2。

总的来说，发散数列是数学中非常重要却也十分神秘的概念之一，这些经典发散数列不仅有着自己独特的性质和规律，而且在科学和工程中都有着广泛的应用。

#【数学】【数论】⼏个特殊的数素数 ⼤于1且不被其他整数（除了1和其本⾝）整除的整数。

质数定义为在⼤于1的⾃然数中，除了1和它本⾝以外不再有其他因数。

⽰例：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,39,41...回⽂数 “回⽂”是指正读反读都能读通的句⼦，它是古今中外都有的⼀种修辞⽅式和⽂字游戏，如“我为⼈⼈，⼈⼈为我”等。

在数学中也有这样⼀类数字有这样的特征，成为回⽂数（palindrome number）。

设n是⼀任意⾃然数。

若将n的各位数字反向排列所得⾃然数n1与n相等，则称n为⼀回⽂数。

例如，若n=1234321，则称n为⼀回⽂数。

注意： 1.偶数个的数字也有回⽂数124421 2.⼩数没有回⽂数 ⽰例： 1千以内的回⽂数 在⾃然数中，最⼩的回⽂数是0，其次是　1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,55,66,77,88,99,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202,212,222,232,242,252,262,272,282,292,303,313,323,333,343,353,363,373,383,393,404,414,424,434,444,45 505,515,525,535,545,555,565,575,585,595,606,616,626,636,646,656,666,676,686,696,707,717,727,737,747,757,767,777,787,797,808,818,828,838,848,858,868,878,888,898,909,919,929,939,949,959 ⼈们迄今未能找到⾃然数(除0和1)的五次⽅，以及更⾼次幂的回⽂数。

于是数学家们猜想：不存在n^k(n≥2,k≥5;n、k均是⾃然数)形式的回⽂数。

在电⼦计算器的实践中，还发现了⼀桩趣事：任何⼀个⾃然数与它的倒序数相加，所得的和再与和的倒序数相加，……如此反复进⾏下去，经过有限次步骤后，最后必定能得到⼀个回⽂数。

三角数列求和公式三角数列是一种特殊的数列，它的每一项都是一个等边三角形的总个数。

首先，让我们来了解一下三角数列的性质。

三角数列的前几项是：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,...我们可以观察到，每一项都是前一项加上当前项的序号。

换句话说，第n个三角数T(n)可以表示为T(n)=T(n-1)+n。

现在，我们的目标是找到三角数列的求和公式，也就是找到所有项的和。

假设我们要求前n项的和S(n)，那么我们可以将S(n)拆分为前n-1项的和S(n-1)加上第n项的值T(n)。

所以，S(n)=S(n-1)+T(n)。

根据上面的观察，T(n)=T(n-1)+n，所以我们可以进一步得到S(n)=S(n-1)+T(n-1)+n。

我们再次使用递归的思想，将S(n-1)拆分为前n-2项的和S(n-2)加上第n-1项的值T(n-1)。

继续应用这个递归关系，我们可以得到以下提示：S(n)=S(n-1)+S(n-2)+...+S(2)+S(1)+T(n-1)+T(n-2)+...+T(2)+T(1)+n我们可以对S(1),S(2),...,S(n-1)进行合并，将其表示为S(n-1)。

同样地，我们可以对T(1),T(2),...,T(n-1)进行合并，将其表示为T(n-1)。

所以，S(n)=S(n-1)+S(n-1)+T(n-1)+n。

简化后的公式为：S(n)=2S(n-1)+T(n-1)+n现在，我们需要找到T(n-1)的值。

我们知道T(n-1)=T(n-2)+n-1、将其代入上面的公式，我们可以得到：S(n)=2S(n-1)+(T(n-2)+n-1)+n继续简化：S(n)=2S(n-1)+T(n-2)+2n-1我们可以再次应用递归，将T(n-2)表示为T(n-3)+n-2，得到：S(n)=2S(n-1)+(T(n-3)+n-2)+2n-1+n继续简化，我们可以得到：S(n)=2S(n-1)+T(n-3)+3n-3我们可以一直进行这个过程，直到我们找到T(1)的值。

常见数列知识点总结归纳数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。

数列的研究在数学中具有广泛的应用，涉及到多个领域。

本文将对常见数列的相关知识点进行总结和归纳。

一、等差数列等差数列是最基础也是最常见的数列类型之一。

它的特点是数列中的每一项与前一项之间的差值都是相等的。

1. 通项公式等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。

2. 前n项和公式等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn为前n项的和。

3. 性质与运算等差数列具有多个性质和运算规则，例如：任意两项之和等于其间项数乘以公差、删除相同项后，剩下的数列仍然是等差数列等。

二、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，它的特点是数列中的每一项与前一项之比都是相等的。

1. 通项公式等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。

2. 前n项和公式等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。

3. 性质与运算等比数列也有多个性质和运算规则，例如：相邻两项之商等于公比、删除相同项后，剩下的数列仍然是等比数列等。

三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中an为第n项，an-1为第n-1项，an-2为第n-2项。

斐波那契数列具有独特的性质，例如：相邻两项之比逐渐接近黄金分割比、在数列中，某一项与它之后的项之商趋近于黄金分割比等。

四、几何数列几何数列是一种特殊的数列，它的前一项与后一项之比都是相等的。

几何数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。

几何数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。

特殊数列（长期项⽬）前排提醒： L A T E X 可能过多，请耐⼼等待加载斐波那契数列（Fibonacci ）可能不是很特殊，但是确是最为常见的，看名字就知道明显是个叫做斐波那契的⼈发现的，全名 莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci ）（意⼤利）。

定义： f 0=0,f 1=1,f n =f n −1+f n −2(n ≥2)⽣成函数 F (x )=11−x −x2通项公式： f n =1√5[(1+√52)n −(1−√52)n ]，推导⽅式有很多种，这⾥使⽤最简单的两种特征⽅程法：(都是⾃⼰盲猜的，有误请指正)数列中特征⽅程法本质上就是构造等⽐数列，只不过完全看不出来（瞎猜）f n =f n −1+f n −2⟺f n −f n −1−f n −2=0可以看出 f n 、f n −1、f n −2 形式⼀样，我们可以直接盲猜设其为 f n =aq n （虽然很假但是我想不到其他数列了），则aq n +2−aq n +1−aq n =0⟺aq n (q 2−q −1)=0⟺aq n (q −1+√52)(q −1+√52)=0有 f 1,n =a (1+√52)n ,f 2,n =a (1−√52)n 将特解线性组合得通解 f n =Af 1,n +Bf 2,n将 f 0=0,f 1=1 代⼊：Aa +Ba =0(1)Aa 1+√52+Ba 1−√52=1(2)解(1):a (A +B )=0∵再将两个结论代⼊原数列：\begin{aligned} f_n = \ &Aa(\dfrac{1+\sqrt5}{2})^n+Ba(\dfrac{1-\sqrt5}{2})^n \\ =\ & Aa[(\dfrac{1+\sqrt5}{2})^n-(\dfrac{1-\sqrt5}{2})^n] \\ =\ & \dfrac{1}{\sqrt5}\l eft[\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right] \end{aligned}⽣成函数法：f_n 的普通型⽣成函数为 F(x)，则 F(x) = x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+...+f_n x^n+...利⽤⽆穷项的特性，显然有 F-Fx=Fx^2+x \iff F=\dfrac{x}{1-x-x^2}然后因式分解、裂项：\begin{aligned} F(x) &= \dfrac{x}{1-x-x^2} = \dfrac{x}{(1-\phi_1x)(1-\phi_2x)} ,解得 \phi_1=\dfrac{1+\sqrt5}{2}, \phi_2=\dfrac{1-\sqrt5}{2}\\ &=x(\dfrac{a}{1-\p hi_1x}+\dfrac{b}{1-\phi_2x})=x(\dfrac{a+b-x(a\phi_2+b\phi_1)}{(1-\phi_1x)(1-\phi_2x)}) \\ \iff &\begin{cases} a+b=1\\a\phi_2+b\phi_1=0\end{cases}, 解得\be gin{cases} a=\dfrac{5+\sqrt5}{10}=\dfrac{1}{\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt5+1}{2}\\ b=\dfrac{5-\sqrt5}{10}=\dfrac{1}{\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt5-1}{2} \end{cases} \\ \iff F(x) &=ax\dfrac{1}{1-\phi_1x}+bx\dfrac{1}{1-\phi_2x} \\ &=ax(1+\phi_1x+\phi_1^2x^2+...+\phi_1^nx^n+...)+bx(1+\phi_2x+\phi_2^2x^2+...+\phi_2^nx^n+...) \\&=\dfrac{1}{\sqrt5}(\dfrac{1+\sqrt5}{2}x+(\dfrac{1+\sqrt5}{2})^2x^2+...+(\dfrac{1+\sqrt5}{2})^nx^n+...) \\ &-\dfrac{1}{\sqrt5}(\dfrac{1-\sqrt5}{2}x+(\dfrac{1-\sqr t5}{2})^2x^2+...+(\dfrac{1-\sqrt5}{2})^nx^n+...) \end{aligned}据此，我们很容易看出 f_n = \dfrac{1}{\sqrt5}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]很好，这样最简单的通项公式就推导完了⼀些性质：与黄⾦分割⽐的关系：\large \lim_{n\rightarrow\infty} \dfrac{f_{n-1}}{f_{n}} = \dfrac{\sqrt5-1}{2}\rm{Proof:}f_n=f_{n-1}+f_{n-2} \iff \dfrac{f_n}{f_{n-1}}=1+\dfrac{f_{n-2}}{f_{n-1}}，设极限 \lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{f_n}{f_{n-1}}存在且为 x 。

数列知识点归纳总结奇偶数列是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模和高等数学中常用的工具之一。

在数列中，奇数列和偶数列是两种常见的形式。

本文将对数列的相关知识点进行归纳总结，包括奇数列和偶数列的定义、性质以及应用。

一、奇数列的定义和性质奇数列是指数列中元素的下标为奇数的数列，通常表示为{a1, a3,a5, ...}。

下标为奇数的数列元素有以下性质：1. 奇数列的通项公式奇数列的通项公式可以表示为an = f(n)，其中n为正整数，f(n)为一个关于n的函数。

通常情况下，奇数列的通项公式是通过观察数列的规律而得出的。

2. 奇数列的递推关系奇数列的递推关系可以表示为an+2 = g(an)，其中an和an+2分别表示数列的相邻的两个奇数项，g(x)为一个关于x的函数。

通过递推关系，可以通过已知的奇数项来确定其他奇数项的值。

3. 奇数列的性质奇数列具有以下性质：(1) 奇数列的和系，可以利用数学归纳法证明奇数列的和为一个定值。

(2) 奇数列的性质奇数列具有一些特殊性质，如递增性、递减性、周期性等。

这些性质可以根据奇数列的递推关系和通项公式来确定。

二、偶数列的定义和性质偶数列是指数列中元素的下标为偶数的数列，通常表示为{a2, a4,a6, ...}。

下标为偶数的数列元素有以下性质：1. 偶数列的通项公式偶数列的通项公式可以表示为an = f(n)，其中n为正整数，f(n)为一个关于n的函数。

与奇数列类似，偶数列的通项公式也是通过观察数列的规律而得出的。

2. 偶数列的递推关系偶数列的递推关系可以表示为an+2 = g(an)，其中an和an+2分别表示数列的相邻的两个偶数项，g(x)为一个关于x的函数。

通过递推关系，可以通过已知的偶数项来确定其他偶数项的值。

3. 偶数列的性质偶数列具有以下性质：(1) 偶数列的和系，可以利用数学归纳法证明偶数列的和为一个定值。

(2) 偶数列的性质偶数列也具有一些特殊性质，如递增性、递减性、周期性等，这些性质可以根据偶数列的递推关系和通项公式来确定。