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高三数列知识点归纳数列是数学中的重要概念之一，也是高中数学中的重要内容之一。
在高三阶段，数列作为一个重要的数学工具，是解决各种数学问题的基础。
本文将对高三数列知识点进行归纳和总结，以帮助同学们更好地理解数列的概念和应用。
一、数列的定义与表示方式数列是由一系列有规律的数按特定顺序排列而成的。
通常用字母a1, a2, a3, ...表示数列的每一项，其中ai表示数列中的第i项。
数列可以是等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
具体表示方式如下：等差数列：an = a1 + (n-1)d等比数列：an = a1 * q^(n-1)斐波那契数列：an = an-1 + an-2 (n ≥ 3)二、等差数列的性质和常用公式1. 公差：等差数列中相邻两项之差，记为d。
2. 第n项公式：an = a1 + (n-1)d。
3. 前n项和公式：Sn = (n/2) * (a1 + an)。
4. 通项公式：若已知数列的首项和公差，则可以通过通项公式来求解数列中任意一项的值。
三、等比数列的性质和常用公式1. 公比：等比数列中相邻两项的比，记为q。
2. 第n项公式：an = a1 * q^(n-1)。
3. 前n项和公式：Sn = (a1 * (q^n - 1)) / (q - 1)。
4. 通项公式：若已知数列的首项和公比，则可以通过通项公式来求解数列中任意一项的值。
四、斐波那契数列的性质和常用公式斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
即an = an-1 + an-2 (n ≥ 3)。
斐波那契数列具有许多有趣的特性和应用，在数学和其他领域中都有广泛的应用。
五、数列的应用数列作为一种重要的数学工具，在各个学科和领域中都有广泛的应用。
在高三阶段，同学们需要熟练掌握数列的性质和常用公式，并能够灵活运用数列进行问题的分析和解决。
以下是数列在不同领域中的应用举例：1. 自然科学中，数列可以用来描述物理、化学、生物等现象的规律。
几个重要的特殊数列 基础知识 1．斐波那契数列 莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即： 假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？ 这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定； （2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出） 因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为： ，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得 所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如： 它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明） （1）斐波那契数列的前项和； （2）； （3）（）； （4）（）； （5）（）； 2．分群数列 将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
高考数列常考知识点在高考数学中，数列是一个常见的考点。
数列作为数学的基础概念之一，是许多数学问题的关键元素。
数列的概念和性质不仅仅是高考数学的基本知识点，也是后续数学学习的重要基础。
在本文中，我们将讨论高考中常考的数列知识点，帮助同学们掌握数列的基本概念和解题技巧。
一、等差数列等差数列是最为常见的数列之一。
等差数列的特点是：每一项与它的前一项之差都相等。
常用的表示方式是使用首项 a 和公差 d 表示。
数列的通项公式可以表示为 a_n = a + (n-1)d，其中 a_n 表示第 n 项。
在高考中，经常会出现以下几类问题与等差数列有关：1. 求等差数列的前 n 项和。
这个问题是等差数列的基本应用，常用的求和公式是 Sn = n/2(a + l)，其中 Sn 表示前 n 项和，a 表示首项，l 表示最后一项。
2. 求等差数列的通项公式。
有时候，我们需要根据已知的数列的前几项或者一个递推关系，来推导数列的通项公式。
这个问题需要利用等差数列的性质进行推导和分析。
3. 求等差数列中满足一定条件的项数。
有时候，我们需要找到等差数列中满足某种条件的项数，这种问题也需要运用等差数列的性质和求解方法来解决。
二、等比数列等比数列也是高考中常考的数列知识点。
等比数列的特点是：每一项与它的前一项之比都相等。
通常使用首项 a 和公比 q 来表示等比数列。
数列的通项公式可以表示为 a_n = a * q^(n-1)，其中 a_n 表示第 n 项。
在高考中，经常会出现以下几类问题与等比数列有关：1. 求等比数列的前 n 项和。
与等差数列类似，等比数列也可以求解前 n 项和。
常用的求和公式是 Sn = a(1 - q^n)/(1 - q)。
2. 求等比数列的通项公式。
同样地，有时候我们需要根据已知的数列的前几项或者一个递推关系，来推导等比数列的通项公式，这个问题也需要利用等比数列的性质进行推导和分析。
3. 求等比数列中满足一定条件的项数。
几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
高三数列知识点大全数列是数学中非常重要的概念之一，它在高中数学的学习中占据着重要的地位。
在高三阶段，数列的相关知识将更加复杂和深入。
本文将为大家总结高三数列的知识点，帮助同学们更好地掌握和应用数列。
一、数列的定义与常见类型1. 数列的定义数列是一组按照一定规则排列的数的有序集合。
数列中的每一个数称为该数列的项。
用字母a、b、c……表示数列的各个项。
2. 常见数列的类型（1）等差数列等差数列是指数列中的每一项与前一项之差保持恒定。
公式表示为：an = a1 + (n - 1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
（2）等比数列等比数列是指数列中的每一项与前一项之比保持恒定。
公式表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，q表示公比。
（3）递推数列递推数列是一种根据数列的一部分项来确定其余项的数列，常见的递推数列有斐波那契数列、杨辉三角等。
（4）等差-等比混合数列等差-等比混合数列是一种既包含等差又包含等比的数列，其规律较为复杂，需要通过具体的题目进行分析。
二、数列的性质和求解方法1. 数列的通项公式通项公式是指数列中第n项与n的关系式，通过通项公式可以直接计算数列中任意一项的值。
等差数列和等比数列的通项公式已在前面介绍，递推数列和混合数列的通项公式则需要结合具体的数列来确定。
2. 数列的前n项和前n项和是指数列中前n项的和。
计算数列的前n项和可利用数列的通项公式，通过求和公式或递推进行计算。
3. 等差数列的性质（1）公差的性质：等差数列的任意两项之差等于公差。
（2）首项和末项的关系：等差数列的首项加上末项等于两倍的公差。
（3）求和公式：等差数列的前n项和公式为Sn = (n / 2) * (a1 + an)，其中Sn表示前n项和。
4. 等比数列的性质（1）公比的性质：等比数列的任意两项之比等于公比。
（2）首项和末项的关系：等比数列的末项等于首项乘以公比的n次方。
学考数列知识点归纳总结数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
学考数列是高中数学考试中的重要内容之一，各种数列的特点和性质需要我们熟练掌握。
本文将对学考数列的知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握数列的相关内容。
一、等差数列等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示第n项的值。
等差数列的前n项和公式为：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n / 2等差数列的性质包括：1. 公差为d的等差数列的前n项和公式为Sₙ = (2a₁ + (n-1)d) × n / 2。
2. 若等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项aₙ为a₁+ (n-1)d。
3. 若等差数列的首项为a₁，末项为aₙ，项数为n，则公差d = (aₙ - a₁) / (n-1)。
二、等比数列等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ × q^(n-1)等比数列的前n项和公式为：Sₙ = a₁ × (q^n - 1) / (q - 1) (q ≠ 1)等比数列的性质包括：1. 公比为q的等比数列的前n项和公式为Sₙ = a₁ × (1 - q^n) / (1 - q) (q ≠ 1)。
2. 若等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项aₙ为a₁ × q^(n-1)。
3. 若等比数列的首项为a₁，末项为aₙ，公比为q，则公比q = (aₙ / a₁)^(1/(n-1))。
三、等差数列与等比数列的关系若数列既是等差数列又是等比数列，称为等差等比数列。
设等差等比数列的首项为a₁，公差为d，公比为q，则有以下关系：a₂ = a₁ + d = a₁ × qa₃ = a₁ + 2d = a₂ × q = a₁ × q^2...aₙ = a₁ + (n-1)d = a₁ × q^(n-1)可见，在等差等比数列中，每一项的值可以用前一项的值与公差或公比相乘得到。
高考数列知识点大全集数列作为高考数学中的重要内容之一，涉及到数学的不同时期的各个分支，是一个非常丰富而广泛的知识领域。
在高考中，数列常常以各种形式出现，学生需要熟练掌握数列的相关概念和性质，以便能够灵活运用。
一、数列概述数列是由一列数字按照一定的规律排列形成的一种特殊序列，常用字母表示。
数列有限或无限两种形式，其中无限数列在高考中较为常见，主要有等差数列、等比数列和等差数列。
二、等差数列的性质与应用等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
等差数列的一些重要性质包括：通项公式、前n项和公式、判断等差数列、等差数列的应用等。
三、等比数列的性质与应用等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列。
等比数列的一些重要性质包括：通项公式、前n项和公式、判断等比数列、等比数列的应用等。
四、特殊数列除了等差数列和等比数列，还有一些特殊的数列在高考中也经常出现。
如斐波那契数列、调和数列、几何数列等。
这些数列的性质和应用需要学生有一定的了解和掌握。
五、数列的综合应用在高考中，数列经常与其他数学知识进行综合运用。
比如与函数、方程、不等式等进行结合求解问题，或者与排列组合、概率统计等进行结合求解概率、排列等问题。
这些综合应用的题目要求学生能够将数列的知识和其他数学知识进行有机结合，灵活运用解题思路。
六、数列解题技巧在高考中，数列的题目形式和难度千差万别。
解题时，学生需能够抓住题目的要点，灵活运用相应的解题方法。
例如，通过找规律、构造数列、利用数列性质等方法解题。
熟练掌握这些解题技巧可以帮助学生提高解题效率，提高数列题目的得分率。
七、数列知识的运用高考数列的知识是数学中的一个重要组成部分，它不仅在高考中经常考查，而且在数学和其他学科中也有广泛的应用。
例如，金融、统计、物理等领域都离不开数列的计算和应用。
因此，学生掌握数列的知识不仅是应对高考的需要，也是拓宽知识面、提高综合素养的必备能力。
总结：数列作为高考数学中的一个重要知识点，涵盖了很多内容。
数列及其应用知识点总结一、数列的概念数列是按照一定的规律依次排列的一组数，它是数学中的一个重要概念，也是数学分析和推理的基础之一。
数列的基本形式可以表示为{a1, a2, a3, …, an}，其中a1, a2, a3,…, an是数列的项，n是数列的项数。
数列可以是有限项的，也可以是无限项的。
数列中的每一项都有一个位置，这种位置是从1开始编号的。
第i项对应的数是ai ，其中i=1,2,3,…,n。
根据数列中项的规律性，我们可以把数列分成许多种类，比如等差数列、等比数列、递推数列等等。
下面我们来逐一介绍这些数列及其相关概念。
二、常见的数列1.等差数列等差数列是指数列中任意相邻两项的差都是同一个常数d。
因此，等差数列可以用公式an = a1 + (n-1)d表示，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
等差数列的前n项和Sn可以用公式Sn=n(a1+an)/2表示。
等差数列在实际中有许多应用，比如财务中的等额项支付、物理中的匀速直线运动、化学中的反应速率等等。
2.等比数列等比数列是指数列中任意相邻两项的比都是同一个常数q。
因此，等比数列可以用公式an= a1*q^(n-1)表示，其中a1是首项，q是公比，n是项数。
等比数列的前n项和Sn可以用公式Sn= a1*(q^n-1)/(q-1)表示。
等比数列在实际中也有许多应用，比如金融中的复利、生物中的细胞分裂、天文中的行星运动等等。
3.递推数列递推数列是指数列中的每一项都由前面的一项或若干项经过某种规律推算而得。
递推数列在实际中应用广泛，比如斐波那契数列、汉诺塔问题、帕斯卡三角等等。
4.等差数列的应用数列的应用在实际中非常广泛。
在日常生活中，我们可以看到许多数列的应用。
比如，等差数列可以用来描述一些周期性的现象。
比如，小明每天跑步的距离是每天递增的，这可以用等差数列来表示。
在金融中，等额付款、等额本金就使用了等差数列的概念。
在电子工程中，我们经常用到等差数列来描述电流、电压的变化规律。
高等数学第八章知识点总结第八章是高等数学中的重要章节，主要涉及到数列和级数的概念和性质。
本文将对数列和级数的基本概念、极限、收敛性以及常见的数列和级数进行总结和归纳。
1. 数列的概念和性质数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列可以有界，也可以无界。
数列的性质包括有界性、单调性和有界单调性。
1.1 有界性：如果存在一个正数M，对于数列的每一项a_n，都有|a_n|≤M，那么称数列是有界的。
1.2 单调性：如果对于数列的每一项a_n，都有a_n≤a_(n+1)（或a_n≥a_(n+1)），那么称数列是递增的（或递减的）。
1.3 有界单调性：如果数列既是递增的又是有界的，那么称数列是有界递增的；如果数列既是递减的又是有界的，那么称数列是有界递减的。
2. 数列的极限数列的极限是数列中的数值趋于无穷时的极限值。
数列的极限可以是有限的，也可以是无限的。
2.1 数列的收敛性：如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|a_n-a|<ε，那么称数列{a_n}收敛于a。
反之，如果不存在这样的实数a，则称数列{a_n}发散。
2.2 数列的极限存在唯一性：如果数列{a_n}收敛于a，并且又收敛于b，那么a=b。
3. 数列的运算数列的运算包括数列的加法、数列的乘法和数列的数乘。
3.1 数列的加法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n + b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的和。
3.2 数列的乘法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n * b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的乘积。
3.3 数列的数乘：若{a_n}是一个数列，k是一个实数，定义数列{b_n} = {k * a_n}，则称{b_n}为{a_n}的数乘。
4. 级数的概念和性质级数是数列的和，级数的性质包括收敛性、发散性和级数的收敛域。
数学中的所有的数列数学是一门科学，也是一门艺术。
在数学中，数列是我们常见且很重要的概念之一。
无论是数学中的初等数学，还是高等数学，数列都是一个关键的组成部分。
本文将介绍数学中的所有的数列，包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等等。
1. 等差数列等差数列是数列中最简单也是最常见的一种。
其定义是：数列中的每个数与它的前一个数之差等于同一个常数，这个常数被称为公差。
一般情况下，我们用字母d来代表公差。
设数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示数列的第n个项。
等差数列的求和公式为：Sₙ = (n/2)(a₁+aₙ)其中，Sₙ表示前n项和。
2. 等比数列等比数列也是数学中常见的一种数列。
其定义是：数列中的每个数与它的前一个数之比等于同一个常数，这个常数被称为公比。
一般情况下，我们用字母q来代表公比。
设数列的首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ × q^(n-1)等比数列的求和公式为：Sₙ = (a₁ × (1-qⁿ))/(1-q)需要注意的是，当公比q大于1时，等比数列的前n项和存在有限值；当公比q介于-1和1之间时，等比数列的前n项和趋近于零；当公比q小于-1或者等于1时，等比数列的前n项和无意义。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是数学中一个非常经典的数列。
其定义是：数列的前两个数为1，之后的每个数都是前两个数之和。
斐波那契数列的通项公式可以用如下方式表示：f(n) = f(n-1) + f(n-2)其中，f(n)表示数列的第n个项。
斐波那契数列在数学和自然界中有着广泛的应用。
例如，在植物的分枝、蜂窝的结构以及金融市场中，都能够找到斐波那契数列的身影。
4. 等差-等比混合数列等差-等比混合数列是一种综合了等差数列和等比数列特点的数列。
在等差-等比混合数列中，数列中的每个数与它的前一个数之差的绝对值是一个等比数列。
第九节 几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多∙斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用n F 表示第n 个月初时免房里的免子的对数，则有3,2,1321===F F F ，第2+n 个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第1+n 个月初就已经在免房内的免子，共有1+n F 对；另一部分是第2+n 个月初时新出生的小免子，共有n F 对，于是有n n n F F F +=++`12。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为n n n qx px x +=++12（0,,1≠≥，q q p n 为常数），其特征方程为q px x +=2，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根βα,，则其通项公式为n n n B A x βα+=（1≥n ），其中A 、B 由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根α，则其通项公式为1)1([--+=n n n B A x αα（1≥n ），其中A 、B 由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在下节课给出） 因此对于斐波那契数列n n n F F F +=++`12，对应的特征方程为12+=x x ，其特征根为： 251,25121-=+=x x ，所以可设其通项公式为nn n B A F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=251251，利用初始条件2,121==F F 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2251251125125122B A B A ，解得5251,5251--=+=B A 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++1125125151n n n F 。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如： 它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前n 项和12-=+n n F S ；（2）n n n n F F F )1(221-=⋅-++； （3）n n n F F F 6341<<+（3≥n ）；（4）111-++++=n m n m n m F F F F F （1,,*>∈n N n m ）；（5）21212-+-=n n n F F F （1,*>∈n N n ）； 2．分群数列将给定的一个数列{n a }： ,,,,,,654321a a a a a a 按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将1a 作为第一组，将32,a a 作为第二组，将654,,a a a 作为第三组，……依次类推，第n 组有n 个元素，即可得到以组为单位的序列：（1a ），（32,a a ），（654,,a a a ），……我们通常称此数列为分群数列。
一般地，数列{n a }的分群数列用如下的形式表示：（p a a a ,,,21 ），（r p p a a a ,,,21 ++），（s r r a a a ,,,21 ++），……，其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个括号称为第3群，……，第n 个括号称为第n 群，而数列{n a }称为这个分群数列的原数列。
如果某一个元素在分群数列的第m 个群中，且从第m 个括号的左端起是第k 个，则称这个元素为第m 群中的第k 个元素。
值得注意的是一个数列可以得到不同的分群数列。
如对数列{n a }分群，还可以得到下面的分群数列：第n 个群中有12-n 个元素的分群数列为：（1a ），（432,,a a a ），（98765,,,,a a a a a ）…； 第n 个群中有n2个元素的分群数列为：（21,a a ），（6543,,,a a a a ），（14987,,,,a a a a ）…等等。
3．周期数列对于数列{n a }，如果存在一个常数)(*N T T ∈，使得对任意的正整数0n n >恒有n T n a a =+成立，则称数列{n a }是从第0n 项起的周期为T 的周期数列。
若10=n ，则称数列{n a }为纯周期数列，若20≥n ，则称数列{n a }为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期。
周期数列主要有以下性质：（1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；（2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；（3）如果T 是数列{n a }的周期，则对于任意的*N k ∈，kT 也是数列{n a }的周期；（4）如果T 是数列{n a }的最小正周期，M 是数列{n a }的任一周期，则必有T|M ，即M=kT （*N k ∈）；（5）已知数列{n a }满足n t n a a =+（,,*N t n ∈t 为常数），n n T S ,分别为{n a }的前n 项的和与积，若*,,0,N r q t r r qt n ∈<≤+=，则r t n S qS S +=，r q t n T T T ⋅=)(；（6）设数列{n a }是整数数列，m 是某个取定大于1的自然数，若n b 是n a 除以m 后的余数，即)(mod m a b n n ≡，且}1,,2,1,0{-∈m b n ，则称数列}{n b 是{n a }关于m 的模数列，记作)}(mod {m a n 。
若模数列)}(mod {m a n 是周期的，则称{n a }是关于模m 的周期数列。
（7）任一k 阶齐次线性递归数列都是周期数列。
4．阶差数列对于一个给定的数列{n a }，把它的连续两项1+n a 与n a 的差1+n a －n a 记为n b ，得到一个新数列}{n b ，把数列}{n b 称为是原数列{n a }的一阶差数列；如果=n c n n b b -+1，则称数列}{n c 是数列}{n b 的一阶差数列，}{n c 是{n a }的二阶差数列；依次类推，可以得到数列{n a }的p 阶差数列，其中*N p ∈。
如果某一数列的p 阶差数列是一非零常数列，则称该数列为p 阶等差数列。
其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列；高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称。
高阶等差数列具有以下性质：（1）如果数列{n a }是p 阶等差数列，则它的一阶等差数列是1-p 阶差数列；（2）数列{n a }是p 阶等差数列的充要条件是：数列{n a }的通项是关于n 的p 次多项式；（3）如果数列{n a }是p 阶等差数列，则其前n 项之和n S 是关于n S 的1+p 次多项式。
高阶等差数列中最常见的问题是求通项公式以及前n 项和，更深层次的问题2是差分方程的求解。
解决问题的基本方法有：(1)逐差法：其出发点是∑-=+-+=1111)(n k k k n a aa a ；(2)待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项n a 与前n 项和S n 是确定次数的多项式(关于n 的)，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得(3)裂项相消法：其出发点是a n 能写成n a =f (n +1)－f (n )(4)化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的设数列{n a }不是等比数列：若它的一阶等差数列是公比不为1的等比数列，则称它是一阶等比数列；若它的一阶差数列不是等比数列，而二阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这为二阶等比数列。
一般地说，如果某一个数列它的1-p 阶等差数列不是等比数列，而p 阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这个数列为p 阶等比数列，其中*N p ∈。
0阶等比数列就是我们通常所说的等比数列，一阶及二阶以上的等比数列，统称为高阶等比数列。
典例分析例1．数列{}n f 的通项公式为5n n n f ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦，n ∈+Z ．记1212C +C ++C n n n n n n S f f f =，求所有的正整数n ，使得n S 能被8整除．（2005年上海竞赛试题）解：记αβ==则()()()()1000S 11n n i i i i i i n n n i i n n n n i i i i n n i i n n C C C C αβαβαβαβ=====--⎫⎤=-=+-+⎪⎦⎭⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦∑∑ 注意到5531==，可得()1121S 3S S n n n n n n n ++++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=-+--⎢⎥⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎭=-* 因此，S n+2除以8的余数，完全由S n+1、S n 除以8的余数确定11211122122,3S C f S C f C f ==+=，故由(*)式可以算出{}n S 各项除以8的余数依次是1,3，0,5，7,0，1,3，……，它是一个以6为周期的数列，从而83n S n ⇔故当且仅当38n n S 时，例２．设n a 是下述自然数N 的个数，N 的各位数字之和为n ，且每位数字只能取1、3或4，求证：n a 2是完全平方数，这里 ,3,2,1,0=n分析：这道题目的证法很多，下面我们给出借助于斐波那契数列证明的两种方法。
方法一：利用斐波那契数列作过渡证明。
设k x x x N 21=，其中}4,3,2,1{,,,21∈k x x x 且n x x x k =+++ 21。
假设4>n ，删去1x 时，则当1x 依次取1，3，4时，n x x x k =+++ 32分别等于4,3,1---n n n ，故当4>n 时，431---++=n n n n a a a a （1）作数列}{n F ：2,121==F F 且n n n F F F +=++`12， ,3,2,1=n现用数学归纳法证明下述两式成立：22n n F a = （2）112++=n n n F F a （3）因为2,132==a a 故当2,1=n 时（2）（3）两式成立。
