1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积教案

§1.3.1柱体、锥体、台体的表面积（第一课时）
呼伦贝尔市莫旗尼尔基一中鲍喜良
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）了解柱体、锥体与台体的表面积的计算公式（不要求记忆公式）.
（2）能运用公式求柱体、锥体和台体的表面积.
（3）培养学生空间想象能力、思维能力和运算能力
2．过程与方法
让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力. 3．情感、态度与价值观
通过学习，培养学生的理性精神，渗透辩证法的思想，增强探究意识，激发学习的积极性.
（二）教学重点、难点
重点：了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式及其应用.
难点：表面积计算公式的应用
（三）教学方法：自主探究式
S=
SBC
∴四面体
22
π'++'+
(r r r l
.
由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为。

《柱体、锥体、台体的外表积与体积》第一课时教学设计省温江舒叶梅一、教学目标1 .知道求多面体外表积的一般方法，会求旋转体的外表积；把握柱、锥、台体的外表积的内在关系；2.借助于已有的数学知识及数学经验，探索柱、锥、台体的体积公式，体会从“平面〞到“空间〞转化的数学思想方法，培养学生类比和合情推理的意识和习惯，渗透对数学抽象、直观想象等数学素养的培养；3.引导学生发现柱体、锥体和台体的外表积与体积之间的内在联系，完善学生认知结构，培养学生用联系与运动的观点看问题的意识；4.知道祖暅原理，渗透数学文化，发挥数学教学的育人功能。

二、教学重难点教学重点：体会化归与转化、类比等数学思想方法，探索柱、锥、台体的外表积、体积的计算公式；教学难点：柱、锥、台体积公式的由来，尤其是柱体体积公式的由来。

三、学情背景与教学方法1．本课所教学学生为云南农业大学附属高一的学生，通过了解该的学生数学素养、自学能力、动手能力、合作与交流能力还不错。

班级分了几个学习小组，分小组合作探讨以及对其他小组成果进行评价。

2.课本上是直接给出柱体、锥体和台体的体积公式的，但那样做不符合高中课程之宗旨——数学思维的熏陶及数学素养的提升，丧失了数学教学应有的价值追求。

基于“用教材来教〞的意识，以及本课有些内容学生是熟悉的之特点，如正文体、长方体的外表积和体积公式，圆柱、圆锥的体积公式，这是本课可充分利用的资源。

本课的策略是：根据已有的知识经验获得一般性的结论，既注重直观感知与合情推理，又要不失时机地说理和推理，使学生在获得直观想象，素养熏陶的同时，也能得到理性认识的熏陶。

3. 本节课以问题为导引，以多媒体演示为载体，以引导学生在思考中发现为目标，通过环环相扣的问题，调动学生积极参与，促进学生深度学习。

要注意设计与生成的有机结合，相应予以点拨。

四、教学流程〔一〕创设情景，引入课题为了美化花盆，需要给花盆涂油漆上色，首先需要计算的是什么呢？进一步，要在花盆中摘种鲜花，需要在花盆中装土，这又是涉及计算什么的问题呢？设计意图：数学就在身边，通过花盆上色和装土问题，自然引入其外表积和体积的计算，引入课题，说明学了数学很有用，只要你有一双善于发现的眼睛，就能抓住数学的精髓。

柱体、锥体、台体的表面积与体积教学目标：1、知识与技能：（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。

（2）了解柱、锥、台的表面积和体积计算公式；能运用柱锥台的表面积体积公式和体积进行计算和解决有关实际问题2、过程与方法：通过观察几何体并探求计算公式，培养观察能力及空间想象能力。

3、情感、态度与价值观：用数学的眼光去捕捉现实世界三维的美教学重点：柱、锥、台体的表面积和体积计算.教学难点：熟练利用柱、锥、台体的表面积和体积公式解题教学过程：一、自主学习二、知识探究知识探究一、柱体、锥体、台体的表面积1.多面体的表面积（1）创设情境：问题1：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积。

你知道正方体和长方体的展开图有什么关系吗？用几何画板展示长方体展开的过程，观察展开图，可以得出几何体的表面积等于它的展开图的面积（2)探究新知问题2：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的多面体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积?学生活动：独立思考，分组讨论，推举代表解决问题，学生评价补充总结：棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积即各个面的面积和(3)典例分析分析：由于四面体S-ABC 的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍。

解：先求△SBC 的面积,过点S 作SD ⊥BC,交BC 于点D.因为BC=a,SD=22223.22a SB BD a a -=+= 所以 21133.2224SBC S BC SD a a a ∆=⋅=⨯= 因此,四面体的表面积22343.4S a a =⨯= SB CAD 例1：已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S-ABC ，求它的表面积.(教材P 24页例1) 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积（1） 探究新知问题3：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）a.圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），讨论总结公式设圆柱的底面半径为r,母线长为l ,则有：S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。

二数学必修二第一章空间几何体的结构青岛天龙中学高二数学备课组二数学必修二第一章空间几何体的结构青岛天龙中学高二数学备课组第1页共2 页第 2 页共2 页1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（一）学习目标：1、了解柱、锥、台的表面积计算公式；2、能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3、理解计算公式的由来.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：正方体、长方体的侧面展开图？正方体、长方体的表面积计算公式？2. 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？二、讲授新课：1. 教学表面积计算公式的推导：①讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）②练习：求各面都是边长为10的等边三角形的正四面体S-ABC的表面积.一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.③讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱表面积：圆柱S= ；圆锥表面积：圆锥S= ；圆台表面积：S圆台侧=()rRlπ+，S圆台表=22()r rl Rl Rπ+++.三、当堂检测：1.已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD，求其表面积2.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，求这个圆锥的表面积. 一、讲授新课：1. 柱、锥、台的体积计算公式：①等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅原理，教材P30）②根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？圆柱V=柱体V=③讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？等底面、等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？④根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？圆锥V=锥体V=⑤台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？''1()3V S S S S h=++台（S，'S分别上、下底面积，h为高）''2211()()33V S S S S h r rR R hπ=++=++圆台（r、R分别为圆台上、下底半径）【探究】：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？二、当堂检测：1. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位cm)，则该几何体的表面积及体积为()A. B.C. D.以上都不正确2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .【课堂小结】柱、锥、台的表面积与体积公式【课堂评价】把你对本节课的评价写出来（“满意”“比较满意”、“不满意”、）_______.。

1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

【教学重难点】教学重点：运用公式解决问题教学难点：理解计算公式的由来.【教学过程】（一）情景导入讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。

（二）展示目标这也是我们今天要学习的主要内容:1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

（三）检查预习1．棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。

2．几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、。

3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于。

（四）合作探究面积探究:讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）体积探究:讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？五）交流展示略（六）精讲精练1. 教学表面积计算公式的推导：① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）② 练习：1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.(教材P 24页例1)2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。

人教高一数学教学设计之《1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积》一. 教材分析《1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积》这一节内容，主要让学生掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算方法。

在高一数学教材中，这部分内容属于立体几何的范畴，是学生进一步学习空间几何的基础。

通过本节课的学习，学生将能够熟练运用公式计算柱体、锥体、台体的表面积和体积，并能够灵活运用这些知识解决实际问题。

二. 学情分析在导入这一节内容之前，学生已经学习了平面几何的基础知识，对几何图形的性质和公式有一定的了解。

同时，学生也掌握了初等函数的相关知识，这为学习立体几何奠定了基础。

然而，由于立体几何与平面几何在思考方式和解决问题上存在较大差异，学生可能需要一定的时间来适应。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和解答疑问。

三. 教学目标1.让学生掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算方法。

2.培养学生空间想象能力，提高解决实际问题的能力。

3.通过对立体几何的学习，增强学生对数学的兴趣和自信心。

四. 教学重难点1.重难点：柱体、锥体、台体的表面积和体积公式的记忆和运用。

2.难点：空间想象能力的培养，以及如何将实际问题转化为几何问题。

五. 教学方法1.采用直观教学法，通过模型、图片等直观教具，帮助学生建立空间几何观念。

2.采用启发式教学法，引导学生主动探索、发现和总结几何图形的性质和公式。

3.采用小组合作学习法，鼓励学生互相讨论、交流，提高解决问题的能力。

4.运用案例教学法，结合生活实际，让学生学会将几何知识应用于解决实际问题。

六. 教学准备1.准备相关的教学课件、图片、模型等直观教具。

2.准备练习题和案例，用于巩固所学知识。

3.准备黑板和粉笔，用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实物，如圆柱形的饮料瓶、锥形的雪糕棒等，引导学生关注柱体、锥体的特征。

然后提问：“如果我们想知道这些物体的体积和表面积，应该如何计算呢？”从而引出本节课的主题。

1.3.1 （2）柱体、锥体、台体的表面积与体积（二）教案备课人授课时间课题 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（二）教学目标知识与技能能运用公式求解并熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。

能运用公式求解并熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。

过程与方法启发引导，充分发挥学生的主体作用情感态度价值观培养学生空间想象能力和思维能力。

重点柱体、锥体、台体体积计算难点台体体积公式的推导，计算公式之间的关系.第 2 页第 3 页第 4 页 给出锥体的体积计算公式：Sh V 31=锥 （S 为底面面积，h 为高） ⑤ 讨论：台体的上底面积S ’，下底面积S ，高h ，由此如何计算切割前的锥体的高？ → 如何计算台体的体积？ 'x s x h s =+ ''h s x s s∴=- '11)33V S h x S x =+-台（'111333Sh Sx S x =+- '11()33Sh S S x =+-'''11()33h s Sh S S s s=+-- ''11()33Sh s s h s =++''1()3h s ss s =++ ⑥ 给出台体的体积公式：''1()3V S S S S h =++台 （S ，'S 分别上、下底面积，h 为高） ''2211()()33V S S S S h r rR R h π=++=++圆台（r 、R 分别为圆台上底、下底半径） ⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？学生回答河北武邑中学课堂教学设计教学设计教学内容教学环节与活动设计三、例题：例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8g/cm3）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？分析：六角螺帽的几何结构特征？→如何求其体积？→利用哪些数量关系求个数？→列式计算→小结：体积计算公式V≈2956（mm3）=2.956（cm3）5.8×100÷7.8×2.956≈学生回答教学小结能运用公式求解并熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系课后反思第 5 页。

《柱体、锥体、台体的表面积与体积》说课稿各位老师：大家上午好!我说课的题目是《柱体、锥体、台体的表面积与体积》，下面我将从教材的地位和作用，内容分析，教学目标及重难点，教法和学法以及教学过程等几个方面进行阐述。

一．教材的地位和作用《柱体、锥体、台体的表面积与体积》是新人教版高中数学必修2第一章第3节的第一小节。

本节内容是在学生已从结构特征和视图两个方面感性认识空间几何体的基础上，进一步从度量的角度来认识空间几何体，它属于立体几何入门的内容，所以教学的目的在于使学生了解空间几何体的表面积和体积的计算方法，但不要求记忆公式，并能进一步计算简单组合体的表面积和体积。

二．内容分析本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，其作用有二：一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；二，介绍求表面积的方法，即把它们展成平面图形，通过求平面图形的面积的方法，求立体图形的表面积，然后通过“探究”和“思考”引导学生探究柱体，锥体，台体的展开图，并在讨论过程中归纳圆柱，圆锥和圆台的表面积公式，在整个表面积研究过程中，教材都传达了将立体问题平面化的思想，因此在表面积教学过程中应注意引导学生体会这一点。

关于体积的教学，课本是由初中学过的正方体，长方体及圆柱的体积公式推广到一般柱体的体积公式，然后由三棱柱和三棱锥的关系，得到并推广到一般锥体的体积公式，最后由台体的概念，得出台体的体积公式。

从整体上看，教材体现了探究问题的一般思路，即由特殊到一般，再由一般到具体的应用，因此在教学过程中，我们要注重培养学生的转化和类比的思想，并让学生体会探究问题的乐趣，另外还应通过对圆柱，圆锥和圆台的表面积公式，柱体，锥体和台体的体积公式的统一过程培养学生归纳总结的能力。

三．教学目标和重难点根据以上分析，结合高一学生的特点，我制订了如下教学目标及重、难点：1.知识与技能目标：通过对柱体、锥体、台体的研究，了解柱体、锥体、台体的表面积和体积的求法。

1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积整体设计教学分析本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，目的有两个：其一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；其二，介绍求几何体表面积的方法，把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.接着，教科书安排了一个“探究”，要求学生类比正方体、长方体的表面积，讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题，并通过例1进一步加深学生的认识.教学中可以引导学生讨论得出：棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的展形图是由梯形组成的平面图形.这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题.教科书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？”的问题.教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征，在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形，圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的结论，随后的有关圆台表面积问题的“探究”，也可以按照这样的思路进行教学.值得注意的是，圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式，得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系，教学中应当引导学生认真分析，在分别学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下.关于体积的教学.我们知道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义，而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间，因此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道：①完全相同的几何体，它的体积相等；一个几何体的体积等于它的各部分体积的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积体，但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的.柱体和锥体的体积计算，是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所了解，但进一步了解这些公式的推导，有助于学生理解和掌握这些公式，为此，教科书安排了一个“探究”，要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系.教学中，可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论.与讨论表面积公式之间的关系类似，教科书在得出柱体、锥体、台体的体积公式后，安排了一个“思考”，目的是引导学生思考这些公式之间的关系，建立它们之间的联系.实际上，这几个公式之间的关系，是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的.这样，在台体的体积公式中，令S′=S，得柱体的体积公式；令S′=0，得锥体的体积公式.值得注意的是在教学过程中，要重视发挥思考和探究等栏目的作用，培养学生的类比思维能力，引导学生发现这些公式之间的关系，建立它们的联系.本节的重点应放在公式的应用上，防止出现：教师在公式推导过程中“纠缠不止”，要留出“空白”，让学生自己去思考和解决问题.如果有条件，可以借助于信息技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生，可以通过制作实物模型，经过操作确认来增强空间想象能力.三维目标1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力. 重点难点教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.教学难点：表面积和体积计算公式的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？思路2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？推进新课新知探究提出问题①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)图1②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.④学生思考圆台的侧面展开图的形状.⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).图2 图3圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r2+r′2+rl+r′l).图4⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：S 圆柱表=2πr(r+l)−−−←==r r r 21S 圆台表=π(r 1l+r 2l+r 12+r 22)−−−→−==rr r 21,0S 圆锥表=πr(r+l).从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.提出问题①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？②比较柱体、锥体、台体的体积公式：V 柱体=Sh(S 为底面积，h 为柱体的高)； V 锥体=Sh 31(S 为底面积，h 为锥体的高)； V 台体=)''(31S SS S ++h(S′,S 分别为上、下底面积，h 为台体的高). 你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式.②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？讨论结果：①棱长为a 的正方体的体积V=a 3=a 2a=Sh ；长方体的长、宽和高分别为a,b,c ，其体积为V=abc=(ab)c=Sh ；底面半径为r 高为h 的圆柱的体积是V=πr 2h=Sh ，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh ，其中S 是底面面积，h 为柱体的高.圆锥的体积公式是V=Sh 31(S 为底面面积，h 为高)，它是同底等高的圆柱的体积的31. 棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的31,即棱锥的体积V=Sh 31 (S 为底面面积，h 为高). 由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的31. 由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=31(S′+S S '+S)h, 其中S′，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S 时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图5：图5应用示例思路1例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S —ABC （图6），求它的表面积.图6活动：回顾几何体的表面积含义和求法.分析：由于四面体S —ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.解：先求△SBC 的面积，过点S 作SD⊥BC，交BC 于点D.因为BC=a,SD=a a a BDSB 23)2(2222=-=-, 所以S △SBC =21BC·SD=2432321a a a =⨯. 因此，四面体S —ABC 的表面积S=4×22343a a =. 点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.变式训练1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r ，圆柱侧面积为S ，求圆锥的侧面积. 解：设圆锥的母线长为l ，因为圆柱的侧面积为S ，圆柱的底面半径为r ，即S 圆柱侧=S ，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为r S π2，由题意得圆锥的高为r S π2，又圆锥的底面半径为r ，根据勾股定理，圆锥的母线长l=22)2(r S r π+，根据圆锥的侧面积公式得 S 圆锥侧=πrl=π·r·24)2(24222S r r S r +=+ππ. 2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）A.1∶2∶3B.1∶7∶19C.3∶4∶5D.1∶9∶27分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为(h r 23π)∶［2)2(3r π·2h］∶［2)3(3r π·3h］=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19.答案：B3.三棱锥V —ABC 的中截面是△A 1B 1C 1，则三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A —A 1BC 的体积之比是（ ）A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶8分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，将三棱锥A —A 1BC 转化为三棱锥A 1—ABC ，这样三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A 1—ABC 的高相等，底面积之比为1∶4，于是其体积之比为1∶4.答案：B例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm ，盆底直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）图7活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积.解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［1522015215)215(2⨯+⨯+］-π(25.1)2≈1 000(cm 2)=0.1(m 2).涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.变式训练1.有位油漆工用一把长度为50 cm ，横截面半径为10 cm 的圆柱形刷子给一块面积为10 m 2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到0.01秒）解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，∵圆柱的侧面积为S 侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m 2，又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m 2，因此油漆工完成任务所需的时间t=ππ205.01022=mm ≈6.37秒. 点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题.解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解.2.（2007山东滨州一模，文14）已知三棱锥O —ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC=1,OA=x ，OB=y ，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________.分析：由题意得三棱锥的体积是61)4(612131-=-=⨯x x xy (x-2)2+32，由于x ＞0，则当x=2时，三棱锥的体积取最大值32. 答案：32 例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm 3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm ，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）图8活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=43×122×6×10-3.14×(210)2×10≈2 956(mm 3)=2.956(cm 3).所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个).答：这堆螺帽大约有252个.点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用.变式训练如图9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间.（精确到0.01秒）图9解：如图10，设水面的半径为r ，则EH=r-2分米，BG=2分米，图10在△ABG 中，∵EH∥BG， ∴BGEH AG AH =.∵AH=2分米, ∴2252-=r .∴r=514分米. ∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为V 水=π31·3［(514)2+514×4+42］=25876π立方分米, ∴所用的时间为25292325876ππ=≈36.69秒. 答：所用的时间为36.69秒.思路2例1 （2007山东烟台高三期末统考，理8）如图11所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）图11 A.1 B.21 C.31 D.61 活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC ，AB⊥AC.则该三棱锥的高是PA ，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V=611213131=⨯⨯=∆PA S ABC .图12答案：D点评：本题主要考查几何体的三视图和体积.给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得.此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视. 变式训练1.（2007山东泰安高三期末统考，理8）若一个正三棱柱的三视图如图13所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）图13 A.318 B.315 C.3824+ D.31624+分析：该正三棱柱的直观图如图14所示，且底面等边三角形的高为32，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为 3×4×2+2×21×4×32=24+38.图14答案：C2.（2007山东潍坊高三期末统考，文3）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ） A.33π B.332π C.π3 D.3π 分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3，所以这个几何体的体积为V=3331312ππ=⨯⨯⨯. 答案：A3.（2007广东高考，文17）已知某几何体的俯视图是如图15所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.图15（1）求该几何体的体积V ；（2）求该几何体的侧面积S.解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥.设底面矩形为ABCD.如图16所示，AB=8，BC=6，高VO=4.图16（1）V=31×(8×6)×4=64. (2)设四棱锥侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，侧面VAB 、VCD 也是全等的等腰三角形，在△VBC 中，BC 边上的高为h 1=24)28(4)2(2222=+=+AB VO , 在△VAB 中，AB 边上的高为h 2=2222)26(4)2(+=+BC VO =5. 所以此几何体的侧面积S=)582124621(2⨯⨯+⨯⨯=40+224. 点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问.例2 图17所示的几何体是一棱长为4 cm 的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm 、深为1 cm 的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?（π取3.14）图17活动：因为正方体的棱长为4 cm ，而孔深只有1 cm ，所以正方体没有被打透.这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm ，底面圆的半径为1 cm.解：正方体的表面积为16×6=96（cm 2），一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（cm 2），则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6=133.68（cm 2）.答：几何体的表面积为133.68 cm 2.点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的.变式训练图18所示是由18个边长为1 cm 的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积.图18分析：从图18中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后,左、右两个面的表面积也是分别相同的.解：因为小正方体的棱长是1 cm ，所以上面的表面积为12×9=9（ cm 2），前面的表面积为12×8=8（ cm 2），左面的表面积为12×7=7（ cm 2），则此几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=48( cm 2).答：此几何体的表面积为48 cm 2.知能训练1.正方体的表面积是96，则正方体的体积是（ ） A.648 B.64 C.16 D.96分析：设正方体的棱长为a ，则6a 2=96，解得a=4，则正方体的体积是a 3=64.答案：B2.（2007山东临沂高三期末统考，文2）如图19所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（ ）A.πB.2πC.3πD.4π分析：设圆锥的母线长为l ，则l=13+=2，所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π.答案：C3.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为32，则这个正三棱锥的体积是（ ） A.427 B.49 C.4327 D.439 分析：可得正三棱锥的高h=22)3()32(-=3，于是V=4393343312=⨯⨯⨯. 答案：D4.若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍.分析：圆柱的体积公式为V 圆柱=πr 2h ，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42=16倍.答案：4 165.图20是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、AA 1的中点.现在沿△GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?图20分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA 与AG 、AF 都垂直，即HA 垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF 为底面，H 为顶点的一个三棱锥.解：设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3.三棱锥的底面是Rt△AGF，即∠FAG 为90°，G 、F 又分别为AD 、AA 1的中点，所以AF=AG=a 21.所以△AGF 的面积为281212121a a a =⨯⨯.又因AH 是三棱锥的高，H 又是AB 的中点，所以AH=a 21.所以锯掉的部分的体积为32481812131a a a =⨯⨯. 又因48148133=÷a a ,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的481. 6.（2007山东临沂高三期末考试，理13）已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是____________.分析：如图21，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==,2,22r l S l πππ解得r=π2S ，所以圆锥的底面积为πr 2=22S S =⨯ππ.图21 答案：2S 7.如图22，一个正三棱柱容器，底面边长为a ，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图23，这时水面恰好为中截面，则图22中容器内水面的高度是_________.图22 图23分析：图22中容器内水面的高度为h ，水的体积为V ，则V=S △ABC h.又图23中水组成了一个直四棱柱，其底面积为ABC S ∆43，高度为2a ，则V=ABC S ∆43·2a，∴h=a S a S ABC ABC 23243=∙∆∆. 答案：a 23 8.圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是_____________. 分析：设这个圆台的高为h ，画出圆台的轴截面，可得6642h -=，解得h=3，所以这个圆台的体积是3π(22+2×4+42)×3=28π. 答案：28π9.已知某个几何体的三视图如图24，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）,可得这个几何体的体积是（ ）图24 A.34000 cm 3 B.38000cm 3 C.2 000 cm 3 D.4 000 cm 3 分析：该几何体是四棱锥，并且长为20 cm 的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20 cm,底面是边长为20 cm 的正方形（如俯视图），所以底面积是20×20=400 cm 2，所以该几何体的体积是31×400×20=38000cm 3. 答案：B11 拓展提升 问题：有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a ＞0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是___________. 探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为5a 的边重合在一起，表面积为24a 2+28，三棱柱有两种，边长为4a 的边重合在一起，表面积为24a 2+32，边长为3a 的边重合在一起，表面积为24a 2+36，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a 2+48,最小的是一个四棱柱，这说明24a 2+28＜12a 2+48⇒12a 2＜20⇒0＜a ＜315. 答案：0＜a ＜315 课堂小结本节课学习了：1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.2.应用体积公式解决有关问题.作业习题1.3 A 组 第1、2、3题.设计感想新课标对本节内容的要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可.因此本节教学设计中就体现了这一点，没有过多地在公式的推导上“纠缠不休”，把重点放在了对公式的简单应用上.由于本节图形较多，建议在使用时，尽量结合信息技术.。

《1.3.1柱体、椎体、台体的表面积与体积》教学案2 (一)教学目标1．知识与技能(1)了解柱体、锥体与台体的表面积(不要求记忆公式).(2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.(3)培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.3．情感、态度与价值观通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.(二)教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算.难点：展开图与空间几何体的转化.(三)教学方法学导式：学生分析交流与教师引导、讲授相结合.探索新知1．空间多面体的展开图与表面积的计算.(1)探索三棱柱、三棱锥、三棱台的展开图.(2)已知棱长为a，各面均为等边三角形S–ABC(图1.3—2)，求它的表面积.解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交B于D，因为BC = a，22223()22aSD SB BD a a=-=-=∴211332224SBCS BC SD a a a=⋅=⨯=V.∴四面体S–ABC的表面积223434S a a=⨯=.师：在初中，我们已知学习了正方体和长方体的表面积以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？生：相等.师：对于一个一般的多面，你会怎样求它的表面积.生：多面体的表面积就是各个面的面积之和，我们可以把它展成平面图形，利用平面图形求面积的方法求解.师：(肯定)棱柱、棱锥、棱台边是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的体积？……生：它的表面积都等于表面积与侧面积之和.师以三棱柱、三棱锥、三棱台为例，利用多媒体设备投放它们的展开图，并肯定学生说法.师：下面让我们体会简单多面体的表面积的计算.师打出投影片、学生阅读、分析题目、整理思想.生：由于四面体S–ABC的四个面都全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面积的4倍.让学生经历几何体展开过程感知几何体的形状.推而广之，培养探索意识会探索新知2．圆柱、圆锥、圆台的表面积(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的推导S圆柱 = 2πr (r + 1)S圆锥 = πr (r + 1)S圆台 = π(r12 + r2 + r1l + rl )(2)讨论圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系(3)例题分析例2如图所示，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆(π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器)？分析：只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上下底面面积，再减去底面圆孔的面积.解：如图所示，由圆台的表积公式得一个花盆外壁的表面积22151520 1.5[()1515]()2222Sππ=⨯+⨯+⨯-⨯≈1000(cm2) = 0.1(m2).涂100个花盆需油漆：0.1×100×100 =1000(毫升).答：涂100个这样的花盆约需要师：圆柱、圆锥的侧面展开图是什么？生：圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形.师：如果它们的底面半径均是r，母线长均为l，则它们的表面积是多少？师：打出投影片(教材图1.3.3和图1.3—4)生1：圆柱的底面积为2rπ，侧面面积为2rlπ，因此，圆柱的表面积：2222()S r rl r r lπππ=+=+生2：圆锥的底面积为2rπ，侧面积为rlπ，因此，圆锥的表面积：2()S r rl r r lπππ=+=+师：(肯定)圆台的侧面展开图是一个扇环，如果它的上、下底面半径分别为r、r′，母线长为l，则它的侧面面积类似于梯形的面积计算S侧=1(22)()2r r l r r lπππ''+=+所以它的表面积为122()S r r r l rlπ'=+++现在请大家研究这三个表面积公式的关系.学生讨论，教师给予适当引导最后学生归纳结论.师：下面我们共同解决一个实际问题.让学生自己推导公式，加深学生对公式的认识.用联系的观点看待三者之间的关系，更加方便于学生对空间几何体的了解和掌握，灵活运用公式解决问题.S圆台=π(r12+r2+rl+r′l)S圆柱=2πr(r+l) S圆锥=πr(r+l)r = 0r = 1随堂练习1．练习圆锥的表面积为a cm2，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.2．如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱(底面是正六边形，侧面是全等的矩形)形，上面是圆柱(尺寸如图，单位：mm)形. 电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11kg，问电镀10000个零件需锌多少千克(结果精确到0.01kg)答案：1．233aππm；2．1.74千克.学生独立完成归纳总结1．柱体、锥体、台体展开图及表面积公式1.2．柱体、锥体、台体表面积公式的关系.学生总结，老师补充、完善作业1.3第一课时习案学生独立完成固化知识提升能力例1直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，求直平行六面体的侧面积.【分析】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征，直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形.【解析】如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，两条底面对角线的长分别为c，d，即BD = c，AC = d，则12222(1)(2)11()()(3)22c l Qd l Q c d a ⎧⎪⋅=⎪⋅=⎨⎪⎪+=⎩ 由(1)得1Q c l =，由(2)得2Q d l =，代入(3)得22212()()22Q Qa l l+=， ∴2222124Q Q l a +=，∴22122la Q Q =+.∴S 侧 =221242al Q Q =+.例2 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积.【解析】由三视图知正三棱柱的高为2mm . 由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为23mm . 设底面边长为a ，则323a =，∴a = 4.∴正三棱柱的表面积为S = S 侧 + 2S 底 = 3×4×2 + 2×14232⨯⨯ 2483=+(mm 2).例3 有一根长为10cm ，底面半径是0.5cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？(精确到0.01cm )【解析】如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD .由题意知，BC =10cm ，AB = 20.588ππ⨯⨯=cm ，点A 与点C 就是铁丝的起止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度.∴AC =2210(8)27.05π+≈(cm ). 所以，铁丝的最短长度约为27.05cm .【评析】此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折(曲)为直，使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.例4．粉碎机的下料是正四棱台形如图，它的两底面边长分别是80mm 和440mm ，高是200mm . 计算制造这一下料斗所需铁板是多少？【分析】问题的实质是求四棱台的侧面积，欲求侧面积，图4—3—2需求出斜高，可在有关的直角梯形中求出斜高.【解析】如图所示，O、O1是两底面积的中心，则OO1是高，设EE1是斜高，在直角梯形OO1E1E中，EE1∵边数n = 4，两底边长a = 440，a′= 80，斜高h′=269.∴S正棱台侧 = 11()()22c c h n a a h''''+⋅=+⋅= 514(44080)269 2.8102⨯⨯+⨯≈⨯(mm2)答：制造这一下料斗约需铁板2.8×105mm2.。