足球机器人的动力学模型简化及应用

微型与小型组机器人技术192足球机器人的动力学模型简化及应用宋彦恒 徐为民 贺锋（南开大学 机器人与信息自动化研究所, 天津 300071）摘要：针对传统足球机器人动力学模型的缺点，在合理假设的基础上得出了简化的足球机器人动力学模型，使得模型更加直观，实用。

利用简化的模型可以推出一些对足球机器人电机选择，底层控制系统设计，日常维护有价值的结论，最后给出了一个应用结论的实例。

关键词：足球机器人；动力学模型；电机选择The Simplification and Application of the Robot Soccer Kinetics ModelSong Yanheng, Xu Weimin, He Feng(Institute of Robotics and Information Automatic System, Nankai University, Tianjin 300071) Abstract ：Considering the shortcoming of traditional robot soccer kinetics model,a simplified model is brought forward on some rational hypothesis,which is more intuitionistic and practical. A few useful conclusion is got on motor selection, bottom control system design and daily maintemance. An example using the conclusion is given at last.Key words ：robot soccer ；kinetics model ；motor selection足球机器人小车设计是足球机器人硬件组比赛系统构建的重要环节，现在足球机器人设计方案越来越多[1][2][3]，指导理论也越来越丰富，但对足球机器人小车研究的重点一直集中在框架的构建，控制芯片的选择方面，而对对足球机器人小车性能最重要的动力系统的论述比较少。

本文分析了传统的足球机器人动力学模型，在进行了一些合理假设的前提下得到了简化的足球机器人动力学模型，利用得到的模型，得出了一些有用的结论，还给出了Yujin 公司YSR －A 型足球机器人的一些计算结果，分析过程和模型同样适用于其他用途两轮对称差分驱动的移动机器人。

1 传统足球机器人动力学模型机器人的动力学问题属于非自由质点系动力学问题，一般用拉格朗日方程解决，由拉格朗日方程推导的动力学普遍方程又可表达为统一形式[4]：λ)()()(),()(0)(....q A u q B q G q q C q q M q q A T +=++= (式1)微型与小型组机器人技术193图1 足球机器人动力学模型坐标系其中，n R q ∈为广义坐标向量，n n R q M *)(∈为惯性力矩矩阵，n R q q C ∈),(.为哥氏力和离心力向量，n R q G ∈)(为重力向量，r n R q B *)(∈为输入变换矩阵，n R ∈μ为控制向量，m R ∈λ为乘积因子向量，n m R q A *)(∈为满秩约束矩阵。

对于采用两轮对称差分驱动形式足球机器人，定义广义坐标变量[],,,,,T L R y x q φφθ=参照图1所示坐标系，可得传统的统一形式的足球机器人动力学模型[5]：0000cos sin 0sin cos 0sin cos .=•⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−q r L r L θθθθθθ （式2）⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧−=−=−=++=−+=22..11..21..321..321..cos sin sin sin cos cos rF I rF I LF LF I F F F y m F F F x m L y R y z μφμφθθθθθθθ（式3） 其中，),(y x 是小车的位置，θ是小车的姿态角度，R L φφ,分别为小车两轮的角度，小车质量w B m m m 2+=，B m 为车体质量，w m 为轮子质量，整个机器人绕c Z 轴的转动惯量22L m I I w ZB z +=，ZB I 为车体绕c Z 的转动惯量。

21,μμ分别为右轮和左轮的输入力矩，321,,F F F 分别为右轮纵向摩擦力，左轮纵向摩擦力，小车轴向摩擦力。

足球机器人动力学模型精确给出了足球机器人受力与位姿变化之间的关系，但模型考虑的因素过多，实际应用过程中计算量太大，应该将次要因素做适当处理，使数学模型简单实用。

另外该模型输入为力和力矩，而实际应用中小车的输入为两轮的给定转速，也可以认为是与转速对应的电压，因此模型不够直观，应当化为更直观的形式。

微型与小型组机器人技术1942 足球机器人动力学模型化简在实际比赛中，相对于R L φφ,，我们对θ,,y x 更加关注，下面我们推导输入转矩21,μμ与摩擦力21,F F 之间关系，尽可能消去21,F F ，同时将21,μμ换为电机输出转矩21,T T 使足球机器人动力学模型更加直观。

对于双轮对称差分驱动足球机器人有[5]：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=+=L v v w v v v R L R L 22 （式4） 其中v 为足球机器人线速度，w 为足球机器人角速度，R L v v ,分别为左右轮的线速度。

假设车轮与地面没有滑动，有：⎪⎩⎪⎨⎧==Rv R v R R L L ..φφ （式5） (式3)（式5）代入（式4）加以变形可以推出：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=−=−=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−=+=+=z y y R L R L y y R L R L I F F I RF I RF L R L R R L v v m F F I RF I RF R R R v v v 212211 (2)12211.......222222μμφφωμμφφ （式6） 假设小车车轮质量分布均匀，有221R m I w y =，再假设2kmL I z =其中k 为某常数。

由（式6）可推出： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=+1)(1)(21212121km m F F R m m F F R w w μμμμ （式7） 对于足球机器人来说，车轮质量远小于小车总质量，不到小车总质量的十分之一，近似认为：0≈m m w 0≈kmm w 由（式7）得出：⎩⎨⎧==R F R F 2211μμ （式8）微型与小型组机器人技术195两轮的输入转矩21,μμ是电机输出转矩21,T T 经过减速器消耗后的值，假设减速器件的减速比为N ，传动效率为η，则有[6]： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ημημN T N T 2211 （式9） 由于小车在轴向没有运动，忽略小车轴向受力，近似认为：03=F （式10）将（式8）（式9）（式10）代入（式3）可得简化的足球机器人动力学模型：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧−=+=+==−R N T L R N T L I R N T R N T y m R N T R N T x m y x z ηηθθηθηθηθηθθ21..21..21....sin sin cos cos 0cos sin （式11） 由于电机的输出转矩和电机的电枢电流a I 之间为比例关系[6]：a M I K T = （式12）其中M K 为电机的转矩系数。

将（式12）代入（式11），可将简化的足球机器人动力学模型写为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧−=+=+==−R N I K L R N I K L I R N I K R N I K y m R N I K R N I K x m y x a M a M z a M a M a M a M ηηθθηθηθηθηθθ21..21..21....sin sin cos cos 0cos sin （式13） 简化的足球机器人动力学模型忽略了次要因素，使计算量大大减少，使数学模型更加实用。

另外，简化模型选择了适当的输入变量，直接反映了电机输出转矩或电枢电流与足球机器人小车位姿之间的关系，对于电机的选择和底层控制系统的设计有指导价值。

3 简化足球机器人动力学模型分析及应用在足球机器人设计过程中我们最关心的是足球机器人的速度v ，角速度w ，加速度a ，角加速度.w ，利用简化的足球机器人动力学模型还可以导出与加速度和角加速度有关的公式：微型与小型组机器人技术 196⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−==+==R I I K LN w I I R I I K N v m ma a a M z z a a M )()(21...21.ηθη （式14） 由上式可以看出要提高足球机器人的机动性和灵活性，应该使电机电枢电流足够大，但电机电枢电流应该受到电机的最大电枢电流限制，即：max a a I I < （式15）还应满足推导简化足球机器人动力学模型过程中的假设条件，主要是车轮与地面之间没有滑动，由（式8）（式9）（式12）可得足球机器人小车某个轮子所受纵向摩擦力RN I K F a M η= (式16) 而足球机器人小车轮子可能受到的最大摩擦力2max bumg F = （式17） 其中b 为某小于1的数，和小车的布局有关系，还和小车运动时的加速度有关系[7]，由（式16）（式17）可以得到：ηN K bumgR I M a 2< （式18） 综合（式15）（式18）得：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<ηN K bumgR I I M a a 2,min max （式19） 写成摩擦力形式：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<2,min max bumg R N I K F a M η（式20） 上面俩式对于足球机器人小车电机的选择，电机速度控制器的设计和足球机器人小车的设计与日常维护有指导意义：（1）在R N m b ,,,,η等参数确定以后，参照球场和轮胎间的最大静摩擦系数和电池的参数，可以确定电机适当的转矩常数和最大允许电流，最佳情况是做到ηN K bumgR I M a 2max ≈，使电机的性能得到充分利用，实际的做法是留一定的冗余量，在足球机器人小车由于机械磨损传输效率η降低时，可以调节最大允许电流使小车得到最大加速度；（2）类似于普通的直流电机调速系统，在设计足球机器人电机速度控制器时，一般考虑双闭环控制，保持电机在加速过程中电流保持最大允许值，使小车得到良好的机动性能；（3）采用较好的轮胎材料，加大轮胎与地面间最大静摩擦系数；（4）经常润滑足球机器人小车加速器件，使传动效率尽可能高；（5）保持足球机器人比赛场地清洁，避免因灰尘造成的最大静摩擦系数的降低。