高三数学高考一轮复习资料： 排列与组合

排列与组合[最新考纲]1．理解排列、组合的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．能解决简单的实际问题.知识梳理1．排列与组合的概念(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数．3．排列数、组合数的公式及性质辨析感悟1．排列与组合的基本概念、性质(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．(×)2．排列与组合的应用(4)5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有A55－A22A44＝72种．(√)(5)(教材习题改编)由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有3×43－A34＝168(个)．(×)(6)(·北京卷改编)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是4A44＝96种．(√) [感悟·提升]1．一个区别排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合，如(1)忽视了元素的顺序．2．求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”考点一排列应用题【例1】4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？解(1)3个女同学是特殊元素，共有A33种排法；由于3个女同学必须排在一起，视排好的女同学为一整体，再与4个男同学排队，应有A55种排法．由分步乘法计数原理，有A33A55＝720种不同排法．(2)先将男生排好，共有A44种排法，再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生有A35种方法．故符合条件的排法共有A44A35＝1 440种不同排法．(3)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有A22种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档及两边有A25种排法．总共有A44A22A25＝960种不同排法．规律方法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．【训练1】(1)(·济南质检)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()．A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!(2)(·四川卷)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()．A．9 B．10 C．18 D．20解析(1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．(2)由于lg a－lg b＝lg ab(a>0，b>0)，∴lg ab有多少个不同的值，只需看ab不同值的个数．从1,3,5,7,9中任取两个作为ab有A25种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a－lg b的不同值的个数有A25－2＝18.答案(1)C(2)C考点二组合应用题【例2】某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．解(1)一名女生，四名男生．故共有C15·C48＝350(种)．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165(种)．(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．故共有：C12·C411＋C22·C311＝825(种)或采用排除法：C513－C511＝825(种)．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故选法为：C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)．(5)分两类：第一类女队长当选：C412；第二类女队长不当选：C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44.故选法共有：C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790(种)．规律方法组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．【训练2】若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()．A．60种B．63种C．65种D．66种解析满足题设的取法可分为三类：一是取四个奇数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C45＝5(种)；二是两个奇数和两个偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C25·C24＝60(种)；三是取4个偶数的取法有1种．所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．答案 D考点三排列、组合的综合应用【例3】(1)(·浙江卷)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．(2)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为()．A．A26C24 B.12A26C24C．A26A24D．2A26审题路线(1)选出3个位置排特殊元素A、B、C，并把元素A、B作为元素集团进行排列；(2)可将4名同学分成两组(每组2人)，再分配到两个班级．解析(1)先将A，B视为元素集团，与C先排在6个位置的三个位置上，有C36A22 C12种排法；第二步，排其余的3个元素有A33种方法．∴由分步乘法计数原理，共有C36A22C12·A33＝480种排法．(2)法一将4人平均分成两组有12C24种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A26种．所以不同的安排方法有12C24A26种．法二先从6个班级中选2个班级有C26种不同方法，然后安排学生有C24C22种，故有C26C24＝12A26C24种．答案(1)480(2)B规律方法(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．【训练3】从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()．A．24 B．18 C．12 D．6解析根据所选偶数为0和2分类讨论求解．①当选数字0时，再从1,3,5中取出2个数字排在个位与百位．∴排成的三位数的奇数有C23A22＝6个．②当取出数字2时，再从1,3,5中取2个数字有C23种方法．然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余2个数字全排列．∴排成的三位数的奇数有C23A12A22＝12个．∴由分类加法计数原理，共有18个三位数的奇数．答案 B1．熟练掌握：(1)排列数公式A m n ＝n ！(n －m )！；(2)组合数公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！，这是正确计算的关键．2．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．3．排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．、易错辨析9——实际意义理解不清导致计数错误【典例】 (·山东卷改编)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )．A ．232B ．256C ．472D ．484[错解] 第一类，含有一张红色卡片，取出红色卡片有C 14种方法，再从黄、蓝、绿三色中选出两色并各取一张卡片有C 23C 14C 14种方法．因此满足条件的取法有C 14·C 23C 14C 14＝192种．第二类，不含有红色卡片，从其余三色卡片中各取一张有C 14C 14C 14＝64种取法． ∴由分类加法计数原理，不同的取法共有192＋64＝256种．[答案] B[错因] 错解的原因是没有理解“3张卡片不能是同一种颜色”的含义，误认为“取出的三种颜色不同”．[正解] 第一类，含有1张红色卡片，不同的取法C 14C 212＝264(种)．第二类，不含有红色卡片，不同的取法C 312－3C 34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知，不同的取法共有264＋208＝472(种)．[答案] C[防范措施](1)准确理解题意，抓住关键字词的含义，“3张卡片不能是同一种颜色”是指“两种颜色或三种颜色”都满足要求．(2)选择恰当分类标准，避免重复遗漏，出现“至少、至多”型问题，注意间接法的运用．【自主体验】1．(·大纲全国卷改编)有5人排成一行参观英模事迹展览，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种(用数字作答)．解析先把除甲、乙外的3人全排列，有A33种，再把甲、乙两人插入这3人形成的四个空位中的两个，共A24种不同的方法．∴所有不同的排法共有A24·A33＝72(种)．答案722．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．解析第一类：恰有三个相同的数字为1，选2,3,4中的一个数字排在十、百、千位的一个位置上，有C13·A13种方法，四位“好数”有9个．第二类：相同的三个数字为2,3,4中的一个，这样的四位“好数”为2221,3331,4441共3个．由分类加法计数原理，共有“好数”9＋3＝12个．答案12基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为()．A．C34·C44B．C38－C34C．2C14·C24＋C34D．C38－C34＋1解析从8个点中任选3个点有选法C38种，因为有4点共圆所以减去C34种再加1种，即有圆C38－C34＋1个．答案 D2．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有()．A．120个B．80个C．40个D．20个解析分类讨论：若十位数为6时，有A25＝20个；若十位数为5时，有A24＝12个；若十位数为4时，有A23＝6个；若十位数为3时，有A22＝2个，因此一共有40个．答案 C3．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()．A．18 B．24 C．30 D．36解析四名学生中有两名学生恰好分在一个班，共有C24A33种分法，而甲、乙被分在同一个班的有A33种，所以不同的分法种数是C24A33－A33＝30.答案 C4．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()．A．16种B．36种C．42种D．60种解析若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C23A24种方法．由分类加法计数原理知共A34＋C23A24＝60(种)方法．答案 D5．一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为()．A．8 B．12 C．16 D．24解析两名女生站一起有A22种站法，她们与两个男生站一起共有A22A33种站法，老师站在他们的中间则共有A22A33C12＝24(种)站法，故应选D.答案 D二、填空题6．(·大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种(用数字作答)．解析依题意，所有的决赛结果有C16C25C33＝6×5×42×1＝60(种)．答案607．(·杭州调研)四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有________种．解析分两步：先将四名优等生分成2,1,1三组，共有C24种；而后，对三组学生全排三所学校，即进行全排列，有A33种．依分步乘法计数原理，共有N＝C24A33＝36(种)．答案368．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的三位数共有________个．解析在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数，2个偶数，要求三位数各位数字之和为偶数，则两个奇数一个偶数，∴符合条件的三位数共有C23·C12·A33＝36(个)．答案36三、解答题9．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数有多少个？解先在后三位中选两个位置填写数字“0”有C23种方法，再排另两张卡片有A22种方法．又数字“9”可作“6”用，∴四张卡片组成不同的四位数有2C23A22＝12个．10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中．(1)若每个盒子放一球，则有多少种不同的放法？(2)恰有一个空盒的放法共有多少种？解(1)每个盒子放一球，共有A44＝24种不同的放法；(2)法一先选后排，分三步完成．第一步：四个盒子中选一只为空盒，有4种选法；第二步：选两球为一个元素，有C24种选法；第三步：三个元素放入三个盒中，有A33种放法．故共有4×C24A33＝144种放法．法二先分组后排列，看作分配问题．第一步：在四个盒子中选三个，有C34种选法；第二步：将四个球分成2,1,1三组，有C24(即C24C12C11A22)种分法；第三步：将三组分到选定的三个盒子中，有A33种分法．故共有C34C24A33＝144种分法．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有()．A．34种B．48种C．96种D．144种解析程序A有A12＝2种结果，将程序B和C看作元素集团与除A外的元素排列有A22A44＝48种，∴由分步加法计数原理，实验编排共有2×48＝96种方法．答案 C2．(·济南调研)已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()．A．33 B．34 C．35 D．36解析(1)若从集合B中取元素2时，再从C中任取一个元素，则确定的不同点的个数为C13A33.(2)当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C13×1＝C13.(3)当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有C12A33个．∴由分类加法计数原理，共确定不同的点有C13A33＋C13＋C12A33＝33(个)．答案 A二、填空题3．(·重庆卷)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．解析按选派的骨科医生的人数分类：①选1名骨科医生，则有C13(C14C35＋C24C25＋C34C15)＝360(种)，②选2名骨科医生，则有C23(C14C25＋C24C15)＝210(种)，③选3名骨科医生，则有C33C14C15＝20(种)，∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590. 答案590三、解答题4．直线x＝1，y＝x，将圆x2＋y2＝4分成A，B，C，D四个区域，如图用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？解法一第1步，涂A区域有C15种方法；第2步，涂B区域有C14种方法；第3步，涂C区域和D区域：若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有C13种涂法，则D区域有C13种涂法．故共有C15·C14·(4＋C13·C13)＝260种不同的涂色方法．法二共可分为三类：第1类，用五色中两种色，共有C25A22种涂法；第2类，用五色中三种色，共有C35C13C12A22种涂法；第3类，用五色中四种色，共有C45A44种涂法．由分类加法计数原理，共有C25A22＋C35C13C12A22＋C45A44＝260(种)不同的涂色方法.。