可行方向法简介

zoutendijk可行方向法例题摘要：1.介绍zoutendijk 可行方向法2.阐述zoutendijk 可行方向法的应用3.分析zoutendijk 可行方向法的优势和局限性4.总结zoutendijk 可行方向法的重要性正文：1.介绍zoutendijk 可行方向法zoutendijk 可行方向法是一种用于解决运输问题的优化算法，它的核心思想是寻找一条最短路径，使得该路径上的运输成本最小。

这种方法主要应用于物流和运输领域，可以帮助企业有效地规划运输路线，降低运输成本，提高运输效率。

2.阐述zoutendijk 可行方向法的应用zoutendijk 可行方向法在实际应用中具有广泛的应用价值。

例如，在物流配送中，该方法可以帮助企业找到最佳的配送路线，减少运输时间和成本。

在运输规划中，zoutendijk 可行方向法可以协助企业优化运输网络，提高运输能力。

此外，在供应链管理中，该方法也有助于企业降低库存成本，提高库存周转率。

3.分析zoutendijk 可行方向法的优势和局限性zoutendijk 可行方向法具有以下优势：首先，该方法可以快速找到最短路径，计算速度快；其次，zoutendijk 可行方向法可以处理大规模的运输问题，具有较强的实用性；最后，该方法可以有效地降低运输成本，提高运输效率。

然而，zoutendijk 可行方向法也存在一定的局限性。

首先，该方法需要预先设定运输成本，对于不同成本的运输问题，需要分别计算；其次，zoutendijk 可行方向法对于某些特殊情况的运输问题可能无法找到最优解；最后，该方法需要较大的计算资源，对于计算能力有限的企业可能不太适用。

4.总结zoutendijk 可行方向法的重要性总之，zoutendijk 可行方向法是一种重要的运输优化算法，它的应用可以帮助企业降低运输成本，提高运输效率。

最优化可行方向法最优化问题是数学中的一类重要问题，目标在于找到使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。

可行方向法是一种常用的最优化算法，它通过在每个迭代步骤中确定一个可行方向，并将变量值沿该方向进行调整，逐步逼近最优解。

可行方向法的核心思想是从当前解的邻域中选择一个可以改进目标函数的方向。

具体而言，它通过计算目标函数的梯度（或是次梯度）来确定一个可行方向，并沿该方向对解进行调整。

这个过程可以反复迭代，直到满足终止条件为止。

在可行方向法中，选择合适的可行方向是一个关键问题。

一种常用的方法是梯度下降法，它使用目标函数的梯度方向作为可行方向，以减小目标函数的值。

另一种常用的方法是牛顿法，它使用目标函数的海森矩阵（Hessian Matrix）作为可行方向，以更快地逼近最优解。

可行方向法的具体步骤如下：1.初始化变量的取值。

2.计算目标函数在当前解的梯度或次梯度。

3.判断是否满足终止条件。

如果满足，结束迭代，输出当前解；否则，继续下面的步骤。

5.根据可行方向，计算变量的调整量。

6.更新变量的取值。

7.转到步骤2可行方向法的收敛性分析是一个重要的研究课题。

对于一般的最优化问题，如果目标函数是Lipschitz连续可微的，并且可行解集是非空、有界的，则可行方向法在有限步后可以找到一个近似最优解。

但对于非凸问题或非平滑问题，可行方向法的收敛性可能会有所不同。

除了梯度下降法和牛顿法外，可行方向法还有其他的变种，如共轭梯度法、拟牛顿法等。

这些方法在选择可行方向和调整变量值的方式上有所差别，但其基本思想仍然是寻找使目标函数得以改进的方向。

在实际应用中，可行方向法通常结合其他算法一起使用，以充分发挥各种算法的优势。

例如，可以使用可行方向法寻找一个大致的最优解，然后再使用更精确的算法对该解进行优化。

总之，可行方向法是一种重要的最优化方法，它通过选择合适的可行方向来逼近最优解。

尽管不同的变种方法有所差异，但它们的核心思想都是通过迭代调整变量值来逐步逼近最优解。

可行方向法摘要可行方向法是求解最优化问题的重要方法，在可行方向法求解过程中，一般需要构造一个求解可行下降方向的子问题，而可行方向法的不同取决于所采用的求解可行下降方向的子问题，它具有如下特点：迭代过程中所采用的搜索方向为可行方向，所产生的迭代点列是中在可行域内，目标函数值单调下降，由此可见，很多方法都可以归入可行方向法一类，本文主要介绍Frank-Wolf 方法。

一、问题形式min ().. 0f x Ax b s t x ≥⎧⎨≥⎩ （11.1）其中A 为m n ⨯矩阵，m b R ∈，n x R ∈。

记{},0,n D x Ax b x x R =≥≥∈并设()f x 一阶连续可微。

二、算法基本思想D 是一个凸多面体，任取0x D ∈，将()f x 在0x 处线性展开 000()()()()()T L f x f x f x x x f x ≈+∇-= 用min ().. 0L f x Ax b s t x ≥⎧⎨≥⎩ 或 0min ().. 0T f x xAx b s t x ∇≥⎧⎨≥⎩ （11.2）逼近原问题，这是一个线性规划问题，设0y D ∈是其最优解。

1）若000()()0T f x y x ∇-=，则0x 也是线性规划问题（11.2）的最优解，此时可证0x 为原问题的K-T 点。

2）若000()()0T f x y x ∇-≠，则由0y 是（11.2）的最优解，故必有0000()()T T f x y f x x ∇<∇从而 000()()0T f x y x ∇-<即00y x -为()f x 在0x 处的下降方向，沿此方向作有约束的一维搜索 00001min (())f x y x λλ≤≤+-设最佳步长因子为0λ，令100000000()(1)()x x y x y x D λλλ=+-=+-∈当λ充分小时100000001()min (())(())f x f x y x f x y x λλλ≤≤=+-≤+-00000()()()()()T f x f x y x o f x λλ=+∇-+< 用1x 取代0x ，重复以上计算过程。

第五节 可行方向法（FDM ）可行方向法是用梯度去求解约束非线性最优化问题的一种有代表性的直接探索方法，也是求解大型约束优化设计问题的主要方法之一。

其收敛速度快，效果较好，适用于大中型约束最优化问题，但程序比较复杂。

可行方向法(Feasible Direction Method)是一种直接搜索方法，其搜索方向的获取利用了目标函数和约束函数的梯度信息。

用目标函数的梯度可以得到目标函数值的下降方向，而利用约束函数的梯度则可以得到可行的搜索方向。

因此，可行方向法的搜索方向实质上是既使目标函数值下降，同时又可行的方向，即可行下降方向。

满足这一条件的方法就称为可行方向法。

一、基本原理当求解目标函数的极小值min () ..()0 1,2,3,nu f X X R s t g X u m ⎧∈⎨≤=⎩ 当设计点()k X 处于起作用约束i g 上时，下降可行方向S 必须同时满足条件： ()0T k i S g X ∇≤()0T k S f X ∇<由于于多数非线性规划的最优点都处在可行区的约束边界上或者几个约束边界的交点上，因此最优搜索如能沿着约束边界附近进行，就有可能加速最优化搜索的进程。

按照这一基本思路，在任意选定—初始点后到最后得到最优点必须解决三个问题： 一是如何尽快使最优搜索从初始点到达约束边界二是到达边界后怎样判断所找到的边界点是否是最优点；三是如果边界点经判断不是最优点，那么下一步应如何进行最优搜索。

二、如何从初始点尽快到达边界在任意选定初始点0X 之后，首先判断0X 是否为可行点，若是可行点，则选择目标函数的负梯度方向作为下一步的搜索方向。

若是非可行点，则选择目标函数的梯度方向为搜索方向。

搜索的步长可采用试探的方法逐步缩小，直到最后到达边界。

如图5-13表示了初始点为可行点时的搜索过程。

从初始点0X 出发沿0()f X -∇方向，取步长为t ，进行搜索，得到1X100()X X t f X =-∇若1X 仍在可行区内，则把步长加大一倍继续搜索得到2112()X X t f X =-∇若1X 仍在可行区内，则把步长再加大一倍继续搜索，如此方法得到新点只要仍在可行区内，则加大步长只到得到的点进入非可行区。

topkis-veinott修正的可行方向法Topkis-Veinott修正的可行方向法，也称为修正后的协作算法，是一种在线性规划中处理约束条件的方法。

该方法旨在解决传统协作算法在面对一些特定情况下产生错误的问题，通过引入可行方向的概念，进一步提高了算法的可靠性。

在传统的协作算法中，每次都优化所有变量，然后割平不满足约束的变量，直到没有变量需要割平为止。

但是，在某些情况下，这种方法可能会导致割平变量后不满足原有的约束条件，因而产生错误解。

这时，Topkis-Veinott修正的可行方向法就可以派上用场，它在每次迭代时先确定一个可行方向，然后割平与此方向不符的变量。

按照约束条件的凸性分为以下两种情况：一、当约束条件全部为凸集时。

假设当前的可行点为x，对于任意一个约束条件c_i，它都可以定义为：c_i: a_i * x >= b_i其中，a_i是约束条件的系数，b_i是约束条件的右端值。

此时，可行方向d应满足：a_i * d <= 0, if a_i * x = b_ia_i * d >= 0, if a_i * x < b_ia_i * d <= 0, if a_i * x > b_i简单来说就是，d要满足与x在c_i上平行，且朝x可行的方向。

二、当约束条件不全部为凸集时。

假设当前的可行点为x，将所有凸约束条件组成的子集记作C，将所有非凸约束条件组成的子集记作D，那么可行方向d应满足：1.如果D是空集，那么d必须满足C中任意一个凸约束条件的可行方向2.如果D非空，那么d首先要满足与x在C中任意一个凸约束条件上平行，然后朝着满足D条件的最大步长走在这个过程中，步长的计算方法与标准协作算法相同，都是取能够使约束条件得到最快改善的最小步长。

与此同时，可行方向也可以根据当前解的类型而进行调整：-当当前解为顶点时，可行方向可以任意选取且都是可行的。

-当当前解不是顶点时，可行方向只需在可行域内即可，具体方向可以根据改善速率选取。

最速下降法：算法简单，每次迭代计算量小，占用内存量小，即使从一个不好的初始点出发，往往也能收敛到局部极小点。

沿负梯度方向函数值下降很快的特点，容易使认为这一定是最理想的搜索方向，然而事实证明，梯度法的收敛速度并不快．特别是对于等值线（面）具有狭长深谷形状的函数，收敛速度更慢。

其原因是由于每次迭代后下一次搜索方向总是与前一次搜索方向相互垂直，如此继续下去就产生所谓的锯齿现象。

从直观上看，在远离极小点的地方每次迭代可能使目标函数有较大的下降，但是在接近极小点的地方，由于锯齿现象，从而导致每次迭代行进距离缩短，因而收敛速度不快.牛顿法：基本思想：利用目标函数的一个二次函数去近似一个目标函数，然后精确的求出这个二次函数的极小点，从而该极小点近似为原目标函数的一个局部极小点。

优点 1. 当目标函数是正定二次函数时，Newton 法具有二次终止性。

2. 当目标函数的梯度和Hesse 矩阵易求时，并且能对初始点给出较好估计时，建议使用牛顿法为宜。

缺点：1. Hesse 矩阵可能为奇异矩阵，处理办法有：改为梯度方向搜索。

共轭梯度法：优点：收敛速度优于最速下降法，存贮量小，计算简单.适合于优化变量数目较多的中等规模优化问题.缺点：变度量法：较好的收敛速度，不计算Hesse 矩阵1．对称秩1 修正公式的缺点（1）要求( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k k k T k y B s s − ≠0（2）不能保证B ( k ) 正定性的传递2．BFGS 算法与DFP 算法的对比对正定二次函数效果相同，对一般可微函数效果可能不同。

1） BFGS 算法的收敛性、数值计算效率优于DFP 算法；（2） BFGS 算法要解线性方程组，而DFP 算法不需要。

基本性质：有效集法：算法思想：依据凸二次规划问题的性质2，通过求解等式约束的凸二次规划问题，可能得到原凸二次规划问题的最优解。

有效集法就是通过求解一系列等式约束凸二次规划问题，获取一般凸二次规划问题解的方法。

最优化可行方向法
最优化可行方向法（Optimal Feasible Direction Method）是一种优化技术，它主要用于解决有约束条件的线性优化问题，在互联网行业应用较为广泛。

基本思想是通过比较和判断，从当前的可行解中确定国家愿望最大的那个方向。

算法的核心步骤是先设定一个初始计算点，然后确定可行区域的边界矢量，根据给定的目标函数最大化，确定一个最优化可行方向。

在这个方向上的移动调整计算决策，直至收敛。

最优化可行方向法是用来解决线性规划问题的理想工具，它能够很好地去处理
复杂的约束条件优化。

此外，这种方法具有计算简便、容易操作等优点，在求解线性规划问题上能够提高计算效率。

由于最优化可行方向法具有这些优点，在现代电子商务中有广泛应用。

比如，
亚马逊等购物平台使用这种优化方法，进行订单路径规划或仓库调度安排，以时间和金钱效率兼顾的的最佳效果完成任务；同时，在搜索引擎市场中，最优化可行方向法也在提高搜索引擎的内部计算精度上发挥着重要作用。

总的来说，最优化可行方向法在互联网行业是一种重要的优化算法，可以有效
地解决复杂的约束优化问题，并且广泛应用于实际项目中，为多种类型的行业和企业增加效率。

第7章约束问题的优化方法第一节可行方向法第一节可行方向法一、可行方向法的基本思想可行方向法可看作无约束下降迭代算法的自然推广：从可行点出发，沿着下降可行方向进行搜索，求出使目标函数值下降的新的可行点。

考虑最简单的情况，只含线性约束的非线性规划：（1）为非线性函数，。

若所有约束都是线性约束，则优化问题（1）的可行方向集、线性化可行方向集以及序列化可行方向集是等同的。

对于线性约束的非线性规划问题。

搜索方向选择方式不同形成不同的可行方向法：（1）Zoutendijk可行方向法（2）Rosen梯度投影法（3）Wolfe既约梯度法可行方向的判定：定理1：设是问题（1）的可行解，在点处有，，其中则非零向量为处的可行方向的充要条件是证明——必要性：设非零向量是处的可行方向。

根据可行方向的定义，，使得对每个，有为可行点，因此，，，即由于，因此，。

又由，以及，得到。

充分性：设，。

由于，则，使得对于所有的，成立。

根据假设及，得到。

上述两式组合起来就是。

又由及可知表明是可行点，因此是处的可行方向。

二、Zoutendijk可行方向法（一）Zoutendijk子问题根据定理1，如果非零向量同时满足，，，则是处的下降可行方向。

Zoutendijk子问题给出了一个搜索方向：（2）问题（2）的意义就是：保证可行移动的同时，寻找一个下降最快的方向。

显然是可行解，因此目标函数最优值必定小于或等于零。

若目标函数最优值小于零，则得到下降可行方向；否则，目标函数最优值为零，是KKT点。

定理2：考虑问题（1），设是可行解，在点处有，，其中。

则为KKT点的充要条件是问题（2）的目标函数最优值为零。

（二）一维搜索步长的确定设为处一个下降可行方向，则迭代公式：的取值原则（1）保持迭代点的可行性；（2）使目标函数值尽可能减小。

根据上述原则，可以通过求解一维搜索问题来确定步长：（3）由于是可行方向，因此（3）式中等式约束自然成立，可以不再考虑。

而点处的不等式约束可分为起作用约束和不起作用约束：，。