浙教版初中数学八年级下册 4.1.1 多边形导学案测试题)

第4章平行四边形4.1多边形(1)A练就好基础基础达标)1．已知一个多边形有两条对角线，那么这个多边形是(A)A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形2．在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶4∶5，则∠C等于(C)A．60°B．100°C．120°D．150°3．在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝160°，∠B比∠D大60°，则∠B为(D)A．70°B．80°C．120°D．130°4．在四边形的内角中，直角最多可以有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个5．以线段a＝7，b＝8，c＝9，d＝11为边作四边形，可作(D)A．1个B．2个C．3个D．无数个6．2017·宜昌如图所示，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是(B)A．①②B．①③C．②④D．③④7．已知∠1＝48°，∠2的两边分别与∠1的两边垂直，则∠2＝(D)A．48°B．132°C．42°D．48°或132°8．一副三角板如图放置，若∠1＝35°，则∠2的度数为__80°__．9．在四边形ABCD中，∠D＝60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．【答案】∠A＝70°，∠B＝90°，∠C＝140°.10．如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，∠C＝∠ADC.(1)求证：AB∥CD.(2)若∠ADC－∠A＝60°，过点D作DE ADE是哪种特殊三角形，并说明理由．解：(1)证明：∵∠A＝∠B，∠C＝∠ADC，且∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＝360°，∴2∠B＋2∠C＝360°，∴∠B＋∠C＝180°，∴AB∥CD.(2)△ADE是正三角形．理由如下：由∠ADC＋∠A＝180°和∠ADC－∠A＝60°，得∠A ＝60°.∴∠B ＝∠A ＝60°.∵DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠B ＝∠A ＝60°， 即△ADE 是正三角形．B 更上一层楼 能力提升11．在四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D ＝1∶2∶3∶4，则相邻的外角之比为( D ) A ．1∶2∶3∶4 B ．2∶1∶3∶4 C ．3∶4∶2∶1 D ．4∶3∶2∶112．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B 上，∠AED ＝60°，则一定有( D )A ．∠ADE ＝20°B ．∠ADE ＝30°C ．∠ADE ＝12∠ADCD ．∠ADE ＝13∠ADC13．如图所示，在四边形ABCD 中，O 点在AD 上，且OB 平分∠ABC ，OC 平分∠BCD .若∠BOC ＝120°，则∠A ＋∠D 的大小是__240°__．14．如图所示，在四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与AD ，BC 相交于E ，F 两点，FG ⊥BE 于点G ，∠1与∠2之间有怎样的数量关系？为什么？解：∠1＝∠2，理由：∵∠A ＝∠C ＝90°，根据四边形的内角和， 得∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∵BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，∴∠EBC ＝12∠ABC ，∠2＝12∠ADC ，∴∠EBC ＋∠2＝12(∠ABC ＋∠ADC )＝90°.∵FG ⊥BE ，∴∠FGB ＝90°，∴∠1＋∠EBC ＝90°，∴∠1＝∠2.C 开拓新思路 拓展创新15．在四边形ABCD 中，∠BAD 的角平分线与边BC 交于点E ，∠ADC 的角平分线交直线AE 于点O .(1)若点O 在四边形ABCD 的内部：①如图1，若AD ∥BC ，∠B ＝40°，∠C ＝70°，则∠DOE ＝__125°__；②如图2，试探索∠B ，∠C ，∠DOE 之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．(2)如图3，若点O 在四边形ABCD 的外部，请你直接写出∠B ，∠C ，∠DOE 之间的数量关系．解：(1)①∵AD ∥BC ，∠B ＝∴∠BAD＝140°，∠ADC＝110°.∵AE，DO分别平分∠BAD，∠CDA，∴∠OAD＝70°，∠ODA＝55°，∴∠DOE＝∠OAD＋∠ODA＝125°；故答案为125.②∠B＋∠C＋2∠DOE＝360°.理由：∵∠DOE＝∠OAD＋∠ADO，∵AE，DO分别平分∠BAD，∠CDA，∴2∠DOE＝∠BAD＋∠ADC.∵∠B＋∠C＋∠BAD＋∠ADC＝360°，∴∠B＋∠C＋2∠DOE＝360°.(2)∠B＋∠C＝2∠DOE，理由：∵∠BAD＋∠ADC＝360°－∠B－∠C，∠EAD＋∠ADO＝180°－∠DOE，∵AE，DO分别平分∠BAD，∠CDA，∴∠BAD＝2∠EAD，∠ADC＝2∠ADO，∴∠BAD＋∠ADC＝2(∠EAD＋∠ADO)，∴360°－∠B－∠C＝2(180°－∠DOE)，∴∠B＋∠C＝2∠DOE.。

4.1多边形（1）
班级＿＿＿姓名＿＿＿＿第＿＿小组
课前预习（预习课本76 、77页）
【教学目标】
1．理解四边形的有关概念
2．掌握四边形内角和定理及证明及简单应用
3．把四边形问题转化为三角形问题来解决的化归思想
1、了解和掌握概念：
◆多边形：
◆多边形的内角
◆多边形的外角：
◆多边形的顶点
◆多边形的对角戏：
2、掌握定理：
◆四边形的内角和定理：
◆你能用几种方法说明该定理？
◆定理的应用（例1）
尝试作业：77页作业题1
课内练习
77页课内练习1、
78页作业题3、
78页作业题4、
78页作业题5、
【尝试梳理】梳理一下这节课你学到的知识，并说说你的困惑.。

第4章平行四边形4．1 多边形(一)1．已知四边形各内角的度数的比为1∶2∶3∶4，则各内角的度数分别为36°，72°，108°，144°．2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝95°，∠D＝100°，外角∠ABE＝70°，则∠ABC＝__110°__，∠C＝__55°__．(第2题)(第3题)3．用四块形状一样的小四边形木板可以拼成一块面积较大的木板(如图所示)，这利用了四边形的什么性质？答：四边形的内角和为360°．4．若一个多边形共有14条对角线，则它是七边形．5．(1)在四边形ABCD中，若∠A的两条边与∠C的两条边互相垂直，且∠A－∠C＝60°，则∠A ＝__120°__，∠B＝__90°__，∠C＝__60°__，∠D＝__90°__．(2)在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝80°；在△PQM中，∠P＝90°，∠Q＝37°，∠M＝53°，且BC＝QM.现将它们拼成一个四边形，则这个四边形内角的最大值为117°或133°．(第6题)6．如图，在四边形ABCD中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则∠1＋∠2等于(B) A．150°B．230°C．250°D．270°7．已知在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶4∶1∶5，求四边形ABCD的四个内角的度数．【解】设∠C＝x，则∠A＝2x，∠B＝4x，∠D＝5x.∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∴2x＋4x＋x＋5x＝360°，解得x＝30°.∴∠A＝2x＝60°，∠B＝4x＝120°，∠C＝x＝30°，∠D＝5x＝150°.8．若一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．【解】设这个多边形的边数为n，则n（n－3）＝n，2解得n1＝5，n2＝0(舍去)．∴这个多边形的边数为5.(第9题)9．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ，∠C ＝∠ADC. (1)求证：AB ∥CD.(2)若∠ADC －∠A ＝60°，过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E. 请判断△ADE 是哪种特殊三角形，并说明理由.【解】 (1)∵∠A ＝∠B ，∠C ＝∠ADC ，∴∠B ＋∠C ＝12(∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC)＝180°，∴AB ∥CD.(2)△ADE 是等边三角形．理由如下： ∵AB ∥CD ，∴∠ADC ＋∠A ＝180°. 又∵∠ADC －∠A ＝60°， ∴∠A ＝60°. ∵DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠B ＝∠A ＝60°， ∴△ADE 是等边三角形．(第10题)10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠C＝45°，BC＝4，AD＝2，求四边形ABCD 的面积．【解】延长BA，CD交于点E.∵∠B＝90°，∠C＝45°，∴∠E＝∠C＝45°，∴BE＝BC＝4.∵∠ADC＝90°，∴∠DAE＝∠ADC－∠E＝45°＝∠E，∴DE＝AD＝2，∴S四边形ABCD＝S△EBC－S△EAD＝12×4×4－12×2×2＝8－2＝6.(第11题)11．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD＝BD，则∠BCD等于(D)A. 100°B. 120°C. 135°D. 150°【解】∵AB＝AC＝AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC，∴∠BAD＝60°.∵∠BAD＋∠ADC＋∠BCD＋∠ABC＝360°，∴∠ADC＋∠BCD＋∠ABC＝300°，∴2∠BCD＝300°，∴∠BCD＝150°.12．如图，在四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长分别为2，2，23，2，且AB⊥BC，求∠BAD 的度数和四边形ABCD的面积．(第12题)【解】 连结AC.∵AB ＝BC ＝2，∠B ＝90°， ∴AC ＝22，∠BAC ＝45°. 又∵AD ＝2，CD ＝23， ∴AC 2＋AD 2＝CD 2， ∴∠DAC ＝90°.∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝45°＋90°＝135°， S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12×2×2＋12×22×2 ＝2＋2 2.13．(1)如图①，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G 的度数.(第13题)(2)如图②，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的度数．【解】(1)在四边形BCDM中，∠C＋∠B＋∠D＋∠BMD＝360°，在四边形MEFN中，∠MNF＋∠EMN＋∠E＋∠F＝360°.∵∠MNF＝∠A＋∠G，∠BMD＋∠EMN＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝360°＋360°－180°＝540°.(2)∵∠7＝∠1＋∠5，∠8＝∠4＋∠6，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝∠2＋∠3＋∠7＋∠8＝360°.14．在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的数量关系．(1)如图①，∠A与∠B的数量关系是相等；如图②，∠A与∠B的数量关系是互补；对于上面两种情况，请用文字语言叙述：在同一平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的数量关系是相等或互补．(2)请选择图①或图②的其中一种进行证明．(第14题)【解】(2)以选图②为例：∵四边形的内角和等于360°，∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠A＋∠B＝360°－90°－90°＝180°，∴∠A与∠B的数量关系是互补．15．我们把能平分四边形面积的直线称为好线，利用下面的方法，可以得到四边形的好线：如图①，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连结OA，OC，显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于点E，连结AE，则直线AE即为一条好线．(1)试说明直线AE是好线的理由．(2)如图②，AE为一条好线，F为AD上一点，请作出经过点F的好线，并对画图过程作适当的说明(不需要说明理由)．(第15题) 【解】(1)∵OE∥AC，∴S△AOE＝S△COE(同底等高)，∴S△AED＝S△AOD＋S△DOE＋S△AOE＝S△AOD＋S△DOE＋S△COE＝S△AOD＋S△COD＝12S四边形ABCD，∴直线AE是好线．(第15题解)(2)如解图，连结EF，过点A作AG∥EF，交CD于点G，连结FG，则FG就是好线．。

A 练就好基础4.1多边形 (2)基础达标1．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是(A)A ．四边形B．五边形C．六边形 D ．八边形2．十边形的内角和为 ( B)A ．1260°B． 1440°C． 1620° D ． 1800°3．下面哪一个度数是某个多边形的内角和( C)A ．270°B ． 630°C． 720° D ． 1920°4．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为( C )A ．6 B． 7C． 8 D． 95．过某个多边形一顶点的所有对角线，将这个多边形分成了 5 个三角形，则这个多边形是 ( C )A ．五边形B．六边形C．七边形 D ．八边形6．从多边形一个顶点出发共可画3 条对角线，这个多边形是__六 __边形．7．若两个多边形的边数之比是1∶2，内角和度数之比为1∶ 3，则这两个多边形的边数分别是4， 8 ．8．如图所示，在五边形 ABCDE 中，∠ A＋∠ B＋∠ E＝ 300°， DP， CP 分别平分∠ EDC，∠ BCD ，则∠ P＝__60°__．9．如图所示，∠ 1 是五边形ABCDE 的一个外角，若∠1＝65°，则∠ A＋∠ B＋∠ C＋∠ D ＝ __425° __．10．如图所示，在五边形 ABCDE 中， AE⊥ DE，垂足为点 E，∠ D＝ 150°，∠ A＝∠ B，∠ B－∠ C＝ 60°，求∠A 的度数．【答案】∠ A 是 120° .B更上一层楼能力提升11．将图 1 中五边形纸片 ABCDE 的 A 点以 BE 为折线往下折， A 点恰好落在 CD 上，如图 2 所示，再分别以图 2 的AB，AE 为折线，将 C，D 两点往上折，使得 A， B，C，D，E 五点均在同一平面上，如图 3 所示，若图 1 中∠ A＝124°，则图 3 中∠ CAD 的度数为 ( D )A ．56° B． 60° C．62° D ．68°12． 2018 ·南京如图，五边形 ABCDE 各个内角的度数相等．若l 1∥ l2，则∠ 1－∠ 2＝ __72° __．13．已知 n 形木板的一个外角与其内角和的和 660°，当木工傅掉木板的一个角后，所得的多形的内角和__360°或 540°或 720° __．14．如所示，一精密的模板中， AB， CD 的延相交成 80°的角，因交点不在模板上，不便量，得∠ BAE＝124°，∠ DCF ＝ 155°， AE⊥ EF ， CF⊥ EF ，此 AB， CD 的延相交成的角是否符合定？什么？第 14第 14 答解： AB 与 CD 的延交于点G，如．∠ A＋∠ E＋∠ F＋∠ C＋∠ G＝ 540° .∵AE⊥ EF， CF ⊥ EF，∴∠ E＝∠ F＝ 90° .∵∠ BAE＝124°，∠ DCF ＝ 155°，∴∠ G＝ 540°－ (124°＋ 155°＋ 90°× 2)＝ 540°－ 459°＝ 81° .∵ 81°≠ 80°，∴不符合定．15．已知 n 形的内角和θ＝(n－2)× 180° .(1)甲同学，θ能取 360°；而乙同学，θ也能取630° .甲、乙的法？若，求出数n；若不，明理由．(2)若 n 形 (n＋ x)形，内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.解： (1) ∵ 360°÷ 180°＝ 2， 630°÷ 180°＝ 3⋯⋯ 90°，∴甲的法，乙的法不．360°÷ 180°＋ 2＝ 2＋ 2＝4.∴甲同学的数n 是 4.(2)依意，有(n＋ x－ 2)× 180°－ (n－ 2)× 180°＝ 360°，解得 x＝2.故 x 的是 2.C开拓新思路拓展新16．和数学小的同学研究多形角的相关，邀你也加入其中．仔察下面的形和表格，并回答下列：多形的点数4567⋯n从一个点出的1234⋯①角的条数多形角的25914⋯②条数(1) 【察探究】自己察上面的形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中：①____________；② ________；(2)【实际应用】 数学社团共分为 6 个小组，每组有 3 名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学 之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，大年初一数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？(3)【类比归纳】 乐乐认为 (1) 、 (2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你 的发现． 解： (1) 由题可得，当多边形的顶点数为 n 时，从一个顶点出发的对角线的条数为n － 3，多边形对角线的总条数为 1n( n －3) ；21答案： n － 3， n(n －3) ；2(2)∵ 3× 6＝ 18，1× 18× (18－ 3) ＝135(个 )；∴大年初一数学社团的同学们一共将拨打电话2(3)每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有 n 个顶点；每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打(n － 3)个电话；两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为12n(n － 3) ；数学社团有 18 名同学，当 n ＝ 18 时， 1× 18× (18－ 3)＝ 135.2。

4.1 多边形（第1课时）A组基础训练1. 四边形ABCD中，∠A=80°，∠B=130°，∠C=60°，则∠D=（）A. 80°B. 120°C. 90°D. 110°2. 四边形中有一组邻角是直角，则另一组邻角（）A．都是钝角 B．都是直角 C．都是锐角 D．互补3. 四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B-∠D=20°，则∠B的度数为（）A. 60°B. 80°C. 100°D. 120°4. 四边形ABCD中，AD∥BC，那么它的四个内角之比∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能是（）A. 1∶2∶4∶5B. 2∶1∶5∶4C. 4∶2∶1∶5D. 5∶2∶4∶15．（宜昌中考）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（）A．①② B．①③ C. ②④ D．③④6. 四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，与∠A相邻的外角为72°，则∠C= .7. 在四边形ABCD中，∠A=90°，∠B∶∠C∶∠D=2∶2∶5，则∠D= .8. 一个四边形中，最少有个锐角，最多有个锐角．9. 一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为 .10. 如图，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B+∠C=220°，则∠E的度数为.11. 在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小.12. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC. 求证：BE∥DF.13. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠B，∠C=∠ADC，DE∥BC，且∠ADC-∠A=60°，求证：△ADE是正三角形.B组自主提高14. 如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD=BD，则∠BCD等于（）A．100° B．120° C．135° D．150°15. 一个四边形的一对内角互补，且相邻三个内角的度数之比为2∶3∶7．则这个四边形的四个内角分别为．16. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A∶∠C=1∶2，AB=2，CD=1.求：（1）∠A，∠C的度数；（2）AD，BC的长度；（3）四边形ABCD的面积.17. 四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°.（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；（2）如图2，若∠ABC的角平分线交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数.参考答案1—5. CDCCB6. 72°7. 150°8. 0 39. 4π 10. 70°11. 解：设∠A=x ，则∠B=x+20°，∠C=2x. 根据四边形的内角和定理得x+（x+20°）+2x+60°=360°. 解得x=70°. ∴∠A=70°，∠B=90°，∠C=140°.12. 解：∵BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C ，∴∠C+∠2+∠4=180°.又∵△CDF 中，∠C+∠4+∠5=180°，∴∠2=∠5，∴BE ∥DF.13. 解：∵DE ∥BC ，∴∠AED=∠B. ∵∠A=∠B ，∴∠A=∠AED ，∴AD=DE. 又∵∠A=∠B ，∠C=∠ADC ，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，∴∠A+∠ADC=180°. 又∵∠ADC-∠A=60°，∴∠A=60°，∴△ADE 是正三角形.14. D 15. 40°，60°，140°，120°或36°，54°，126°，144°16. 解：（1）∵∠B=∠D=90°，∠A+∠C+∠B+∠D=360°，∴∠A+∠C=180°. 又∠A ∶∠C=1∶2， ∴∠A=60°，∠C=120°.（2）延长BC ，AD 交于点E ，∵∠A=60°，∴∠E=30°，∴AE=2AB=4，EC=2CD=2.∴BE=22AB AE -=23，DE=22CD EC -=3. ∴AD=AE-DE=4-3，BC=BE-EC=23-2.（3）S 四边形ABCD =S △ABE -S △ECD =21×2×23-21×1×3=23-23=233.17.解： （1）在四边形ABCD 中，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，又∠A=140°，∠D=80°，∠B=∠C ，∴140°+∠C+∠C+80°=360°，即∠C=70°.（2）∵BE ∥AD ，∠A=140°，∠D=80°，∴∠BEC=∠D ，∠A+∠ABE=180°，∴∠BEC=80°，∠ABE=40°. ∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠EBC=∠ABE=40°，∴∠C=180°-∠EBC-∠BEC=180°-40°-80°=60°.（3）在四边形ABCD 中，有∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，∠A=140°，∠D=80°，∴∠ABC+∠BCD=140°，从而有21∠ABC+21∠BCD=70°. ∵∠ABC 和∠BCD 的角平分线交于点E ， ∴∠EBC=21∠ABC ，∠ECB=21∠BCD. 故∠BEC=180°-（∠EBC +∠ECB ）=180°-（21∠ABC+ 21∠BCD ）=180°-70°=110°.4.1 多边形（第2课时）A组基础训练1. 若一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形2. 从n边形的一个顶点出发作对角线，把这个n边形分成的三角形个数是（）A. nB. n-1C. n-2D. n-33. 当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（）A. 都不变B. 内角和增加180°，外角和不变C. 内角和增加180°，外角和减少180°D. 都增加180°4．（苏州中考）如图，在正五边形ABCDE中，连结BE，则∠ABE的度数为（）A．30° B. 36° C. 54° D. 72°5. 一个多边形截去一个内角后，形成另一个多边形的内角和是1980°，则原多边形的边数是（）A. 12B. 13C. 12或13D. 12，13或146. 已知一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的边数是．7. 一个内角和为1800°的多边形可连条对角线.8. （广西中考）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是 . 9．小华从A点出发向前直走50m，向左转18°，继续向前走50m，再向左转18°，他以同样的走法回到A点时，共走了 m.10. 在一个多边形的内角中，最多有锐角个.11. 如图，∠DEA=90°，∠MDE=100°，∠GBC=65°，∠DCH=50°，求∠EAB的度数.12. 两个多边形的边数之比为1∶2，内角和度数之比为1∶3，求这两个多边形的边数.13. 看图（如图）回答问题：（1）内角和为2014°，小明为什么说不可能？（2）小华求的是几边形的内角和；（3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求出吗？是多少度呢？B组自主提高14．一个多边形除一个内角之外，其余各角之和为2570°，则这个内角是．15．如图，在六边形ABCDEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC∥EF.（1）求证：AF∥CD；（2）求∠A＋∠B＋∠C的度数.16. 探索归纳：（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（）A．90° B．135° C．270° D．315°（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝；（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是；（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由.参考答案1—5. ACBBD6. 87. 548. 79. 1000 10. 311. 解：∵∠DEA=90°，∴∠AEN=90°. 又∵∠AEN+∠EAF+∠GBC+∠DCH+∠MDE=90°+∠EAF+65°+50°+100°=360°. ∴∠EAF=55°. 又∵∠EAF+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-∠EAF=125°.12. 解：四边形、八边形.13.解：（1）因为2014°不是180°的整数倍；（2）设小华求的是n边形的内角和，则有（n-2）·180°＜2014°，因为小华多加的外角必小于180°，所以解得n=13；（3）设多加的外角为x°，则有（13-2）×180+x=2014，解得x=34，故多加的外角的度数是34°.14. 130°15. （1）证明：连结CF，AC，∵BC∥EF，∴∠EFC=∠FCB，∵∠BAF=∠D，∠B=∠E，∴∠AFC=∠DCF （四边形的内角和都是360°），∴AF∥CD.（2）∵AF∥CD，∴∠FAC+∠ACD=180°，∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠FAC+∠ACD+∠B+∠BAC+∠ACB=360°，即∠FAB+∠B+∠BCD=360°.16.（1）C （2）220°（3）∠1+∠2=180°+∠A（5）方法一：∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF，∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF）. 又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A.方法二：∵∠1+∠PFE=∠AEF+∠A，∠2+∠PEF=∠AFE+∠A，∴∠1+∠PFE+∠2+∠PEF=∠AEF+∠AFE+2∠A. ∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，∴∠1+∠2=2∠A.。

多边形提高练习题一、选择题1．(2019秋﹒莱山区期末）若正多边形的一个外角是45°,则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为（）A．4B．5C．6D．82．(2020﹒百色模拟）如果一个多边形的内角和比外角和多180°,那么这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形3．下列图形中，是正多边形的是( )A．三条边都相等的三角形B．四个角都是直角的四边形C．四边都相等的四边形D．六条边都相等的六边形4．（2018•莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A.27B.35C.44D.545．一个多边形的内角和与外角和之和为2520°，这个多边形的边数为 ( )A．12 B．13 C．14 D．156．如图所示，已知长方形ABCD ，一条直线将该长方形ABCD 分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M 和N ，则M+N 不可能是 ( )A ．360°B ．540°C ．720°D ．630°7．两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是 ( )A ．∠1与∠2B ．∠2与∠3C ．∠1与∠3D ．三个内角都相等8.从一个n 边形中除去一个角后，其余)1( n 个内角和是2580°，则原多边形的边数是（ ）.A.15B.17C.19D.13二、填空题9．从n 边形的一个顶点出发可作________条对角线，从n 边形n 个顶点出发可作________条对角线，除去重复作的对角线，则n 边形的对角线总数为________条．10．在有对角线的多边形中，边数最少的是________边形，它共有________条对角线．11．（2019•扬州）若多边形的每一个内角均为135°，则这个多边形的边数为 ．12．一个多边形的内角和为5040°，则这个多边形是____边形，共有_____条对角线．13. 将一个宽度相等且足够长的纸条打一个结，如图(1)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝________．三、解答题14． (2019秋﹒浦北县期末）如图，五边形ABCDE中,AE∥CD,∠A＝100°,∠B＝120°．（1）求∠C的度数；（2）直接写出五边形ABCDE的外角和．15．(2019秋﹒永城市期末)(1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC,且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D，若∠ABC＝75°,∠ACB＝45°,求∠D的度数．（2）如图2，在四边形MNCB中，BD平分∠MBC,且与四边形MNCB的外角∠NCE的角平分线交于点D，若∠BMN＝130°,∠CNM＝100°,求∠D的度数．附加题：1.我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰，所以∠BAC＝∠BC A．利用这条性质，解决下面的问题：已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a．如图：正五边形α＝；正六边形α＝；正八边α＝；当正多边形的边数是n时，α＝．2.(2019秋﹒长白县期末）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数；（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图(2),请你求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 的度数；（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B ；2. 【答案】B ；3. 【答案】A ；【解析】正多边形：各边都相等，各角都相等4. 【答案】C ；【解析】解：设这个内角度数为x ，边数为n ，∴（n ﹣2）×180°﹣x=1510，180n=1870+x ，∵n 为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C ．5. 【答案】C ；【解析】由180(2)3602520n -+=，解得：14n =6. 【答案】D ；【解析】当多边形的边数增加1时，内角和增加180°，外角和不变7. 【答案】B ；8. 【答案】B. 【解析】设除去的内角为α，则α+=⋅-οο2580180)2(n ，即21802580++=οοαn ， 又∵n 为整数，∴ο120=α，1721801202580=++=οοοn .二、填空题9.【答案】n-3 n(n-3)(3)2n n -； 10.【答案】四， 2;11．【答案】8；【解析】解：∵所有内角都是135°，∴每一个外角的度数是180°﹣135°=45°，∵多边形的外角和为360°，∴360°÷45°=8，即这个多边形是八边形．故答案为：8．12.【答案】三十，405；13.【答案】36°.【解析】因为正五边形的每个内角是108°，边长相等，所以∠BAC=（180°-108°）÷2=36°．三、解答题14.【分析】（1）根据平行线的性质可得∠D ＋∠E ＝180°,再根据多边形内角和定理即可求解；（2）根据多边形外角和定理可得．【解答】解：（1）∵AE ∥CD ,∴∠D ＋∠E ＝180°,∵五边形ABCDE 中，∠A ＝100°,∠B ＝120°,∴∠C ＝540°－180°－100°－120°＝140°．（2）五边形ABCDE 的外角和是360°．【点评】本题主要考查了多边形内角和定理和外角和定理，解题的关键是利用平行线的性质得到∠D ＋∠E ＝180°．15.【解析】【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角．多边形的内角和∵∠BMN ＝∠ANM ＋∠A ,∠CNM ＝∠AMN ＋∠A ,∴∠A ＝∠BMN ＋∠CNM －180°＝50°,由（1）知∠D ＝12∠A ＝25°． 【点评】此题考查三角形内角和定理以及角平分线性质的综合运用，解此题的关键是求出∠A ＝2∠D ．附加题：1.【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC＝AE，∠ABC＝∠BAE＝108°，∴∠BEA＝∠ACB＝＝36°，∴∠CAE＝108°﹣36°＝72°，∴α5＝180°﹣∠EAO﹣∠AOE＝72°；同理：α6＝60°，α8＝45°，当正多边形的边数是n时，α＝．2. 【解析】解：（1）∵∠1＝∠2＋∠D＝∠B＋∠E＋∠D,∠1＋∠A＋∠C＝180°,∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°;(2))∵∠1＝∠2＋∠F＝∠B＋∠E＋∠F,∠1＋∠A＋∠C＋∠D＝360°,∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°;（3）根据图中可得出规律∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°,每截去一个角则会增加180度，所以当截去5个角时增加了180×5度，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝180×5＋180＝1080°．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角之间的关系．有关五角星的角度问题是常见的问题，其5个角的和是180度．解此题的关键是找到规律利用规律求解．。

浙教版数学八年级下册4.1《多边形》精选练习一、选择题1.下列各图中,是凸多边形的是( )A． B． C． D．2.如图，在正五边形ABCDE中，连结BE，则∠ABE的度数为( )A.30°B.36°C.54°D.72°3.如图,小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分(虚线部分),得到了一个新多边形.若新多边形的内角和为540°,则对应的图形是( )A. B. C. D.4.从六边形的一个顶点出发,可以画出m条对角线,它们将六边形分成n个三角形,则m,n的值分别为( )A.4,3B.3,3C.3,4D.4,45.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是( )A.六边形B.五边形C.四边形D. 三角形6.正十边形的每一个外角的度数为( )A.36°B.30°C.144°D.150°7.下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”(图1)和梅花图案(图2)(图中的折扇无重叠)，则梅花图案中的五角星的五个锐角均为( )A.36°B.42°C.45°D.48°8.已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是( )A.8B.9C.10D.129.如果一个多边形的内角和等于2160°，那么这个多边形的边数是( )A.14B.13C.12D.1110.如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么∠1大小是( )A.8°B.15°C.18°D.28°11.下列命题为真命题的是( )A.直角三角形的两个锐角互余B.任意多边形的内角和为360°C.任意三角形的外角中最多有一个钝角D.一个三角形中最多有一个锐角12.如图，4×4的方格中每个小正方形边长都是1，则S四边形ABCD与S四边形ECDF大小关系是( )A.S四边形ABDC=S四边形ECDFB.S四边形ABDC＜S四边形ECDFC.S四边形ABDC=S四边形ECDF+1D.S四边形ABDC=S四边形ECDF+2二、填空题13.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是 .14.如图，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠E，点F在AB的延长线上，则∠CBF的度数是 .15.如果一个多边形的边数是12，那么这个多边形的外角和为________16.一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则∠MON________度.17.若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是_____边形.18.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于_______度.三、解答题19.已知两个多边形的内角和为1440°，且两多边形的边数比为1：3，求这两个多边形的边数.20.观察下面图形,并回答问题.(1)四边形有条对角线;五边形有条对角线;六边形有条对角线.(2)根据规律七边形有条对角线,n边形有条对角线.(3)为丰富学生的课余生活,合肥市第一中学8个班级之间举行篮球赛活动,如果采取单循环比赛(每两个班级之间只进行一场比赛),则篮球赛共需赛多少场?21.如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB；∠CNB=3∶2.求∠CAB的度数.22.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交CD于E，∠BCD的平分线CF交AB于F，BE、CF相交于O，∠A=124°，∠D=100°.求∠BOF的度数.23.已知从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边形所有对角线的条数，求此多边形的内角和.24.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.(1)如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠B=∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD＋∠D.得∠BPD=∠B－∠D.将点P移到AB，CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；(2)在如图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)；(3)根据(2)的结论求如图④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数.参考答案1.答案为：D2.答案为：D3.答案为：C4.答案为：C5.答案为：A.6.答案为：A7.答案为：D8.答案为：A9.答案为：A10.答案为：C11.答案为：A12.答案为：A.13.答案为：10.14.答案为：72°.15.答案为：360°.16.答案为：8017.答案为：六.18.答案为：30.19.解：设两个多边形的边数分别是x和3x，则(x﹣2)•180+(3x﹣2)•180=1440，解之，得x=3，3x=9.则两个多边形的边数分别为3和9.20.解：2，5，9；14；(3)当n=8时,=20(场),答:篮球赛共需赛20场.21.答案为：36°.22.答案为：68°23.解：设多边形为n边形，由题意，得n﹣2=，整理得：n2﹣5n+4=0，即(n﹣1)(n﹣4)=0，解得：n1=4，n2=1(不合题意舍去)，所以内角和为(4﹣2)×180°=360°.24.解：(1)不成立，结论是∠BPD=∠B＋∠D.证明：延长BP交CD于点E，∵AB∥CD，∴∠B=∠BED，又∵∠BPD=∠BED＋∠D，∴∠BPD=∠B＋∠D(2)∠BPD=∠BQD＋∠B＋∠D(3)由(2)的结论得：∠AGB=∠A＋∠B＋∠E且∠AGB=∠CGD，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=180°.。

4.1多边形浙教版初中数学重点识精选掌握知识点，多做练习题，基础识很重要！浙教版初中数学和你一起共同进步业有成！课题学习目标1.掌握多边形内角和的计算公式；2.掌握多边形外角和为360°；3.会运用多边形的内角和与外角和的性质解决简单的几何问题。

重点难点重点：多边形的内角和的公式与外角和；难点：运用多边形的内角和、外角和解决有关问题。

【课前自学　课堂交流】1.填表：2.根据上表猜想：当多边形的边数为n 时，从某个顶点出发的对角线有 条， 这些对角线可将多边形划分为 个三角形，它的内角和为_________. 二．概括新知１．n 边形的内角和的计算公式为________________________. ２．n 边形的外角和为_______,试说明这个结果的正确性．边数 图形从某个顶点出发的对角线条数 划分成的三角形个数 多边形的内角和3456１．七边形的内角和为__________,外角和为___________. ２．若多边形的内角和为1440°，则它的边数为____________.３．如图，五边形ABCDE 中，AB ∥CD,∠1，∠2，∠3是外角，求∠1+∠2+∠3的度数．四．拓展新知1.一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个顶点），内角和为1980°， 求原多边形的边数．2.四边形、五边形、六边形各有几条对角线？试探究n 边形的对角线条数． 当堂训练 课后作业 反思ABCDE 123相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。

数学思维可以让他们更理性地看待人生。

浙教新版八年级下学期《4.1 多边形》同步练习卷一．填空题（共1小题）1．若一个多边形的对角线条数为9，则这个多边形的边数为．二．解答题（共49小题）2．将数字1，2，3，4，5，6，7，8分别填写到八边形ABCDEFGH的8个顶点上，并且以S1，S2，…，S8分别表示（A，B，C），（B，C，D），…，（H，A，B）8组相邻的三个顶点上的数字之和．（1）试给出一个填法，使得S1，S2，…，S8都大于或等于12；（2）请证明任何填法均不可能使得S1，S2，…，S8都大于或等于13．3．在凸四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＞0，且四个内角中有一个角为84°，求其余各角的度数．4．某单位的地板有三种边长相等的正多边形铺设，一个顶点处每种多边形只用一个，设这三种正多边形的边数分别是x，y，z．求的值．5．某单位的地板由三种边长相等的正多边形铺成，三种多边形是按1：1：1来排列，设这三种正多边形的边数分别为x，y，z，求的值．6．A、B、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法．7．已知正n边形共有n条对角线，它的周长等于p，所有对角线长的和等于q，求的值．8．实践与探索！①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成个三角形；②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成个三角形；③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外个顶点连线可以把n边形分成个三角形（用含n的代数式表示）．④你能否根据这样划分多边形的方法来写出n边形的内角和公式？请说明你的理由．9．已知面积为32cm2的平面凸四边形中一组对边与一条对角线之长的和为16 cm．试确定另一条对角线的所有可能的长度．10．平面上有A、B，C、D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一个三角形的内角不超过45°．11．给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150°？并说明理由．12．（1）如图，在图1中，互不重叠的三角形共有3个，在图2中，互不重叠的三角形共有5个，在图3中，互不重叠的三角形共有7个，…，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有个．（用含n的代数式表示）（2）若在如图4所示的n边形中，P是A1A n边上的点，分别连接P A2、P A3、P A4…P A n﹣1，得到n﹣1个互不重叠的三角形．你能否根据这样的划分方法写出n边形的内角和公式并说明你的理由；（3）反之，若在四边形内部有n个不同的点，按照（1）中的方法可得k个互不重叠的三角形，试探究n与k的关系．13．一个凸n边形，除一个内角外，其余n﹣1个内角的和为2009°，求n边形的边数．14．证明：五边形内角和等于540°．15．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A．（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）16．一个凸n边形，除了一个内角外，其余（n﹣1）个内角的和是2000°，求n 的值．17．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝？18．师傅让徒弟加工一个周长为80cm的多边形工件，要求每个内角都相等，它与相邻外角的比为3：1，求这个多边形的内角和边长．19．某校要用地砖镶嵌艺术教室的地面，可以选择的方案有许多种，请你为其设计．（1）如果在以下形状的地砖中选取一种镶嵌地面，可以选择的有．（填序号）①正方形②正五边形③正六边形④正八边形⑤任意三角形⑥任意四边形（2）如果在正三角形、正方形、正八边形这三种形状的地砖中，任意选取其中的两种，有几种可行的方案？（3）如果在正三角形、正六边形、正方形、正十二边形这四种形状的地砖中，任意选取其中三种，有几种可行的方案？20．现有大小、形状完全相同且足够多的四边形大理石下脚料，能用这些大理石铺设地面吗？请用所学的数学知识说明理由．21．如图是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成．请仔细观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖和镖形砖的内角各是多少度？22．一个凸11边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸11边形各个内角的大小，并画出这样的凸11边形的草图．23．怎样以三角形为基础展铺平面图案．24．怎样以正多边形为基本图形展铺平面图案？25．试用三角形和梯形这两种多边形拼展平面图案．26．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2．探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为P4种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4+P4+P4＝×P4＝×P4＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案，所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分制方案．所以，此类共有P4种分制方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+P5+P5+P5＝P5＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝×P6，共有种不同的分割方案．【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的关系式，不写解答过程）．的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1【应用】用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）27．分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：．（2）从十五边形的一个顶点可以引出条对角线，十五边形共有条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．28．在凸多边形中，四边形的对角线有两条，五边形的对角线有5条，经过观察、探索、归纳，你认为凸九边形的对角线为多少？简单扼要地写出你的思考过程．29．小张升入高中，开学第一天，老师让班级的同学每两个人相互握手，结成好朋友，其中发现所有的同学一共握手820次．我们可以通过这个数据求出班级里的学生人数，设班级共有学生n人，则每一个学生需握手n﹣1次，这样n个学生就握了n（n﹣1）次手，而每两人之间的握手被重复计算了一次，所以可得，这样就可以解出n了．你看明白了没有？（1）请你运用上述方法，探索8边形对角线的条数．并写出你的思路；（2）请你用题目所给方法得出n边形对角线的条数的公式．30．在一个多边形中，一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°．（1）如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数；（2）是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数；如果不存在，请说明理由．31．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE平分∠ADC交AB边于点E，BF平分∠ABC交DC边于点F．求证：DE∥BF．32．已知：四边形ABCD如图所示．（1）填空∠A+∠B+∠C+∠D＝°（2）请用两种方法证明你的结论．33．如图：小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30度，再沿直线前进10米，又向左转30度，﹣﹣﹣﹣﹣照这样走下去，他第一次回到出发点A 点时，一共走了多少米？34．（1）解不等式组：（2）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G．求∠G的度数．35．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线．已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD ＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．（注：已画四边形ABCD的部分图，请你补充完整，再求解）36．若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系．（1）如图1，∠A与∠B的等量关系是；如图2，∠A与∠B的等量关系是；对于上面两种情况，请用文字语言叙述：．（2）请选择图1或图2其中的一种进行证明．37．《天天伴我学数学》一道作业题．如图1：请你想办法求出五角星中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值．由于刚涉及到几何证明，很多学生不知道如何求出其结果．下面是习题讲解时，老师和学生对话的情景：老师向学生抛出问题：①观察图象，各个角的度数能分别求出他们的度数吗，能的话怎么求，不能的话怎么办？学生通过观察回答：很明显每个角都不规则，求不出各个角的度数．有个学生小声的说了句：要是能把这五个角放到一块就好了？老师回答：有想法，就去试试看．很快就有学生发现利用三角形外角性质将∠C和∠E；∠B和∠D分别用外角∠1和∠2表示．于是得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠1+∠2＝180°．根据以上信息，亲爱的同学们，你能求出图2中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的值吗？请给予证明．38．（1）填表：（2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n 之间有怎样的关系？（3）取n＝7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由．39．小明家准备装修厨房，打算铺设如图1的正方形地砖，该地砖既是轴对称图形也是中心对称图形，铺设效果如图2所示．经测量图1发现，砖面上四个小正方形的边长都是4cm，AB＝JN＝2cm，中间的多边形CDEFGHIK是正八边形．（1）求MA的长度；（2）求正八边形CDEFGHIK的面积；（3）已知小明家厨房的地面是边长为3.14米的正方形，用该地砖铺设完毕后，最多形成多少个正八边形？（地砖间缝隙的宽度忽略不计）40．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：用2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）（3）．请你仿照此方法解决下面问题：（1）研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，求出x和y的值（2）按图（4）中给出两个边长相等的正方形和正三角形画出一个密铺后图形的示意图．（画正三角形时必须用尺规作图）41．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．42．为了表示几种三角形之间的关系，画了如图结构图：请你采用适当的方式表示正方形、平行四边形、四边形、菱形、矩形之间的关系．43．为了说明各种三角形之间的关系，小明画了如下知识结构图：请用类似的方法，描述下列概念间的关系：正方形、四边形、矩形、菱形、平行四边形．44．图中字母表示为四边形、平行四边形，矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形从属关系，则字母所代表的图形为：A为，B为，C为，D为，E为，F为，G为，H为．45．（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形，若多边形是一个五边形，则可以分成三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成三角形，……，则n边形可以分割成个三角形．（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2018个三角形，那么此多边形的边数为（3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各定点连接起来，则可将n边形分割成三角形．46．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：（1）观察探究请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①；②；（2）实际应用数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？（3）类比归纳乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．47．阅读下列内容，并答题：我们知道计算n边形的对角线条数公式为，如果有一个n边形的对角线一共有20条，则可以得到方程＝20，去分母得n（n﹣3）＝40；∵n 为大于等于3的整数，且n比n﹣3的值大3，∴满足积为40且相差3的因数只有8和5，符合方程n（n﹣3）＝40的整数n＝8，即多边形是八边形．根据以上内容，问：（1）若有一个多边形的对角线一共有14条，求这个多边形的边数；（2）A同学说：“我求得一个多边形的对角线一共有30条．”你认为A同学说地正确吗？为什么？48．同学们，你们会用画多边形的对角线来解决生活中的数学问题吗？比如，学校举办足球赛，共有5个班级的足球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，根据积分排列名次．问学校一共要安排多少场比赛？我们画出5个点，每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每个队都要与其他各队比赛一场，这样每个点与另外4个点都会有一条线段连接（如右图）．现在我们只要数一数五边形的边数和它的对角线条数就可以了．由图可知，五边形的边数和对角线条数都是5，所以学校一共要安排10场比赛．同学们，请用类似的方法来解决下面的问题：姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好．已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飞飞已握了2次手，红红握手1次，请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手．49．两条直线相交所形成的四个角中，有一个公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角，如图所示，∠AOD与∠BOD就是一对邻补角．（1）多边形的一个外角与其相邻的内角就是一对邻补角，若某多边形的一个外角的度数为x（度），则与该外角相邻的内角度数可用x的代数式表示为；（2）如果设题（1）中的多边形的边数为x，且该外角的度数与其所有不相邻内角的度数之和为460°，则可列二元一次方程为；（3）若某多边形的一个外角的度数与其所有不相邻内角的度数之和为1900°，求这个外角的度数和此多边形的边数．50．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．（1）将下面的表格补充完整：（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝20°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．（3）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝21°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．浙教新版八年级下学期《4.1 多边形》同步练习卷参考答案与试题解析一．填空题（共1小题）1．若一个多边形的对角线条数为9，则这个多边形的边数为6．【分析】根据多边形的对角线公式进行计算即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，则＝9，整理得n2﹣3n﹣18＝0，解得n1＝6，n2＝﹣3（舍去）．所以这个多边形的边数是6．故答案为：6．【点评】本题考查了多边形的对角线，熟记对角线公式是解题的关键．二．解答题（共49小题）2．将数字1，2，3，4，5，6，7，8分别填写到八边形ABCDEFGH的8个顶点上，并且以S1，S2，…，S8分别表示（A，B，C），（B，C，D），…，（H，A，B）8组相邻的三个顶点上的数字之和．（1）试给出一个填法，使得S1，S2，…，S8都大于或等于12；（2）请证明任何填法均不可能使得S1，S2，…，S8都大于或等于13．【分析】（1）首先确定1的位置，1最小，让它的一个相邻的数是最大的数8，再根据三个相邻的数的和应大于或等于12且各个顶点的数都不相等，进行推断；（2）首先根据八组的数的和是104，正确分析出其中至多有四组的数的和大于13，且每一组的数的和都小于或等于14；然后再进一步用设未知数的方法分析．【解答】解：（1）不难验证，如图所示填法满足．s1，s2，…s8都大于或等于12．（2）显然，每个顶点出现在全部8组3个相邻顶点组的3个组中，所以有s1+S2+…+S8＝（1+2+3+…+8）•3＝108．如果每组三数之和都大于或等于13，因13•8＝104，所以至多有108﹣104＝4个组的三数之和大于13．由此我们可得如下结论：1、相邻两组三数之和一定不相等．设前一组为（i，j，k），后一组为（j，k，l）．若有i+j+k＝j+k+l，则l＝i，这不符合填写要求；2、每组三数之和都小于或等于14．因若有一组三数之和大于或等于15，则至多还有另外两个组，其三数之和大于13，余下5个组三数之和等于13，必有相邻的两组相等，这和上述结论（1）不符．因此，相邻两组三数之和必然为13或14．不妨假定1填在B点上，A点所填为i，C点所填为j．1、若S1＝i+1+J＝13，则s2＝1+j+l＝14，S3＝j+l+k＝13，因J＞1，这是不可能的．2、若s l＝i+1+j＝14，则S2＝1+j+（i﹣1）＝13，S3＝j+（i﹣1）+2：14，s4＝（i﹣1）+2+（j﹣1）＝13，这时S5＝14，只能是S＝2+（j﹣1）+i，i重复出现：所以不可能有使得每组三数之和均大于或等于13的填法．【点评】做此题的时候，注意各个顶点的数字不得重复，且每一组的数的和应大于或等于12进行解答．3．在凸四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＞0，且四个内角中有一个角为84°，求其余各角的度数．【分析】可设∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＝x，根据四边形内角和等于360°，分四种情况进行讨论，从而求解．【解答】解：设∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＝x，则∠C＝∠D+x，∠B＝∠D+2x，∠A＝∠D+3x，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝6x+4∠D＝360°，∴∠D+x＝90°．1、∠D＝84°时，x＝4°，∠A＝96°，∠B＝92°，∠C＝88°；2、∠C＝84°时，2x+4∠C＝360°，x＝12°，∠A＝108°，∠B＝96°，∠D＝72°．3、∠B＝84°时，﹣2x+4∠B＝360°，x＝﹣12°，∠A＝72°，∠C＝96°．∠D＝108°，4、∠A＝84°，﹣6x+4∠A＝360°，x＝﹣4，∠D＝96°，∠C＝92°，∠B＝88°．【点评】本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和等于360°，由于四个内角中有一个角为84°，不确定，故应该分类讨论．4．某单位的地板有三种边长相等的正多边形铺设，一个顶点处每种多边形只用一个，设这三种正多边形的边数分别是x，y，z．求的值．【分析】这三种正多边形一个顶点处三个内角的度数之和正好等于360°．【解答】解：由题意可知：++＝360°，∴1﹣+1﹣+1﹣＝2，∴++＝．【点评】此题主要考查了平面镶嵌，解决本题的关键是理解多个多边形镶嵌的条件是：一个顶点处的内角和等于一个周角．5．某单位的地板由三种边长相等的正多边形铺成，三种多边形是按1：1：1来排列，设这三种正多边形的边数分别为x，y，z，求的值．【分析】这三种正多边形一个顶点处三个内角的度数之和正好等于360°．【解答】解：由题意可知：，∴，∴．【点评】解决本题的关键是理解多个多边形镶嵌的条件是：一个顶点处的内角和等于一个周角．6．A、B、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法．【分析】根据游戏要求，以石子散落的距离小者为优胜，制定游戏规则．【解答】解：答案不唯一，如：（1）含5点且以某些点为顶点的凸多边形面积；（2）含5点且以某些点为顶点的凸多边形周长；（3）含5点的最小圆半径；（4）从任意一点引向其余各点的长度之和最小者；（5）连接任意两点线段长度中的最小值．【点评】本题考查的是游戏规则的制定，属于开放性试题，只要符合石子散落的距离小的方案均可．7．已知正n边形共有n条对角线，它的周长等于p，所有对角线长的和等于q，求的值．【分析】n边形的对角线有n•（n﹣3）条，根据正n边形共有n条对角线，列方程即可求得多边形的边数为5．再作正五边形ABCDE，连接AD，根据正五边形的特点求出△ABC≌△AED，△ACD为等腰三角形，作∠ACD的平分线，交AD于F；根据△ACD与△CDF各角的度数可求出△FCD∽△CAD，根据其对应边成比例即可解答．【解答】解：设这个多边形的边数是n．根据题意得：n•（n﹣3）＝n，解得：n＝5．则多边形的边数是5．作正五边形ABCDE，连接AD；∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝∠BAE＝＝108°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝＝36°，同理可知，∠AED＝108°，AB＝BC＝AE＝DE，∴△ABC≌△AED，AC＝AD；∵∠BAC＝∠DAE＝36°，∠BAE＝108°，∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°，∴∠ACD＝∠ADC＝72°；作∠ACD的平分线，交AD于F，根据题意，∠CAD＝36°，∠ACD＝∠ADC ＝72°；∴∠ACF＝∠FCD＝36°，AF＝CF＝CD，∴△FCD∽△CAD，∵正n边形共的周长等于p，所有对角线长的和等于q，∴CD＝，AC＝则＝，即＝，∴＝，＝﹣1，即＝1．故的值为1．【点评】本题考查了多边形的对角线与边的关系和正五边形的性质，解答此题的关键是熟知正五边形的特点，及全等、相似三角形的判定定理及性质，作出辅助线，构造出相应的三角形．8．实践与探索！①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成3个三角形；②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成4个三角形；③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外n﹣2个顶点连线可以把n边形分成n﹣1个三角形（用含n的代数式表示）．④你能否根据这样划分多边形的方法来写出n边形的内角和公式？请说明你的理由．【分析】①②③在n边形的边上任意取一点，连接这点与各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形；④欲证明多边形的内角和定理，可以把多边形的内角转移到三角形中，利用（n﹣1）个三角形，内角和为（n﹣1）×180°，n边形的内角和还要再减去P 所在的一个平角，所以n边形的内角和为（n﹣2）×180°．【解答】解：①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成4﹣1＝3个三角形；②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成5﹣1＝4个三角形；③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外（n﹣2）个顶点连线可以把n边形分成（n﹣2）个三角形（用含n的代数式表示）．④在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形，这（n﹣1）个三角形的内角和等于（n﹣1）•180°，以P为公共顶点的（n﹣1）个角的和是180°，所以n边形的内角和是（n﹣1）•180°﹣180°＝（n﹣2）•180°．故答案为：3；4；n﹣2，n﹣1．【点评】本题考查了多边形的内角和定理的证明，解题关键是将多边形的内角和。