3. 第三讲 线性变换之一

线性变换初步线性变换的定义表示与性质线性变换初步线性变换是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍线性变换的定义、表示以及一些性质。

1. 定义线性变换是指保持向量加法和数乘运算的变换。

具体来说，对于两个向量u和v以及一个数k，如果对于线性变换T有以下两个性质成立：a) T(u + v) = T(u) + T(v)b) T(ku) = kT(u)则称T为一个线性变换。

线性变换可以将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量。

2. 表示线性变换可以用矩阵表示。

设V和W分别是两个向量空间，假设它们的维度分别为n和m。

如果存在一个n×m的矩阵A，使得对于任意的向量u∈V，都有T(u) = Av，则称矩阵A表示线性变换T。

例如，对于一个二维平面上的旋转变换，可以通过一个2×2的矩阵来表示。

对于一个三维向量的缩放变换，可以通过一个3×3的矩阵来表示。

3. 性质线性变换具有一些重要的性质：a) 线性变换保持向量加法。

即，对于线性变换T和任意的向量u、v，有T(u + v) = T(u) + T(v)。

b) 线性变换保持数乘运算。

即，对于线性变换T和任意的向量u以及数k，有T(ku) = kT(u)。

c) 线性变换保持零向量。

即，对于线性变换T，有T(0) = 0。

d) 线性变换保持线性组合。

即，对于线性变换T和任意的向量组u₁, u₂, ..., uₙ以及对应的系数k₁, k₂, ..., kₙ，有T(k₁u₁ + k₂u₂ + ... + kₙuₙ) = k₁T(u₁) + k₂T(u₂) + ... + kₙT(uₙ)。

e) 线性变换的复合仍然是线性变换。

即，如果T₁表示线性变换S₁，T₂表示线性变换S₂，则T₁∘T₂表示线性变换S₁∘S₂。

这些性质使得线性变换在代数运算和几何变换中具有重要的应用。

总结线性变换是保持向量加法和数乘运算的变换。

线性变换的相关知识点总结一、线性变换的定义线性变换是指一个向量空间V到另一个向量空间W的一个函数T，满足以下两条性质：1.加法性质：对于向量空间V中的任意两个向量x和y，有T(x+y)=T(x)+T(y)。

2.数乘性质：对于向量空间V中的任意向量x和标量a，有T(ax)=aT(x)。

根据以上的定义，我们可以得出线性变换的几个重要性质：1. 线性变换保持向量空间中的原点不变；2. 线性变换保持向量空间中的直线和平面不变；3. 线性变换将线性相关的向量映射为线性相关的向量；4. 线性变换将线性无关的向量映射为线性无关的向量。

二、线性变换的矩阵表示在研究线性变换时，我们通常会使用矩阵来表示线性变换。

设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}。

线性变换T可以用一个m×n的矩阵A来表示，假设向量x在基{v1, v2, ..., vn}下的坐标为[x]，向量T(x)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标为[T(x)]，则有[T(x)]=[A][x]。

由此可见，矩阵A中的每一列都是T(vi)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标，而T(vi)可以写成基{w1, w2, ..., wm}的线性组合，所以矩阵A的列向量就是线性变换T对基{v1, v2, ..., vn}下的坐标系的映射。

另外，矩阵A的行空间也是线性变换T的像空间，而零空间是T的核空间。

线性变换的基本性质在矩阵表示下也可以得到进一步的解释，例如线性变换的复合、逆变换等都可以在矩阵表示下进行研究。

因此，矩阵表示是研究线性变换的重要工具。

三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个非常重要的概念，它们在研究线性变换的性质时有非常重要的应用。

设T是一个n维向量空间V上的线性变换，那么存在一个标量λ和一个非零向量v，使得Tv=λv。

这里的λ就是T的特征值，v就是T的特征向量。

第 7章 线性变换知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ,都有：()()()σαβσασβ+=+,()()k k σασα=; 注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换;2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换,那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间,σ为V 的线性变换,12s ,,,,V αααα∀∈;性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关,那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关;性质3. 设线性变换σ为单射,如果12s ,,,ααα线性无关,那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关;注：设V 是数域P 上的线性空间,12,,,m βββ,12,,,s γγγ是V 中的两个向量组,如果：11111221221122221122s s s s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是,若()dim V n =,12,,,n ααα是V 的一组基,σ是V 的线性变换, 12,,,m βββ是V 中任意一组向量,如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组,如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组,那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组,因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B ;4. 线性变换举例1设V 是数域P 上的任一线性空间;零变换： ()00,V αα=∀∈； 恒等变换：(),V εααα=∀∈;幂零线性变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,如果存在正整数m ,使得σ=m 0,就称σ为幂零变换;幂等变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,如果2σσ=,就称σ为幂等变换;2nV P =,任意取定数域P 上的一个n 级方阵A ,令：111222n n n n x x x x x x A ,P x x x σ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=∀∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 3[]V P x =,()()()()[]D f x f x ,f x P x '=∀∈; 4n nV P⨯=,()ij A a =是V 中一固定矩阵,()n n X AX ,X P τ⨯=∀∈;二．线性变换的运算、矩阵 1. 加法、乘法、数量乘法1 定义： 设V 是数域P 上的线性空间,,στ是V 的两个线性变换,定义它们的和στ+、乘积στ分别为：对任意的V α∈()()()()στασατα+=+,()()()()σταστα=任取k P ∈,定义数量乘积k σ为：对任意的V α∈()()()k k σασα=σ的负变换-σ为：对任意的V α∈()()()-=-σασα则στ+、στ、k σ与-σ都是V 的线性变换;2()L V ={σσ为V 的线性变换},按线性变换的加法和数乘运算做成数域P 上的维线性空间;2. 线性变换的矩阵1定义：设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换,12,,,n ααα是V 的一组基,如果：()()()11111221221122221122n n n n n n n nn na a a a a a a a a σαααασαααασαααα=+++=+++=+++那么称矩阵112111222212n n nnnn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为线性变换σ在基12,,,n ααα下的矩阵;此时：()()()()()()121212,,,,,,,n n n A σααασασασαααα==2线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵：设12,,,n ααα是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基,(),L V στ∀∈,设它们在12,,,n ααα下的矩阵分别为A,B ;1():n n f L V P ⨯→,A σ是数域P 上的线性空间()L V 到数域P 上的线性空间n n P ⨯的同构映射,因此()n n L V P ⨯≅;2σ可逆⇔A 可逆3①στ+、στ与-σ在基12,,,n ααα下的矩阵分别为A B,AB +与A -； ② 任取k P ∈,k σ在基12,,,n ααα下的矩阵为kA ；③ 若σ为可逆线性变换,则1σ-在基12,,,n ααα下的矩阵为1A -；④ 设()1110mm m m f x a x a xa x a --=++++为数域P 上的任一多项式,那么()1110m m m m f a a a a σσσσε--=++++ε为V 的恒等变换在基12,,,n ααα下的矩阵为：()1110m m m m n f A a A a A a A a E --=++++;三．特征值、特征向量与对角矩阵1. 矩阵的特征值与特征向量1矩阵的特征多项式：设A 为n 级复方阵,将多项式()λλ=-A n f E A 称为A 的特征多项式;注： 1若()ijnnA a =,则：()()()()1112211λλλλ-=-=+-+++++-nn n A n nn f E A a a a A()()()11tr 1λλ-=+-++-nn n A A2 将λ-n E A 称为矩阵A 的特征矩阵,0λ-=n E A 称为矩阵A 的特征方程;2 定义：n 级方阵A 的特征多项式()λλ=-A n f E A 在复数域上的所有根都叫做其特征值根,设0λ∈C 是A 的特征值,齐次线性方程组()0λ-=n E A X 的每个非零解都叫做矩阵A 的属于其特征值0λ的特征向量;3求法：1求()λλ=-A n f E A 在复数域上的所有根12λλλn ,,,重根按重数计算；2对()1λ=k k ,n 解齐次线性方程组()0λ-=k n E A X ,得其一个基础解系12,,,,ηηηk k k k l =-k l n 秩()λ-k n E A ,则矩阵A 的属于特征值λk 的全部特征向量为1122,,ηηη+++k k k k k k k l k l s s s ,其中12,,,,k k k k l s s s 为不全为零的任意常数复数;4 重要结论：1设0λ∈C 是A 的特征值,0X 是A 的属于其特征值0λ的特征向量,()g x 为一复系数多项式;① ()0λg 为()g A 的特征值,0X 为()g A 的属于特征值()0λg 的特征向量； ② 如果A 还是可逆矩阵,那么1λ与λA分别为1-A 和*A 的特征值,0X 为1-A 的属于特征值1λ的特征向量,0X 为*A 的属于特征值λA的特征向量,③ 若12λλλn ,,,是矩阵A 的全部特征值,那么()()()12λλλn g ,g ,,g 就是()g A 的全部特征值,如果A 还是可逆矩阵,则12111λλλn,,,为1-A 的全部特征值,12λλλnA A A,,,为*A 的全部特征值；2若12λλλn,,,是矩阵A的全部特征值,那么()12tr λλλ=+++n A ,12λλλ=n A ;2. 线性变换的特征值与特征向量1定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,0λ∈P ,若存在0α≠∈V ,使得()0σαλα=,就称0λ为σ的一个特征值,α为σ的一个属于特征值0λ的特征向量;2线性变换的特征多项式设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,任取V 的一组基12,,,n ααα,设σ在该基下的矩阵为A ,称矩阵为A 的特征多项式λ-n E A 为σ的特征多项式,记为()σλλ=-n f E A ,即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式;3求法：设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换;1取定V 的一组基12,,,n ααα,求出σ在该基下的矩阵A ；2求()σλλ=-n f E A 在P 中的所有根12λλλm ,,,0≤≤m n ,重根按重数计算,且0=m 表示σ无特征值;3若0>m ,对()1λ=k t ,s 解齐次线性方程组()0λ-=k n E A X ,得其一个基础解系12,,,,ηηηk k k k l =-k l n 秩()λ-k n E A ,则线性变换σ的属于特征值λk 的全部特征向量为()()121122,,,,,αααηηη+++k k n k k k k k l k l s s s ,其中12,,,,k k k k l s s s 为P 中不全为零的任意常数;3. 矩阵相似1定义：设A,B 是数域P 上的两个n 级方阵,如果存在数域P 上的n 级可逆矩阵T ,使得1-=T AT B ,就称矩阵A 相似于矩阵B ,记为A B ;2性质：1矩阵相似是等价关系,即：设A,B,C 都是n 级方阵,那么：①A A ； ② 若A B ,那么B A ；③ 若A B 且B C ,则A C ;2若AB ,那么()()λλλλ=-==-A n B n f E A f E B ,因此矩阵A 与矩阵B 有相同的特征值,相同的迹()()tr tr =A B ,相同的行列式=A B ;3两个实对称阵相似⇔它们有相同的特征值;3有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似;4若1-=T AT B ,那么1-+=∀∈kkB T A T ,k Z ;4. 线性变换与矩阵可对角化 1矩阵可对角化1设A 是n 级方阵,如果存在n 级可逆矩阵T ,使得1-T AT 为对角阵,则称A 可对角化;2n 级方阵A 可对角化⇔A 有n 个线性无关特征向量; 3如果n 级方阵A 有n 个不同的特征值,则A 可对角化; 4设12λλλk ,,,是n 级方阵A 的所有不同的特征值,()()()()1212λλλλλλλλ=-=---klll A n k f E A称()12=i l i ,,,k 为λi 的代数重数；称=-i s n 秩()()12λ-=i n E A i ,,,k 为λi 的几何重数；()12≤=i i s l i ,,,k ；n 级方阵A 可对角化⇔对12=i ,,,k 都有λi 的代数重数=λi 的几何重数;注：1. 设齐次线性方程组()0λ-=i n E A X 的解空间为i W ,则()dim =i i s W2. 称{}λααλα=∈=i ni V CA 为n 级方阵A 的属于特征值λi 的特征子空间,那么()dim λ=i i s V2线性变换可对角化1 设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,如果存在V 的一组基,使得σ 在该基下的矩阵为对角阵,就称σ可对角化;2数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换σ可对角化⇔σ有n 个线性无关特征向量; 3设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,如果σ有n 个不同的特征值,则σ可对角化;4设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,σ在V 的一组基下的矩阵为A , 设12λλλk ,,,是n 级方阵A 的所有不同的特征值;① 若12λλλ∈k ,,,P ,那么：σ可对角化⇔对12=i ,,,k 都有λi 的代数重数=λi 的几何重数;② 若12λλλk ,,,不全在数域P 中,则σ不可对角化;注：λi 的几何重数 =()dim λi V ,其中(){}λασαλα=∈=i iV V 为σ的属于特征值λi 的特征子空间;四．线性变换的值域与核1.定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,将()(){}100V σασα-=∈=,(){}V V σσαα=∈分别称为线性变换σ的核与值域()10σ-与V σ也分别记为ker σ与Im σ;2.线性变换的秩与零度： V σ与()10σ-都是V 的子空间,将()dim V σ 与()()1dim 0σ-分别称为σ的秩和零度;3. 有限维线性空间的线性变换的值域与核设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换,12,,,n ααα为V 的一组基,σ 在该基下的矩阵为A ,=r 秩()A ,1122n n a a a V αααα=+++∈;1()1210n a a a ασ-⎛⎫ ⎪ ⎪∈⇔ ⎪ ⎪⎝⎭是齐次线性方程组0=AX 的解;2若12,,,ηηη-n r 是0=AX 的一个基础解系,那么12,,,γγγ-n r 其中()()12,,,1,2,,γαααη==-k n k k n r 就是()10σ-的一组基,于是：()()1dim0n r σ-=-()(){}1121122120n r n r n r n r L ,,,k k k k ,k ,,k P σγγγγγγ-----==+++∈因此σ的秩和零度为n r -; 3()()()()12n V L,,,σσασασα=于是()()()12σασασαn ,,,的一个极大线性无关组就是V σ的一组基,而()()()12σασασαn ,,,的秩等于秩()A =r ,所以()dim V r σ=,即σ的秩为秩()A =r ; 4()()()1dim dim 0V n σσ-+=;3. 求法：设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换; 1()10σ-的求法：① 取定V 的一组基12,,,n ααα,求出σ在该基下的矩阵A ；② 解齐次线性方程组0=AX ,得其一个基础解系12,,,ηηη-n r =r 秩()A ；③ 令()()12,,,1,2,,γαααη==-k n k k n r ,得()10σ-的一组基12,,,γγγ-n r ,()(){}1121122120n r n r n r n r L ,,,k k k k ,k ,,k P σγγγγγγ-----==+++∈2V σ的求法：① 取定V 的一组基12,,,n ααα,求出σ在该基下的矩阵A ；② 设矩阵A 的列向量组为12,,,n ηηη,求出12,,,n ηηη的一个极大线性无关组12,,,r i i i ηηη就得到()()()12σασασαn ,,,的一个极大线性无关组()()()12σασασαri i i ,,,,()()()12σασασαri i i ,,,就是V σ的一组基;()()()()12ri i i V L ,,,σσασασα=()()(){}112212σασασα=+++∈r r r i i i i i i i i i l l l l ,l ,,l P五．不变子空间1. 定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,W 是V 的子空间,如果对α∀∈W ,都有()σα∈W 即()σ⊆W W ,就称W 是σ的不变子空间,也称σ-子空间; 2. 设V 是数域P 上的线性空间,那么{}0与V 都是V 的任一线性变换的不变子空间; 3. 设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,λ是σ的任意一个特征值,那么σ的特征子空间(){}λασαλα=∈=V V 都是σ的不变子空间;4. 线性变换的循环子空间：设σ是数域P 上的0n >维线性空间V 的线性变换,任取0V α≠∈,必存在正整数m ,使得()()1m ,,,ασασα-线性无关,而()()m ,,,ασασα线性相关,令()()()1m W L ,,,ασασα-=,则W 是σ的不变子空间,称W 为σ的循环子空间;5. 设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换,W 是σ的不变子空间,()0<dim =<W m n ,取W 的一组基12,,,αααm ,将其扩充为V 的一组基121,,,,,,ααααα+m m n ,那么σ在该基下的矩阵为1230⎛⎫⎪⎝⎭A A A ,其中1A 为σW在W 的基12,,,αααm 下的矩阵;六．若尔当 Jordan 标准形1.若尔当块与若尔当形矩阵： 1若尔当块：形式为()0000100000100001t tJ ,t λλλλλ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭ 的矩阵称为若尔当块,其中λ为复数;2若尔当形矩阵：由若干个若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵,其一般形状如：12s A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中：111i ii ii ii k k A λλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,且12s ,,,λλλ中有些可以相等;2. 复数域上有限维线性空间上的线性变换与复方阵1设σ是复数域C 上的0n >维线性空间V 的任意一个线性变换,那么必存在V 的一组基,使得σ在该基下的矩阵为若尔当形矩阵;2每个n 级复矩阵都与一个若尔当形矩阵形矩阵相似;3. 设σ是复数域上的0n >维线性空间V 的线性变换,那么σ幂零⇔σ的特征值都为零;。

最近想知道特征值、特征值到底有什么物理意义，搜到了这篇文章，共享一下。

来源：孙哲的日志[1. 特征的数学意义]我们先考察一种线性变化，例如x,y坐标系的椭圆方程可以写为x^2/a^2+y^2/b^2=1，那么坐标系关于原点做旋转以后，椭圆方程就要发生变换。

我们可以把原坐标系的(x,y)乘以一个矩阵，得到一个新的(x',y')的表示形式，写为算子的形式就是(x,y)*M=(x',y')。

这里的矩阵M代表一种线性变换：拉伸，平移，旋转。

那么，有没有什么样的线性变换b(b是一个向量)，使得变换后的结果，看起来和让(x,y)*b像是一个数b乘以了一个数字m*b? 换句话说，有没有这样的矢量b，使得矩阵A*b这样的线性变换相当于A在矢量b上面的投影m*b? 如果有，那么b就是A的一个特征向量，m就是对应的一个特征值。

一个矩阵的特征向量可以有很多个。

特征值可以用特征方程求出，特征向量可以有特征值对应的方程组通解求出，反过来也一样。

例如，设A为3阶实对称矩阵，a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，a≠2,则常数a=? 因为a1=(a,-a,1)T 是Ax=0的解,说明a1=(a,-a,1)T是A的属于0的特征向量，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，说明a2=(a,1,-a)T是A的属于-1的特征向量。

实对称矩阵属于不同特征值的特征向量式正交的，所以a^2-a-a=0,a≠2,所以a=0。

还是太抽象了，具体的说，求特征向量的关系，就是把矩阵A所代表的空间，进行正交分解，使得A的向量集合可以表示为每个向量a在各个特征向量上面的投影长度。

例如A是m*n的矩阵,n>m，那么特征向量就是m个(因为秩最大是m)，n个行向量在每个特征向量E 上面有投影，其特征值v就是权重。

那么每个行向量现在就可以写为Vn=(E1*v1n,E2*v2n...Em*vmn)，矩阵变成了方阵。

线性变换复习1、线性变换线性变换是研究线性空间和矩阵的重要几何工具，我们可以借助线性变换来探讨空间的元素之间关系，可以利用线性变换和矩阵关系来研究矩阵的结构。

这就是线性变换的意义。

所谓线性变换是指数域P 上线性空间（不一定有限维）V 上的变换σ，它满足： 1）()()()σαβσασβ+=+上 2）()()k k σασα=其中,,V k P αβ∈∈。

如果假设12,,,n εεε 为V 的基，则有矩阵A 使得：121212[,,,][(),(),,()][,,,]n n n A σεεεσεσεσεεεε=这个矩阵称为σ在此基下矩阵。

如果1,niii k k P αε==∈∑，则有：11221212()[(),(),,()][,,,]n n n n k k k k A k k σασεσεσεεεε⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦V 上线性变换的全体组成一个线性空间，由此线性变换和矩阵关系可以描述为：●线性变换的和对应矩阵的和● 线性变换的的乘积对应矩阵的乘积● 线性变换和数的乘积对应矩阵的和数的乘积● 如果线性变换可逆，则对应的矩阵可逆，而且可逆变换对应可逆矩阵因为这样的关系，我们可以利用线性变换的方法去解决矩阵的问题---这就是矩阵的几何化方法，同样线性变换的问题有时候可以通过矩阵来解决，这就是线性变换数值化方法。

关于线性变换的有关结论可以总结如下：●有限维线性空间上线性变换可逆的充分必要条件是其为单射，充分必要条件是其为满射，充分必要条件是其对应的矩阵可逆，充分必要条件是其核为零子空间，充分必要条件是其值域为线性空间自己。

● 有限维线性空间上线性变换在不同基下矩阵相似，矩阵相似关系是一个等价关系。

● 有限维线性空间上线性变换的值域的维数和核的维数之和等于线性空间维数，但要注意：有限维线性空间上线性变换的值域与核的和不等于线性空间自己。

●线性变换的特征子空间和是直和。

第四章 线性变换在第三章中，我们介绍了同构的概念，它研究的是线性空间与线性空间之间的一种联系. 我们研究客观事物，固然要弄清楚个体事物单个的和总体的性质，但单个事物之间的各种各样的联系则更为重要. 基于此，本章将要研究线性空间本身的向量之间的一种最为基本、最为重要的联系——线性变换. 它是线性空间到它自身的映射是几何中旋转变换、投影变换以及别的科目中类似变换的一种推广. 其应用十分广泛，是线性代数的一个主要研究对象.在本章中，如果不特别声明，我们考虑的都是某个数域P 上的线性空间.§4.1 线性变换及其运算一个集合到它自身的映射，称为这个集合的一个变换. 线性变换就是线性空间到它自身的一种特殊变换. 我们给出它的定义.1. 线性变换的概念定义4.1.1 设A 是线性空间V 的一个变换，如果A 对于V 中任意的向量,αβ及数域P 中的任意数k ，满足：()()()+=+A A A αβαβ；()()k k =A A αα.则称A 是线性空间V 的一个线性变换. 以后我们一般用花体大写字母,,,A B C 来表示线性变换，用()A α或A α来表示向量α在线性变换A 下的象.说明 变换仅反映元素之间的一种单纯的对应关系，而线性变换则涉及到了线性空间中向量的运算. 从定义可以看出，线性变换保持向量的加法与数乘.例4.1.2 设V 是数域P 上的上的线性空间，λ是P 中的某个数，定义变换如下：(),()V λλ=∀∈A ααα.则容易看出，λA 是线性空间V 的一个线性变换.说明1）上例中的线性变换λA 称为由数λ决定的数乘变换.2）当1λ=时，就是V 的恒等变换或单位变换，记为E . 即E 将V 中的每个向量变为它自身.3）当0λ=时，0A 就是V 的零变换，记为0. 它把V 中的每个向量都变为0，即(),()V =∀∈00αα.例4.1.3 对于12(,,,)n n a a a P ∀=∈α，变换1211(,,,)(,,,)n n n a a a a a a -=A是n P 的一个线性变换.例4.1.4 令()()([,])xa f x f t dt x ab =∈⎰A ，则A 是线性空间[,]C a b 的一个线性变换.例 4.1.5 平面π上的向量构成了实数域上线性空间. 将π围绕着坐标原点逆时针方向旋转θ角度，就是一个线性变换，我们用θA 表示. 设平面π上的向量α在直角坐标系下的坐标是(,)x y ，那么旋转θ角度后α的坐标按照下面的公式计算：cos sin ()sin cos x x y y θθθθθ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭A α. 例 4.1.6 设α是几何空间中某个固定的非零向量，将每个向量η变到它在α上的内射影的变换是一个线性变换，以N α来表示它，即(,)()(,)=N ααηηαα. 其中(,),(,)αηαα表示内积. 例4.1.7 设线性空间3P ，则显然222123123(,,)(,,)a a a a a a =A是3P 的一个变换，但如果取(1,0,0),(2,0,0)==αβ，则()(3,0,0)(9,0,0)+==A A αβ，而()()(1,0,0)(4,0,0)(5,0,0)+=+=A A αβ，则()()()+≠+A A A αβαβ. 所以，A 不是线性变换.2. 线性变换的性质线性变换具有如下的性质：性质1 ();()(),()V =-=-∀∈00A A A ααα.事实上，()(0)0();===0000A A A又()()(())()+-=+-==00A A A A αααα，所以()()-=-A A αα. 性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变. 也就是说， 如果β是12,,,m ααα的一个线性组合：1122m m k k k =+++βααα，则经过线性变换A 之后，()A β是12(),(),,()m A A A ααα同样的线性组合： 1122()()()()m m k k k =+++A A A A βααα.如果12,,,m ααα之间有线性关系式：1122m m k k k +++=0ααα，则它们的象12(),(),,()m A A A ααα之间也有同样的关系：1122()()()m m k k k +++=0A A A ααα.性质3线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组. 也就是说，如果12,,,m ααα线性相关，则12(),(),,()m A A A ααα也线性相关.事实上，若12,,,m ααα线性相关，则在数域P 中存在一组不全为零的数12,,,m k k k 使得1122m m k k k +++=0ααα.则由性质2与性质3得11221122()()()()()m m m m k k k k k k +++=+++==00A A A A A αααααα.从而12(),(),,()m A A A ααα也线性相关.说明 当12(),(),,()m A A A ααα线性相关时，12,,,m ααα未必是线性相关的；当12,,,m ααα线性无关时，12(),(),,()m A A A ααα未必是线性无关的. 如零变换.3. 线性变换的运算线性变换作为映射的一种特殊情形，它当然可以定义乘法、加法及数量乘法.下面我们来介绍线性变换的运算及其简单性质.定义 4.1.8 设12,A A 及A 都是数域P 上线性空间V 上的线性变换，V ∀∈α及k P ∀∈，现在定义：1）线性变换的加法：1212()()()+=+A A A A ααα； 2）线性变换的乘法：1212()()=A A A A αα； 3）数与线性变换的数量乘法：()()k k =A A αα.定理4.1.9 定义4.1.8中的线性变换的和12+A A 、乘积12A A 及数与线性变换的乘积k A 都还是线性变换.证明 仅证明12+A A 是线性变换，其余的类似证明.对于V 中任意的向量,αβ及数域P 上的任意数λ，由于12,A A 都是线性变换，则结合线性变换的和的定义有12121122()()()()()()()()++=+++=+++A A A A A A A A αβαβαβαβαβ 12121212(()())(()())()()()()=+++=+++A A A A A A A A ααββαβ； 1212121212()()()()()()k k k k k k k +=+=+=+=+A A A A A A A A A A αααααααα. 因此，12+A A 是线性空间V 上的线性变换. 证毕.由线性变换的加法及乘积的定义易知下述性质. 性质4 线性变换的加法满足1）结合律：123123()()++=++A A A A A A ； 2）交换律：1221+=+A A A A .说明 1）零变换0与任何线性变换A 的和仍是A ，即+=A 0A . 2）对每个线性变换A ，我们可以定义它的负变换-A ：()().V -=-∀∈A A ααα容易看出-A 也是线性的，且()+-=A A 0.性质5 线性变换的乘法满足 1）结合律：123123()()=A A A A A A ；2）对加法的左右分配律：12312113()+=+A A A A A A A ；1231323()+=+A A A A A A A . 说明 线性变换的乘法一般是不满足交换律的. 如在实数域R 上的线性空间[]x R ，定义线性变换0(())(),(())().xf x f x f x f t dt '==⎰D J则乘积D J 是恒等变换，但一般J D 却不是恒等变换.性质6 数与线性变换的数量乘法满足下面的规律：()()kl k l =A A ； ()k l k l +=+A A A ；1212()k k k +=+A A A A ；1=A A .注 线性变换所满足的全部运算规则，同矩阵所满足的运算规则完全一致. 如果用()V M 表示由数域P 上的线性空间V 的全体线性变换构成的集合，则()V M 构成数域P 上的一个线性空间.定义 4.1.10 设A 是数域P 上线性空间V 上的一个线性变换，如果存在V 上的一个变换，记之为1-A，使得11--==A AAA E ，则称1-A为A 的逆变换，且称A 是可逆的.说明 一个线性变换未必有逆变换，如零变换就没有逆变换.定理4.1.12 设A 是数域P 上线性空间V 上的一个线性变换，如果A 是可逆的，则其逆变换1-A也是V 上的线性变换.证明 任取,V ∈αβ及k P ∈，则1111()[()()]----+=+AAA AA Aαβαβ111111()()()()------=+=+AA A AA A A Aαβαβ.11111()[()()][((())]k k k -----==AA A AA A Aααα11111[((())]()[(()]()k k k -----===AA AAA AAααα.故1-A是V 上的线性变换.4. 线性变换的多项式的概念由于线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换A 相乘时，其最终结果是确定的，与乘积的结合方式无关. 所以我们可以用nn=AA AA .来表示n （n 是正整数）个线性变换A 的乘积，称nA 为A 的n 次幂. 并规定=AE .由此可以推出指数法则： ,()()m nm n m nmn+==AA A AA，（,m n 是正整数）. （1.1） 当线性变换A 可逆时，也可以定义A 的负整数幂为1()nn--=A A（n 是正整数）. 说明 1）在有了负整数幂概念后，（1.1）中的,m n 就可以取任意的整数了. 2）线性变换乘积的指数法则不成立，一般来说1212()n n n ≠A A A A .设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++是[]P x 上的一个多项式. A 是线性空间V 上的一个线性变换，定义1110()mm m m f a a a a --=++++A AAA E .容易看出，()f A 也是V 上的一个线性变换，称它为线性变换A 的多项式.§4.2 线性变换的矩阵考虑线性方程组=Ax β，其中A 是n 阶方阵，β是常数项向量组. 我们可以这样认为：把矩阵A 当作一种“对象”，它通过乘法“作用”于向量x ，产生的新的向量为Ax .例如，方程31315201134216-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭↑↑↑A x β0 与31310201304220-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭↑↑↑A u 00通过矩阵A 通过乘法“作用”将x 变成了β. 而将u 变成了0. 于是，解方程A =x β，就要求出n P 中所有经过A “作用”后变为β的向量x . 而线性变换也就是在线性空间内部“作用”，将其中的一个向量变为其中的某个向量. 如此看来，线性变换与矩阵之间会有着千丝万缕的联系. 本节我们将要讨论线性变换与矩阵的关系，且利用矩阵来描述线性变换.1. 线性变换在基下的矩阵设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基.则V 的任一向量η都可以用12,,,n εεε来线性表示，即数域P 中存在唯一的一组数12,,,n x x x 使得1122n n x x x =+++ηεεε.由于线性变换A 保持线性关系不变，则1122()()n n x x x =+++A A ηεεε1122()()()n n x x x =+++A A A εεε.（2.1） 也就是说，η的象()A η与基的象12(),(),,()n A A A εεε之间有着相同的关系.所以，只要知道基的象12(),(),,()n A A A εεε，那么线性空间V 中任一向量η的象()A η也就知道了.命题4.2.1 设1A ，2A 都是线性空间V 的线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基，如果1A 与2A 在这组基上的作用相同，即12()(),1,2,,i i i n ==A A εε. （2.2）则12=A A .（分析）1A 与2A 相等的意义是它们对V 中的每个向量的作用相同，所以，我们就只要证明对任一向量η，都有12()()=A A ηη即可. 证明 V 中的任一向量η都可以由12,,,n εεε线性表示，即存在一组数12,,,n x x x 使得1122n n x x x =+++ηεεε.则由假设有111121121()()()()n n x x x =+++A A A A ηεεε12122222()()()()n n x x x =+++=A A A A εεεη. 证毕. 说明 命题4.2.1表明了，一个线性变换在V 上的作用，完全由它在任一组基上的作用所决定.命题4.2.2 设12,,,n εεε是数域P 上的线性空间V 的一组基，又12,,,n ααα是V 的任意的n 个向量，则存在唯一的线性变换A 使得(),1,2,,i i i n ==A εα. （2.3）（分析）只要找出这样的线性变换即可. 证明 设β是V 任一向量，且1122n n x x x =+++βεεε.现在定义V 的变换1122()n n x x x =+++A βααα. 我们先来说明A 满足（2.3）.因为11100100i i i i n -+=++++++εεεεεε，1,2,,i n =. 所以111()00100i i i i n i -+=++++++=A εαααααα，1,2,,i n =.我们还需要证明A 是线性的.设,ηγ是V 中任意两个向量，k 是P 中任一数，并设1122n n b b b =+++ηεεε，1122n n c c c =+++γεεε.则111222()()()n n n b c b c b c +=++++++ηγεεε；1122n n k kb kb kb =+++ηεεε.按照A 的定义有111222()()()()n n n b c b c b c +=++++++A ηγααα11221122()()()()n n n n b b b c c c =+++++++=+A A ααααααηγ； 11221122()()()n n n n k kb kb kb k b b b k =+++=+++=A A ηααααααη.所以A 是V 上的线性变换.唯一性可由命题4.2.1直接得到. 证毕.下面，我们就来讨论线性变换与矩阵的联系.设12,,,r ααα是数域P 上的线性空间V 的一组向量，A 是V 上的一个线性变换，我们约定1212(,,,)(,,,)r r =A A A A αααααα.定义4.2.3 设12,,,n εεε是数域P 上的线性空间V 的一组基，A 是V 上的一个线性变换，且11112121212122221122,,.n n n nn n n nn n a a a a a a a a a =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩A A A εεεεεεεεεεεε 用矩阵形式表示，即121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n ==A A A A A εεεεεεεεε，其中111212122212n n n n nn a a a a a a aa a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A . 矩阵A 称为A 在基12,,,n εεε下的矩阵.例4.2.4 求[]n P x 的线性变换()()f x f x '=D 在基11,,,n x x -下的矩阵.解 因为21210,1,2,,(1),n n x x x x n x --====-D D D D所以D 在基11,,,n x x -下的矩阵为0100002000010000n ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A . 例4.2.5 设W 是()n n m >维线性空间V 的子空间，12,,,m εεε是W 的一组基，把它扩充为V 的一组基12,,,n εεε. 定义线性变换A 如下：,1,2,,,,1,,.i i i i m i m n ==⎧⎨==+⎩0A A εεε 如此定义的线性变换A 称为对子空间W 的投影. 投影A 在基12,,,n εεε下的矩阵为11100m ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭个1.说明 在取定一组基之后，我们就建立了由数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换到数域P 上的n n ⨯矩阵的一个映射ϕ.定理4.2.6 设V 是数域P 上的n 维线性空间. 则映射:ϕ→A A是数域P 上的线性空间()V M 到n n P ⨯的一个一一映射，其中A 是线性变换在基12,,,n εεε下的矩阵.（分析）需要证明ϕ是双射，即既是单射，又是满射. 证明 ϕ显然是()V M 到n n P ⨯的映射. 设11()ϕ=A A ，22()ϕ=A A . 则112121(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε， 212122(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.如果12=A A ，则显然有12()(),1,2,,i i i n ==A A εε. 则由命题4.2.1知道，ϕ是单射.又对于n n P ⨯中的任一矩阵A ，令1212(,,,)(,,,)n n =A βββεεε.则由命题4.2.2知道，存在线性变换A 使得(),1,2,,i i i n ==A εβ，即有线性变换A 使得1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.所以ϕ又是满射. 故ϕ是一一映射.这个一一映射的重要性在于它保持运算. 也就是下面的定理.定理4.2.7 设1A ，2A 是数域P 上n 维线性空间V 的任意两个线性变换，1A ，2A 在基12,,,n εεε下的矩阵分别是A 与B . 则在基12,,,n εεε下1）12+A A 的矩阵为+A B ； 2）12A A 的矩阵为AB ； 3）k A 的矩阵为k A . 证明 由于1A ，2A 在基12,,,n εεε下的矩阵分别是A 与B ，则有11212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε， 21212(,,,)(,,,)n n =B A εεεεεε.1）1212()(,,,)n +A A εεε112212(,,,)(,,,)n n =+A A εεεεεε1212(,,,)(,,,)n n =+A B εεεεεε12(,,,)().n =+A B εεε所以在基12,,,n εεε下，线性变换12+A A 的矩阵为+A B . 2）1212()(,,,)n A A εεε121211211212[(,,,)][(,,,)][(,,,)](,,,).n n n n ====B BAB A A A A εεεεεεεεεεεε因此，在基12,,,n εεε下，线性变换12A A 的矩阵为AB . 3）112()(,,,)n k A εεε1121212[(,,,)][(,,,)](,,,)().n n n k k k ===A A A εεεεεεεεε 因此，在基12,,,n εεε下，线性变换k A 的矩阵为k A . 证毕.说明 结合定理4.2.7可以看出，在定理4.2.6中，V 的全体线性变换所构成的线性空间()V M 与n n P ⨯之间的映射，不仅是一一映射，而且还是同构映射. 即()V M 与n n P ⨯同构.推论4.2.8设A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换. 则A 有逆变换的充分必要条件是A 在任意基下的矩阵都是可逆矩阵.且当A 在某组基下的矩阵为A 时，则1-A在这组基下的矩阵为1-A .证明 设A 有逆变换1-A，12,,,n εεε是V 任一组基，A 与1-A在基12,,,nεεε下的矩阵分别是A 与B ，即1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε，11212(,,,)(,,,)n n -=B Aεεεεεε.由定理4.2.7的2）有11212(,,,)(,,,)n n -=AB A Aεεεεεε，则有1212(,,,)(,,,)n n =AB E εεεεεε.而1212(,,,)(,,,)n n =E E εεεεεε，故=AB E .类似地有=BA E ，即有==AB BA E .所以1-=B A .故A 在任意基下的矩阵都是可逆矩阵，而且1-A在12,,,n εεε下的矩阵为1-A .反过来，如果A 在基12,,,n εεε下的矩阵是可逆阵A ，设1-A 是A 的逆矩阵. 则由定理4.2.6，必存在V 的一个唯一的线性变换B 使得11212(,,,)(,,,)n n -=A B εεεεεε.则1121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n -==AA E A B εεεεεεεεε， 1121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n -==A A E B A εεεεεεεεε.所以==AB B A E . 故A 有逆变换. 证毕.利用线性变换的矩阵，可以直接计算一个向量的象. 我们有下面的定理. 定理4.2.9 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，A 在基12,,,n εεε下的矩阵是A ，向量α在基12,,,n εεε下坐标为12(,,,)n x x x . 则()A α在基12,,,n εεε下的坐标12(,,,)n y y y 可以按如下的公式计算：1122n n y x y x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A . （分析）实际上就是要求我们求出()A α在基12,,,n εεε下的坐标.证明 由于1212(,,,)n n x x x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αεεε， 所以11221212()(,,,)(,,,)n n n n x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A A αεεεεεε. 又1212()(,,,)n n y yy ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A αεεε，而12,,,n εεε是V 的一组基，所以1122n n y x y x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A . 证毕.说明 定理4.2.9说明了，()A α在某组基下的坐标完全由A 在这组基下的矩阵所决定. 这也就是说，对于某组基，如果给定了线性变换在这组基下的矩阵，也就等于给出了这个线性变换.2. 相似矩阵线性变换的矩阵与线性空间的基是密切联系的，一般来说，随着基的改变，同一线性变换的矩阵也会随之而改变. 读者肯定会要问：线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的呢？亦即改变后的矩阵之间有什么联系呢？下面的定理指明同一线性变换在不同的基下的矩阵之间的联系.定理 4.2.10 设A 是线性空间V 的线性变换，12,,,n εεε与12,,,n ηηη是线性空间V 的两组基，A 在这两组基下的矩阵分别为,A B ，从基12,,,n εεε到12,,,n ηηη的过渡矩阵为C ，则1-=B C AC .证明 因为1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε， 1212(,,,)(,,,)n n =B A ηηηηηη，1212(,,,)(,,,)n n =C ηηηεεε，所以1212(,,,)(,,,)n n =B A ηηηηηη，1212121211212(,,,)[(,,,)][(,,,)][(,,,)](,,,)(,,,)n n n n n n -=====A A A ηηηεεεεεεεεεεεεηηηC C A C AC C AC故有1-=B C AC .定义4.2.11 设,A B 是数域P 上的两个n 阶矩阵，如果存在P 上的n 阶可逆矩阵C ，使得1-=C AC B ，则称A 与B 相似，记作A B .定理4.2.12 数域P 上的相似关系是一个等价关系.（分析）需要说明相似关系满足：反身性、对称性及传递性. 证明 设有n 阶矩阵,,A B D .1）因为=AE EA ，则1-=E AE A ，即A A ；2）如果AB ，则存在可逆阵C 使得1-=C AC B ，所以有111()---=C BC A .故BA ；3）如果AB ，BD ，则分别存在可逆阵12,C C 使得111122,--==C AC B C BC D ，所以11121121212()()()---==D C C AC C C C A C C . 故AD . 证毕.定理4.2.13 如果两个矩阵相似，则它们可以看作是同一个线性变换在某两组基下的矩阵.证明 设有n 阶矩阵A 与B 相似. 则n 阶可逆矩阵C 使得1-=C AC B . 又由定理4.2.6，A 可以看作是n 维线性空间V 的一个线性变换A 在某组基12,,,n εεε下的矩阵.则1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.令1212(,,,)(,,,)n n =C ηηηεεε，显然，12,,,n ηηη也是V 的一组基，而又1212121212112(,,,)[(,,,)][(,,,)][(,,,)](,,,)(,,,).n n n n n n -=====C CA C ACC AC A A A ηηηεεεεεεεεεεεεηηη即1212(,,,)(,,,).n n =B A ηηηηηη 证毕.例 4.2.14 设n 阶矩阵A 与B 相似，()f x 为任一多项式. 证明：()f A 与()f B 相似.（分析）需要找出一个可逆阵C 使得1()()f f -=B C A C . 证明 因为A 与B 相似，则存在可逆阵C ，使得1-=C AC B .现在设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++.则1110()n n n n f a a a a --=++++B B B B E11111110[][][][]n n n n a a a a ------=++++C AC C AC C AC C C 11111110[][][][]n n n n a a a a ------=++++C A C C A C C AC C C 11111110()()()()n n n n a a a a ------=++++C A C C A C C A C C E C11110()n n n n a a a a ---=++++C A A A E C1()f -=C A C故()f A 与()f B 相似.§4.3 线性变换的值域与核1. 线性变换的值域与核的概念定义4.3.1 设A 是线性空间V 的一个线性变换，则称集合{}()V ∀∈A αα为A 的值域，记作()V A （或Im A ）；称集合{}()V ∀∈=0且A ξξξ为A 的核，记作1()-0A（或Ker A ）. 即{}()()V V =∀∈A A αα；{}1()()V -∀∈=0=0且A A ξξξ.设,αβ是数域P 上的n 维线性空间V 的任意两个向量，k 是P 中任一常数. 显然()V A 与1()-0A是非空的，即它们都是V 的非空子集. 又由于(),()()k k +=+=A A A A A αβαβαα，即()V A 对加法与数乘是封闭的，所以()V A 是V 的一个子空间. 如果,==00A A αβ，则(),()()k k +=+===00A A A A A αβαβαα.所以1()-0A 也是V 的子空间. 故我们有下面的命题.命题4.3.2 V 的线性变换A 的值域()V A 与核1()-0A都是V 的子空间.定义 4.3.3 将V 的线性变换A 的值域()V A 的维数称为线性变换A 的秩；1()-0A的维数称为线性变换A 的零度.例4.3.4 线性空间V 的零变换0的值域是{}0，而核就是V .例4.3.5线性空间[]n P x 的线性变换()()f x f x '=D ，则D 的值域就是1[]n P x -，D 的核就是P .V 的线性变换的值域()V A 是由全体象的集合而构成的. 这自然使我们联想到基象组12,,,n A A A εεε（12,,,n εεε是V 的一组基），它与值域()V A 之间有哪些联系呢？定理4.3.6 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基，在这组基下的矩阵是A ，则1）A 的值域()V A 是由基的象12,,,n A A A εεε所生成的子空间，即12()(,,,)n V L =A A A A εεε.2）A 的秩等于A 的秩.证明 1）设α是线性空间V 的任一向量，它在基12,,,n εεε下的坐标为坐标为12(,,,)n x x x ，即1122n n x x x =+++αεεε.于是11221122()n n n n x x x x x x =+++=+++A A A A A αεεεεεε. 所以12(,,,)n L ∈A A A A αεεε，因而12()(,,,)n V L ⊂A A A A εεε. 再设12(,,,)n L A A A εεε中任一向量η，则存在一组数12,,,n k k k 使得11221122()n n n n k k k k k k =+++=+++A A A A ηεεεεεε这表明了V ⊂A η，所以12(,,,)n L V ⊂A A A A εεε.故12()(,,,)n V L =A A A A εεε.2）因为A 的秩等于dim ()V A ，由1）则有A 的秩等于12(,,,)n rank A A A εεε.又矩阵A 是由基象组的坐标按列而排成的. 而在n 维线性空间V 中取定一组基之后，把V 中的每一向量与它的坐标对应起来，我们就得到了V 到n P 的一个同构映射. 同构映射保持向量组的一切线性关系，因此基象组与它们的坐标组（即矩阵的列向量组）有相同的秩. 证毕.说明 上述定理表明了线性变换与矩阵的对应关系保持秩不变.定理4.3.7设A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 的秩+A 的零度n =.即1dim ()dim ()dim V V -+=0A A.证明 设A 的零度为r . 在核1()-0A中取一组基12,,,r εεε，现在将它扩充为V 的一组基121,,,,,,r r n +εεεεε. 又11()(,,,,,)r r n V L +=A A A A A εεεε，而12,,,r A A A εεε全是零向量，所以1()(,,)r n V L +=A A A εε.下面证明1,,r n +A A εε是()V A 的一组基. 显然()V A 中任一向量均可由1,,r n +A A εε线性表示，只需要证明1,,r n +A A εε线性无关即可. 设11r r n n λλ++++=0A A εε，则有11()r r n n λλ++++=0A εε，所以111()r r n n λλ-++++∈0Aεε，因此，11r r n n λλ++++εε可以用1()-0A 的基12,,,r εεε线性表示，设为111122r r n n r r λλλλλ++++=+++εεεεε. 而121,,,,,,r r n +εεεεε线性无关，所以0(1,2,,)i i n λ==.故1,,r n +A A εε线性无关. 因而A 的秩等于n r -，所以A 的秩+A 的零度n =. 证毕.说明 虽然()V A 与1()-0A的维数和是n ，但1()()V -+0A A 未必就是整个线性空间V . 如例4.3.5.推论4.3.7 设A 是有限维线性空间V 的一个线性变换，则A 是单射⇔A 是满射. 证明 设A 是单射，则1(){}-=00A ，而又1dim ()dim ()dim V V -+=0A A. 所以dim ()dim V V =A .则()V V =A ，所以A 是满射，从而为双射.反过来，设A 是满射，仍由1dim ()dim ()dim V V -+=0A A有1(){}-=00A，即A 是单射，从而是双射.注 这是有限维线性空间的线性变换的一个特性. 对于无限维线性空间并不成立.例4.3.8 设A 是一个n n ⨯矩阵，2=A A . 证明：A 相似于对角阵B . 其中11100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B . （分析）要证明AB ，只要证明A 与B 是同一线性变换在某两组基下的矩阵即可.证明 设有n 维线性空间V ，12,,,n εεε是V 的一组基. 定义线性变换A 为：1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.下面我们来证明A 在某组基下的矩阵就是B .因为2=A A ，所以2=AA . 对任意的()V ∈A α，则必存在V ∈β，使得()=A αβ.则2()====A A A A A αβββα.所以1()(){}V -0=0A A.而又1dim dim ()V n -+0=A A，所以1()()V V -=⊕0A A.因而在()V A 取一组基12,,,r ηηη，在1()-0A中取一组基1,,r n +ηη，所以121,,,,,,r r n +ηηηηη就是V 的一组基. 显然1122,,,,r r ===A A A ηηηηηη1,,r n +==00A A ηη.故1212(,,,)(,,,)n n =B A ηηηηηη.由定理4.2.13，同一线性变换在不同的基下的矩阵是相似的. 即A 相似于对角阵B . 证毕.2. 线性变换的值域与核的求法现在我们总结一下线性变换的值域与核的求法.设V 是数域P 上的n 维线性空间V ，A 是V 的线性变换，常通过下面的两种方法来求()V A 及1()-0A：第一种 取V 的一组基12,,,n εεε，由于1()(,,)r n V L +=A A A εε，所以先求出基象组12,,,n A A A εεε，再求出12(,,,)n rank A A A εεε及其一个极大无关组，也就得到了()V A 的维数及它的基； 设1()-∈0Aη，根据()=0A η来求确定1()-0A的维数与基.第二种 求出A 在基12,,,n εεε下的矩阵A ，所以A 的秩就等于A 的秩，且由于()i A ε在基12,,,n εεε下的坐标就是A 的第i 个列向量，从定理4.3.6的证明可以看出，利用同构，A 的列向量组的极大无关组对应12,,,n A A A εεε的极大无关组，从而可以确定()V A 的基. 设1()-∈0Aη，则由()=0A η知，η在基12,,,n εεε下的坐标12(,,,)n x x x 就是齐次线性方程组=0Ax 的解向量，所以=0Ax 的基础解系就是1()-0A的基在12,,,n εεε下的坐标.例 4.3.9 设V 是全体次数不超过n 的实系数多项式，再添上零多项式构成实数域上的线性空间，定义V 的线性变换：[()]()()(())f x xf x f x f x V '=-∀∈A .1）求A 的核1()-0A及值域()V A ；2）证明：1()()V V -=⊕0A A .1）解 取V 的一组基21,,,,n x x x ，则22(1,,,,)(1,,,,)n n x x x x x x =A A .其中100000000010001n -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A . 求解齐次线性方程组=0Ax 得到基础解系(0,1,0,,0)T =ε. 令22(1,,,,)(1,,,,)(0,1,0,,0)n n T x x x x x x x ===ηε.则1()()L x -=0A ， 1dim ()1-=0A.又22323()(1,,,,)(1,0,,2,(1))(1,,,)n n nV L x xx L x x n x L x x x==--=A A A A A ， 所以dim ()V n =A .2）证明 由1）有12323()()()(1,,,)(1,,,,)n n V L x L x x x L x x xx V -+=+==0A A .又1dim ()dim ()1dim V n V -+=+=0A A ，故1()()V V -=⊕0A A . 证毕.§4.4 不变子空间我们知道，同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的，而相似的矩阵也可以认为是同一个线性变换在不同基下的矩阵. 所以，我们可以选择适当的基，使得线性变换的矩阵尽可能的简单，这样通过简单的矩阵来把握所给的线性变换. 因此，我们引入不变子空间的概念.定义4.4.1设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空间. 如果对于W 中任一向量α，均有W ∈A α，则称W 是A 的不变子空间，简记为-A 子空间.如果A 是线性空间V 的线性变换，W 是A 的不变子空间，由于W 中的向量在A 下的象仍然在W 中，这就使得有可能不必在整个线性空间V 中来研究A ，而只需要在W 中来考虑A 即可. 这样A 便又诱导出W 的一个线性变换，这个线性变换称为A 在W 上的限制（或A 在W 中的诱导变换），记作|W A . 因此()()|W W =∀∈A A βββ.在不致发生混淆时，有时也将|W A 记为A .说明 A 与|W A 的异同：A 是V 的线性变换，V 中每个向量在A 下都有确定的象；|W A 是不变子空间W 上的线性变换，对于W ∀∈β，有()|W =A A ββ，但对于V 中不属于W 的向量ξ，()|W =A A ξξ是没有意义的.例4.4.2 对于V 的任何线性变换A ，平凡子空间{}0及V 都是A 的不变子空间. 例4.4.3 []P x 的子空间[]n P x 是关于线性变换()()f x f x '=D的一个不变子空间.例4.4.4 线性变换A 的值域()V A 与核1()-0A都是A 的不变子空间.证明 任取()V ∈A α，则当然有V ∈α，所以有()V ∈A A α，即()V A 对A 不变. 对于任意的1()-∈0Aξ，有1()-=∈00A Aξ，即核1()-0A也是A 的不变子空间.证毕.例4.4.5 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.证明 设W 是线性空间V 的任一子空间，λA 是数乘变换，则对于W 中的任一向量α，都有λλ=A αα.而W 是V 的子空间，所以W λ∈α，即W λ∈A α. 所以W 是λA 的不变子空间. 证毕.例4.4.6 如果线性变换A 与B 可交换，则B 的核1()-0B 与值域()V B 都是A 的不变子空间. 证明 在B 的核1()-0B 中任取一个向量α，则()()()===00B A B A A αα，所以1()-∈0A Bα. 即1()-0B 是A 的不变子空间.在B 的值域()V B 中任取一个向量()B β，则(())(())()V =∈A B B A B ββ.因此，值域()V B 也是A 的不变子空间. 证毕.例4.4.7 已知123321(,,)(,,)a a a a a a =A 是3P 的一个线性变换. 则子空间1212{(,,0)|,}W x x x x =∈F就不是A 的不变子空间. 如(1,2,0)W ∈，但(1,2,0)(0,2,1)W =∉A .命题 4.4.8 A 的不变子空间的交与和还是A 的不变子空间.证明 设1W 与2W 都是A 的不变子空间，α是12W W 中的任一向量，则1()W ∈A α且2()W ∈A α.所以，12()W W ∈A α. 故12W W 是A 的不变子空间.设β是12W W +中任一向量，则存在1W 中的向量1β与2W 中的向量2β，使得12=+βββ.则1212()()()()=+=+A A A A βββββ.又1122(),()W W ∈∈A A ββ，所以12()W W ∈+A β. 故12W W +也是A 的不变子空间.证毕.2. 不变子空间与线性变换的矩阵化简 下面我们来看不变子空间的一个应用.定理 4.4.9 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换. 如果1W 与2W 都是A 的不变子空间，且12V W W =⊕，则可在V 中选择一组适当的基，使得A 在这组基下的矩阵具有如下形状：1200⎛⎫ ⎪⎝⎭A A . 证明 设12,,,r εεε是1W 的一组基. 由于12V W W =⊕，则可设1,,r n +εε是2W 的一组基，且121,,,,,,r r n +εεεεε是V 的一组基. 又1W 与2W 都是A 的不变子空间，则可设111111111,11,11,1(),(),(),().r r r r rr r r r r r n r n n r n r nn n a a a a a a a a +++++++=++⎧⎪⎪⎪=++⎪⎨=++⎪⎪⎪=++⎪⎩AA A Aεεεεεεεεεεεε所以，A 在基121,,,,,,r r n +εεεεε下的矩阵是1200⎛⎫ ⎪⎝⎭A A . 其中11111r r rr a a a a ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭A ， 1,11,2,1r r r n n r nn a a a a ++++⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A . 证毕.说明 定理4.4.9反过来也成立. 如果A 在基121,,,,,,r r n +εεεεε下的矩阵是1200⎛⎫ ⎪⎝⎭A A ， 则由12,,,r εεε与1,,r n +εε所生成的子空间都是A 的不变子空间.（请读者自己给出证明）我们将上述定理4.4.9进行推广，其证明是与定理4.4.9类似的. 推论4.4.10 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换. 如果12,,,s W W W 都是A的不变子空间，且12s V W W W =⊕⊕⊕，则可在V 中选择一组适当的基，使得A 在这组基下的矩阵具有如下形状：12s ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A A . 说明 推论4.4.10反过来也是成立的. 即如果A 在基12,,,(1,2,,)ii i ini s =εεε下的矩阵是12s ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A A ， 则由12,,,(1,2,,)ii i in i s =εεε所生成的子空间都是A 的不变子空间.由推论4.4.10立刻有：推论4.4.11设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换. 如果12,,,n W W W 都是A的一维不变子空间，且12n V W W W =⊕⊕⊕，则可在V 中选择一组适当的基，使得A 在这组基下的矩阵是对角矩阵：12s a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.说明 定理4.4.9及上面的推论告诉我们两个事实：1）对于一个线性变换A ，如果V 可以分解成一些子空间的直和，则可以选择适当的基，使得A 在这组基下的矩阵是准对角矩阵.2）矩阵相似于准对角矩阵与线性空间分解为不变子空间的直和是相当的.习题A1. 判别下面的变换，哪些是线性变换，哪些不是：1）在线性空间V 中，()=+A ηηα，其中V ∈α是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，()=A ηα，其中V ∈α是一固定的向量； 3）在线性空间[]n P x 中，()()f x f x '=A ；4）在线性空间3P 中，221231233(,,)(,,)x x x x x x x =+A ；123123(,,)(0,,0)x x x x x x =A ；123122331(,,)(,,)x x x x x x x x x =+++A ；123123(,,)(0,,0)x x x x x x =++A ；5）在n n P ⨯中，(),=X AXB A 其中,A B 是n n P ⨯中两个固定的矩阵. 2. 证明：21,1,1x x x +++是线性空间3[]P x 的一组基. 并求出线性变换()()f x f x '=A在这组基下的矩阵. 3. 在22P ⨯中定义线性变换1()a b X c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭X A ；2()a b c d ⎛⎫=⎪⎝⎭X X A ；3()a b a b c d c d ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X X A . 分别求出1A ，2A ，3A 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵.4. 设在数域P 上的三维线性空间V 上的线性变换A 在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A . 求1）A 在基321,,εεε下的矩阵；2）A 在基123,,k εεε下的矩阵，其中k P ∈，且0k ≠； 3）A 在基1223,,+εεεε下的矩阵.5.设,A B 是线性变换，如果=,-A B B A E 证明：1=,k kk k --A B B AAk 是大于1的正整数.6.设n 阶矩阵A 和B 相似，且A 可逆. 则AB 与BA 相似.7.设V 是数域P 上的二维线性空间，线性变换A 在基12,εε下的矩阵是2110⎛⎫⎪-⎝⎭. 12,ηη也是V 的一组基，且从基12,εε到12,ηη的过渡矩阵为1112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 求A 在基12,ηη下的矩阵及21,10kk ⎛⎫⎪-⎝⎭为正整数. 8.证明：方阵12n a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭与 12n i i i a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似，其中12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列.9.如果A 和B 相似，C 和D 相似，证明⎛⎫ ⎪⎝⎭00A B 与⎛⎫ ⎪⎝⎭00C D 相似.10.设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，线性变换A 在基1234,,,εεεε下的矩阵是1021121312552212⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭. 1）求A 在基11242234334342,3,,2=-+=--=+=ηεεεηεεεηεεηε下的矩阵； 2）求A 的值域与核；3）在A 的值域中选择一组基，把它扩充为V 的一组基，并求A 在这组基下的矩阵；4）在A 的核中选择一组基，把它扩充为V 的一组基，并求A 在这组基下的矩阵.11. 设W 是线性空间V 的一个子空间，A 是V 的一个线性变换. 证明：如果W 是A 的不变子空间，则可以选择适当的基，使得A 在这组基下的矩阵具有如下形状：⎛⎫ ⎪⎝⎭0A C B . 12.设A 是n 维线性空间V 的可逆的线性变换，W 是V 的子空间，且对于A 不变.证明：W 也是1-A 的不变子空间.习题B1. 设A 是数域P 上n 维线性空间V 上的线性变换，12,W W 是V 的两个子空间，且12V W W =⊕.证明：A 可逆的充分必要条件是12()()V W W =⊕A A .2. 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，且1n -≠0A ，n=0A. 证明：在V 中存在一组基，使得A 在这组基下的矩阵是0000100001000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3. 设A 是有限维线性空间V 的一个线性变换，W 是V 的一个子空间. 证明：1dim ()dim[()]dim W W W -+=0A A.4. 设,A B 是n 维线性空间V 线性变换. 证明：AB 的秩≥A 的秩+B 的秩n -.5. 设12,,,s A A A 是线性空间V 的s 个两两不同的线性变换，则在V 中必存在向量η，使得12(),(),,()s A A A ηηη也两两不同.6. 设,A B 是线性空间V 线性变换，且2=A A ，2=BB . 证明：1）,A B 有相同的值域,⇔==A B B B A A ； 2）,A B 有相同的核,⇔==A B A B A B . 7. 设A 是n 维线性空间V 线性变换. 证明：A 的秩=2A 的秩1()()V V -⇔=⊕0A A.8. 设A 是n 维线性空间V 线性变换，且2=A A . 证明：1）1(){()|}V -=-∈0AA ξξξ；2）若B 是V 线性变换，则1()-0A 与()V A 都是B 的不变子空间⇔=AB B A .。

线性变换及其运算概述：线性变换是数学中重要的概念之一。

它是指将一个向量空间中的元素映射为另一个向量空间中的元素，同时保持线性关系的变换。

线性变换可以用矩阵来表示，并且有着丰富的运算规则。

定义：在向量空间V和W之间，如果存在一个映射T，对于任意的向量u和v以及任意的标量k，满足以下两个条件：1.T(u + v) = T(u) + T(v)2.T(ku) = kT(u)这样的映射T被称为线性变换。

线性变换保持向量的线性组合关系，即映射后的向量的线性组合等于原向量线性组合的映射。

线性变换可以将向量空间中的向量映射到另一个向量空间中。

属性：线性变换有许多重要的属性：1.线性变换保持零向量不变：T(0) = 02.线性变换保持向量的长度和角度：对于向量v和w，如果它们的夹角为θ，则经过线性变换后的向量T(v)和T(w)的夹角也为θ，且长度也相同。

3.线性变换保持向量的共线性：对于向量v和w，如果它们共线，则线性变换后的向量T(v)和T(w)依然共线。

4.线性变换在两个向量的和上的作用等于这个线性变换在每个向量上的作用之和：T(u + v) = T(u) + T(v)5.线性变换在一个向量上的作用乘以一个标量等于这个标量乘以这个线性变换在向量上的作用：T(ku) = kT(u)线性变换的运算：线性变换可以进行加法、数乘和复合运算，具体如下：1.加法运算：对于线性变换T1和T2，它们的加法运算是指将T1作用于一个向量v，然后将T2作用于T1作用后的向量T1(v)。

即 (T1 + T2)(v) = T2(T1(v))，其中v为向量。

2.数乘运算：对于线性变换T和标量k，它们的数乘运算是指将T作用于一个向量v，然后将k乘以T作用后的向量T(v)。

即(kT)(v) = k(T(v))，其中v为向量。

3.复合运算：对于线性变换T1和T2，它们的复合运算是指先将T2作用于向量v，然后再将T1作用于T2作用后的向量T2(v)。

1、解：11(,)x y α= 22(,)x y β= 1212(,)a b a x b x a y b yαβ+=++12121212121211112222111122221122()(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)()()T a b T a xb x a y b ya xb x a y b y a x b x a y b ya x a y a x a yb x b y b x b ya x y x yb xy x y a T x y b T x y a T b T αβαβ+=++=+--+++=-++-+=-++-+=+=+ ∴T 是线性变换。

{}{}21111()()()()(0,0)N T x y x y R T x y εθ===且T 的零维为0，T 的秩即秩为2 2、解：11221212(,)(,)(,)x y x y a b ax bx ay by αβαβ=+=++1212121212121111222211112222()(,)(22,)(2,)(2,)(2,)(2,)()()T a b T ax bx ay by ax bx ay by ax bx ay by ax ay ax ay ax by bx by a x y x y b x y x y aT bT αβαβ+=++=+--+++=-++-+=-++-+=+ ∴T 是线性变换。

{}{}21111()()()()(0,0)N T x y x y R T x y εθ===且∴T 的零维为0，秩为23、解：如图建立直角坐标系直线l 为过原点的固定直线。

设2上的任一点（x,y ），通过直线l 的对称点为（x 1,y 1）l 的方向向量为S ，则有(,)OA x y =11(,)OB x y = ()()22()OC OA S S AC OC OA OA S S OA OB OA AC OA OA S S ==-=-=+=-+ 令11,,2()OA OB a a S S ααα===-+⋅ 则有 对任意22,,,R a b ααε及任意实数有1212121212()()2(,)(2(,))(2(,))()()T a b a b a b S Sa S Sb S S aT bT αααααααααααα+=-+++=-++-+=+∴T 是线性变换。

§3 线性变换一、基本概念[线性变换] 设V 和V '是同一域F 上的两个线性空间，映射':V V →L 满足下面两个条件：(i) )()()(2121ααααL L L +=+，对任意V ∈21,αα;(ii) )()(11ααL L a a =，对任意V F a ∈∈1,α；则称L 为线性映射或线性变换，又称同态. 若V 与V '是同一线性空间，则称L 为空间V 到自身的线性变换，或称为自同态.例1 在一个线性空间V 上的一个线性函数（见本节三）F V →:ϕ是V 到域F （考虑为一维线性空间）的一个线性变换.例2 设n ϕϕϕ,,,21 是线性空间V 上的线性函数，则由V m ∈→α)},α(,),α(),α({α21ϕϕϕ所确定的映射是V 到m 维空间m F 的一个线性变换.例3 设V 是区间[a ，b ]上所有连续函数组成的实线性空间. 若令)(d )())((x F t t f x f xa ==⎰L 则L 就是V 的一个线性变换. 事实上，因为对任意实数b ，c ，有))(())((d )(d )(d )]()([))()((x g c x f b t t g c t t f b t t cg t bf x cg x bf xa x a x a L L L +=+=+=+⎰⎰⎰ 例4 设V 为一切实系数多项式f （x ）组成的线性空间. 若令)())((L x f x f '= （)(x f '为)(x f 的导数）则L 是V 的一个线性变换.[线性变换的性质]1o 线性变换定义中的条件(i)，(ii)等价于：对任意V F b a ∈∈21,,,αα)α()α()αα(2121L L L b a b a +=+重复应用这公式，导出)()()()(22112211n n n n a a a a a a ααααααL L L L +++=+++2o 若V r ∈ααα,,,21 是线性无关的，':V V →L 是一个线性变换，则)(,),(),(21r αααL L L也是线性无关的.3o 若m ααα,,,21 构成V 的一个基底，又设'21,,,V m ∈βββ ，则唯一地存在一个线性变换L ，使),,2,1()(m i i i ==βαL .[零变换·恒等变换·逆变换] 将线性空间V 的任一矢量α都变为线性空间'V 的零矢量的变换，称为零变换记作O . 即对任一V ∈α，有')(0=αO （'0为'V 的零矢量）将线性空间V 中任一矢量α都变为自己的变换，称为恒等变换. 记作I ，即对任一V ∈α，有αα=)(I零变换和恒等变换都是线性变换.对'V V →的线性变换L ，若存在V V →'上的线性变换M ，使I LM =，则称M 为L 的逆变换，记作1-L .[线性变换的矩阵] 设n ααα,,,21 是线性空间V 的一组基底，m βββ,,,21 是'V 的基底，':V V →L 是线性变换，那末),,2,1(m i i =β可表为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nmn m m m n n n n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ22112222121212121111由系数所组成的矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 称为线性变换L 关于基{n ααα,,,21 }和{m βββ,,,21 }的矩阵.特别，当V 与'V 的维数相同，或L 是V 自身的线性变换，则A 为方阵.在基底确定之后，线性变换和它的矩阵建立了一对一的对应关系. 零变换的矩阵是零矩阵，恒等变换的矩阵是单位矩阵.[线性变换的特征值与特征矢量] 如果存在V F ∈∈α,λ，使得自同态':V V →L 满足 ααλ=)(L那末称λ为线性变换L 的特征值（特征根），称α为对应于λ的特征矢量.一个线性变换的特征值与特征矢量分别等于该变换的矩阵的特征值与特征矢量.[象·象源·核·线性变换的秩] 若':V V →L 是一个线性变换，则称V L 为V 的象，称V 为象源，称)('10-L 为核. V L 的维数称为L 的秩，)('10-L 的维数称为退化次数.一个线性变换':V V →L 的核)('10-L 与象V L 分别为V 和'V 的线性子空间，核的维数与象的维数之和等于象源的维数. 即V V d i m d i m )(d i m '1=+-L L 0一个线性变换的秩等于该变换的矩阵的秩.二、 线性变换的运算[线性变换的和与数乘] 从空间V 到空间'V 的线性变换的集，记作),H o m ('V V设V F a V V ∈∈∈α,),,Hom(,'M L ，按照下列公式定义L M L a ，+:)())((),()())((αααααL L M L M L a a =+=+这两个新的变换都是线性的，并且L M M L +=+L M L a ，+分别称为线性变换的和与数乘.按上面定义的线性变换的和与数乘，集),Hom('V V 组成F 上的线性空间. 它的维数等于V 和'V 的维数n 和m 的积mn .[线性变换的乘积] 设"'V V V ，，为三个线性空间，若),Hom('V V ∈L ，),Hom("'V V ∈M 则定义))(()(ααL M LM = )(V ∈α显然LM 是从"V V →的线性变换，称LM 为线性变换的乘积.线性变换的乘积满足：1o 分配律 若),Hom(),,Hom(,"''21V V V V ∈∈M L L 则M L M L M L L 2121)(+=+2o 结合律 若),Hom(),,Hom(),,Hom('"""''V V V V V V ∈∈∈N M L .N LM MN L )()(=[幂等变换] 如果L 是线性空间V 到自身的线性变换，满足等式L LL L ==2那末称L 为幂等变换.[同构与自同构] 若线性变换':V V →L 是一对一的，则称L 是同构，或称L 是正则的. V 到自身的一个同构称为自同构. 若V 到自身的线性变换不是自同构，则称它为奇异线性变换，否则就称为非奇异线性变换（或正则自同态）.同构有以下性质：1o ':V V →L 是一个同构的充分必要条件是：00=-)('1L2o 若L 和M 是同构的，':V V →L ，"':V V →M 则111)(---=L M LM特别，对自同构"'V V V ==，上式也成立.3o 域F 上线性空间V 的一切自同构所成的集G 在乘法之下构成一个群. 称G 为V 的线性变换群，记作),/(F n G ，其中n 为V 的维数.4o 域F 上线性空间V 的一切线性变换（自同态）所成的集R 在加法和乘法之下构成一个环，称R 为A 的线性变换环.三、 对偶空间与对偶映射[数量积与对偶空间] 设V 和*V 是两个实（复）线性空间. 若对任意一对矢量),(,***V V ∈∈αααα确定了一个数量),(*αα，并满足下列条件：(i) ),(),(),(****βαααβααb a b a +=+),(),(),(***αβαααβαb a b a +=+(ii) 对一个固定的V ∈α和一切**V ∈α,若0),(*=αα则0=α；反之，对一个固定的**V ∈α和一切V ∈α,若0),(*=αα则**0=α.则称函数),(*αα为数量积.若0),(*=αα，则称*,αα是正交的. (ii)表明，一个空间中一个矢量与另一个空间中一切矢量正交，只当它是零矢量时才成立.定义了数量积的两个线性空间称为对偶空间.对偶空间的维数相等.[对偶基底] 若V 和*V 的两个基底},,,{21n ααα 和},,,{**2*1n ααα 满足关系式：⎩⎨⎧≠===)(0)(1,),(*j i j i ij ij j i δδαα 则称它们为对偶基底.V 和*V 是对偶空间，则对于V 的一个已知基底},,,{21n ααα ，*V 恰有一个对偶基底},,,{**2*1n ααα .[正交补空间] 设1V 是V 的一个子空间，则空间V 中与1V 的一切矢量都正交的矢量*α组成的集合*1V 是V 的一个子空间，称*1V 为1V 的正交补空间，记作⊥1V .正交补空间有以下性质：1o 空间1V 和⊥1V 的维数之和等于空间V 的维数，即V V V d i m d i m d i m 11=+⊥2o 11)(V V =⊥⊥3o 若21V V V ⊕=，则⊥⊥⊕=21*V V V ；而且1V 和⊥2V 是一对对偶空间，2V 和⊥1V 也是一对对偶空间.[共轭空间] 设V 是域F 上的线性空间，若对V ∈α，在F 上有唯一的一个数)(αϕ与α对应，则称这个对应关系ϕ为定义在V 上的一个函数. 函数F V →:ϕ若对任二矢量V ∈βα,与任意F b a ∈,，都有)()()(βαβαϕϕϕb a b a +=+ 则称ϕ为线性函数，又称为线性泛函. 令0==b a ，则有0)0(=ϕ，因此又称线性函数为线性齐次函数或线性型.V 中线性函数的集)(V L 的两个函数ϕ，ψ的和与数乘按通常的方式定义如下：V a a ∈=+=+αααααα),())((),()())((ϕϕψϕψϕ 则)(V L 构成一个线性空间，称)(V L 为V 的共轭空间，)(V L 的零矢量是一个恒等于零的函数. 可以证明)(V L 和V 是一对对偶空间，若{n ααα,,,21 }是V 的一组基底，则由下列方程定义的函数n a a a ,,,21 为)(V L 的一个基底：ij j i a δ=)(α因而{n a a a ,,,21 }又是{n ααα,,,21 }的共轭基底.[对偶映射] 设V ，*V 与W ，*W 是两对对偶空间；若两个线性映射： W V →:L 与***:V W →L对于一切V ∈α与一切**W ∈β，都有))(,()),((***αβαβL L =则称L ，*L 为对偶映射.对偶映射有以下性质：1O 对一个已知的线性映射W V →:L ，恰有一个对偶映射*L . 2O 对偶映射L 和*L 的秩相等.3O 一个矢量W ∈β包含在象空间V L 中的充分必要条件是：β与核)(1*0-L 中的一切矢量正交.。

第讲线性变换第2讲线性变换内容：1. 线性变换2. 线性变换的矩阵表⽰，特征值与特征向量3. 线性变换的值域、核及不变⼦空间线性空间是某类客观事物从量的⽅⾯的⼀个抽象，线性空间V 中⾃⾝到⾃⾝的⼀种线性映射称为V 的⼀个线性变换，线性变换研究线性空间中元素之间的最基本联系．介绍线性变换的基本概念并讨论它与矩阵之间的联系．§1 线性变换 1 线性变换定义1.1 设V 是数域P 上的线性空间，T 是V 到⾃⾝V 的⼀个映射，即对于V 中的任意元素x 均存在唯⼀的V y ∈与之对应，则称T 为V 的⼀个变换或算⼦，记为y x T =)(,称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象．若映射T 还满⾜:)()()(y lT x kT ly kx T +=+，P l k V y x ∈∈?,,,,称T 为V 的线性变换．例1.1 ⼆维实向量空间?=∈=2,1,212i R R i ξξξ，将其绕原点旋转θ⾓的操作就是⼀个线性变换．证明：=21ξξx ， ??==21)(ηηx T y , +=-=θξθξηθξθξηcos sin sin cos 212211 ， 22121cos sin sin cos R ∈??-=ξξθθθθηη。

可见该操作T 为变换，下⾯证明其为线性变换．22121,R z z z x x x ∈==?,R l k ∈,,++=+=+22112121lz kx lz kx lz lz kx kx lz kx ， )()(cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos )(21212211z lT x kT z z l x x k lz kx lz kx ly kx T +=-+??-=??++-=+θθθθθθθθθθθθ，所以, T 是线性变换． 2 ⼏种常⽤的线性变换1）单位变换把线性空间V 的任⼀向量都变为其⾃⾝的变换称为单位变换或恒等变换，记为 e T ，即：V x x x T e ∈?=,)(．2）零变换把线性空间V 中的任⼀向量都变为零向量的变换称为零变换，记为 0T ，即V x x T ∈?=,0)(0．3）变换相等如果1T ,2T 是V 的两个变换，V x ∈?，均有)()(21x T x T =，则称变换1T 与2T 相等，记为21T T =．4）满秩（线性）变换若（线性）变换T 将所有的线性⽆关元素组仍变换为线性⽆关的元素组，则称之为满秩（线性）变换．5）变换的和21T T +，V x ∈?，)()())((2121x T x T x T T +=+，则21T T T +=．6）变换的数乘kT ：V x ∈?，)())((x kT x kT =． 7）负变换：)())((x T x T -=-．8）变换的乘积21T T ：V x ∈?，))(())((2121x T T x T T =． 9）逆变换1-T ：V x ∈?，若存在变换S 使得x x ST ≡))((，则称S 为T 的逆变换1-=T S ．10）变换的多项式：nn T TT T =，并规定e T T =0; ∑==Nn nn ta t f 0)( → ∑==Nn nn T a T f 0)( →)())((0∑==Nn n n x T a x T f ．说明：变换的乘积不满⾜交换律；只有满秩变换才有逆变换，e T ST =． 3 线性变换的性质1）线性变换把零元素仍变为零元素 2）负元素的象为原来元素的象的负元素3）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组．注意，线性⽆关的元素组经过线性变换不⼀定是线性⽆关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关． §2 线性变换的矩阵表⽰、特征值与特征向量有限维线性空间的任⼀元素（向量）都可由基元素（向量）唯⼀线性表⽰，元素（向量）可以⽤坐标表⽰出来，通过坐标把线性变换⽤矩阵表⽰出来，从⽽可把⽐较抽象的线性变换转化为具体的矩阵来处理． 1 线性变换的矩阵表⽰设T 是线性空间n V 的⼀个线性变换，且},,,{21n x x x 是n V 的⼀个基，nV x ∈?，则存在唯⼀的坐标表⽰==∑=n n ni i i x x x x x ξξξξ 21211][,有)()(2211n n x x x T x T ξξξ+++==n n x T x T x T ξξξ 2121)]()()([=n n x x x T ξξξ 2121)(,要确定线性变换T ，只需确定基元素在该变换下的象就可以了．定义2.1 设=ni i i n i a a a x x x x T 2121][)(，A x x x a a a a a a a a a x x x x x x T n nn n n n n n n ][][),,,(212122221112112121 =?=，对于任意元素x ，在该基下，变换后)(x T 的坐标表⽰为=n n x x x x T ηηη 2121][)(，即[]==n n n n A x x x x x x T x T ξξξξξξ 21212 121,,,),,,()(,可知：=n n A ξξξηηη 2121,即：n x ξξξ 21，n A x T ξξξ 21)(,把A 称为T 在基},,,{21n x x x 下的矩阵表⽰．定理2.1 设},,,{21n x x x 是n V 的⼀个基，1T 、2T 在该基下的矩阵分别为A 、B ．则有（1）)]([])[(212121B A x x x x x x T T n n +=+（2）)]([])[(21211kA x x x x x x kT n n =（3）)]([])[(212121AB x x x x x x T T n n =（4）121211][][--=A x x x x x x T n n推论 2.1 设i mi i t a t f ∑==0)(为纯量t 的m 次多项式，T 为线性空间n V 的⼀个线性变换，且在n V 的基},,,{21n x x x 下的矩阵表⽰为A ，则)(][])[(2121A f x x x x x x T f n n =，其中i mi i A a A f ∑==0)(，I A =0.推论 2.2 设线性变换T 在n V 的基},,,{21n x x x 下的矩阵表⽰为A ，元素x 在该基下的坐标为),,,(21n ξξξ，则)(x T 在该基下的坐标),,,(21n ηηη满⾜=n n A ξξξηηη 2121 ．定理2.2 设T 在n V 的两个基},,,{21n x x x 及},,,{21n y y y 的矩阵分别为A 和B ，且C x x x y y y n n ][][2121=，则AC C B 1-=.即A 和B 相似，记为B A ~．线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反之，如果两个矩阵相似，那么它们可以看成同⼀个线性变换在两组不同基下的矩阵．定理 2.3 n 阶⽅阵A 和B 相似的充要条件是A 和B 为同⼀线性变换在不同基下的矩阵表⽰． 2 特征值与特征向量定义2.2 设T 是数域P 上线性空间V 中的线性变换．如果对于数域P 中某⼀数λ,存在⾮零向量α，使得λαα=)(T . （1）则称λ为T 的⼀个特征值，⽽α称为T 的对应于特征值λ的⼀个特征向量．式(1)表明，在⼏何上，特征向量α的⽅位，经过线性变换后保持不变．特征向量不是被特征值惟⼀确定；但是，特征值却被特征向量惟⼀确定．设n x x x ,,,21 是线性空间n V 的基，线性变换T 在该基下的矩阵表⽰是)(ij a A =．令0λ是T 的特征值，属于0λ的特征向量nn x x x x ξξξ+++= 2211,则由式(1)知)(x T 及x 0λ的坐标分别是n A ξξξ 21,n ξξξλ 210，有n A ξξξ 21=n ξξξλ 210，即 ()0210=-n A E ξξξλ , （2）由于0≠x ，因此，n ξξξ,,,21 不全为零，从⽽就有()0det 0212220211121100=---------=-nnn n n n a a a a a a a a a A E λλλλ定义2.3 设)(ij a A =是数域P 上的n 阶矩阵，λ是参数，称A的特征矩阵AE -λ的⾏列式())(det 212222111211λ?λλλλ=---------=-nnn n nna a a a a a a a a A E为矩阵A的特征多项式．它是P 上的⼀个n 次多项式．()λ?的根(或零点) 0λ，即()0=λ?，称为A 的特征值(根)；⽽相应于⽅程组（2）的⾮零解向量()T n ξξξ,,,21 称为A 的属于特征值0λ的特征向量．说明：如果0λ是线性变换的特征值，那么0λ必定是矩阵A 的特征多项式()()A E -=λλ?det 的⼀个根；反之，如果0λ是()λ?在数域P 中的⼀个根，即有()()0det 00=-=A E λλ?,那么齐次线性⽅程组（2）就有⾮零解．于是⾮零向量n n x x x x ξξξ+++= 2211就满⾜式(1)，从⽽0λ是T 的特征值，x 是T 的属于0λ的特征向量．所以，欲求线性变换T 的特征值和特征向量，只要求出T 的矩阵A 的特征值和特征向量就⾏了．换⾔之，T 的特征值与A 的特征值相⼀致，⽽T 的特征向量在n V 的基下的坐标(列向量)与A 的特征向量相⼀致．因此，计算特征值和特征向量的步骤如下：第⼀步：取定数域P 上的线性空间n V 的⼀个基，写出线性变换T 在该基下的矩阵A ；第⼆步：求出A 的特征多项式()λ?在数域P 上的全部根，它们就是T 的全部特征值；第三步：把求得的特征值逐个代⼊⽅程组(2)，解出矩阵A 属于每个特征值的全部线性⽆关的特征向量．第四步：以A 的属于每个特征值的特征向量为n V 中取定基下的坐标，即得T 的相应特征向量．例 2.1 设线性变换T 在3V 的基321,,x x x 下的矩阵是=122212221A ，求T 的特征值和特征向量．解容易算出A 的特征多项式是()()=-=A E λλ?det ()()511222122212-+=---------λλλλλ.因此，T 的特征值是1λ=⼀1(⼆重特征值)和2λ=5．特征⽅程()01=-x A E λ的⼀个基础解系为:T )1,0,1(-，T )1,1,0(- ,T 的属于1λ的两个线性⽆关的特征向量为311x x y -=，322x x y -=，T 的属于1λ的全体特征向量为:2211y k y k + ,(P k k ∈21,不同时为零)；特征⽅程()02=-x A E λ的⼀个基础解系为T )1,1,1(，记3213x x x y ++=，则T 的属于2λ的全体特征向量为：33y k ，(P k ∈3不等于零)．定理 2.4 对于线性空间n V 的线性变换T 的任⼀特征值0λ，T 的属于0λ的全部特征向量，再添上零向量所构成的集合{}n V x x x T x V ∈==,)(00λλ是n V 的⼀个线性⼦空间．事实上，设0,λV y x ∈，则有x x T 0)(λ=，y y T 0)(λ=；于是：()()y x y x y T x T y x T +=+=+=+000)()(λλλ，()()()()kx x k Tx k kx T 00λλ===，这就是说明y x +与kx 均属于0λV ．§3 线性变换的值域、核及不变⼦空间 1 线性变换的值域和核定义3.1 设数域P 上的线性空间n V 和m V ，T 是 n V 到mV 的⼀个线性映射，T 的全体像组成的集合称为T 的值域，⽤)(T R 表⽰，也称为T 的像空间，记为n TV ，即(){}m n n V V T TV T R ?∈==αα)(；所有被T 变成零元素（零向量）的元素（向量）构成的集合称为T 的核，记为)ker(T 或)0(1-T ，有时也称)ker(T 为T 的零空间，记为)(T N ，即(){}n n V V T T T N ?∈===ααα,0)()ker(．当T 是线性变换时，称)(T R 和)(T N 分别为线性变换T 的值域和核．可以证明，)(T R 和)(T N 分别是m V 和n V 的线性⼦空间．定义3.2 称)(T R 的维数)(dim T R 为线性变换T 的秩，记为)(T r ；称)(T N 的维数)(dim T N 称为线性变换T 的零度，记为)(T null ．例3.1 设Ax x T =)(,=100011011A ，求T 的值域和核．解令 {}Tx x x x A A A A ),,(,,,321321==，(){}()31332211,A A span A x A x A x T R =++=，其中()()TTA A 1,0,0;0,1,131==．满⾜0=Ax 的()αk x T=-=0,1,1，故}{)(αspan T N =.2 线性变换的不变⼦空间定义3.3 如果T 是线性空间V 的线性变换，1V 是V 的⼦空间，并且对于任意⼀个1V x ∈，都有1)(V x T ∈，则称1V 是T 的不变⼦空间．定义3.4 以m C 表⽰全体m 维复向量在复数域C 上构成的线性空间，A 为n m ?复矩阵，其列(向量)为n ααα,,,21 ．显然，m i C ∈α，n i ,,2,1 =．⼦空间),,,(21n span ααα称为矩阵A 的列空间(值域)，记作)(A R ，即),,,()(21n span A R ααα =．记),,,(21n A ααα =，()nTn C y y y y ∈=,,,21 .则)(A R 可表成{}nC y Ay A R ∈=)(．显然，A 的秩等于A 的值域的维数，即)(dim )(A R A rank =．定义 3.5 设A 为n m ?复矩阵，称线性⽅程组0=Ax 在复数域上的解空间为A的化零空间(核)，记作)(A N ，即}0{)(==Ax x A N .显然，)(A N 是n C 的⼀个⼦空间，称)(A N 的维数为A 的零度，即)(dim )(A N A null =.定理3.1 （1）n V T N T R dim )(dim )(dim =+ （2）)()(dim A rank A R =（3）n A N A R =+)(dim )(dim ，n 为A 的列数．例3.2 设-=311211A ,求)(A null ．解由0=Ax 解得()T k x 2,1,5-=，故1)(=A null ．定理3.2 设A 为n m ?矩阵，则n A null A rank =+)()(．证明因为齐次线性⽅程组0=Ax 的解空间的维数(基础解系包含的线性⽆关向量的个数)为)(A rank n -，故上式成⽴．下⾯给出怎样利⽤不变⼦空间的概念将线性变换的矩阵简化为简单的准对⾓矩阵或对⾓矩阵．假设{}k S ααα,,,21~=是T 的不变⼦空间W 的⼀个基，可以将~S 扩充为V 的⼀个基{}n k k S ααααα,,,,,,121 +=．T 是V 上的⼀个线性变换．对S 中的每个基向量()W T j j ∈αα,，可以表⽰成()()()()nnn k n k k kn n n nnk k k k k kk k k kkk k k kk a a a a T a a a a T a k a T a a T αααααααααααααααα+++++=+++++=++=++=+++++++++ 11111111111111111111线性变换T 在基S 下的矩阵是=++++++nn nk n k k k kn kk kkk n k k a a a a a a a a a a a a A1111111111110000， A 可以分块写成=221211A A A A . 定理 3.3 如果V V V =⊕21，并且1V ，2V 是T 的两个不变⼦空间，即()11V V T ?，()22V V T ?．则线性变换T 的矩阵为准对⾓形=22110A A A . 特别地，若所有i V 都是⼀维⼦空间时，则矩阵A 简化为对⾓矩阵()==n n a a a a a a diag A 2121,,,. 定理 3.4 设T 是线性空间n V 的线性变换,n λλλ,,,21 是T 的全部不同的特征值,则T 在某⼀基下的矩阵为对⾓矩阵的充分必要条件是n V V V n =+++λλλdim dim dim 21 .可知，线性变换T 的矩阵简化为⼀个准对⾓矩阵(或对⾓矩阵)与线性空间n V 可分解为若⼲个不变⼦空间的直和是相当的．。

第三讲 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为Tx ＝y称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。

若变化T 还满足T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) ∀x,y ∈V , k,l ∈K称T 为线性变换。

[例1] 二维实向量空间122i R R ξξξ⎧⎫⎡⎤=∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，将其绕原点旋转θ角的操作就是一个线性变换。

[证明]12x ξξ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 12y Tx ηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦112212cos sin sin cos ηξθξθηξθξθ=+⎧⎨=-+⎩1122cos sin sin cos ηξθθηξθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦2R ∈可见该操作T 为变换，下面证明其为线性变换12x x x ⎡⎤∀=⎢⎥⎣⎦ 12z z z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2R ∈，k ，l R ∈11112222=kx lz kx lz kx lz kx lz kx lz +⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1122cos sin ()sin cos kx lz T kx lz kx lz θθθθ+⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦1122cos sin cos sin sin cos sin cos x z k l x z θθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()k Tx l Tz =+∴T 是线性变换。

[例2] 次数不超过n 的全体实多项式nP 构成实数域上的一个1n +维的线性空间，其基可选为{}21,,,,n x x x ，微分算子d D dx=是n P 上的一个线性变换。

[证明] 显然D 对n P 而言是变换，要证明D 满足线性变换的条件,n f g P ∀∈，k ，l 2R ∈()()()D kf lg k Df l Dg +=+∴ D 是n P 上的线性变换。