必修五数学知识点归纳资料
第一章 解三角形
1、三角形的性质：
①.A+B+C=π,⇒222A B C π+=-⇒sin cos 22
A B C += ②.在ABC ∆中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B , A ＞B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔ A ＞B
③.若ABC ∆为锐角∆，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2
π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b
2、正弦定理与余弦定理：
①.为ABC ∆外接圆的直径)
2sin a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =
sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R
= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== ②.余弦定理：
2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、
2222cos c a b ab C =+- 222
cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222
cos 2a b c C ab
+-=补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ
--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；
⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ
++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
⇒升幂公式2
sin 2cos 1,2cos 2cos 122ααα
α=-=+
⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． 3
第二章 数列
1、数列的定义及数列的通项公式：
①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值
②
i.归纳法
若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段 iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +
iv. 若()n n S
f a =，先求1a ，11()()
n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式
例如：21n n S a =+先求1a ，再构造方程组：1
12121n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩⇒（下减上）1122n n n a a a ++=- 2.等差数列：
① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。
② 通项0d ≠时，n a 为关于n 的一次函数；
d ＞0时，n a 为单调递增数列；d ＜0时，n a 为单调递减数列。
③ 前n
1(1)2
n n na d -=+， 0d ≠
时，n S 是关于n 的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。
④ 性质： ii. 若{}n a 为等差数列，则m a ，m k a +，2m k a +，…仍为等差数列。
iii. 若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列。
iv 若A 为a,b 的等差中项，则有2
a b A +=。
3.等比数列：
① 定义： 1
n n a q a +=（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。
② 通项时为常数列)。
③.前n 项和
需特别注意,公比为字母时要讨论.
④.性质：
ii.{}仍为等比数列则为等比数列K ,,,,2k m k m m n a a a a ++，公比为k q 。
iii. {}232,,,,n n n n n n a S S S S --K 为等比数列则S 仍为等比数列，公比为n q 。
iv.G 为a,b 的等比中项,ab G ±=
4.数列求和的常用方法:
①.公式法:如13,32+=+=n n n a n a
②.分组求和法:如52231-++=+n a n n n ，可分别求出{}3n ，{}12n +和{}25n -的和，然后把三部分加起来即可。
③如()n n n a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+=2123， ()23111111579(31)3222222n n n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 12n S =234111579222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…＋()()111313222n n n n +⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
两式相减得：()231111111522232222222n n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，以下略。
④如()n n n n a n n n n a n n -+=++=+-=+=111;11111， ()()1
111212122121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭等。
⑤.倒序相加法.例：在1与2之间插入n 个数12,3,,,n a a a a ⋅⋅⋅，使这n+2个数成等差数列，
求：12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，（答案：32n S n =
） 第三章 不等式
1.不等式的性质:
① c a c b b a >⇒>>,
② ,,c b c a R c b a +>+⇒∈>推论:d b c a d c b a +>+⇒⎭
⎬⎫>>
③ 000;0;0>>⇒⎭
⎬⎫>>>><⇒⎭⎬⎫<>>⇒⎭⎬⎫>>bd ac d c b a bc ac c b a bc ac c b a
④ 00;00>>⇒>>>>⇒>>n n n n b a b a b a b a
2.一元二次不等式及其解法:
①.()c bx ax x f c bx ax c bx ax ++==++>++222,0,0注重三者之间的密切联系。
如：2ax bx c ++＞0的解为：α＜x ＜β, 则2ax bx c ++＝0的解为12,x x αβ==； 函数()2f x ax bx c =++的图像开口向下，且与x 轴交于点(),0α，(),0β。
对于函数()c bx ax x f ++=2，一看开口方向,二看对称轴，从而确定其单调区间等。
②.注意二次函数根的分布及其应用.
如：若方程2280x ax -+=的一个根在（0，1）上，另一个根在（4,5）上，则有 (0)f ＞0且(1)f ＜0且(4)f ＜0且(5)f ＞0
3.不等式的应用：
①基本不等式：
当a ＞0,b ＞0且ab 是定值时，a+b 有最小值；
当a ＞0,b ＞0且a+b 为定值时，ab 有最大值。
②简单的线性规划:
()00>>++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的右方区域.
()00><++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的左方区域
①.找出所有的线性约束条件。
②.确立目标函数。
③.画可行域，找最优点，得最优解。
需要注意的是，在目标函数中，x 的系数的符号，
当A ＞0时，越向右移，函数值越大，当A ＜0时，越向左移，函数值越大。
⑷常见的目标函数的类型：
①“截距”型：;z Ax By =+
②“斜率”型：y z x =
或;y b z x a -=-
③“距离”型：22z x y =+或z =
22()()z x a y b =-+-或z =
画——移——定——求：
第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By += ，平移直线0l （据可行域，将直线0l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)x y ；第四步，将最优解(,)x y 代入目标函数z Ax By =+即可求出最大值或最小值 . 第二步中最优解的确定方法：
利用z 的几何意义：A z y x B B =-+,z B
为直线的纵截距. ①若0,B >则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；
②若0,B <则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值.。
