高一数学平面向量数量积的坐标表示、平移、单元复习人教版知识精讲

高一平面向量数量积知识点在高中数学课程中，平面向量数量积是一个重要的概念。

它不仅在平面几何的研究中起着至关重要的作用，而且在物理学等其他科学领域也有广泛的应用。

本文将重点介绍高一学生需要掌握的平面向量数量积的知识点。

1. 定义和性质平面向量数量积，也称为点乘或内积，是指两个向量的乘积与这两个向量之间夹角的余弦值的乘积。

设有向量a=(x1, y1)和b=(x2, y2)，则a与b的数量积为a·b=x1x2+y1y2。

平面向量数量积具有以下性质：(1) 交换律：a·b=b·a(2) 分配律：(ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k为实数(3) 零向量的数量积为0：0·a=a·0=0(4) a·a=|a|^2，其中|a|表示向量a的模长2. 计算方法根据定义，平面向量a·b=x1x2+y1y2。

为了方便计算，我们还可以使用坐标的方法。

设向量a的起点为A(x1, y1)，向量b的起点为B(x2, y2)，则a·b=AB·AC=|AB||AC|cosθ，这里θ为向量a和向量b之间的夹角。

3. 利用向量数量积求夹角给定两个向量a和b，如果我们知道它们的数量积a·b和模长|a|、|b|，我们可以利用以下公式来求解它们之间的夹角θ：cosθ = a·b / (|a||b|)θ = arccos(a·b / (|a||b|))4. 判断向量之间的夹角利用向量数量积可以方便地判断两个向量之间的夹角大小。

如果a·b>0，则夹角θ为锐角；如果a·b<0，则夹角θ为钝角；如果a·b=0，则夹角θ为直角。

5. 判断两个向量是否垂直如果两个向量a和b垂直，则它们的数量积为0，即a·b=0。

因此，我们可以利用这一性质来判断两个向量是否垂直。

6.3.2 平面向量数量积的坐标表示（精讲）考法一 数量积的坐标运算【例1】（1）（2020·全国高一）向量()2,3a =-，()2,1b =，则a b ⋅=（ ） A ．1B ．1-C ．7D ．0（2）（2020·全国高一）已知向量(1,3)a =，(b =-，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π （3）（2020·全国）已知()2,1a =，()11b =-,，则a 在b 上的投影的数量为（ ） A ．2B ．C ．5-D （4）（2020·天津和平区·耀华中学高一期末）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b m =+，若a b ⊥，则m 等于（ ） A ．7-B ．5C ．52-D ．12（5）（2020·黑龙江双鸭山市·双鸭山一中）设平面向量()2,1a =-，()1,b λ=，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围______.【答案】（1）B （2）C （3）B （4）D （5）11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）因为()2,3a =-，()2,1b =，所以22311a b ⋅=-⨯+⨯=-，故选：B.（2）设a 与b 的夹角为α，则121cos 21a b a bα⨯-⋅===+⋅， 又[0,180]α∈，3πα∴=，即a 与b 的夹角是3π.故选：C（3）由题意知1a b ⋅=-，2b =，a ∴在b 上的投影的数量为22a b b ⋅==-，故选：B.（4）因为a b ⊥，所以()132+1=0a b m ⋅=-⨯+，解得：12m =，故选：D （5）因为a 与b 的夹角为钝角，∴0a b ⋅<且不反向， 2a b λ⋅=-+， 即20λ-+<解得2λ< 当两向量反向时，存在0m <使a mb =即()()2,1,m m λ-=，解得12λ=- 所以λ的取值范围11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【一隅三反】1．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末）向量()()2112a b =-=-，，，，则()2a b a +⋅=（ ） A ．1 B ．1-C ．6-D ．6【答案】D【解析】因为()()2112a b =-=-，，，所以()()23,0(2,1)3206a b a +⋅=⋅-=⨯+=故选：D 2．（2020·广东高一期末）向量()1,2a =-，()2,1b =，则（ ） A ．//a bB ．a b ⊥C ．a 与b 的夹角为60°D ．a 与b 的夹角为30【答案】B【解析】∵向量()1,2a =-，()2,1b =，∴()12210a b ⋅=⨯+-⨯=，∴a b ⊥.故选：B.3．（2020·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知向量(0,23),(1,3)a b ==，则向量a 在b 上的投影为（ ）A ．3BC ．D ．3-【答案】A【解析】因为向量(0,23),(1,3)a b ==，所以向量a 在b 上的投影为31a bb⋅==+故选：A4．（2020·北京高一期末）已知向量()4,2a =，()1,b m =-，若a b ⊥，那么m 的值为（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】 C【解析】向量()4,2a =，()1,b m =-，若a b ⊥，则0a b ⋅=，即()4120m ⨯-+=，解得2m =. 故选：C.5．（2020·沙坪坝区·重庆八中高一期末）已知(2,3)a =-，a 与b 的夹角为60︒，则a 在b 方向上的投影为（ ） A ．2B ．72C ．27D ．7【答案】A 【解析】(2,3)a =-，a 与b 的夹角为60︒，||7a ∴=，7·cos 602a b a b b =︒=，∴a 在b 方向上的投影为7||a b b =．故选：A ．6．（2020·湖南郴州市·高一月考）若向量()2,1a =-，()1,1b =，则向量a b +与a b -的夹角的余弦值为（ ） AB ．5-C D ． 【答案】A 【解析】()()2,1,1,1a b =-=，∴()()()2,11,11,2a b +=-+=-，()()()2,11,13,0a b -=--=-，则()()()()1,23,03a b a b +⋅-=-⋅-=，5a b +=,3a b -=，∴()()cos 5a b a b a b a bθ+⋅-===⨯+⋅-.故选：A. 7．（2020·河北唐山市·唐山一中高一月考）平面向量()1,2a =，()4,2b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角与c 与b 的夹角互补，则m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】由已知(4,22)c m m =++，cos ,55c a c a c a cc ⋅<>===，cos ,205c b c b c bcc⋅<>===，∵c 与a 的夹角与c 与b 的夹角互补，c0c=，解得2m =-．故选：A ．8．（2020·宝山区·上海交大附中高一期末）已知向量()5,5a =，(),1b λ=，若a b +与a b -的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______； 【答案】()()7,11,7-⋃【解析】由题意()()0a b a b +⋅-> ，即220a b ->，2222551λ+>+，∴77λ-<<，若()a b k a b +=-，则5(5)51(51)k k λλ+=-⎧⎨+=-⎩，解得321k λ⎧=⎪⎨⎪=⎩，综上λ的范围是()()7,11,7-⋃．故答案为：()()7,11,7-⋃．考法二 巧建坐标解数量积【例2】（2020·四川高一期末）如图，边长为1的等边△ABC 中，AD 为边BC 上的高，P 为线段AD 上的动点，则AP BP ⋅的取值范围是（ ）A ．[﹣316，0] B ．[0，316] C ．[﹣316，+∞） D ．[﹣34，0] 【答案】A【解析】以D 为坐标原点建立平面直角坐标系，如下所示：故可得1,,02A B ⎛⎛⎫-⎪ ⎝⎭⎝⎭，设点()0,P m ，因为点P 在线段AD 上，故可得0,2m ⎡∈⎢⎣⎦.故AP BP ⋅10,,2m m m m ⎛⎛⎛⎫=⋅=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故当m =316⎛=- ⎝⎭，当0m =0.故AP BP ⋅3,016⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：A.【一隅三反】1．（2021·湖南）如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =AD =4，CD =8，若7CE DE =-，3BF FC =，则AF ·BE =_____.【答案】11-【解析】以A 为坐标原点，建立直角坐标系如图：因为直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =AD =4，CD =8，若7CE DE =-，3BF FC = 所以(0,0)A ，(4,0)B ，(1,4)E ，(5,1)F ， 所以(5,1)AF =，(3,4)BE =-， 则15411AF BE ⋅=-+=-． 故答案为：11-2．（2020·山东济南市·）在ABC 中，2BAC π∠=，2AB AC ==，P 为ABC 所在平面上任意一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为（ ） A ．1 B ．12-C ．－1D ．-2【答案】C【解析】如图，以,AB AC 为,x y 建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2)A B C ，设(,)P x y ，(,)PA x y =--，(2,)PB x y =--，(,2)PC x y =--，(22,22)PB PC x y +=--，∴()22(22)(22)2222PA PB PC x x y y x x y y ⋅+=----=-+-22112()2()122x y =-+--，∴当11,22x y ==时，()PA PB PC ⋅+取得最小值1-． 故选：C ．3．（2021·山西）已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别为CD ，BC 上的点，若13EA EB ⋅=，13FA FD ⋅=，则EF 的最小值是（ ）A ．1 BCD ．【答案】B【解析】如图所示，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系， 设(),4E a ，()4,F b ，[],0,4a b ∈.故()()2,44,441613EA EB a a a a ⋅=--⋅--=-+=，故2430a a -+=，故1a =或3a =.()()24,4,441613FA FD b b b b ⋅=--⋅--=-+=，故2430b b -+=，故1b =或3b =. ()()22244EF a b =-+-，当3,3a b ==时，EF 有最小值为. 故选：B .考法三 数量积与三角函数综合运用【例3】（2020·广东揭阳市·高一期末）已知向量()sin ,cos a x x =，()3,1b =-，[]0,x π∈.（1）若a b ⊥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）6x π=；（2）23x π=时，()f x 取到最大值2，0x =时，()f x 取到最小值1-.【解析】（1）因为a b ⊥，所以sin co 30s b x x a =-=⋅，于是sin tan s co x x x ==又[]0,x π∈，所以6x π=；（2）()())sin ,1cos f x a x b x =⋅=⋅-cos x x =-2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，从而12sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭ 于是，当62x ππ-=，即23x π=时，()f x 取到最大值2； 当66x ππ-=-，即0x =时，()f x 取到最小值1-.【一隅三反】1.向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．12D ．3【答案】A【解析】由题意可得 sin 2cos 0a b θθ⋅=-=，即 tan 2θ=．∴222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 1cos sin 1tan θθθθθθθθθ+++===++，故选A ． 2．（2020·北京二十中高一期末）已知α是锐角，()1,1a =-，()cos ,sin b αα=，且a b ⊥，则α为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．30°或60°【答案】B【解析】∵()1,1a =-，()cos ,sin b αα=，且a b ⊥，∴cos sin 0a b αα⋅=-+=，求得cos sin αα=，tan 1α=，由α是锐角，所以45α=.故选：B .3．（2021·新疆）已知向量()2,sin m α=,()cos ,1n α=-,其中π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且m n ⊥. (1)求sin2α和cos2α的值;(2)若()sin αβ-=,且π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求角β.【答案】(1)4sin25α=，3cos25α=-；(2)π4β=. 【解析】(1)∵m n ⊥,∴2cos sin 0αα-=,即sin 2cos αα=. 代入22cos sin 1αα+=,得25cos 1α=,又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos 5α=,sin 5α=.则4sin22sin cos 2555ααα==⨯=. 213cos22cos 12155αα=-=⨯-=-.(2)∵π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.又()sin 10αβ-=,∴()cos 10αβ-=.∴()sin sin βααβ⎡⎤=--⎣⎦=()()sin cos cos sin ααβααβ---=5105102-⨯=. 由π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,得π4β=. 4．（2021·江苏）已知向量()()2,1sin(),2cos a b παα==-，(1)若3=4πα，求证：a b ⊥; (2)若向量,a b 共线，求b .【答案】(1)证明见解析；2【解析】（1）当3=4πα时，()()()sin ,2cos sin ,2cos b παααα=-==⎝ 又()2,1a =， (2•2120a b =⨯+⨯-= a b ∴⊥ （2）因为向量,a b 共线，()22cos 1sin sin απαα∴⨯=⨯-=即sin 4cos αα=当cos 0α=，则sin 0α=与22sin +cos 1αα=矛盾，故舍去；当cos 0α≠时，由sin 4cos αα=得：sin tan 4cos ααα== 又(2=sin b π== 17===另解：由224sin cos 1sin cos αααα=⎧⎨++⎩得2216sin =171cos 17αα⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2=sin b α== 考法四 数量积与几何的综合运用【例4】（2020·陕西渭南市·高一期末）已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---.（1）若点A ，B ，C 能够成三角形，求实数m 应满足的条件；（2）若ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值. 【答案】（1）12m ≠；（2）74m =. 【解析】（1）已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---，若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与BC 不共线. ()3,1AB =，()2,1AC m m =--，故知()312m m -≠-，∴实数12m ≠时，满足条件. （2）若ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，则AB AC ⊥，∴()()3210m m -+-=，解得74m =. 【一隅三反】1．（2020·唐山市第十一中学高一期末）已知()2,1A-，()6,3B -，()0,5C ，则ABC 的形状是（ ）． A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 【答案】A【解析】根据已知，有(8,4)AB =-，(2,4)=AC ，(6,8)BC =-， 因为82(4)40AB AC ⋅=⨯+-⨯=，所以AB AC ⊥，即90BAC ︒∠=．故ABC 为直角三角形故选：A2．（2020·全国高一课时练习）已知(3,2)A 、(2,1)B -、(1,1)C -且2AP PB =-（1）证明：ABC ∆是等腰直角三角形（2）求cos APC ∠．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）证明：由题意得(2,3)CA =，(3,2)CB =-因为0CA CB =，所以CA CB ⊥所以ABC 是直角三角形又||4CA ==||9CB ==∴||||CA CB =，ABC ∴是等腰直角三角形（2）解：设点(,)P x y ，则(3,2)AP x y =--，(2,1)PB x y =---2AP PB =-，342x x ∴-=+且222y y -=-，解得7x =-，0y =，(7,0)P ∴-，∴(8,1)PC =-，(10,2)PA =∴78PA PC =，||65PC =||226PA =，cos 1065226APC ∴∠==． 3．（2020·全国高一课时练习）平面直角坐标系xOy 中，已知向量(6,1),(,),(2,3)AB BC x y CD →→→===--，且//AD BC →→．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD →→⊥，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）20x y +=；（2）16.【解析】（1）由题意得(4,2)AD AB BC CD x y →→→→=++=+-，因为//AD BC →→，(,)BC x y →=，所以(4)(2)0x y y x +--=，即20x y +=，所以与y 之间的关系式为：20x y += ①（2）由题意得(6,1)AC AB BC x y →→→=+=++，(2,3)BD BC CD x y →→→=+=--， 因为AC BD →→⊥，所以(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② 由①②得21x y =⎧⎨=-⎩或63.x y =-⎧⎨=⎩ 当21x y =⎧⎨=-⎩时，(8,0)AC →=，(0,4)BD →=-， 则1162ABCD S AC BD →→==四边形当63x y =-⎧⎨=⎩时，(0,4)AC →=，(8,0)BD →=-， 则1162ABCD S AC BD →→==四边形所以，四边形ABCD 的面积为16.。

2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角考点学习目标核心素养向量数量积的坐标表示掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积数学运算平面向量的模与夹角的坐标表示能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P106－P107，并思考下列问题：1．平面向量数量积的坐标表示是什么？2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2两个向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．2．三个重要公式判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )(2)|AB →|的计算公式与A ，B 两点间的距离公式是一致的．( ) 答案：(1)× (2)√已知a ＝(－3，4)，b ＝(5，2)，则a ·b 的值是( ) A ．23 B ．7 C ．－23 D ．－7 答案：D已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，2)，若a ⊥b ，则x ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．－4答案：C已知a ＝(3，1)，b ＝(－3，1)，则向量a ，b 的夹角θ＝______. 答案：120°数量积的坐标运算向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2 【解析】 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， 所以(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1. 【答案】 C数量积坐标运算的两个途径一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．1．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15，12) B ．0 C ．－3 D ．－11 解析：选C.依题意可知，a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a ＋2b )·c ＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.2．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，点F 在AD 上，AF →＝2FD →，则BE →·CF →＝________．解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A (0，2)，E (2，1)，D (2，2)，B (0，0)，C (2，0)，因为AF →＝2FD →，所以F (43，2)．所以BE →＝(2，1)，CF →＝(43，2)－(2，0)＝(－23，2)，所以BE →·CF →＝(2，1)·(－23，2)＝2×(－23)＋1×2＝23.答案：23平面向量的模(1)已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________． (2)(2019·山东枣庄三中期中检测)已知平面向量a ＝(2m －1，2)，b ＝(－2，3m －2)，且|a ＋b |＝|a －b |，则5a －3b 在向量a 方向上的投影为________．【解析】 (1)设C (x ，y )，因为点A (0，1)，向量AC →＝(4，－1)，所以AC →＝(x ，y －1)＝(4，－1)，所以{x ＝4，y －1＝－1，解得x ＝4，y ＝0，所以C (4，0)，所以BC →＝(3，2)，|BC →|＝9＋4＝13.(2)由|a ＋b |＝|a －b |得a ·b ＝0，所以－2(2m －1)＋2(3m －2)＝0，解得m ＝1，所以a ＝(1，2)，b ＝(－2，1)，5a －3b ＝(11，7)，由投影公式可得所求投影为a ·（5a －3b ）|a |＝255＝5 5.【答案】 (1)13 (2)55求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，0)，则|2a－b|的最大值和最小值分别是()A．42，0 B．4，2 2C．25，1 D．5，1解析：选D.因为2a－b＝2(cos θ，sin θ)－(3，0)＝(2cos θ－3，2sin θ)，所以|2a－b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2＝13－12cos θ，又cos θ∈[－1，1]，所以|2a－b|2∈[1，25]，所以|2a－b|∈[1，5]，故|2a－b|的最大值和最小值分别是5，1，故选D.平面向量的夹角(垂直)已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．【解】(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝42＋32＝5，|b|＝（－1）2＋22＝5，设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝a·b|a||b|＝255＝2525.(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝529.利用数量积求两向量夹角的步骤1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．23 B. 3 C ．0D ．－ 3解析：选B.因为a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．所以|a |＝2，|b |＝9＋m 2，a ·b ＝3＋3m ，又a ，b 的夹角为π6，所以a ·b |a |·|b |＝cos π6，即3＋3m 29＋m 2＝32，所以3＋m ＝9＋m 2，解得m ＝ 3.2．已知A (－2，1)，B (6，－3)，C (0，5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A.由题设知AB →＝(8，－4)，AC →＝(2，4)，BC →＝(－6，8)，所以AB →·AC →＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB →⊥AC →.所以∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形.规范解答平面向量的夹角和垂直问题(本题满分12分)已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值．【解】 (1)证明：因为A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)，所以AB →＝(1，1)，AD →＝(－3，3)．(2分)AB →·AD →＝1×（－3）＋1×3＝0，利用数量积为0，证明向量垂直所以AB →⊥AD →，所以AB ⊥AD . (4分)(2)因为AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， 所以AB →＝DC →.(5分)设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)．又因为AB →＝(1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.(7分)所以点C 的坐标为(0，5)．所以AC →＝(－2，4)． 又BD →＝(－4，2)，所以|AC →|＝25，|BD →|＝25， AC →·BD →＝8＋8＝16.(9分)正确求出这三个量是求两向量夹角的关键设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1625×25＝45.(11分)故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.(12分)(1)解答两向量的夹角的步骤：求数量积、求模、求余弦值、求角．(2)利用cos θ＝a ·b|a ||b |判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.1．已知向量a ＝(2，0)，a －b ＝(3，1)，则下列结论正确的是( ) A ．a ·b ＝2 B ．a ∥b C ．b ⊥(a ＋b ) D ．|a |＝|b |解析：选C.因为向量a ＝(2，0)，a －b ＝(3，1)，设b ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝3，0－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以b ＝(－1，－1)，a ＋b ＝(1，－1)，b ·(a ＋b )＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b ⊥(a ＋b )．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝________．解析：由四边形ABCD 为平行四边形，知AC →＝AB →＋AD →＝(3，－1)，故AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝5.答案：53．已知a ＝(1，3)，b ＝(2，m )． (1)当3a －2b 与a 垂直时，求m 的值； (2)当a 与b 的夹角为120°时，求m 的值． 解：(1)由题意得3a －2b ＝(－1，33－2m )， 由3a －2b 与a 垂直，得－1＋9－23m ＝0， 所以m ＝433.(2)由题意得|a |＝2，|b |＝m 2＋4，a ·b ＝2＋3m ，所以cos 120°＝a ·b |a |·|b |＝2＋3m 2m 2＋4＝－12，整理得2＋3m ＋m 2＋4＝0，化简得m 2＋23m ＝0， 解得m ＝－23或m ＝0(舍去)． 所以m ＝－2 3.[A 基础达标]1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D.2a －b ＝(4，2)－(－1，k )＝(5，2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2，1)·(5，2－k )＝0，所以10＋2－k ＝0，解得k ＝12.2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．0 B ．1 C ．－2D ．2解析：选D.2a －b ＝(3，n )，由2a －b 与b 垂直可得(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，所以n 2＝3，所以|a |＝2.3．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8D ．8 2解析：选D.易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋（－8）2＝8 2.4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选D.因为b ∥c ，所以－3x ＝(－3)×1，所以x ＝3，所以b ＝(3，－3)，a －b ＝(0，4)．所以a －b 与b 的夹角的余弦值为b ·（a －b ）|a －b ||b |＝－124×23＝－32，所以a －b 与b的夹角为150°.5．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使得AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C.设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 所以当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. 此时点P 的坐标为(3，0)．6．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，则m ＝________． 解析：a ＋b ＝(m ＋1，－3)＋(1，m －1)＝(m ＋2，m －4)， a －b ＝(m ＋1，－3)－(1，m －1)＝(m ，－2－m )， 因为(a ＋b )⊥(a －b )，所以(a ＋b )·(a －b )＝0， 即(m ＋2，m －4)·(m ，－m －2)＝0， 所以m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，解得m ＝－2. 答案：－27．(2019·陕西咸阳检测)已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(λ，12)，且|λa ＋b |＝132，则λ＝________．解析：由已知易得λa ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－λ，λ＋12，则(－λ)2＋⎝⎛⎭⎫λ＋122＝134，解得λ＝1或λ＝－32. 答案：1或－328．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．解析：由题意得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，所以AB →·CD →＝15，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.答案：3229．已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)． (1)求a －b 及|a －b |；(2)若k a ＋b 与a －b 垂直，求实数k 的值． 解：(1)a －b ＝(4，0)，|a －b |＝42＋02＝4.(2)k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －b ＝(4，0)， 因为k a ＋b 与a －b 垂直，所以(k a ＋b )·(a －b )＝4(k －3)＋(2k ＋2)·0＝0， 解得k ＝3.10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．(1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，故c ＝(－3，3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，所以θ＝π4.[B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C.设a 与c 的夹角为θ，依题意，得 a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝ 5.设c ＝(x ，y )，因为(a ＋b )·c ＝52， 所以x ＋2y ＝－52.又a ·c ＝x ＋2y ， 所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5×5＝－525＝－12， 所以a 与c 的夹角为120°.12．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM →·EC→的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，2 B.⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎣⎡⎦⎤12，32D.[]0，1解析：选C.以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x ，0)，0≤x ≤1.因为M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1，1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC →＝(1－x ，1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x ，1) ＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 13．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)．(1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角；(2)当t ∈[－1，1]时，求|a －t b |的取值范围．解：(1)因为向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)，所以a －b ＝(1，3)－(－2，0)＝(3，3)，所以cos 〈a －b ，a 〉＝（a －b ）·a |a －b |·|a |＝643＝32. 因为〈a －b ，a 〉∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为π6.(2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122＋3.易知当t ∈[－1，1]时，|a －t b |2∈[3，12]，所以|a －t b |的取值范围是[3，2 3 ]．14．(选做题)已知OA →＝(4，0)，OB →＝(2，23)，OC →＝(1－λ)·OA →＋λOB →(λ2≠λ)．(1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值；(3)求|OC →|的最小值．解：(1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12， 所以OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2. (2)AB →＝OB →－OA →＝(－2，23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，因为AB →与BC →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线．当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12. 所以当λ＝12时，|OC →|取到最小值2 3.。

专题8.3 平面向量的数量积（精讲精析篇）一、核心素养1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养．6．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．二、考试要求1.平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.三、主干知识梳理（一）两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.（二）平面向量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定0·a ＝0.当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a ·b ＝0.2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．（三）数量积的运算律1．交换律：a ·b ＝b ·a .2．分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .3．对λ∈R ，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )．（四）平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表： 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12 1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a .2．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.3．a ·a ＝|a |2，|a 4．cos θ＝||||⋅a b a b .(θ为a 与b 的夹角) 5．|a ·b |≤|a ||b |.（七）数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则：1．a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.2．a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.3．|a |＝a 21＋a 22.4．cos θ＝||||⋅a b a b ＝112222221212a b a b a a b b +++.(θ为a 与b 的夹角) （八）平面向量的应用1.向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．2．向量在解析几何中的作用（解析几何专题中详讲）(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到． 3．向量与三角的综合应用解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解．4.平面向量在物理中的应用一、命题规律（1）数量积、夹角及模的计算问题；（2）以平面图形为载体，借助于平面向量研究平面几何平行、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．二、真题展示1．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅【答案】AC【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP =，2||(cos 1OP=，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin |2AP α===，同理2||(cos 2|sin |2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+ ()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC2．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．【答案】11120 【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+可求出；将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值.【详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====-，//DF AB ，DFC ∴为边长为12x -的等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=， 2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +⋅=+⋅+=+⋅222311(3)(12)(1)53151020x x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以当310x =时，()DE DF DA +⋅的最小值为1120. 故答案为：1；1120.考点01 平面向量数量积的运算【典例1】（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以成立，此时a b ≠，∴不是a b =的充分条件，当a b =时，0a b -=，∴()00a b c c -⋅=⋅=,∴成立，∴是a b =的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.【典例2】（2019·全国高考真题（理））已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，||BC =1，则AB BC ⋅=（ ）A ．3B ．2C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，221(3)1BC t =+-=，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【典例3】（2021·北京·高考真题）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= ________；=a b ⋅________.【答案】0 3【分析】根据坐标求出a b +，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以,a b 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=，()4,0a b ∴+=，()40010a b c +⋅=⨯+∴⨯=，()22113a b ∴⋅=⨯+⨯-=.故答案为：0；3.【典例4】（2020·全国高考真题（文））设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________.【答案】5【解析】由a b ⊥可得0a b ⋅=，又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故答案为：5.【典例5】（2020·天津高考真题）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】16 132 【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭， 解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭, ∵又∵16AD BC =,则5332D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，333,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．2.总结提升：（1）.公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解．（2）已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．考点02 平面向量的模、夹角【典例6】（2021·天津·南开大学附属中学高三月考）已知平面向量a ，b ，满足2a =，5b =，53a b ⋅=，则a ，b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．4πD ．23π 【答案】A【分析】 直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可．【详解】解：平面向量a ，b ，满足2a =，5b =，53a b ⋅=，设a ，b 的夹角是θ，可得53cos 25a b a b θ⋅===⨯[]0,θπ∈，所以a ，b 的夹角是：6π． 故选：A ． 【典例7】（2020·全国高考真题（理））已知向量ab a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b +（ ）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=. ()2222257a b a b a a b b +=+=+⋅+=-=， 因此，()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D. 【典例8】（2019·全国高考真题（理））已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________.【答案】23. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=， 所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【典例9】（2020·全国高考真题（理））设,ab 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=【总结提升】1.求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系； (2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 提醒：〈a ，b 〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法 (1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.②若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． 3．平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．考点03 平面向量的综合应用【典例10】（2020·山东海南省高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ） A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A 【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.【典例11】（2018·浙江高考真题）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（ ） A ．B ．C ．2D ．【答案】A 【解析】 设，则由得， 由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【思路点拨】 先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【典例12】（2021·浙江·高考真题）已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________. 【答案】25【分析】设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，，由平面向量的知识可得252x y z +-=，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】由题意，设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，， 则()20a b c m n -⋅=-=，即2m n =，又向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，所以(),d x y =， 所以d a -在c 方向上的投影()221()22||5m x ny d a c x yz c m n-+-⋅-+===±+， 即252x y z +=,所以()()()22222222221122152510105x y z x y z x yz⎡⎤++=++±++≥+=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当215252x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪+=⎩即251555x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时，等号成立，所以222x y z ++的最小值为25.故答案为：25.【典例13】（2020·重庆高一期末）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．0【答案】B 【解析】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，2616PE PF x x ∴⋅=-+， [0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤，∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+， 06,016y PE PF <≤∴⋅<，∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解； （3）若P 在AB 上，设(,6),06P x x <≤，(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，264PE PF x x ∴⋅=-+，06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；（4）若P 在BC 上，设(6,),06P y y <<，(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，06y <<，016PE PF ∴⋅<，∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B.【典例14】（2020·吉林长春·一模（理））长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度1v 的大小1||10km/h v =，水流的速度2v 的大小2||4km/h v =，设1v 和2v 所成角为 (0)θθπ<<，若游船要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos θ等于（ ）A ．215-B ．25-C ．35D ．45-【答案】B 【解析】由题意知()2120,v v v +⋅=有2212||c ||os 0,v v v θ+=即2104cos 40,θ⨯+=所以2cos 5θ=-， 故选：B ．【典例15】（2020·上海高三专题练习）用向量的方法证明：三角形ABC 中 （1）正弦定理：sin sin sin a b cA B C==； （2）余弦定理：2222cos a b c bc A =+-． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）如图（a ）所示，过顶点A 作对边BC 的高AH ，则0()AH BC AH AC AB =⋅=⋅-，即0AH AC AH AB ⋅-⋅=． ∴()()||||cos 90||||cos 90AH AC C AH AB B ︒︒-=-． 如图（b ）所示，如果B 为钝角，有()()||||cos 90||||cos 90AH AC C AH AB B ︒︒-=-∴sin sin b C c B =．上述关系对直角三角形显然成立[图（c ）] ∴sin sin sin a b cA B C==． （2）在ABC 中，BC AC AB =-．∴2222()()2BC AC AB AC AB AC AB =-=+-⋅． 即2222cos a b c bc A =+-．巩固提升1．（2020·全国高考真题（文））已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b + B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -【答案】D 【解析】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意；C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意； D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意.故选：D.2．（2020·福建省福州格致中学期末）已知两个不相等的非零向量a b ，，满足2b =，且b 与b a -的夹角为45°，则a 的取值范围是（ ） A ．(02⎤⎦，B ．)22⎡⎣，C ．（0，2]D ．)2∞⎡+⎣，【答案】D 【解析】如图所示，设AB b =，AC a =，∠CAB ＝45°，由图可知，当BC ⊥AC 时，a 的取值最小，此时，则2a =， 而a 没有最大值，故a 的取值范围为)2,⎡+∞⎣. 故选：D.3．（2019·全国高考真题（文））已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B 【解析】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．4.（2021·全国·高考真题（文））若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________.【答案】【分析】根据题目条件，利用a b -模的平方可以得出答案 【详解】 ∵5a b -=∴222229225a b a b a b b -=+-⋅=+-= ∴32b =.故答案为：5．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【答案】2【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：20k a a b k →→→⨯-⋅==，解得：k =.故答案为：2． 6．（2020·浙江省高考真题）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．【答案】2829【解析】12|2|2e e -≤， 124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 7.（2019·江苏高考真题）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3. 【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+- ()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=8．（2019·全国高考真题（理））已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________.【答案】23. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=， 所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 9. （2018·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____． 【答案】3 【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a+2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b+2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．10.（2019·天津高考真题（理）） 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则B，5)2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BE(3y x =-， 直线AE的斜率为-y x =.由3y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x 1y =-，所以1)E -. 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.。

第二十六教时教材：复习五——平面向量的数量积的坐标表示、平移目的：让生对平面向量的数量积的理解更深刻，尤其在两个非零向量垂直与平行的充要条件的平行上更熟练。

过程：一、 复习：设向量a = (1,y 1)，b = (2,y 2)，1． 数量积的坐标表示：a •b = 12 + y 1y 2[] 2． 关于距离公式 3． 二、 例题：1． 已知|a | = 3，b = (1,2)，且a ∥b ，求a 的坐标。

解：设a = (,y ) ∵|a | = 3 ∴322=+y x …①[]又：∵a ∥b ∴1•y - 2• = 0 …②解之：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==556553y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=556553y x 即：a = (556,553) 或a = (556,553--) 2． 设p = (2,7)，q = (,-3)，求的取值范围使得：①p 与q 的夹角为钝角 ②p 与q 的夹角为锐角。

解：①p 与q 的夹角为钝角⇔ p •q <0⇔2-21<0⇔221<x 即∈(-∞,221) ②p 与q 的夹角为锐角⇔ p •q >0⇔2-21>0⇔221>x 即∈(221,+∞)3． 求证：菱形的对角线互相垂直。

证：设B (b 1,0)，D (d 1,d 2)，则AB = (b 1,0), AD = (d 1,d 2)于是=+= (b 1,0) + (d 1,d 2) = (b 1+d 1,d 2)=-= (d 1 -b 1,d 2)∵AC •BD = (b 1+d 1)(d 1 -b 1) + d 2d 2 = (d 12 + d 22)- b 12= ||2 - b 12 = ||2 - b 12 = b 12 - b 12 = 01∴⊥4． 如图：ABD 是正方形，M 是B 的中点，将正方形折起使点A 与M 重合，设折痕为EF ，[] 若正方形面积为64，求△AEM 的面积。

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(教师独具内容)课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件．教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及模、角度、垂直关系的坐标表示．教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题．核心素养：1.通过平面向量数量积的坐标表示的推导过程培养逻辑推理和数学运算素养.2.通过运用平面向量数量积的坐标表示来解决模、角度、垂直等问题进一步提升数学运算素养．1．平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：(1)求两点间的距离(求向量的模)．(2)求两向量的夹角．(3)证明两向量垂直．2．解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cosθ＝a·b|a||b|求出cosθ，也可由坐标表示cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cosθ＝a·b|a||b|来判断角θ时，要注意cosθ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ>0也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( )(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )2．做一做(1)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b的夹角θ的余弦值等于( )A.865B．－865C．1665D．－1665(2)若向量a＝(3，m)，b＝(2,1)，a·b＝0，则实数m的值为____.(3)已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝____.题型一平面向量数量积的坐标表示例1 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[条件探究] 若将本例改为a与b反向，b＝(1,2)，a·b＝－10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[跟踪训练1] 向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．－1 B．0C．1 D．2题型二向量的模的问题例2 (1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为____.(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：①向量a的模；②与a 平行的单位向量的坐标； ③与a 垂直的单位向量的坐标．[跟踪训练2] 设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( )A. 5 B ．10 C ．2 5D ．10题型三 向量垂直的坐标表示例3 设OA →＝(2，－1)， OB →＝(3,1)， OC →＝(m,3)．(1)当m ＝2时，用OA →和OB →表示OC →； (2)若AB →⊥BC →，求实数m 的值．[跟踪训练3] 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．题型四 平面向量的夹角问题例4 已知△ABC 顶点的坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c,0)， (1)若c ＝5，求sin A 的值； (2)若∠A 是钝角，求c 的取值范围．[跟踪训练4] 已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c .(1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． 题型五 向量数量积的综合应用例5 已知三点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 的对角线的长度． [跟踪训练5] 已知a ，b ，m ，n ∈R ，设(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)＝(am ＋bn )2，其中mn ≠0，用向量方法求证：a m ＝b n.1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且3a ·b ＝4，则x 等于( ) A ．3 B ．13 C ．－13D ．－32．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－733．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a ·b ＝10，则|a －b |＝____.4．设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos θ＝____.5．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.一、选择题1．已知|a |＝1，b ＝(0,2)，且a ·b ＝1，则向量a 与b 夹角的大小为( ) A.π6 B ．π4 C ．π3D ．π22．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8D ．8 23．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1,0)4．(多选)在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的值可能为( )A ．－23B ．113C.3±132D ．235．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点(除点A 外)，则(OB →＋OC →)·OA →＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32二、填空题6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a与c 的夹角为____.7．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为____.8．已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____.三、解答题9．设平面向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，且a 与b不共线．(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)若两个向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α.1．已知点A (－2,0)，B (1,9)，C (m ，n )，O 是原点． (1)若A ，B ，C 三点共线，求m 与n 满足的关系式； (2)若△AOC 的面积等于3，且AC →⊥B C →，求OC →.2．已知OA →＝(4,0)，OB →＝(2,23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)证明：A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值； (2)求|OC →|的最小值．6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(教师独具内容)课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件．教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及模、角度、垂直关系的坐标表示． 教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题．核心素养：1.通过平面向量数量积的坐标表示的推导过程培养逻辑推理和数学运算素养.2.通过运用平面向量数量积的坐标表示来解决模、角度、垂直等问题进一步提升数学运算素养．1．平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：(1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角． (3)证明两向量垂直．2．解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cosθ＝a·b|a||b|求出cosθ，也可由坐标表示cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cosθ＝a·b|a||b|来判断角θ时，要注意cosθ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ>0也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( )(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b的夹角θ的余弦值等于( )A.865B．－865C．1665D．－1665(2)若向量a＝(3，m)，b＝(2,1)，a·b＝0，则实数m的值为____.(3)已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝____.答案(1)C (2)－6 (3)2题型一平面向量数量积的坐标表示例1 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[解](1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵a·c＝2×2＋4×(－1)＝0，∴(a·c)b＝0.[条件探究] 若将本例改为a与b反向，b＝(1,2)，a·b＝－10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.解(1)∵a与b反向，且b＝(1,2)，∴设a＝λb(λ<0)，∴a＝(λ，2λ)，又a·b＝－10，∴λ＋4λ＝－10，∴λ＝－2，∴a＝(－2，－4)．(2)∵a·c＝(－2)×2＋(－4)×(－1)＝－4＋4＝0，∴(a·c)b＝0.数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．[跟踪训练1] 向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．－1 B．0C．1 D．2答案 C解析a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.题型二向量的模的问题例2 (1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为____.(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：①向量a的模；②与a 平行的单位向量的坐标； ③与a 垂直的单位向量的坐标．[解析] (1)∵a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x,2x －1)， ∴a －b ＝(2x －1,3－x )－(1－x,2x －1)＝(3x －2，4－3x )， ∴|a －b |＝3x －22＋4－3x2＝18x 2－36x ＋20＝18x －12＋2，∴当x ＝1时，|a －b |取最小值为 2. (2)①∵a ＝AB →＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)， ∴|a |＝42＋－32＝5.②与a 平行的单位向量是±a |a |＝±15(4，－3)，即坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35.③设与a 垂直的单位向量为e ＝(m ，n )，则a ·e ＝4m －3n ＝0，∴m n ＝34.又|e |＝1，∴m 2＋n 2＝1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－35，n ＝－45，∴e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.[答案] (1) 2 (2)见解析求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算利用|a |2＝a 2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2.[跟踪训练2] 设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( )A. 5 B ．10C ．25D ．10答案 B解析 由a ⊥b ，可得a ·b ＝0，即x －2＝0，解得x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)，故|a ＋b |＝32＋－12＝10.故选B.题型三 向量垂直的坐标表示例3 设OA →＝(2，－1)， OB →＝(3,1)， OC →＝(m,3)．(1)当m ＝2时，用OA →和OB →表示OC →； (2)若AB →⊥BC →，求实数m 的值．[解] (1)当m ＝2时，设OC →＝xOA→＋yOB →， 则有⎩⎨⎧2x ＋3y ＝2，－x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－75，y ＝85，即OC →＝－75 OA →＋85OB →.(2) AB →＝OB →－OA →＝(1,2)， BC →＝OC →－OB →＝(m －3,2)． 因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0， 即1×(m －3)＋2×2＝0，解得m ＝－1.用向量数量积的坐标表示解决垂直问题利用坐标表示是把垂直条件代数化．因此判定方法更简捷、运算更直接，体现了向量问题代数化的思想．[跟踪训练3] 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)．∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎨⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0. ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0. 即2x ＋y －3＝0.② 由①②可得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴D (1,1)． ∴|AD →|＝1－22＋1＋12＝5，故|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1). 题型四 平面向量的夹角问题例4 已知△ABC 顶点的坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c,0)， (1)若c ＝5，求sin A 的值； (2)若∠A 是钝角，求c 的取值范围． [解] AB →＝(－3，－4)，AC →＝(c －3，－4)． (1)若c ＝5，则AC →＝(2，－4)．∴cos A ＝cos 〈AC →，AB →〉＝AC →·AB →|AC →||AB →|＝55.∵∠A 是△ABC 的内角，∴sin A ＝1－cos 2A ＝255. (2)若∠A 为钝角，则AC →·AB →<0且AC →，AB →不反向共线．由AC→·AB→<0，得－3(c－3)＋16<0，即c>25 3.显然此时AC→，AB→不共线，故当∠A为钝角时，c>25 3.求平面向量夹角的步骤若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)求出a·b＝x1x2＋y1y2；(2)求出|a|＝x21＋y21，|b|＝x22＋y22；(3)代入公式：cosθ＝a·b|a||b|(θ是a与b的夹角)．[跟踪训练4] 已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.(1)求b与c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．解(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m，n的夹角为θ，则cosθ＝m·n|m||n|＝－3×7＋－4×1－32＋－42×72＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即向量m，n的夹角为3π4.题型五向量数量积的综合应用例5 已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．[解] (1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． 则AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →. 设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)， 又AB →＝(1,1)． 从而有⎩⎨⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝5，∴点C 的坐标为(0,5)． ∴AC →＝(－2,4)，|AC →|＝－22＋42＝25，故矩形ABCD 的对角线的长度为2 5.利用向量的坐标运算解决平面图形问题，常见的题型有：(1)求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关系求解．(2)证明两线段垂直：证明两线段所对应的向量的数量积为零即可． (3)求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可．[跟踪训练5] 已知a ，b ，m ，n ∈R ，设(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)＝(am ＋bn )2，其中mn ≠0，用向量方法求证：a m ＝b n.证明 设向量c ＝(a ，b )，d ＝(m ，n )， 且它们的夹角为θ(0°≤θ≤180°)， 则c ·d ＝am ＋bn ，|c |2＝a 2＋b 2，|d |2＝m 2＋n 2. ∵(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)＝(am ＋bn )2， ∴|c |2|d |2＝(c ·d )2.又c ·d ＝|c ||d |cos θ，∴cos 2θ＝c ·d 2|c |2|d |2＝1，∴cos 2θ＝1.又0°≤θ≤180°，∴θ＝0°或180°，即c ∥d ，∴an －bm ＝0. 又mn ≠0，∴a m ＝b n.1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且3a ·b ＝4，则x 等于( ) A ．3 B ．13 C ．－13D ．－3答案 C解析 3a ·b ＝3(2x －6x )＝－12x ＝4，∴x ＝－13.故选C.2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(1＋x,2＋y )，a ＋b ＝(3，－1)，由已知可得⎩⎨⎧22＋y ＋3x ＋1＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－79，y ＝－73，即c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73.3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a ·b ＝10，则|a －b |＝____. 答案5解析由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a －b|＝ 5.4．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cosθ＝____.答案310 10解析2b－a＝2b－(3,3)＝(－1,1)，∴2b＝(－1,1)＋(3,3)＝(2,4)，∴b＝(1,2)．cosθ＝a·b|a||b|＝3，3·1，232＋32×12＋22＝9310＝31010.5．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝4＋16＝2 5.综上，|a－b|＝2或2 5.一、选择题1．已知|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为( )A.π6B．π4C ．π3D ．π2答案 C解析 ∵|a |＝1，b ＝(0,2)，且a ·b ＝1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝11×0＋22＝12.∴向量a 与b 夹角的大小为π3.故选C. 2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8 D ．8 2答案 D解析 易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋－82＝8 2.3．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1,0)答案 B解析 设b ＝(x ，y )，其中y ≠0，则a ·b ＝3x ＋y ＝ 3.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，y ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.故选B.4．(多选)在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的值可能为( )A ．－23B ．113C.3±132D ．23答案 ABC解析 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132. 5．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点(除点A 外)，则(OB →＋OC →)·OA →＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32答案 D解析 由函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3＝0可得πx 6＋π3＝k π，k ∈Z ，即x ＝6k－2，k ∈Z .因为－2<x <10，所以x ＝4，即A (4,0)．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．由题意知B ，C 两点关于点A 对称，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝0.又OA →＝(4,0)，OB →＝(x 1，y 1)，OC →＝(x 2，y 2)，所以(OB →＋OC →)·OA →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)·(4,0)＝4(x 1＋x 2)＝32.二、填空题6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a与c 的夹角为____.答案2π3解析 设c ＝(x ，y )，∵a ＋b ＝(－1，－2)， 且|a |＝5，|c |＝5，(a ＋b )·c ＝52，∴(－1，－2)·(x ，y )＝52.∴－x －2y ＝52，∴x ＋2y ＝－52.设a 与c 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5·5＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3. 7．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为____.答案 8 2解析 ∵a ∥b ，∴2×(－2)－(－1)x ＝0，解得x ＝4，∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )．∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4，∴MN →＝(y －x ，x －y )＝(－8,8)，∴|MN →|＝8 2.8．已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____.答案 λ>－5且λ≠－53解析 因为a 与b 的夹角为锐角，则cos 〈a ，b 〉>0，且cos 〈a ，b 〉≠1，即a ·b ＝2＋λ＋3>0，且b ≠k a ，则λ>－5且λ≠－53.三、解答题9．设平面向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，且a 与b不共线．(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)若两个向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α. 解 (1)证明：由题意，知a ＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α－12，sin α＋32，a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α＋12，sin α－32，∵(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14＋sin 2α－34＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．(2)|a |＝1，|b |＝1，由题意知(3a ＋b )2＝(a －3b )2， 化简得a ·b ＝0，∴－12cos α＋32sin α＝0，∴tan α＝33.又0≤α<2π，∴α＝π6或α＝7π6.1．已知点A (－2,0)，B (1,9)，C (m ，n )，O 是原点． (1)若A ，B ，C 三点共线，求m 与n 满足的关系式； (2)若△AOC 的面积等于3，且AC →⊥B C →，求OC →. 解 (1)由已知，得AB →＝(3,9)，AC →＝(m ＋2，n )． 由A ，B ，C 三点共线，知AB →∥AC →， ∴3n －9(m ＋2)＝0，即n －3m －6＝0.(2)由△AOC 的面积是3，得12·2·|n |＝3，∴n ＝±3.∵BC →＝(m －1，n －9)，且AC →⊥BC →， ∴(m ＋2)(m －1)＋n (n －9)＝0， 即m 2＋n 2＋m －9n －2＝0，∴当n ＝3时，m 2＋m －20＝0，解得m ＝4或m ＝－5. 当n ＝－3时，m 2＋m ＋34＝0，方程没有实数根， ∴OC →＝(4,3)或OC →＝(－5,3)．2．已知OA →＝(4,0)，OB →＝(2,23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)证明：A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值； (2)求|OC →|的最小值．解 (1)证明：AB →＝OB →－OA →＝(－2,23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，因为AB →与BC →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． 当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(2)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2 ＝16λ2－16λ＋16＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋12. 所以当λ＝12时，|OC →|取到最小值2 3.。

第10讲平面向量数量积的坐标表示课程标准课标解读1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．1、通过阅读课本，和前面平面向量坐标表示的基础上，掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算2、截止当前，我们已经学习了两个数量积的公式，在学习过程中能根据实际情况，能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．知识精讲知识点01平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2.(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝或|a|＝x2＋y2.若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.(2)a⊥b⇔.(3)cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.【即学即练1】已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于() A．10B．－10C．3D．－3考法01数量积的坐标运算【典例1】已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，AF→＝2FD→，则BE→·CF→＝________.反思感悟进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系(1)|a|2＝a·a.(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.【变式训练】已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于()A．6B．5C．4D．3考法02平面向量的模【典例2】已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|等于()A.5B.10C．5D．25反思感悟求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2＝x2＋y2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．【变式训练】已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，0)，则|2a－b|的最大值为________．考法03平面向量的夹角、垂直问题【典例3】已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为π6，则实数m等于()A．23 B.3 C．0D．－3反思感悟解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：由cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cosθ.(2)注意事项：利用三角函数值cosθ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cosθ＝a·b|a||b|判断θ的值时，要注意cosθ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cosθ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.【变式训练】已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．分层提分题组A 基础过关练1．已知向量(3,4),(2,1)a b ，如果向量a xb与b 垂直，则x （）A ．233B ．323C ．2D ．252．已知向量 1,2a r ， 1,1b ，若c a kb ，且b c，则实数k （）A ．32B ．53C ．53D ．323．已知向量(2,4),(1,)a b m ，若()a b b，则实数m 的值是（）A ．3或1B ．3 或1C ．3或1D ．3 或14．若向量(3,1),(2,)a b k，且a 与b 垂直，则实数k _______．5．已知(1,3),(4,8)a b，则b 在a 方向上的数量投影为_______．6．将函数 ππ4sin 22f x x的图像和直线11:22l y x 的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，*n A n N ，若点P 坐标为 ，则12n PA PA PA__________．7．已知向量2,4,,3a b，若a ab ，则 __________.8．已知向量 1,2a ， 1,3b ，若a b，则 ______．9．已知平面向量 3,0,a b，则a 与b的夹角为______.10．已知 1,2a ， 1,1b，则2a b ______．11．已知平面向量 ,1a x ， 1,12b x，x R .(1)若a b ，求x 的值；(2)若a b（ 为负实数），求x ， 的值.12．已知平面向量(,1),(,23),R a m b m m m．(1)若1,(1,23)m c ，求满足c a b的 和 的值；(2)若a b，求m 的值．题组B 能力提升练1．已知向量 1,2a， 3,1b ，若ka b b ，则k （）A ．0B ．67C ．2D ．82．已知向量a ，b 满足2a ， 1,3b ，且4a b ，则向量a ，b 夹角的余弦值为（）A B C ．5D ．103．（多选）下列说法中正确的有（）A ．已知a 在b上的投影向量为12b r 且5b ，则252a b；B ．已知 1,2,1,1a b ，且a 与a b夹角为锐角，则 的取值范围是5,3；C．若非零向量,a b 满足||||||a b a b，则a 与a b 的夹角是30 .D ．在ABC 中，若0AB BC，则B 为锐角；4．（多选）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形AOB ，其中150AOB ，222OA OC OD ，点F 在弧AB 上，且120BOF ，点E 在弧CD 上运动（包括端点），则下列结论正确的有（）A ．OF 在OAB ．若OE OC OD，则 C ．1OD DAD ．EF EB的最小值是35．在ABC 中，6,810AB AC BC ,，点M 是ABC 外接圆上任意一点，则AB AM的最大值为___________.6．已知向量 3,1a ， 4,2b，且2a a b ，则实数 的值为__________.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的分别为a ，b ，c ，向量2m a ，向量 cos cos n B C ，，且//m n，则πsin 3y A B 的最大值为______8．已知向量 2,,1,1a b ，且a b，则 __________，a b 在b 方向上的投影向量的坐标为__________.9．已知向量 ,31m x x ， 1,1n x.(1)若m n ∥，求x 的值；(2)若m m n .10．平面内向量(2,5),(7,1),(1,1)OA OB OC（其中O 为坐标原点），点P 是直线OC 上的一个动点．(1)若PA PB∥，求OP 的坐标．(2)已知BC 中点为D ，当PA PB 取最小值时，若AD 与CP 相交于点M ，求MP 与MD的夹角的余弦值．题组C 培优拔尖练1．已知圆O 的半径为1，A ，B ，C ，D 为圆O 上四点，且||||1AB CD，则AC AD BC BD的最大值为（）A ．3B ．C ．6D ．2．（多选）有下列说法，其中正确的说法为（）A ． ､为实数，若a b，则a 与b 共线B ．若1,1,1,2a b ，则b 在a上的投影向量为11,22C ．两个非零向量a b､，若a b a b ，则a 与b 垂直D ．若30,,AOC ABC OA OC OB S S V V u u r u u u r u u u r r分别表示AOC ABC ､的面积，则:3:5AOC ABC S S 3．（多选）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形AOB ，其中150AOB ，222OA OC OD ，点F 在弧AB 上，且120BOF ，点E 在弧CD 上运动.则下列结论正确的有（）A ．1OD DA B ．OF OA mOB，则1mC ．OF 在DF 方向上的投影向量为57DFD ．EF EB的最小值是-34．已知向量 1,2a r ， 1,1b ，若,R a b a b ，则的值为___________.5．已知向量a b c､､满足 11,,,02a b a b c xa yb x y y R ､，则下列四个命题中，所有正确命题的序号是___________.①若1x ，则c 的最小值为2；②若1x ，则存在唯一的y ，使得0a c；③若1c，则x y 的最小值为1 ；④若1c ，则a c b c 的最小值为12.6．已知向量(1,2),(4,3)a b，求：(1)|2|a b ；(2)若()(2)a tb a b，求t .7．已知,cos a x x，(cos ,cos )b x x， 31f x a b m （x ，m R ）.(1)求 f x 关于x 的表达式，并求 f x 的最小正周期；(2)若当 ,x 时，求 f x 的单调递增区间；(3)若当0,2x时， f x 的最小值为7，求m 的值.。

高一数学向量的坐标表示；数量积人教实验版（A ）知识精讲【本讲教育信息】一. 教学内容：向量的坐标表示；数量积二. 重点、难点： 1. ),(y x j y i x a =+= 2. ),(),,(2211y x b y x a ==),(2121y y x x b a ±±=±),(11y x a λλλ=b a //则01221=-y x y x2121cos y y x x b a +=⋅=⋅θb a ⊥则0=⋅b a 即02121=+y y x x2121y x +=，2a a a =⋅=3. a b b a +=+a b b a ⋅=⋅c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(22222)(b b a a b b b a a a b a +⋅±=⋅+⋅±⋅=±)()(22b a b a b a +⋅-=-【典型例题】[例1] A （4,2-）B （1,3-）C （4,3--）且CA CM 3=，CB CN 2=，试求M 、N 及MN 的坐标。

解：)3,6(),8,1(==CB CA )24,3(3==CA CM ∴ M （0，20）==CB CN 2（12，6） ∴ N （9，2） ∴ )18,9(-=MN[例32=，)3,1(-=b（1）若b a //，求a （2）若b a ⊥，求a 解：设),(y x a =（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+5303530031222y x y x y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=5303530y x∴ )5303,530(-±=a （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=+5305303031222y x x y y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5305303y x∴ )530,5303(±=a[例3] )2,1(=a ，)1,(x b =，b a m 2+=，b a n -=2，若n m //，则=x 。

专题三平面向量基本定理及坐标表示知识精讲一知识结构图二.学法指导1.对基底的理解两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．2. 用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；②向量减法的几何意义；③数乘向量的几何意义．(2)模型：3．求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．4.平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.三.知识点贯通知识点1 对基底的理解e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 例题1.设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④【答案】B【解析】①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意． 知识点二 用基底表示向量平面向量基本定理例题2：如图所示，▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE 与BF 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.【答案】DE →＝a －12b .，BF →=b －12a .【解析】 DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋12BC →＝－AD →＋AB →＋12AD →＝a －12b .BF →＝BA →＋AD →＋DF →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝b －12a .知识点三 平面向量的坐标表示 1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j ，取{i ，j }作为基底．对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示．2.向量坐标与点的坐标之间的联系在平面直角坐标系中，以原点O 为起点作OA →＝a ，设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(x ，y )也就是向量OA →的坐标．例题3 .如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形．(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标．【答案】(1) a ＝(22，22)．b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332. (2)BA →＝⎝⎛⎭⎫32，－332. (3)【解析】 (1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45°＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝22，∴A (22，22)，故a ＝(22，22)． ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°，∴∠COy ＝30°.又OC ＝AB ＝3，∴C ⎝⎛⎭⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－332.(3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝⎛⎭⎫－32，332知识点四 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则有：例题4．(1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)(2)已知向量a ，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a ＋b ，a －b 的坐标． (1)【答案】A【解析】法一：设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.法二：AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.（2）【答案】见解析【解析】 a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)． 五 易错点分析 易错一 基底例题5.若向量a ，b 不共线，则c ＝2a －b ，d ＝3a －2b ，试判断{c ，d }能否作为基底．【解析】 设存在实数λ，使c ＝λd ， 则2a －b ＝λ(3a －2b )， 即(2－3λ)a ＋(2λ－1)b ＝0， 由于向量a ，b 不共线，所以2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的， 从而c ，d 不共线，{c ，d }能作为基底． 误区警示能作为基底的向量，必须是不共线的向量。